1 リピーター 2017/09/13 (水) 05:38:22 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
http://firestorage.jp/photo/718e510cb3c5bd3b4772061e2349d657d24b6892
この画像はファインマン物理学第3巻電磁気のp23にあるものです。
ここで、(b)と(d)が0になる説明について、ファインマン博士は∇を普通のベクトルと同じように、また、関数Tを普通のスカラーと見立て、bについては同じ方向のベクトル同士(∇と∇T)の外積であるから。dについては∇に垂直なベクトルと、∇の内積は0であるから。
としています。
∇と関数は、ベクトルと普通のスカラー(つまり定数)の関係と同様な関係がどうして成り立つのでしょうか。数式で書けば、偶然、そのような関係があるように思えますが、「こういう道理でベクトルとスカラーの関係と同様なのだ」となる説明、それでなくとも、直感的または定性的な理解の仕方はございませんか。どなたか助言をください。そのような説明でなくとも、「rotのdivが0になるなんてあたりまえじゃないか」と思える説明、もしくは、自分が持っている∇のイメージや感覚、思いついたことなどお書き留め下さると嬉しいです。どうか、お願い致します。
2 甘泉法師 2017/09/13 (水) 06:26:43 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/VectorRotation/ (1)式とrotを行列式で表して
行列式におなじ行があるから div rot
偏微分演算子どうしは交換可能だから rot grad
と理解する
のはどうでしょう。
3 甘泉法師 2017/09/13 (水) 06:41:04 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

積分して。
閉曲線をまわって元に戻る rot grad
閉曲面上の閉曲線の内外でキャンセル div rot
はどうでしょう。
4 不識庵 2017/09/13 (水) 07:45:58 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
「計算して確かめれば0になる」等は如何でしょうか?
5 selpo 2017/09/13 (水) 12:46:17 ID:97TqmlNuts [修正] [削除]
エディントンのイプシロンを用いて計算すると,
<tex>\left[\nabla\times\left(\nabla T\right)\right]_i&=\epsilon_{ijk}\partial_j\left(\nabla T\right)_k\\&=\epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k T</tex>
となります.  $\partial_j\partial_k$ は $j\leftrightarrow k$ で対称で, それを $\epsilon_{ijk}$ で反対称化するので,  $0$ になります.
この計算は,  $\nabla$ を普通のベクトルに置き換えても全く同様です.

(d)も,
<tex>\nabla\cdot\left(\nabla\times\Vec{h}\right)&=\partial_i\left(\nabla\times\Vec{h}\right)_i\\&=\partial_i\epsilon_{ijk}\partial_jh_k</tex>
これも同じ理由で $0$ になります.
やはり,  $\nabla$ を普通のベクトルに置き換えても全く同様です.
6 hirota 2017/09/13 (水) 12:57:11 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
a・(a×b)=0 は四則演算の法則(分配則など)によって成り立つ。
∇の作用も同じ法則に従うので ∇・(∇×b)=0 が成り立つ。
(>>4 の「計算して確かめる」と同等)
7 リピーター 2017/09/14 (木) 01:14:59 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>>3
閉曲面上の閉曲線の内外でキャンセル div rot=0がよくわかりません
8 リピーター 2017/09/14 (木) 01:16:13 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>>4
計算して見ればわかるのですが、やはり直感的に理解したいものです。
9 リピーター 2017/09/14 (木) 01:18:02 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>>5
完全反対称テンソルはまだ試みていません。少しやってみようと思います。有り難うございます。
10 不識庵 2017/09/14 (木) 06:51:04 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>8

仰る事、ごもっともです。
ご参考になるかどうか分かりませんが、個人の経験を申し上げます。

計算での確認も、何度もやっていると 、段々と直感的にも当たり前のような気分がして来るようです。
直感なんてそんなものなのかもしれません。
自分にとって直感的に明らかな事が、他の人にとってそうではない、なんてのも良くある事かと。
11 甘泉法師 2017/09/14 (木) 07:20:57 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。 任意の体積V(その表面S)の領域での積分

<tex> \int_V\ dV\  div\  rot\  A = \int_S\  dS\  rot\  A = \int_l\  A\  dl \ - \int_l\  A\  dl = 0</tex>

表面S上の閉曲線lでSが二つに分けられるが、それぞれlの周積分の順方向、逆方向なのでキャンセル

となります。
12 不識庵 2017/09/14 (木) 08:17:28 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>11

体積(立体)には境界となる閉曲面(表面)があるけど、閉曲面には縁になる閉曲線がない、という事と同じでしょうか?
13 甘泉法師 2017/09/14 (木) 10:01:23 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

「閉曲面には縁になる閉曲線がない」のはそのとおりですが この計算とどう関係づけましょうか。

 小さな穴をあけて縁の曲線をつくって、それを無限小にすぼめていくと
 縁の曲線上の積分はゼロになる

という具合でしょうか。
14 hirota 2017/09/14 (木) 12:54:40 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
ここにストークスの定理を出すのは壮大な遠回りで話が逆としか思えない。
理論が矛盾無く出来てる事の確認には良いかもしれないが。
15 不識庵 2017/09/14 (木) 18:07:55 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>13

済みません。深い意味はありません。
同じ経路を逆向きに積分しているようなもので、経路が無いのと同じなのかな?、等と思ってみた訳です。


>>14

お考えに同意致します。
16 甘泉法師 2017/09/14 (木) 22:14:29 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

<tex> \int_S rot\ A\ ds=0</tex> をみて。 ということは、閉じた曲面上で右周りの渦があれば必ず左周りの渦もある。

台風が日本の近くに来ていますが、閉じている地球大気層面のどこかには逆回りの渦も必ず発生しているんでしょうか。
17 不識庵 2017/09/14 (木) 22:33:53 ID:Zwp4rt4wek 修正アリ: 09/15 (金) 05:29 [修正] [削除]
>>16

北極から見て右回りの渦(例えば、赤道上で東風が吹いている場合)は、南極から見て左回りなのかな、等とも思いました。
どうなんでしょうね?

(以下、追記)
って、>>11の内容そのものですね。
18 リピーター 2017/09/14 (木) 23:17:50 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
甘泉法師さん、ありがとうございます。
周回積分が0だから面積分も0で体積分も0、よって元の関数は0ということですね。
大局的にいつも0なら拡大しても0になってるということですね。よくわかりました。
19 ちゃん。 2017/09/15 (金) 20:58:42 ID:PPdkCwLBhU [修正] [削除]
あひーッ!
ウヒヒ...





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