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趣味で相対論
128   KM - 2017/06/24(土) 01:34:34

<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma,\ \gamma \frac{v_x}{c},\ \gamma \frac{v_y}{c},\ \gamma \frac{v_z}{c})</tex>の場合は $T^{\mu \nu} = \rho c^2 \left(\begin{array}{cccc}u^0u^0 & u^0u^1 & u^0u^2 & u^0u^3\\u^1u^0 & u^1u^1 & u^1u^2 & u^1u^3\\u^2u^0 & u^2u^1 & u^2u^2 & u^2u^3\\u^3u^0 & u^3u^1 & u^3u^2 & u^3u^3\end{array}\right)$ 

<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma c,\ \gamma v_x,\ \gamma v_y,\ \gamma v_z)</tex> の場合は<tex>T^{\mu \nu} = \rho \left(\begin{array}{cccc}u^0u^0 & u^0u^1 & u^0u^2 & u^0u^3\\u^1u^0 & u^1u^1 & u^1u^2 & u^1u^3\\u^2u^0 & u^2u^1 & u^2u^2 & u^2u^3\\u^3u^0 & u^3u^1 & u^3u^2 & u^3u^3\end{array}\right)</tex>として。

>>124 やっぱり「エネルギー運動量テンソル」は気楽なもんじゃなかった(以下計算メモより)

<tex>\left\{ \begin{array}{cl}u^0 = \gamma \\[12pt]u^1 = \gamma \displaystyle \frac{v_x}{c}\end{array}\right.</tex> の場合 (1)

<tex>u^0 u^0 \rho c^2 = \gamma^2 \rho c^2 = \varepsilon\\u^0 u^1 \rho c^2 = \gamma^2 \frac{v_x}{c} \rho c^2=\gamma^2 \rho v_x c=c \pi_x</tex> ← よく見ると $\pi_x$  じゃないし・・・

<tex>\left\{ \begin{array}{cl}u^0 = \gamma c\\[12pt]u^1 = \gamma v_x\end{array}\right.</tex> の場合(2)

<tex>u^0 u^0 \rho= \gamma^2 \rho c^2 = \varepsilon\\u^0 u^1 \rho = \gamma^2 c v_x \rho = \gamma^2 \rho v_x c = c \pi_x</tex>← 同上。

<tex>u^1 = \gamma \displaystyle \frac{v_x}{c}</tex> の場合(1)'
<tex>\rho c^2 u^1 u^1 = \rho c^2 \gamma^2 \left( \frac{v_x}{c} \right)^2 = \rho \gamma^2 (v_x)^2</tex> ←せっかく $c^2$ があったのに $c^2$ が消えてまう・・・何故(?)

<tex>u^1 = \gamma v_x</tex> の場合(2)'
<tex>\rho u^1 u^1 = \rho \gamma^2 (v_x)^2</tex> ←同上。

以上、計算間違いがないなら、いままでの考察( >>121 以降)、 および、(1), (1)', (2), (2)' から <tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma,\ \gamma \frac{v_x}{c},\ \gamma \frac{v_y}{c},\ \gamma \frac{v_z}{c})</tex> であっても<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma c,\ \gamma v_x,\ \gamma v_y,\ \gamma v_z)</tex> であっても下記「エネルギー運動量テンソル」が導かれると思う(ただし、なんとなく(汗;;

 $T^{\mu \nu} = \left(\begin{array}{cccc}\varepsilon & c\pi_x \ & c\pi_{y} & c\pi_{z}\\c\pi_x & \rho c^2 u^1u^1 & \rho c^2 u^1u^2 & \rho c^2 u^1u^3\\c\pi_{y} & \rho c^2 u^2u^1 & \rho c^2 u^2u^2 & \rho c^2 u^2u^3\\c\pi_{z} & \rho c^2 u^3u^1 & \rho c^2 u^3u^2 & \rho c^2 u^3u^3\end{array}\right)$ 

要点は、

1. 右下の9成分が応力テンソルであることを、いずれ、アインシュタイン方程式の右辺を理解する時に思い出さなければならないだろうこと。

2. 「エネルギー運動量テンソル」の第0、1行目が、応力テンソル(9成分)と絡みながら、 $\partial_{\nu} T^{\mu \nu}=0$  すなわちエネルギーおよび運動量の保存を担保している意味をもアインシュタイン方程式の右辺を理解する時、必ず思い出しその意味を理解しなければならないということだと思います。「エネルギー運動量テンソル」は(EMAN さんのいう情報量すかすかのメモ帳とはいえ)深くて面白く巧妙なテンソルだと思いました(汗;;
長文失礼しました。あ〜疲れた。