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任意の電流分布(2)
6   coJJyMAN - 2016/12/08(木) 22:52:35

平面上のフーリエ変換を使って考えます。
<tex>f(x,y):&\\F(u,v)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{i(ux+vy)}dxdy,\\f(x,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(u,v)e^{-i(ux+vy)}dudv</tex>

 $u=s,v=as$ 
 $dudv=|J|dsda$ 
<tex>J=\begin{pmatrix}\pdif{u}{s} & \pdif{u}{a}\\  \pdif{v}{s}& \pdif{v}{a}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 0\\ a & s\end{pmatrix}=s</tex>
 $\therefore  dudv=|s|dsda$ 

<tex>F'(a,x,y):&\\f(x,y)&=\int_{-\infty}^{\infty}F'(a,x,y)da \\F'(a,x,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}ds</tex>

 $\Vec{V}=(\pdif{F'}{x},\pdif{F'}{y})=(-isF',-isaF')$ 
 $\Vec{V}_0=(s,as)=(u,v)$ 
 $\Vec{U}=(\pdif{F'}{y},-\pdif{F'}{x})=(-isaF',isF')$ 
 $\Vec{U}_0=(-a,1)$ 
 $\Vec{U}_0\cdot\Vec{V}_0=0$ 

 $\Vec{x}=(x,y)$ 
 $\Vec{x}'=\Vec{x}+\Vec{U}_{0}t$ 

<tex>F'(a,\Vec{x}')&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x-at+ay-at)}ds \\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}ds =F'(a,\Vec{x})</tex>

 $\Vec{U}(a,\Vec{x}+\Vec{U}_{0}t)=\Vec{U}(a,\Vec{x})$ 

以上です。

 $\Vec{U}(a,x,y)$ が平行な無限直線電流の集まりなので
<tex>\Vec{u}(x,y)=\left(\pdif{f}{y},-\pdif{f}{x}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{\Vec{U}(a,x,y)da}</tex>
は、平行な無限直線電流の集まりの重ね合わせです。