1 どうも、どうもどうも 2017/12/23 (土) 08:48:02 ID:PPdkCwLBhU [修正] [削除]
どなたか粘性流体のエネルギー運動量テンソルを教えてください。あと、粘性率一定の流れのナビエストークス方程式を球座標で表示したものも教えてください。できれば導出方法も教えてください。御願いします。
2 どうも、どうもどうも 2017/12/23 (土) 21:31:53 ID:PPdkCwLBhU [修正] [削除]
次いでに、デカルト座標系で速度のx、y、z成分がそれぞれ $v_x,v_y,v_z$ で与えられる質点を三次元極座標でみたとき、半径方向、θ方向、φ方向の速度成分も教えてください。必要であれば、文字は新たにおいてください。
3 甘泉法師 2017/12/23 (土) 23:31:52 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>2

 $\dot{r},\ r\dot{\theta},\ r\ sin\theta\dot{\phi}$ 

を $v_x,v_y,v_z$ であらわしてはどうでしょう。
4 甘泉法師 2017/12/25 (月) 13:05:20 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>1

http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/spm/2016/slides/Hirano.pdf のスライド12/45 に
Local Rest Frameでのそれらしい式が見えますが 確立されている関係式なのかわたしにはわかりません。

粘性のような熱流のある散逸系のエネルギー運動量テンソルというものは、公式天下りでなく個別具体の現象
を観て格闘するほうが確かだし楽しいんだろうと思いました。


PS to >>3

<tex>v_x^2+v_y^2+v_z^2=\dot{r}^2+(r\dot{\theta})^2+(r\ sin\theta\ \dot{\phi})^2</tex>
5 甘泉法師 2017/12/25 (月) 13:28:34 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>1

Wikipedia Navier Stokes方程式 -----------

粘性率 μ や χ は温度や圧力の関数であり一定ではないが、多くの場合に粘性率は一定とみなされる[5]。 この場合は粘性率の勾配を含む項を落として

<tex>{\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\mathrm {grad} \,p+{\frac {\mu }{\rho }}\triangle {\boldsymbol {v}}+{\frac {\lambda +\mu }{\rho }}\mathrm {grad} \,\Theta +{\boldsymbol {g}}} {\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\mathrm {grad} \,p+{\frac {\mu }{\rho }}\triangle {\boldsymbol {v}}+{\frac {\lambda +\mu }{\rho }}\mathrm {grad} \,\Theta +{\boldsymbol {g}}}</tex>

となる。
--------------

これは特定の座標系での式でなく、ナブラ、グラジエントは極座標の演算であらわせます。 それは電磁気の教科書などによく載っています。
6 どうも、どうもどうも 2017/12/25 (月) 21:17:26 ID:PPdkCwLBhU [修正] [削除]
少々逸れますが。。。
>>5の公式中のλは何を表すのでしょうか。
7 甘泉法師 2017/12/25 (月) 22:53:22 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。
先のWikipediaの最初から4番目の式で導入されています。
8 どうも、どうもどうも 2017/12/26 (火) 18:22:13 ID:PPdkCwLBhU [修正] [削除]
λは突然出て来て、「λは〜である」という但し書きがないです。
λは何ですか
9 hirota 2017/12/26 (火) 19:42:05 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
http://shimaphoto03.com/science/ns-equation/
を見ると、λ = (-2/3)μ ですね。
10 甘泉法師 2017/12/26 (火) 22:32:32 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>8

先の式は

<tex>\lambda:=x-\frac{2}{3}\mu</tex>
xは体積粘性率、μ は剪断粘性率
と読めます。

ラメの第一定数 というそうです。ref. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%BE%E6%80%A7%E7%8E%87#%E5%BC%BE%E6%80%A7%E7%8E%87%E3%81%AE%E7%9B%B8%E9%96%A2%E9%96%A2%E4%BF%82
11 hirota 2017/12/30 (土) 22:17:31 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
任意座標でのNavier-Stokes方程式
直交座標 $\bar{x}^i$ で記述された簡略版Navier-Stokes方程式
(1) <tex>&\rho\frac{\partial\bar{\Vec{u}}}{\partial t}\!+\!\rho(\bar{\Vec{u}}\!\cdot\!\!\bar{\nabla})\bar{\Vec{u}}\!=\!-\bar{\nabla}p\!+\!\mu\bar{\triangle}\bar{\Vec{u}}\!+\!(\lambda\!+\!\mu)\bar{\nabla}(\bar{\nabla}\!\!\cdot\!\bar{\Vec{u}})\\&\rho\frac{\partial\bar{u}^i}{\partial t}\!+\!\rho\bar{u}^j\frac{\partial\bar{u}^i}{\partial\bar{x}^j}\!=\!-\delta^{ij}\!\frac{\partial p}{\partial\bar{x}^j}\!+\!\mu\,\delta^{jk}\!\frac{\partial^2\bar{u}^i}{\partial\bar{x}^j\partial\bar{x}^k}\!+\!(\lambda\!+\!\mu)\delta^{ij}\!\frac{\partial}{\partial\bar{x}^j}\!\!\left(\!\frac{\partial\bar{u}^k}{\partial\bar{x}^k}\!\right)</tex>
を任意座標での記述に変換する。
ここでは添字付きの座標 $x^i$ は空間座標のみとし、座標変換は時間 $t$ を含まないとする。
計量 $g_{ij}$ も空間だけの計量とし、固有距離は
(2) <tex>ds^2\!=\!g_{ij}x^ix^j</tex>
とする。
基準とする直交座標 $\bar{x}^i$ での計量は
(3) <tex>\bar{g}_{ij}\!=\!\delta_{ij}\ ,\ \bar{g}^{ij}\!=\!\delta^{ij}</tex>
であるから一般の計量は
(4) <tex>g_{ij}\!=\!\frac{\partial\bar{x}^k}{\partial x^i}\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^j}\bar{g}_{kn}\!=\!\delta_{kn}\frac{\partial\bar{x}^k}{\partial x^i}\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^j}\ ,\ g^{ij}\!=\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^k}\frac{\partial x^j}{\partial\bar{x}^n}\bar{g}^{kn}\!=\!\delta^{kn}\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^k}\frac{\partial x^j}{\partial\bar{x}^n}</tex>
である。
また $g_{ij}$ を並べた行列を $(g_{ij})$ とし、その行列式を $g\!=\!\det(g_{ij})$ とする。
そして $(g_{ij})$ の $k$ 行 $n$ 列に0,1を入れて $(k,n)$ 要素は1、それ以外の $k$ 行 $n$ 列要素は0とした行列を $L(k,n)$ とすれば、その行列式 $\Lambda^{kn}\!=\!\det L(k,n)$ は $(g_{ij})$ の余因子であり
(5) <tex>\Lambda^{kn}\!=\!g\,g^{kn}\ ,\ dg\!=\!\Lambda^{kn}dg_{kn}\!=\!g\,g^{kn}dg_{kn}</tex>
が成り立つ。
そして
(6) <tex>&0=\!d\delta^{\,i}_j\!=\!d(g^{in}g_{nj}\!)\!=\!g_{nj}dg^{in}\!\!+\!g^{in}dg_{nj}\quad\therefore\ dg^{ik}\!\!=\!-g^{in}g^{kj}dg_{nj}\ ,\ dg_{kj}\!=\!-g_{ki}g_{jn}dg^{in}\\&0=\!g(g_{ni}dg^{in}\!+\!g^{in}dg_{ni})\!=\!g\,g_{ni}dg^{in}\!+\!g\,g^{in}dg_{ni}\!=\!g\,g_{ni}dg^{in}\!+\!dg\quad\therefore\ dg\!=\!-g\,g_{in}dg^{in}</tex>
であり、接続
(7) <tex>\Gamma^k_{\,ij}\!&=\!\frac{1}{2}\,g^{kn}\!\!\left(\!\!\frac{\partial g_{nj}}{\partial x^i}\!+\!\frac{\partial g_{ni}}{\partial x^j}\!-\!\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\!\!\right)\!\!=\!\frac{1}{2}\,\delta^{pq}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^q}\!\!\left(\!\!\frac{\partial g_{nj}}{\partial x^i}\!+\!\frac{\partial g_{ni}}{\partial x^j}\!-\!\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\!\!\right)\\&=\!\frac{1}{2}\,\delta^{pq}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^q}\frac{\partial}{\partial x^i}\!\!\left(\!\!\delta_{rs}\frac{\partial\bar{x}^r}{\partial x^n}\frac{\partial\bar{x}^s}{\partial x^j}\!\!\right)\!\!+\!\frac{1}{2}\,\delta^{pq}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^q}\frac{\partial}{\partial x^j}\!\!\left(\!\!\delta_{rs}\frac{\partial\bar{x}^r}{\partial x^n}\frac{\partial\bar{x}^s}{\partial x^i}\!\!\right)\\&\hspace{143pt}-\!\frac{1}{2}\,\delta^{pq}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^q}\frac{\partial}{\partial x^n}\!\!\left(\!\!\delta_{rs}\frac{\partial\bar{x}^r}{\partial x^i}\frac{\partial\bar{x}^s}{\partial x^j}\!\!\right)\\&=\!\frac{1}{2}\,\delta^{pq}\delta_{rs}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^q}\frac{\partial^2\bar{x}^r}{\partial x^i\partial x^n}\frac{\partial\bar{x}^s}{\partial x^j}\!+\!\frac{1}{2}\,\delta^{pq}\delta_{rs}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^q}\frac{\partial\bar{x}^r}{\partial x^n}\frac{\partial^2\bar{x}^s}{\partial x^i\partial x^j}\\&\hspace{1pt}+\!\frac{1}{2}\,\delta^{pq}\delta_{rs}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^q}\frac{\partial^2\bar{x}^r}{\partial x^j\partial x^n}\frac{\partial\bar{x}^s}{\partial x^i}\!+\!\frac{1}{2}\,\delta^{pq}\delta_{rs}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^q}\frac{\partial\bar{x}^r}{\partial x^n}\frac{\partial^2\bar{x}^s}{\partial x^j\partial x^i}\\&\hspace{1pt}-\!\frac{1}{2}\,\delta^{pq}\delta_{rs}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^q}\frac{\partial^2\bar{x}^r}{\partial x^n\partial x^i}\frac{\partial\bar{x}^s}{\partial x^j}\!-\!\frac{1}{2}\,\delta^{pq}\delta_{rs}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^q}\frac{\partial\bar{x}^r}{\partial x^i}\frac{\partial^2\bar{x}^s}{\partial x^n\partial x^j}\\&=\!\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial^2\bar{x}^p}{\partial x^i\partial x^j}</tex>
との関係は
(8) <tex>&\Gamma^i_{\,ij}\!=\!\frac{1}{2}\!\left(\!\!g^{in}\frac{\partial g_{nj}}{\partial x^i}\!+\!g^{in}\frac{\partial g_{ni}}{\partial x^j}\!-\!g^{in}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\!\!\right)\!\!=\!\frac{1}{2}\,g^{in}\frac{\partial g_{in}}{\partial x^j}\!=\!\frac{1}{2g}\frac{\partial g}{\partial x^j}\\&g^{ij}\Gamma^k_{\,ij}\!=\!\frac{1}{2}\,g^{kn}\!\!\left(\!\!g^{ij}\frac{\partial g_{nj}}{\partial x^i}\!+\!g^{ij}\frac{\partial g_{ni}}{\partial x^j}\!-\!g^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\!\!\right)\!\!=\!g^{kn}\!\!\left(\!\!g^{ij}\frac{\partial g_{ni}}{\partial x^j}\!-\!\frac{1}{2}\,g^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\!\!\right)\\&\hspace{25pt}=\!g^{ij}\!\!\left(\!\frac{\partial(g^{kn}g_{ni})}{\partial x^j}\!-\!\frac{\partial g^{kn}}{\partial x^j}g_{ni}\!\!\right)\!\!-\!\frac{1}{2}\,g^{kn}g^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\!=\!-\frac{\partial g^{kj}}{\partial x^j}\!-\!\frac{1}{2}\,g^{kn}g^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\\&\hspace{25pt}=\!-\frac{\partial g^{kn}}{\partial x^n}\!-\!\frac{1}{2g}g^{kn}\!\frac{\partial g}{\partial x^n}\!=\!-\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial(\!\sqrt{|g|}\,g^{kn}\!)}{\partial x^n}</tex>
となる。
流体では速度場 $u^i$ が必要なので、任意座標での定義は座標 $x^i(t)$ に存在した粒子が
(9) <tex>x^i(t\!+\!dt)\!=\!x^i(t)\!+\!u^idt</tex>
に移動するものとする。
座標間の関数関係を $\bar{x}^i[\Vec{x}]$ と書けば
(10) <tex>\bar{x}^i[\Vec{x}(t\!+\!dt)]\!=\!\bar{x}^i[\Vec{x}(t)\!+\Vec{u}\,dt]\!=\!\bar{x}^i[\Vec{x}(t)]\!+\!\frac{\partial\bar{x}^i}{\partial x^j}u^jdt</tex>
であるから速度場の座標変換は
(11) <tex>\bar{u}^i\!=\!\frac{\partial\bar{x}^i}{\partial x^j}u^j\ ,\ u^j\!=\!\frac{\partial x^j}{\partial\bar{x}^i}\bar{u}^i</tex>
となって反変vectorの変換規則に従っている。
vector場 $u^i$ の共変微分は
(12) <tex>u^i_{\,\cdot j}\!&=\!\frac{\partial u^i}{\partial x^j}\!+\!\Gamma^i_{\,jk}u^k\!=\!\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial\bar{x}^n}\!\!\left(\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^k}\bar{u}^k\!\!\right)\!+\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial^2\bar{x}^p}{\partial x^j\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^h}\bar{u}^h\\&=\!\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^j}\frac{\partial^2x^i}{\partial\bar{x}^n\partial\bar{x}^k}\bar{u}^k\!+\!\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^j}\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^k}\frac{\partial\bar{u}^k}{\partial\bar{x}^n}+\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial^2\bar{x}^p}{\partial x^j\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^h}\bar{u}^h\\&=\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^k}\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^j}\frac{\partial\bar{u}^k}{\partial\bar{x}^n}+\!\frac{\partial}{\partial\bar{x}^h}\!\!\left(\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^n}\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^j}\!\!\right)\!\bar{u}^h\!=\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^k}\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^j}\frac{\partial\bar{u}^k}{\partial\bar{x}^n}</tex>
であり、直交座標に変換すれば通常の微分に一致する。
これよりvectorの発散 $\nabla\!\!\cdot\!\Vec{u}$ は
(13) <tex>u^i_{\,\cdot i}\!=\!\frac{\partial u^i}{\partial x^i}\!+\!\Gamma^i_{\,ik}u^k\!\!=\!\frac{\partial u^i}{\partial x^i}\!+\!\frac{1}{2g}\frac{\partial g}{\partial x^i}u^i\!\!=\!\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial(\!\sqrt{|g|}\,u^i)}{\partial x^i}</tex>
となる。
混合tensor $X^i_{\>j}$ の共変微分も
(14) <tex>X^i_{\>j\,\cdot k}\!&=\!\frac{\partial X^i_{\>j}}{\partial x^k}\!+\!\Gamma^i_{\,kn}X^n_{\ j}\!-\!X^i_{\,n}\Gamma^n_{\;jk}\\&=\!\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^k}\frac{\partial}{\partial\bar{x}^n}\!\!\left(\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^j}\bar{X}^p_{\>q}\!\!\right)\!\!+\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^r}\frac{\partial^2\bar{x}^r}{\partial x^k\partial x^n}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^j}\bar{X}^p_{\>q}\!-\!\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^r}\frac{\partial^2\bar{x}^r}{\partial x^j\partial x^k}\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^n}\bar{X}^p_{\>q}\\&=\!\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^k}\frac{\partial^2x^i}{\partial\bar{x}^n\partial\bar{x}^p}\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^j}\bar{X}^p_{\>q}\!+\!\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^k}\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial x^r}{\partial\bar{x}^n}\frac{\partial^2\bar{x}^q}{\partial x^r\partial x^j}\bar{X}^p_{\>q}\!+\!\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^k}\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^j}\frac{\partial\bar{X}^p_{\>q}}{\partial\bar{x}^n}\\&\hspace{98pt}+\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^r}\frac{\partial^2\bar{x}^r}{\partial x^k\partial x^n}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^j}\bar{X}^p_{\>q}\!-\!\frac{\partial^2\bar{x}^q}{\partial x^j\partial x^k}\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^p}\bar{X}^p_{\>q}\\&=\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^j}\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^k}\frac{\partial\bar{X}^p_{\>q}}{\partial\bar{x}^n}\!+\!\!\left(\!\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^k}\frac{\partial^2x^i}{\partial\bar{x}^n\partial\bar{x}^p}\!+\!\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial^2\bar{x}^r}{\partial x^n\partial x^k}\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^r}\!\!\right)\!\!\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^j}\bar{X}^p_{\>q}\\&=\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^j}\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^k}\frac{\partial\bar{X}^p_{\>q}}{\partial\bar{x}^n}\!+\!\!\left(\!\frac{\partial^2x^i}{\partial\bar{x}^p\partial\bar{x}^r}\frac{\partial\bar{x}^r}{\partial x^k}\!+\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^r}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial^2\bar{x}^r}{\partial x^n\partial x^k}\!\!\right)\!\!\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^j}\bar{X}^p_{\>q}\\&=\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^j}\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^k}\frac{\partial\bar{X}^p_{\>q}}{\partial\bar{x}^n}\!+\!\frac{\partial}{\partial\bar{x}^p}\!\!\left(\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^r}\frac{\partial\bar{x}^r}{\partial x^k}\!\!\right)\!\!\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^j}\bar{X}^p_{\>q}\!=\!\frac{\partial x^i}{\partial\bar{x}^p}\frac{\partial\bar{x}^q}{\partial x^j}\frac{\partial\bar{x}^n}{\partial x^k}\frac{\partial\bar{X}^p_{\>q}}{\partial\bar{x}^n}</tex>
となって直交座標では通常微分である。
これよりvector場のLaplacian $\triangle\Vec{u}$ は2階微分だから
(15) <tex>g^{nj}u^k_{\,\cdot n\,\cdot j}\!&=\!g^{nj}\!\!\left(\!\!\frac{\partial u^k_{\,\cdot n}}{\partial x^j}\!+\!\Gamma^k_{\,jp}u^p_{\,\cdot n}\!-\!u^k_{\,\cdot p}\Gamma^p_{\,nj}\!\!\right)\\&=\!g^{nj}\!\frac{\partial}{\partial x^j}\!\!\left(\!\!\frac{\partial u^k}{\partial x^n}\!+\!\Gamma^k_{\,nh}u^h\!\!\right)\!+\!g^{nj}\Gamma^k_{\,jp}\!\!\left(\!\!\frac{\partial u^p}{\partial x^n}\!+\!\Gamma^p_{\,nh}u^h\!\!\right)\!-\!g^{nj}\Gamma^p_{\,nj}\!\!\left(\!\!\frac{\partial u^k}{\partial x^p}\!+\!\Gamma^k_{\,ph}u^h\!\!\right)\\&=\!g^{nj}\!\frac{\partial^2u^k}{\partial x^n\partial x^j}\!+\!g^{nj}u^h\frac{\partial\Gamma^k_{\,nh}}{\partial x^j}\!+\!g^{nj}\Gamma^k_{\,nh}\frac{\partial u^h}{\partial x^j}\!+\!g^{nj}\Gamma^k_{\,jp}\frac{\partial u^p}{\partial x^n}\!+\!g^{nj}u^h\Gamma^k_{\,jp}\Gamma^p_{\,nh}\\&\hspace{178pt}-\!g^{nj}\Gamma^p_{\,nj}\frac{\partial u^k}{\partial x^p}\!-\!g^{nj}u^h\Gamma^p_{\,nj}\Gamma^k_{\,ph}\\&=\!g^{nj}\!\frac{\partial^2u^k}{\partial x^n\partial x^j}\!-\!g^{nj}\Gamma^p_{\,nj}\frac{\partial u^k}{\partial x^p}\!+\!2g^{nj}\Gamma^k_{\,nh}\frac{\partial u^h}{\partial x^j}\!+\!g^{nj}u^h\!\!\left(\!\!\frac{\partial\Gamma^k_{\,nh}}{\partial x^j}\!+\!\Gamma^k_{\,jp}\Gamma^p_{\,nh}\!\!-\!\Gamma^k_{\,hp}\Gamma^p_{\,nj}\!\!\right)\\&=\!g^{nj}\!\frac{\partial^2u^k}{\partial x^n\partial x^j}\!-\!g^{nj}\Gamma^p_{\,nj}\frac{\partial u^k}{\partial x^p}\!+\!2g^{nj}\Gamma^k_{\,nh}\frac{\partial u^h}{\partial x^j}\!+\!g^{nj}u^h\!\!\left(\!\!\frac{\partial\Gamma^k_{\,nj}}{\partial x^h}\!+\!R^k_{\,njh}\!\!\right)\\R^k_{\,njh}\!&=\frac{\partial\Gamma^k_{\,nh}}{\partial x^j}\!-\!\frac{\partial\Gamma^k_{\,nj}}{\partial x^h}\!+\!\Gamma^k_{\,jp}\Gamma^p_{\,nh}\!\!-\!\Gamma^k_{\,hp}\Gamma^p_{\,nj}</tex>
となる。ここで $R^k_{\,njh}$ は曲率tensorなので平坦空間なら0である。
scalar $p$ の勾配 $\nabla p$ や $\partial\Vec{u}/\partial t$ は
(16) <tex>&\delta^{ij}\!\frac{\partial p}{\partial\bar{x}^j}\!=\!\delta^{ij}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^j}\frac{\partial p}{\partial x^n}\!=\!\frac{\partial\bar{x}^i}{\partial x^k}\delta^{mj}\!\frac{\partial x^k}{\partial\bar{x}^m}\frac{\partial x^n}{\partial\bar{x}^j}\frac{\partial p}{\partial x^n}\!=\!\frac{\partial\bar{x}^i}{\partial x^k}g^{kn}\!\frac{\partial p}{\partial x^n}\\&\frac{\partial\bar{u}^i}{\partial t}\!=\!\frac{\partial}{\partial t}\!\!\left(\!\frac{\partial\bar{x}^i}{\partial x^k}u^k\!\!\right)\!\!=\!\frac{\partial\bar{x}^i}{\partial x^k}\frac{\partial u^k}{\partial t}</tex>
なので、これは単なるvectorの座標変換であり、勾配は只の微分を反変にしただけである。
そして、scalar場のLaplacian $\triangle p$ は勾配の発散であるから
(17) <tex>\triangle p\!=\!\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^i}\!\!\left(\!\!\!\sqrt{|g|}\,g^{ij}\!\frac{\partial p}{\partial x^j}\!\!\right)</tex>
である。
以上から一般座標でのNavier-Stokes方程式は
(18) <tex>\rho\frac{\partial u^i}{\partial t}\!+\!\rho u^i_{\,\cdot j}u^j\!=\!-g^{ij}\!\frac{\partial p}{\partial x^j}\!+\!\mu g^{jk}u^i_{\,\cdot j\,\cdot k}\!+\!(\lambda\!+\!\mu)g^{ij}\!\frac{\partial u^k_{\,\cdot k}}{\partial x^j}</tex>
となる。
この方程式は空間曲率に関係ないので、(18)は歪曲した空間でも成り立つ。

例:極座標の場合
(19) <tex>&\!\!\begin{pmatrix}x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}\!\!=\!\!\begin{pmatrix}r\\\theta\\\varphi\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\bar{x}^1\\\bar{x}^2\\\bar{x}^3\end{pmatrix}\!\!=\!\!\begin{pmatrix}r\cos\varphi\cos\theta\\r\cos\varphi\sin\theta\\r\sin\varphi\end{pmatrix}\\&d\!\!\begin{pmatrix}\bar{x}^1\\\bar{x}^2\\\bar{x}^3\end{pmatrix}\!\!=\!\!\begin{pmatrix}\cos\varphi\cos\theta&-\sin\theta&-\sin\varphi\cos\theta\\\cos\varphi\sin\theta&\cos\theta&-\sin\varphi\sin\theta\\\sin\varphi&0&\cos\varphi\end{pmatrix}\!\!\!\!\begin{pmatrix}dr\\r\cos\varphi d\theta\\rd\varphi\end{pmatrix}\\&ds^2\!=\!(d\bar{x}^1\!)^2\!\!+\!(d\bar{x}^2\!)^2\!\!+\!(d\bar{x}^3\!)^2\!\!=dr^2\!+r^2\!\cos^2\!\varphi\,d\theta^2\!+r^2d\varphi^2\\&(g_{ij})\!=\!\!\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^2\!\cos^2\!\varphi&0\\0&0&r^2\end{pmatrix},\ g\!=\!r^4\!\cos^2\!\varphi\ ,\ \sqrt{|g|}\!=\!r^2\!\cos\varphi</tex>
なので
(20) <tex>\Gamma^1_{\,22}\!&=\!-r\cos^2\!\varphi\ ,\ \Gamma^1_{\,33}\!=\!-r\ ,\ \Gamma^3_{\,22}\!=\!\sin\varphi\cos\varphi\\\Gamma^2_{\,12}\!&=\!\Gamma^2_{\,21}\!=\!\Gamma^3_{\,13}\!=\!\Gamma^3_{\,31}\!=\!\frac{1}{r}\ ,\ \Gamma^2_{\,23}\!=\!\Gamma^2_{\,32}\!=\!-\!\tan\varphi\\&{\rm other}\,:\ \Gamma^k_{\,ij}\!=0</tex>
となり、
(21) <tex>u^k_{\,\cdot k}\!&=\!\frac{\partial u^k}{\partial x^k}\!+\!\frac{1}{2g}\frac{\partial g}{\partial x^k}u^k\!=\!\frac{\partial u^k}{\partial x^k}\!+\!\frac{1}{2r^4\!\cos^2\!\varphi}\frac{\partial(r^4\!\cos^2\!\varphi)}{\partial x^k}u^k\\&=\!\frac{\partial u^k}{\partial x^k}\!+\!\frac{1}{2r^4\!\cos^2\!\varphi}\!\!\left(\!\!\frac{\partial(r^4\!\cos^2\!\varphi)}{\partial r}u^1\!+\!\frac{\partial(r^4\!\cos^2\!\varphi)}{\partial\varphi}u^3\!\!\right)\!\!=\!\frac{\partial u^k}{\partial x^k}\!+\!\frac{2u^1}{r}\!-\!u^3\tan\varphi</tex>
(22) <tex>\!\!\left(\!g^{ij}\frac{\partial u^k_{\,\cdot k}}{\partial x^j}\!\!\right)\!\!=\!\!\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial r}\\\frac{1}{r^2\!\cos^2\!\varphi}\frac{\partial}{\partial\theta}\\\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial\varphi}\end{pmatrix}\!\!\!\!\left(\!\frac{\partial u^k}{\partial x^k}\!+\!\frac{2u^1}{r}\!-\!u^3\tan\varphi\!\right)\!\!=\!\!\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(\!\frac{\partial u^k}{\partial x^k}\!\Bigr)\!\!+\!\frac{2}{r}\frac{\partial u^1}{\partial r}\!-\!\frac{\partial u^3}{\partial r}\tan\varphi\!-\!\frac{2u^1}{r^2}\\\frac{1}{r^2\!\cos^2\!\varphi}\!\left(\!\frac{\partial}{\partial\theta}\!\Bigl(\!\frac{\partial u^k}{\partial x^k}\!\Bigr)\!\!+\!\frac{2}{r}\frac{\partial u^1}{\partial\theta}\!-\!\frac{\partial u^3}{\partial\theta}\tan\varphi\!\right)\\\frac{1}{r^2}\!\left(\!\frac{\partial}{\partial\varphi}\!\Bigl(\!\frac{\partial u^k}{\partial x^k}\!\Bigr)\!\!+\!\frac{2}{r}\frac{\partial u^1}{\partial\varphi}\!-\!\frac{\partial u^3}{\partial\varphi}\tan\varphi\!-\!\frac{u^3}{\cos^2\!\varphi}\!\right)\end{pmatrix}</tex>
(23) <tex>(u^i_{\,\cdot j})\!&=\!\!\left(\!\frac{\partial u^i}{\partial x^j}\!+\Gamma^i_{\,jk}u^k\!\!\right)\!\!=\!\!\left(\!\frac{\partial u^i}{\partial x^j}\!\right)\!\!+\!\!\begin{pmatrix}0&\Gamma^1_{\ 22}u^2&\Gamma^1_{\ 33}u^3\\\Gamma^2_{\ 12}u^2&\Gamma^2_{\ 21}u^1\!+\Gamma^2_{\ 23}u^3&\Gamma^2_{\ 32}u^2\\\Gamma^3_{\ 13}u^3&\Gamma^3_{\ 22}u^2&\Gamma^3_{\ 31}u^1\end{pmatrix}\\&=\!\!\left(\!\frac{\partial u^i}{\partial x^j}\!\right)\!\!+\!\!\begin{pmatrix}0&-ru^2\cos^2\!\varphi&-ru^3\\u^2/r&u^1/r\!-\!u^3\tan\varphi&-u^2\tan\varphi\\u^3/r&u^2\sin\varphi\cos\varphi&u^1/r\end{pmatrix}</tex>
等のようになる。





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