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趣味で相対論
121   KM - 2017/06/21(水) 01:14:31

話は変わりますが、
ミンコフスキー時空において、
縦軸を $ct$ とすると横軸は $x$  ( $ct$ と $x$ の次元は長さ)その場合、
(c× 固有時間)の二乗= $(\D c\tau )^2 = (\D ct)^2-(\D x^2 + \D y^2 + \D z^2)$ 
縦軸を $t$ とすると横軸は <tex>x / c</tex><tex>t</tex><tex>x / c</tex>の次元は時間)その場合、
(固有時間)の二乗= $=(\D \tau )^2 = (\D t)^2-(1/c^2) (\D x^2 + \D y^2 + \D z^2)$ になるんじゃないかと思うんですが、ここまでは間違いないでしょうか?

したがって、4元速度の成分は、

<tex>u^0=\frac{\D ct}{\D \tau}=\frac{c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\u^1=\frac{\D x}{\D \tau}=\frac{\D x}{\D t} \frac{\D t}{\D \tau}=\frac{v_x}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\u^2=\frac{v_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\u^3=\frac{v_z}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\</tex>

<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma c,\ \gamma v_x,\ \gamma v_y,\  \gamma v_z)</tex>

になるんじゃないかと思うんですが、ここまでは間違いないでしょうか?

そうすると「エネルギー運動量テンソル」は、

 $T^{\mu \nu} = \rho c^2 \left(\begin{array}{cccc}u^0u^0 & u^0u^1 & u^0u^2 & u^0u^3\\u^1u^0 & u^1u^1 & u^1u^2 & u^1u^3\\u^2u^0 & u^2u^1 & u^2u^2 & u^2u^3\\u^3u^0 & u^3u^1 & u^3u^2 & u^3u^3\end{array}\right)$ 

ではなくて、

 $T^{\mu \nu} = \rho c \left(\begin{array}{cccc}u^0u^0 & u^0u^1 & u^0u^2 & u^0u^3\\u^1u^0 & u^1u^1 & u^1u^2 & u^1u^3\\u^2u^0 & u^2u^1 & u^2u^2 & u^2u^3\\u^3u^0 & u^3u^1 & u^3u^2 & u^3u^3\end{array}\right)$ 

になるんじゃないかと思うのですが、いかがでしょうか?

【追加】

分かりにくかったかと思うので追加します。EMAN さんの流儀は、
<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma,\ \gamma \frac{v_x}{c},\ \gamma \frac{v_y}{c},\ \gamma \frac{v_z}{c})</tex>
(趣味で相対論 P.35)

私が見た教科書『中野薫夫著 相対性理論 P.131』は、
<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma c,\ \gamma v_x,\ \gamma v_y,\  \gamma v_z)</tex>
要は、その違いにこだわったということだけです。