1 kafuka 2016/11/30 (水) 22:49:45 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 12/01 (木) 10:01 [修正] [削除]
gtさんの指摘
>「x<0である状態」の確率 と「x≧0である状態」の確率が定義されていない
http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/161108001ea86d34/res15
に答えたいので、スレッドを分けます。(亀レスで すいません)

ここで言う「粒子がある1点に居る」とは、
例えば、x=vt+x0 という運動は、質量分布m(t)を縦軸にとると
m(t)=δ(x-vt-x0) と書けます。
このように 粒子の質量分布m(t)がδ関数であることを
「粒子がある1点に居る」
と定義します。
証明したいことは「位置を観測しない場合、粒子がある1点に居る」とすると
2重スリット実験の干渉縞ができない
ということです

以下、その証明(?)です。

2重スリット実験で スクリーン上に到達した粒子だけを考えます。
スリットAを通るということは、粒子の位置がスリットAの隙間「x1〜x2に居た状態」
これを|A>、
スリットBを通るということは、粒子の位置がスリットBの隙間「x3〜x4に居た状態」
これを|B>と置くと、
「位置xを観測しない場合、粒子がある1点x0に居る」を、緩めて、
「観測を行わない場合、粒子は x1〜x2かx3〜x4のどちらかには居る」
とします。
これが否定できれば、xが範囲でダメなので、1点x0では、もっとダメですから、
「観測を行わない場合、どこかの1点x0には居る」
は、否定できます。

干渉縞ができるということは、スリットAでの粒子の位置も Bでの粒子の位置も
観測しなかったわけで、
位置についての粒子の状態|ψ>は、
|ψ>=|A>+|B> という重ね合わせ。
   
この状態を、スクリーンの明暗という物理量qの固有空間に射影します。
|q><q|ψ>=f(q)|q>=|q><q|A>+|q><q|B>=( fA(q)+fB(q) )|q>

全確率は
<ψ|ψ>=1=<ψ|Σ|q><q|ψ>
=Σ <q|( fA*(q)+fB*(q) )( fA(q)+fB(q) )|q>
=ΣfA*fA+fB*fB+2Re(fA*fB)
スリットBを塞げば、全てスリットAだけを通る。この場合の確率=ΣfA*fA
スリットAを塞げば、全てスリットBだけを通る。この場合の確率=ΣfB*fB
つまり、ΣfA*fAは、スリットAだけを通った確率
ΣfB*fBはスリットBだけを通った確率
と言えます。

干渉縞ができてもできなくても、スクリーン上の明暗を作る粒子の数は
=スリットAを通る粒子の数+スリットBを通る粒子の数
ですが、これを、
干渉縞を作る粒子の数+スリットAを通って明暗を作る粒子の数+スリットBを通って明暗を作る粒子の数
に分けて考えます。

上の式に当てはめると、
スリットAだけを通って明暗を作る確率=ΣfA*fA
スリットBだけを通って明暗を作る確率=ΣfB*fB
残りは 干渉縞を作る確率=Σ2Re(fA*fB)
となり、
干渉縞を作る確率は「スリットAもBも通らない確率」
あるいは、「スリットA、Bの両方を通った確率」
ということになります。
しかしながら、<B|A>=0 なので、
「スリットA、Bの両方を通る」ことはありえません(この確率は0)

したがって、
位置を観測しなくても「粒子の位置は「x1〜x2」か「x3〜x4」かのどちらかに居た」
という主張は、誤りです。

∴ 「観測を行わない場合でも、どこかの1点x0には居る」は誤りである。
//
2 ココ 2016/12/01 (木) 13:23:59 ID:.2yr6iasTU [修正] [削除]
>>1
まず、細かい問題点を指摘すると、

>干渉縞ができるということは、スリットAでの粒子の位置も Bでの粒子の位置も観測しなかったわけで、

は話が逆。
「観測しなかった時に干渉縞が出来ること」をこれから説明するわけだから、ここでは、

>位置についての粒子の状態|ψ>は、|ψ>=|A>+|B> という重ね合わせ。

を前提にするだけで良い。
ただ、係数がないのがキモチワルイ。
定量的な議論では、規格化されてない状態を使わないほうが良い。

>=Σ <q|( fA*(q)+fB*(q) )( fA(q)+fB(q) )|q>

これは、<q|と|q>が残ってるのがオカシイ。

=Σ_qΣ_q' <q|( fA*(q)+fB*(q) )( fA(q')+fB(q') )|q'>
=Σ_qΣ_q' δ_qq'( fA*(q)+fB*(q) )( fA(q')+fB(q') )
=Σ_q( fA*(q)+fB*(q) )( fA(q)+fB(q) )

の何れかになる筈だ。

>したがって、干渉縞を作る確率は「スリットAもBも通らない確率」あるいは、「スリットA、Bの両方を通った確率」ということになります。

「その他であること」を証明できれば良いのだから、「その他の確率」くらいで良いのでは?
次に、本質的な問題点を指摘すると、証明として不十分。
>>1では、定量的に二重スリット実験を説明できてない。
スリット付近に局在した波束を作り、その時間発展を追い、スクリーン上の干渉縞を再現するまでが証明。
3 ココ 2016/12/01 (木) 16:48:24 ID:.2yr6iasTU [修正] [削除]
>>1
あ、うっかりしてた。
何故か和で表しているけど、

>残りは 干渉縞を作る確率=Σ2Re(fA*fB)

の値は分かるかな?
4 kafuka 2016/12/01 (木) 19:30:48 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 20:20 [修正] [削除]
Resが遅れてすみません。
考え直します。

干渉縞を作る確率=Σ2Re(fA*fB) は、正確には $\int 2Re(f_A^{*}(x)f_B(x))dx$ 
です。
超大雑把に  $f_A(x)=\alpha exp(ikx-iL/2)$ 、 $f_B(x)=\alpha exp(ikx+iL/2)$ として
これが、-X1〜+X1 に広がった波束とすると
 $\int 2Re(f_A^{*}(x)f_B(x))dx$ 
 $=\alpha^2 \int_{-X1}^{+X1} 2Re(exp(iL))dx$ 
 $=\alpha^2 2cos(L)\int_{-X1}^{+X1} dx$ 
 $=\alpha^2 2X_1 \, 2cos(L)$ 

規格化係数 $\alpha$ は、 $\int f_A^{*}(x)f_A(x)+f_B^{*}(x)f_B(x)+2Re(f_A^{*}(x)f_B(x))dx$ の逆数
なので
 $2X_1\alpha^2+2X_1\alpha^2+2X_1\alpha^2 \,2cos(L)$ 
 $\alpha^2 =1/(4X_1+4X_1cos(L) )$ 

∴ 干渉縞を作る確率= $cos(L)/(1+cos(L) )$ 
まだ、どこかで間違えているような ^^;
5 ココ 2016/12/01 (木) 22:29:07 ID:.2yr6iasTU [修正] [削除]
>>4
直観的に説明すると、干渉項は、ある位置での着弾確率を下げることで、別の位置での着弾確率を上げている。
よって、その確率の和を取ると均されてしまう。
数式に戻って考えてみても、

ΣfA*fA=<A|q><q|A>=<A|A>
ΣfB*fB=<B|q><q|B>=<B|B>
Σ2Re(fA*fB)=2Re(<A|q><q|B>)=2Re(<A|B>)

となる。

|A>=U|x1〜x2>
|B>=U|x3〜x4>

とすると、

<A|A>=<x1〜x2|U†U|x1〜x2>=<x1〜x2|x1〜x2>
<B|B>=<x3〜x4|U†U|x3〜x4>=<x3〜x4|x3〜x4>

となるので、Σ2Re(fA*fB)=0になると考えられる。
だから、確率の和から議論している>>1の論理は、ちょっと的を外していると思う。
波束の時間発展をマジメに考察する必要はあるが、その際には、|<q|ψ>|^2を直接計算するほうが良い。
6 kafuka 2016/12/02 (金) 17:20:05 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>>5
ということは、干渉を表す物理量  $|A><B|+|B><A|$ の期待値:
<ψ|(|A><B|+|B><A)|ψ>
も0ですね。

確かに、確率の和(積分)では、意味ないです。
しかし、Re(fA*fB)が 恒等的に0でないことによって、
「観測を行わない場合、粒子は x1〜x2かx3〜x4のどちらかには居る」
を否定できるように思います。

尚、>>1 の論法は、
2重スリット実験の干渉縞は、Re(fA*fB)の具体的な計算で示され、また、
スリットを通るところ(=スリット内に居るところ)を観測すると、干渉縞ができない
ということが知られています。
それを前提にして、干渉縞が存在するなら
「観測を行わない場合、粒子は x1〜x2かx3〜x4のどちらかには居る」を否定する
という論法です。
僕が、Re(fA*fB)の具体的な計算をする必要はないと思っています。
(必要なら、2つの円筒波でやりますが)
7 ココ 2016/12/02 (金) 18:24:54 ID:.2yr6iasTU [修正] [削除]
>>6
>しかし、Re(fA*fB)が【中略】を否定できるように思います。

うん、できるね。
教科書でもそう説明されている。

>尚、>>1 の論法は【中略】という論法です。

じゃあ、>>1の存在意義はないの?
8 kafuka 2016/12/02 (金) 20:00:56 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 23:02 [修正] [削除]
何という教科書でしょうか、興味がありますので読んでみたいです。

>>1 の存在意義ですが、
そもそも、教科書にあるということを、知りませんでした。
以前、この掲示板で
「粒子が観測しなくても、どこかに居る というのは量子力学でも前提」の旨
言われた方がいたので、
「どこかの位置x0に居る」を明確にしたかったのです。

「質量分布が mδ(x-x0) であるのを「どこかの位置x0に居る」と定義すると
干渉縞が生じることと矛盾する」

これを言うのが、このスレッドの目的です。
もちろん、ψ(x,y,z)の全空間積分が1になることをもって「どこかに居る」
と言うのに異存は、ありません。
9 ココ 2016/12/03 (土) 08:37:47 ID:.2yr6iasTU [修正] [削除]
>>8
kafukaさん大好き清水本にも載っている。
というか、載ってない教科書があるのか?
ある物理量 $Q$ に対応する演算子 $\hat{Q}$ の固有値 $q_i$ を与える固有状態 $|q_i\rangle$ とは、 $Q$ が $q_i$ という値で実在している状態を意味する。
よって、

<tex>|\psi\rangle =\sum_{i} |q_i\rangle\langle q_i|\psi\rangle\ne e^{i\theta}|q_j\rangle</tex>

ならば、 $|\psi\rangle$ という状態にある粒子には $Q$ が実在しない。
kafukaさんの論理>>1も、結局、この大前提(重ね合わせの原理)を利用している。
10 kafuka 2016/12/03 (土) 10:16:33 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
僕の読みの浅ささを痛感しました。
ありがとうございます。

今から >>1 を直して、以降にUpします。
11 kafuka 2016/12/04 (日) 15:03:49 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 15:50 [修正] [削除]
ψ(x,y,z)の全空間積分が1になることをもって「どこかに居る」
と言えますが、
しかしながら、「どこかのある1点x0に居る」とは言えないというのが、
このスレッドの論点です。

ここで言う「粒子がある1点x0に居る」とは、
例えば、x=vt+x0 という古典的運動は、質量分布m(t)を縦軸にとると
m(t)=δ(x-vt-x0) と書けます。
このように 粒子の質量分布m(t)がδ関数であることを
「粒子がある1点に居る」
と定義します。
証明したいことは「位置を観測しない場合、粒子がある1点に居る」ことは
2重スリット実験の干渉縞ができることと相いれない
ということです

以下、その証明(?)です。
2重スリット実験で干渉縞ができ、どちらかのスリットを通るか観測する
=スリット内での位置を観測する と干渉縞ができないことは、よく知られています
なので、ここでは、それについては、証明しません。

2重スリット実験で スクリーン上に到達した粒子だけを考えます。
スリットAを通るということは、粒子の位置がスリットAの隙間「x1〜x2に居た状態」
これを|A>、
スリットBを通るということは、粒子の位置がスリットBの隙間「x3〜x4に居た状態」
これを|B>と置き、
「位置xを観測しない場合、粒子がある1点x0に居る」を、緩めて、
「観測を行わない場合、粒子は x1〜x2かx3〜x4のどちらかには居る」
とします。
これが否定できれば、xが範囲でダメなので、1点x0では、もっとダメですから、
「観測を行わない場合、どこかの1点x0には居る」
は、否定できます。

干渉縞ができるということは、スリットAでの粒子の位置も Bでの粒子の位置も
観測しなかったわけで、
位置についての粒子の状態|ψ>は、
|ψ>=( |A>+|B> )/√2 という重ね合わせ。
   
この状態を、スクリーンの明暗という物理量qの固有空間に射影します。
|q><q|ψ>=f(q)|q>
=( |q><q|A>+|q><q|B> )/√2
=1/√2 ( fA(q)+fB(q) )|q>
全確率は
<ψ|ψ>=1=Σ_q <ψ|q><q|ψ>    ・・・完全性関係
=1/2 Σ_q ( fA*(q)+fB*(q) )( fA(q)+fB(q) )<q|q>
=1/2 Σ fA*fA+fB*fB+2Re(fA*fB)
スリットBを塞げば、全てスリットAだけを通る。この場合の確率=1/2 ΣfA*fA
スリットAを塞げば、全てスリットBだけを通る。この場合の確率=1/2 ΣfB*fB
ですから、
スリットAだけを通って明暗を作る確率=1/2 ΣfA*fA :粒子が「x1〜x2」に居た
スリットBだけを通って明暗を作る確率=1/2 ΣfB*fB :粒子が「x3〜x4」に居た
残りは ΣRe(fA*fB)
ということになります。
ΣRe(fA*fB) という確率については、
=1/2 ΣfA*fB+fB*fA
左から<B|を 右から|A>を掛けると、1/2 Σ<ψ|(|A><B|+|B><A|)|ψ>
=0  つまり、1/2 ΣfA*fA+1/2 ΣfB*fB=1=全確率

しかしここで Re(fA*fB) という確率分布を考えると、
干渉縞ができる場合=位置を観測しない場合、これが恒等的に0 ではない。
ということは、
位置を観測しなくても「粒子の位置は「x1〜x2」か「x3〜x4」かのどちらかに居た」
という主張は、誤りです。

∴ 「観測を行わない場合でも、どこかの1点x0には居る」は誤りである。
//

尚、位置を観測すれば、粒子の運動が乱され、干渉縞ができないのは当たり前と
言われるかと思いますが、
Entangled対を使い、スリットの方へ行かない方の粒子を測定することで、
スリットの方へ行った方が、どちらのスリットを通ったか=「x1〜x2」に居た
か「x3〜x4」に居たか
を調べることができます(ウォルボーンの実験)
そうやって観測しても、干渉縞はできません。
(ウォルボーンの実験は、もっと凄い意味を持つのですが、それは別の機会に)





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