1 黄昏に帰る 2016/12/26 (月) 09:11:31 ID:NTutyxmtEU 修正アリ: 20:08 [修正] [削除]
太田氏の電磁気学T、P157、7.7.1 項の(7.28)式が0となる、と述べていますが、そこの論法ではどうしても
導出できませんでした。その概略を下に書きます。μ₀が面倒なので B→Hとした。
均一な球対称電流を、湧き出し口を原点に取り
<tex>\Vec{J}=\frac{I}{4\pi}\frac{\Vec{x}}{r^3}</tex>
として、(次式では x,r → x',r'となる)、ビオ・サバールの式により
<tex>\Vec{H(\Vec{x})}=\frac{I}{(4\pi)^2}\int dV' \frac{\Vec{x}'}{{r'}^3}\times \frac{(\Vec{x}-\Vec{x}')}{{|\Vec{x}-\Vec{x}'|}^3}</tex>

となる。積分内は  ${\Vec{x}'}\times (\Vec{x}-\Vec{x}')={\Vec{x}'}\times \Vec{x}$ なので、 $\Vec{x}$  を
積分外に出し

<tex>\Vec{H(\Vec{x})}= -\frac{I}{(4\pi)^2}\Vec{x} \times \int dV' \frac{\Vec{x}'}{{r'}^3{|\Vec{x}-\Vec{x}'|}^3}</tex>
となる。

ここで、積分の結果残る定数ベクトルが  $\Vec{x}$  しかなく、 $\Vec{x}$  に比例しなければならないから0と
なる、というのであるが、ずさんな論法にしか見えない。

ここから、どのような論理で、積分が  $\Vec{x}$  に比例するか教えてもらえないでしょうか?

【訂正】4π→(4π)²に訂正。
2 selpo 2016/12/26 (月) 15:27:14 ID:97TqmlNuts [修正] [削除]
積分の収束性が怪しい気がしますが, そこは気にせずにやると以下のようになります.

 $\Vec{V}(\Vec{x},\Vec{y})=\frac{\Vec{y}}{y^3\left|\Vec{x}-\Vec{y}\right|^3}$ とする( $y:=\left|\Vec{y}\right|$ ).
また,  $\Vec{I}(\Vec{x})=\int\Vec{V}(\Vec{x},\Vec{y})\D^3\Vec{y}$ とする.

 $R\in O(3)$ として,  $\Vec{x}'=R\Vec{x}$ に対し $I(\Vec{x}')$ を計算する.
積分で $\Vec{y}=R\Vec{y}'$ と変数変換すると, ヤコビ行列は $R$ でヤコビアンは $\left|\det R\right|=1$ なので
 $\Vec{I}(\Vec{x}')=\int\Vec{V}(R\Vec{x},R\Vec{y}')\D^3\Vec{y}'$ となる.
ところが $\Vec{V}(R\Vec{x},R\Vec{y}')=R\Vec{V}(\Vec{x},\Vec{y}')$ なので, 結局 $\Vec{I}(R\Vec{x})=R\Vec{I}(\Vec{x})$ を得る.

ここで,  $\Vec{x}$ を軸として回転するような $R$ を考えると,  $R\Vec{x}=\Vec{x}$ となるので,
そのような $R$ については $\Vec{I}(\Vec{x})=R\Vec{I}(\Vec{x})$ となる.
よって,  $\Vec{I}(\Vec{x})$ は $\Vec{x}$ 周りの回転で不変, すなわち $\Vec{x}$ に平行でなければならないことが分かる.

ここでの議論は,  $\Vec{V}(\Vec{x},\Vec{y})$ が回転のもとでベクトルとして振る舞うことしか用いていない.
それだけで $\Vec{I}(\Vec{x})\propto\Vec{x}$ が出る.
3 ココ 2016/12/26 (月) 16:17:33 ID:.2yr6iasTU [修正] [削除]
>>1
太田本の説明とは違うけど、結果だけが欲しいなら、

<tex>\Vec{H(\Vec{x})}=\frac{I}{4\pi}\int dV'\frac{\Vec{x}/2+(\Vec{x}'-\Vec{x}/2)}{{|\Vec{x}/2+(\Vec{x}'-\Vec{x}/2)|}^3}\times\frac{\Vec{x}/2-(\Vec{x}'-\Vec{x}/2)}{{|\Vec{x}/2-(\Vec{x}'-\Vec{x}/2)|}^3}</tex>

のように変形したほうが、見通しが良いんじゃない?
4 黄昏に帰る 2016/12/26 (月) 16:45:16 ID:NTutyxmtEU [修正] [削除]
>>2 ありがとうございます。線形代数?は不得手で詳細は理解できないのですが、言わんとするところは
 理解できるような気がします。回転対称ですね。

>>3 有難うございます。変形は何とか理解出来ましたが、その後がさっぱりです。(T_T)
 よければ、もう少しお願いできるとうれしいです。
5 ココ 2016/12/26 (月) 21:05:10 ID:.2yr6iasTU [修正] [削除]
>>4
<tex>\Vec{x}''=\Vec{x}'-\Vec{x}/2</tex>のような変数変換をすると、更に見通しが良くなる。
この時、<tex>\Vec{x}''=(x_1'',x_2'',x_3'')</tex>について、

 $(+,+,+)$ と $(-,-,-)$ 
 $(+,+,-)$ と $(-,-,+)$ 
 $(+,-,+)$ と $(-,+,-)$ 
 $(+,-,-)$ と $(-,+,+)$ 

のように分割すると、それぞれの積分範囲で打ち消し合ってくれる。
6 黄昏に帰る 2016/12/26 (月) 21:29:40 ID:NTutyxmtEU [修正] [削除]
>>5 分かりました。やはり球対称ですね。ありがとうございました。





趣味の物理学書店