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任意の電流分布(2)
56   coJJyMAN - 2016/12/19(月) 23:57:18

>>53の続き(長文)
 ${\rm div}\Vec{i}=0$ である $\Vec{i}$ があるとき、
 $\Vec{j}={\rm rot}\Vec{i}$ を定義すれば、 ${\rm div}\Vec{j}=0$ であり、また
 $\Vec{k}={\rm rot}\Vec{j}$ を定義すれば、 ${\rm div}\Vec{k}=0$ です。
このとき、
 $\Vec{k}={\rm rot}\Vec{j}={\rm rot rot}\Vec{i}=-\nabla^2\Vec{i}+\nabla{\rm div}\Vec{i}=-\nabla^2\Vec{i}$ 
すなわち<tex>\nabla^2\Vec{i}=-\Vec{k}\tag{1}</tex>
ですが、
この方程式の解は
<tex>\Vec{i}(\Vec{r}_1)=\frac{1}{4\pi}\int{dV_2}\frac{\Vec{k}(\Vec{r}_2)}{r_{12}}\tag{2}</tex>
です。

さてここで、 $div\Vec{k}=0$ であるベクトル場を3次元空間でフーリエ変換して、例えば
<tex>\Vec{k}(\Vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\iiint \Vec{K}(\Vec{u})e^{i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}d^3\Vec{u} \tag{3}</tex>
<tex>\Vec{K}(\Vec{u})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\iiint  \Vec{k}(\Vec{x})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}d^3\Vec{x}\tag{4}</tex>
としたときに、
ベクトル場のある波数の成分
<tex> \Vec{K}(\Vec{u})e^{i\Vec{u}\cdot \Vec{x}} </tex>
は、波数ベクトル $\Vec{u}$ に垂直な面内である一定の方向を持ったベクトル場を表しています。

このように考えると、あらゆる点で発散がゼロとなるベクトル場は、
無数の向きづけられた無限平面のベクトル場の集合で表されていると想像できます。

とするなら、(2)式で得られる、同じくあらゆる点で発散がゼロとなるベクトル場 $\Vec{i}$ について、
空間のある点 $\Vec{r}=(x,y,z)$ から、ある方向 $\Vec{l}=(l,n,m)$ に無限に伸びる直線を想像したときに、
その直線に沿った
<tex>\Vec{I}(\Vec{r}_1,\Vec{l})=\int_{l}{ds}\frac{\Vec{k}(\Vec{r}_2)}{r_{12}}\tag{2}</tex>
の積分は
 $\Vec{k}$ に含まれる無数の平面のうち、 $\Vec{l}$ に平行な平面しか積分に寄与しません。(はずです)
しかも、 $\Vec{k}$ の中の1つの平面のベクトル場はいたるところ(すべての $\Vec{r}_2$ )で等しい値なので、
直線に沿って積分したときには、 $\Vec{I}$ に関してはあらゆる場所(すべての $\Vec{r}_1$ )で等しい寄与をします。(はずです。)

以上の2点が正しければ、 ${\rm div}\Vec{i}=0$ である $\Vec{i}$ があるときは、
そのベクトル場は無限直線ベクトルの重ね合わせとして表現することが可能であると言えます。
(けっこういいんじゃないすかね?)