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箱の中の粒子がディラック粒子の場合
1   kafuka - 2016/09/13(火) 19:17:22

「箱の中の粒子」は、Follmyの頃を入れると、10年以上もめましたが、
電子で考えると、Final Anserが、問題を起こすことに気づきました。
論点を明確にするため、Final Anserを復習すると、
>一般に $\braket{\psi |q|\psi}$ は、qがエルミート演算子であれば、ある対角行列をAとして
 $q\ket{\psi}=UAU^{-1}\ket{\psi}=\ket{\psi'}$ 
なので、
 $q\ket{\psi}$ は、必ずヒルベルト空間の状態ベクトルになり、
 $\braket{\psi |q|\psi}=\braket{\psi|\psi'}$ と書ける。

関数空間で考えると、 $\braket{x|\psi}$ と $\braket{x|\psi'}$ も
同じ性質の空間でないといけない。
で、この関数空間の元は、定義域の端で0か、限りなく0である。
しかるに、「箱の中の粒子」の $P_x \psi'(x)=a \cos(kx)$ は、定義域の端で値aになる。

∴ 「箱の中の粒子」の運動量演算子 $P_x$ は、自己共役ではない。
(エルミート演算子ではあるが、同じ性質の空間にMapしない)
したがって、この場合の $P_x$ から導出される値は、意味を持たない。

しかし、この場合の全エネルギーを表すハミルトニアン:
 $1/2m\ P^2$ の場合は、定義域の端で0になるので、自己共役であり、
何ら問題はない!

電子の場合、何が問題かというと、相対論的場の理論では、ハミルトニアンは、
位置での微分が1次なので、運動量演算子同様、自己共役ではなく、
これから導出される値(全エネルギー)は、意味を持たないのではないか?
というものです。