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趣味で相対論
18   宇宙な人 - 2014/09/22(月) 21:03:38

>>11
不識庵さん丁寧なご説明ありがとうございます。

私はベクトルが1メートルくらいの、その長さによる曲がりが無視出来るくらいの短いベクトルを考えていましたが、
地球上に5000キロメートルくらいの長いベクトルを貼付けると、確かにベクトル自体が既に地球の表面で曲がりますね。
だから接平面という概念が出てくるのだと思います。

>>円C上で接平面は殆ど変りませんから、最終的にはベクトルBは殆ど真南を向くのではないでしょうか?

ここで整理しますと、座標の曲がり具合は、同一ベクトルをある座標で平行移動させた時、
別の座標ではそのベクトル成分がどのように変化するかということが座標の歪みを表現していると思います。
つまり例えば正規直行座標と比較して、地球平面の歪みを考える場合には、
地球平行上に座標を決定しないといけないと思います。

不識庵さんの地球平面上の座標と、私の地球平面上の座標は、異なっている様に感じます。

私は地球の平面上の座標は、例えば赤道がX軸、例えば東経ゼロ度の線がY軸の座標になっている緯度線と経度線に従った座標を考えたのですが。
つまりBベクトルの円C上の移動はベクトルBの始点のX軸方向への(つまりベクトル始点の位置のXの値だけ変化し、Yの値は変化しない。)
単純な移動なので最終的に北向きとなって、BはAに重なると考えたのですが。

この様な経線も緯度線を無視して、地球をただの球体として考えるということでしょうか?

座標の格子を地球に書く場合はどうでしょうか。
例えば緯度線は赤道X軸に平行な輪なのでそのままにして、
南北方向も緯度線と同様に、平行な輪を描く線を引いて格子を書く場合です。
この場合例えば北極点と南極点を通る輪をY軸としますと、
(地球の経線は正規直行座標から見ると、平行ではなく、北極点・南極点に行くにしたがって幅が狭くなります。)
この場合は北極点・南極点近くの座標格子が地球の経線緯度線で囲まれる様な、ほぼ三角形とはならず、
地球上のX・Yの値が少ない所は座標格子がほぼ四角形、値が大きくとなる座標格子が長細い四角形の様な格子座標となります。
(この地球上のほぼ四角の様な格子で埋める座標を考えた場合、赤道より上の位置の値をプラス、下の値をマイナスとし、
例えば東経ゼロの線より向かって右をプラス、左をマイナスとした場合でも、特定の(X、Y)の値が存在しても、この値は地球上の1点ではなく2点を示してしまいます。
この様なことがあって、緯度線はただの平行な輪切りの線に対して、経度線はスイカの輪切りの様な線になったのだと思いますが。)

この地球の全面で四角形の様になる格子の座標の場合は不識庵さんのおっしゃる通り、
円Cでの移動はほぼ南向きになるかもしれません。
(この場合北極周囲の周回で反対側までは行かないとする。)

また地球の半径をどこも同一として地球の中心(マントル)を原点にして、
極座標のような座標を考えれば一番すっきりするかもしれません。
地球の中心から赤道の東経ゼロへの方向を角度ゼロとしてθをゼロから2πまでにします。
そして地球の中心から南極の方向を角度ゼロとしてφを南極から北極まで角度がゼロからπまでにします。
この様な極座標ならすっきりとした座標が求まります。

極座標を使った場合、ベクトルAは赤道で真北に向いているので、その成分は(0.φ)とすると
この座標で北極点付近まで北上しても(0.φ)です。
またBの経路でもこの座標で成分(0.φ)のまま移動すると、Bベクトルは最終的にAベクトルと重なると思うのですが。

つまりその座標においてベクトルの成分が変わらない移動こそが平行移動だと思うのですが。
勿論この移動を正規直行座標から見れば当然ベクトル成分は変わっていきます。

とにかく座標を決めないと曲率は求まらないと思いますが。

平面上の曲率はゼロではありません。
平面上にぐにゃぐにゃと曲がった座標を描けば、正規直行座標と比較して曲率も変わってくると思います。
球面でも座標を決めない限り、曲率の決めようがないと思いますが。
球面上の測地線に沿う線の曲率のことを言われているのでしょうか?


>>(3) 上記平行移動させたベクトルをC2における接平面上に投影する。

ここが良く分かりません。
投影するのは、正規直行座標ではないでしょうか?

>>13
下敷きを地面に固定して地球儀を経路に沿って転がすイメージだと思います。
この場合滑らせない限り、転がった瞬間に、下敷きのベクトルの始点と地球上の経路は離れてしまうと思いますが。