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趣味で相対論
8   宇宙な人 - 2014/09/19(金) 17:46:24

趣味で相対論の初版186ページの
5・6のリーマン曲率について質問です。

地球の表面でのベクトルの平行移動の説明はとてもわかりやすいです。

赤道で北を向いたベクトルA。
Aを赤道に沿って平行移動して地球の反対側に移動した北向きのベクトルB。
ベクトルAとベクトルBを北極に向けて平行移動したら、
北極点では確かに正反対を向いたベクトルになります。

しかしこれは北極点では緯度線が消失していることによるものではないでしょうか?

赤道をX軸、東経ゼロの線をY軸とします。
つまり経度の変化をX、緯度の変化をYで表すと、
北極点ではXの概念がなくなってしまっています。

よって例えば北極点を中心にして半径1メートルの円を考えます。
これを円Cとします。
ベクトルAは北極点まで平行移動せず、北極点近くの円Cまで移動したとします。
ベクトルBは地球の反対側に行った後、北極点近くまで平行移動しますが、ここで円Cまで移動して止まったとします。
ここでベクトルBはCの円上を平行移動して、地球の反対まで移動したとします。

そうするとベクトルBはベクトルAと重なってしまいます。

地球という曲がった面を平行移動したにも関わらず、緯度線がなくならない限り、重なってしまうのです。

北極点と南極点以外の地球上のどこをどの様に平行移動させようと、
1周して戻ってくると元のベクトルに重なります。

つまりベクトルの方向がずれるのは、北極点と南極点で緯度線がなくなる、
つまりX成分が消失することによってベクトルの方向がずれるのではないでしょうか?

少なくとも地球上の面では、リーマン曲率は平面の歪みを表してないと思うのですが、どうでしょうか?