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任意の電流分布(2)
5   coJJyMAN - 2016/12/06(火) 22:35:09

平面上で定義されるスカラー $H$ とベクトル ${\bf i}$ は、
具体的に $(x,y)$ 座標軸をおくことによって
 $H=H(x,y)$ や ${\bf i}={\bf i}(i(x,y),j(x,y))$ という値を持ちます。  

初めに置いた $(x,y)$ 座標系で、 $H$ について
<tex>H_{0}(x,y)=\lim_{L\rightarrow \infty}\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}{H(s,y)}ds</tex>
を計算します。
これは $H$ に関して、それぞれの $y$ について、 $x$ 方向の平均値で置き換えたものです。
それで、 $H'=H-H_0$ と定義すれば、
 $H$ を $H=H_0+H'$ に分解したということになり、 ${\bf i}$ についても
 $\frac{\partial H}{\partial y}=i$  や  $-\frac{\partial H}{\partial x}=j$ を思い出せば
 $\frac{\partial H_0}{\partial y}=i_0$  と  $-\frac{\partial H_0}{\partial x}=j_0=0$ から得られる ${\bf i}_0={\bf i}_0(i_0,0)$ を使って
 ${\bf i}={\bf i}_0+{\bf i}'$ に分解されます。
ここに出てきた ${\bf i}_0$ は
 $\frac{\partial H_0}{\partial y}=i_0$ が $x$ 方向には値が変化していませんから、それぞれの $y$ の場所に独立した、
 $x$ 方向の無限直線電流が集まったベクトル場と見なすことができます。(かな?)

次に考えるのは $H$ から $H_0$ を取り去り、 $H'$ だけ残っているとします。
当然 ${\bf i}$ も ${\bf i}'$ だけが残ります。
そこで、座標系を回転させます。(180°じゃなくて、たとえば1radとか)
そして、その新しい座標系 $(x',y')$ で、また同じように
<tex>H_{1}(x',y')=\lim_{L\rightarrow \infty}\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}{H'(s',y')}ds'</tex>
を計算します。
すると、今度も  $H'=H_1+H''$ 
と分解されて、 ${\bf i}'$ も  ${\bf i}'={\bf i}_1+{\bf i}''$ のように分解されます。
この $H_1$ から得られる ${\bf i}_1$ は、 $(x',y')$ 座標系で、無限直線電流が集まったベクトル場と見なすことができます。(ほんとかな?)

このように、次々に $H$ を分解していった時、つまり $H=H_0+H_1+H_2...$ とした時、
 $n$ が無限大の極限で $H_n$ がゼロになるのなら、 ${\bf i}_n$ も無限大の極限でゼロであると言うことができます。この時には ${\bf i}$ は完全に分解されています。

以上のことから、上手に座標系を変えながらという条件付きで、
 $\frac{\partial H}{\partial y}=i$  や  $-\frac{\partial H}{\partial x}=j$ の性質を持つ任意のベクトル場 ${\bf i}={\bf i}(i(x,y),j(x,y))$ は、 
あらゆる方向を向いた無限直線電流が集まったベクトル場の重ね合わせで再現することが可能であることがわかりました。
(ん〜、なんかイマイチぱっとしませんね)