1 光子の代理人 2017/03/19 (日) 21:03:56 ID:HA.Eiahb26 [修正] [削除]
integrate(Log[x]^4/(1 + x)^2, x, 0, inf)を変数変換で有限区間にしていただけないでしょうか。
2 甘泉法師 2017/03/19 (日) 22:38:20 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

<tex>\int_0^\infty \frac{4 \log x}{(1+x)^2} = \int_0^1 \frac{4 \log   x}{(1+x)^2} dx + \int_1^\infty \frac{4 \log x}{(1+x)^2} dx</tex>

第2項を  $t=\frac{1}{x}$  と変数変換するのでは どうでしょう。
3 光子の代理人 2017/03/19 (日) 23:01:39 ID:HA.Eiahb26 [修正] [削除]
ありがとうございます。これを数値積分する方法教えてください。
4 selpo 2017/03/20 (月) 01:35:24 ID:97TqmlNuts [修正] [削除]
<tex>\int_0^\infty \frac{\log\left(x^4\right)}{(1+x)^2}dx</tex>でしょうか, それとも<tex>\int_0^\infty \frac{\left(\log x\right)^4}{(1+x)^2}dx</tex>でしょうか.
ちなみに, 前者であれば甘泉法師さんの>>2の続きをやることで $0$ になることがわかります.
後者であれば, Mathematicaによると<tex>\frac{7\pi^4}{15}</tex>になるそうです.

とりあえず, <tex>I=\int_0^\infty \frac{\left(\log x\right)^4}{(1+x)^2}dx</tex>の数値積分について考えてみます.
>>2と同様にして, <tex>I=2\int_0^1 \frac{\left(\log x\right)^4}{(1+x)^2}dx</tex>がわかります.
ところが, <tex>\frac{\left(\log x\right)^4}{(1+x)^2}</tex>は $x=0$ で発散するため, このままでは数値積分がうまくいきません.

今回は比較的簡単な関数なので, 強引に解決します.
原点での発散は<tex>\frac{\left(\log x\right)^4}{(1+x)^2}=\left(\log x\right)^4+O(x)</tex>ですので,
<tex>f(x)=\frac{\left(\log x\right)^4}{(1+x)^2}-\left(\log x\right)^4</tex>とすれば,  $f(x)$ は原点でも連続になります.
すると, <tex>I=2\int_0^1f(x)dx+2\int_0^1\left(\log x\right)^4dx</tex>となりますが, 後ろの部分を頑張って計算すると
<tex>I=2\int_0^1f(x)dx+48</tex>となります. あとは $f(x)$ を通常の数値積分によって計算すればよいです.

もし被積分関数がもっと複雑であれば, 発散がどうなるかがわかるとは限りませんし, その部分だけ積分するということが出来ないかもしれません.
そういう場合には二重指数型変換とよばれる変数変換をすればよいです.
具体的には, <tex>\int_{-1}^1f(x)dx</tex>であれば, <tex>x=\tanh\left(\frac{\pi}{2}\sinh t\right)</tex>と変数変換すると,
<tex>g(t)=f\left(\tanh\left(\frac{\pi}{2}\sinh t\right)\right)\frac{\pi\cosh t}{1+\cosh(\pi\sinh t)}</tex>として, <tex>\int_{-\infty}^\infty g(t)dt</tex>となります.
複雑になったように見えますが, たいていの場合,  $g(t)$ は $\left\lvert t\right\rvert\to\infty$ で $\exp\left(-c\exp\left\lvert t\right\rvert\right)$ となり,
台形公式を適用するだけでかなりの精度が出ることが知られています. 詳しくはご自分で調べていただくと参考になるかと思います.
5 光子の代理人 2017/03/20 (月) 14:15:27 ID:HA.Eiahb26 [修正] [削除]
(Log[x])^4/(1 + x)^2でした。


integrate[x^2*(x+1.293)^2*((1-(1/4*x^2))^(1/2))/((1+exp(-x/1.5))(1+exp((x+1.293)/1.5))),x,0.5,inf]についてもお願いします。
指数関数を変数変換したりしましたが、有限区間にできませんでした。
6 甘泉法師 2017/03/20 (月) 14:56:13 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 19:04 [修正] [削除]
こんにちは。

<tex>\int_{0.5}^\infty x^2(x+1.293)^2\frac{\sqrt{1-\frac{1}{4x^2}}}{[1+exp(-\frac{x}{1.5})][1+exp(\frac{x+1.293}{1.5})]}dx</tex>

これも  $t=\frac{1}{x}$  と変数変換するのでは どうでしょう。積分区間はt[0,2] です。
7 hirota 2017/03/20 (月) 16:41:08 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
<tex>y=1-\exp\!\left(\!\!-\frac{x+1.293}{1.5}\!\right)</tex>
8 光子の代理人 2017/03/20 (月) 22:27:39 ID:HA.Eiahb26 [修正] [削除]
うまくいきました。そして、発散の速い関数を引いて足せば、数値積分出来ますよね。
9 甘泉法師 2017/03/20 (月) 23:09:19 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>integrate[x^2*(x+1.293)^2*((1-(1/4*x^2))^(1/2))/((1+exp(-x/1.5))(1+exp((x+1.293)/1.5))),x,0.5,inf]についてもお願いします。

こういうコマンドでPCに計算させることに不案内の者ですが

>うまくいきました。そして、発散の速い関数を引いて足せば、数値積分出来ますよね。

変数変換してコマンドにいれるだけでは積分は実行されない、もう一工夫いるものなのでしょうか。

10 光子の代理人 2017/03/21 (火) 16:16:35 ID:HA.Eiahb26 修正アリ: 16:49 [修正] [削除]
無限を10^4などにしたら、問題なく元の式で出来ました。
お騒がせしました
11 甘泉法師 2017/03/21 (火) 18:10:07 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

せっかく求められたのですから有限区間[0,2]に変数変換した積分と値を比べると精度が確かめられますね。 お騒がせしました。





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