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任意の電流分布(2)
24   甘泉法師 - 2016/12/09(金) 22:45:35

こんにちは。

点 $(x_0,y_0,z_0)$ を通り方向が $a\mathbf{e_x}+b\mathbf{e_y}+c\mathbf{e_y},a^2+b^2+c^2=1,a>0$ の直線上にあって直線と同じ向きの定数ベクトル

<tex>\mathbf{v}(x_0,y_0,z_0,a,b,c)=(a\mathbf{e_x}+b\mathbf{e_y}+c\mathbf{e_y})\ \int du \delta(\frac{x-x_0}{a}-u)\delta(\frac{y-y_0}{b}-u)\delta(\frac{z-z_0}{c}-u)</tex> 

を基底として、任意に与えられた定常ベクトルの分布 $\mathbf{i}(x,y,z)$  との内積

<tex>f(\mathbf{v})=\int dx \int dy \int dz \ \mathbf{i}\cdot\mathbf{v}</tex> とかをつかって

<tex>\mathbf{i}=\int dx_0 \int dy_0 \int dz_0\int da \int db \int dc\  f(\mathbf{v})\ \mathbf{v}</tex> 

とか展開してうまくあらわせるだろうか?

ベクトルは電流に限らずなんでもよくて物理でなく数学の問題 

という設問と思ったのですが...大間違いだったでしょうか。


PS  12/11
よりきちんと整理すると
=========================
問 発散のない任意のベクトル場 $\mathbf{i}$ , $\nabla\cdot\mathbf{i}=0$  を、 
原点からもっとも近い点が $(x_0,y_0,z_0)$ で傾きが極座標で $\theta_0,\phi_0$ の直線上で
直線と同じ向きのベクトルを空間と向きの立体角の積分によって導く(直線上以外ではゼロを導く)直線ベクトル密度
<tex>\mathbf{v}(x,y,z,\theta,\phi;x_0,y_0,z_0,\theta_0,\phi_0)=(cos\theta_0\ \mathbf{e_x}+sin\theta_0 cos\phi_0\ \mathbf{e_y}+sin\theta_0 sin\phi_0\ \mathbf{e_z})\ \delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)\int du\  \delta(x-x_0-u\ cos\theta_0)\delta(y-y_0-u\ sin\theta_0 cos\phi_0)\delta(z-z_0-u\ sin\theta_0 sin\phi_0) \delta(x_0\ cos\theta_0+y_0sin\theta_0\ cos\phi_0 + z_0 sin\theta_0 sin\phi_0)</tex>
を使って、
<tex>\mathbf{i}=\int dx_0 \int dy_0 \int dz_0 \int_0^{\pi/2} \frac{sin\theta_0\ d\theta_0}{2\pi} \int_0^{2\pi}d\phi_0 \ f(x_0,y_0,z_0,\theta_0,\phi_0) \mathbf{v}(x,y,z,\theta,\phi;x_0,y_0,z_0,\theta_0,\phi_0)</tex>
と展開できるか考察せよ。