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趣味で相対論
52   hirota - 2017/02/25(土) 23:36:34

水星の近日点移動・別計算

http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/150531002be60340/res68
の運動方程式
<tex>\ddot{\Vec{r}}=\!\left(\!\!-\Vec{r}\biggl(\!\frac{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}+\frac{|\dot{\Vec{r}}|^2}{c^2}\biggr)\!+\dot{\Vec{r}}\frac{2{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}}{c^2}\biggl(\!1+\frac{1}{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}\biggr)\!\!\right)\!\!\frac{GM/r^3}{1+\frac{GM}{2\,c^2r}}</tex>  ( ${}^{T\!}\!\Vec{r}$ は $\Vec{r}$ の転置 )
を近似して
<tex>\ddot{\Vec{r}}=-\frac{GM}{r^3}\Vec{r}+\frac{GM}{c^2r^3}\!\!\left(\!\Vec{r}\Bigl(\frac{4GM}{r}-|\dot{\Vec{r}}|^2\Bigr)\!+4\dot{\Vec{r}}{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}\!\right)</tex>
とする。
右辺第一項はNewton重力で、これだけならKepler法則通りの楕円軌道になるが第二項によってKepler運動からずれることになる。
離心率ベクトル $\Vec{e}$ (ベクトルの大きさが楕円の離心率でベクトル方向が近日点のベクトル)と $\Vec{r},\dot{\Vec{r}}$ の関係は
<tex>\Vec{e}=\frac{\dot{\Vec{r}}\times(\Vec{r}\times\dot{\Vec{r}})}{GM}-\frac{\Vec{r}}{r}=\frac{\Vec{r}|\dot{\Vec{r}}|^2-\dot{\Vec{r}}{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}}{GM}-\frac{\Vec{r}}{r}</tex>
だから、 $\dot{\Vec{r}}$ がKepler運動からずらす加速度
<tex>\Delta\ddot{\Vec{r}}=\frac{GM}{c^2r^3}\!\!\left(\!\Vec{r}\Bigl(\frac{4GM}{r}-|\dot{\Vec{r}}|^2\Bigr)\!+4\dot{\Vec{r}}{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}\!\right)</tex>
で変化すると $\Vec{e}$ の変化率は
<tex>\dot{\Vec{e}}=\frac{2\Vec{r}{}^{T\!\!}\dot{\Vec{r}}-{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}-\dot{\Vec{r}}{}^{T\!}\!\Vec{r}}{GM}\Delta\ddot{\Vec{r}}</tex>
となる。
ここから急に雑になるけど、離心率ベクトル方向をx軸にして $\Vec{r},\dot{\Vec{r}}$ を $e$ の一次近似で表わすと
<tex>\Vec{r}&=a\!\!\begin{pmatrix}\cos2\pi t/P-(e/2)(3-\cos4\pi t/P)\\\sin2\pi t/P+(e/2)\sin4\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!,\,\dot{\Vec{r}}=\!\frac{2\pi a}{P}\!\!\begin{pmatrix}-\sin2\pi t/P-e\sin4\pi t/P\\\cos2\pi t/P+e\cos4\pi t/P\\0\end{pmatrix}\\r&=a(1-e\cos2\pi t/P),\,|\dot{\Vec{r}}|^2=\frac{4\pi^2a^2}{P^2}(1+2e\cos2\pi t/P),\,{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}=\frac{2\pi a^2e}{P}\sin2\pi t/P</tex>
ただし、 $a$ は楕円の長半径, $P$ は公転周期
 $a$ と $P$ には
<tex>\frac{2\pi}{P}=\sqrt{\frac{GM}{a^3}}</tex>
の関係があるので、これで $GM$ を消去すると $e$ の一次近似で永年変化(周期変動を除いた変化)は
<tex>\dot{\Vec{e}}=\frac{24\pi^3a^2e}{c^2P^3}\!\!\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}</tex>
となる。つまり
<tex>\dot{\theta}=\frac{24\pi^3a^2}{c^2P^3}</tex>
が近日点方向の変化率である。
<tex>a=57910000\rm{km},\,P=0.24085\rm{year},\,c=300000\rm{km/s}</tex>
で計算すると
<tex>\frac{24\pi^3a^2}{c^2P^3}=0.41''/\rm{year}</tex>
となる。 $e$ の一次近似じゃ一桁しか合わんな。

http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/170227001f20b104/res4
で $e$ の3次近似の $\Vec{r}$ を求めたので
<tex>&\Vec{r}=a\biggl(\!\!\begin{pmatrix}\cos2\pi t/P\\\sin2\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e}{2}\!\!\begin{pmatrix}3-\cos4\pi t/P\\-\sin4\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e^2}{8}\!\!\begin{pmatrix}3\cos2\pi t/P\!-3\cos6\pi t/P\\5\sin2\pi t/P\!-3\sin6\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e^3}{12}\!\!\begin{pmatrix}4\cos4\pi t/P\!-4\cos8\pi t/P\\5\sin4\pi t/P\!-4\sin8\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!\biggr)\\&\dot{\Vec{r}}=\!\frac{2\pi a}{P}\!\biggl(\!\!\begin{pmatrix}-\sin2\pi t/P\\\cos2\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!+e\!\!\begin{pmatrix}-\sin4\pi t/P\\\cos4\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e^2}{8}\!\!\begin{pmatrix}-3 \sin2\pi t/P\!+9\sin6\pi t/P\\5\cos2\pi t/P\!-9\cos6\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e^3}{6}\!\!\begin{pmatrix}-4\sin4\pi t/P\!+8\sin8\pi t/P\\5\cos4\pi t/P\!-8\cos8\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!\biggr)\\&r=a\Bigl(1-e\cos2\pi t/P\!+\frac{1}{2}e^2(1\!-\cos4\pi t/P)+\frac{3}{8}e^3(\cos2\pi t/P\!-\cos6\pi t/P)\Bigr)\\&|\dot{\Vec{r}}|^2=\frac{4\pi^2a^2}{P^2}\Bigl(1+2e\cos2\pi t/P\!+2e^2\cos4\pi t/P\!-\frac{1}{4}e^3(\cos2\pi t/P\!-9\cos6\pi t/P)\Bigr)\\&{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}=\frac{\pi a^2e}{P}\Bigl(2\sin2\pi t/P\!+e\sin4\pi t/P\!-\frac{1}{4}e^2(\sin2\pi t/P\!-3\sin6\pi t/P)\Bigr)</tex>
として近日点方向の変化率を求めると
<tex>\dot{\theta}=\frac{24\pi^3a^2}{c^2P^3}(1+e^2)</tex>
となる。 $e=0.2$ を追加して計算すると
<tex>\frac{24\pi^3a^2}{c^2P^3}(1+e^2)=0.428''/\rm{year}</tex>
となる。これで観測精度内だ。