次の記事を修正します。 投稿時に入力した暗証キーを入力して下さい。


任意の電流分布(2)
1   coJJyMAN - 2016/12/06(火) 04:40:24

定常電流と静磁場だけがあるとき、
『任意の電流分布は無限に長い直線電流を適当な向きと大きさで重ね合わせれば実現できる』のか?
という問題を考えていきたいと思います。

 ${\bf \nabla}\cdot{\bf H}=0$ である ${\bf H}=(F,G,H)$ と
 ${\bf \nabla}\cdot{\bf i}=0$ である ${\bf i}=(i,j,k)$ があって、それらの間に
 ${\bf \nabla}\times{\bf H}={\bf i}$ の関係があるとします。

 ${\bf H}$ について
 ${\bf H}_1=(F,0,0),{\bf H}_2=(0,G,0),{\bf H}_3=(0,0,H)$ 
と定義すれば
 ${\bf H}={\bf H}_1+{\bf H}_2+{\bf H}_3$ 
であり
 ${\bf i}_1={\bf \nabla}\times{\bf H}_1,{\bf i}_2={\bf \nabla}\times{\bf H}_2,{\bf i}_3={\bf \nabla}\times{\bf H}_3$ 
とすれば
 ${\bf i}={\bf i}_1+{\bf i}_2+{\bf i}_3$ 
となります。

3つの関係式のうちの1つ、たとえば ${\bf i}_3={\bf \nabla}\times{\bf H}_3$ で一般に成り立つことは他の二つでも同様に成り立つので、
以降は ${\bf i}_3={\bf \nabla}\times{\bf H}_3$ だけを考えていきます。
ついでに記号も書き直します。

 ${\bf H}=(0,0,H)$ と ${\bf i}=(i,j,0)$ があり、それらの間に ${\bf \nabla}\times{\bf H}={\bf i}$ の関係がある状態を考えます。
この場合、 ${\bf \nabla}\times{\bf H}={\bf i}$ の演算は
 $\frac{\partial H}{\partial y}=i$ と $-\frac{\partial H}{\partial x}=j$ 
であり、z方向は無関係になるので、
 $z=c$ の任意の平面に存在する
 $\frac{\partial H(x,y,c)}{\partial y}=i(x,y,c)$ と $-\frac{\partial H(x,y,c)}{\partial x}=j(x,y,c)$ 
を考えているということになります。

これは要するに、ある平面でスカラー場 $H(x,y)$ とベクトル場 ${\bf i}=(i,j)$ が定義されており、それらの間に
 $\frac{\partial H(x,y)}{\partial y}=i(x,y)$ と $-\frac{\partial H(x,y)}{\partial x}=j(x,y)$ 
の関係があったとき、何が言えるかと考えればよいということです。

もともとは3次元の問題ですが、2次元の問題に落とします。