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趣味で相対論
24   不識庵 - 2014/09/23(火) 11:22:10

>>23 hsaito さん、

コメント有難うございます。

ただ仰る定理は、私にはいささか難し過ぎるようです。
ですので、平行移動の定義と下敷きのイメージに関しまして、次のように考えてみました。

(1) 球面上に点C1と、これから微小量だけ離れた点C2を考えます。
(2) 点C1を接点とする接平面を考え、接平面上に一つのベクトルBを考えます。
(3) 平行移動の定義によれば、平行移動されたベクトルと言いますのは、上記ベクトルBを点C2における接平面に投影したベクトルになります。
(4) 次に、点C1での接平面上に、点C2を投影します。これを点C2’とします。
(5) 点C1での接平面上で点C1と点C2’を結び、この方向をx軸とし、これに垂直な方向にy軸を取ります。
(6) y軸の周りに微小角度回転させた結果が、下敷きをC2まで移動させた結果になると思います。
  回転角は、点C1と点C2における法線のなす角です。
(7) ベクトルBを点C2における接平面に投影したベクトルと、y軸の周りに回転して出来たベクトルが一致するかが問題です。
(8) 点C2での接平面上に、点C1を投影して点C1’とします。
(9) 点C2での接平面上で点C2と点C1’を結んで、この方向をx’軸とし、これに垂直な方向にy’軸を取ります。
(10) 投影されたベクトルと、回転して出来たベクトルは、y’軸方向成分は一致すると思います。
(11) 回転角が微小ですので、x’軸方向成分も一致すると思います。
   (差が2次の微小量となるためです。)

上記により、下敷きに書かれたベクトルの向きと、平行移動したベクトルの向きは一致するような気がします。
如何でしょう?