1 coJJyMAN 2016/12/06 (火) 04:40:24 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
定常電流と静磁場だけがあるとき、
『任意の電流分布は無限に長い直線電流を適当な向きと大きさで重ね合わせれば実現できる』のか?
という問題を考えていきたいと思います。

 ${\bf \nabla}\cdot{\bf H}=0$ である ${\bf H}=(F,G,H)$ と
 ${\bf \nabla}\cdot{\bf i}=0$ である ${\bf i}=(i,j,k)$ があって、それらの間に
 ${\bf \nabla}\times{\bf H}={\bf i}$ の関係があるとします。

 ${\bf H}$ について
 ${\bf H}_1=(F,0,0),{\bf H}_2=(0,G,0),{\bf H}_3=(0,0,H)$ 
と定義すれば
 ${\bf H}={\bf H}_1+{\bf H}_2+{\bf H}_3$ 
であり
 ${\bf i}_1={\bf \nabla}\times{\bf H}_1,{\bf i}_2={\bf \nabla}\times{\bf H}_2,{\bf i}_3={\bf \nabla}\times{\bf H}_3$ 
とすれば
 ${\bf i}={\bf i}_1+{\bf i}_2+{\bf i}_3$ 
となります。

3つの関係式のうちの1つ、たとえば ${\bf i}_3={\bf \nabla}\times{\bf H}_3$ で一般に成り立つことは他の二つでも同様に成り立つので、
以降は ${\bf i}_3={\bf \nabla}\times{\bf H}_3$ だけを考えていきます。
ついでに記号も書き直します。

 ${\bf H}=(0,0,H)$ と ${\bf i}=(i,j,0)$ があり、それらの間に ${\bf \nabla}\times{\bf H}={\bf i}$ の関係がある状態を考えます。
この場合、 ${\bf \nabla}\times{\bf H}={\bf i}$ の演算は
 $\frac{\partial H}{\partial y}=i$ と $-\frac{\partial H}{\partial x}=j$ 
であり、z方向は無関係になるので、
 $z=c$ の任意の平面に存在する
 $\frac{\partial H(x,y,c)}{\partial y}=i(x,y,c)$ と $-\frac{\partial H(x,y,c)}{\partial x}=j(x,y,c)$ 
を考えているということになります。

これは要するに、ある平面でスカラー場 $H(x,y)$ とベクトル場 ${\bf i}=(i,j)$ が定義されており、それらの間に
 $\frac{\partial H(x,y)}{\partial y}=i(x,y)$ と $-\frac{\partial H(x,y)}{\partial x}=j(x,y)$ 
の関係があったとき、何が言えるかと考えればよいということです。

もともとは3次元の問題ですが、2次元の問題に落とします。
2 hirota 2016/12/06 (火) 13:23:16 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
ここ
http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/161110001e9b72de#res27
で終わったと錯覚してたけど間違いを指摘されてたんですね。
3 甘泉法師 2016/12/06 (火) 13:36:28 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 16:15 [修正] [削除]
こんにちは。

>『任意の電流分布は無限に長い直線電流を適当な向きと大きさで重ね合わせれば実現できる』のか?

 電流→ $\mathbf{f(r)}$ とおきかえて一般に 
『任意の $\mathbf{f}$ ( $r$ )分布は無限に長い直線f( $r$ )を適当な向きと大きさで重ね合わせれば実現できる』と読むと 「直線 $\mathbf{f}$ ( $r$ )」が平面波のことならばフーリエ変換で正しいと思いました。

 とんちんかんでしたらすみません。
4 coJJyMAN 2016/12/06 (火) 20:33:49 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
コメントありがとうございます。
フーリエ変換で考えればいけるんじゃないかと思っています。
(ただ、 ${\bf \nabla}\times{\bf H}={\bf i}$ から始めることが、もしかしたら間違っているかもしれないんですが。。)
5 coJJyMAN 2016/12/06 (火) 22:35:09 ID:JYV.OZw18Y 修正アリ: 12/07 (水) 06:02 [修正] [削除]
平面上で定義されるスカラー $H$ とベクトル ${\bf i}$ は、
具体的に $(x,y)$ 座標軸をおくことによって
 $H=H(x,y)$ や ${\bf i}={\bf i}(i(x,y),j(x,y))$ という値を持ちます。  

初めに置いた $(x,y)$ 座標系で、 $H$ について
<tex>H_{0}(x,y)=\lim_{L\rightarrow \infty}\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}{H(s,y)}ds</tex>
を計算します。
これは $H$ に関して、それぞれの $y$ について、 $x$ 方向の平均値で置き換えたものです。
それで、 $H'=H-H_0$ と定義すれば、
 $H$ を $H=H_0+H'$ に分解したということになり、 ${\bf i}$ についても
 $\frac{\partial H}{\partial y}=i$  や  $-\frac{\partial H}{\partial x}=j$ を思い出せば
 $\frac{\partial H_0}{\partial y}=i_0$  と  $-\frac{\partial H_0}{\partial x}=j_0=0$ から得られる ${\bf i}_0={\bf i}_0(i_0,0)$ を使って
 ${\bf i}={\bf i}_0+{\bf i}'$ に分解されます。
ここに出てきた ${\bf i}_0$ は
 $\frac{\partial H_0}{\partial y}=i_0$ が $x$ 方向には値が変化していませんから、それぞれの $y$ の場所に独立した、
 $x$ 方向の無限直線電流が集まったベクトル場と見なすことができます。(かな?)

次に考えるのは $H$ から $H_0$ を取り去り、 $H'$ だけ残っているとします。
当然 ${\bf i}$ も ${\bf i}'$ だけが残ります。
そこで、座標系を回転させます。(180°じゃなくて、たとえば1radとか)
そして、その新しい座標系 $(x',y')$ で、また同じように
<tex>H_{1}(x',y')=\lim_{L\rightarrow \infty}\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}{H'(s',y')}ds'</tex>
を計算します。
すると、今度も  $H'=H_1+H''$ 
と分解されて、 ${\bf i}'$ も  ${\bf i}'={\bf i}_1+{\bf i}''$ のように分解されます。
この $H_1$ から得られる ${\bf i}_1$ は、 $(x',y')$ 座標系で、無限直線電流が集まったベクトル場と見なすことができます。(ほんとかな?)

このように、次々に $H$ を分解していった時、つまり $H=H_0+H_1+H_2...$ とした時、
 $n$ が無限大の極限で $H_n$ がゼロになるのなら、 ${\bf i}_n$ も無限大の極限でゼロであると言うことができます。この時には ${\bf i}$ は完全に分解されています。

以上のことから、上手に座標系を変えながらという条件付きで、
 $\frac{\partial H}{\partial y}=i$  や  $-\frac{\partial H}{\partial x}=j$ の性質を持つ任意のベクトル場 ${\bf i}={\bf i}(i(x,y),j(x,y))$ は、 
あらゆる方向を向いた無限直線電流が集まったベクトル場の重ね合わせで再現することが可能であることがわかりました。
(ん〜、なんかイマイチぱっとしませんね)
6 coJJyMAN 2016/12/08 (木) 22:52:35 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
平面上のフーリエ変換を使って考えます。
<tex>f(x,y):&\\F(u,v)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{i(ux+vy)}dxdy,\\f(x,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(u,v)e^{-i(ux+vy)}dudv</tex>

 $u=s,v=as$ 
 $dudv=|J|dsda$ 
<tex>J=\begin{pmatrix}\pdif{u}{s} & \pdif{u}{a}\\  \pdif{v}{s}& \pdif{v}{a}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 0\\ a & s\end{pmatrix}=s</tex>
 $\therefore  dudv=|s|dsda$ 

<tex>F'(a,x,y):&\\f(x,y)&=\int_{-\infty}^{\infty}F'(a,x,y)da \\F'(a,x,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}ds</tex>

 $\Vec{V}=(\pdif{F'}{x},\pdif{F'}{y})=(-isF',-isaF')$ 
 $\Vec{V}_0=(s,as)=(u,v)$ 
 $\Vec{U}=(\pdif{F'}{y},-\pdif{F'}{x})=(-isaF',isF')$ 
 $\Vec{U}_0=(-a,1)$ 
 $\Vec{U}_0\cdot\Vec{V}_0=0$ 

 $\Vec{x}=(x,y)$ 
 $\Vec{x}'=\Vec{x}+\Vec{U}_{0}t$ 

<tex>F'(a,\Vec{x}')&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x-at+ay-at)}ds \\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}ds =F'(a,\Vec{x})</tex>

 $\Vec{U}(a,\Vec{x}+\Vec{U}_{0}t)=\Vec{U}(a,\Vec{x})$ 

以上です。

 $\Vec{U}(a,x,y)$ が平行な無限直線電流の集まりなので
<tex>\Vec{u}(x,y)=\left(\pdif{f}{y},-\pdif{f}{x}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{\Vec{U}(a,x,y)da}</tex>
は、平行な無限直線電流の集まりの重ね合わせです。
7 coJJyMAN 2016/12/09 (金) 03:42:37 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
ところでhirotaさん、
>>2
前のスレッドで
>成り立たない事の証明なら出来る。
と初めに結論づけていおられましたけど、本当ですか?
8 coJJyMAN 2016/12/09 (金) 12:30:39 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>6の途中がおかしいので、帰ったら修正します。
9 hirota 2016/12/09 (金) 12:52:06 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>7
発散0の定常電流とかの前提条件が要るんじゃないのか?という指摘の代わりに過ぎません。
10 甘泉法師 2016/12/09 (金) 14:54:11 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

前提の確認ですが

>>1 無限に長い直線電流

とは

・3次元空間のある直線上でだけゼロでない。
・ベクトルの向きは直線と一致
・大きさは一定 (あるいは 長さにつれ連続変化?/不連続でもよい?)

という理解はあっているでしょうか。




11 hirota 2016/12/09 (金) 15:00:01 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
「方向に沿って不変」なだけでしょ。
12 甘泉法師 2016/12/09 (金) 15:24:31 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
ありがとうございます。

問題の勘所がつかめてないようです。

>>1 定常電流と静磁場だけがあるとき、

考えるのは電流の定常状態で、「直線方向に沿って不変」なものを重ねあわせの基底にしたい。

磁場がどうからむのでしょう。 『任意の電流分布は無限に長い直線電流を適当な向きと大きさで重ね合わせれば実現できる』かどうかに、磁場は関係するのでしょうか。 
13 甘泉法師 2016/12/09 (金) 15:36:02 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

簡単な場合ですが空間が1次元なら重ねあわせで不変な電流しかつくれないのは明らかだから位置座標により変化するような電流分布はつくれませんね。

次にそれをz軸としてそれと平行に同じふるまいの直線をxy平面上に稠密に立てた全体を考えると電流分布は
<tex>\mathbf{i}(x,y,z)=(0,0,i(z))</tex>
この電流分布を件の重ねあわせでつくることはできないようにみえます。 

いかがでしょう。 問題を取り違えているでしょうか。
14 hirota 2016/12/09 (金) 17:33:37 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
何を言ってるのか不明瞭。
15 coJJyMAN 2016/12/09 (金) 19:10:28 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>7
>発散0の定常電流とかの前提条件が要るんじゃないのか?という指摘の代わりに過ぎません。
そこだったの!?
じゃあ何の問題もなかったんだ。
あの1文の書かれた章のテーマが、定常電流と静磁場だったので、前後の文脈から、その点は前提になっています。

「定常電流でなければ一般には成り立たない」というような書き方をしないと、誤解を生みますよ。
「電磁気学-はじめて学ぶ電磁場理論」(遠藤-雅守)
は、著者の大学の電磁気学の講座の指定教科書なので、その記述が「成り立たないことが証明できる」と言われちゃうと、学生さんが可哀想ですよ。
16 hirota 2016/12/09 (金) 19:28:44 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
持ってない本を前提にされてもね。

まったく通じてなかったからフォローの必要もないと思ってたけど、意外な所に被害が出てすまんね。
17 ********** 2016/12/09 (金) 19:50:12 ID:********** 削除日時: 12/10 (土) 00:07
(投稿者によって削除されました)
18 coJJyMAN 2016/12/09 (金) 19:52:40 ID:JYV.OZw18Y 修正アリ: 12/10 (土) 04:47 [修正] [削除]
いや〜、どれだけ噛み砕いて証明すればいいか見当つかなくなって困りましたよ。
よりあえず、一つのアプローチは以下に。
(その他3つくらい考えたんだけど、なんか書く気が失せてきた)
とにかく>>6はよくないので書き直します。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
平面上のフーリエ変換を使って考えます。
<tex>f(x,y):&\\F(u,v)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{i(ux+vy)}dxdy,\\f(x,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(u,v)e^{-i(ux+vy)}dudv</tex>

 $u=s,v=as$ 
 $dudv=|J|dsda$ 
<tex>J=\begin{pmatrix}\pdif{u}{s} & \pdif{u}{a}\\  \pdif{v}{s}& \pdif{v}{a}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 0\\ a & s\end{pmatrix}=s</tex>
 $\therefore  dudv=|s|dsda$ 

<tex>F'(a,x,y):&\\f(x,y)&=\int_{-\infty}^{\infty}F'(a,x,y)da \\F'(a,x,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}ds</tex>

 $\Vec{V}_0=(1,a)$ 
 $\Vec{U}_0=(-a,1)$ 
 $\Vec{U}_0\cdot\Vec{V}_0=0$ 

 $\Vec{V}=\Vec{\nabla}F'=(\pdif{F'}{x},\pdif{F'}{y})$ 
<tex>=\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}(-is)ds,\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}(-isa)ds\right)</tex>

<tex>\Vec{U}_0\cdot\Vec{V}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}(isa)ds+\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}(-isa)ds=0</tex>

 $\Vec{U}=(\pdif{F'}{y},-\pdif{F'}{x})$ 
<tex>=\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}(-ias)ds,\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}(is)ds\right)</tex>

<tex>\Vec{U}\cdot\Vec{V}_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}(-isa)ds+\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}(isa)ds=0</tex>

 $\Vec{x}=(x,y)$ 
 $\Vec{x}'=\Vec{x}+\Vec{U}_{0}t$ 

<tex>F'(a,\Vec{x}')&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x-at+ay+at)}ds \\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}ds =F'(a,\Vec{x})</tex>

 $\Vec{U}(a,\Vec{x}+\Vec{U}_{0}t)=\Vec{U}(a,\Vec{x})$ 

以上です。

 $\Vec{U}(a,x,y)$ が平行な無限直線電流の集まりなので
<tex>\Vec{u}(x,y)=\left(\pdif{f}{y},-\pdif{f}{x}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{\Vec{U}(a,x,y)da}</tex>
は、平行な無限直線電流の集まりの重ね合わせです。
19 hirota 2016/12/09 (金) 20:03:11 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
任意の3次元特殊直交行列を $R$ として
<tex>R\!\!\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\!\exp\Bigl(i(\omega_1,\omega_2,0)R^T\!\Vec{x}\Bigr)</tex>
が基底になりそう。( $\omega_1,\omega_2$ は空間周波数)
20 coJJyMAN 2016/12/09 (金) 20:10:20 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>17
>今回の coJJyMANさんの議論は全く理解できませんが、遠藤氏の書籍については前にも述べたように、一言あります。
気に入らなければ、読まなきゃいいのに。。

それに、僕の記述が理解できないなら、参加しなくてもいいんですよ。ほっといてください。
僕も返事する義務がないスレッドですし。

でも、世間で使われている教科書が理解できないなら、自分が何かを誤解している可能性のほうが高いと思ったほうがいいですね。そして、「自分が何を間違えているのか、人に教えを請う」方が有益です。

とにかく失礼ですし、おこがましすぎます。
間違ったこと言ったら、謝りましょうよ。
そう。僕みたいにね。(てへぺろ)
21 coJJyMAN 2016/12/09 (金) 20:22:14 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>19
あ〜、1行で書くとそうなるんですか?流石だなぁ。。
僕が考えていたのは
原点Oから $r=(x,y,z)$ の位置にある点Pを通り、
OPに垂直で、方向が $L=(l,m,n)$ を向いた無限長の直線が基底なんですね。
それで、その直線上の全ての位置にベクトル $L=(l,m,n)$ が乗っかっているイメージです。
それで、
<tex>\vec{v}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi}\int dV' \frac{\vec{\omega}(\vec{r'})\times (\vec{r}-\vec{r'})}{{|\vec{r}-\vec{r'}|}^3}</tex>
の $\vec{\omega}$ を分解しようと思っていました。
22 coJJyMAN 2016/12/09 (金) 20:33:28 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
あと、 $\Vec{B}=\Vec{\nabla}\times\Vec{A}$ の $\Vec{A}$ の方を直線の集合に分けてしまって、 $\nabla^2 \Vec{A}=\mu_0 \Vec{j}$ により $j$ も直線の集合だという風に持っていこうかなという案もありました。
23 coJJyMAN 2016/12/09 (金) 21:11:15 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
一番やりたかったのは、非発散定常電流 $div\Vec{i}=0$ に非圧縮性流体速度の $div\Vec{v}=0$ を対応させて、その渦度 $rot\Vec{v}=\Vec{\omega}$ を定義し、2次元に落とした後。。

「ある都市の中を行き交う自動車の流れの一日を追い、24時間分のデータを取ると、集計データは毎日同じであった。」

「仮想的に等間隔の十字路のメッシュをマッピングし、各ブロックで東西南北それぞれに交通量を測った。左車線の通過台数をプラス、反対車線の通過台数をマイナスとして、東西南北4方向の合計の左回りの一日の通過台数の集計を全ブロックで行った。」

「そのデータだけから『どんな複雑な流れ方をしている交通量のデータも、様々な場所から様々な方向に何台か等速運動している自動車の列の重ね合わせで再現できる。』その方法とは。。」

これだったんですよ〜。。
元気が出たらチャレンジします。
24 甘泉法師 2016/12/09 (金) 22:45:35 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 12/11 (日) 23:41 [修正] [削除]
こんにちは。

点 $(x_0,y_0,z_0)$ を通り方向が $a\mathbf{e_x}+b\mathbf{e_y}+c\mathbf{e_y},a^2+b^2+c^2=1,a>0$ の直線上にあって直線と同じ向きの定数ベクトル

<tex>\mathbf{v}(x_0,y_0,z_0,a,b,c)=(a\mathbf{e_x}+b\mathbf{e_y}+c\mathbf{e_y})\ \int du \delta(\frac{x-x_0}{a}-u)\delta(\frac{y-y_0}{b}-u)\delta(\frac{z-z_0}{c}-u)</tex> 

を基底として、任意に与えられた定常ベクトルの分布 $\mathbf{i}(x,y,z)$  との内積

<tex>f(\mathbf{v})=\int dx \int dy \int dz \ \mathbf{i}\cdot\mathbf{v}</tex> とかをつかって

<tex>\mathbf{i}=\int dx_0 \int dy_0 \int dz_0\int da \int db \int dc\  f(\mathbf{v})\ \mathbf{v}</tex> 

とか展開してうまくあらわせるだろうか?

ベクトルは電流に限らずなんでもよくて物理でなく数学の問題 

という設問と思ったのですが...大間違いだったでしょうか。


PS  12/11
よりきちんと整理すると
=========================
問 発散のない任意のベクトル場 $\mathbf{i}$ , $\nabla\cdot\mathbf{i}=0$  を、 
原点からもっとも近い点が $(x_0,y_0,z_0)$ で傾きが極座標で $\theta_0,\phi_0$ の直線上で
直線と同じ向きのベクトルを空間と向きの立体角の積分によって導く(直線上以外ではゼロを導く)直線ベクトル密度
<tex>\mathbf{v}(x,y,z,\theta,\phi;x_0,y_0,z_0,\theta_0,\phi_0)=(cos\theta_0\ \mathbf{e_x}+sin\theta_0 cos\phi_0\ \mathbf{e_y}+sin\theta_0 sin\phi_0\ \mathbf{e_z})\ \delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)\int du\  \delta(x-x_0-u\ cos\theta_0)\delta(y-y_0-u\ sin\theta_0 cos\phi_0)\delta(z-z_0-u\ sin\theta_0 sin\phi_0) \delta(x_0\ cos\theta_0+y_0sin\theta_0\ cos\phi_0 + z_0 sin\theta_0 sin\phi_0)</tex>
を使って、
<tex>\mathbf{i}=\int dx_0 \int dy_0 \int dz_0 \int_0^{\pi/2} \frac{sin\theta_0\ d\theta_0}{2\pi} \int_0^{2\pi}d\phi_0 \ f(x_0,y_0,z_0,\theta_0,\phi_0) \mathbf{v}(x,y,z,\theta,\phi;x_0,y_0,z_0,\theta_0,\phi_0)</tex>
と展開できるか考察せよ。  
25 hirota 2016/12/10 (土) 00:30:28 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
ヒルベルト空間にも入ってないデルタ関数を基底とか言って数学の問題になるんですか?
26 coJJyMAN 2016/12/10 (土) 04:32:30 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
ああ、>>19は、空間の任意の方向を向いた横波ですね。
そうですね。平面波展開(フーリエ解析)が常道かなぁ。。
27 甘泉法師 2016/12/10 (土) 05:04:33 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>25

無限に長い直線(電流)ベクトルとはどういうものなんでしょう?
こういう直線上だけで定数ベクトルのもののことをおっしゃっているのかなあとイメージしたのですが>>10
正しい定義を教えていただければ幸いです。
28 甘泉法師 2016/12/10 (土) 06:03:28 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 08:14 [修正] [削除]
こんにちは。

>>19

直線一本一本をあつかわずとも
いろいろなところを通る同じ向きの直線は、乾麺の束のようにまとめて扱える、と読みました。 

それで展開できない>>13のような分布は、発散しないベクトル  $\nabla\cdot \mathbf{i}=0$  という条件を課すと除外されるということと理解しました。
29 甘泉法師 2016/12/10 (土) 07:16:54 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 08:28 [修正] [削除]
こんいちは。

>>26

答えは発散のないベクトル場のフーリエ変換そのものですね。>>3
30 hirota 2016/12/10 (土) 11:47:31 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>27
人の言う事(>>11)を無視して何を言ってるやら。
31 coJJyMAN 2016/12/10 (土) 20:13:43 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
あ〜、わかりやすい証明ってむずかしいですわ〜。。
(誰にとってわかりやすいか、ていう問題もあるし)
やっぱりベクトルポテンシャルを仲介させたほうが、いい証明が書けるのかな。。
32 coJJyMAN 2016/12/10 (土) 20:41:05 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>27
電流密度場の流線がどこまでも完全に平行な直線
 $\Vec{U}(\Vec{x}+\Vec{U}t)=\Vec{U}(\Vec{x})$ 
33 甘泉法師 2016/12/10 (土) 20:55:16 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは

>>30

わたしのなかでは >>11 と >>24 は調和して平和 になったのですが。。。

もちろん無視などとんでもありません。 浅い理解でしたら正していただければありがたいです。
34 甘泉法師 2016/12/10 (土) 21:01:13 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>32

U(x+Ut) とは、変数にもUが表れて再帰的にみえます。そんなフラクタルのような関係ではないでしょう。


tは時間を想起させますが以下違ってたらすみません。 時間が顔を出すというより時間が顔を出さないほうが定常状態を表現するように思えます。
35 coJJyMAN 2016/12/11 (日) 10:06:44 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
ああ、いかん。
>>32
は1本の流線の特徴しか書いてないので、他にも誤解を生みそうだ。
甘泉法師さんは別の点で理解されてないようだけど、その点に関しては
 $\Vec{U}(\Vec{x}+\Vec{e}l)=\Vec{U}(\Vec{x})=U_0\Vec{e}$ 
と書けばいいだろうね。
36 hirota 2016/12/11 (日) 15:47:13 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
 $\Vec{U}(\Vec{x})=U_0\Vec{e}$ だと全空間で同じ電流密度になってしまうんじゃない?
 $\Vec{U}(\Vec{x}+\Vec{e}l)=\Vec{U}(\Vec{x})\parallel\Vec{e}$ くらいで良いのでは。
37 甘泉法師 2016/12/11 (日) 21:51:34 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>  $\Vec{U}(\Vec{x})=U_0\Vec{e}$  だと全空間で同じ電流密度になってしまうんじゃない?

方向単位ベクトル $\mathbf{e}$ の直線があたえられた場合
 $\mathbf{U(x)}=\mathbf{e}$  xが直線上の場合,  0 その他の場合。

というのはどうでしょう。
同趣旨をδ関数をつかった直線ベクトル「密度」として>>24 PS に記しました。
38 coJJyMAN 2016/12/12 (月) 03:21:49 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
$\Vec{U}(\Vec{x}+\Vec{e}l)=\Vec{U}(\Vec{x})\parallel\Vec{e}$  くらいで良いのでは。
なるほど。「平行」を表わす記号があるんですね。
hirotaさん、ありがとうございますm(_._)m
39 甘泉法師 2016/12/12 (月) 23:03:52 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 12/14 (水) 14:34 [修正] [削除]
12/14修正

こんにちは。

直線電流のようにある直線上で直線の向きのベクトルをあたえその外ではゼロであるベクトルの標識に要るパラメターの数は4つです。

向き:2つ
  ベクトル  $(k_x,k_y,k_z)$ 、ただし1に規格化でひとつは省ける。
  または 極座標のθ、φのふたつ。

とおる点:2つ
  同じ向きの直線のうち原点を通るものを基準に、それとの距離dと同じdの同円周上のものを中心角φで識別(φ=0を定める軸を一義に設定するしかたはわかりませんが)
  または、直線とxy平面(z=0)の交点$(x_0,y_0,0) (xy平面に平行な直線の場合はまた別に考えなければならないのが面倒ですが)

フーリエ変換のパラメタ―の数は3だから、直線ベクトルの重ねあわせで展開すると 4−3=1が冗長です。 ですから直線ベクトル単独でなくて、まとめたもの、たとえば向きが同じで原点からの距離が異なるものを束にするとか、が展開につかわれることが示唆されます。
40 冷蔵庫 2016/12/13 (火) 20:36:14 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>18

こんにちは。
(u, v)を(s, a)に変数変換しているのは何故ですか?
41 coJJyMAN 2016/12/14 (水) 01:02:12 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>40
こんばんは、冷蔵庫さん。
<tex>F(u,v)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{i(ux+vy)}dxdy</tex>
は、他の書き方だと
<tex>F(k_x,k_y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{i(k_x x+k_y y)}dxdy</tex>
のように、波数を表す文字 $k$ を使ったりしますよね。

そこで、逆変換の積分 $dk_x dk_y$ を、
 $k_x=k\cos\theta,k_y=k\sin\theta$ で変数変換して
波数ベクトル $\Vec{k}=(k_x,k_y)$ の動径方向と偏角方向の積分に変えて考察することがあります。
そのときは $dk_x dk_y=|k|dk d\theta$ ですね。

今回も同じようにしてもよかったんですが、だた「式が長くなってしまう」のが面倒だったので、
波数空間に原点を通る傾き $a$ の直線 $k_y=a k_x$ を考え、積分をこの直線の方向ごとに、
傾きを-∞から+∞までに渡って行うことにしました。
42 冷蔵庫 2016/12/14 (水) 23:44:55 ID:euMO4xGYwk 修正アリ: 00:53 [修正] [削除]
>>41

お返事ありがとうございます。
それで、その変数変換は何のためにしているのでしょうか?

(※質問の書き方が悪かったため、修正しました。
hirotaさん、誤解を与えたようでしたらすみません)
43 hirota 2016/12/15 (木) 00:07:50 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
空間周波数にスペクトル分解してる。
44 冷蔵庫 2016/12/16 (金) 19:34:12 ID:euMO4xGYwk 修正アリ: 22:19 [修正] [削除]
>>43

お尋ねしたいのは、「e^{-i(ux+vy)} ではなく、e^{-is(x+ay)}での展開に書き換えるのは何のためなのか」、ということです
45 coJJyMAN 2016/12/16 (金) 21:13:57 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>44
積分を平行な波数の成分の積分とそれ以外に分けるためです。
>>18を逆からたどると、何のためにそんなことをしたのかわかるでしょう。
<tex>\Vec{u}(x,y)=\left(\pdif{f}{y},-\pdif{f}{x}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{\Vec{U}(a,x,y)da}</tex>
 $\Vec{U}=(\pdif{F'}{y},-\pdif{F'}{x})$ 
<tex>=\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}(-ias)ds,\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}(is)ds\right)</tex>
<tex>F'(a,x,y):&\\f(x,y)&=\int_{-\infty}^{\infty}F'(a,x,y)da \\F'(a,x,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}ds</tex>
<tex>f(x,y):&\\F(u,v)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{i(ux+vy)}dxdy,\\f(x,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(u,v)e^{-i(ux+vy)}dudv</tex>
こういうことです。
46 冷蔵庫 2016/12/16 (金) 22:22:46 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>45

まだよくわかっていませんが、ありがとうございました。
47 冷蔵庫 2016/12/18 (日) 18:00:41 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
せっかくなので、このスレの問題に対する回答を簡単に書いておきます。

電流密度 $\Vec{j}(\Vec{x})$ のフーリエ変換、
<tex>\Vec{j}(\Vec{x})=\frac{1}{2\pi}\int d^3x \Vec{J}(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}</tex>
が $\nabla \cdot \Vec{j}$ を満たすことから、
<tex>\Vec{u} \cdot \Vec{J}(\Vec{u}) = 0</tex>
が分かります。これより、
<tex>\Vec{J}(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}</tex>
が"平行な無限直線電流の集まり"だと言えますから、 $\Vec{j}(\Vec{x})$ もその重ねあわせです。
48 黄昏に帰る 2016/12/18 (日) 21:30:02 ID:NTutyxmtEU 修正アリ: 22:12 [修正] [削除]
>>47
<tex>\Vec{J}(\Vec{u})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int d^3x \Vec{j}(\Vec{x})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}} \ ,\ \Vec{j}(\Vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int d^3u \Vec{J}(\Vec{u})e^{i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}</tex>

ではないでしょうか? だいぶ分かり安いですが、xでの偏微分による uxなどが
積分の前に出ないので、
<tex>\Vec{u} \cdot \Vec{J}(\Vec{u}) = 0</tex>
とは言えない気がします(基本関係ないと思うが、それと直交ですね)。

全然わかっていない上での発言で、恐縮ですが。
49 冷蔵庫 2016/12/18 (日) 22:47:25 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>48

すみません、式が間違っていました。ご指摘ありがとうございます。
<tex>\Vec{j}(\Vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int d^3u \Vec{J}(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}</tex>
に訂正しておきます。

#47の、「 $\nabla \cdot \Vec{j}$  を満たすことから、」も「 $\nabla \cdot \Vec{j}=0$  を満たすことから、」
に訂正します。

>xでの偏微分による uxなどが積分の前に出ないので、

訂正した式のdivをとると、
<tex>\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int d^3u (-i\Vec{u})\cdot\Vec{J}(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}} = 0</tex>
ですから、u・J = 0 ではないでしょうか。
50 黄昏に帰る 2016/12/18 (日) 23:14:20 ID:NTutyxmtEU [修正] [削除]
>>49 そうでした。申し訳ない勘違いしました。
51 coJJyMAN 2016/12/19 (月) 07:26:10 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>47以降
これで直線電流の集まりがイメージできる人はすごいな。
52 coJJyMAN 2016/12/19 (月) 20:34:24 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
<tex>\Vec{j}(\Vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int d^3u \Vec{J}(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}</tex>
って、何か違和感があると思ってたら、「無限『面』電流の重ね合わせ」の形になってるんだよね。
ある波数成分の電流密度場
<tex> \Vec{j}(\Vec{u},\Vec{x})=\Vec{J}(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}</tex>
って $\Vec{J}(\Vec{u})$ で表される電流の方向と平行でない方法のベクトルでも、 $\Vec{u}$ と垂直なベクトルを考えれば。。
例えば、 $\Vec{u}$ 方向の単位ベクトルを $\Vec{e}_u$ 、 $\Vec{J}(\Vec{u})$ 方向の単位ベクトルを $\Vec{e}_j$ として、それらに直行する単位ベクトル $\Vec{e}_n=\Vec{e}_u\times\Vec{e}_j$ を考えると、
任意の実数のパラメータ $\alpha,\beta$ を使って、
 $\Vec{x}'=\Vec{x}+\alpha\Vec{e}_j+\beta\Vec{e}n$ 
となる任意の $\Vec{x}'$ について
<tex> \Vec{j}(\Vec{u},\Vec{x}')&=\Vec{J}(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}'}=\Vec{J}(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot( \Vec{x}+\alpha\Vec{e}_j+\beta\Vec{e}n})\\&=\Vec{J}(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}=\Vec{j}(\Vec{u},\Vec{x})</tex>
となります。
まあ、これで納得できる人はこれでもいいかもしれませんね。
53 coJJyMAN 2016/12/19 (月) 20:38:40 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
ああ、そうか!わかったぞ!
54 hirota 2016/12/19 (月) 20:59:51 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
例: $\Vec{u}_0$ を定数ベクトルとして $\Vec{J}(\Vec{u})=\delta(\Vec{u}+\Vec{u}_0)\Vec{u}_0+\delta(\Vec{u}-\Vec{u}_0)\Vec{u}_0$ 
55 coJJyMAN 2016/12/19 (月) 23:00:37 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>54?
 $\Vec{J}_0(\Vec{u})=\delta(\Vec{u}+\Vec{u}_0)\Vec{u}_0+\delta(\Vec{u}-\Vec{u}_0)\Vec{u}_0$ 
<tex>\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int d^3u (-i\Vec{u})\cdot\Vec{J}_0(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}} </tex>
<tex>=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int d^3u (-i\Vec{u})\cdot\delta(\Vec{u}+\Vec{u}_0)\Vec{u}_0e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}} +\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int d^3u (-i\Vec{u})\cdot\delta(\Vec{u}-\Vec{u}_0)\Vec{u}_0e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}} </tex>
<tex>=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}(i\Vec{u}_0)\cdot\Vec{u}_0e^{i\Vec{u}_0\cdot \Vec{x}} +\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}} (-i\Vec{u}_0)\cdot\Vec{u}_0e^{-i\Vec{u}_0\cdot \Vec{x}} </tex>
<tex>=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}(-2|\Vec{u}_0|^2)\sin{(\Vec{u}_0\cdot \Vec{x})} =?</tex>
56 coJJyMAN 2016/12/19 (月) 23:57:18 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>53の続き(長文)
 ${\rm div}\Vec{i}=0$ である $\Vec{i}$ があるとき、
 $\Vec{j}={\rm rot}\Vec{i}$ を定義すれば、 ${\rm div}\Vec{j}=0$ であり、また
 $\Vec{k}={\rm rot}\Vec{j}$ を定義すれば、 ${\rm div}\Vec{k}=0$ です。
このとき、
 $\Vec{k}={\rm rot}\Vec{j}={\rm rot rot}\Vec{i}=-\nabla^2\Vec{i}+\nabla{\rm div}\Vec{i}=-\nabla^2\Vec{i}$ 
すなわち<tex>\nabla^2\Vec{i}=-\Vec{k}\tag{1}</tex>
ですが、
この方程式の解は
<tex>\Vec{i}(\Vec{r}_1)=\frac{1}{4\pi}\int{dV_2}\frac{\Vec{k}(\Vec{r}_2)}{r_{12}}\tag{2}</tex>
です。

さてここで、 $div\Vec{k}=0$ であるベクトル場を3次元空間でフーリエ変換して、例えば
<tex>\Vec{k}(\Vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\iiint \Vec{K}(\Vec{u})e^{i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}d^3\Vec{u} \tag{3}</tex>
<tex>\Vec{K}(\Vec{u})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\iiint  \Vec{k}(\Vec{x})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}d^3\Vec{x}\tag{4}</tex>
としたときに、
ベクトル場のある波数の成分
<tex> \Vec{K}(\Vec{u})e^{i\Vec{u}\cdot \Vec{x}} </tex>
は、波数ベクトル $\Vec{u}$ に垂直な面内である一定の方向を持ったベクトル場を表しています。

このように考えると、あらゆる点で発散がゼロとなるベクトル場は、
無数の向きづけられた無限平面のベクトル場の集合で表されていると想像できます。

とするなら、(2)式で得られる、同じくあらゆる点で発散がゼロとなるベクトル場 $\Vec{i}$ について、
空間のある点 $\Vec{r}=(x,y,z)$ から、ある方向 $\Vec{l}=(l,n,m)$ に無限に伸びる直線を想像したときに、
その直線に沿った
<tex>\Vec{I}(\Vec{r}_1,\Vec{l})=\int_{l}{ds}\frac{\Vec{k}(\Vec{r}_2)}{r_{12}}\tag{2}</tex>
の積分は
 $\Vec{k}$ に含まれる無数の平面のうち、 $\Vec{l}$ に平行な平面しか積分に寄与しません。(はずです)
しかも、 $\Vec{k}$ の中の1つの平面のベクトル場はいたるところ(すべての $\Vec{r}_2$ )で等しい値なので、
直線に沿って積分したときには、 $\Vec{I}$ に関してはあらゆる場所(すべての $\Vec{r}_1$ )で等しい寄与をします。(はずです。)

以上の2点が正しければ、 ${\rm div}\Vec{i}=0$ である $\Vec{i}$ があるときは、
そのベクトル場は無限直線ベクトルの重ね合わせとして表現することが可能であると言えます。
(けっこういいんじゃないすかね?)
57 coJJyMAN 2016/12/20 (火) 05:51:48 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>56あぁ、すみません。ベクトルの方向が直線に乗っからないからだめですね。。
58 hirota 2016/12/20 (火) 17:19:17 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>54の例 $\Vec{J}(\Vec{u})=\delta(\Vec{u}+\Vec{u}_0)\Vec{u}_0+\delta(\Vec{u}-\Vec{u}_0)\Vec{u}_0$ を $\int d^3\Vec{u}\,\Vec{J}(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}$ に入れると
<tex>\int d^3\Vec{u}\,\Vec{J}(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot\Vec{x}}&=\Vec{u}_0\!\int d^3\Vec{u}\,\delta(\Vec{u}+\Vec{u}_0)e^{-i\Vec{u}\cdot\Vec{x}}+\Vec{u}_0\!\int d^3\Vec{u}\,\delta(\Vec{u}-\Vec{u}_0)e^{-i\Vec{u}\cdot\Vec{x}}\\&=\Vec{u}_0e^{i\Vec{u}_0\cdot \Vec{x}}+\Vec{u}_0e^{-i\Vec{u}_0\cdot \Vec{x}}=2\Vec{u}_0\cos(\Vec{u}_0\cdot\Vec{x})</tex>
この電流は、電流方向 $\Vec{u}_0$ に垂直な平面 $\cos(\Vec{u}_0\cdot\Vec{x})=0$ の前後で逆向きになるため、電荷が集積する。
59 甘泉法師 2016/12/20 (火) 17:31:57 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>51

図をかいてみました。 
http://fphys.4rm.jp/modules/xelfinder/index.php/view/152/%E7%9B%B4%E7%B7%9A%E9%9B%BB%E6%B5%81.png
イメージが間違ってないといいのですが。



この調子で境界条件のある実際とあうのかは少しおぼつきません。 
非圧縮性流体は有限の大きさの容器に入っているとか
無限遠で場がゼロだとか
いう場合でも場は無限直線ベクトルの重ねあわせで表せるのでしょうか。
60 coJJyMAN 2016/12/20 (火) 19:01:28 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>59
>無限遠で場がゼロだとか
やっぱり、divJ=0だけじゃなくて、無限遠で( $r^{-2}$ ?)ゼロに近づくという条件を明示的に与えておかないと、いけない話ですよねぇ〜。。
いろいろ考えさせられます。
61 coJJyMAN 2016/12/20 (火) 19:16:37 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>58
縦波ですね。。
ということは
「任意の $\Vec{x}$ で $\nabla \cdot \Vec{j}(\Vec{x})=0$ ならば、
<tex>\Vec{j}(\Vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\int d^3u \Vec{J}(\Vec{u})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}</tex>
としたときの $\Vec{J}(\Vec{u})$ について、
任意の $\Vec{u}$ に対して常に $\Vec{u}\cdot\Vec{J}(\Vec{u})=0$ が成り立つ
とは言えない。」
という意味ですか?
(たしかに、この逆なら真だと思います。)

それとももしかして、境界条件を明示して、ガウスの法則を使って証明せよという暗示でしょうか?。。
62 coJJyMAN 2016/12/20 (火) 19:25:31 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
甘泉法師さん、
>>59の作図、拝見しました。
思いますに、フーリエ変換をつかって考察する時、特に高次元のときには
元の関数が実数関数である事を検討事項に加えて、
極力、虚数を排した式展開で進めていかないと迷子になりそうな気配です。
63 冷蔵庫 2016/12/23 (金) 12:07:32 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>52 coJJyMANさん

コメントありがとうございます。
仰るとおり、J(u)e^{-iu・x}は"平面電流の集まり"です。
"平面電流"は"直線電流の集まり"ですから、J(u)e^{-iu・x}も"直線電流の集まり"ということです。
分かりにくくてすみません。
64 黄昏に帰る 2016/12/23 (金) 17:10:12 ID:NTutyxmtEU [修正] [削除]
>>63
<tex>\Vec{J}(\Vec{u})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int d^3x \Vec{j}(\Vec{x})e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}} \ ,\ \Vec{j}(\Vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int d^3u \Vec{J}(\Vec{u})e^{i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}</tex>

 この式から、どうしてもXYZ空間の点  $\Vec{x}$  における無限直線電流の和というイメージがわかないのですが。
 一本の無限直線電流はどれですか?
65 coJJyMAN 2016/12/23 (金) 18:28:49 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>63,>>64
僕もイメージできないですね。
僕は>>18,>>45で理解してます。(というか、僕の勉強の結果を発表する場なので)
だけど
<tex>F'(a,x,y):&\\f(x,y)&=\int_{-\infty}^{\infty}F'(a,x,y)da \\F'(a,x,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|s|F(s,as)e^{-is(x+ay)}ds</tex>
は一般的な手順じゃないところがよくないかな?
普通は極座標に変数変換するから、人によってはその方が分かりやすいかも。。
66 黄昏に帰る 2016/12/23 (金) 21:20:00 ID:NTutyxmtEU [修正] [削除]
>>64 私が想定していたのは coJJyMANさん の言う極座標を使って、以下のような感じです。

<tex>\Vec{J}(\Vec{u})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int d^3x' \Vec{j}(\Vec{x}')e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}'} \ ,\ \Vec{j}(\Vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int d^3u \Vec{J}(\Vec{u})e^{i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}</tex>

  $\Vec{x}$ を原点として、 $\Vec{x}'$  までの距離をrとする極座標にXYZ座標を変換します。すると
<tex>\Vec{J}(\Vec{u})=\int d\varphi \int d\theta \ \Vec{C}(\Vec{u},\varphi,\theta) \ ,\ \Vec{C}(\Vec{u},\varphi,\theta)=\frac{sin \theta}{(2\pi)^{3/2}} \int dr\ r^2\Vec{j}(r,\varphi,\theta)e^{-i\Vec{u}\cdot \Vec{x}'}</tex>

exp()内の  $\Vec{x}'$  は面倒なので変数変換表示していない。すると

<tex>\Vec{j}(\Vec{x})=\int d\varphi \int d\theta \ \Vec{D}(\Vec{x},\varphi,\theta) \ ,\ \Vec{D}(\Vec{x},\varphi,\theta)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int d^3u\ \Vec{C}(\Vec{u},\varphi,\theta)e^{i\Vec{u}\cdot \Vec{x}}</tex>

となって、 $\Vec{D}(\Vec{x},\varphi,\theta)$  が、座標  $\Vec{x}$  において、 $\varphi,\theta$  方向の
直線電流と想定した。が、発散はよいのか、はたまた、こんな議論が意味を持つのかさっぱりです。

67 coJJyMAN 2016/12/24 (土) 01:37:26 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
極座標に変数変換する流れに書き換えてみます。この方が分かりやすいですね。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
<tex>f(x,y):&\\F(u,v)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{i(ux+vy)}dxdy,\\f(x,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(u,v)e^{-i(ux+vy)}dudv</tex>

 $u=k\cos\theta,v=k\sin\theta$ 
 $dudv=|J|dkd\theta$ 
<tex>J=\begin{pmatrix}\pdif{u}{k} & \pdif{u}{\theta}\\  \pdif{v}{k}& \pdif{v}{\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta& -k\sin\theta\\ \sin\theta & k\cos\theta\end{pmatrix}=k</tex>
 $\therefore  dudv=kdkd\theta$ 

<tex>F'(\theta,x,y):&\\f(x,y)&=\int_{0}^{2\pi}F'(\theta,x,y)d\theta \\F'(\theta,x,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}kF(k\cos\theta,k\sin\theta)e^{-ik(x\cos\theta+y\sin\theta)}dk \\</tex>

 $\Vec{e}_k=(\cos\theta,\sin\theta)$ 
 $\Vec{e}_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta)$ 
 $\Vec{e}_k\perp \Vec{e}_\theta$ 

 $\Vec{V}=\Vec{\nabla}F'=(\pdif{F'}{x},\pdif{F'}{y})$ 
<tex>=\left(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}kF(k\cos\theta,k\sin\theta)e^{-ik(x\cos\theta+y\sin\theta)}(-ik\cos\theta)dk ,\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}kF(k\cos\theta,k\sin\theta)e^{-ik(x\cos\theta+y\sin\theta)}(-ik\sin\theta)dk\right) </tex>
<tex>=(\cos\theta,\sin\theta)\left(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}(-ik^2)F(k\cos\theta,k\sin\theta)e^{-ik(x\cos\theta+y\sin\theta)}dk\right) </tex>
<tex>=\Vec{e}_k\left(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}(-ik^2)F(k\cos\theta,k\sin\theta)e^{-ik(x\cos\theta+y\sin\theta)}dk\right) </tex>

 $\Vec{V}\parallel \Vec{e}_k,\Vec{V}\perp \Vec{e}_\theta$ 

 $\Vec{U}=(\pdif{F'}{y},-\pdif{F'}{x})$ 
<tex>=\left(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}kF(k\cos\theta,k\sin\theta)e^{-ik(x\cos\theta+y\sin\theta)}(-ik\sin\theta)dk ,\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}kF(k\cos\theta,k\sin\theta)e^{-ik(x\cos\theta+y\sin\theta)}(ik\cos\theta)dk\right) </tex>
<tex>=(-\sin\theta,\cos\theta)\left(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}(ik^2)F(k\cos\theta,k\sin\theta)e^{-ik(x\cos\theta+y\sin\theta)}dk\right) </tex>
<tex>=\Vec{e}_\theta\left(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}(ik^2)F(k\cos\theta,k\sin\theta)e^{-ik(x\cos\theta+y\sin\theta)}dk\right) </tex>

 $\Vec{U}\perp\Vec{e}_k,\Vec{U}\parallel\Vec{e}_\theta$ 

 $\Vec{x}=(x,y)$ 
 $\Vec{x}'=\Vec{x}+L\Vec{e}_\theta=(x-L\sin\theta,y+L\cos\theta)$ 

<tex>\Vec{U}(\theta,\Vec{x}+L\Vec{e}_\theta)&=\Vec{e}_\theta\left(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}(ik^2)F(k\cos\theta,k\sin\theta)e^{-ik(x\cos\theta-L\sin\theta\cos\theta+y\sin\theta+L\cos\theta\sin\theta)}dk\right) \\&=\Vec{e}_\theta\left(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}(ik^2)F(k\cos\theta,k\sin\theta)e^{-ik(x\cos\theta+y\sin\theta)}dk\right) \\&=\Vec{U}(\theta,\Vec{x})</tex>

つまり、 $\Vec{U}(\theta,\Vec{x})\parallel\Vec{e}_\theta$ であり、また任意の実数を $L$ として $\Vec{U}(\theta,\Vec{x}+L\Vec{e}_\theta)=\Vec{U}(\theta,\Vec{x})$ である。 $\Vec{U}(\theta,\Vec{x})$ というベクトルは $\Vec{x}$ の場所で $\Vec{e}_\theta$ の方向を向いており、また $\Vec{x}$ の場所から $\Vec{e}_\theta$ の方向に任意の距離だけ離れた場所のベクトル $\Vec{U}(\theta,\Vec{x}')$ は、元の場所のベクトル $\Vec{U}(\theta,\Vec{x})$ と変わらない。これは $\Vec{x}$ を通り $\Vec{e}_\theta$ 方向に延びている、大きさ $|\Vec{U}(\theta,\Vec{x})|$ の無限直線電流ベクトルである。

以上より、 $\Vec{U}(\theta,x,y)$ は平行な無限直線電流の集まりなので
<tex>\Vec{u}(x,y)=\left(\pdif{f}{y},-\pdif{f}{x}\right)=\int_{0}^{2\pi}{\Vec{U}(\theta,x,y)d\theta}</tex>
は、平行な無限直線電流の集まりの重ね合わせであると言える。
68 甘泉法師 2016/12/24 (土) 11:04:34 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>59 の補足説明図です。 http://fphys.4rm.jp/modules/xelfinder/index.php/view/153/%E7%9B%B4%E7%B7%9A%E9%9B%BB%E6%B5%81%E3%82%B9%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%892.jpg
69 冷蔵庫 2016/12/28 (水) 18:51:26 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>64

例えば、J(u)がz軸方向を向いており、 $\Vec{u}$ がx軸方向を向いていたとします。
このとき、

<tex>\Vec{J}(\Vec{u})e^{-iux} = \int dx'dy' \delta(x-x')\delta(y-y')\Vec{e}_z|\Vec{J}(\Vec{u})|e^{-iux'}</tex>

ですから、J(u)e^{-iux}が、δ(x-x')δ(y-y')e_z で展開できたことになります。
J・u=0ならば、Jやuが他の向きを向いていても、回転させれば上の場合に帰着します。
70 黄昏に帰る 2016/12/28 (水) 21:05:38 ID:NTutyxmtEU [修正] [削除]
>>69 せっかく回答いただきましたが、基本、話が分かっておらず、理解できませんでした。申し訳ないです。
71 冷蔵庫 2016/12/31 (土) 19:45:06 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>65 coJJyMANさん

>は一般的な手順じゃないところがよくないかな?

その変数変換では、u=0かつv≠0という範囲が(s,a)で表せないのがよくないように思います。

>普通は極座標に変数変換するから、人によってはその方が分かりやすいかも。。

変数変換の仕方ではなく、何故u,v以外の変数に変換するのか、ということが分かりませんでした。
変数変換が#18の(s,a)のようなものか、#67の極座標かは関係ないです。
72 coJJyMAN 2017/01/01 (日) 02:39:31 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>何故u,v以外の変数に変換するのか、ということが分かりませんでした。
証明への道筋で必要なステップでした。
波数空間での積分表示で「無限直線電流の重ね合わせ」を表現するにはどうするかを考え、このようになりました。
波数空間で、点P(u,v)を通り線分OPに垂直な無限直線を引いて、その直線に電流Iを対応させれば、2次元平面の独立した各点と1対1に電流の成分I(u,v)が定まり、
これによって初めて、「重ね合わせる」事ができます。
(もれなくダブりなく、ということですね)

2重積分をある角度に平行な電流の積分と、角度を変える積分に分けると、この問題の場合、証明が容易になります。

73 冷蔵庫 2017/01/01 (日) 20:11:50 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>72

ちょっとまだよくわからないのですが、「u,v以外の変数に変換すること」が、「必要なステップ」なのは何故ですか?
また、「点P(u,v)を通り線分OPに垂直な無限直線を引いて、その直線に電流Iを対応させる」、
「2次元平面の独立した各点と1対1に電流の成分I(u,v)が定まり、
これによって初めて、「重ね合わせる」事ができる」
というのは具体的に何をしているのでしょうか?
74 coJJyMAN 2017/01/02 (月) 05:46:29 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>具体的に何をしているのでしょうか?
>>1によって3次元ベクトル場を2次元ベクトル場の和に分解し
>>18>>67によってこの2次元ベクトル場を線形独立な直線の足し合わせで表現する方法見つけています。
75 冷蔵庫 2017/01/06 (金) 10:17:15 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>coJJyMANさん

何度も同じことをお聞きして、また私の理解が悪くてすみませんが、
「何故u,v以外の変数に変換するのか」という質問にもう少し具体的に答えていただけないでしょうか?

> >>1によって3次元ベクトル場を2次元ベクトル場の和に分解し
> >>18>>67によってこの2次元ベクトル場を線形独立な直線の足し合わせで表現する方法見つけています。

それについては一応わかっているつもりです。
#18や#67で示したいのは、 $\Vec{U}(\Vec{x}+\Vec{e}l)=\Vec{U}(\Vec{x})$  を満たすUで電流密度が展開できることを示すことですよね。
この式自体は、(u,v)という変数を別の変数に変換しなくても示せますし、特に難しいわけでもありません。
確かに、極座標に変換すれば見やすくなるということはあるかもしれませんが、
そういったu,v以外の変数が必要であるという理由にはならないかと思いました。

だから、 $\Vec{U}(\Vec{x}+\Vec{e}l)=\Vec{U}(\Vec{x})$  であるUでの展開を示すこと以外に、何か理由があるのか、
それは何か、といったことが気になっています。
76 coJJyMAN 2017/01/06 (金) 17:29:40 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
冷蔵庫さん、丁寧に説明いただきましてありがとうございます。
今週中にお返事いたしますので、少々お待ちください。
77 coJJyMAN 2017/01/07 (土) 18:38:25 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
冷蔵庫さん、こんばんは。
仕事中ずっと考えてまして、「根本的に論述が間違っていて、冷蔵庫さんの指摘されている点がまさに意味のない操作だったんじゃないだろうか?」と思って一日過ごしていました。

帰宅しましたら、あの時どういう動機で変数変換したのかは思い出すことができたので、それを書かせていただきます。(つづく)
78 coJJyMAN 2017/01/07 (土) 20:26:38 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
改めまして、いちから考え直してみます。

@「無限直線電流」というものは数式でどう表現できるのか?
最終的な目標は「無限直線電流の重ね合わせ」ですが、
「重ね合わせ」とは「積分形式で表わせ」ということだと思うので、
まずは「一本の無限直線電流がある状態」を数式で表現するにはどうすればよいか考えます。

 $(x,y)$ 平面上での $y=a$ の直線上を $+x$ 方向に定常電流 $I$ が流れている状態を、
左辺をベクトル場として表現すると、デルタ関数を使って
<tex>\Vec{U}(x,y)=I\left(\iint \delta(y-a)dxdy\right)\Vec{e}_x\tag{1}</tex>
と書けるだろう。ならば、向きは $x$ 方向に限定だけど、電流分布が $g(y)$ という $y$ だけの関数を使った
<tex>\Vec{U}(x,y)=\Vec{e}_x\iint g(y)dxdy\tag{2}</tex>
これで、 $x$ 軸に平行な無限直線電流ベクトル場が表現できた。
もちろん、実際には $x$ 軸に平行な電流だけで表わすことはできない。
だけど、角度 $\theta $ の無限直線電流ベクトル場は、この座標系を回転させた
<tex>\Vec{U}(x,y,\theta)=\Vec{e}_{x'}\iint g(y')dx'dy' , \begin{cases} x'=x\cos\theta-y\sin\theta \\ y'=x\sin\theta+y\cos\theta \end{cases}\tag{3}</tex>
と書けるはずなので、この $\Vec{U}(x,y,\theta)$ を重ね合わせれば、「無限直線電流の重ね合わせ」が出来上がりそうだ。

求めたい関数は、与えられたスカラー場 $f(x,y)$ から
<tex>\Vec{u}(x,y)=\left(\pdif{f}{y},-\pdif{f}{x}\right)\tag{4}</tex>
で定義されるベクトル場だった。ということは、このベクトル場が、さっきの(3)式の関数を使って
<tex>\Vec{u}(x,y)=\int_{0}^{2\pi}{d\theta}\ \Vec{U}(x,y,\theta)\tag{5}</tex>
ということになれば、目的は達成されそうだ。
ならば目標は、(4)と(5)を満たす $ \Vec{U}(x,y,\theta)$ が、常に(3)の形で表すことができることを示す。
ということだ。

Aこれって「フーリエ変換」じゃない?
まずは、(5)と(3)を並べてみる。
<tex>\Vec{u}(x,y)=\int_{0}^{2\pi}{d\theta}\ \Vec{U}(x,y,\theta) ,\quad\Vec{U}(x,y,\theta)=\Vec{e}_{x'}\iint g(y')dx'dy'</tex>
。。う〜ん、何かに似てるなぁ。そうだ、フーリエ変換だ。
<tex>f(x,y)&=\frac{1}{2\pi}\iint F(u,v)e^{-i(ux+vy)}dudv, \\F(u,v)&=\frac{1}{2\pi}\iint f(x,y)e^{i(ux+vy)}dxdy\tag{6}</tex>
フーリエ変換そのものじゃないけど、よく似てる。
きっと、フーリエ変換を使えば目的が達成できるね!

B目標変更!(もしかしたらこれが良くなかったかも。。)
(5)式をみたす $ \Vec{U}(x,y,\theta)$ を、フーリエ変換を応用してそれが(3)の形になっていればそれでいいんだけど、
要するに(3)の形じゃなくても「角度 $\theta$ に平行、もしくは垂直な無限電流が集まったベクトル場」になっていさえすれば、
それで十分なんじゃないかな?
「角度 $\theta$ に平行、もしくは垂直な無限電流が集まったベクトル場」に必要な性質って何だろう?
1)ベクトルの方向については、どの場所でも一定である。
 例えば、単位ベクトル $\Vec{e}_{\theta}$ か $\Vec{e}_{r}$ を使って、
 すべての場所で $\Vec{U}(x,y,\theta)\cdot\Vec{e}_{\theta}=0$ もしくは $\Vec{U}(x,y,\theta)\cdot\Vec{e}_{r}=0$ である。
2)ある場所のベクトルの大きさについては、その方向の延長線上のどの場所でも一定である。
 例えば、単位ベクトル $\Vec{e}_{\theta}$ か $\Vec{e}_{r}$ を使って、
 すべての場所で $\Vec{U}(\Vec{x},\theta)=\Vec{U}(\Vec{x}+a\Vec{e}_{\theta},\theta)$ もしくは $\Vec{U}(\Vec{x},\theta)=\Vec{U}(\Vec{x}+a\Vec{e}_{r},\theta)$ である
79 coJJyMAN 2017/01/07 (土) 20:39:37 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>冷蔵庫さん
変数変換した動機を思い出しましました。
>>78にその経緯を書きましたので御覧下さい。

ただ、僕の論述自体に誤りがあるような気も、今はしています。
(途中で目標変更するという横着をしたのです。)
いずれまた書いていくつもりですが、内容におかしなところ、また、疑問点についてもお手数でなければお尋ね下さい。
よろしくお願い申し上げます。
ありがとうございました。
80 coJJyMAN 2017/01/07 (土) 23:56:45 ID:JYV.OZw18Y 修正アリ: 00:36 [修正] [削除]
色々と間違いに気づいたので、改めて仕切り直します。

 $(x,y)$  平面上での  $y=a$  の直線上を  $+x$  方向に定常電流  $I$  が流れている状態を、
左辺をベクトル場として表現するには、デルタ関数を使って
<tex>\Vec{U}(x,y)=I \Vec{e}_{x} \int \delta(y-a)dy \tag{1}</tex>
となると思います。
であれば、向きは  $x$  方向に限定だけど、電流分布が  $g(y)$  という  $y$  だけの関数を使った
<tex>\Vec{U}(x,y)=\Vec{e}_x g(y)\tag{2}</tex>
これで、  $x$  軸に平行な無限直線電流ベクトル場が表現できていることになります。
もちろん、実際には  $x$  軸に平行な電流だけですべての場合が表現できる訳ではありません。
しかし、角度  $\theta $  の無限直線電流ベクトル場は、この座標系を回転させた
<tex>\Vec{U}(x,y,\theta)=\Vec{e}_{x'}g(y'), \begin{cases} x'=x\cos\theta-y\sin\theta \\ y'=x\sin\theta+y\cos\theta \end{cases}\tag{3}</tex>
と書けるはずなので、この  $\Vec{U}(x,y,\theta)$  を重ね合わせれば、
「無限直線電流の重ね合わせ」が出来上がりそうです。

求めたい関数は、与えられたスカラー場  $f(x,y)$  から
<tex>\Vec{u}(x,y)=\left(\pdif{f}{y},-\pdif{f}{x}\right)\tag{4}</tex>
で定義されるベクトル場でした。ということは、このベクトル場が、上の(3)式の関数を使って
<tex>\Vec{u}(x,y)=\int{d\theta}\ \Vec{U}(x,y,\theta)\tag{5}</tex>
ということになれば、目的は達成されそうです。

であれば目標は、(4)と(5)を満たす  $ \Vec{U}(x,y,\theta)$  が、常に(3)の形で表すことができることを示す。
となります。
81 coJJyMAN 2017/01/12 (木) 01:35:04 ID:JYV.OZw18Y 修正アリ: 01/13 (金) 00:02 [修正] [削除]
(3)式をよく見ると
<tex>\Vec{U}(x,y,\theta)=\Vec{e}_{x'}g(y'), \begin{cases} x'=x\cos\theta-y\sin\theta \\ y'=x\sin\theta+y\cos\theta \end{cases}\tag{3}</tex>
 $x'$ 方向を拡大した座標系や、 $y'$ 方向を拡大した座標系を使っても関数の形は変わらないことがわかります。
どういう事かというと、 $x''=ax',y''=by'$ とすると $\Vec{e}_{x''}=\Vec{e}_{x'}/a$ なので、
<tex>\Vec{U}(x,y,\theta)=\Vec{e}_{x'}\ g(y')=\Vec{e}_{x''}\ \frac{1}{a}g(\frac{y''}{b})=\Vec{e}_{x''}\ g'(y''),\\\begin{cases} x''=a(x\cos\theta-y\sin\theta ) \\ y''=b(x\sin\theta+y\cos\theta )\end{cases}\tag{4}</tex>
これでも、角度 $\theta$ 傾いたベクトル場となります。
そこで、特に $a=b=k$ とおき、 $x''$ を改めて $x'$ と書き直すと
<tex>\Vec{U}(x,y,\theta)=\Vec{e}_{x'}g(y'), \begin{cases} x'=xk\cos\theta-yk\sin\theta \\ y'=xk\sin\theta+yk\cos\theta \end{cases}\tag{5}</tex>
単位ベクトルの座標変換は
<tex>\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=k\begin{bmatrix} \cos  \theta  & -\sin  \theta  \\ \sin  \theta  & \cos  \theta  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}</tex>
より、
<tex>\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ k } \begin{bmatrix} \cos  \theta  & \sin  \theta  \\ -\sin  \theta  & \cos  \theta  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ k } \begin{bmatrix} \cos  \theta  \\ -\sin  \theta  \end{bmatrix}</tex>
つまり、
<tex>\Vec{e}_{x'}=\frac{\cos\theta}{k}\Vec{e}_{x}-\frac{\sin\theta}{k}\Vec{e}_{y}\tag{6}</tex>
なので(5)式は
<tex>\Vec{U}(x,y,\theta)&=\left(\frac{\cos\theta}{k}\Vec{e}_{x}-\frac{\sin\theta}{k}\Vec{e}_{y}\right)g(xk\sin\theta+yk\cos\theta)\\&=\left(\cos\theta \Vec{e}_{x}-\sin\theta \Vec{e}_{y}\right)\frac{1}{k}g(xk\sin\theta+yk\cos\theta)\tag{7}</tex>
と書くことができます。

以降、目標とすべき $\Vec{U}(x,y,\theta)$ は(3)式のかわりにこの(7)式の形のものとします。
82 hirota 2017/01/12 (木) 11:28:50 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>19に戻って来たみたい。
83 coJJyMAN 2017/01/13 (金) 00:31:43 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
ここで、フーリエ変換を使います。どんな $f(x,y)$ も
<tex>F(u,v)=\frac{1}{2\pi}\iint f(x,y)e^{i(ux+vy)}dxdy\tag{8}</tex>
で定義された $F(u,v)$ をつかって、
<tex>f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\iint F(u,v)e^{-i(ux+vy)}dudv\tag{9}</tex>
で表わすことが可能です。
求めるベクトル場は、
<tex>\Vec{u}(x,y)=\left(\pdif{f}{y},-\pdif{f}{x}\right)\tag{4}</tex>
で定義されていましたので、(9)式を使って書き換えると
<tex>\Vec{u}(x,y)=\left(\frac{1}{2\pi}\iint (-iv)F(u,v)e^{-i(ux+vy)}dudv,\frac{1}{2\pi}\iint (iu)F(u,v)e^{-i(ux+vy)}dudv\right)\tag{10}</tex>
そこで、
 $u=k\sin\theta,v=k\cos\theta$ 
のように、変数変換すると、(10)式は
<tex>\Vec{u}(x,y)&=\frac{1}{2\pi}\iint (-ik\Vec{e}_{x}\cos\theta)F(k\sin\theta,k\cos\theta)\exp[{-i(xk\sin\theta+yk\cos\theta)}]k^2dkd\theta\\&+\frac{1}{2\pi}\iint (ik\Vec{e}_{y}\sin\theta)F(k\sin\theta,k\cos\theta)\exp[{-i(xk\sin\theta+yk\cos\theta)}]k^2dkd\theta \\&=\int{d\theta}\int {dk} (\Vec{e}_{x}\cos\theta)\frac{k^3}{2\pi i }F(k\sin\theta,k\cos\theta)\exp[{-i(xk\sin\theta+yk\cos\theta)}]\\&+\int{d\theta}\int {dk} (-\Vec{e}_{y}\sin\theta)\frac{k^3}{2\pi i }F(k\sin\theta,k\cos\theta)\exp[{-i(xk\sin\theta+yk\cos\theta)}] \\&=\int{d\theta} (\Vec{e}_{x}\cos\theta)\int {dk}\frac{k^3}{2\pi i }F(k\sin\theta,k\cos\theta)\exp[{-i(xk\sin\theta+yk\cos\theta)}]\\&+\int{d\theta} (-\Vec{e}_{y}\sin\theta)\int {dk}\frac{k^3}{2\pi i }F(k\sin\theta,k\cos\theta)\exp[{-i(xk\sin\theta+yk\cos\theta)}] \\\tag{11}</tex>
となる。これは、
<tex>\Vec{u}(x,y)=\int{d\theta}\ \Vec{U}(x,y,\theta)\tag{5}</tex>
として、
<tex>\Vec{U}(x,y,\theta)=\left(\cos\theta \Vec{e}_{x}-\sin\theta \Vec{e}_{y}\right)\int {dk}\frac{k^3}{2\pi i }F(k\sin\theta,k\cos\theta)\exp[{-i(xk\sin\theta+yk\cos\theta)}]\tag{12}</tex>
となりますが、
<tex>\frac{1}{k}g(xk\sin\theta+yk\cos\theta)=\int {dk}\frac{k^3}{2\pi i }F(k\sin\theta,k\cos\theta)\exp[{-i(xk\sin\theta+yk\cos\theta)}]</tex>
とおけば、まさに目的の(7)式
<tex>\Vec{U}(x,y,\theta)&=\left(\cos\theta \Vec{e}_{x}-\sin\theta \Vec{e}_{y}\right)\frac{1}{k}g(xk\sin\theta+yk\cos\theta)</tex>
そのものです。
積分の中にある $F(k\sin\theta,k\cos\theta)$ もフーリエ変換で得られる関数ですから、
 $(xk\sin\theta+yk\cos\theta)$ の関数であるはずでしょう。
したがって、命題は証明できたと思います。





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