1 hirota 2017/02/27 (月) 01:23:37 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 03/07 (火) 14:33 [修正] [削除]
位置 $\Vec{r}_1,\Vec{r}_2$ にある質量 $M_1,M_2$ の2つの質点にNewton potential
<tex>U=-\frac{GM_1M_2}{|\Vec{r}_1-\Vec{r}_2|}</tex>
が作用している場合、それぞれに引力
<tex>M_i\ddot{\Vec{r}}_i=-\!\left(\!\frac{\partial U}{\partial\Vec{r}_i}\!\right)^{\!\!T}\!\!\!=-\frac{GM_1M_2}{|\Vec{r}_1-\Vec{r}_2|^3}(\Vec{r}_i-\Vec{r}_{3-i})</tex>   $\Vec{x}^T$ は $\Vec{x}$ の転置
が働き、加速度
<tex>\ddot{\Vec{r}}_1=-\frac{GM_2}{|\Vec{r}_1-\Vec{r}_2|^3}(\Vec{r}_1-\Vec{r}_2)\quad,\quad\ddot{\Vec{r}}_2=-\frac{GM_1}{|\Vec{r}_1-\Vec{r}_2|^3}(\Vec{r}_2-\Vec{r}_1)</tex>
が発生する。( $\dot{\Vec{x}}$ は $\Vec{x}$ の時間微分 )
ここで両質点の相対位置 $\Vec{x}=\Vec{r}_1-\Vec{r}_2$ を導入すると
<tex>\ddot{\Vec{x}}=\ddot{\Vec{r}}_1-\ddot{\Vec{r}}_2=-\frac{G(M_1+M_2)}{|\Vec{x}|^3}\Vec{x}</tex>
が運動方程式となる。
 $M_{12}=M_1+M_2$ とすれば
<tex>\ddot{\Vec{x}}=-\frac{GM_{12}}{|\Vec{x}|^3}\Vec{x}</tex>
である。
potential運動ではenergy保存則が成り立つので
<tex>H=-\frac{GM_{12}}{|\Vec{x}|}+\frac{1}{2}|\dot{\Vec{x}}|^2</tex>
とすると
<tex>\dot{H}=\frac{GM_{12}}{|\Vec{x}|^3}\Vec{x}^T\dot{\Vec{x}}+\dot{\Vec{x}}^T\ddot{\Vec{x}}=0\quad\therefore\ H=const.</tex>
となる。(energy積分)
また、中心力( $\Vec{x}$ と $\ddot{\Vec{x}}$ が平行 )なら角運動量保存則が成り立つので
<tex>\Vec{h}=\Vec{x}\times\dot{\Vec{x}}</tex>
とすると
<tex>\dot{\Vec{h}}=\dot{\Vec{x}}\times\dot{\Vec{x}}+\Vec{x}\times\ddot{\Vec{x}}=0\quad\therefore\ \Vec{h}=const.</tex>
となる。
これより $\Vec{x},\dot{\Vec{x}}$ は $\Vec{h}$ に垂直な面内に固定されるので、2次元の運動だけを考えれば良い。
そこで極座標 $r,f$ を使って
<tex>\Vec{x}=\!\begin{pmatrix}r\cos f\\r\sin f\end{pmatrix}</tex>
とし、 $\dot{f}>0$ の運動を考える。
<tex>\dot{\Vec{x}}=\!\begin{pmatrix}\dot{r}\cos f-r\dot{f}\sin f\\\dot{r}\sin f+r\dot{f}\cos f\end{pmatrix}\!=\!\begin{pmatrix}\cos f&-\sin f\\\sin f&\cos f\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}\dot{r}\\r\dot{f}\end{pmatrix}</tex>
だから
<tex>h&=|\Vec{h}|=|\Vec{x}\times\dot{\Vec{x}}|={\rm det}(\Vec{x},\dot{\Vec{x}})\\&={\rm det}\!\Bigl(\!\begin{pmatrix}\cos f&-\sin f\\\sin f&\cos f\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}r&\dot{r}\\0&r\dot{f}\end{pmatrix}\!\Bigr)\!={\rm det}\!\!\begin{pmatrix}r&\dot{r}\\0&r\dot{f}\end{pmatrix}\!=r^2\dot{f}</tex>
となり、 $r^2\dot{f}$ は面積速度だから角運動量保存則は面積速度一定を意味する。
次に
<tex>|\dot{\Vec{x}}|^2=\left|\!\begin{pmatrix}\dot{r}\\r\dot{f}\end{pmatrix}\!\right|^2\!\!=\dot{r}^2+r^2\dot{f}^2</tex>
だから
<tex>H=&-\frac{GM_{12}}{|\Vec{x}|}+\frac{1}{2}|\dot{\Vec{x}}|^2=-\frac{GM_{12}}{r}+\frac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{f}^2)=-\frac{GM_{12}}{r}+\frac{1}{2}\!\left(\!\dot{r}^2+\frac{h^2}{r^2}\right)\\\therefore\quad&\dot{r}^2=2H+\frac{2GM_{12}}{r}-\frac{h^2}{r^2}\\\left(\!\frac{dr}{df}\!\right)^{\!\!\!2}\!\!&=\dot{r}^2/\dot{f}^2\!=r^4\!\!\left(\frac{2H}{h^2}+\frac{2GM_{12}}{h^2}r^{-1}\!-r^{-2}\!\right)\!=r^4\!\!\left(\frac{(GM_{12})^2+2Hh^2}{h^4}-\!\Bigl(r^{-1}\!-\frac{GM_{12}}{h^2}\Bigr)^{\!\!2}\right)\\\therefore\quad&\left(\!\frac{dr^{-1}}{df}\!\right)^{\!\!\!2}\!\!=\!\left(\!\!-r^{-2}\frac{dr}{df}\!\right)^{\!\!\!2}\!\!=\frac{(GM_{12})^2+2Hh^2}{h^4}-\!\Bigl(r^{-1}\!-\frac{GM_{12}}{h^2}\Bigr)^{\!\!2}</tex>
ここで
<tex>y=r^{-1}\!-\frac{GM_{12}}{h^2}\quad,\quad A=\frac{\sqrt{(GM_{12})^2+2Hh^2}}{h^2}</tex>
とすれば
<tex>\left(\!\frac{dy}{df}\!\right)^{\!\!\!2}\!\!=A^2\!-y^2\quad\therefore\ \left(\!\frac{dy}{df}\!\right)^{\!\!\!2}\!+y^2\!=A^2</tex>
これは簡単に解けて
<tex>y=&\,A\cos(f-f_0)\\\therefore\quad&r^{-1}\!=\frac{GM_{12}}{h^2}+\frac{\sqrt{(GM_{12})^2+2Hh^2}}{h^2}\cos(f-f_0)=\frac{GM_{12}}{h^2}\!\!\left(\!1+\sqrt{1+\frac{2Hh^2}{(GM_{12})^2}}\cos(f-f_0)\!\right)</tex>
となる。
 $r$ が最小となる方向(近点方向)をx軸にすると $f_0=0$ となるので、
<tex>e=\sqrt{1+\frac{2Hh^2}{(GM_{12})^2}}</tex>
とすれば
<tex>r=\frac{h^2/(GM_{12})}{1+e\cos f}</tex>
と書ける。
 $r$ の最小値(近点半径)を $r_p$ とすると
<tex>r_p=\frac{h^2/(GM_{12})}{1+e}=\frac{h^2}{GM_{12}(1+e)}</tex>
だから
<tex>r=\frac{r_p(1+e)}{1+e\cos f}\quad,\quad h=\sqrt{GM_{12}r_p(1+e)}</tex>
これは原点を焦点とする離心率 $e$ の円錐曲線である。
<tex>H=\frac{(GM_{12})^2(e^2-1)}{2h^2}=\frac{GM_{12}(e-1)}{2r_p}</tex>
であり、potentialは無限遠で0としてるので、 $e>1,H>0$ は無限遠に脱出する双曲線軌道, $e<1,H<0$ は有限範囲に留まる楕円軌道, $e=1,H=0$ は放物線軌道となる。
2 hirota 2017/02/27 (月) 16:19:23 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 04/01 (土) 19:53 [修正] [削除]
離心率ベクトルを導くには
<tex>\frac{1}{r}=\frac{1+e\cos f}{h^2/(GM_{12})}</tex>
を微分して
<tex>-\frac{\dot{r}}{r^2}&=\frac{-e\sin f}{h^2/(GM_{12})}\dot{f}=-\frac{GM_{12}}{r^2h}e\sin f\quad\therefore\ \dot{r}=\frac{GM_{12}}{h}e\sin f\\\dot{\Vec{x}}=&\begin{pmatrix}\cos f&-\sin f\\\sin f&\cos f\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}\dot{r}\\r\dot{f}\end{pmatrix}\!=\!\begin{pmatrix}\cos f&-\sin f\\\sin f&\cos f\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}(GM_{12}/h)e\sin f\\h/r\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}\cos f&-\sin f\\\sin f&\cos f\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}e\sin f\\1+e\cos f\end{pmatrix}\!\!\frac{GM_{12}}{h}=\!\Bigl(\!\begin{pmatrix}cos f&-\sin f\\\sin f&\cos f\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\!+\!\begin{pmatrix}0\\e\end{pmatrix}\!\Bigr)\!\frac{GM_{12}}{h}\\=&\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\!\!\!\Bigl(\frac{\Vec{x}}{r}+\!\begin{pmatrix}e\\0\end{pmatrix}\!\Bigr)\!\frac{GM_{12}}{h}\quad\therefore\ \begin{pmatrix}e\\0\end{pmatrix}\!=\frac{h}{GM_{12}}\!\!\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\!\dot{\Vec{x}}-\frac{\Vec{x}}{r}</tex>
となり、2次元での離心率ベクトルが求まる。
第一項は、3次元空間では $\dot{\Vec{x}}\times\Vec{h}$ 方向になるので、3次元の離心率ベクトルは
<tex>\Vec{e}=\frac{\dot{\Vec{x}}\times\Vec{h}}{GM_{12}}-\frac{\Vec{x}}{r}</tex>
となる。
この時間微分は
<tex>\dot{\Vec{e}}&=\frac{\ddot{\Vec{x}}\times\Vec{h}}{GM_{12}}-\!\left(\!1-\frac{\Vec{x}\Vec{x}^T}{r^2}\!\right)\!\!\frac{\dot{\Vec{x}}}{r}=-\frac{\Vec{x}\times(\Vec{x}\times\dot{\Vec{x}})}{r^3}-\!\left(\!1-\frac{\Vec{x}\Vec{x}^T}{r^2}\!\right)\!\!\frac{\dot{\Vec{x}}}{r}\\&=\!\left(\!1-\frac{\Vec{x}\Vec{x}^T}{r^2}\!\right)\!\!\frac{\dot{\Vec{x}}}{r}-\!\left(\!1-\frac{\Vec{x}\Vec{x}^T}{r^2}\!\right)\!\!\frac{\dot{\Vec{x}}}{r}=0</tex>
となるので、 $\Vec{e}$ は一定である。
以上の $H,\Vec{h},\Vec{e}$ は不変量であり、 $\Vec{h}$ と $\Vec{e}$ は垂直で絶対値も相関してるので独立成分は5つであるが、この他に周期運動の位相が独立なので合計の不変量(積分定数)は6つである。
2階微分方程式では未知関数の一般解に2つの積分定数があり、 $\Vec{x}$ は3次元で3つの未知関数だから積分定数が6つあれば解析的な一般解が求まる。
この状況を「2体問題は積分可能」と言うが、質点を3つにした「3体問題」では充分な個数の不変量が存在せずカオスが存在して解析的な一般解は求まらない。
3 hirota 2017/02/27 (月) 22:44:19 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 03/07 (火) 14:45 [修正] [削除]
以下では $e<1$ の楕円軌道を扱う。
近点 $f=0,r=r_p$ の反対側(遠点)は $f=\pi$ であり、そこでの $r$ の値(遠点半径)は
<tex>r_a=\frac{r_p(1+e)}{1-e}</tex>
楕円の長半径は
<tex>a=\frac{r_p+r_a}{2}=\frac{r_p}{1-e}\quad\therefore\ r_p=a(1-e),\,r_a=a(1+e)</tex>
である。
楕円の中心と原点(焦点)の距離は $ae$ であり、もう一つの焦点と $\Vec{x}$ の距離は
<tex>r'&=\left|\!\begin{pmatrix}r\cos f\\r\sin f\end{pmatrix}\!-\!\begin{pmatrix}-2ae\\0\end{pmatrix}\!\right|=\!\sqrt{(r\cos f\!+2ae)^2\!+r^2(\sin f)^2}\\&=\!\sqrt{r^2\!+4a^2e^2\!+4aer\cos f}=\!\sqrt{r^2\!+4a^2e^2\!+\frac{4a^2e(1\!-e^2)\cos f}{1+e\cos f}}\\&=\!\sqrt{r^2\!+\frac{4a^2e(e+\cos f)}{1+e\cos f}}=\!\sqrt{r^2\!+4a^2\!-\frac{4a^2(1\!-e^2)}{1+e\cos f}}\\&=\!\sqrt{r^2\!+4a^2\!-4ar}=2a\!-\!r\quad\therefore\ r+r'\!=2a</tex>
これから楕円の短半径は $b=a\sqrt{1\!-e^2}$ と分かるので、y軸方向を $1/\sqrt{1\!-e^2}$ 倍にすれば楕円が円になる。
中心は $ae$ ずれてるので円における角度を $E$ とすれば
<tex>\Vec{x}=\!\begin{pmatrix}r\cos f\\r\sin f\end{pmatrix}\!=\!\begin{pmatrix}a(\cos E-e)\\a\sqrt{1\!-e^2}\sin E\end{pmatrix}</tex>
と書ける。
この $E$ を離心近点離角(eccentric anomaly)と言い、対して $f$ は真心近点離角(true anomaly)と言う。
 $E$ を使うと
<tex>r&=a\sqrt{(\cos E\!-\!e)^2\!+(1\!-e^2)(\sin E)^2}\\&=a\sqrt{1-\!2e\cos E+e^2(\cos E)^2}=a(1-e\cos E)\\\dot{r}&=ae\dot{E}\sin E\\\dot{\Vec{x}}&=\!\begin{pmatrix}-\sin E\\\sqrt{1\!-e^2}\cos E\end{pmatrix}\!a\dot{E}\\h&=|\Vec{x}\times\dot{\Vec{x}}|=a^2\dot{E}\sqrt{1\!-e^2}\Bigl(\!(\cos E\!-\!e)\cos E\!+\!(\sin E)^2\!\Bigr)\\&=a^2\dot{E}\sqrt{1\!-e^2}(1-e\cos E)=a^2\sqrt{1\!-e^2}\frac{d}{dt}(E-e\sin E)</tex>
なので $M=E-e\sin E$ と定義すれば
<tex>\dot{M}=\frac{h}{a^2\sqrt{1\!-e^2}}=\sqrt{\frac{GM_{12}}{a^3}}</tex>
が一定値となる。
この $M$ を平均近点離角(mean anomaly)と言う。
与えられた時刻での天体位置を求めるときは、 $M$ の時間変化を求めて $M\to E\to f\to\Vec{x}$ と計算するが、 $M\to E$ に使う $M=E-e\sin E$ をKepler方程式と言う。
4 hirota 2017/02/28 (火) 20:56:36 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 04/08 (土) 22:34 [修正] [削除]
Kepler方程式は解析的には解けない超越方程式であるが、 $E$ を $e$ の冪級数として求めることが出来る。
<tex>E=M\!+e\sin E=M\!+O(e)</tex>
より
<tex>E&=M\!+e\sin E=M\!+e\sin\bigl(M\!+O(e)\bigr)\!=M\!+e\sin M\!+O(e^2)\\&=M\!+e\sin\bigl(M\!+e\sin M\!+O(e^2)\bigr)\\&=M\!+e\sin M\!+\frac{1}{2}e^2\sin 2M\!+O(e^3)\\&=M\!+e\sin\bigl(M\!+e\sin M\!+\frac{1}{2}e^2\sin 2M\!+O(e^3)\bigr)\\&=M\!+e\sin M\!+\frac{1}{2}e^2\sin 2M\!-\frac{1}{8}e^3(\sin M\!-3\sin 3M)+O(e^4)</tex>
となり、
<tex>\cos E&=\cos M\!-\!\frac{1}{2}e(1-\cos 2M)\!-\!\frac{3}{8}e^2(\cos M\!-\cos 3M)\!-\!\frac{1}{3}e^3(\cos 2M\!-\cos 4M)\!+O(e^4)\\\sin E&=\sin M\!+\!\frac{1}{2}e\sin 2M\!-\!\frac{1}{8}e^2(\sin M\!-\!3\sin 3M)\!-\!\frac{1}{6}e^3(\sin 2M\!-\!2\sin 4M)\!+O(e^4)</tex>
だから $\Vec{x}$ は
<tex>\Vec{x}&=\!\begin{pmatrix}\cos f\\\sin f\end{pmatrix}\!r=\!\begin{pmatrix}\cos E-e\\\sqrt{1\!-e^2}\sin E\end{pmatrix}\!a\\&=a\Bigl(\!\begin{pmatrix}\cos M\\\sin M\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e}{2}\!\!\begin{pmatrix}3-\cos 2M\\-\sin 2M\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e^2}{8}\!\!\begin{pmatrix}3\cos M\!-3\cos 3M\\5\sin M\!-3\sin 3M\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e^3}{12}\!\!\begin{pmatrix}4\cos 2M\!-4\cos 4M\\5\sin 2M\!-4\sin 4M\end{pmatrix}\!\!+\!O(e^4)\!\Bigr)</tex>
となる。
そして
<tex>\frac{r}{a}&=\!1\!-\!e\cos E\!=\!1\!-\!e\cos M\!+\!\frac{1}{2}\,e^2(1\!-\!\cos2M)\!+\!\frac{3}{8}\,e^3(\cos M\!-\!\cos3M)\!+\!O(e^4)\\\frac{a}{r}&=\!1\!+\!e\cos M\!+\!e^2cos2M\!-\!\frac{1}{8}\,e^3(\cos M\!-\!9\,cos3M)\!+\!O(e^4)</tex>
であり、複素指数関数で
<tex>r\exp(if)\!&=\!r(\cos f\!+\!i\sin f)\\&=\!a\exp(iM)\!\biggl(\!1\!+\!\frac{1}{2}\,e\Bigl(\!\exp(iM)\!-\!3\exp(-iM)\!\Bigr)\!-\!\frac{1}{2}\,e^2\Bigl(\!1\!-\!\frac{3}{4}\exp(2iM)\!-\!\frac{1}{4}\exp(-2iM)\!\Bigr)\\&\hspace{64pt}+\!e^3\Bigl(\frac{1}{3}\exp(3iM)\!-\!\frac{3}{8}\exp(iM)\!+\!\frac{1}{24}\exp(-3iM)\!\Bigr)\!+\!O(e^4)\!\biggr)</tex>
と表わせば $a/r$ を掛けて
<tex>\exp(if)\!&=\exp(iM)\!\biggl(\!1\!+\!e\Bigl(\!\exp(iM)\!-\!\exp(-iM)\!\Bigr)\!-\!e^2\Bigl(\!1\!-\!\frac{9}{8}\exp(2iM)\!+\!\frac{1}{8}\exp(-2iM)\!\Bigr)\\&\hspace{57pt}+\!e^3\Bigl(\frac{4}{3}\exp(3iM)\!-\!\frac{5}{4}\exp(iM)\!-\!\frac{1}{12}\exp(-3iM)\!\Bigr)\!+\!O(e^4)\!\biggr)\\f\!&=M\!+\!2\,e\sin M\!+\!\frac{5}{4}\,e^2\sin2M\!-\!\frac{1}{4}\,e^3\Bigl(\sin M\!-\!\frac{13}{3}\sin3M\!\Bigr)\!+\!O(e^4)</tex>
となる。
5 冷蔵庫 2017/03/01 (水) 22:22:28 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>2

H, h, eが不変量で、独立な不変量が6つということですが、
6つというのはどのように数えたのでしょうか?
6 hirota 2017/03/01 (水) 22:44:15 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
エネルギーがスカラーで1つ
角運動量ベクトルが3次元だから3つ
離心率ベクトルも3次元だが角運動量ベクトルと垂直なので
角運動量ベクトルと垂直な平面内でしか任意に取れず2つ
1+3+2=6
7 冷蔵庫 2017/03/03 (金) 17:39:17 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>6

答えて頂いたのはありがたいのですが、それはわかっています。
そのように数えた理由を教えていただけませんか?
8 hirota 2017/03/03 (金) 20:50:29 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 03/07 (火) 14:52 [修正] [削除]
http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/120906001f1f13e4/res52
の計算に必要な級数展開は>>4で終わったので、次は水星軌道に対する他惑星引力の影響を求める。
そのためには>>1に戻って位置 $\Vec{r}_1,\Vec{r}_2,\Vec{r}_3$ にある質量 $M_1,M_2,M_3$ の3つの質点のpotential
<tex>U=-\frac{GM_1M_2}{|\Vec{r}_1-\Vec{r}_2|}-\frac{GM_1M_3}{|\Vec{r}_1-\Vec{r}_3|}-\frac{GM_2M_3}{|\Vec{r}_2-\Vec{r}_3|}</tex>
を考えると、各質点の加速度は
<tex>\ddot{\Vec{r}}_1=-\frac{GM_2}{|\Vec{r}_1-\Vec{r}_2|^3}(\Vec{r}_1-\Vec{r}_2)-\frac{GM_3}{|\Vec{r}_1-\Vec{r}_3|^3}(\Vec{r}_1-\Vec{r}_3)\quad,\quad\ddot{\Vec{r}}_2=-\frac{GM_1}{|\Vec{r}_1-\Vec{r}_2|^3}(\Vec{r}_2-\Vec{r}_1)-\frac{GM_3}{|\Vec{r}_3-\Vec{r}_2|^3}(\Vec{r}_2-\Vec{r}_3)</tex>
のようになる。
1,2,3を水星,太陽,他惑星として $\Vec{x}=\Vec{r}_1-\Vec{r}_2,\,\Vec{x}_o=\Vec{r}_3-\Vec{r}_2,\,M_o=M_3$ に書き換えると
<tex>\ddot{\Vec{x}}&=\ddot{\Vec{r}}_1-\ddot{\Vec{r}}_2=-\frac{GM_2}{|\Vec{x}|^3}\Vec{x}-\frac{GM_o}{|\Vec{x}-\Vec{x}_o|^3}(\Vec{x}-\Vec{x}_o)-\frac{GM_1}{|\Vec{x}|^3}\Vec{x}-\frac{GM_o}{|\Vec{x}_o|^3}\Vec{x}_o\\&=-\frac{G(M_1+M_2)}{|\Vec{x}|^3}\Vec{x}-GM_o\!\!\left(\!\frac{\Vec{x}-\Vec{x}_o}{|\Vec{x}-\Vec{x}_o|^3}+\frac{\Vec{x}_o}{|\Vec{x}_o|^3}\!\right)</tex>
となる。右辺第一項は>>1の2質点だけの加速度と同じであり、第二項が他惑星による潮汐力である。これを $\Vec{x}$ に対するpotentialで表わすと
<tex>U(\Vec{x})=-\frac{GM_{12}}{|\Vec{x}|}-GM_o\!\!\left(\!\frac{1}{|\Vec{x}-\Vec{x}_o|}-\frac{\Vec{x}^T\Vec{x}_o}{|\Vec{x}_o|^3}\!\right)</tex>
となる。第一項の2体potentialに追加された微小な潮汐力potential
<tex>R=-GM_o\!\!\left(\!\frac{1}{|\Vec{x}-\Vec{x}_o|}-\frac{\Vec{x}^T\Vec{x}_o}{|\Vec{x}_o|^3}\!\right)</tex>
の影響を求めるのが本稿の目的である。(追加された微小項を摂動と言う)
 $|\Vec{x}-\Vec{x}_o|$ を $|\Vec{x}|$ と $|\Vec{x}_o|$ で表わすには $\Vec{x}$ と $\Vec{x}_o$ の角度を $S$ として
<tex>|\Vec{x}-\Vec{x}_o|&=\sqrt{(\Vec{x}-\Vec{x}_o)^T\,(\Vec{x}-\Vec{x}_o)}=\sqrt{|\Vec{x}|^2+|\Vec{x}_o|^2-2\,\Vec{x}^T\Vec{x}_o}=\sqrt{|\Vec{x}|^2+|\Vec{x}_o|^2-2|\Vec{x}||\Vec{x}_o|\cos S}\\&=|\Vec{x}_o|\sqrt{1-2\frac{|\Vec{x}|}{|\Vec{x}_o|}\cos S+\frac{|\Vec{x}|^2}{|\Vec{x}_o|^2}}</tex>
およびLegendre多項式母関数の級数展開
<tex>\frac{1}{\sqrt{1-2xy+y^2}}&=\sum_{k=0}^{\infty}y^k\sum_{j=0}^{[k/2]}\frac{(-1)^j(2k-2j)!x^{k-2j}}{2^kj!(k-j)!(k-2j)!}=\sum_{k=0}^{\infty}y^kP_k(x)\\P_k(x)&=\frac{1}{2^kk!}\frac{d^k}{dx^k}(x^2-1)^k=\sum_{j=0}^{[k/2]}\frac{(-1)^j(2k-2j)!x^{k-2j}}{2^kj!(k-j)!(k-2j)!}</tex> はk次Legendre多項式
を使って $P_0(x)=1,P_1(x)=x$ だから
<tex>R=-\frac{GM_o}{|\Vec{x}_o|}\!\!\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{|\Vec{x}|^k}{|\Vec{x}_o|^k}P_k(\cos S)\!-\!\frac{|\Vec{x}|}{|\Vec{x}_o|}\cos S\!\right)\!=-\frac{GM_o}{|\Vec{x}_o|}\!\!\left(\!1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{|\Vec{x}|^k}{|\Vec{x}_o|^k}P_k(\cos S)\!\!\right)</tex>
となるが、potentialに定数は無関係だから
<tex>R=-\frac{GM_o}{|\Vec{x}_o|}\!\sum_{k=2}^{\infty}\frac{|\Vec{x}|^k}{|\Vec{x}_o|^k}P_k(\cos S)</tex>
として良い。
9 hirota 2017/03/06 (月) 21:22:59 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 03/07 (火) 14:57 [修正] [削除]
ここでは軌道に対する摂動の影響を求めるため、ちょっと解析力学を持ち出す。
potentialが
<tex>U(\Vec{x})=-\frac{GM_{12}}{|\Vec{x}|}+R</tex>
の時、運動方程式は
<tex>\ddot{\Vec{x}}=-\!\left(\!\frac{\partial U}{\partial\Vec{x}}\!\right)^{\!\!T}</tex>
となるが、これを変分原理
<tex>\delta\!\int_{t_1}^{t_2}\!\!\!L(t,\Vec{x},\dot{\Vec{x}})dt=0\quad\to\quad\frac{\partial L}{\partial\Vec{x}}-\frac{d}{dt}\!\!\left(\!\frac{\partial L}{\partial\dot{\Vec{x}}}\!\right)\!\!=0</tex>
で表わす事も出来る。
この $L$ は何かと言うと、 $\partial L/\partial\Vec{x}$ は $\partial U/\partial\Vec{x}$ に、 $(\partial L/\partial\dot{\Vec{x}})'$ は $\ddot{\Vec{x}}$ に対応するから
<tex>\frac{\partial L}{\partial\Vec{x}}=-\frac{\partial U}{\partial\Vec{x}}\ \ ,\ \ \frac{d}{dt}\!\!\left(\!\frac{\partial L}{\partial\dot{\Vec{x}}}\!\right)\!\!=\ddot{\Vec{x}}^T\!\to\,\frac{\partial L}{\partial\dot{\Vec{x}}}=\dot{\Vec{x}}^T\quad\therefore\ L=\frac{1}{2}\,|\dot{\Vec{x}}|^2-U</tex>
となっていわゆる
 Lagrangian=(運動energy)−(potential energy)
になる。
また $\Vec{p}=(\partial L/\partial\dot{\Vec{x}})^T\!\!=\dot{\Vec{x}},H(t,\Vec{x},\Vec{p})=|\Vec{p}|^2/2+U(\Vec{x})$ とすると正準運動方程式
<tex>\frac{d\Vec{x}}{dt}=\!\left(\!\frac{\partial H}{\partial\Vec{p}}\!\right)^{\!\!T}\!\!,\,\frac{d\Vec{p}}{dt}=-\!\left(\!\frac{\partial H}{\partial\Vec{x}}\!\right)^{\!\!T}</tex>
の形にもなる( $H$ をHamiltonianと言う )が、これも $\delta\Vec{x},\delta\Vec{p}$ による変分
<tex>\delta\!\int_{t=t_1}^{t=t_2}\!\!\!\Vec{p}^T\!d\Vec{x}-Hdt=\delta\!\int_{t_1}^{t_2}\!\!\Bigl(\Vec{p}^T\dot{\Vec{x}}-H(t,\Vec{x},\Vec{p})\!\Bigr)dt=\delta\!\int_{t_1}^{t_2}\!\!\!L\,dt=0</tex>
から $\delta\Vec{x}(t_1)\!=\!\delta\Vec{x}(t_2)\!=0$ の条件で
<tex>0&=\delta\!\int_{t_1}^{t_2}\!\!\Bigl(\Vec{p}^T\dot{\Vec{x}}-H(t,\Vec{x},\Vec{p})\!\Bigr)dt=\!\!\int_{t_1}^{t_2}\!\!\!\left(\!\delta\Vec{p}^T\dot{\Vec{x}}+\Vec{p}^T\delta\dot{\Vec{x}}-\frac{\partial H}{\partial\Vec{x}}\delta\Vec{x}-\frac{\partial H}{\partial\Vec{p}}\delta\Vec{p}\!\right)\!dt\\&=\!\!\int_{t_1}^{t_2}\!\!\!\left(\!\delta\Vec{p}^T\dot{\Vec{x}}-\dot{\Vec{p}}^T\delta\Vec{x}-\frac{\partial H}{\partial\Vec{x}}\delta\Vec{x}-\frac{\partial H}{\partial\Vec{p}}\delta\Vec{p}\!\right)\!dt\\&=\!\!\int_{t_1}^{t_2}\!\!\!\left(\!\!\Bigl(\dot{\Vec{x}}^T\!-\frac{\partial H}{\partial\Vec{p}}\Bigr)\delta\Vec{p}-\!\Bigl(\dot{\Vec{p}}^T\!+\frac{\partial H}{\partial\Vec{x}}\Bigr)\delta\Vec{x}\!\right)\!dt\quad\therefore\ \dot{\Vec{x}}^T\!-\frac{\partial H}{\partial\Vec{p}}=\dot{\Vec{p}}^T\!+\frac{\partial H}{\partial\Vec{x}}=0</tex>
のように導く事が出来る。
変分原理は単なる同値表現であるが、これを利用すると正準変換(正準運動方程式の形を変えない変数変換)が作り易く、 $H\!=|\Vec{p}|^2/2+U\!=|\Vec{p}|^2/2-\!GM_{12}/|\Vec{x}|+\!R$ を変換して $R$ だけにすれば摂動の影響を簡単に求めることが出来る。
そのための正準変換は、まず $R$ を除いた $H\!=|\Vec{p}|^2/2+U\!=|\Vec{p}|^2/2-\!GM_{12}/|\Vec{x}|$ で極座標 $(r,\phi,\theta)$ への変換を考えると
<tex>\Vec{x}&=\!\!\begin{pmatrix}r\cos\phi\cos\theta\\r\cos\phi\sin\theta\\r\sin\phi\end{pmatrix}\\\dot{\Vec{x}}&=\!\!\begin{pmatrix}\dot{r}\cos\phi\cos\theta-r\dot{\phi}\sin\phi\cos\theta-r\dot{\theta}\cos\phi\sin\theta\\\dot{r}\cos\phi\sin\theta-r\dot{\phi}\sin\phi\sin\theta+r\dot{\theta}\cos\phi\cos\theta\\\dot{r}\sin\phi+r\dot{\phi}\cos\phi\end{pmatrix}\\&=\!\!\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!\!\!\!\begin{pmatrix}\cos\phi&0&-\sin\phi\\0&1&0\\\sin\phi&0&\cos\phi\end{pmatrix}\!\!\!\!\begin{pmatrix}\dot{r}\\r\dot{\theta}\cos\phi\\r\dot{\phi}\end{pmatrix}</tex>
だから
<tex>L&=\Vec{p}^T\dot{\Vec{x}}-H=|\dot{\Vec{x}}|^2\!-H=\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+(r\cos\phi)^2\dot{\theta}^2-H\\&=\Bigl(\dot{r},r^2\dot{\phi},(r\cos\phi)^2\dot{\theta}\Bigr)\!\!\!\begin{pmatrix}\dot{r}\\\dot{\phi}\\\dot{\theta}\end{pmatrix}\!-H</tex>
となるので $H$ は変えないとすれば座標と運動量の変換は
<tex>\Vec{x}\to\Vec{x}'\!=\!\begin{pmatrix}r\\\phi\\\theta\end{pmatrix}\!,\ \Vec{p}\to\Vec{p}'\!=\!\begin{pmatrix}p_r\\p_\phi\\p_\theta\end{pmatrix}\!=\!\begin{pmatrix}\dot{r}\\r^2\dot{\phi}\\(r\cos\phi)^2\dot{\theta}\end{pmatrix}</tex>
とすれば良い。(任意に正準変換された座標と運動量を一般化座標, 一般化運動量,まとめて正準変数と言う)
そして、このときの $H$ は
<tex>H(t,\Vec{x}',\Vec{p}')=\frac{1}{2}|\dot{\Vec{x}}|^2\!+U=\frac{1}{2}\!\left(\!p_r^2+\frac{p_\phi^2}{r^2}+\frac{p_\theta^2}{(r\cos\phi)^2}\!\right)\!\!-\!\frac{GM_{12}}{r}</tex>
となる。 $H$ の値は変わらないが関数形は変わる。
さらにこれを正準変換して $H\to0$ としたいが、それには正準変換の母関数 $W$ を必要とする。
これは、Lagrangianに任意関数の時間微分を足してもLagrangianの時間積分には定数を足すだけになり、変分には影響がなく変数だけを変えた正準変換が導かれる事による。
具体的には新しい一般化運動量, 一般化座標, Hamiltonianを $\Vec{\alpha},\Vec{\beta},K$ として $L=\Vec{p}^T\dot{\Vec{x}}-H(t,\Vec{x},\Vec{p})$ を $L^*\!=\Vec{\alpha}^T\dot{\Vec{\beta}}-K\!=L+(\Vec{\alpha}^T\Vec{\beta})'+\dot{W}(t,\Vec{x},\Vec{\alpha})$ に変えると( $(\Vec{\alpha}^T\Vec{\beta})'$ は $\Vec{\alpha}^T\Vec{\beta}$ の時間微分 )
<tex>&L^*\!=\Vec{\alpha}^T\dot{\Vec{\beta}}-K\!=\Vec{p}^T\dot{\Vec{x}}-H+(\Vec{\alpha}^T\Vec{\beta})'+\dot{W}\\&\hspace{6pt}=\Vec{p}^T\dot{\Vec{x}}-H+\Vec{\beta}^T\dot{\Vec{\alpha}}+\Vec{\alpha}^T\dot{\Vec{\beta}}+\frac{\partial W}{\partial t}+\frac{\partial W}{\partial\Vec{x}}\dot{\Vec{x}}+\frac{\partial W}{\partial\Vec{\alpha}}\dot{\Vec{\alpha}}\\&\therefore\ H-K-\frac{\partial W}{\partial t}-\!\left(\!\Vec{p}^T\!+\frac{\partial W}{\partial\Vec{x}}\!\right)\!\dot{\Vec{x}}-\!\left(\!\Vec{\beta}^T\!+\frac{\partial W}{\partial\Vec{\alpha}}\!\right)\!\dot{\Vec{\alpha}}=0</tex>
であるから $\Vec{\alpha}$ を適当に与えて
<tex>\frac{\partial W}{\partial t}=H-K,\,\frac{\partial W}{\partial\Vec{x}}=-\Vec{p}^T</tex>
となるような $W$ を求めれば
<tex>\Vec{\beta}=-\!\left(\!\frac{\partial W}{\partial\Vec{\alpha}}\!\right)^{\!\!\!T}</tex>
となる。
ここでは $\Vec{x},\Vec{p}$ を極座標の $(r,\phi,\theta),(p_r,p_\phi,p_\theta)$ にして $K=0$ とするので
<tex>&\frac{\partial W}{\partial t}=H=\frac{1}{2}\!\left(\!p_r^2+\frac{p_\phi^2}{r^2}+\frac{p_\theta^2}{(r\cos\phi)^2}\!\right)\!\!-\!\frac{GM_{12}}{r}\\&\frac{\partial W}{\partial(r,\phi,\theta)}=-(p_r,p_\phi,p_\theta)</tex>
であるが、 $K=0$ は正準変数が時間変化しない(正準定数と言う)事を意味し、 $H$ は一定の全energyなので正準定数の候補である。そこでまず $H$ を $\alpha_1$ とする。
<tex>\frac{\partial W}{\partial t}=\alpha_1=\frac{1}{2}\!\left(\!p_r^2+\frac{p_\phi^2}{r^2}+\frac{p_\theta^2}{(r\cos\phi)^2}\!\right)\!\!-\!\frac{GM_{12}}{r}</tex>
これで $W$ から時間部分が分離できるので
<tex>W=\alpha_1t+S</tex>
とすれば
<tex>&2\alpha_1=p_r^2+\frac{p_\phi^2}{r^2}+\frac{p_\theta^2}{(r\cos\phi)^2}-\frac{2GM_{12}}{r}\\&\frac{\partial S}{\partial r}=-p_r\,,\frac{\partial S}{\partial\phi}=-p_\phi\,,\frac{\partial S}{\partial\theta}=-p_\theta\\&\therefore\ \left(\!\frac{\partial S}{\partial r}\!\right)^{\!\!\!2}\!+\frac{1}{r^2}\!\!\left(\!\frac{\partial S}{\partial\phi}\!\right)^{\!\!\!2}\!+\frac{1}{(r\cos\phi)^2}\!\!\left(\!\frac{\partial S}{\partial\theta}\!\right)^{\!\!\!2}\!=\frac{2GM_{12}}{r}+2\alpha_1</tex>
となる。
 $S$ をさらに分離して $S=S_r(r)+S_\phi(\phi)+S_\theta(\theta)$ とすれば
<tex>\left(\!\frac{dS_\phi}{d\phi}\!\right)^{\!\!\!2}\!+\frac{1}{(\cos\phi)^2}\!\!\left(\!\frac{dS_\theta}{d\theta}\!\right)^{\!\!\!2}\!=r^2\!\!\left(\!2\alpha_1+\frac{2GM_{12}}{r}-\!\left(\!\frac{dS_r}{dr}\!\right)^{\!\!\!2}\right)</tex>
となり、両辺に共通の変数がなく定数になるので $\alpha_2^{\ 2}$ とすれば
<tex>&\left(\!\frac{dS_r}{dr}\!\right)^{\!\!\!2}\!=2\alpha_1+\frac{2GM_{12}}{r}-\frac{\alpha_2^{\ 2}}{r^2}\\&\left(\!\frac{dS_\theta}{d\theta}\!\right)^{\!\!\!2}\!=\!\left(\!\alpha_2^{\ 2}-\left(\!\frac{dS_\phi}{d\phi}\!\right)^{\!\!\!2}\right)\!\!(\cos\phi)^2</tex>
第二式も定数なので $\alpha_3^{\ 2}$ とすれば
<tex>\left(\!\frac{dS_\theta}{d\theta}\!\right)^{\!\!\!2}\!=\alpha_3^{\ 2}\,,\left(\!\frac{dS_\phi}{d\phi}\!\right)^{\!\!\!2}\!=\alpha_2^{\ 2}\!-\frac{\alpha_3^{\ 2}}{(\cos\phi)^2}</tex>
となって
<tex>&\frac{dS_r}{dr}=-p_r=-\dot{r}=\pm\sqrt{2\alpha_1+\frac{2GM_{12}}{r}-\frac{\alpha_2^{\ 2}}{r^2}}\\&\frac{dS_\phi}{d\phi}=-p_\phi=-r^2\dot{\phi}=\pm\sqrt{\alpha_2^{\ 2}\!-\frac{\alpha_3^{\ 2}}{(\cos\phi)^2}}\\&\frac{dS_\theta}{d\theta}=-p_\theta=-(r\cos\phi)^2\dot{\theta}=-\alpha_3</tex>
が得られる。
これは>>1で扱った軌道運動なのでenergyは
<tex>\alpha_1=H=-\frac{GM_{12}}{2a}</tex>
であり、 $\alpha_2$ は
<tex>\dot{r}^2=2H+\frac{2GM_{12}}{r}-\frac{h^2}{r^2}</tex>
と比較すると $\alpha_2=h=\sqrt{GM_{12}a(1-e^2)}$ の軌道角運動量である。
 $\alpha_3$ は $\phi$ が最大の場合( $\dot{\phi}=0$ )を考えると $\alpha_3=\alpha_2\cos\phi$ であり、軌道面とxy平面の角度を $i$ とすると(これを軌道傾斜角と言う)
<tex>\alpha_3=h\cos i=\sqrt{GM_{12}a(1-e^2)}\cos i</tex>
となって軌道角運動量のz成分である。
軌道傾斜角を考えた軌道運動は、x軸から昇交点(軌道がxy平面を+z方向に横切る点)までの角度を $\Omega$ , 昇交点から近点までの角度を $\omega$ として
<tex>\Vec{x}=\!\!\begin{pmatrix}r\cos\phi\cos\theta\\r\cos\phi\sin\theta\\r\sin\phi\end{pmatrix}\!\!=\!\!\begin{pmatrix}\cos\Omega&-\cos i\sin\Omega\\\sin\Omega&\cos i\cos\Omega\\0&\sin i\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}r\cos(\omega+f)\\r\sin(\omega+f)\end{pmatrix}</tex>
となるから
<tex>\dot{\Vec{x}}&=\!\!\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!\!\!\!\begin{pmatrix}\cos\phi&0&-\sin\phi\\0&1&0\\\sin\phi&0&\cos\phi\end{pmatrix}\!\!\!\!\begin{pmatrix}\dot{r}\\r\dot{\theta}\cos\phi\\r\dot{\phi}\end{pmatrix}\\&=\!\!\begin{pmatrix}\cos\Omega&-\cos i\sin\Omega\\\sin\Omega&\cos i\cos\Omega\\0&\sin i\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}\cos(\omega+f)&-\sin(\omega+f)\\\sin(\omega+f)&\cos(\omega+f)\end{pmatrix}\!\!\!\begin{pmatrix}\dot{r}\\r\dot{f}\end{pmatrix}</tex>
より
<tex>&\sin\phi=\sin i\sin(\omega+f)\\&\cos\phi=\sqrt{1\!-\!\bigl(\sin i\sin(\omega+f)\bigr)^{\!\!2}}\\&\cos\theta=\frac{\cos\Omega\cos(\omega+f)-\cos i\sin\Omega\sin(\omega+f)}{\cos\phi}\\&\sin\theta=\frac{\sin\Omega\cos(\omega+f)+\cos i\cos\Omega\sin(\omega+f)}{\cos\phi}\\&\dot{\phi}=\frac{\dot{f}\sin i\cos(\omega+f)}{\cos\phi}=\frac{h\sin i\cos(\omega+f)}{r^2\cos\phi}</tex>
となる。
そして $W$ は次のように求まる。( $r_p$ は $r$ の最小値=近点半径 )
<tex>W\!&=\alpha_1t+\!\!\int_{r_p}^r\!\!\frac{dS_r}{dr}dr+\!\!\int_0^\phi\!\!\frac{dS_\phi}{d\phi}d\phi+\!\!\int_0^\theta\!\!\frac{dS_\theta}{d\theta}d\theta\\&=\alpha_1t-\!\!\int_{r_p}^r\!\!\!{\rm sign}(\dot{r})\!\sqrt{2\alpha_1+\frac{2GM_{12}}{r}-\frac{\alpha_2^{\ 2}}{r^2}}dr-\!\!\int_0^\phi\!\!\!{\rm sign}(\dot{\phi})\!\sqrt{\alpha_2^{\ 2}\!-\frac{\alpha_3^{\ 2}}{(\cos\phi)^2}}d\phi-\alpha_3\theta</tex>
これより
<tex>\beta_1&=-\frac{\partial W}{\partial\alpha_1}=-\,t+\!\!\int_{r_p}^r\!\!\!\frac{{\rm sign}(\dot{r})dr}{\sqrt{2\alpha_1+2GM_{12}/r-\alpha_2^{\ 2}\!/r^2}}\\\beta_2&=-\frac{\partial W}{\partial\alpha_2}=-\!\!\int_{r_p}^r\!\!\!\frac{{\rm sign}(\dot{r})\alpha_2/r^2}{\sqrt{2\alpha_1+2GM_{12}/r-\alpha_2^{\ 2}\!/r^2}}dr\!+\!\!\int_0^\phi\!\!\!\frac{{\rm sign}(\dot{\phi})\alpha_2d\phi}{\sqrt{\alpha_2^{\ 2}\!-\alpha_3^{\ 2}\!/(\cos\phi)^2}}\\\beta_3&=-\frac{\partial W}{\partial\alpha_3}=-\!\!\int_0^\phi\!\!\!\frac{{\rm sign}(\dot{\phi})\alpha_3/(\cos\phi)^2}{\sqrt{\alpha_2^{\ 2}\!-\alpha_3^{\ 2}\!/(\cos\phi)^2}}d\phi+\theta</tex>
となるが $\Vec{\beta}$ は定数なので積分終端はどこでも良い。
 $\beta_1,\beta_2$ は終端を近点(時刻は $t_p$ とする)にすると
<tex>\beta_1&=-t_p\\\beta_2&=\!\!\int_0^{r=r_p}\!\!\!\!\!\!\frac{{\rm sign}(\dot{\phi})\alpha_2d\phi}{\sqrt{\alpha_2^{\ 2}\!-\alpha_3^{\ 2}\!/(\cos\phi)^2}}=\!\!\int_0^{r=r_p}\!\!\frac{\alpha_2}{r^2\dot{\phi}}d\phi=\!\!\int_{\phi=0}^{r=r_p}\!\!\dot{f}dt=\omega</tex>
になり、 $\beta_3$ は終端を昇交点( $\phi=0$ )にすると
<tex>\beta_3=\Omega</tex>
になる。
10 hirota 2017/03/08 (水) 22:05:14 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 04/01 (土) 17:59 [修正] [削除]
前章では $R$ 抜きのHamiltonianを0にするような正準変換を求めたが、同じ正準変換を $H\!=|\Vec{p}|^2/2-\!GM_{12}/|\Vec{x}|+\!R$ に対して行なえば、新しいHamiltonianは $K=R$ となる。
その場合、一般化運動量 $\Vec{\alpha}$ と一般化座標 $\Vec{\beta}$ はもはや正準定数ではなく正準運動方程式
<tex>\dot{\Vec{\beta}}=\!\left(\!\frac{\partial R}{\partial\Vec{\alpha}}\!\right)^{\!\!\!T}\!\!,\,\dot{\Vec{\alpha}}=-\!\left(\!\frac{\partial R}{\partial\Vec{\beta}}\!\right)^{\!\!\!T}</tex>
に従って変化する事になる。
この時、軌道に関する変数 $A(t,\Vec{\beta},\Vec{\alpha})$ の変化は
<tex>\dot{A}&=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial A}{\partial\Vec{\beta}}\dot{\Vec{\beta}}+\frac{\partial A}{\partial\Vec{\alpha}}\dot{\Vec{\alpha}}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial A}{\partial\Vec{\beta}}\!\left(\!\frac{\partial R}{\partial\Vec{\alpha}}\!\right)^{\!\!\!T}\!\!-\frac{\partial A}{\partial\Vec{\alpha}}\!\left(\!\frac{\partial R}{\partial\Vec{\beta}}\!\right)^{\!\!\!T}\\&=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,R\,\}</tex>
である。
なお $\{A,B\,\}$ はPoisson括弧式で、任意の一般化運動量 $\Vec{p}$ と一般化座標 $\Vec{q}$ により
<tex>\{A,B\,\}=\frac{\partial A}{\partial\Vec{q}}\!\left(\!\frac{\partial B}{\partial\Vec{p}}\!\right)^{\!\!\!T}\!\!-\frac{\partial A}{\partial\Vec{p}}\!\left(\!\frac{\partial B}{\partial\Vec{q}}\!\right)^{\!\!\!T}</tex>
と定義される。
また、 $R$ が変数 $\Vec{A}$ によって $R(t,\Vec{A})$ と表わされる場合には
<tex>\dot{\Vec{A}}&=\frac{\partial\Vec{A}}{\partial t}+\{\Vec{A},R\,\}=\frac{\partial\Vec{A}}{\partial t}+\frac{\partial\Vec{A}}{\partial\Vec{\beta}}\!\left(\!\frac{\partial R}{\partial\Vec{\alpha}}\!\right)^{\!\!\!T}\!\!-\frac{\partial\Vec{A}}{\partial\Vec{\alpha}}\!\left(\!\frac{\partial R}{\partial\Vec{\beta}}\!\right)^{\!\!\!T}\\&=\frac{\partial\Vec{A}}{\partial t}+\frac{\partial\Vec{A}}{\partial\Vec{\beta}}\!\left(\!\frac{\partial R}{\partial\Vec{A}}\frac{\partial\Vec{A}}{\partial\Vec{\alpha}}\!\right)^{\!\!\!T}\!\!-\frac{\partial\Vec{A}}{\partial\Vec{\alpha}}\!\left(\!\frac{\partial R}{\partial\Vec{A}}\frac{\partial\Vec{A}}{\partial\Vec{\beta}}\!\right)^{\!\!\!T}\!\!=\frac{\partial\Vec{A}}{\partial t}+\!\left(\!\frac{\partial\Vec{A}}{\partial\Vec{\beta}}\!\left(\!\frac{\partial\Vec{A}}{\partial\Vec{\alpha}}\!\right)^{\!\!\!T}\!\!-\frac{\partial\Vec{A}}{\partial\Vec{\alpha}}\!\left(\!\frac{\partial\Vec{A}}{\partial\Vec{\beta}}\!\right)^{\!\!\!T}\right)\!\!\!\left(\!\frac{\partial R}{\partial\Vec{A}}\!\right)^{\!\!\!T}\\&=\frac{\partial\Vec{A}}{\partial t}+\{\Vec{A},\Vec{A}\,\}\!\!\left(\!\frac{\partial R}{\partial\Vec{A}}\!\right)^{\!\!\!T}</tex>
となる。
重力potentialだけがある場合の軌道は任意時刻の位置と速度が与えられれば確定するが、楕円軌道の場合は位置,速度の代わりに $a,e,i,\Omega,\omega,M$ を与えても確定する。このように軌道を決める6つの変数を軌道6要素と言う。もちろん位置,速度も軌道6要素の一種である。(摂動の有無に関係なく同じ変換式を使わないと状態量として使えないので、位置,速度と軌道6要素の変換は摂動なしで求めた式を使う)
ここでは $a\sim M$ をtype2軌道要素と仮称して $\Vec{O}_2$ と書く。(後でtype3,4も出す)
摂動による $\Vec{O}_2$ の変化(運動方程式)は
<tex>\dot{\Vec{O}}_2=\frac{\partial\Vec{O}_2}{\partial t}+\{\Vec{O}_2,\Vec{O}_2\}\!\!\left(\!\frac{\partial R}{\partial\Vec{O}_2}\!\right)^{\!\!\!T}</tex>
なので、具体的に計算すると
<tex>&a=\!-\frac{GM_{12}}{2\alpha_1}\to\frac{\partial a}{\partial\alpha_1}\!=\!\frac{GM_{12}}{2\alpha_1^{\,2}}\!=\!\frac{2a^2}{GM_{12}}\\&\alpha_2=\!\sqrt{GM_{12}a(1-e^2)}\to e=\!\sqrt{1+\frac{2\alpha_1\alpha_2^{\ 2}}{(GM_{12})^2}}\\&\to\frac{\partial e}{\partial\alpha_1}\!=\!\frac{\alpha_2^{\ 2}}{(GM_{12})^2e}\!=\!\frac{a(1-e^2)}{GM_{12}e}\ ,\ \frac{\partial e}{\partial\alpha_2}\!=\!\frac{2\alpha_1\alpha_2}{(GM_{12})^2e}\!=\!-\frac{1}{e}\sqrt{\frac{1-e^2}{GM_{12}a}}\\&\alpha_3\!=\!\alpha_2\cos i\to\frac{\partial i}{\partial\alpha_2}\!=\!\frac{\cos i}{\alpha_2\sin i}\!=\!\frac{\cos i}{h\sin i}\ ,\ \frac{\partial i}{\partial\alpha_3}\!=\!-\frac{1}{\alpha_2\sin i}\!=\!-\frac{1}{h\sin i}</tex>
 $M$ については
<tex>n=\sqrt{\frac{GM_{12}}{a^3}}=\sqrt{-\frac{8\,\alpha_1^{\,3}}{(GM_{12})^2}}</tex>
として(この $n$ を平均運動と言う)
<tex>M\!=n(t-t_p)=n(t+\beta_1)\to\frac{\partial M}{\partial\alpha_1}\!=-\frac{3aM}{GM_{12}}\ ,\ \frac{\partial M}{\partial t}\!=\!\frac{\partial M}{\partial\beta_1}\!=n</tex>
となり、 $\{\Vec{O}_2,\Vec{O}_2\}$ の0でない各成分は
<tex>\{M,a\}&=-\{a,M\}=\frac{\partial M}{\partial\beta_1}\frac{\partial a}{\partial\alpha_1}=\frac{2na^2}{GM_{12}}=\frac{2}{na}\\\{e,\omega\}&=-\{\omega,e\}=-\frac{\partial\omega}{\partial\beta_2}\frac{\partial e}{\partial\alpha_2}=\frac{1}{e}\sqrt{\frac{1-e^2}{GM_{12}a}}=\frac{\sqrt{1-e^2}}{na^2e}\\\{M,e\}&=-\{e,M\}=\frac{\partial M}{\partial\beta_1}\frac{\partial e}{\partial\alpha_1}=\frac{na(1-e^2)}{GM_{12}e}=\frac{1-e^2}{na^2e}\\\{i,\Omega\}&=-\{\Omega,i\}=-\frac{\partial\Omega}{\partial\beta_3}\frac{\partial i}{\partial\alpha_3}=\frac{1}{h\sin i}=\frac{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\\\{\omega,i\}&=-\{i,\omega\}=\frac{\partial\omega}{\partial\beta_2}\frac{\partial i}{\partial\alpha_2}=\frac{\cos i}{h\sin i}=\frac{\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}</tex>
であるから
<tex>\frac{da}{dt}&=-\frac{2}{na}\frac{\partial R}{\partial M}\\\frac{de}{dt}&=\frac{\sqrt{1-e^2}}{na^2e}\frac{\partial R}{\partial\omega}-\frac{1-e^2}{na^2e}\frac{\partial R}{\partial M}\\\frac{di}{dt}&=\frac{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\frac{\partial R}{\partial\Omega}-\frac{\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\frac{\partial R}{\partial\omega}\\\frac{d\Omega}{dt}&=-\frac{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\frac{\partial R}{\partial i}\\\frac{d\omega}{dt}&=-\frac{\sqrt{1-e^2}}{na^2e}\frac{\partial R}{\partial e}+\frac{\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\frac{\partial R}{\partial i}\\\frac{dM}{dt}&=n+\frac{2}{na}\frac{\partial R}{\partial a}+\frac{1-e^2}{na^2e}\frac{\partial R}{\partial e}</tex>
となる。
以上のtype2軌道要素は $M$ 以外は微小変化で $M$ のみほぼ時間に比例して変化するので便利な軌道要素であるが、 $e$ が0に近い場合は $\omega$ が不安定になる欠点があり、その場合には次のtype3軌道要素 $\Vec{O}_3$ が使用される。
 $a\,,\ \xi=e\cos\omega\,,\ \eta=e\sin\omega\,,\ i\,,\ \Omega\,,\ \varphi=\omega+M$ 
 $(\xi,\eta)$ は離心率ベクトルを軌道面内の2次元座標で表した物であり、 $\varphi$ は平均緯度引数と言う。
そして $\Vec{O}_3$ の運動方程式は
<tex>\frac{d\xi}{dt}&=\frac{\xi}{e}\frac{de}{dt}-\eta\frac{d\omega}{dt}\ ,\ \frac{d\eta}{dt}=\frac{\eta}{e}\frac{de}{dt}+\xi\frac{d\omega}{dt}\ ,\ \frac{d\varphi}{dt}=\frac{d\omega}{dt}+\frac{dM}{dt}\\\frac{\partial R}{\partial e}&=\frac{\xi}{e}\frac{\partial R}{\partial\xi}+\frac{\eta}{e}\frac{\partial R}{\partial\eta}\ ,\ \frac{\partial R}{\partial\omega}=-\eta\frac{\partial R}{\partial\xi}+\xi\frac{\partial R}{\partial\eta}+\frac{\partial R}{\partial\varphi}\ ,\ \frac{\partial R}{\partial M}=\frac{\partial R}{\partial\varphi}</tex>
だから
<tex>\frac{da}{dt}&=-\frac{2}{na}\frac{\partial R}{\partial\varphi}\\\frac{d\xi}{dt}&=\frac{\sqrt{1-e^2}}{na^2}\frac{\partial R}{\partial\eta}-\frac{\eta\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\frac{\partial R}{\partial i}+\frac{\xi\sqrt{1-e^2}}{na^2(1+\sqrt{1-e^2})}\frac{\partial R}{\partial\varphi}\\\frac{d\eta}{dt}&=-\frac{\sqrt{1-e^2}}{na^2}\frac{\partial R}{\partial\xi}+\frac{\xi\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\frac{\partial R}{\partial i}+\frac{\eta\sqrt{1-e^2}}{na^2(1+\sqrt{1-e^2})}\frac{\partial R}{\partial\varphi}\\\frac{di}{dt}&=\frac{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\frac{\partial R}{\partial\Omega}-\frac{\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\!\!\left(\!-\eta\frac{\partial R}{\partial\xi}+\xi\frac{\partial R}{\partial\eta}+\frac{\partial R}{\partial\varphi}\right)\\\frac{d\Omega}{dt}&=-\frac{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\frac{\partial R}{\partial i}\\\frac{d\varphi}{dt}&=n+\frac{2}{na}\frac{\partial R}{\partial a}-\frac{\sqrt{1-e^2}}{na^2(1+\sqrt{1-e^2})}\!\left(\!\xi\frac{\partial R}{\partial\xi}+\eta\frac{\partial R}{\partial\eta}\right)\!+\frac{\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\frac{\partial R}{\partial i}</tex>
となる。
しかし、type3軌道要素も惑星軌道のように $i$ が0に近い場合は $\Omega$ が不安定になるため、その場合は次のtype4軌道要素 $\Vec{O}_4$ が使用される。
<tex>&a\,,\ e_x\!=e\cos(\Omega+\omega)\,,\ e_y\!=e\sin(\Omega+\omega)\\&p=\sin i\cos\Omega\,,\ q=\sin i\sin\Omega\,,\ \lambda=\Omega+\omega+M</tex>
 $\Vec{O}_4$ の運動方程式は
<tex>\frac{de_x}{dt}&=\frac{e_x}{e}\frac{de}{dt}-e_y\!\left(\!\frac{d\Omega}{dt}+\frac{d\omega}{dt}\!\right),\ \frac{de_y}{dt}=\frac{e_y}{e}\frac{de}{dt}+e_x\!\left(\!\frac{d\Omega}{dt}+\frac{d\omega}{dt}\!\right)\\\frac{dp}{dt}&=\frac{p\cos i}{\sin i}\frac{d i}{dt}-q\frac{d\Omega}{dt}\ ,\ \frac{dq}{dt}=\frac{q\cos i}{\sin i}\frac{d i}{dt}+p\frac{d\Omega}{dt}\ ,\ \frac{d\lambda}{dt}=\frac{d\Omega}{dt}+\frac{d\omega}{dt}+\frac{dM}{dt}\\\frac{\partial R}{\partial e}&=\frac{e_x}{e}\frac{\partial R}{\partial e_x}+\frac{e_y}{e}\frac{\partial R}{\partial e_y}\ ,\ \frac{\partial R}{\partial i}=\frac{\cos i}{\sin i}\!\!\left(\!p\frac{\partial R}{\partial p}+q\frac{\partial R}{\partial q}\!\right)\\\frac{\partial R}{\partial\Omega}&=-e_y\frac{\partial R}{\partial e_x}+e_x\frac{\partial R}{\partial e_y}-q\frac{\partial R}{\partial p}+p\frac{\partial R}{\partial q}+\frac{\partial R}{\partial\lambda}\\\frac{\partial R}{\partial\omega}&=-e_y\frac{\partial R}{\partial e_x}+e_x\frac{\partial R}{\partial e_y}+\frac{\partial R}{\partial\lambda}\ ,\ \frac{\partial R}{\partial M}=\frac{\partial R}{\partial\lambda}</tex>
だから
<tex>\frac{da}{dt}&=-\frac{2}{na}\frac{\partial R}{\partial\lambda}\\\frac{de_x}{dt}&=\frac{\sqrt{1-e^2}}{na^2}\frac{\partial R}{\partial e_y}+\frac{e_y\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}(1+\cos i)}\!\!\left(\!p\frac{\partial R}{\partial p}+q\frac{\partial R}{\partial q}\!\right)\!+\frac{e_x\sqrt{1-e^2}}{na^2(1+\sqrt{1-e^2})}\frac{\partial R}{\partial\lambda}\\\frac{de_y}{dt}&=-\frac{\sqrt{1-e^2}}{na^2}\frac{\partial R}{\partial e_x}-\frac{e_x\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}(1+\cos i)}\!\!\left(\!p\frac{\partial R}{\partial p}+q\frac{\partial R}{\partial q}\!\right)\!+\frac{e_y\sqrt{1-e^2}}{na^2(1+\sqrt{1-e^2})}\frac{\partial R}{\partial\lambda}\\\frac{d p}{dt}&=\frac{\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}}\frac{\partial R}{\partial q}+\frac{p\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}(1+\cos i)}\!\!\left(\!-e_y\frac{\partial R}{\partial e_x}+e_x\frac{\partial R}{\partial e_y}+\frac{\partial R}{\partial\lambda}\!\right)\\\frac{d q}{dt}&=-\frac{\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}}\frac{\partial R}{\partial p}+\frac{q\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}(1+\cos i)}\!\!\left(\!-e_y\frac{\partial R}{\partial e_x}+e_x\frac{\partial R}{\partial e_y}+\frac{\partial R}{\partial\lambda}\!\right)\\\frac{d\lambda}{dt}&=n+\frac{2}{na}\frac{\partial R}{\partial a}-\frac{\sqrt{1-e^2}}{na^2(1+\sqrt{1-e^2})}\!\!\left(\!e_x\frac{\partial R}{\partial e_x}+e_y\frac{\partial R}{\partial e_y}\!\right)\!-\frac{\cos i}{na^2\sqrt{1-e^2}(1+\cos i)}\!\!\left(\!p\frac{\partial R}{\partial p}+q\frac{\partial R}{\partial q}\!\right)</tex>
となる。
11 hirota 2017/03/18 (土) 16:48:20 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 03/20 (月) 16:13 [修正] [削除]
ここでは後で必要になる定積分
<tex>{\rm Int}(k,m)=\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\!\!\frac{\cos(mf)}{(1+e\cos f)^k}df</tex>
の計算を行なう。( $0<e<1$ )
まず、 $k\le0$ の場合は単なる三角関数の積分なので
<tex>&{\rm Int}(0,0)=\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\!\!1\,df=2\pi\\&m\neq0\to{\rm Int}(0,m)=\!\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\!\!\!\cos(mf)df\!=\!\left[\frac{1}{m}\sin(mf)\right]_{0}^{2\pi}\!\!\!=0</tex>
などは容易に分かる。
次に漸化式は
<tex>&\cos(mf)=\cos f\cos\bigl((m-1)f\bigr)-\sin f\sin\bigl((m-1)f\bigr)\\&\hspace{38pt}=\cos f\cos\bigl((m-1)f\bigr)-\frac{1}{2}\Bigl(\cos\bigl((m-2)f\bigr)-\cos(mf)\Bigr)\\&\therefore\ \cos(mf)=2\cos f\cos\bigl((m-1)f\bigr)-\cos\bigl((m-2)f\bigr)</tex>
より
<tex>\frac{\cos(mf)}{(1+e\cos f)^k}&=\frac{1}{(1+e\cos f)^k}\Bigl(2\!\left(\!\frac{1+e\cos f}{e}-\frac{1}{e}\right)\!\cos\bigl((m\!-\!1)f\bigr)-\cos\bigl((m\!-\!2)f\bigr)\!\Bigr)\\&=-\frac{2}{e}\frac{\cos\bigl((m\!-\!1)f\bigr)}{(1+e\cos f)^k}+\frac{2}{e}\frac{\cos\bigl((m\!-\!1)f\bigr)}{(1+e\cos f)^{k-1}}-\frac{\cos\bigl((m\!-\!2)f\bigr)}{(1+e\cos f)^k}\\\therefore\quad{\rm Int}(k,m)&=-\frac{2}{e}{\rm Int}(k,m\!-\!1)+\frac{2}{e}{\rm Int}(k\!-\!1,m\!-\!1)-{\rm Int}(k,m\!-\!2)</tex>(1)
が得られ、 $(\,)'$ を $f$ による微分とすると
<tex>{\left(\!\frac{\sin(mf)}{(1+e\cos f)^k}\!\right)\!\!}'\!&=\frac{m\cos(mf)}{(1+e\cos f)^k}+\frac{ke\sin f\sin(mf)}{(1+e\cos f)^{k+1}}\\&=m\frac{\cos(mf)}{(1+e\cos f)^k}+\frac{ke}{2}\frac{\cos\bigl((m\!-\!1)f\bigr)\!-\cos\bigl((m\!+\!1)f\bigr)}{(1+e\cos f)^{k+1}}</tex>
なので両辺を積分して
<tex>0=m\,{\rm Int}(k,m)+\frac{ke}{2}{\rm Int}(k\!+\!1,m\!-\!1)-\frac{ke}{2}{\rm Int}(k\!+\!1,m\!+\!1)</tex>
が得られるから $k,m\to k\!-\!1,m\!-\!1$ として
<tex>0=(m\!-\!1){\rm Int}(k\!-\!1,m\!-\!1)+\frac{k\!-\!1}{2}e\,{\rm Int}(k,m\!-\!2)-\frac{k\!-\!1}{2}e\,{\rm Int}(k,m)</tex>      (2)
となり、(1)と(2)で ${\rm Int}(k,m\!-\!2)$ を消去し
<tex>0=(k\!+\!m\!-\!2){\rm Int}(k\!-\!1,m\!-\!1)-(k\!-\!1){\rm Int}(k,m\!-\!1)-(k\!-\!1)e\,{\rm Int}(k,m)</tex>     (3)
同じく(1)と(2)で ${\rm Int}(k,m)$ を消去して
<tex>0=(m\!-\!k){\rm Int}(k\!-\!1,m\!-\!1)+(k\!-\!1)e\,{\rm Int}(k,m\!-\!2)+(k\!-\!1){\rm Int}(k,m\!-\!1)</tex>
これを $m\to m\!+\!1$ とすれば
<tex>0=(m\!-\!k\!+\!1){\rm Int}(k\!-\!1,m)+(k\!-\!1)e\,{\rm Int}(k,m\!-\!1)+(k\!-\!1){\rm Int}(k,m)</tex>      (4)
(3)と(4)でまた ${\rm Int}(k,m)$ を消去して
<tex>0=(k\!-\!m\!-\!1)e\,{\rm Int}(k\!-\!1,m)+(k\!-\!1)(1\!-\!e^2){\rm Int}(k,m\!-\!1)-(k\!+\!m\!-\!2){\rm Int}(k\!-\!1,m\!-\!1)</tex>
ふたたび $m\to m\!+\!1$ とすれば
<tex>{\rm Int}(k,m)=\frac{k\!+\!m\!-\!1}{(k\!-\!1)(1\!-\!e^2)}{\rm Int}(k\!-\!1,m)-\frac{(k\!-\!m\!-\!2)e}{(k\!-\!1)(1\!-\!e^2)}{\rm Int}(k\!-\!1,m\!+\!1)</tex>     (5)
が得られる。
以上が漸化式であるが、(5)は $k=1$ で使えないため ${\rm Int}(1,0),{\rm Int}(1,1)$ は別に求める必要がある。
そこで有名な留数定理を使うと、 $z=\exp(if)\!=\!\cos f\!+\!i\sin f,dz=i\exp(if)df\!=iz\,df$ とすれば
<tex>\int_{0}^{2\pi}&\!\frac{\cos(mf)\!+\!i\sin(mf)}{(1\!+e\cos f)^k}df\!=\!\!\int_{\!C}\!\frac{z^m}{\bigl(1\!+e(z\!+\!1/z)/2\bigr)^{\!k}}\frac{dz}{iz}\\&=\!\frac{2^k}{ie^k}\!\!\int_{\!C}\!z^{k+m\!-\!1}\!\!\left(\!z\!+\!\frac{e}{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\right)^{\!\!\!-k}\!\!\!\left(\!z\!+\!\frac{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}{e}\right)^{\!\!\!-k}\!\!\!\!dz</tex> 積分路 $C$ は原点周りの単位円周
であるから、被積分関数
<tex>{\rm F}(z)=\frac{2^k}{ie^k}z^{k+m\!-\!1}\!\!\left(\!z\!+\!\frac{e}{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\right)^{\!\!\!-k}\!\!\!\left(\!z\!+\!\frac{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}{e}\right)^{\!\!\!-k}</tex>
の単位円周内の特異点は $k+m>0$ なら $z=-e/(1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}\,)$ だけなので、その留数を $Res\,{\rm F}$ とすれば
<tex>\int_{0}^{2\pi}&\!\frac{\cos(mf)\!+\!i\sin(mf)}{(1\!+e\cos f)^k}df\!=2\pi i\,Res\,{\rm F}</tex>
となる。なお、式から積分値は実数なので
<tex>\int_{0}^{2\pi}&\!\!\!\!\frac{\sin(mf)}{(1\!+e\cos f)^k}df\!=0</tex>
は計算せずとも分かり、積分結果は ${\rm Int}(k,m)$ である。
これで  ${\rm Int}(1,0),{\rm Int}(1,1)$ を計算すると
<tex>&k=1,m=0\,:\\&{\rm F}(z)=\frac{1}{i}\!\!\left(\!\frac{1}{\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\!\left(\!z\!+\!\frac{e}{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\right)^{\!\!\!-1}\!\!\!-\frac{1}{\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\!\left(\!z\!+\!\frac{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}{e}\right)^{\!\!\!-1}\!\right)\\&\therefore\quad{\rm Int}(1,0)=\frac{2\pi}{\sqrt{1\!-\!e^2}}\\&k=1,m=1\,:\\&{\rm F}(z)=\frac{1}{i}\!\!\left(\!-\frac{e}{\sqrt{1\!-\!e^2}(1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2})}\!\!\left(\!z\!+\!\frac{e}{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\right)^{\!\!\!-1}\!\!\!+\frac{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}{e\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\!\left(\!z\!+\!\frac{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}{e}\right)^{\!\!\!-1}\!\right)\\&\therefore\quad{\rm Int}(1,1)=\frac{2\pi}{\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\left(\!\!-\frac{e}{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\right)</tex>
となる。
 $k=1$ に対しては(1)の漸化式が使えるので数学的帰納法により
<tex>{\rm Int}(1,m)=\frac{2\pi}{\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\left(\!\!-\frac{e}{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\right)^{\!\!|m|}</tex>
が証明できる。
 $k\ge2$ では(5)の漸化式を使って
<tex>{\rm Int}(2,m)&=\frac{2\pi}{1\!-\!e^2}\!\!\left(\!\frac{1}{\sqrt{1\!-\!e^2}}+\!|m|\!\right)\!\!\!\left(\!\!-\frac{e}{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\right)^{\!\!|m|}\\{\rm Int}(3,m)&=\frac{\pi}{(1\!-\!e^2)^{3/2}}\!\!\left(\!\frac{3}{1\!-\!e^2}\!+\!\frac{3|m|}{\sqrt{1\!-\!e^2}}+\!m^2\!-\!1\!\!\right)\!\!\!\left(\!\!-\frac{e}{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\right)^{\!\!|m|}\\{\rm Int}(4,m)&=\frac{\pi}{(1\!-\!e^2)^2}\!\!\left(\!\frac{5}{(1\!-\!e^2)^{3/2}}\!+\!\frac{5|m|}{1\!-\!e^2}\!+\!\frac{2m^2\!-\!3}{\sqrt{1\!-\!e^2}}+\!\frac{1}{3}|m|(m^2\!-\!4)\!\!\right)\!\!\!\left(\!\!-\frac{e}{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\right)^{\!\!|m|}\\{\rm Int}(5,m)&=\frac{\pi}{4(1\!-\!e^2)^{5/2}}\!\!\left(\!\frac{35}{(1\!-\!e^2)^2}\!+\!\frac{35|m|}{(1\!-\!e^2)^{3/2}}\!+\!\frac{15(m^2\!\!-\!2)}{1\!-\!e^2}\!+\!\frac{5|m|(2m^2\!\!-\!11)}{3\sqrt{1\!-\!e^2}}+\!\frac{1}{3}(m^2\!\!-\!1)(m^2\!\!-\!9)\!\!\right)\!\!\!\left(\!\!-\frac{e}{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\right)^{\!\!|m|}</tex>
となるが、 $e_1=1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}$ として先の予想が容易になるように書くと
<tex>{\rm Int}(1,m)\!&=\!\frac{2\pi}{e_1\!-\!1}\!\left(\!-\frac{e}{e_1}\right)^{\!\!|m|}\\{\rm Int}(2,m)\!&=\!\frac{2\pi}{(e_1\!-\!1)^3}\bigl((1\!-\!|m|)\!+\!e_1|m|\bigr)\!\!\left(\!-\frac{e}{e_1}\right)^{\!\!|m|}\\{\rm Int}(3,m)\!&=\!\frac{2\pi}{2(e_1\!-\!1)^5}\!\!\left(\prod_{j=1}^2\!(j\!-\!|m|)\!+\!e_1\!\!\sum_{j=1}^2(|m|\!-\!j\!+\!2)(2\!-\!|m|)\!+\!e_1^{\,2}(|m|\!+\!1)(|m|\!-\!1)\!\!\right)\!\!\!\!\left(\!-\frac{e}{e_1}\right)^{\!\!|m|}\\{\rm Int}(4,m)\!&=\!\frac{2\pi}{3!(e_1\!-\!1)^7}\!\Biggl(\,\prod_{j=1}^3\!(j\!-\!|m|)\!+e_1\!\!\sum_{j_1=1}^3(|m|\!-\!j_1\!+\!3)\!\!\prod_{j_2=2}^3\!(j_2\!-\!|m|)\\&\hspace{59pt}+\!e_1^{\,2}\!\sum_{j_1=1}^2\!(|m|\!-\!j_1\!+\!3)\!\!\!\!\!\sum_{j_2=j_1\!+1}^3\!\!\!\!(|m|\!-\!j_2\!+\!2)(3\!-\!|m|)\!+\!e_1^{\,3}(|m|\!+\!2)|m|(|m|\!-\!2)\!\!\Biggr)\!\!\!\left(\!-\frac{e}{e_1}\right)^{\!\!|m|}\\{\rm Int}(5,m)\!&=\!\frac{2\pi}{4!(e_1\!-\!1)^9}\!\Biggl(\,\prod_{j=1}^4\!(j\!-\!|m|)\!+\!e_1\!\!\sum_{j_1=1}^4(|m|\!-\!j_1\!+\!4)\!\!\prod_{j_2=2}^4\!(j_2\!-\!|m|)\\&\hspace{59pt}+e_1^{\,2}\!\sum_{j_1=1}^3\!(|m|\!-\!j_1\!+\!4)\!\!\!\!\!\sum_{j_2=j_1\!+1}^4\!\!\!\!(|m|\!-\!j_2\!+\!3)\!\!\prod_{j_3=3}^4\!(j_3\!-\!|m|)\\&\hspace{59pt}+\!e_1^{\,3}\!\sum_{j_1=1}^2\!(|m|\!-\!j_1\!+\!4)\!\!\!\!\!\sum_{j_2=j_1\!+1}^3\!\!\!\!(|m|\!-\!j_2\!+\!3)\!\!\!\!\!\sum_{j_3=j_2\!+1}^4\!\!\!\!(|m|\!-\!j_3\!+\!2)(4\!-\!|m|)\\&\hspace{59pt}+\!e_1^{\,4}(|m|\!+\!3)(|m|\!+\!1)(|m|\!-\!1)(|m|\!-\!3)\!\!\Biggr)\!\!\!\left(\!-\frac{e}{e_1}\right)^{\!\!|m|}\\{\rm Int}(6,m)\!&=\!\frac{2\pi}{5!(e_1\!-\!1)^{11}}\!\Biggl(\,\prod_{j=1}^5\!(j\!-\!|m|)\!+e_1\!\!\sum_{j_1=1}^5(|m|\!-\!j_1\!+\!5)\!\!\prod_{j_2=2}^5\!(j_2\!-\!|m|)\\&\hspace{59pt}+\!e_1^{\,2}\!\sum_{j_1=1}^4\!(|m|\!-\!j_1\!+\!5)\!\!\!\!\!\sum_{j_2=j_1\!+1}^5\!\!\!\!(|m|\!-\!j_2\!+\!4)\!\!\prod_{j_3=3}^5\!(j_3\!-\!|m|)\\&\hspace{59pt}+e_1^{\,3}\!\sum_{j_1=1}^3\!(|m|\!-\!j_1\!+\!5)\!\!\!\!\!\sum_{j_2=j_1\!+1}^4\!\!\!\!(|m|\!-\!j_2\!+\!4)\!\!\!\!\!\sum_{j_3=j_2\!+1}^5\!\!\!\!(|m|\!-\!j_3\!+\!3)\!\!\prod_{j_4=4}^5\!(j_4\!-\!|m|)\\&\hspace{59pt}+\!e_1^{\,4}\!\sum_{j_1=1}^2\!(|m|\!-\!j_1\!+\!5)\!\!\!\!\!\sum_{j_2=j_1\!+1}^3\!\!\!\!(|m|\!-\!j_2\!+\!4)\!\!\!\!\!\sum_{j_3=j_2\!+1}^4\!\!\!\!(|m|\!-\!j_3\!+\!3)\!\!\!\!\!\sum_{j_4=j_3\!+1}^5\!\!\!\!(|m|\!-\!j_4\!+\!2)(5\!-\!|m|)\\&\hspace{59pt}+\!e_1^{\,5}(|m|\!+\!4)(|m|\!+\!2)|m|(|m|\!-\!2)(|m|\!-\!4)\!\!\Biggr)\!\!\!\left(\!-\frac{e}{e_1}\right)^{\!\!|m|}</tex>
となる。
12 hirota 2017/03/19 (日) 22:40:02 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 03/20 (月) 14:15 [修正] [削除]
ここでは>>8で出て来たLegendre多項式の漸化式を求める。
ついでにLegendre多項式の $m$ 階微分
<tex>P^{(m)}_n\!(x)\!=\!\frac{1}{2^nn!}\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2\!\!-\!1)^n</tex>
の漸化式も求めるが、その方法は正則関数の積分表示
<tex>f(x)\!=\!\frac{1}{2\pi i}\!\int_{\!C}\frac{f(z)}{z\!-\!x}\,dz</tex>    (積分路 $C$ は $x$ の周りを反時計回り)
を使う。
積分表示を $x$ で $m$ 階微分すると
<tex>f^{(m)}\!(x)\!=\!\frac{m!}{2\pi i}\!\int_{\!C}\frac{f(z)}{(z\!-\!x)^{m\!+1}}\,dz</tex>
であるから、
<tex>P^{(m)}_n\!(x)\!=\!\frac{(n\!+\!m)!}{2^nn!}\frac{1}{2\pi i}\!\int_{\!C}\frac{(z^2\!\!-\!1)^n}{(z\!-\!x)^{n+m\!+1}}\,dz</tex>
となる。
ここで
<tex>\frac{\partial}{\partial z}\frac{(z^2\!\!-\!1)^n}{(z\!-\!x)^{n+m}}\!&=\!2n\frac{z(z^2\!\!-\!1)^{n\!-1}}{(z\!-\!x)^{n+m}}\!-\!(n\!+\!m)\frac{(z^2\!\!-\!1)^n}{(z\!-\!x)^{n+m\!+1}}\\&=\!2n\frac{\bigl((z\!-\!x)\!+\!x\bigr)\!(z^2\!\!-\!1)^{n\!-1}}{(z\!-\!x)^{n+m}}\!-\!(n\!+\!m)\frac{(z^2\!\!-\!1)^n}{(z\!-\!x)^{n+m\!+1}}\\&=\!2n\frac{(z^2\!\!-\!1)^{n\!-1}}{(z\!-\!x)^{n+m\!-1}}\!+\!2nx\frac{(z^2\!\!-\!1)^{n\!-1}}{(z\!-\!x)^{n+m}}\!-\!(n\!+\!m)\frac{(z^2\!\!-\!1)^n}{(z\!-\!x)^{n+m\!+1}}</tex>
を使うと
<tex>0=(n\!+\!m\!-\!1)P^{(m\!-1)}_{n\!-1}\!(x)\!+\!xP^{(m)}_{n\!-1}\!(x)\!-\!P^{(m)}_n\!(x)</tex>           (1)
が得られる。
また
<tex>\frac{\partial}{\partial z}\frac{z(z^2\!\!-\!1)^{n\!-1}}{(z\!-\!x)^{n+m\!-1}}\!&=\!\frac{(z^2\!\!-\!1)^{n\!-1}}{(z\!-\!x)^{n+m\!-1}}\!+\!2(n\!-\!1)\frac{z^2(z^2\!\!-\!1)^{n\!-2}}{(z\!-\!x)^{n+m\!-1}}\!-\!(n\!+\!m\!-\!1)\frac{z(z^2\!\!-\!1)^{n\!-1}}{(z\!-\!x)^{n+m}}\\&=\!(2n\!-\!1)\frac{(z^2\!\!-\!1)^{n\!-1}}{(z\!-\!x)^{n+m\!-1}}\!+\!2(n\!-\!1)\frac{(z^2\!\!-\!1)^{n\!-2}}{(z\!-\!x)^{n+m\!-1}}\!-\!(n\!+\!m\!-\!1)\frac{z(z^2\!\!-\!1)^{n\!-1}}{(z\!-\!x)^{n+m}}</tex>
と合わせると
<tex>&(n\!+\!m\!-\!1)\frac{\partial}{\partial z}\frac{(z^2\!\!-\!1)^n}{(z\!-\!x)^{n+m}}\!+\!2n\frac{\partial}{\partial z}\frac{z(z^2\!\!-\!1)^{n\!-1}}{(z\!-\!x)^{n+m\!-1}}\\&\hspace{63pt}=\!-(n\!+\!m\!-\!1)(n\!+\!m)\frac{(z^2\!\!-\!1)^n}{(z\!-\!x)^{n+m\!+1}}\\&\hspace{106pt}+\!2n(2n\!-\!1)\frac{(z^2\!\!-\!1)^{n\!-1}}{(z\!-\!x)^{n+m\!-1}}\!+\!4n(n\!-\!1)\frac{(z^2\!\!-\!1)^{n\!-2}}{(z\!-\!x)^{n+m\!-1}}</tex>
となって
<tex>0=\!-P^{(m)}_n\!(x)\!+\hspace{1pt}\!(2n\!-\!1)P^{(m\!-1)}_{n\!-1}\!(x)\!+\!P^{(m)}_{n\!-2}\!(x)</tex>            (2)
も得られる。
(1),(2)から $(n\!-\!1,m\!-\!1)$ を消去すれば
<tex>0=(n\!-\!m)P^{(m)}_n\!(x)\!-\!(2n\!-\!1)xP^{(m)}_{n\!-1}\!(x)\!+\!(n\!+\!m\!-\!1)P^{(m)}_{n\!-2}\!(x)</tex>      (3)
が得られ、(1),(2)から $(n,m)$ を消去して
<tex>0=-xP^{(m)}_{n\!-1}\!(x)\!+\!(n\!-\!m)P^{(m\!-1)}_{n\!-1}\!(x)\!+\!P^{(m)}_{n\!-2}\!(x)</tex>
 $n\to n\!+\!1$ とすれば
<tex>0=-xP^{(m)}_n\!(x)\!+\!(n\!-\!m\!+\!1)P^{(m\!-1)}_n\!(x)\!+\!P^{(m)}_{n\!-1}\!(x)</tex>           (4)
さらに(1),(4)から $(n,m)$ を消去して
<tex>0=(n\!+\!m\!-\!1)xP^{(m\!-1)}_{n\!-1}\!(x)\!+\!(x^2\!-\!1)P^{(m)}_{n\!-1}\!(x)\!-\!(n\!-\!m\!+\!1)P^{(m\!-1)}_n\!(x)</tex>
 $m\to m\!+\!1$ とすれば
<tex>0=(n\!+\!m)xP^{(m)}_{n\!-1}\!(x)\!+\!(x^2\!-\!1)P^{(m\!+1)}_{n\!-1}\!(x)\!-\!(n\!-\!m)P^{(m)}_n\!(x)</tex>        (5)
が得られる。
同様にして
<tex>0&=(x^2\!-\!1)P^{(m)}_n\!(x)\!+2(m\!-\!1)xP^{(m\!-1)}_n\!(x)\!-\!(n\!+\!m\!-\!1)(n\!-\!m\!+\!2)P^{(m\!-2)}_n\!(x)\\0&=(x^2\!-\!1)P^{(m)}_n\!(x)\!-\bigl((2n\!-\!1)x^2\!-\!2n\!-\!2m\!+\!3\bigr)P^{(m\!-1)}_{n\!-1}\!(x)\!-\!(n\!+\!m\!-\!2)(n\!+\!m\!-\!3)P^{(m\!-2)}_{n\!-2}\!(x)\\0&=(x^2\!-\!1)P^{(m)}_n\!(x)\!-(n\!-\!m\!+\!1)xP^{(m\!-1)}_n\!(x)\!+\!(n\!+\!m\!-\!1)P^{(m\!-1)}_{n\!-1}\!(x)</tex>
なども得られる。
13 hirota 2017/03/22 (水) 15:12:12 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 04/01 (土) 19:39 [修正] [削除]
惑星軌道に使える $\Vec{O}_4$ の運動方程式が>>10で得られたので、やっと水星の軌道変化が計算できる。
他惑星による潮汐力potentialは>>8より
<tex>R=-\frac{GM_o}{|\Vec{x}_o|}\!\sum_{k=2}^{\infty}\frac{|\Vec{x}|^k}{|\Vec{x}_o|^k}P_k(\cos S)</tex>
なので、惑星は全部 $i=0$ に近似して他惑星の位置は円軌道近似で
<tex>\Vec{x}_o=\!\!\begin{pmatrix}a_o\cos\theta_o\\a_osin\theta_o\\0\end{pmatrix}</tex>
とすれば
<tex>\cos S=\frac{\Vec{x}^T\Vec{x}_o}{|\Vec{x}||\Vec{x}_o|}=\cos(\Omega\!+\!\omega\!+\!f\!-\!\theta_o)</tex>
であり、他惑星と太陽だけの場合の平均運動を
<tex>n_o=\sqrt{\frac{G(M_o\!+\!M_2)}{a_o^3}}</tex>
とすると
<tex>R=-n_o^{\,\,2}a_o^{\,\,2}\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}\!\sum_{k=2}^{\infty}\frac{r^k}{a_o^{\ k}}P_k(\cos S)</tex>
と書ける。
また、今回は長期的な軌道変化を求めるのが目的なので軌道周期以内の細かい変化を平均化で消すため
<tex>R=\frac{1}{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\!\!-n_o^{\,\,2}a_o^{\,\,2}\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}\!\sum_{k=2}^{\infty}\frac{r^k}{a_o^{\ k}}P_k(\cos S)dM</tex>
とする。
>>1,>>3より
<tex>\frac{dM}{d\hspace{1pt}f}=\frac{\dot M}{\dot f}=\frac{r^2}{a^2\sqrt{1\!-\!e^2}}\,,\ r=\frac{a(1\!-\!e^2)}{1\!+\!e\cos f}</tex>
なので (変換は摂動無しで行なうから、この時間微分は摂動無しの場合の $M,f$ と対応する仮想的な時間での微分であり現実時間ではない事に注意)
<tex>R&=\!\frac{1}{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\!\!-\frac{n_o^{\,\,2}a_o^{\,\,2}}{a^2\sqrt{1\!-\!e^2}}\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}\!\sum_{k=2}^{\infty}\frac{r^{k+2}}{a_o^{\ k}}P_k(\cos S)df\\&=\!\frac{1}{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\!\!-\frac{n_o^{\,\,2}a_o^{\,\,2}}{a^2\sqrt{1\!-\!e^2}}\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}\!\sum_{k=2}^{\infty}\!\!\left(\!\frac{a(1\!-\!e^2)}{1\!+\!e\cos f}\!\right)^{\!\!\!k+2}\!\frac{P_k(\cos S)}{a_o^{\ k}}df</tex>
である。
ここからは各項を個別で計算するため
<tex>R_k=\!\frac{1}{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\!\!-\frac{n_o^{\,\,2}a_o^{\,\,2}}{a^2\sqrt{1\!-\!e^2}}\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}\!\left(\!\frac{a(1\!-\!e^2)}{1\!+\!e\cos f}\!\right)^{\!\!\!k+2}\!\frac{P_k(\cos S)}{a_o^{\ k}}df</tex>
とする。
まず $k=2$ を計算すると
<tex>P_2(x)\!=\!\frac{1}{2}(3x^2\!\!-\!1)</tex>
であるから
<tex>R_2&=\!\frac{1}{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\!\!-\frac{n_o^{\,\,2}a_o^{\,\,2}}{a^2\sqrt{1\!-\!e^2}}\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}\!\left(\!\frac{a(1\!-\!e^2)}{1\!+\!e\cos f}\!\right)^{\!\!\!4}\!\frac{P_2(\cos S)}{a_o^{\ 2}}df\\&=-\frac{n_o^{\,\,2}a^2}{8\pi}(1\!-\!e^2)^{7\!/2}\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\frac{1\!+\!3\cos2(\Omega\!+\!\omega\!-\!\theta_o)\cos2f}{(1\!+\!e\cos f)^4}df</tex>
となるが、他惑星の公転による周期項も長期的には無視できるので $\theta_o$ を含む周期項も平均化すると
<tex>\bar{R}_2&=-\frac{n_o^{\,\,2}a^2}{8\pi}(1\!-\!e^2)^{7\!/2}\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\frac{1}{(1\!+\!e\cos f)^4}df\\&=-\frac{n_o^{\,\,2}a^2}{4}\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}\!\!\left(\!\!1\!+\!\frac{3}{2}(e_x^{\,\,2}\!+\!e_y^{\,\,2})\!\!\right)</tex>
となり、>>10より
<tex>\frac{d}{dt}\!\!\begin{pmatrix}e_x\\e_y\end{pmatrix}\!=\!\frac{\sqrt{1\!-\!e^2}}{na^2}\!\!\begin{pmatrix}\ \partial R/\partial e_y\\-\partial R/\partial e_x\end{pmatrix}\!=\frac{3n_o^{\,\,2}}{4n}\sqrt{1\!-\!e^2}\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}\!\!\begin{pmatrix}-e_y\\e_x\end{pmatrix}</tex>
従って、 $k=2$ による近日点方向の変化率は
<tex>\dot{\theta}_2=\frac{3n_o^{\,\,2}}{4n}\sqrt{1\!-\!e^2}\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}</tex>
である。
数値を具体的に与えて計算すると
重力定数は
<tex>G=6.674\times10^{-11}{\rm m^3/kg\,s^2}</tex>
太陽は
<tex>M_2=1.9891\times10^{30}{\rm kg}</tex>
水星は
<tex>a&=5.791\times10^7{\rm km},\,e=0.20563,\,M_1=3.301\times10^{23}{\rm kg}\\n&=\sqrt{\frac{G(M_1\!+\!M_2)}{a^3}}=8.2678\times10^{-7}{\rm rad/s}</tex>
他惑星は
金星:
<tex>a_o&=108208930{\rm km},\,M_o=4.869\times10^{24}{\rm kg}\\n_o&=\sqrt{\frac{G(M_o\!+\!M_2)}{a_o^{\,\,3}}}=3.2369\times10^{-7}{\rm rad/s}\\\dot{\theta}_2&=1.482''\!\!/\rm{year}</tex>
地球:
<tex>a_o&=1.496\times10^8{\rm km},\,M_o=5.9726\times10^{24}{\rm kg}\\n_o&=\sqrt{\frac{G(M_o\!+\!M_2)}{a_o^{\,\,3}}}=1.9913\times10^{-7}{\rm rad/s}\\\dot{\theta}_2&=0.688''\!\!/\rm{year}</tex>
木星:
<tex>a_o&=778412010{\rm km},\,M_o=1.8986\times10^{27}{\rm kg}\\n_o&=\sqrt{\frac{G(M_o\!+\!M_2)}{a_o^{\,\,3}}}=1.6785\times10^{-8}{\rm rad/s}\\\dot{\theta}_2&=1.5524''\!\!/\rm{year}</tex>
土星:
<tex>a_o&=1.4267\times10^9{\rm km},\,M_o=5.688\times10^{26}{\rm kg}\\n_o&=\sqrt{\frac{G(M_o\!+\!M_2)}{a_o^{\,\,3}}}=6.762\times10^{-9}{\rm rad/s}\\\dot{\theta}_2&=0.0755''\!\!/\rm{year}</tex>
となって、これだけの合計では $\dot{\theta}=3.8''\!\!/\rm{year}$ にしかならず目標の $\dot{\theta}=5.31''\!\!/\rm{year}$ に届かない。
そこで次は $k=3$ を計算すると…なんと周期項ばかりで累積する効果がない!
なので $k=4$ を計算すると
<tex>\bar{R}_4&=-\frac{9n_o^{\,\,2}a^4}{64a_o^{\,\,2}}\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}\!\!\left(\!1\!+\!5(e_x^{\,\,2}\!+\!e_y^{\,\,2})\!+\!\frac{15}{8}(e_x^{\,\,2}\!+\!e_y^{\,\,2})^2\!\right)\\\dot{\theta}_4&=\frac{45n_o^{\,\,2}a^2}{32na_o^{\,\,2}}\sqrt{1\!-\!e^2}\,(1\!+\!\frac{3}{4}e^2)\frac{M_o}{M_o\!+\!M_2}</tex>
だから
金星: $\dot{\theta}_4=0.821''\!\!/\rm{year}$ 
地球: $\dot{\theta}_4=0.199''\!\!/\rm{year}$ 
木星: $\dot{\theta}_4=0.017''\!\!/\rm{year}$ 
となって、ここまでの合計は $\dot{\theta}=4.83''\!\!/\rm{year}$ 
遠い惑星では高次項が急減少するけど近い金星では半分にも減らないので、まだまだ高次項の効果がありそうだ。
他の惑星も集めれば若干の値にもなるだろうけど1桁の精度にまでは達したので、これでおしまい。
14 hirota 2017/03/23 (木) 22:03:51 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/120906001f1f13e4/res52
の方では級数展開で相対論効果を計算したけど、積分平均でやれば次のようになる。
相対論効果による一次近似の加速度変化分
<tex>\Delta\ddot{\Vec{r}}=\frac{GM_2}{c^2r^3}\!\!\left(\!\Vec{r}\Bigl(\frac{4GM_2}{r}-|\dot{\Vec{r}}|^2\Bigr)\!+4\,\dot{\Vec{r}}\,\Vec{r}^{\!T}\!\dot{\Vec{r}}\!\right)</tex>
それによる離心率ベクトルの変化
<tex>\dot{\Vec{e}}&=\frac{2\,\Vec{r}\,\dot{\Vec{r}}^{\!T}\!\!-\Vec{r}^{\!T}\!\dot{\Vec{r}}\!-\dot{\Vec{r}}\Vec{r}^{\!T}}{GM_{12}}\Delta\ddot{\Vec{r}}\\&=\frac{M_2}{c^2rM_{12}}\!\!\left(\!\Vec{r}\frac{\Vec{r}^{\!T}\!\dot{\Vec{r}}}{r^2}\Bigl(\frac{4GM_2}{r}+7|\dot{\Vec{r}}|^2\Bigr)\!-\dot{\Vec{r}}\Bigl(\frac{4GM_2}{r}+\frac{8(\Vec{r}^{\!T}\!\dot{\Vec{r}})^2}{r^2}-|\dot{\Vec{r}}|^2\Bigr)\!\!\right)</tex>

<tex>\Vec{r}=\!\begin{pmatrix}r\cos(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\\r\sin(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\end{pmatrix}</tex>
を入れると
<tex>\dot{\Vec{r}}&=\!\begin{pmatrix}\cos(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\\\sin(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\end{pmatrix}\!\dot{r}+\!\begin{pmatrix}-\sin(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\\\cos(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\end{pmatrix}\!r\dot{f}\\&=\!\begin{pmatrix}\cos(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\\\sin(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\end{pmatrix}\!\!\frac{nae\sin f}{\sqrt{1\!-\!e^2}}+\!\begin{pmatrix}-\sin(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\\\cos(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\end{pmatrix}\!\!\frac{na^2\sqrt{1\!-\!e^2}}{r}</tex>
だから
<tex>\dot{\Vec{e}}=\frac{n^3a^3M_2}{rc^2M_{12}}\!&\Biggl(\!\frac{4e\sin f}{\sqrt{1\!-\!e^2}}\biggl(\!\frac{4a}{r}\!-\!\frac{e^2(1\!-\!\cos2f)}{1\!-\!e^2}\!-\!2\!\biggr)\!\!\!\begin{pmatrix}\cos(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\\\sin(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\end{pmatrix}\\&+\frac{a\sqrt{1\!-\!e^2}}{r}\biggl(\frac{2a}{r}\Bigl(1\!-\!\frac{2M_2}{M_{12}}\Bigr)\!-\!\frac{4e^2(1\!-\!\cos2f)}{1\!-\!e^2}\!-\!1\!\biggr)\!\!\!\begin{pmatrix}-\sin(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\\\cos(\Omega\!+\!\omega\!+\!f)\end{pmatrix}\!\!\Biggr)</tex>
となり、これを積分平均すると
<tex>\frac{d}{dt}\!\!\begin{pmatrix}e_x\\e_y\end{pmatrix}\!=\!\frac{n^3a^2M_2}{c^2(1\!-\!e^2)M_{12}}\!\Biggl(\!\!9\!-\!\frac{2M_2}{M_{12}}\!-\frac{1}{\sqrt{1\!-\!e^2}}\biggl(\!\!4\!-\!e^2\!-\!\frac{4e^2}{(1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2})^2}+\frac{e^6}{(1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2})^4}\!\!\biggr)\!\!\!\Biggr)\!\!\!\begin{pmatrix}-e_y\\e_x\end{pmatrix}</tex>
となって近日点方向の変化率は
<tex>\dot{\theta}&=\!\frac{n^3a^2M_2}{c^2(1\!-\!e^2)M_{12}}\!\Biggl(\!\!9\!-\!\frac{2M_2}{M_{12}}\!-\frac{1}{\sqrt{1\!-\!e^2}}\biggl(\!\!4\!-\!e^2\!-\!\frac{4e^2}{(1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2})^2}+\frac{e^6}{(1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2})^4}\!\!\biggr)\!\!\!\Biggr)\\&=0.4294''\!\!/\rm{year}</tex>
となる。
やはり級数展開より良くなったわい。
15 hirota 2017/03/27 (月) 17:00:48 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 04/01 (土) 18:22 [修正] [削除]
>>13,>>14では長期変化を見るために $M$ で積分して平均化したが、積分中は楕円軌道が変化しない物として計算している。
これは摂動に対する一次近似を計算するだけなら問題ないが更に精度を求める場合には問題がある。
そのような軌道計算を高精度で行なう場合に使われるのがBrouwer理論である。
これは平均化の操作を正準変換として扱い、見通し良く計算するというものである。
そこで、まず説明の準備としてDelaunay変数と呼ばれる正準変数を定義する。
それは一般化座標として $(M,\omega,\Omega)$ を使う物であり、対応する一般化運動量 $(L,G,H)$ を以下で求める。
>>9で求めた正準定数から $GM_{12}\!=\!\mu$ として
<tex>\beta\!=\!\!\begin{pmatrix}-t_p\\\omega\\\Omega\end{pmatrix}\!,\,\alpha\!=\!\!\begin{pmatrix}-\mu/(2a)\\\sqrt{\mu\;\!a(1\!-\!e^2)}\\\sqrt{\mu\;\!a(1\!-\!e^2)}\cos i\end{pmatrix}\!,\,K\!=\!R\,\longmapsto q\!=\!\!\begin{pmatrix}M\\\omega\\\Omega\end{pmatrix}\!,\,p\!=\!\!\begin{pmatrix}L\\G\\H\end{pmatrix}\!,\,F</tex>
のように正準変換するが、 $\omega,\Omega$ は同じなので対応する $G,H$ も $\alpha_2,\alpha_3$ と同じで良い。
そこで母関数を $W$ として
<tex>&p^T\!\dot{q}\!-\!F\!=\!\alpha^{\!T}\!\dot{\beta}\!-\!K\!+\!(W\!+\!p^T\!q\!-\!\alpha^{\!T}\!\beta)'\\&\therefore\ M\dot{L}\!+\!F\!=\!\beta_1\dot{\alpha}_1\!+\!K\!-\!\dot{W}</tex>
とし、なるべく簡単な解を探すことにする。
<tex>M\!=\!\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}(t\!+\!\beta_1),\,\alpha_1\!=\!-\frac{\mu}{2a}</tex> を代入すると
<tex>\left(\!\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}\dot{L}\!-\!\frac{\mu}{2a^2}\dot{a}\!\right)\!\beta_1\!=\!K\!-\!F\!-\!\dot{W}\!-\!\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}\dot{L}t</tex>
なので、まず
<tex>\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}\dot{L}-\frac{\mu}{2a^2}\dot{a}=0</tex> とすれば簡単になる。これから
<tex>\dot{L}=\frac{\dot{a}}{2}\sqrt{\frac{\mu}{a}}\quad\therefore\ L=\sqrt{\mu\,a}</tex> となり、残りは
<tex>0=\!K\!-\!F\!-\!\dot{W}\!-\!\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}\dot{L}t\!=\!K\!-\!F\!-\!\dot{W}\!-\!\dot{\alpha}_1t</tex>
であるから
<tex>W\!=\!-\alpha_1t,\,F\!=\!\alpha_1\!+\!K\!=\!-\frac{\mu}{2\,a}\!+\!R\!=\!-\frac{\mu^2}{2L^2}\!+\!R</tex>
とすれば良い。
以上でDelaunay変数 $M,\omega,\Omega,L,G,H$ とHamiltonian $F$ が
<tex>L\!=\!\sqrt{\mu\,a}\,,\,G\!=\!\sqrt{\mu\;\!a(1\!-\!e^2)}\,,\,H\!=\!\sqrt{\mu\;\!a(1\!-\!e^2)}\cos i\,,\,F\!=\!-\frac{\mu^2}{2L^2}+\!R</tex>
のように求まったので、ここからBrouwerによる平均化のための正準変換を説明する。
平均化された系は「*」を付けて正準変換
<tex>q\!=\!\!\begin{pmatrix}M\\\omega\\\Omega\end{pmatrix}\!\!,p\!=\!\!\begin{pmatrix}L\\G\\H\end{pmatrix}\!\!,F(t,q,p)\longmapsto q^*\!\!=\!\!\begin{pmatrix}M^*\\\omega^*\\\Omega^*\end{pmatrix}\!\!,p^*\!\!=\!\!\begin{pmatrix}L^*\\G^*\\H^*\end{pmatrix}\!\!,F^*(t,q^*\!,p^*)</tex>
を母関数 $S(t,q,p^*\!)$ (determining functionと言う)で
<tex>p^{*T}\!\dot{q}^*\!\!-\!F^*\!\!=\!p^T\!\dot{q}\!-\!F\!+\!(p^{*T}\!q^*\!-\!S)'</tex>
とする。
これから
<tex>&p^{*T}\!\dot{q}^*\!\!-\!F^*\!\!=\!p^T\!\dot{q}\!-\!F\!-\!\frac{\partial S}{\partial t}\!-\!\frac{\partial S}{\partial p^*}\dot{p}^*\!\!-\!\frac{\partial S}{\partial q}\dot{q}\!+\!p^{*T}\!\dot{q}^*\!+\!q^{*T}\!\dot{p}^*\\&\therefore\ 0=\!F^*\!\!-\!F\!-\!\frac{\partial S}{\partial t}\!-\!\left(\!\frac{\partial S}{\partial p^*}\!-\!q^{*T}\!\!\right)\!\dot{p}^*\!\!-\!\left(\!\frac{\partial S}{\partial q}\!-\!p^T\!\!\right)\!\dot{q}\\&\therefore\ F^*\!\!=\!F\!+\!\frac{\partial S}{\partial t},\,p^T\!\!=\!\frac{\partial S}{\partial q},\,q^{*T}\!\!\!=\!\frac{\partial S}{\partial p^*}</tex>
として、精度を順次上げるためダミー変数 $\lambda$ を使い
<tex>F\!=\!\sum_{k=0}^{\infty}\lambda^kF_k\,,\,F^*\!\!=\!\sum_{k=0}^{\infty}\lambda^kF^*_k\,,\,S\!=\!\sum_{k=0}^{\infty}\lambda^kS_k</tex> とする。
 $\lambda$ は次数が大きいほど微小項を意味するだけで $\lambda$ 自体に意味はない。
そして
<tex>F\!=\!-\frac{\mu^2}{2L^2}+\!R</tex> なので、<tex>F_0\!=\!-\frac{\mu^2}{2L^2}</tex> とし、 $F_1$ 以降は $R$ から大きさに応じて適当に割り振る。
また、 $S_0(t,q,p^*\!)\!=\!q^T\!p^*$ とするので
<tex>p&=\!\sum_{k=0}^{\infty}\lambda^k\!\!\left(\!\frac{\partial S_k}{\partial q}\!\!\right)^{\!\!\!T}\!\!=p^*\!+\!\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^k\!\!\left(\!\frac{\partial S_k}{\partial q}\!\!\right)^{\!\!\!T}\\q^*\!\!&=\!\sum_{k=0}^{\infty}\lambda^k\!\!\left(\!\frac{\partial S_k}{\partial p^*}\!\!\right)^{\!\!\!T}\!\!=q+\!\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^k\!\!\left(\!\frac{\partial S_k}{\partial p^*}\!\!\right)^{\!\!\!T}</tex> となる。
すると
<tex>F(t,q,p)\!&=\!\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^nF_n(t,q,p)\!=\!\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^nF_n(t,q,p^*\!\!+\!\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^k\!\!\left(\!\frac{\partial S_k}{\partial q}\!\!\right)^{\!\!\!T}\!)\\&=\!\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^n\!\biggl(\!\!F_n(t,q,p^*\!)\!+\!\frac{\partial F_n}{\partial p^*}\!\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^k\!\!\left(\!\frac{\partial S_k}{\partial q}\!\!\right)^{\!\!\!T}\!\!\!+\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F_n}{\partial p^{*2}}\!\Biggl(\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^k\!\!\left(\!\frac{\partial S_k}{\partial q}\!\!\right)^{\!\!\!T}\Biggr)^{\!\!\!2}\!\!+\ldots\biggr)\\&=\!F_0(t,q,p^*\!)\!+\!\lambda\Bigl(\!F_1(t,q,p^*\!)\!+\!\frac{\partial F_0}{\partial p^*_i}\frac{\partial S_1}{\partial q_i}\Bigr)\\&\quad+\!\lambda^2\Bigl(\!F_2(t,q,p^*\!)\!+\!\frac{\partial F_1}{\partial p^*_i}\frac{\partial S_1}{\partial q_i}\!+\!\frac{\partial F_0}{\partial p^*_i}\frac{\partial S_2}{\partial q_i}\!+\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F_0}{\partial p^*_i\partial p^*_j}\frac{\partial S_1}{\partial q_i}\frac{\partial S_1}{\partial q_j}\Bigr)\!+\ldots\\F^*\!(t,q^*\!,p^*\!)\!&=\!\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^nF^*_n(t,q^*\!,p^*\!)\!=\!\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^nF^*_n(t,q\!+\!\!\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^k\!\!\left(\!\frac{\partial S_k}{\partial p^*}\!\!\right)^{\!\!\!\!T}\!\!,p^*\!)\\&=\!\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^n\!\biggl(\!\!F^*_n(t,q,p^*\!)\!+\!\frac{\partial F^*_n}{\partial q}\!\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^k\!\!\left(\!\frac{\partial S_k}{\partial p^*}\!\!\right)^{\!\!\!\!T}\!\!+\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F^*_n}{\partial q^2}\!\Biggl(\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^k\!\!\left(\!\frac{\partial S_k}{\partial p^*}\!\!\right)^{\!\!\!T}\Biggr)^{\!\!\!2}\!\!+\ldots\biggr)\\&=\!F^*_0(t,q,p^*\!)\!+\!\lambda\Bigl(\!F^*_1(t,q,p^*\!)\!+\!\frac{\partial F^*_0}{\partial q_i}\frac{\partial S_1}{\partial p^*_i}\Bigr)\\&\quad+\!\lambda^2\Bigl(\!F^*_2(t,q,p^*\!)\!+\!\frac{\partial F^*_1}{\partial q_i}\frac{\partial S_1}{\partial p^*_i}\!+\!\frac{\partial F^*_0}{\partial q_i}\frac{\partial S_2}{\partial p^*_i}\!+\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F^*_0}{\partial q_i\partial q_j}\frac{\partial S_1}{\partial p^*_i}\frac{\partial S_1}{\partial p^*_j}\Bigr)\!+\ldots</tex>
であるから $\lambda$ 次数の順に右辺を既知として
<tex>&F^*_0(t,q,p^*\!)\!=\!F_0(t,q,p^*\!)\!=\!-\frac{\mu^2}{2L^{*2}}\\&F^*_1(t,q,p^*\!)\!+\!\!\left(\!\frac{\partial F^*_0}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p^*_i}\!-\!\frac{\partial F_0}{\partial p^*_i}\frac{\partial}{\partial q_i}\!-\!\frac{\partial}{\partial t}\!\right)\!\!S_1(t,q,p^*\!)\!=\!F_1(t,q,p^*\!)\\&F^*_2(t,q,p^*\!)\!+\!\!\left(\!\frac{\partial F^*_0}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p^*_i}\!-\!\frac{\partial F_0}{\partial p^*_i}\frac{\partial}{\partial q_i}\!-\!\frac{\partial}{\partial t}\!\right)\!\!S_2(t,q,p^*\!)\\&\quad=\!F_2(t,q,p^*\!)\!-\!\!\left(\!\frac{\partial F^*_1}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p^*_i}\!-\!\frac{\partial F_1}{\partial p^*_i}\frac{\partial}{\partial q_i}\!\right)\!\!S_1\!-\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F^*_0}{\partial q_i\partial q_j}\frac{\partial S_1}{\partial p^*_i}\frac{\partial S_1}{\partial p^*_j}\!+\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F_0}{\partial p^*_i\partial p^*_j}\frac{\partial S_1}{\partial q_i}\frac{\partial S_1}{\partial q_j}</tex>
  etc.
となる。
左辺は $F^*_n$ と $S_n$ の項があるが、この分け方は任意である。右辺を好きなように平均化して $F^*_n$ とし、残りの周期項は $F_{np}$ として $S_n$ に対する準線型微分方程式
<tex>\left(\!\frac{\partial F^*_0}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p^*_i}\!-\!\frac{\partial F_0}{\partial p^*_i}\frac{\partial}{\partial q_i}\!-\!\frac{\partial}{\partial t}\!\right)\!\!S_n(t,q,p^*\!)\!=\!F_{np}(t,q,p^*\!)</tex>
を解き、既知として高次の右辺に使って行く事で高次の $F^*_n$ も決まる事になる。
分け方が任意でも辻褄が合うと言う事は、平均化の計算が雑であっても誤差が高次なら次の次数で自動的に補正されると言う意味である。
周期項で最も目につくのは $M$ の周期であるが、さらに長い周期項を平均化することもある。
16 冷蔵庫 2017/04/01 (土) 12:00:37 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>hirotaさん

計算がようやく終わったのですね。お疲れ様でした。

>>5, >>7の私の質問にはまだ答えていただけていないようですが、
お答えをいただくことは可能でしょうか?


一応>>6で答えをいただいてはいるのですが、
私がお聞きしたいのはそういうことではありません。
必要ないかもしれませんが、それについて一応ご説明します。

「H: 1成分、h: 3成分、e: 3成分 の合計 7成分に対して、
h・e = 0 という関係式が1成分あるので、
7 - 1 = 6 成分」

と仰っているのは、初めからわかっています。

私がお聞きしたいのは、このように数えた根拠です。
この6成分が独立である、ということはどのようにして言えるのでしょうか?

例えば、h・e = 0 という式が挙げられていますが、
このような関係式が他にあるかどうかを考えなくてはいけないと思います。
もし関係式が2つ、3つあるならば、独立な成分の数は7-1ではなく、
7-2=5や7-3=4となるはずです。

言いかえると、H, h, eの中で独立な成分の数が 7-1=6 ということを言うのであれば、
「H, h, eの間に成り立つ関係式はh・e = 0 の1つのみである」
ということをその前に示しておかなければならないということです。
そのあたりをどのようにお考えになったのか、ということが私の疑問点です。
17 hirota 2017/04/01 (土) 17:40:02 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
独立性は、それぞれの値を任意に変化させた状態が構成出来る事から分かる。
18 冷蔵庫 2017/04/01 (土) 19:45:07 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>独立性は、それぞれの値を任意に変化させた状態が構成出来る事から分かる。

お返事はありがたいのですが、それは単に独立ということの定義を述べただけでは?
それぞれの値を任意に変化させた状態が構成出来る事はどのようにして言えるのでしょうか?
19 hirota 2017/04/02 (日) 11:43:49 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
連続で回答が無駄になれば流石に学習する。
これもマトモに答えれば「それは分かってる」になるに違いない。
20 大学生A 2017/04/02 (日) 22:55:45 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
換算質量を定数に定めて、

1/M1 + 1/M2 = 1

ってことなら、独立変数は5つかな?
21 selpo 2017/04/03 (月) 00:14:49 ID:97TqmlNuts [修正] [削除]
>>18
独立性は, 保存量 $H, \Vec{h}, \Vec{e}$ をどれだけ自由に動かせるか調べます.
つまり, ある初期条件 $\Vec{x}, \dot{\Vec{x}}$ について保存量 $H, \Vec{h}, \Vec{e}$ が決まりますが,
初期条件を微小量だけ変化させた場合に, 保存量の変化の自由度を調べればよいです.

正確には, 保存量を $Q_i$ (今回は $7$ 個), 初期条件を $q_i$ として, 行列<tex>J_{ij}=\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}</tex>のランクを調べればよいです.

このときランクは必ず5以下です.
なぜなら, 特定の方向への変分 $q_i\to q_i+\epsilon\delta q_i$ を考えると, これは保存量を固定するからです.
具体的には,  $\delta \Vec{x}=\dot{\Vec{x}}$ ,  $\delta\dot{\Vec{x}}=-\frac{GM}{\left\lvert\Vec{x}\right\rvert^3}\Vec{x}$ , すなわち時間発展の方向です.
これが保存量を固定することは, まさに定義そのものです.

で, Mathematicaで計算したところ, 確かに $\operatorname{rank} J=5$ でした.
(ただし, 特殊な点で退化する可能性があるかどうかまでは調べていません.)
 $q_i$ についての勘定は上の通りですが,  $Q_i$ については,  $\Vec{h}\cdot\Vec{e}=0$ 以外にも自明な関係式があるはずです.
22 hirota 2017/04/06 (木) 23:44:08 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
Brouwer理論の例を地球重力の $J_2$ 項を使って示す。
地球重力の $J_2$ 項とは地球の扁平によって生ずる球対称potentialからのズレで
<tex>R=\!J_2\,a_e^{\,2}\frac{\mu}{r^3}P_2(\sin\delta)\!=\!J_2\,a_e^{\,2}\frac{\mu}{2r^3}\bigl(3(\sin\delta)^2\!\!-\!1\bigr)\!=\!J_2\,a_e^{\,2}\frac{\mu}{2r^3}\!\Bigl(\!3\bigl(\sin i\sin(\omega\!+\!f)\bigr)^{\!2}\!\!-\!1\!\Bigr)</tex>
  $J_2$ :地球重力の $J_2$ 項係数, $a_e$ :地球赤道半径, $\delta$ :位置の緯度
と表わされる。
この項は、高度1000km前後の人工衛星では地球重力の1/1000程度であり、他の摂動は更にこの1/1000であるから、Brouwer理論では $F_1$ に相当し他の摂動は $F_2$ 以降となるが、ここでは他の摂動を扱わないので $F_2$ 以降は0とする。ついでに $p^*$ と $p$ の混在はないので大部分の $p^*$ は簡単に $p$ と書くことにする。
そういうわけで
<tex>F_0(t,q,p)\!&=\!F^*_0(t,q,p)\!=\!-\frac{\mu^2}{2L^2}\\F_1(t,q,p)\!&=\!J_2\,a_e^{\,2}\frac{\mu}{2r^3}\!\Bigl(\!3\bigl(\sin i\sin(\omega\!+\!f)\bigr)^{\!2}\!\!-\!1\!\Bigr)</tex>
から始めるわけであるが、平均化は $M$ による積分平均化を使う。
すると $F^*_1$ は
<tex>F^*_1(t,q,p)\!&=\!\frac{1}{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\!\!\!\!F_1(t,q,p)dM\\&=\!\frac{1}{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\!\!\!\!J_2\,a_e^{\,2}\frac{\mu}{2r^3}\!\Bigl(\frac{3}{2}(\sin i)^2\bigl(1\!-\!\cos2(\omega\!+\!f)\bigr)\!\!-\!1\!\Bigr)\!\frac{r^2}{a^2\sqrt{1\!-\!e^2}}df\\&=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu}{4\pi a^2\sqrt{1\!-\!e^2}}\!\!\int_0^{2\pi}\!\frac{1}{r}\Bigl(\frac{3}{2}(\sin i)^2\bigl(1\!-\!\cos2(\omega\!+\!f)\bigr)\!\!-\!1\!\Bigr)df\\&=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{4\pi L^3G^3}\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\!\!(1\!+\!e\cos f)\!\Bigl(\frac{3}{2}\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{G^2}\!\right)\!\!\!\bigl(1\!-\!\cos2(\omega\!+\!f)\bigr)\!\!-\!1\!\Bigr)df\\&=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{4\pi L^3G^3}\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\Bigl(\frac{3}{2}\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{G^2}\!\right)\!\!\!\bigl(1\!+\!e\cos f\!-\!\cos2(\omega\!+\!f)\\&\hspace{64pt}-\!\frac{1}{2}e\cos(2\omega\!+\!f)\!-\!\frac{1}{2}e\cos(2\omega\!+\!3f)\bigr)\!\!-\!1\!-\!e\cos f\!\Bigr)df\\&=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{4L^3G^3}\!\left(\!\!1\!-\!3\frac{H^2}{G^2}\!\right)</tex>
となり、
<tex>&\frac{\partial F_0(t,q,p)}{\partial p}\!=\!\left(\!\frac{\partial F_0}{\partial L},\frac{\partial F_0}{\partial G},\frac{\partial F_0}{\partial H}\!\right)\!=\!\left(\!\frac{\mu^2}{L^3},0,0\!\right)\!,\,\frac{\partial F^*_0(t,q,p)}{\partial q}\!=0\\&F_1(t,q,p)\!=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{2G^6}(1\!+\!e\cos f)^3\!\Bigl(\frac{3}{2}\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{G^2}\!\right)\!\!\!\bigl(1\!-\!\cos2(\omega\!+\!f)\bigr)\!\!-\!1\!\Bigr)\\&F_{1p}(t,q,p)\!=\!F_1(t,q,p)\!-\!F^*_1(t,q,p)\\&\hspace{44pt}=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{4L^3G^3}\!\biggl(\!\!-1\!+\!3\frac{H^2}{G^2}\!+\!2\frac{L^3}{G^3}(1\!+\!e\cos f)^3\!\Bigl(\frac{3}{2}\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{G^2}\!\right)\!\!\!\bigl(1\!-\!\cos2(\omega\!+\!f)\bigr)\!\!-\!1\!\Bigr)\!\!\biggr)\\&\left(\!\frac{\partial F^*_0}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p_i}\!-\!\frac{\partial F_0}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q_i}\!-\!\frac{\partial}{\partial t}\!\right)\!\!S_1(t,q,p)\!=\!\left(\!-\frac{\mu^2}{L^3}\frac{\partial}{\partial M}\!-\!\frac{\partial}{\partial t}\!\right)\!\!S_1\!=\!F_{1p}(t,q,p)</tex>
であるが、 $F_{1p}$ には $t$ がなく $\partial/\partial t$ は不要なので
<tex>\frac{\partial S_1}{\partial M}\!&=\!-\frac{L^3}{\mu^2}F_{1p}\\S_1\!&=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^2}{4G^3}\!\!\!\int\!\biggl(\!\!1\!-\!3\frac{H^2}{G^2}\!+\!2\frac{L^3}{G^3}(1\!+\!e\cos f)^3\!\Bigl(\!1\!-\!\frac{3}{2}\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{G^2}\!\right)\!\!\!\bigl(1\!-\!\cos2(\omega\!+\!f)\bigr)\!\!\Bigr)\!\!\biggr)dM\\&=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^2}{4G^3}\!\biggl(\!\!\Bigl(\!1\!-\!3\frac{H^2}{G^2}\Bigr)\!M\!+\!2\frac{L^3}{G^3}\!\!\int\!(1\!+\!e\cos f)^3\!\Bigl(\!1\!-\!\frac{3}{2}\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{G^2}\!\right)\!\!\!\bigl(1\!-\!\cos2(\omega\!+\!f)\bigr)\!\!\Bigr)\!\frac{G^3df}{L^3(1\!+\!e\cos f)^2}\!\biggr)\\&=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^2}{4G^3}\!\biggl(\!\!\Bigl(\!1\!-\!3\frac{H^2}{G^2}\Bigr)\!(M\!-\!f\!-\!e\sin f)\\&\hspace{9pt}+\!\frac{1}{2}\!\!\left(\!1\!-\!\frac{H^2}{G^2}\!\right)\!\!\!\bigl(3\sin2(\omega\!+\!f)\!+\!3\,e\sin(2\omega\!+\!f)\!+\!e\sin(2\omega\!+\!3f)\bigr)\!\!\biggr)</tex>
となる。
次に $F^*_2$ のモトになる
<tex>F_{2+}\!&=\!F_2\!-\!\!\left(\!\frac{\partial F^*_1}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p_i}\!-\!\frac{\partial F_1}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q_i}\!\right)\!\!S_1\!-\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F^*_0}{\partial q_i\partial q_j}\frac{\partial S_1}{\partial p_i}\frac{\partial S_1}{\partial p_j}\!+\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F_0}{\partial p_i\partial p_j}\frac{\partial S_1}{\partial q_i}\frac{\partial S_1}{\partial q_j}\\&=\!\frac{\partial F_1}{\partial L}\frac{\partial S_1}{\partial M}\!+\!\frac{\partial F_1}{\partial G}\frac{\partial S_1}{\partial\omega}\!+\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F_0}{\partial L^2}\!\!\left(\!\frac{\partial S_1}{\partial M}\!\right)^{\!\!\!2}\\&=\!\frac{\partial F^*_1}{\partial L}\frac{\partial S_1}{\partial M}\!+\!\frac{\partial F_{1p}}{\partial L}\frac{\partial S_1}{\partial M}\!+\!\frac{\partial F^*_1}{\partial G}\frac{\partial S_1}{\partial\omega}\!+\!\frac{\partial F_{1p}}{\partial G}\frac{\partial S_1}{\partial\omega}\!+\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F_0}{\partial L^2}\!\!\left(\!\frac{\partial S_1}{\partial M}\!\right)^{\!\!\!2}</tex>
を計算すると
<tex>&1\!-\!e^2\!=\!\frac{G^2}{L^2}\\&M\!=\!E\!-\!e\sin E,\,r\sin f\!=\!a\sqrt{1\!-\!e^2}\sin E,\,r\!=\!\frac{a(1\!-\!e^2)}{1\!+\!e\cos f}</tex>
より
<tex>&de\!=\!\frac{G^2}{eL^2}\!\left(\!\!\frac{dL}{L}\!-\!\frac{dG}{G}\!\right)\\&df\!=\!\left(\!\frac{a}{r}\!+\!\frac{1}{1\!-\!e^2}\!\right)\!\sin f\,de+\!\left(\frac{a}{r}\right)^{\!\!2}\!\!\!\sqrt{1\!-\!e^2}\,dM</tex>
だから
<tex>\frac{\partial F_{1p}}{\partial L}\!&=\!\frac{3J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{4L^7}\!\!\left(\!\!2(\!-A\sigma_1\!+\!3B\sigma_2)\!+\!\frac{G^2}{eL^2}\!\Bigl(\frac{1}{3}A\tau_1\!-\!B\tau_2\!\Bigr)\!\!\right)\\\frac{\partial F_{1p}}{\partial G}\!&=\!\frac{3J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{4L^6G}\!\!\left(\!\!2(\sigma_1\!-\!\sigma_2)\frac{H^2}{G^2}\!-\!\frac{G^2}{eL^2}\!\Bigl(\frac{1}{3}A\tau_1\!-\!B\tau_2\!\Bigr)\!\!\right)\\A\!&=\!1\!-\!3\frac{H^2}{G^2}\,,\,B\!=\!1\!-\!\frac{H^2}{G^2}\,,\,\sigma_1\!=\!\left(\frac{a}{r}\right)^{\!\!3}\!\!-\!\frac{L^3}{G^3}\,,\,\sigma_2\!=\!\left(\frac{a}{r}\right)^{\!\!3}\!\!\cos2(\omega\!+\!f)\\\tau_1\!&=\!3\!\biggl(\!\!\left(\frac{a}{r}\right)^{\!\!4}\!\!\cos f\!-\!\frac{L^5}{G^5}\,\!e\!\biggr)\\\tau_2\!&=\!\!\biggl(\!\frac{1}{2}\!\left(\frac{a}{r}\right)^{\!\!4}\!\!-\!\!\left(\frac{a}{r}\right)^{\!\!3}\!\!\frac{L^2}{G^2}\!\biggr)\!\cos(2\omega\!+\!f)\!+\!\biggl(\!\frac{5}{2}\!\left(\frac{a}{r}\right)^{\!\!4}\!\!-\!\left(\frac{a}{r}\right)^{\!\!3}\!\!\frac{L^2}{G^2}\!\biggr)\!\cos(2\omega\!+\!3f)\\\frac{\partial F^*_1}{\partial G}\!&=\!-\frac{3J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{4L^3G^4}\!\!\left(\!\!A\!-\!2\frac{H^2}{G^2}\!\right)\!,\,\frac{\partial^2F_0}{\partial L^2}\!=\!-\frac{3\mu^2}{L^4}\\\frac{\partial S_1}{\partial M}\!&=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^2}{4L^3}(\!-A\sigma_1\!+\!3B\sigma_2)\,,\,\frac{\partial S_1}{\partial\omega}\!=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^2}{4G^3}B\rho\\\rho\!&=\!3\cos2(\omega\!+\!f)\!+\!e\cos(2\omega\!+\!3f)\!+\!3\,e\cos(2\omega\!+\!f)</tex>
となり
<tex>F^*_2\!&=\!\frac{1}{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\!\!\!\!F_{2+}\,dM\\&=\!\frac{1}{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\!\frac{\partial F^*_1}{\partial L}\frac{\partial S_1}{\partial M}\!+\!\frac{\partial F_{1p}}{\partial L}\frac{\partial S_1}{\partial M}\!+\!\frac{\partial F^*_1}{\partial G}\frac{\partial S_1}{\partial\omega}\!+\!\frac{\partial F_{1p}}{\partial G}\frac{\partial S_1}{\partial\omega}\!+\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F_0}{\partial L^2}\!\!\left(\!\frac{\partial S_1}{\partial M}\!\right)^{\!\!\!2}\!dM</tex>
であるが、第一項は
<tex>\int_0^{2\pi}\!\frac{\partial F^*_1}{\partial L}\frac{\partial S_1}{\partial M}dM\!=\!\frac{\partial F^*_1}{\partial L}\!\!\int_0^{2\pi}\!\frac{\partial S_1}{\partial M}dM\!=\!\frac{\partial F^*_1}{\partial L}\left[\,S_1\,\right]_0^{2\pi}\!=\!0</tex>
なので消えて
<tex>F^*_2\!&=\!\frac{1}{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\!\frac{\partial F_{1p}}{\partial L}\frac{\partial S_1}{\partial M}\!+\!\frac{\partial F^*_1}{\partial G}\frac{\partial S_1}{\partial\omega}\!+\!\frac{\partial F_{1p}}{\partial G}\frac{\partial S_1}{\partial\omega}\!+\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F_0}{\partial L^2}\!\!\left(\!\frac{\partial S_1}{\partial M}\!\right)^{\!\!\!2}\!dM\\&=\!\frac{1}{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\!\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}\mu^6}{16L^{10}}\!\biggl(\!\!2(\!-A\sigma_1\!+\!3B\sigma_2)^2\!+\!\frac{G^2}{eL^2}(\!-A\sigma_1\!+\!3B\sigma_2)\!\Bigl(\frac{1}{3}A\tau_1\!-\!B\tau_2\!\Bigr)\\&\hspace{85pt}-\!\frac{L^7}{G^7}\!\!\left(\!\!A\!-\!2\frac{H^2}{G^2}\!\right)\!\!B\rho+\!2\frac{L^4}{G^4}B\frac{H^2}{G^2}(\sigma_1\!-\!\sigma_2)\rho\\&\hspace{85pt}-\!\frac{L^2}{eG^2}B\Bigl(\frac{1}{3}A\tau_1\!-\!B\tau_2\!\Bigr)\!\rho-\!\frac{1}{2}(\!-A\sigma_1\!+\!3B\sigma_2)^2\!\!\biggr)\!dM\\&=\!\frac{1}{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\!\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}\mu^6}{16L^{10}}\!\Biggl(\!\!A^2\!\left(\!\frac{3}{2}\sigma_1^{\,2}\!-\!\frac{G^2}{3eL^2}\sigma_1\tau_1\!\!\right)\!+\!AB\!\left(\!\!-9\sigma_1\sigma_2\!+\!\frac{G^2}{eL^2}(\sigma_1\tau_2\!+\sigma_2\tau_1\!)\!-\!\frac{L^2}{3eG^2}\tau_1\rho-\!\frac{L^7}{G^7}\rho\!\right)\\&\hspace{78pt}+\!B^2\!\left(\!\frac{27}{2}\sigma_2^{\,2}\!-\!\frac{G^2}{3eL^2}\sigma_2\tau_2\!+\!\frac{L^2}{eG^2}\tau_2\rho\!\right)\!\!+\!2B\frac{H^2}{G^2}\frac{L^4}{G^4}\!\left(\!\sigma_1\rho\!-\!\sigma_2\rho\!+\frac{L^3}{G^3}\rho\!\right)\!\!\!\Biggr)\!dM\\&=\!\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}\mu^6}{16L^{10}}\!\Biggl(\!\frac{1}{4}A^2\frac{L^5}{G^5}\!\!\left(\!1\!-\!2\frac{L}{G}\!-\!5\frac{L^2}{G^2}\!\right)\!+\!\frac{1}{4}AB\frac{L^5}{G^5}\!\!\left(\!\!1\!-\!\frac{L^2}{G^2}\!\right)\!\cos2\omega\\&\hspace{48pt}-\!\frac{1}{8}B^2\frac{L^5}{G^5}\!\!\left(\!7\!-\!15\frac{L^2}{G^2}\!\right)\!+\!2B\frac{H^2}{G^2}\frac{L^7}{G^7}\!\left(\!\!-\frac{5}{2}\!+\!\frac{G^2}{L^2}\!+\!\frac{3}{2}\Bigl(1\!-\!\frac{G^2}{L^2}\Bigr)\!\cos2\omega\!\right)\!\!\!\Biggr)\\&=\!\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}\mu^6}{32L^{10}}\!\Biggl(\!\!-\frac{L^5}{G^5}\biggl(\!\frac{1}{4}\Bigl(\!5\!-\!18\frac{H^2}{G^2}\!+\!5\frac{H^4}{G^4}\Bigr)\!+\!\frac{L}{G}\Bigl(\!1\!-\!3\frac{H^2}{G^2}\Bigr)^{\!\!2}\!\!-\!\frac{5}{4}\frac{L^2}{G^2}\!\Bigl(\!1\!-\!2\frac{H^2}{G^2}\!-\!7\frac{H^4}{G^4}\Bigr)\!\!\biggr)\\&\hspace{55pt}+\!\frac{1}{2}\frac{L^5}{G^5}\Bigl(\!1\!-\!\frac{L^2}{G^2}\Bigr)\!\!\Bigl(\!1\!-\!\frac{H^2}{G^2}\Bigr)\!\!\Bigl(\!1\!-\!15\frac{H^2}{G^2}\Bigr)\!\cos2\omega\!\!\Biggr)\\&=\!-\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}\mu}{32a^5(1\!-\!e^2)^{7/2}}\!\Biggl(\!5\biggl(\!2\!-\!4(\sin i)^2\!\!+\!\frac{7}{4}(\sin i)^4\!\!\biggr)\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}\bigl(2\!-\!3(\sin i)^2\bigr)^{\!2}\\&\hspace{87pt}-\!(1\!-\!e^2)\!\!\biggl(\!2\!-\!2(\sin i)^2\!\!-\!\frac{5}{4}(\sin i)^4\!\!\biggr)\!\!-\!(\sin i)^2\!\biggl(\!7\!-\!\frac{15}{2}(\sin i)^2\!\!\biggr)e^2\!\cos2\omega\!\!\Biggr)</tex>
となる。
幾つかの項が計算するまでもなく消えてるのは、そうなるように正準変換の形式を選んだ結果である。
以上で、一次近似の平均摂動potential $F^*_1$ を補正する二次の平均potential $F^*_2$ が求まった。
23 hirota 2017/04/14 (金) 02:18:37 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>22に続いて $S_2$ を出す事になるが、計算が大変なので $e$ の微小近似でやることにする。
 $e$ が微小の場合はtype2軌道要素が不適でtype3を使うべきだが、Delaunay正準変数はtype2に対応してるのでtype3に対応した正準変数に変える事から始める。
type3では $\xi\!=\!e\cos\omega\,,\ \eta\!=\!e\sin\omega\,,\varphi\!=\!\omega\!+\!M$ が使われるのでDelaunay正準変数 $(M,\omega,\Omega),(L,G,H)$ のうち $(M,\omega),(L,G)$ を変更せねばならない。
Hamiltonianを変えない正準変換は母関数を $W$ として $\Vec{p}^T\dot{\Vec{q}}\!=\!L\dot{M}\!+\!G\dot{\omega}\!+\!\dot{W}$ を満たせば良いが、 $\varphi\!=\!\omega\!+\!M$ に対しては
<tex>L\dot{\varphi}\!+\!(G-L)\dot{\omega}\!=\!L(\dot{\omega}\!+\!\dot{M})\!+\!(G\!-\!L)\dot{\omega}\!=\!L\dot{M}\!+\!G\dot{\omega}</tex>
なので $(M,\omega),(L,G)$ を $(\varphi,\omega),(L,G\!-\!L)$ にするだけで良い。
そこで次は $\omega,G\!-\!L$ を $\xi\!=\!e\cos\omega\,,\ \eta\!=\!e\sin\omega$ に合わせて $q_2\!=\!\varepsilon\cos\omega\,,\ p_2\!=\!\varepsilon\sin\omega$ にするため $p_2\dot{q_2}=\!(G\!-\!L)\dot{\omega}\!+\!\dot{W}$ に代入すると
<tex>W\!=\frac{1}{4}\,\varepsilon^2\!\sin2\omega\ ,\ \varepsilon=\!\sqrt{2(L\!-\!G)}=e\sqrt{\frac{2L}{1\!+\!\sqrt{1\!-\!e^2}}}</tex>
が得られ、最終的な正準変換は
<tex>\begin{pmatrix}M\\\omega\\\Omega\end{pmatrix}\!,\begin{pmatrix}L\\G\\H\end{pmatrix}\,\longmapsto\,\begin{pmatrix}\varphi\\\omega\\\Omega\end{pmatrix}\!,\begin{pmatrix}L\\G\!-\!L\\H\end{pmatrix}\,\longmapsto\,q\!=\!\!\begin{pmatrix}\varphi\\\varepsilon\cos\omega\\\Omega\end{pmatrix}\!,\,p\!=\!\!\begin{pmatrix}L\\\varepsilon\sin\omega\\H\end{pmatrix}</tex>
となる。
この変数を使って $F_1$ を展開すると
<tex>F_1\!=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{4L^6}\!&\biggl(\!1\!-\!3\frac{H^2}{L^2}\!-\!3\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\cos2\varphi\\&+\!\frac{3}{2\sqrt{L}}\Bigl(\!\left(\!\!1\!-\!5\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!p_2\sin\varphi\!+\!\left(\!\!3\!-\!7\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!q_2\cos\varphi\\&\hspace{26pt}-\!7\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\!(q_2\cos3\varphi\!+\!p_2\sin3\varphi)\!\Bigr)\!+O(e^2)\!\!\biggr)</tex>
だから $F_1\!=\!F^*_1\!+\!F_{1p}$ の分離は積分平均化するまでもなく
<tex>F^*_1\!&=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{4L^6}\!\!\left(\!\!1\!-\!3\frac{H^2}{L^2}\!+O(e^2)\!\!\right)\\F_{1p}\!&=\!-\frac{\partial F_0}{\partial L}\frac{\partial S_1}{\partial\varphi}\\&=\!\frac{3J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{4L^6}\!\biggl(\!-\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\cos2\varphi\\&\hspace{54pt}+\!\frac{1}{2\sqrt{L}}\Bigl(\!\left(\!\!1\!-\!5\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!p_2\sin\varphi\!+\!\left(\!\!3\!-\!7\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!q_2\cos\varphi\\&\hspace{79pt}-\!7\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\!(q_2\cos3\varphi\!+\!p_2\sin3\varphi)\!\Bigr)\!+\!O(e^2)\!\!\biggr)\\S_1\!&=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^2}{8L^3}\!\biggl(\!3\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\sin2\varphi\\&\hspace{48pt}-\!\frac{1}{\sqrt{L}}\Bigl(\!3\!\left(\!\!3\!-\!7\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!q_2\sin\varphi\!-3\!\!\left(\!\!1\!-\!5\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!p_2\cos\varphi\\&\hspace{72pt}+\!7\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\!(p_2\cos3\varphi\!-\!q_2\sin3\varphi)\!\Bigr)\!+O(e^2)\!\!\biggr)</tex>
となり、(平均化の変数が $M$ でも $\varphi$ でも変わらないので $F^*_1,S_1$ は>>22と同じ物)
<tex>\frac{\partial F_1}{\partial L}\!&=\!\frac{3J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{2L^7}\!\Bigl(\!-\!1\!+\!4\frac{H^2}{L^2}\!+\!\left(\!\!3\!-\!4\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\cos2\varphi\!+O(e)\!\Bigr)\\\frac{\partial F_1}{\partial p_2}\!&=\!\frac{3J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^4}{8L^6\sqrt{L}}\!\Bigl(\!\left(\!\!1\!-\!5\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\sin\varphi\!-\!7\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\sin3\varphi\!+O(e)\!\Bigr)\\\frac{\partial S_1}{\partial\varphi}\!&=\!\frac{3J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^2}{4L^3}\!\Bigl(\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\cos2\varphi\!+O(e)\!\Bigr)\\\frac{\partial S_1}{\partial q_2}\!&=\!\frac{J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^2}{4L^3\sqrt{L}}\!\Bigl(\!-3\!\left(\!\!1\!-\!3\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\sin\varphi\!-\!\frac{1}{2}\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\!(3\sin \varphi\!-\!7\sin3\varphi)\!+O(e)\!\Bigr)\\F_{2+}\!&=\!F^*_2\!+\!F_{2p}\!=\!F^*_2\!-\!\frac{\partial F_0}{\partial L}\frac{\partial S_2}{\partial\varphi}\\&=\!-\frac{\partial F^*_1}{\partial q_2}\frac{\partial S_1}{\partial p_2}\!+\!\frac{\partial F_1}{\partial L}\frac{\partial S_1}{\partial\varphi}\!+\!\frac{\partial F_1}{\partial p_2}\frac{\partial S_1}{\partial q_2}\!+\!\frac{1}{2}\frac{\partial^2\!F_0}{\partial L^2}\!\!\left(\!\frac{\partial S_1}{\partial\varphi}\!\right)^{\!\!\!2}\\&=\!\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}\mu^6}{16L^{10}}\!\Bigl(\!-\frac{1}{2}\!\left(\!\!1\!-\!8\frac{H^2}{L^2}\!+\!19\frac{H^4}{L^4}\!\right)\!+\!\frac{1}{8}\!\left(\!\!31\!-\!78\frac{H^2}{L^2}\!+\!95\frac{H^4}{L^4}\!\right)\!\cos2\varphi\\&\hspace{55pt}-\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\!\!\left(\!\!2\!-\!13\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\cos4\varphi\!+\!\frac{49}{8}\!\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)^{\!\!\!2}\!\cos6\varphi\!+O(e)\!\Bigr)</tex>
が得られる。
これを分離すれば
<tex>F^*_2\!&=\!-\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}\mu^6}{32L^{10}}\!\!\left(\!1\!-\!8\frac{H^2}{L^2}\!+\!19\frac{H^4}{L^4}\!+O(e)\!\!\right)\\\frac{\partial S_2}{\partial\varphi}\!&=\!\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}\mu^4}{16L^7}\!\Bigl(\!-\frac{1}{8}\!\!\left(\!31\!-\!78\frac{H^2}{L^2}\!+\!95\frac{H^4}{L^4}\!\right)\!\cos2\varphi\\&\hspace{55pt}+\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\!\!\left(\!\!2\!-\!13\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\cos4\varphi\!-\!\frac{49}{8}\!\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)^{\!\!\!2}\!\cos6\varphi\!+O(e)\!\Bigr)\\S_2\!&=\!\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}\mu^4}{64L^7}\!\Bigl(\!-\frac{1}{4}\!\!\left(\!31\!-\!78\frac{H^2}{L^2}\!+\!95\frac{H^4}{L^4}\!\right)\!\sin2\varphi\\&\hspace{55pt}+\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\!\!\left(\!\!2\!-\!13\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\sin4\varphi\!-\!\frac{49}{12}\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)^{\!\!\!2}\!\sin6\varphi\!+O(e)\!\Bigr)</tex>
である。
以上の $S_1,S_2$ によって各要素の短周期変動
<tex>\Delta p&=\!p\!-\!p^*\!\!=\!\left(\!\frac{\partial S_1}{\partial q}(q,p^*\!)\!\!\right)^{\!\!\!T}\!\!+\!\left(\!\frac{\partial S_2}{\partial q}(q,p^*\!)\!\!\right)^{\!\!\!T}\!\!+O(J_2^{\,3})\\\Delta q&=\!q\!-\!q^*\!\!=-\!\left(\!\frac{\partial S_1}{\partial p^*}(q,p^*\!)\!\!\right)^{\!\!\!T}\!\!-\!\left(\!\frac{\partial S_2}{\partial p^*}(q,p^*\!)\!\!\right)^{\!\!\!T}\!\!+O(J_2^{\,3})</tex>
が求まるが、計算に使用する変数が $(q,p^*\!)$ のように「 * 」の有無が混ざっているのは不便なので
<tex>\frac{\partial S_1}{\partial q}(q,p^*\!)\!&=\!\frac{\partial S_1}{\partial q}(q^*\!\!+\!\Delta q,p^*\!)\!=\!\frac{\partial S_1}{\partial q}(q^*\!,p^*\!)\!+\!\frac{\partial^2\!S_1}{\partial q^2}\Delta q+O(J_2^{\,3})\\&=\!\frac{\partial S_1}{\partial q}(q,p\!-\!\Delta p)\!=\!\frac{\partial S_1}{\partial q}(q,p)\!-\!\frac{\partial^2\!S_1}{\partial p\partial q}\Delta p+O(J_2^{\,3})\\\frac{\partial S_1}{\partial p^*}(q,p^*\!)\!&=\!\frac{\partial S_1}{\partial p^*}(q^*\!\!+\!\Delta q,p^*\!)\!=\!\frac{\partial S_1}{\partial p^*}(q^*\!,p^*\!)\!+\!\frac{\partial^2\!S_1}{\partial p\partial q}\Delta q+O(J_2^{\,3})\\&=\!\frac{\partial S_1}{\partial p^*}(q,p\!-\!\Delta p)\!=\!\frac{\partial S_1}{\partial p^*}(q,p)\!-\!\frac{\partial^2\!S_1}{\partial p^2}\Delta p+O(J_2^{\,3})</tex>
を使って統一すると、例えば
<tex>\Delta L\!&=\!L\!-\!L^*\!\!=\!\frac{\partial S_1}{\partial\varphi}(q,p^*\!)\!+\!\frac{\partial S_2}{\partial\varphi}\!+O(J_2^{\,3})\\&=\!\frac{\partial S_1}{\partial\varphi}(q^*\!,p^*\!)\!+\!\frac{\partial^2\!S_1}{\partial\varphi^2}\Delta\varphi\!+\!\frac{\partial^2\!S_1}{\partial\varphi\partial q_2}\Delta q_2\!+\!\frac{\partial S_2}{\partial\varphi}\!+O(J_2^{\,3})\\&=\!\frac{\partial S_1}{\partial\varphi}(q^*\!,p^*\!)\!-\!\frac{\partial^2\!S_1}{\partial\varphi^2}\frac{\partial S_1}{\partial L}\!-\!\frac{\partial^2\!S_1}{\partial\varphi\partial q_2}\frac{\partial S_1}{\partial p_2}\!+\!\frac{\partial S_2}{\partial\varphi}\!+O(J_2^{\,3})\\&=\!\frac{3J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^2}{4L^{*3}}\!\Biggl(\!\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^{*2}}{L^{*2}}\!\right)\!\cos2\varphi^*\!\!-\!\frac{1}{2\sqrt{L^*}}\Bigl(\!\left(\!\!3\!-\!7\frac{H^{*2}}{L^{*2}}\!\right)\!q^*_2\cos\varphi^*\!\!+\!\!\left(\!\!1\!-\!5\frac{H^{*2}}{L^{*2}}\!\right)\!p^*_2\sin\varphi^*\\&\hspace{156pt}-\!7\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^{*2}}{L^{*2}}\!\right)\!\!(q^*_2\cos3\varphi^*\!\!+\!p^*_2\sin3\varphi^*)\!\Bigr)\!+O(e^2)\!\!\Biggr)\\&\,+\!\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}\mu^4}{8L^{*7}}\!\Bigl(\frac{1}{8}\!\left(\!11\!-\!34\frac{H^{*2}}{L^{*2}}\!+\!47\frac{H^{*4}}{L^{*4}}\!\right)\\&\hspace{55pt}-\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^{*2}}{L^{*2}}\!\right)\!\!\!\left(\!\!4\!-\!9\frac{H^{*2}}{L^{*2}}\!\right)\!\cos2\varphi^*\!\!+\!\frac{5}{8}\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^{*2}}{L^{*2}}\!\right)^{\!\!\!2}\!\cos4\varphi^*\!\!+O(e)\!\Bigr)\!+O(J_2^{\,3})\\&=\!\frac{\partial S_1}{\partial\varphi}(q,p)\!-\!\frac{\partial^2\!S_1}{\partial L\partial\varphi}\Delta L\!-\!\frac{\partial^2\!S_1}{\partial p_2\partial\varphi}\Delta p_2\!+\!\frac{\partial S_2}{\partial\varphi}\!+O(J_2^{\,3})\\&=\!\frac{\partial S_1}{\partial\varphi}(q,p)\!-\!\frac{\partial^2\!S_1}{\partial L\partial\varphi}\frac{\partial S_1}{\partial\varphi}\!-\!\frac{\partial^2\!S_1}{\partial p_2\partial\varphi}\frac{\partial S_1}{\partial q_2}\!+\!\frac{\partial S_2}{\partial\varphi}\!+O(J_2^{\,3})\\&=\!\frac{3J_2\>\!a_e^{\,2}\mu^2}{4L^3}\!\Biggl(\!\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\cos2\varphi\!-\!\frac{1}{2\sqrt{L}}\Bigl(\!\left(\!\!3\!-\!7\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!q_2\cos\varphi\!+\!\!\left(\!\!1\!-\!5\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!p_2\sin\varphi\\&\hspace{156pt}-\!7\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\!(q_2\cos3\varphi\!+\!p_2\sin3\varphi)\!\Bigr)\!+O(e^2)\!\!\Biggr)\\&\,+\!\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}\mu^4}{8L^7}\!\Bigl(-\frac{1}{8}\!\left(\!11\!-\!34\frac{H^2}{L^2}\!+\!47\frac{H^4}{L^4}\!\right)\\&\hspace{55pt}+\!3\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\!\!\left(\!\!1\!-\!4\frac{H^2}{L^2}\!\right)\!\cos2\varphi\!-\!\frac{9}{8}\!\left(\!\!1\!-\!\frac{H^2}{L^2}\!\right)^{\!\!\!2}\!\cos4\varphi\!+O(e)\!\Bigr)\!+O(J_2^{\,3})</tex>
となる。
type3軌道要素で書けば「 * 」有無の変換は
<tex>a&=\!\frac{1}{\mu}(L^*\!\!+\!\Delta L)^2\\&=\!a^*\!+\!\frac{3J_2\>\!a_e^{\,2}}{4\,a^*}\Bigl(\!2(\sin i^*\!)^2\!\cos2\varphi^*\!\!+\!\bigl(4\!-\!7(\sin i^*\!)^2\bigr)\xi^*\!\cos \varphi^*\!\!+\!\bigl(4\!-\!5(\sin i^*\!)^2\bigr)\eta^*\!\sin \varphi^*\\&\hspace{54pt}+\!7(\sin i^*\!)^2(\xi^*\!\cos3\varphi^*\!\!+\!\eta^*\!\sin3\varphi^*\!)\!+O(e^2)\!\Bigr)\\&\hspace{20pt}+\!\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}}{16\,a^{*3}}\Bigl(\!12\!-\!30(\sin i^*\!)^2\!+\!25(\sin i^*\!)^4\!+\!4(\sin i^*\!)^2\!\bigl(5\!-\!9(\sin i^*)^2\bigr)\!\cos2\varphi^*\\&\hspace{75pt}+\!4(\sin i^*\!)^4\!\cos4\varphi^*\!\!+O(e)\!\Bigr)\!+O(J_2^{\,3})\\a^*\!&=\!\frac{1}{\mu}(L\!-\!\Delta L)^2\\&=\!a\!-\!\frac{3J_2\>\!a_e^{\,2}}{4\,a}\Bigl(\!2(\sin i)^2\!\cos2\varphi\!+\!\bigl(4\!-\!7(\sin i)^2\bigr)\xi\cos \varphi\!+\!\bigl(4\!-\!5(\sin i)^2\bigr)\eta\sin \varphi\\&\hspace{49pt}+\!7(\sin i)^2(\xi\cos3\varphi\!+\!\eta\sin3\varphi)\!+O(e^2)\!\Bigr)\\&\hspace{15pt}-\!\frac{3J_2^{\,2}\>\!a_e^{\,4}}{16\,a^3}\Bigl(\!-\!12\!+\!30(\sin i)^2\!-\!25(\sin i)^4\!-\!12(\sin i)^2\!\bigl(3\!-\!4(\sin i)^2\bigr)\!\cos2\varphi\\&\hspace{77pt}-\!6(\sin i)^4\!\cos4\varphi\!+O(e)\!\Bigr)\!+O(J_2^{\,3})</tex>
である。





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