1 珍獣ハンター 2017/09/09 (土) 19:05:44 ID:PPdkCwLBhU [修正] [削除]
三次元空間に於けるシュレーディンガーの波動方程式は、(hはディラック定数)
ih(d/dt)ψ=(-h^2/2m)(∇^2)ψ+Vψ
ですが、
ψ=F(x,y,z)G(t)
とすると、
(d/dt)(G(t))=(-Ei/h)G(t)
となります。Eは全エネルギー。
これを解くと、
G(t)=C(e^(-tEi/h))
Cは積分定数。
この積分定数はどうやったら定まるのでしょうか。
境界条件を使うのか、規格化するのか、または別の方法を使うのかで迷っております。

宜しく御願いします。
2 甘泉法師 2017/09/09 (土) 19:44:58 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

Eが与えられているので定常状態ですね。

<tex>C=1</tex>,

<tex>\int dx\int dy \int dz \ F^*F=1</tex>

でしょうか。
3 hirota 2017/09/09 (土) 20:13:20 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
波動関数は定数倍しても同じ状態を表わす。
規格化しても一意にならないので自分の好きに決める。
4 珍獣ハンター 2017/09/10 (日) 11:14:00 ID:sYKQeGUoKU [修正] [削除]
ついでに聞きたいんですけど、私は
ψ=F(x,y,z)G(t)
とした後
F(x,y,z)=f(x)g(y,z)
とおき変数分離してその後
g(y,z)=H(y)I(z)
としてさらに変数分離すると一応求まったのですが、正解である確証はないので、一通り変数分離する方法を教えて下さい。x,y,z,tで変数分離してください。emanさんも量子力学の「原子の構造」で球座標に展開したものをやっています。
5 甘泉法師 2017/09/10 (日) 12:08:13 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

変数分離できるかは具体的な系によるでしょう。どういう問題をお考えでしょう。
6 珍獣ハンター 2017/09/10 (日) 13:52:15 ID:4WpE0Dq7vw [修正] [削除]
ただシュレーディンガーの波動方程式を変数分離してみたいだけです。変数分離ができない系なんてあるんですか。それはどうゆう系ですか。
7 甘泉法師 2017/09/10 (日) 15:57:27 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

例えば水素原子の電子の波動関数はx,y,zには変数分離できないでしょう。
3次元の箱の中の粒子の波動関数はr,θ,φには変数分離できないでしょう。
8 珍獣ハンター 2017/09/10 (日) 16:04:22 ID:PPdkCwLBhU [修正] [削除]
こんにちは。

箱の中の粒子をx,y,z,tに変数分離したいです。

あと、hirotaさんがいっていたように、「波動関数は定数倍しても同じ状態を表わす。」ですが、よく波動関数をおく時に振幅を指定しています。例えば、
ψ=Acos{(1/h)(px-Et)}
  (hはディラック定数。)
のAです。その定数倍しても同じ状態を表すのなら、Aの意味はなんでしょう。

また、「規格化しても一意にならないので自分の好きに決める。」ともいっていますが、その定数に物理的意味はあるのでしょうか。ないのなら勝手に定数を1にしちゃってもいいのですか。

よろしく御願いします。
9 不識庵 2017/09/10 (日) 16:41:39 ID:Zwp4rt4wek 修正アリ: 17:08 [修正] [削除]
>>8

そうですね、仰るAに物理的意味があるのか、無いのか。これまた難しいところかと。

>>3、hirotaさんの仰る通り、無いと言ってしまえば無さそうな気もしますが、いろいろな計算をする時に、特定の規格化をすると後々の計算が簡単になったりする事もあるようです。
通常は、>>2、甘泉法師さんの仰るように規格化すると思います。
(連続固有値の場合だと、積分が発散したりしてやっかいな場合もありますが、それを気にしておられるのでしょうか?)

Aを幾つに取るべきかは、当該シュレーディンガー方程式を何のために解いているのか、その解をその後どう使う積りなのかに依存するような気がします。

もし、試験に出題された時に何と書くべきかをお悩みでしたら、出題した先生の流儀に従うのが無難のような気がします。
10 甘泉法師 2017/09/10 (日) 16:46:11 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>箱の中の粒子をx,y,z,tに変数分離したいです。

たとえば エネルギー固有状態(定常状態のシュレジンガー方程式)ならば
http://www.chem.ous.ac.jp/~waka/compchem/free_particle/fp-3.html
ではどうでしょうか。





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