1 coJJyMAN 2017/05/09 (火) 02:11:35 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
「曲線座標の接続係数」
 いま,平面に直線座標 $(x^1,x^2)$ と曲線座標 $(u^1,u^2)$ をひくと, 平面上の位置を表す位置ベクトルは
<tex>\vec{x}=x^1\vec{e}_1+x^2\vec{e}_2=u^1\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^1}+u^2\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^2}</tex>
と書けます.この
<tex>\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^1},\quad \frac{\partial\vec{x}}{\partial u^2}</tex>
は曲線座標系の基底ベクトルになっていて,その意味では
<tex>\vec{e}_1=\frac{\partial\vec{x}}{\partial x^1},\quad \vec{e}_2=\frac{\partial\vec{x}}{\partial x^2}</tex>
も確かに直線座標系の基底ベクトルです.(この場合はどの位置でも一定のベクトルなので文字 $\vec{e}$ で表わしています.) また,例えば $x=x_1,y=x_2$ とおいて位置ベクトルの微小変化を式にすると
<tex> d\vec{x}=\frac{\partial\vec{x}}{\partial x}dx+\frac{\partial\vec{x}}{\partial y}dy </tex>
と書けて,直観的にも理解しやすいです. 

 さて,もう一度始めると,平面に直線座標 $(x^1,x^2)$ と曲線座標 $(u^1,u^2)$ が入っていて,直線座標 $\vec{x}=(x^1,x^2)$ は,曲線座標によって $\vec{x}=(x^1(u^1,u^2),x^2(u^1,u^2))$ と表されているものとします.
 そこで,曲線座標の基底ベクトル
<tex>\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^1},\quad \frac{\partial\vec{x}}{\partial u^2}</tex>
をもう一度偏微分します,すると,これもベクトルなので基底ベクトルの一次結合で必ず表現されます.
 この一次結合の係数を $\Gamma^i_{jk}$ とおいて基底ベクトルの偏微分を書き下すと
<tex> \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^1 \partial u^1}=\Gamma^1_{11}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^1}+\Gamma^2_{11}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^2}</tex>
<tex> \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^2 \partial u^1}=\Gamma^1_{21}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^1}+\Gamma^2_{21}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^2}</tex>
<tex> \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^1 \partial u^2}=\Gamma^1_{12}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^1}+\Gamma^2_{12}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^2}</tex>
<tex> \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^2 \partial u^2}=\Gamma^1_{22}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^1}+\Gamma^2_{22}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^2}</tex>
つまり,
<tex> \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^j \partial u^k}=\Gamma^i_{jk}\frac{\partial\vec{x}}{\partial u^i}</tex>
であり,とくに今の場合
<tex> \frac{\partial^2 x^l}{\partial u^j \partial u^k}=\Gamma^i_{jk}\frac{\partial x^l}{\partial u^i}</tex>
となります.この係数 $\Gamma^i_{jk}$ を接続係数といいます.

 例えば2次元の極座標の接続係数は, $\vec{x}=(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ より,
<tex>\frac{\partial\vec{x}}{\partial r}=\begin{pmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix},\quad\frac{\partial\vec{x}}{\partial \theta}=\begin{pmatrix} -r\sin\theta \\ r\cos\theta \end{pmatrix}</tex>
 $\vec{x}$ の2階の偏微分をこれらの一次結合で表わすと
<tex> \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial r \partial r}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix}=0\frac{\partial\vec{x}}{\partial r}+0\frac{\partial\vec{x}}{\partial \theta}</tex>より,<tex>\Gamma^r_{rr}=0,\quad\Gamma^\theta_{rr}=0</tex>
<tex> \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial \theta \partial r}=\begin{pmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta\end{pmatrix}=0\frac{\partial\vec{x}}{\partial r}+\frac 1 r \frac{\partial\vec{x}}{\partial \theta}</tex>より,<tex>\Gamma^r_{\theta r}=0,\quad\Gamma^\theta_{\theta r}=\frac 1 r </tex>
 $r$ と $\theta$ の偏微分の順序は入れ替えても同じなので
<tex>\Gamma^r_{ r\theta }=0,\quad\Gamma^\theta_{r\theta }=\frac 1 r </tex>
最後に
<tex> \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial \theta \partial \theta}=\begin{pmatrix}-r\cos\theta \\ -r\sin\theta\end{pmatrix}=-r\frac{\partial\vec{x}}{\partial r}+0 \frac{\partial\vec{x}}{\partial \theta}</tex>より,<tex>\Gamma^r_{\theta \theta}=-r,\quad\Gamma^\theta_{\theta \theta}=0 </tex>
が得られます.
(参考文献:石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」)
次回は「ベクトル場の微分」を勉強します,
2 coJJyMAN 2017/05/10 (水) 01:11:43 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
[ベクトル場の微分]
ベクトル場は直線座標系と曲線座標系では成分は異なる関数で表されますが,
基底ベクトルも一緒に書くことで等式で結ぶことが出来て,たとえば
<tex>Y^1(x^1,x^2)\vec{e}_1+Y^2(x^1,x^2)\vec{e}_2=V^1(u^1,u^2)\pdif{\vec{x}(u^1,u^2)}{u^1}+V^2(u^1,u^2)\pdif{\vec{x}(u^1,u^2)}{u^2}</tex>
という関係にあったとします.
このベクトルと $\vec{e}_1$ との内積をとれば,その成分を取り出せるので, $(\vec{x}\cdot\vec{e}_1)=x^1$ ですから
<tex>Y^1=V^1\pdif{x^1}{u^1}+V^2\pdif{x^1}{u^2}</tex>
です.より一般的には
<tex>Y^i=\pdif{x^i}{u^l}V^l</tex>
の関係が成り立ちます.そこでこれを $x^j$ で微分してみましょう.
<tex>\pdif{Y^i}{x^j}&=\pdif{u^k}{x^j}\pdif{}{u^k} \left( \pdif{x^i}{u^l}V^l \right) \\&=\pdif{u^k}{x^j}\left( \frac{\partial x^i}{\partial u^k \partial u^l} V^l+\pdif{x^i}{u^l}\pdif{V^l}{u^k}  \right)\\</tex>
ここで,
<tex> \frac{\partial^2 x^l}{\partial u^j \partial u^k}=\Gamma^i_{jk}\frac{\partial x^l}{\partial u^i}</tex>
を使い,
<tex>\pdif{Y^i}{x^j}&=\pdif{u^k}{x^j}\left( \Gamma^m_{kl}\pdif{ x^i}{ u^m} V^l+\pdif{x^i}{u^l}\pdif{V^l}{u^k}  \right)\\&=\pdif{u^k}{x^j}\left( \Gamma^l_{km}\pdif{ x^i}{ u^l} V^m+\pdif{x^i}{u^l}\pdif{V^l}{u^k}  \right)\\&=\pdif{u^k}{x^j}\pdif{ x^i}{ u^l}\left( \Gamma^l_{km} V^m+\pdif{V^l}{u^k}  \right)\\</tex>
すなわち,
<tex>\pdif{Y^i}{x^j}&=\pdif{u^k}{x^j}\pdif{ x^i}{ u^l}\left( \pdif{V^l}{u^k} +\Gamma^l_{km} V^m \right)\\</tex>
という式を得ます.

この式の左辺は直線座標のベクトルの微分なのでテンソルです.
テンソルとしての基底は,詳しく説明は抜きにして
<tex>\pdif{}{x^i}\otimes dx^j</tex>
であるので,この基底をつけて上の式と計算すると
<tex>\pdif{Y^i}{x^j}\pdif{}{x^i}\otimes dx^j&=\pdif{u^k}{x^j}\pdif{ x^i}{ u^l}\left( \pdif{V^l}{u^k} +\Gamma^l_{km} V^m \right)\left( \pdif{u^n}{x^i} \pdif{}{u^n} \right) \otimes \left( \pdif{x^j}{u^p}du^p \right) \\&=\pdif{u^k}{x^j}\pdif{ x^i}{ u^l}\pdif{u^n}{x^i} \pdif{x^j}{u^p}\left( \pdif{V^l}{u^k} +\Gamma^l_{km} V^m \right) \pdif{}{u^n}  \otimes  du^p \\&={\delta^k}_p {\delta^n}_l \left( \pdif{V^l}{u^k} +\Gamma^l_{km} V^m \right) \pdif{}{u^n}  \otimes  du^p \\&= \left( \pdif{V^l}{u^p} +\Gamma^l_{pm} V^m \right) \pdif{}{u^l}  \otimes  du^p \\</tex>
この結果がまさに,テンソルとしてのベクトル場の微分になります.
(今回の勉強は,ひとまずここまで)





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