1 kafuka 2016/09/13 (火) 19:17:22 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 20:53 [修正] [削除]
「箱の中の粒子」は、Follmyの頃を入れると、10年以上もめましたが、
電子で考えると、Final Anserが、問題を起こすことに気づきました。
論点を明確にするため、Final Anserを復習すると、
>一般に $\braket{\psi |q|\psi}$ は、qがエルミート演算子であれば、ある対角行列をAとして
 $q\ket{\psi}=UAU^{-1}\ket{\psi}=\ket{\psi'}$ 
なので、
 $q\ket{\psi}$ は、必ずヒルベルト空間の状態ベクトルになり、
 $\braket{\psi |q|\psi}=\braket{\psi|\psi'}$ と書ける。

関数空間で考えると、 $\braket{x|\psi}$ と $\braket{x|\psi'}$ も
同じ性質の空間でないといけない。
で、この関数空間の元は、定義域の端で0か、限りなく0である。
しかるに、「箱の中の粒子」の $P_x \psi'(x)=a \cos(kx)$ は、定義域の端で値aになる。

∴ 「箱の中の粒子」の運動量演算子 $P_x$ は、自己共役ではない。
(エルミート演算子ではあるが、同じ性質の空間にMapしない)
したがって、この場合の $P_x$ から導出される値は、意味を持たない。

しかし、この場合の全エネルギーを表すハミルトニアン:
 $1/2m\ P^2$ の場合は、定義域の端で0になるので、自己共役であり、
何ら問題はない!

電子の場合、何が問題かというと、相対論的場の理論では、ハミルトニアンは、
位置での微分が1次なので、運動量演算子同様、自己共役ではなく、
これから導出される値(全エネルギー)は、意味を持たないのではないか?
というものです。
2 coJJyMAN 2016/09/13 (火) 19:42:18 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
もしかして
http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log12416.html
投稿者:kafuka - 2012/02/28(Tue) 00:27 No.12425
に出てくる「Kleinのパラドックス」のお話でしょうか?(期待)
3 甘泉法師 2016/09/14 (水) 00:16:19 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

相対論的量子力学における井戸については

http://mitizane.ll.chiba-u.jp/metadb/up/C0000051459/rel_qm0704.pdf

を眺めています。 クラインのパラドックスとか対創生とか面白いです。


ランダウの相対論的量子力学でみたのですが、ポテンシャルエネルギーという概念が相対論と折り合うのかというそもそもの疑念もあるようです。
4 kafuka 2016/09/14 (水) 00:22:17 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 09:46 [修正] [削除]
当初の論点は、
電子の場合、相対論的量子力学では、ハミルトニアンは、
位置での微分が1次なので、運動量演算子同様、自己共役ではない!
という、つまらないことだったのですが、

無限大の壁のポテンシャルを考えると、
「Kleinのパラドックス」の話になってしまいますね。
これは、相対論的量子力学は、電子が1個存在する場合に限るので、正しく扱えない
ということだと、思います。
(無限大のポテンシャルにより、複数の電子対が生成されるから)





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