[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率118 ひゃま 2017/01/20 (金) 07:01:06 [Go]
>>117

このcとwの違いがしいていえばローレンツ収縮であり、それと実際の物体がどのような影響を受けるかはケースバイケースですね

もう少し噛み砕くと、c≠wなんて日常で、たとえば媒質中を光のエネルギーの伝播は光速未満だし、これを時空がどうなってるんだって大騒ぎしないでしょ?

同様に相対的に見て、真空中を運動する物体内の光速(たとえば公転する地球の地表を伝播する光)だって同様に変化するってことです。

場の概念的にいうと、c=加速度a(0)は、w=加速度a(x)だってことです

どちらにしても、絶対基準がないってことは、歪ます絶対的な基準もないってことで、どの観測者の基準で物事をみるかってことだけです。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率117 ひゃま 2017/01/20 (金) 04:32:16 [Go]
>>108

それは固有時が違うだけで、実際の距離が変わる訳ではありません。
相対論では、

(ct)2-x2-y2-z2(c: 光速、t: 観測者にとっての時間、(x, y, z): 観測者にとっての物体の空間座標)はローレンツ変換に関して不変な量である(つまりいかなる座標系で物体を観測してもこの値は同じになる)。そこで、d(cτ)2=d(ct)2-dx2-dy2-dz2としてτ=∫dτとτを定義すると、このτも不変量となる。このτが固有時である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E6%99%82

みたいに書くのでしょうが、ひゃまは、観測者の時間tからみた運動する物体の光速wで表現します。

d(wt)2=d(ct)2-dx2-dy2-dz2

恒等的に(x, y, z)=0である時、当然w=cである。常に(x, y, z)=0が成立するということが、電磁気学の真空中の光速wが一定を光速度cに定義するということです。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率116 coJJyMAN 2017/01/20 (金) 01:41:59 [Go]
甘泉法師 さん,こんばんは.
回転座標系の半径aの内部の各点に静止した時計をおいて,
そこで.回転座標系をとっぱらって「時計群物体静止系」の時空の座標を引き直せば,目的の「回転円板静止系」の座標系の出来上がりです。
これは回転座標系と違って,座標変換しても慣性系に戻りません.
[研究発表会場] 原点が任意の運動をしている変形しない準拠系8 coJJyMAN 2017/01/20 (金) 01:08:03 [Go]
OからPのある位置が初めに+x方向にあって,次に+x方向に来た時を「一回転」とします.
この意味では、Pから見てOが初めに-x方向にあってから,次に-x方向に来る時までが「一回転」になります.
すると,Pの運動にはThomas歳差が効いてくるので,Oから見てPが「一回転」したときに,P自身は「一回転」してはいないという結果が得られます。

運動を解析するのに,固有時 $\tau$ を,ただの運動のパラメータとして扱いましょう。
それで,1枚のグラフに慣性系で見たOの位置に点Oをうち,点Oを基点に座標軸の単位ベクトルを矢印で書き足します。
パラメータ $\tau$ を動かしながら,Pの位置に点Pをうち,Pの座標軸の単位ベクトルを同様にP基点の矢印でリアルタイムで表示させます。


      (以下35行の表示を省略しています)
[研究発表会場] 原点が任意の運動をしている変形しない準拠系7 coJJyMAN 2017/01/19 (木) 22:36:09 [Go]
それで, $S$  系に2つの時計OとPを考え,Oは原点に止まったまま,Pはそのまわりを
 $x=a\cos{\omega t} \ , \ y=a\sin{\omega t}$ 
で等速円運動しているとします。OからみたPの軌道は $l=2\pi a$ の円周軌道です。
一周にかかる時間は $T=2\pi/\omega$ です.

反対にPからみたOの動きはどうなっているかというと,前回求めた座標変換
<tex>L\left ( \tau \right )=\begin{pmatrix}\gamma & \gamma\beta\sin\theta & -\gamma\beta\cos\theta \\ \gamma\beta\sin\varphi  & \cos\varphi\cos\theta+\gamma\sin\varphi\sin\theta & \cos\varphi\sin\theta-\gamma\sin\varphi\cos\theta\\ -\gamma\beta\cos\varphi & \sin\varphi\cos\theta-\gamma\cos\varphi\sin\theta & \sin\varphi\sin\theta+\gamma\cos\varphi\cos\theta\end{pmatrix}</tex>
(ここで、  $\theta=\gamma\omega\tau,\varphi=\gamma^2\omega\tau$  )

      (以下21行の表示を省略しています)
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率115 甘泉法師 2017/01/20 (金) 06:46:45 [Go]
こんにちは。

>>99 回転円盤の外周に1mm、2mm、3mm・・・・・・・・314mmのように刻印をいたします。

先にメジャーがのびるかきれるかと申し上げましたが
最初静止していたものが回転したら という場合
ものは空間の変化に追従できないんだと思います。
回転円盤は割けるか伸びるかするのが実際です。

もののついていけない回転があるのか
先のレンガでいうと外周、慣性系で静止しているレンガ列があって
それが回転系では理想的な抽象的な回転円盤が接している前衛だと存じます。

その理想にものが近づこうとすると弾性で頑張るかあきらめて切れるか
ひらきなおって昔の慣性静止系とは縁を切って円盤を溶融して鋳造しなおす。それなら弾性歪のない(遠心力のことは忘れて周方向に。)円周率3.15の円盤ができます。空間の容量が増えたので材料の追加は必要です。315個目のレンガと同じです。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率114 hirota 2017/01/19 (木) 22:23:36 [Go]
>>113
もちろん時空全体で考えれば重力場も無く平坦です。(座標変換に過ぎないから曲率0のまま)
あくまで空間部分だけの曲率が存在すると言うだけです。
回転系では等時線がスパイラル状に捩じれてるので空間部分にも歪みが出るわけです。
平坦な4次元時空の中に曲がった3次元空間が埋め込まれてる状態です。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率113 甘泉法師 2017/01/19 (木) 22:04:22 [Go]
こんにちは。

>>101 曲率も光速に近づく周辺部で無限大に発散している。

回転系は見かけの重力系で、ほんとうに物質起源の重力がはたらいているわけでない
本当に空間が歪んでいるわけでない。だからR=0と思い込んでいいたのですが...どうなんでしょう。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率112 coJJyMAN 2017/01/19 (木) 21:34:30 [Go]
相対論初心者 さん
>この疑問の出発点は回転円盤の外周長を非常に短い距離で考えるとその部分は
>等速直線運動のように扱えますので、ローレンツ収縮し外周長が縮まる。
まさに,ここが論点です。
「ローレンツ収縮し外周長が縮まった」結果の円周の長さを静止系の人間が測ってL=2πRと言っているんですよ。
ということは,ローレンツ収縮する前の長さは2πRではないということになりますが,,
そもそも,本当に等速直線運動のように扱えるのでしょうか?

「目盛りのついた物差し」での測り方から,いったん離れて「短い棒でつながれた2個の時計」を想像してみましょう。
光を往復させてその時間を計ることで $l=ct$ の計算で長さが求まります。

そして,重力場(もしくは加速系)では場所によって時間の進み方や光の速度と曲がり方が変わってしまうのです.
回転系の中では,中心部分が唯一の静止系なのでこれを基準にすると,中心から離れるにしたがって,円周方向に飛ばす光の速度は遅くなります。(光が外側に曲がります)
時間の進みも遅くなります。
そして,円周上に時計を等間隔に並べて,中心から円周を測定すると
 $l=c't'$ を $N$ 倍したのが $2\pi r$ という計算になります.

ところが,円周上の測定者は「自分の時計と光速度を基準値として」測定するので,時間の倍率と光速度の倍率のダブル効果で円周長を実際に長く測定してしまいます。

相対論初心者さんのお考え通り、これを円周の外で静止している観測者から見れば棒は確かにローレンツ収縮しています。
しかし, $\gamma^2 rd\theta $ の長さが $ \gamma rd\theta$ に短くなるだけなので,まだ比較的長いのです。
さっき「ダブル効果」と言いました.これが一般相対論的効果です。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率111 hirota 2017/01/19 (木) 21:09:50 [Go]
説明書いても理解できないんじゃしょうがないな。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率110 kafuka 2017/01/19 (木) 22:40:04 [Go]
この場合「ローレンツ収縮の式」は、加速度運動がある場合は適用できません。
なので、直接には効いてこないと思います。
以下その理由(予想)

正方形があり、その辺にチェインが巻かれていて(チェインには目盛がついている)
チェインが周回しているとする。
頂点以外は、ローレンツ収縮の式で計算できる。(チェインの長さは、かならず短くなる)
頂点では、方向を曲げる力が働き、チェインが曲げられる(チェインの系では一瞬)
これを静止系から見ていると、頂点の直前から直後で「静止系では非常に時間が過ぎてしまう」
 (双子のパラドックスの説明と同じこと=「慣性系の乗り換え」の効果)

で、四角形を8角形、16角形、、、として、頂点の数が増えて 円=頂点の数が∞ になれば
円周上のどの点=頂点 でも「方向を曲げる力」が働き、
ローレンツ収縮の式が素朴に適用できる部分はなくなり、周は伸長する。

と予想します。
(途中直しましたが、結局 もとの主張です)

PS:
「方向を曲げる力」が働くので、実際に変形する(伸びる)わけで、
ローレンツ収縮自体では、実際の変形はないと、僕は思います。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率109 相対論初心者 2017/01/19 (木) 20:04:22 [Go]
coJJyMANさま

ありがとうございます。

この疑問の出発点は回転円盤の外周長を非常に短い距離で考えるとその部分は
等速直線運動のように扱えますので、ローレンツ収縮し外周長が縮まる。
それは結果的に円周長が3.14以下になることを意味します。

ところが実際は3.14以上になり、しかも応力のようなものが働いて
隙間が出来ると仰ってます。
迷走状態です。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率108 相対論初心者 2017/01/19 (木) 19:54:11 [Go]
ひゃまさま

ご紹介サイト拝見しました。
空間は縮まないとのことですが、2光年離れたロケットが光速の90%の速度で
地球に向かうとします。
地球に居る人たちはそのロケットが2年以上の時間をかけて地球に到着したことを確認します。
ところがロケットに乗っていた人は1年ほどで地球に到着したと言ってます。
なぜか?
それは相対論効果によって距離が半分に縮んだからです。
やはり空間は縮むと思います。

重心を中心にローレンツ収縮するというのは数学的にそのようでなければならないのでしょうか?
直感的にこの部分に違和感を感じます。

ローレンツ収縮が応力のようなものでしたら将来、素晴らしい推進装置が
発明されて光速の90%くらいの速度が出せるのようになっても宇宙飛行士は
その応力によって半分に押しつぶされてしまうので生存できないかと思います。

この解釈で本当にいいのでしょうか?
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率107 大学生A 2017/01/19 (木) 19:24:47 [Go]
「元の慣性系でどの様に観えるか?」が主題なので、「ローレンツ収縮」は理解するのを避けて通れない現象。

hirota さんが導出された時空の線素方程式で言えば、

<tex>(ds)^2=(1-r^2\omega^2)\!\!\left(\!dt-\frac{r^2\omega}{1-r^2\omega^2}d\theta'\right)^{\!\!2}\!-(dr)^2-\frac{r^2}{1-r^2\omega^2}(d\theta')^2</tex>

が回転円盤の空間構造を表す本質的な式。
でも、回転円盤の底面曲率が「負」であると実感する観測者は存在しない。
これは、別のスレで、おーちゃん さんが言っていた、

「各々の局所系で得られた結果を繋ぎ合わせたものを、あたかも、大域的にもそうであろうと推測する考えは間違い。」

という主張に通じること。
元の慣性系で観測する者には、回転円盤の底面曲率は常に0。
[研究発表会場] 原点が任意の運動をしている変形しない準拠系6 coJJyMAN 2017/01/19 (木) 19:17:26 [Go]
あらためて,前回用いた方程式を再掲しておきます。
以下、上にドットの記号は固有時での微分を表わすものとします。

微分方程式
<tex>\dot{{L^i}_j}= {L^i}_k\frac{ \dot{ U^k}  U_j-U^k \dot{  U_j} }{c^2}  </tex>
<tex>(U^i=\dot{x^i},U_i=\eta_{ij}U^j,\dot{U_i}=\eta_{ij}\dot{U^j})</tex>
を解いて得られる  ${L^i}_j(\tau)$  は、
静止系  $S$  から、  $x^i=f^i(\tau)$  で運動する粒子の瞬間静止系  $S'=S'(\tau)$  へ移る変換を決定するものであり、

      (以下15行の表示を省略しています)
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率106 hirota 2017/01/19 (木) 19:06:20 [Go]
>>23
カメラの撮影は光速有限の歪みがあるのでローレンツ収縮がそのまま映る保証はありません。
人工衛星による観測でさえ光や電波の速度による補正をしています。
観測方法に応じた補正が無いと物理的にマトモな観測とは言えません。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率105 coJJyMAN 2017/01/19 (木) 18:32:04 [Go]
相対論初心者さんへ,
空間のある一点に対して,そのまわりの物体全てに質量に比例した「引力」が働いている空間は曲率が正で,円周率はπより小さい.
逆に,中心から離れる方向に質量に比例した「斥力」が働いている空間は曲率が負で,円周率はπより大きい.

直観的にはこれで判断できると思います。
(「ローレンツ収縮」という言葉が出てくる解説は,僕もいまいちピンと来ません.)
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率104 不識庵 2017/01/19 (木) 18:38:03 [Go]
>>99

私も、>>23のような事を考えておりました。
問題点は共有されているものと認識しております。

私の理解にも余り自信は無いのですが、仰っている状況では次のような事が起きるような気がします。

円盤の場合、円周上のある原子と、ほぼ一回転した隣の原子が拘束されているので、ローレンツ収縮で縮もうとしても縮めないのだと思います。
円盤がゴムのように柔らかい物質で出来ていれば、円周の目盛りは314個のままだと思います。

これに対し、外周の近くに例えば長さ1mmの棒を置いておくと、この棒は自由に縮む事が出来ます。(この棒は円盤と一緒に回転します。棒の方向は円周方向です。)

円周の目盛りは314個のままだけど、円盤の1目盛りは、この棒より315/314倍だけ長く見える、という事かと思います。

また、世の中、物質の変形を測定するひずみゲージなんてのがあるそうです。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/ひずみゲージ

円盤の縁にこれを貼れば、ローレンツ収縮の逆数の分のひずみが観測されるかもしれません。
(実際には遠心力の影響を受けて、上手く測れないかな?)

>>103 hirotaさんご指摘の内容と同じと認識していますが、正直、自信はありません。

投稿の数も100を超えておりまして、私の投稿もどなたかの投稿と重複してしまっているかもしれません。
その際はご寛恕下さい。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率103 hirota 2017/01/19 (木) 17:52:04 [Go]
>>99
ローレンツ収縮は「大きさの変わらない」物体を他から観測すると「縮んで見える」ということだけ。力がどうとかは全く関係ない。
円盤の場合の「引き延ばされる」は実際の力。大きさの変わらない物体が置いてあれば隙間が出来るし、隙間が出来ないなら引き延ばされて未だ千切れてないだけ。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率102 ひゃま 2017/01/19 (木) 17:31:47 [Go]
やっぱローレンツ収縮について分かってなかったか

その原因は、相対性理論では、高速に運動するものはローレンツ収縮するという思い込みです。
http://djweb.jp/power/physics/physics_05.html

こういうのも、粒子性と波動性に分けて考えれば、難しく無いんだよね
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率101 hirota 2017/01/19 (木) 13:22:38 [Go]
>>83の計量から空間部分の曲率を計算する。
空間座標を $r',\theta'$ から
<tex>x^1=r'\cos\theta',\,x^2=r'\sin\theta'</tex>
に変換し、式を簡単にするため $r$ と $r'$ を混ぜて使うと計量は
<tex>(ds)^2=(1-r^2\omega^2)\!\!\left(\!dt-\frac{r^2\omega}{1-r^2\omega^2}d\theta'\right)^{\!\!2}\!-\frac{r^2}{(r')^2(1-r^2\omega^2)}\Bigl((dx^1)^2+(dx^2)^2\Bigr)</tex>
となるので、空間部分の計量テンソルを取り出すと
<tex>g_{jk}=\frac{r^2\delta_{jk}}{(r')^2(1-r^2\omega^2)}</tex>
であり、この逆テンソルは
<tex>g^{jk}=\frac{(r')^2}{r^2}(1-r^2\omega^2)\delta_{jk}</tex>
となる。そこで
<tex>dr'=\frac{x_j}{r'}dx^j,\,dr=\frac{r x_j}{(r')^2\sqrt{1-r^2\omega^2}}dx^j</tex> ( $x_j=x^j$ とする)
を使って微分を計算すれば
<tex>\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^n}&=\frac{2r^2\Bigl(1-(1-r^2\omega^2)^{3/2}\Bigr)}{(r')^4(1-r^2\omega^2)^{5/2}}\delta_{jk}x_n\\\Gamma^m_{jk}&=\frac{1}{2}\,g^{mn}\!\!\left(\frac{\partial g_{kn}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{jn}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^n}\right)\!=\frac{1}{(r')^2}\!\left(\frac{1}{(1-r^2\omega^2)^{3/2}}-1\right)\!(\delta^m_k x_j+\delta^m_j x_k-\delta_{jk} x^m)\\\frac{\partial\Gamma^m_{jk}}{\partial x^p}&=\!\left(\frac{1}{(1-r^2\omega^2)^{3/2}}-1\right)\!\!\left(\frac{\delta_{kp}\delta^m_j+\delta_{jp}\delta^m_k-\delta_{jk}\delta^m_p}{(r')^2}-\frac{2x_p}{(r')^4}(\delta^m_k x_j+\delta^m_j x_k-\delta_{jk} x^m)\right)\!+\frac{3r^2\omega^2x_p}{(r')^4(1-r^2\omega^2)^3}(\delta^m_k x_j+\delta^m_j x_k-\delta_{jk} x^m)</tex>
となって曲率テンソルは
<tex>R^h_{\,nkj}&=\frac{\partial\Gamma^h_{nj}}{\partial x^k}-\frac{\partial\Gamma^h_{nk}}{\partial x^j}+\Gamma^m_{nj}\Gamma^h_{mk}-\Gamma^m_{nk}\Gamma^h_{mj}\\&=\!\left(\frac{1}{1-r^2\omega^2}-1\right)^{\!\!2}\!\!\left(\frac{2}{1-r^2\omega^2}+1\right)\!\!\frac{x_n x_k\delta^h_j-x_n x_j\delta^h_k-x^h x_k\delta_{nj}+x^h x_j\delta_{nk}}{(r')^4}+\!\left(\frac{1}{(1-r^2\omega^2)^3}-1\right)\!\!\frac{\delta^h_j\delta_{nk}-\delta^h_k\delta_{nj}}{(r')^2}</tex>
となる。
これからRicci曲率テンソルとスカラー曲率は
<tex>R_{nj}&=R^h_{\,nhj}=-\!\left(\!\frac{1}{1-r^2\omega^2}-1\!\right)\!\!\frac{3\delta_{nj}}{(r')^2(1-r^2\omega^2)^2}\\R&=g^{nj}R_{nj}=-\frac{6\,\omega^2}{(1-r^2\omega^2)^2}</tex>
となる。
曲率も光速に近づく周辺部で無限大に発散している。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率100 大学生A 2017/01/19 (木) 13:18:33 [Go]
いや、普通に死にそうですが・・・。

https://www.youtube.com/watch?v=v413j4v5G14(7分あたりから)
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率99 相対論初心者 2017/01/19 (木) 12:39:02 [Go]
甘泉法師さま

メジャーはやめにします。
回転円盤の外周に1mm、2mm、3mm・・・・・・・・314mmのように刻印をいたします。
一周で314mm。

その刻印を中心で静止している観測者が眺めているとします。
回転円盤を回転させると目の前を通過する刻印は1mm、2mm、3mm・・・・・と
次々に変わっていきますが、刻印はローレンツ収縮してますので間隔は
回転していないときより狭い。
外周長は伸びるとのことなので、刻印には隙間ができるはずです。
その隙間のところの刻印は315mmなのでしょうか?
その刻印はいつ刻まれたのでしょうか?


この掲示板を拝見させて頂いて違和感を感じてます。
私はローレンツ収縮がいくら起こっても観測者の生命には影響しないと考えてます。
ローレンツ収縮とは空間尺度の相対的な縮みであり、プレス機で物質を
押しつぶすような、もしくは何かで引き伸ばすような物理的な力は一切働かないと
認識しております。
[専門の部屋] 特殊相対論的力学の変分原理79 不識庵 2017/01/19 (木) 05:13:35 [Go]
>>78

>ここらを整合性あるように理解したいですね。

>>53に私なりの答えを書いてみた訳ですが、答えになってないでしょうか?
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率98 ひゃま 2017/01/19 (木) 05:45:03 [Go]
そもそも何から歪むかといえば、円盤を回転する前の歪んでない状態からであって、その時は円周率は3.14

それから回転したとき3.14をキープする仕組みが分かれば、目盛がどうなるかの説明も必要なく、系の対称性や可積分性を調べれるんですよね?

この事実は、系の対称性や可積分性を調べるにはハミルトン系のほうが都合がよいことを意味する。なぜなら、ラグランジュ形式は配位空間上の対称性しか扱わないのに対して、ハミルトン形式は相空間(=配位空間の余接バンドル)上の対称性をも扱うからである。つまり、ハミルトン形式の方がより多くの変換が許容される。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6

でも相対論の場合>>54は、時空が歪んだと考えるので、それをできなくしてると考えていいでしょうか?

たぶん質問者は目盛じゃなくてもいいのでしょうけど、また迷って分からなくなるんで時空がひずんだと主張する方々にその辺の事情をきっちり納得する説明を聞いてみたいんでしょうね。

間違ってたらごめん。
[専門の部屋] 特殊相対論的力学の変分原理78 甘泉法師 2017/01/19 (木) 07:53:23 [Go]
こんにちは。

------------
>>76 自由粒子の場合は明らかに L が定数ですので、
<tex>S = \int_{\tau_1}^{\tau_2} L d\tau = (\tau_2 - \tau_1) \times {\rm Const.}</tex>
となり、変分で停留値を求めようがない

>>75 第一項を
<tex>L = -mc^2 \sqrt{\frac{dx_i}{d\tau} \frac{dx^i}{d\tau}} + \frac{e}{c}A_i \frac{dx^i}{d\tau}</tex>
と書いてやると、

>>77 定数を微分して0でない結果が出るのは、
--------------

自由粒子だとLは定数だけどその定数は <tex>L = -mc^2 \sqrt{\frac{dx_i}{d\tau} \frac{dx^i}{d\tau}}</tex>ともかけて変分からラグランジュ方程式、慣性の法則
<tex>u^i=const.=\frac{x_2^i-x_1^i}{\tau_2-\tau_1}</tex>
が出る。定数の微分なのに?

ここらを整合性あるように理解したいですね。
[専門の部屋] 特殊相対論的力学の変分原理77 hirota 2017/01/18 (水) 21:13:27 [Go]
>>75
おおっ!これは意外な…
定数を微分して0でない結果が出るのは、固有速度の成分全部は独立じゃなく、大きさが決まってるのに許されない変化で微分してるせいでしょうね。
「数学的に意味のある計算だとダメだが形式計算で結果が出る」と言うのは慎重にしないといけません。
僕は「数学的に無意味でも物理的直感で正しい結果を出せる」ような才能は無く、手を出さない方が良いと思うので「そういうこともあるらしい」くらいで終わらせときます。
[専門の部屋] 特殊相対論的力学の変分原理76 dyne 2017/01/18 (水) 20:38:07 [Go]
>>73 甘泉法師さん

もちろん、端点を[τ1,τ2] で固定した変分問題も考えられるとは思うのですが、
自由粒子の場合は明らかに L が定数ですので、

<tex>S = \int_{\tau_1}^{\tau_2} L d\tau = (\tau_2 - \tau_1) \times {\rm Const.}</tex>

となり、変分で停留値を求めようがないように思います。


[λ1, λ2]の区間端を設けることに関してですが、
[-∞、∞]と取った場合でも結局は最終的には
汎関数微分で各点での停留性を見るわけですので、
任意の微小区間で見ることと同じことではないかと言う風に考えています。

>>74 不識庵さん

具体的な例が出せずにすみません。
後ほどお返事させていただきます。
[専門の部屋] 特殊相対論的力学の変分原理75 dyne 2017/01/18 (水) 20:27:09 [Go]
>>72 hirotaさん

その表式だと確かに成り立たないように見えるのですが、

第一項を

<tex>L = -mc^2 \sqrt{\frac{dx_i}{d\tau} \frac{dx^i}{d\tau}} + \frac{e}{c}A_i \frac{dx^i}{d\tau}</tex>

と書いてやると、(特殊相対論で計算させていただきますが)

<tex>\frac{\partial L}{\partial (dx^i/d\tau)} = m\frac{dx_i}{d\tau} + \frac{e}{c}A_i</tex>

<tex>\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial (dx^i/d\tau)}\right) = m\frac{d^2x_i}{d\tau^2} + \frac{e}{c}\partial_j A_i \frac{dx^j}{d\tau}</tex>

<tex>\frac{\partial L}{\partial x^i} =  \frac{e}{c} \partial_i A_j \frac{dx^j}{d\tau}</tex>

となり、Euler-Lagrange方程式から

<tex>m\frac{d^2x_i}{d\tau} = \frac{e}{c} F_{ij} u^j</tex>

という運動方程式が導かれます。

もちろん、第一項は定数なので、微分している意味がよく分かりませんが
形式的にはなぜか導かれてしまうようです。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率97 kafuka 2017/01/18 (水) 20:26:30 [Go]
僕の言ってることは、本論からずれてますし、
トンデモかも知れないので、この辺で失礼しますが、

特殊相対論で、加速度のある系を扱うには、「ローレンツ変換」と「慣性系の乗り換え」を
使います。
(竹内薫「アインシュタインとファインマンの理論を学ぶ本」)
「慣性系の乗り換え」を連続にする極限で、一般相対論での扱いに一致すると思います。

長さのローレンツ変換の式では、どんな速度であっても「短く」なりますので、
「慣性系の乗り換え」を考えないと、宇宙船が伸びたり、
円周が長くなる(直径との比が3.15になる)ことは説明できません。

このスレッドの場合は、
回転する円周の目盛ごとの系には、同時刻が定義できないことが重要と考えます。
(あもんさんの http://amonphys.web.fc2.com/amonrt.pdf )
長さは、端点を「同時刻」で測らないと意味がないです。
なので、円周の長さは定義できず、測り方(目盛の定義の仕方とか)によって異なる
したがって、直径との比も測り方に依存すると思います。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率96 ひゃま 2017/01/18 (水) 18:36:39 [Go]
質問者の質問は、

物や物差しが変化するなら、理由はどうであれ、円周率を保つが

時空が変化するなら、円周率は保てない

その場合の目盛はどうなるんだって質問かと?
[専門の部屋] 特殊相対論的力学の変分原理74 不識庵 2017/01/18 (水) 18:03:17 [Go]
>>71

>この場合に限り、偶然的に
>固定端点で直接変分を取った時と同じ運動方程式が
>得られているだけではないかと推測しているのですが・・・

お考えになっている事をもう少し具体的に仰って頂くと、議論がスムースに進むような気がします。


ある世界線を想定し、たまたまその世界線上で固有時間と一致する何かのパラメータがあったとして、固有時間と一致するが故にそのパラメータを使えない理由があるのでしょうか?

(前述の、*にτを入れる場合に相当すると思います。)
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率95 kafuka 2017/01/18 (水) 17:40:34 [Go]
「ローレンツ収縮」は、一定速度の系と加速度がある系では、違うということですね。

よくある「ローレンツ収縮の式」は厳密には、重力のない一定速度の系=慣性系での式なので
慣性系=一定速度であれば、力も応力も0(相対論でも)と思うので、
応力が発生するのは、「慣性系の乗り換え」によるものと理解しています。
間違いでしょうか?

「ベルの宇宙船パラドックス 」http://teenaka.at.webry.info/200609/article_4.html
は、僕は 主に「慣性系の乗り換え」の問題だと思うのですが。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率94 大学生A 2017/01/18 (水) 16:27:45 [Go]
>>93 kafukaさん

>以下で言うローレンツ収縮と、おっしゃる「ローレンツ収縮」は、違うのでしょうか?

厳密には、別の意味で使っています。
元の慣性系において、自転前後で「長さ」に変化があるか無いかという意味で使っていますね。

・元の慣性系にて自転前後で「長さ」が変化しない→「ローレンツ収縮」しない
・元の慣性系にて自転前後で「長さ」が縮む→「ローレンツ収縮」する

それと同じ意味で使うなら、「ローレンツ収縮」は必ず生じていると言えます。

・運動系にて、自転前後で内部応力により「引き伸ばされる」ので、元の慣性系では、自転前後で「長さ」が変わらない→「ローレンツ収縮」する
・運動系にて、自転前後で「長さ」が変わらないので、元の慣性系では、自転前後で「長さ」が縮む→「ローレンツ収縮」する

要は、自転させるための駆動力が、巻尺のどの位置に分散されるかで、
内部応力が決まるわけです。下記のサイトなどが参考になると思います。

・「ベルの宇宙船パラドックス 」http://teenaka.at.webry.info/200609/article_4.html


>それとも、物体が系に対して運動する場合とは、異なるということですか?

意味が解かりません。
[専門の部屋] 特殊相対論的力学の変分原理73 甘泉法師 2017/01/18 (水) 16:12:19 [Go]
こんにちは。

あらためて最初の >>1 をみて(2)に積分区間τ[ $\tau_1,\tau_2$ ]、とはっきり書いたものは 

<tex>S = \int_{\tau_1}^{\tau_2} L_m(x^i,u^i,\tau) d\tau</tex>   (2)’

 $Lm$ の具体的表式を知らなくても変分原理で(3)が満たされることがわかる。
実際、表式(1)は(3)を満たす

と読むのは乱暴でしょうか。

>  $d\tau$  ではなく、dt で端点を固定しているなら分かるのですが、

佐藤本を読めないのですが、dtがでてくる展開なのでしょうか。


>>5 τの終点の値が経路によって異ならないと変分の意味が無いでしょう。

(2)' を変分することには意味がないんでしょうか。

たとえば 
事象A 札幌で誕生  $\tau_1$ =0年    
事象B 那覇で成人  $\tau_2$ =20年
の間の(物体としての)軌跡を変分原理、ラグランジュ方程式で求める
という類の問題はへんでしょうか。 もっと物理っぽくすると

中性子の寿命 平均886.7±1.9 秒 で半減期10.3分の幅をもつが、議論の簡単のため仮に887秒ジャストが寿命として
事象A 試験炉内の核反応で中性子が発生  $\tau_1$ =0s
事象B 887m離れた実験室で崩壊を観測   $\tau_2$ =887s
中性子の世界線を求めよ。(=あなたの慣性系での中性子の等速運動速度を求めよ)

>>71 hirotaさんの >>51 のコメントにあるように、
変分を任意とすると、[λ1, λ2] の区間だけ動かして
それ以外は動かさないような変分もそのうちに含まれるので、
これによって、任意の区間で止めた時の変分に対して
停留値を取るという条件が得られる

端さえ固定すればなかは全く自由というのが変分のこころとおもうのですが
その中でまた[λ1, λ2] の区間端を設けるというのは
λ1、λ2の事象という追加条件を課すことになるので問題がかわってしまうように思われます。 どうでしょう。

[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率93 kafuka 2017/01/18 (水) 16:24:04 [Go]
>>91 大学生Aさん
> 稠密に置かれた多数(の系)とは、例えばどんなものですか?
円周や正方形の辺の目盛ごとに系がある と考えています。
(正方形なら辺ごとに4つ考えればいいですが)

回転する円周の目盛ごとの系には、同時刻が定義できないことが重要と考えます。
(あもんさんの http://amonphys.web.fc2.com/amonrt.pdf )
長さは、端点を「同時刻」で測らないと意味がないです。

>「ローレンツ収縮」するかは、内部応力がどの位置に生じているかを知る必要がある
>  :
>それは、内部応力によって阻まれてしまいます
以下で言うローレンツ収縮と、おっしゃる「ローレンツ収縮」は、違うのでしょうか?
ある物体に対し静止している系で測った長さが Lx の時、
その系に対し、一定速度Vx で運動している系において測った長さは、Lx’にローレンツ収縮する
そのような系がいくつあっても、その物体には、何の影響もないです。
(物体が 硬くても柔らかくても関係ない)
それとも、物体が系に対して運動する場合とは、異なるということですか?
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率92 ひゃま 2017/01/18 (水) 15:25:24 [Go]
どうも、電磁波や物質波が共にローレンツ収縮するので、どの系でも観測者の光速は一定になるって考えは、ひゃまの持論ぽいですねえw、でも、

↓λ=h/↑(mI)c

からいって、ミクロスケールでは波長が短くなって慣性質量が大きくなるっていうのは、素粒子の慣性質量とマクロの慣性質量の違いからひゃま論が正しいのですけどね

どちらにしても、ローレンツ収縮とは何かを正しく理解しないと
なに言ってるか明確にはなりません。

本当に以下に書いてるようなことですか?

ローレンツ収縮
https://kotobank.jp/word/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E5%8F%8E%E7%B8%AE-153551

ローレンツ:物体の収縮
アインシュタイン:固有時の変化
ひゃま:波の収縮
[質問コーナー] 正と負のエネルギー4 ghsobo 2017/01/18 (水) 15:23:48 [Go]
うすらぼんやりさん
負のエネルギーと言った場合、概ね2つの意味があり
負の位置エネルギーと相対論的量子力学に出てくるディラック方程式やクラインゴルドン方程式
の解が負のエネルギー項が出てきます。
負の位置エネルギーとは主に原子において電子のイオン化エネルギーとか仕事関数で表すとき、
原子核から無限遠を位置エネルギー0として核に近づくエネルギーが低くなるような形です。

相対論的量子力学に出てくる負のエネルギーはアインシュタインの関係式
<tex>E^2 = ( mc^2 )^2 + ( \Vec{p}c )^2</tex>
に  $ p_{x}\rightarrow-i\hbar\pdif{}{x}$  および $ E\rightarrow i \hbar \pdif{}{t} \ $ をあてた式がクラインゴルドン方程式でその解に負のエネルギー
が出てきます。量子力学、相対論勉強した後の話です。たいへん時間かかります。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率91 大学生A 2017/01/18 (水) 13:52:35 [Go]
>>87 kafukaさん

>完全剛体なら、>>29は、成り立たないという意味ですか?

>>29で、

「内列の煉瓦は運動でローレンツ短縮するので接着はこわれてすきまができる」

という説明があります。この現象は、接着剤の強度が煉瓦自身の強度に対し、
はるかに劣る場合にのみ成り立つ例です。

>煉瓦と接着剤が両方共 伸びると思いますが。

強度が同じ程度で、かつ十分な弾性があれば、そうなるでしょう。

>正方形の辺上に稠密に置かれた多数の系が、一定の速さで周回する場合では、
>ローレンツ収縮と「慣性系の乗り換え」が起きると思います。

稠密に置かれた多数とは、例えばどんなものですか?
どの様に「ローレンツ収縮」するかは、内部応力がどの位置に生じているかを、
知る必要があると思います。
両端を接着された巻尺には、自転で均一な引っ張り応力が生じています。
たとえ、線路を正方形にしても、その均一性は変わらないと思います。
よって、この場合、「ローレンツ収縮」する箇所はどこにありません。
もちろん、ミクロな視点で考えれば、巻尺を構成する原子核や電子は、
「ローレンツ収縮」するでしょう。
ですが、前後に並んだ原子同士の間隔が「収縮」するわけではありません。
それは、内部応力によって阻まれてしまいます。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率90 甘泉法師 2017/01/18 (水) 14:31:19 [Go]
こんにちは。

メジャーはのびるかきれるかするでしょう。
びよーんとのびたらメジャーとして不正確で使い物にならないし
きれたらきれたところを新しいのでつぎ足して補修できるでしょう。メジャー補修部が

>メジャーには隙間が出来るはずでがその隙間のところの目盛り

になります。 315個目のレンガと同じ要領です。

>ローレンツ収縮しますが、外周長は長くなる。

ものさしがローレンツ収縮して、外周は変わらないので
外周/ものさし、ものさしをあてる回数は大きくなります。
この回数が外周長なら(お考えの外周長に別の定義はありますか)たしかに外周長は長くなります。レンガでは314+1=315でした。

 ものさしがローレンツ収縮するから外周長は長くなる。
 
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率89 相対論初心者 2017/01/18 (水) 12:29:48 [Go]
甘泉法師さま

うーん、私は騙されているような・・・・・。
もう一度書かせて頂きますが、外周長に1cm、2cm、3cm・・・・・・と順番に
目盛りが刻み込まれたメジャーを外周長にそって貼り付けて円盤を回転させた場合
ローレンツ収縮しますが、外周長は長くなる。
メジャーには隙間が出来るはずでがその隙間のところの目盛りはどのように刻まれているのでしょうか?
数字が飛んでいる??

目盛りの数字がどのようになっているとか、現実的にはおかしな話ですが
相対論効果を説明する上では、ものさしの目盛りが縮んで間隔が狭くなるという
イメージは使われるかと思います。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率88 甘泉法師 2017/01/18 (水) 11:55:54 [Go]
こんにちは。

>>85 続

>目盛りと同時に観測者も縮んでいると思われます。

長さの単位フィート(単数形でフット)はその名のとおり王様の足のサイズから決めたと聞いていますが
回転系の王様が径方向に向くのと周方向に向くのとで、慣性系からみると足の長さはサイズが30から29になるとかかわるでしょう。
でも王様にとっては向きをかえても別に靴がゆるくなったりきつくなったはしないし自分の足を基準に使い続けるでしょう。

右足のつま先のところに間をおかず左足のかかとをおくような、まるで綱渡りでもしているように王様自らがそろそろとすあるいて円周が何フィートであるか
計ると回転前で314歩だったのが1歩ふえて315歩になります。 王様は領地が増えて喜んだことでしょう。
ただし国境の国土や国境につくっていた壁はところどころ引き裂かれて人が落ちたり敵の侵入をゆるしたりするので新しい資材で裂け目をふさぐのに出費がかさんだでしょう。
もし将来天変地異で回転がとまることがあれば今度はふさいだ壁はものが詰まりすぎたようになり応力でまたまた壁がこわれるでしょう。

>強いて言えば外周長も。

外周はかわりません。もしかわるなら国際紛争になってしまいます。
国基準のものさしが外周に何個あてられるか、という意味の外周長はものさしが違うので円内国(315)と円外国(314、慣性系。)でかわっても一向にかまいません。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率87 kafuka 2017/01/18 (水) 11:48:38 [Go]
>>66 大学生Aさん
> >>29の「煉瓦の例題」は、接着剤の強度が煉瓦自身の強度に対し、
> はるかに劣る場合にのみ成り立つ例です。
> 逆に、接着剤の強度がはるかに優れば、煉瓦の方が伸びるか壊れます。
煉瓦と接着剤が両方共、完全剛体なら、>>29は、成り立たないという意味ですか?
相対論では、完全剛体は存在しないので、煉瓦と接着剤が両方共 伸びると思いますが。

> 一周回した先端と後尾を接着すれば、ローレンツ収縮しません。
円じゃなく正方形の辺上に稠密に置かれた多数の系が、一定の速さで周回する場合では、
ローレンツ収縮と「慣性系の乗り換え」が起きると思います。
円の辺上に稠密に置かれた多数の系でも同様では?
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率86 ひゃま 2017/01/18 (水) 09:41:34 [Go]
>>85 こんにちは

ほう、隙間ができるんですか?
出典お願いします
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率85 甘泉法師 2017/01/18 (水) 11:12:39 [Go]
こんにちは。

>>82 ローレンツ収縮によって出来た隙間の部分の目盛りはどのようになっているのでしょうか?

先のレンガはものさしと同じです。 回転でできる隙間にあてるものさしとして新しく315個目が要るのでした。 できた隙間の部分に目盛りをあてるためもう1個レンガが要ります。
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率84 ひゃま 2017/01/18 (水) 04:32:28 [Go]
絶対基準が無い場合の考え方だけど、

どちらが収縮してどちらが膨張するのかは表現の問題で、
分かりやすいのは、外力によってどうなるかで見分けると見通しがよい

円盤の回転は、静止状態から外力を加えて回転させて何が変化しないで何が変化したかでしょ

同様のケースとして宇宙膨張も同じことが言えるのだけど、この場合は外力が明確にできないので観測者の最大固有時で宇宙年齢は138億年とかという表現になるだけね
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率83 hirota 2017/01/18 (水) 03:54:46 [Go]
>>75の回転系の計量は $-2r^2\omega(dt)(d\theta')$ という非対角項があるので、これを時間に吸収して
<tex>(ds)^2=(1-r^2\omega^2)\!\!\left(\!dt-\frac{r^2\omega}{1-r^2\omega^2}d\theta'\right)^{\!\!2}\!-(dr)^2-\frac{r^2}{1-r^2\omega^2}(d\theta')^2</tex>
とし、さらに $dr$ と $d\theta'$ の非等方性を修正するために
<tex>r'=\frac{1-\sqrt{1-r^2\omega^2}}{r}\exp\!\left(\frac{r^2\omega^2}{1-\sqrt{1-r^2\omega^2}}\right)</tex>
の変数変換をすれば
計量は
<tex>(ds)^2=(1-r^2\omega^2)\!\!\left(\!dt-\frac{r^2\omega}{1-r^2\omega^2}d\theta'\right)^{\!\!2}\!-\frac{r^2(1+\sqrt{1-r^2\omega^2})}{\omega^2(1-r^2\omega^2)(1-\sqrt{1-r^2\omega^2})}\exp\!\left(-\frac{2r^2\omega^2}{1-\sqrt{1-r^2\omega^2}}\right)\!\!\Bigl((dr')^2+(r'd\theta')^2\Bigr)</tex>
となる。
この空間部分は周辺部で光速に近づくにつれて無限に発散する負曲率空間である。
[研究発表会場] 原点が任意の運動をしている変形しない準拠系5 coJJyMAN 2017/01/18 (水) 03:05:59 [Go]
回転座標系で標準物差しを使って測る空間方向の距離は
<tex>d\sigma^2=dr^2+\frac{r^2 d\theta^2}{1-r^2\omega^2/c^2}\tag{24}</tex>
のように求めることができた.
確かに円周率は $\pi$ より大きい結果は出たものの,何か迂回路を通っているようで,正直不安が残る。
どういうことかというと,「物差し」については確かにそうだが,そのとき回転座標系の1点にいる観測者から見て,当の「円板」はどのような状態に見えているのだろうか?
これが全く想像できない。

それに,回転座標系というのは,慣性系で静止している座標軸を変数変換して作ったもののように見えるので,もしかしたらこれは「回転している円板が静止して見える座標系」なのではなくて,「静止している円板を回転している観測者が見た時の座標系」なのではないかと思えてしまう。

      (以下6行の表示を省略しています)
[研究発表会場] 原点が任意の運動をしている変形しない準拠系4 coJJyMAN 2017/01/18 (水) 03:04:02 [Go]
慣性系  $X^\mu=(cT,X,Y,Z)$ と回転座標系  $x^\mu=(ct,r,\theta,z)$  について
<tex>dx^\mu=\frac{\partial x^\mu}{\partial X^\nu} dX^\nu=A^\mu_\nu dX^\nu\tag{10}</tex>

<tex>dX^\mu=\frac{\partial X^\mu}{\partial x^\nu} dx^\nu=\hat{A}^\mu_\nu dx^\nu\tag{11}</tex>

という $A$ と $\hat{A}$  を定義すれば,計量テンソルは
<tex>g_{\mu\nu}=G_{\rho\sigma}\hat{A}_\mu^\rho\hat{A}_\nu^\sigma\tag{12}</tex>
である.ここで $G$  は $G_{00}=-1,G_{11}=G_{22}=G_{33}=1$  で,それ以外の成分は $0$  である.

      (以下52行の表示を省略しています)
[質問コーナー] ボルンの回転円盤の円周率82 相対論初心者 2017/01/18 (水) 02:17:23 [Go]
興味深く拝見しております。
今一度、当初の疑問の回答を甘泉法師さまに求めたいのですが、ローレンツ収縮に
よって出来た隙間の部分の目盛りはどのようになっているのでしょうか?

>>慣性系→回転系 「きみは円周方向に目盛りの縮んだへんなものさしをつかっている。半径方向はよい。だから円周/半径>πなんぞとへんな結果がでるのだ。」

目盛りと同時に観測者も縮んでいると思われます。
強いて言えば外周長も。