1 kafuka 2016/01/09 (土) 17:46:49 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 2017/06/01 (木) 22:27 [修正] [削除]
ある物理量qでの計算と、その正準共役な物理量pでの計算が一致しない時は、
どっちを信じていいかわかりません。

物理量qの固有空間を{|q>}、pの固有空間を{|p>}とすると、波動関数はそれぞれ、
ψ(q)=<q|ψ>、ψ(p)=<p|ψ> で定義され、
ψ(q)とψ(p)の関係は、ハミルトニアンにかかわらず、フーリエ変換・逆変換 の関係になります
証明: http://kafukanoochan703.hatenablog.com/entry/2017/05/31/132407

どっちを信じていいか わからないというのは、
ψ(p)が2通り以上あり、これを逆フーリエ変換→ψ(q)’で、
ψ(q)≠ψ(q)’
となる場合があるいうことで、これでは、量子力学が成り立つと言えません。

「半直線座標では量子力学は成り立たない」というのは、よく知られています。
  http://www.geocities.jp/shikano_yutaka/file/20070807abs.pdf
  http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log08961.html No.9010
ここでは、ポテンシャルを、x≧0で0、x<0で∞ として、半直線座標ではないが、
 $\psi(x)$ が半直線上にだけに存在する場合を考えてみます。

この場合、完全反射するので、 $\psi(x)$ は
x≧0 で sin(k1 x)
x<0 で 0

 $\psi(x)$ の運動量表示は、そのフーリエ変換ですから、
xの定義域は−∞から+∞
ですが、この場合は、xを0から+∞で積分するのと同じなので、
<tex>\psi(k)=\int_{0}^{+\infty}sin(k1x) exp(-ikx)dx</tex>
<tex>=1/2i \int_{0}^{+\infty}(exp(ik1x)-exp(-ik1x))exp(-ikx) dx</tex>
もし仮に、 $1/2i \int_{-\infty}^{+\infty}(exp(ik1x)-exp(-ik1x))exp(-ikx) dx$ 
であれば、2つのδ関数 $\delta(k-k1)-\delta(k+k1)$ になりますが、

 $\int^\infty_0 \exp( i k x) \exp(-i l x)dx \neq \delta(k-l)$ 
ですので、2つのδ関数にはなりません。

しかし、無限壁の箱の時と同様に、xの定義域をx≧0だけに限って考えると、
k1L=2πであるようなLをとれば、
 $\psi(x)=sin(k1x)$ は 必ずx=0〜Lの範囲で繰り返されますから、
フーリエ級数で表すことができます。
これを、k空間でみれば、
 $\delta(k-k1)-\delta(k+k1)$  という2つのδ関数であり、これは矛盾です。

したがって、この場合も、無限壁の箱と同じように運動量演算子は自己共役でないと言えます。
2 かん 2016/01/09 (土) 20:39:39 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 20:57 [修正] [削除]
とりあえず、半直線上の量子力学と言われると、例えば3次元の場合の動径方向のシュレーディンガー方程式を思い起こします。

片側フーリエでは波動関数を展開できないでしょうか?

追記
というか、フーリエ空間で解けなくても、ちゃんと境界条件を満たす解が座標表示で作れれば問題無いと思います。

境界条件で思い出したのですが、演算子pがエルミートになるかならないかっていうところに、境界条件も一枚噛んでくるはずです。
3 selpo 2016/01/09 (土) 20:47:33 ID:97TqmlNuts [修正] [削除]
不定、というのは要は波動関数が二乗可積分でないことから生じています。
つまり、 $\psi(x)=\theta(x)\sin k_1x$ は二乗可積分でないので、
そのような問題が生じているのです。

これは、自由波 $\psi(x)=e^{ik_1x}$ のときにも生じている問題です。
 $\psi(k)=\int_{-\infty}^\infty dx e^{ik_1x}e^{-ikx}=\int_{-\infty}^\infty dx e^{i(k_1-k)x}$ ですが、
この積分は不定です。

逆に、 $\psi(x)$ が二乗可積分であれば、当然 $\psi(k)=\int_{-\infty}^\infty dx \psi(x)e^{-ikx}$ はちゃんと存在します。

で、二乗可積分かどうか、というのは、散乱状態か束縛状態か、ということになりまして、
要はポテンシャルの谷につかまっているかどうか、です。

つまり、束縛状態にあれば、フーリエ変換した $\psi(k)$ も問題なく定まり、
散乱状態では $\psi(k)$ に発散が生じます。

で、量子力学自体は、シュレーディンガー流でいけば、フーリエ変換の性質は特に
気にする必要はなく、座標表示でうまくいっていれば問題はありません。
4 kafuka 2016/01/09 (土) 21:24:08 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
かんさん
「動径方向のシュレーディンガー方程式」については、過去ログがあります。
http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log08961.html

selpoさん
自由粒子の場合では、十分長い波束 を考えることで、無理やり 二乗可積分にできますが、
半直線の場合も、同様にして 二乗可積分にすると、うまく行くのでしょうか?

うまく行くのでしたら、別の例を考えてみます。
尚、座標が半直線では、運動量演算子は 自己共役にならないです:
http://www.geocities.jp/shikano_yutaka/file/20070807abs.pdf
5 甘泉法師 2016/01/09 (土) 23:47:25 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>1 <tex>\psi(k)=1/2i \int_{0}^{+\infty}(exp(i(k1-k)x)-exp(-i(k1+k)x)) dx</tex> この積分結果に、exp(i(k1-k)∞)−exp(i(k1-k)0) が出てきますが、

exp(i(k1-k)∞)=0 とすると

<tex>\psi(k)=-\frac{1}{2i}( \frac{1}{k_1-k}+\frac{1}{k_1+k})</tex>

検算のため逆フーリエ変換すると $\theta(x)sin\ k_1x$ に戻りました。
確かめていただければ幸いです。



6 selpo 2016/01/10 (日) 00:50:20 ID:97TqmlNuts [修正] [削除]
そもそも、このポテンシャルは半直線上の量子力学を表していません。
というより、ポテンシャルで以て、何々の量子力学、というのはおかしいです。

まず、あまり気にせずに $x<0$ で $V(x)=\infty$ としていますが、 $\infty$ とは何か、というのを考えなければなりません。

ひとつありうるのは、 $x<0$ で $V(x)=V_0$ として $V_0\to\infty$ とする、というのが考えられます。
この場合、 $x<0$ には極めて高い壁がありますが、そのおかげで先ほど不定となったところが解消されます。
あくまで $V_0$ は有限なので、波動関数は $x<0$ にも(減衰しながら)染み出すことになります。
これでは半直線にはなっていません。

もう一つは、 $V(x)=0$ として $x=0$ で $\psi(x)=0$ という境界条件を課す、というのも考えられます。
こうして $x>0$ の理論のみに焦点を当てれば、その範囲で、 $x<0$ で $V(x)=\infty$ の理論と同じ解になっています。
で、当然 $x<0$ にも延長しないと正準交換関係は破れてしまうので、 $x<0$ に延長するわけですが、
そうすると $x<0$ で $\psi(x)=0$ になってくれないわけです。
これも、半直線にはなっていません。

では、 $x\leq 0$ で $\psi(x)=0$ の境界条件を課せばどうか、ということですが、
これはどう考えても正準交換関係とconsistentな境界条件になっていません。
なぜなら、座標演算子のスペクトルの負の部分を、人為的に消しているからです。
一点で境界条件を課してもスペクトル自体はその周りにかろうじて残っていますが、
有限の範囲に課すと、スペクトルに影響が出てしまい、von Neumannの定理に反してしまいます。

最後に、仮に $x<0$ で $V(x)=\infty$ というポテンシャルをそのまま認めたとしましょう。
それでも、これは半直線上の量子力学ではありません。正確には、座標演算子のスペクトルは半直線ではありません。
というのは、ポテンシャルを決めて影響を受けるのは、Shrodinger方程式の解です。
もっと言うとハミルトニアン( $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\hat{x})$ の $V$ )です。
座標演算子、運動量演算子は何も影響されません。
つまり、ヒルベルト空間には依然として、 $x<0$ の部分に値を持つ関数が残っています。
それらは単に、Shrodinger方程式の解でない、というだけです。
ポテンシャルを決めても、ヒルベルト空間自体が変更を受けることはありません。
で、そのポテンシャルで何か問題が起きたとしたら、その原因はポテンシャル自体にあります。
この場合は $\infty$ という"量"がwell-definedでない、ということです。
7 kafuka 2016/01/10 (日) 08:39:13 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
甘泉法師さん
>exp(i(k1-k)∞)=0 とする
すいません。お教えください。

|exp(i(k1-k)x)|=1   xが実数なら何であっても
ですよね。なので、
Limx→∞ |exp(i(k1-k)x)|=1
ではないのですか?
8 甘泉法師 2016/01/10 (日) 09:15:54 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 14:10 [修正] [削除]
こんにちは。

超関数のフーリエ変換はゆるいところがあります。
同じ疑問はδ関数のフーリエ積分表示にもいえるでしょう。

変換して逆変換すればもとに戻るのだから使えるだろう、というノリです。
わたしはしてませんがきちんと超関数を勉強すれば正しいことがわかると期待します。コンパクトな台とか。。

「f: R → R を局所可積分函数、φ: R → R をコンパクトな台を持つ(すなわちある有界集合の外側で恒等的に 0 となる)滑らかな函数(つまり無限回微分可能な函数)とする。函数 φ が「テスト函数」である。」
(ウィキペディア 「シュワルツ超関数」)
相方のテスト関数(現実の物理的な波動関数)がコンパクトな台をもつのだから、効果として無限遠での超関数の振動はどうてもよい。ゼロにしてかまわない。 ということかと存じます。
9 kafuka 2016/01/10 (日) 14:14:12 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
甘泉法師さん
そうなのですか。

δ関数のフーリエ積分表示は、cosを順次足していけば、
どんどん、δ関数になっていくるのが実感できますが、
(isinの和の方は、±があるので 0)
積分した関数を求めて、−∞と+∞ を入れると変ですね。

ということは、この場合も積分を計算せず、
<tex>\psi(k)=1/2i \int_{0}^{+\infty}(exp(i(k1-k)x)-exp(-i(k1+k)x)) dx</tex>
を無限和と考え、cos とisin を順次足していけば、よいように思えます。
とすると、第一項のcosの和は、k1の点で δ関数になります。
isinの和の方は k1の点では 0ですが、
この近くで どんどん大きくなり、ちょっとはずれると0になりそうです。
平均すると0なのでしょうね。
10 甘泉法師 2016/01/10 (日) 14:30:42 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 15:19 [修正] [削除]
こんにちは。

>>9 積分した関数を求めて、−∞と+∞ を入れると変ですね。

 $\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}e^{ikx}dk=\frac{1}{2\pi ix}[e^{ikx}]^{k=+\infty}_{k=-\infty}$  for x≠0.

お考えではゼロでなく「不定」になりますか? だとすると「公式」は間違っているのでしょうか。

> 平均すると0なのでしょうね。

汎関数としては、どうせ積をとって積分する相手の関数がコンパクトな台をもち無限遠でゼロなので、ゼロにしてもいいのでしょう。(>>8) 識者に教えていただきたいところです。




11 kafuka 2016/01/10 (日) 15:08:24 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
selpoさん
>ポテンシャルを決めて影響を受けるのは、Shrodinger方程式の解です。
>座標演算子、運動量演算子は何も影響されません。
座標が半直線なのと、x<0でψ(x)=0 というのは異なるのですね。

座標演算子、運動量演算子は、常にエルミートであるというのは、わかります。
しかしながら、ポテンシャルが∞の区間(ψ(x)=0)でも、運動量演算子は自己共役である
というのは、まだ疑問を感じるので、もう少し考えてみます。
12 kafuka 2016/01/11 (月) 09:57:33 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
甘泉法師さん
>お考えではゼロでなく「不定」になりますか?

僕の計算では、複素共役の引き算になってしまいます。
恐縮ですが、正しい計算をお教えください。
13 甘泉法師 2016/01/11 (月) 10:22:11 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。
複素共役の引算になるというのは正と負の無限大の大きさが同じだからと存じますがそれは随分と精妙な具合の設定ですね。
14 甘泉法師 2016/01/11 (月) 10:56:00 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 14:10 [修正] [削除]
こんにちは。

>正しい計算

誤れる問に正しい答えを求めても疲れるだけ、という感じがします。

試しにたちのよい関数f(x)との内積をとってみてください。

 $\int_{-\infty}^{+\infty}dx\ f(x)\{\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}dk\ e^{ikx}\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}dk\ \hat{f}(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}dk\ \hat{f}(k)\ e^{-ik\cdot 0}=f(0)$ 
 $f(x),\hat{f}(k)$ はそれぞれx、kが無限遠でゼロになる関数(コンパクトな台の上のテスト関数)なので無限区間での積分が出来ます。

「問」が解けないと超関数の機能が決まらないわけではありません。
 $\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}dk\ e^{ikx}$ 単体の意味を問うても仕方がなく、たちのいい関数(=テスト関数。物理的状態の波動関数)との内積に意味があると考えてはどうでしょう。
15 kafuka 2016/01/11 (月) 16:21:36 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 20:49 [修正] [削除]
甘泉法師さん
了解です。

でも、まったく誤れる問 でもないようです。
積分する前の i sinの項は、奇関数ですから、計算に入れないことにすると、
積分後は、
 $\lim_{a\rightarrow \infty} \frac{1}{2\pi x} (sin(ax)-sin(-ax))$ 
 $\lim_{a \to \infty}\frac{\sin ax}{\pi x}$ 
 $=\delta(x)$ 
と、「弱収束の意味でデルタ関数を近似している」式になりました。
詳しくは
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
の「Sinc関数による近似」参照
16 甘泉法師 2016/01/11 (月) 18:35:13 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 01/12 (火) 22:19 [修正] [削除]
こんにちは。

 $\lim_{a \to \infty}\frac{\sin ax}{\pi x}$   for x≠0 も 不定(>>1と同様の具合に)ではないですか?
17 kafuka 2017/06/02 (金) 00:58:17 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 09:33 [修正] [削除]
放置しておいて恐縮ですが、論点を明確にして、再開します。

「区間の両側で波動関数がゼロになる世界での運動量演算子は、エルミートだが、自己共役ではない」
は、正しいようです。
http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/d/1506.html#17
ここからは、
「区間の片側で波動関数がゼロになる世界での運動量演算子は、エルミートだが、自己共役ではない」
ということを論点にします。

以前のまとめ:
 $\psi(x)$  が半直線上にだけに存在する場合、
xの定義域が −∞〜+∞ の時、
  繰り返しはありませんから、どんな数より大きい波長λ=2π/k を考えないといけない
  = $\psi(k)$  は $\psi(x)$  のフーリエ変換
  >>5 の甘泉法師さんの計算より
<tex>\psi(k)=-\frac{1}{2i}( \frac{1}{k_1-k}+\frac{1}{k_1+k})</tex>

一方 xの定義域を 0〜∞ とした時、
  xは 0〜波長λ(2π/kという有限値)の範囲で十分  $\psi(x)$ を表せる
  = $\psi(k)$  はフーリエ級数でOK(ただし、λはいくらでも大きくなる)
   $\psi(x)=Asin(k1x)$    ただし0<x<∞
  これが、 $=\int_{-\infty}^{+\infty} \psi(k1)exp(ikx)dk$  であるなら
<tex>\psi(k)=-\frac{1}{2i}( \delta(k_1-k)+\delta(k_1+k) )</tex>

∴  $\psi(k)$ が矛盾するので、 $\psi(x)$  が半直線上にだけに存在する場合、
運動量演算子は自己共役でない。
18 甘泉法師 2017/06/02 (金) 07:46:45 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

当時考えたところにもどれないまま別の話で恐縮ですが

極座標。 r>0、半直線。 動径方向の運動量演算子 
<tex>\frac{xp_x+yp_y+zp_z}{r}-i\hbar\frac{1}{r}</tex>

はよくつかわれていると存じます。
19 kafuka 2017/06/02 (金) 10:31:56 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 11:27 [修正] [削除]
甘泉法師さん
おっしゃることについては、僕の手にあまるので、
「動径座標演算子の自己共役拡大について」という過去ログを引用します。
http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log08961.html

あ さんは、1/r は rの定義域をr>0 とすると、エルミートであるとして問題ない
(と言われてるように思います)自己共役になるかどうかは、上記過去ログ No.8973 に
> $r^{-1}$  の特異性のおかげで
>自己共役でなくなるわけではありません。
>  $p_r$  の虚数解がペアーを作らないことに問題があります。
ペアーを作れば自己共役と言えるのでは?
(具体例は、僕の手にあまりますが)
20 甘泉法師 2017/06/02 (金) 20:31:10 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 21:01 [修正] [削除]
こんにちは。

あらためてスレッドを読み selpoさん >>6 に同感、敬服します。

 $x=0$  で  $\psi(x)=0$  という境界条件、x<0でも は 世界が半直線 というのとは違います。
「世界は在るが行か(け)ない」というのと「世界は無い」というのは違います。
「∞ポテンシャルの壁がある」というのと「動径r<0は定義域でない」というのは違います。

(問) V=∞だから向こうに行けないではないか。世界に行けないと世界はないは同じことでないか 
(答) 有限Vなら行ける(*)。 有限からつながるふるまいf(V); V→∞ が物理。
    V=∞は物理の問題でなく気にする数学者に任せる。
    一方、動径r<0の世界がありえない半直線 r については気になる。

(*)「V=∞でも E>V だったら行けるのでないか。Eに上限はない。」と言ったらまともでないとされたことがあります。
21 不識庵 2017/06/03 (土) 05:40:34 ID:Zwp4rt4wek 修正アリ: 06:18 [修正] [削除]
>>17 kahuka 様

>ここからは、
>「区間の片側で波動関数がゼロになる世界での運動量演算子は、エルミートだが、自己共役ではない」
>ということを論点にします。

勉強不足で済みませんが、エルミートと自己共役の違いをもう一度ご説明(もしくは定義)頂くと、スムースなコミュニケーションになると思うのですが・・・。

http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/d/1506.html#17

には、「エルミート性は、上で見たように「演算子を内積のなかで、右から左へそのまま移動できる」ことだが、自己共役性の定義はもう少しややこしい。」とありますが、これだけではよく分からないので・・・。

申し訳ありませんが、もう一点。
世界が半直線だったとして(x>0、もしくはx≧0)、波動関数 $\psi (x)$ が $\psi (0)=0$ もしくは $\lim_{x \rightarrow 0} \psi (x)=0$ とならねばならない理由があるでしょうか?
>>20、甘泉法師さんの仰る、「「世界は在るが行か(け)ない」というのと「世界は無い」というのは違います。」と同じかもしれませんが・・・。
22 甘泉法師 2017/06/03 (土) 08:17:59 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

極座標のrについては、r=0でψがゼロになる理由はありません。むしろ∞になるほうが気になります。
23 不識庵 2017/06/03 (土) 09:11:03 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>22、甘泉法師 様

コメントありがとうございます。
私も、極座標のrについては、r=0でゼロになる理由は無いと思います。仰る通りと思います。

例えば音波の反射には、固定端の反射と自由端の反射があります。
波動関数と音波にどのような関係があるかは分かりませんが、半直線の世界の境界で波動関数がゼロになる理由も無いような気がしております。

x<0でV→∞って、x<0に世界がある事を想定してると思います。
x<0に世界がある事を想定していて、そこのポテンシャルを∞にした時の波動関数と、x<0にそもそも世界が無い時の波動関数が同じになる理由があるのでしょうか?
24 kafuka 2017/06/03 (土) 10:41:30 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 13:38 [修正] [削除]
甘泉法師様
> $x=0$  で  $\psi(x)=0$  という境界条件、x<0でも は 世界が半直線 というのとは違います
僕もそう思っています( >>11 で同意しました)
selpo様 は
>ハミルトニアン(  $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\hat{x})$  の  $V$  )です。
>座標演算子、運動量演算子は何も影響されません。
と言われてますが、確かにエルミート性には何も影響もないです。
ここでは、「エルミートだが、自己共役ではない」場合を問題にしています。
( $x<0$  で  $V=\infty$ , $x\ge 0$  で  $V=0$ の場合もそうだと考えています)
自己共役(定義は後術)かどうかは、 ∞ポテンシャルと関係すると思います。

例えば、無限高さの箱の運動量演算子は「エルミートだが、自己共役ではない」と僕は考えます。
xの定義域を箱の内側に限った場合、運動量を測定すると±Pのどちらかと予言される。
xの定義域を−∞〜+∞とした場合、運動量は連続スペクトルと予言される。
この2つは、相容れないでしょ。
25 kafuka 2017/06/03 (土) 11:43:33 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 06/05 (月) 11:50 [修正] [削除]
不識庵様
「エルミートだが、自己共役ではない」という定義:

物理量qの相補量(正準共役量)をpとし、f(p)という物理量の期待値Aを計算するとします。
A=<ψ|f(p)|ψ>
これをスペクトル展開すると、f(p)=Σ_a f(a)|a><a| なので
A=<ψ|Σ_a{f(a)|a><a}|ψ>     aはpの固有値、|a>はその時の固有ベクトル
A=∫{Σ_a f(a)ψa*(p)ψa(p)}dp    ψa(p)は固有値がaの時の固有関数

ここで、固有関数が張る空間が異なるψ(p)が2通り以上あると、
どちらをとるかで、期待値Aは矛盾した値になる。
この時、物理量pは「エルミートだが、自己共役ではない」と呼ぶ。

PS.上記は俺様定義でした。すみません。

ヒルベルト空間の作用素 $T$  が (Tu,v)=(u, w), ∀u∈D(T) をみたすwが存在する時、共役作用素と呼び
 $T^*$  v=wとして作用素  $T^*$  を定義し これを $T$  の共役作用素と呼ぶのですが
物理量でいうエルミート演算子は、対称作用素( $T$ ⊂ $T^*$ )に ほぼ当てはまり、
対称作用素が「ある場合に自己共役である」とは、その場合に $T=T^*$ になっていることで、
もし、 $T^*=T^{**}$ であれば、本質的自己共役です。
26 不識庵 2017/06/03 (土) 12:39:10 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>25

済みません。
エルミートの定義と自己共役の定義が各々あって、それらが異なる、という事ではないのでしょうか?

「相補量」という言葉の定義も合わせてご教示お願い出来ればと思います。
問題の定義に物理量qが関連していないようにも見えますが・・・。

27 hirota 2017/06/03 (土) 14:37:57 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
過去ログの
自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか
http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log08243.html
も見た方が良いのでは?
28 kafuka 2017/06/03 (土) 14:48:09 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 20:03 [修正] [削除]
不識庵様
自己共役の定義⊂エルミートの定義 とは思いますが >>25 は俺様定義かもしれません。、
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf
にあるので、
これの 1.8.2「1階微分作用素 $L$ について半無限区間の場合では、 $L^*$ が存在しない」証明
を、参考に考えてみます(例3.3の自己共役ではない例も考えてみます)

>「相補量」という言葉の定義
すみません。正準共役量と書いたらよかったです。
(物理量qと正準共役量(相補量)pは qp−pq= $i \hbar$ の関係)
29 kafuka 2017/06/03 (土) 15:05:15 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 19:52 [修正] [削除]
hirota様
忘れていました。すいません。
f(p)=Σ_a f(a)|a><a|などの<a|=自由粒子の場合では、固有ブラ は存在しないって話でしたね
http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log08243.html No.8793

アドバイス、ありがとうございます!
1階微分作用素 $H$ の固有ベクトルの時も、ブラが存在しない場合があるので、
 $H^*=H^{**}$ とは言えない。
∴  $H$ は、本質的自己共役ではない。つまり、場合によっては自己共役にならない場合がある。
30 不識庵 2017/06/03 (土) 19:24:01 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>27、Hirota 様

ご教示ありがとうございます。
長く議論された大変難しい問題だという事だけは理解できました。
今後ともよろしくお願いします。


>>28、kafuka 様

ご回答ありがとうございます。
何やら難しい問題のようだったので、問題をもっと正確に設定した方が議論がやり易いのではないかと思ったまでです。
どうも私の手に負える問題ではないようですが・・・。

ご紹介頂いた資料でも、1.8.2 半無限区間のとき、に

<tex>&I=(0,\infty )\\&D(L)=\left\{ u \in H^1(I);u(0)=0 \right\} </tex>

という記載があり、u(0)=0の規定がありますね。
u(x)を波動関数と考えた時、x=0でu(x)=0となる必要があるかどうか気にはなっています。
(上記の定義だと、x=0でu(x)が定義されているかどうかもよく分からないところですが・・・。)
31 kafuka 2017/06/03 (土) 20:21:47 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 21:01 [修正] [削除]
>>30 不識庵様
>x=0でu(x)=0となる必要があるかどうか
推測ですが、
作用素Lは、少なくとも対称閉作用素の必要があるので
補題8.5(1)の証明の中で、
部分積分の左辺は  $(Lu, v)$ 、右辺の積分は  $(u, Lv)$ 
なので、
 $(Lu, v)=iu(x)\overline{v(x)}|_0^X + (u, Lv)$ 

これが、Xをいくら大きくしても  $(Lu, v)=(u, Lv)$  になるためには、
 $u(0) = 0$ 
である必要があります。
32 kafuka 2017/06/03 (土) 23:11:24 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 06/04 (日) 09:44 [修正] [削除]
わかったような気がします。
1階微分作用素 $L$ において、x<0でψ(x)=0 であっても
ψの定義域Iは I=(-∞,+∞) なので 自己共役になりそうですが、
作用素Lは、少なくとも対称作用素の必要があるので
補題8.5(1)の証明で、
 $\psi(0) = 0$ 
である必要がある(-∞〜0間の積分への寄与は0だから、0〜∞の積分と同じ)
となると、x=0で不連続となる。したがて  $L$ ⊂ $L^*$ であり、
これは、対称作用素にすぎず、自己共役でない。
( $L=L^*$ が言えれば自己共役)
33 甘泉法師 2017/06/04 (日) 00:11:34 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>24 運動量を測定すると±Pのどちらかと予言される。

V=∞に物理としての興味をもっていません(>>20)が

有限のVで基底状態の運動量波動関数を求めV→∞にした場合は
前にこの掲示板に書きました。
34 kafuka 2017/06/04 (日) 09:20:16 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>>33
はい。覚えています。
その折は、お世話になりました。

>有限のVで基底状態の運動量波動関数を求めV→∞にした場合
は、ψの定義域Iを I=(-∞,+∞)とすることだと思います。
35 甘泉法師 2017/06/04 (日) 10:50:49 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

量子力学では空間が無限に広いことが運動量の成立する十分条件だと理解しています。『限られた空間の系の粒子の運動量』は矛盾した言説になります。 矛盾しない運動量の新定義があるのか、興味あります。 

無限に広い空間に波動関数がゼロの無限長の区間があることはかまいません。

ポテンシャルエネルギーV(x)に  $\mathbf{x}$  や  $-i\hbar\frac{d}{dx}$  の成否、定義域をかえる力はないです。
36 不識庵 2017/06/04 (日) 13:05:38 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>35、甘泉法師 様

>量子力学では空間が無限に広いことが運動量の成立する十分条件だと理解しています。

十分条件かどうかについては自信はありませんが、お考えに同意致したいと思います。
DiracにもWeinbergのLectures on quantum mechanicsにも、系の平行移動の演算子が運動量演算子に比例する旨の記載があります。
空間の広さが有限の場合に、境界の移動をどう解釈するかは難しい問題のように思っています。

>『限られた空間の系の粒子の運動量』は矛盾した言説になります。 矛盾しない運動量の新定義があるのか、興味あります。

矛盾した言説になるかどうかは自信がありませんが、そうした系での運動量の定義には、私も興味があります。


kafuka 様

大変興味深いテーマと思います。
ご考察の進展を期待致します。

37 kafuka 2017/06/04 (日) 17:11:27 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 20:55 [修正] [削除]
>>35
「運動量が成立する」=「可観測量である」=「自己共役である」とすると
『限られた空間の系の粒子の運動量』は、可観測量でないですね。
>ポテンシャルエネルギーV(x)に   $\mathbf{x}$  や  $-i\hbar\frac{d}{dx}$   の成否、定義域をかえる力はない
V(x)と定義域は無関係というのは了解しています。
>波動関数がゼロの無限長の区間
があっても、対称作用素( (Au, v)=(u, Av), ∀u,v∈D(A) が成り立つ = $A$ ⊂ $A^*$ が成り立つ)
には、影響を与えません。
しかし、本質的自己共役ではない( $A^*=A^{**}$ でない)場合では、問題があります。
以下で、これを証明します。

運動量作用素L=id/dx は、少なくとも対称作用素の必要があるので
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf
補題8.5(1)の証明で、
 $\psi(0) = 0$ 
である必要がある(-∞〜0間の積分への寄与は0だから、0〜∞の積分と同じ)
なので、x>0 で  $\psi(x) = sin(kx)$ 
となることには同意頂けると思います。

それで、対称作用素⊂共役作用素 ですが、
共役作用素 $T$ は (Tu,v)=(u, w), ∀u∈D(T) をみたすwが存在する必要があります。
ここで、u=sin(kx), Tu=ik cos(kx) なので、ただし x <0で u=0
(Tu,v)=ik $\int_0^{\infty}$ v(x)cos(kx)dx
一方 (u, w)= $\int_0^{\infty}$ w(x)sin(kx)dx

したがって、vやwが≠0の時、x>0でv=0, w=0 であれば、x<0では vやwは何でも有り
の場合を含みます。

wが存在するとき $T^*$ v=wとして作用素 $T^*$ を定義し $T$ の共役作用素と呼ぶわけですが
 $L$ については、v, wのx<0の時では、 $L^*$ は 掛け算なら何でもいいことになります。
ということは、 $L$ ⊂ $L^*$ 

∴  $L = L^*$ ではないので、 $L$ は自己共役ではない=可観測量ではない と言えます。

尚、無限高さの壁の箱の場合も同じことが言えるので、
定義域を −∞〜+∞にしても、 $L$ は自己共役ではない=可観測量ではないです。
つまり、パウリ本は大間違いだが、ランダウ本もψ(p)が存在するという点で誤りと思います。
38 kafuka 2017/06/04 (日) 20:09:33 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
不識庵様
興味をもって頂いてありがとうございます。
僕は、こういう話が大好きなのです。ヘタの横好きとお笑いください。

>>35、甘泉法師 様
>量子力学では空間が無限に広いことが運動量の成立する十分条件だと理解しています。
空間の等方性や均一性が言えないと 運動量どころか、正準交換関係が成り立ちません。
アイシャム「量子論」の7.2.2で 観測器の変位の考察により正準交換関係を導いています。
以下は、その要約:
https://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/55883912.html
39 甘泉法師 2017/06/04 (日) 20:22:24 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは

引用された http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log08243.html murakさん No.8642 を参考に  
エルミート ⊃ 自己共軛.  形式的なエルミート性だけでなく有界作用素であることが自己共軛の必要条件である
ディラックの直観をふまえたRHS(Rigged ヒルベルト空間)なら連続スぺクトルの固有値や無限をとるδ超関数もありで区別は不要でもフォンノイマン流の正統ヒルベルト空間では両者は厳に違うもの

という具合に物理より数学の問題とみなして理解しています。 

で、こうして半直線や有限区間をヒルベルト空間として詳しく見て自己共軛など厳しく吟味していくと運動量(pと-pと予言 >>24 ですか)の新定義を得ることが期待できるのでしょうか。 正準交換関係にも頼れないのですが。
40 kafuka 2017/06/04 (日) 21:08:57 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
僕も数学の問題とみなしています。
 (V=∞ が現実にあったら 対生成どころかブラックホールができてしまう)
可観測量というのは、射影測定できる=「いくらでも精密に測れる」ということ
なので、これも現実にはないし。
POVM測定の場合は:
http://www.geocities.jp/shikano_yutaka/file/20070807abs.pdf

それに、ハミルトニアンや $p^2/2m$ は、本質的自己共役とのことなので
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf
エネルギーだけ考えるのであれば、何の問題もないです。
41 甘泉法師 2017/06/04 (日) 23:47:26 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>39 の PS

kafkaさん >>24 xの定義域を箱の内側に限った場合、運動量を測定すると±Pのどちらかと予言される。

この予言についてもっと勉強できるでしょうか。

42 kafuka 2017/06/05 (月) 09:06:48 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>xの定義域を箱の内側に限った場合、運動量を測定すると±Pのどちらかと予言される
というのは、何も新しいものではなく、よくご存知の「箱」の解:
ψ(x)=cos( $k_n x$ ),  ( $n$ =1,2,3、、、), x>|L/2|でψ(x)は未定義
として、
cos( $k_n x$ )は、exp(i $k_n x$ )ですから、運動量の状態は± $P_n$ の重ね合わせになり
測定すると± $P_n$ のどちらかになる というものです。

まぁ、ψ(x)の定義域をxの一部に限った時点で、アウトですが、、、
43 kafuka 2017/06/05 (月) 17:21:37 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 20:32 [修正] [削除]
例3.3 を早とちりしてアウトと思ったのですが、どうも違うようです orz
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf で
「ψ(x)の定義域をxの一部に限った場合」に相当するのが、「1.8.1 有界区間のとき」です。
補題8.2
(1) $L$ は対称閉作用素.
(2) D( $L^*$ )= $\mathcal{H}^1 (I)$ 
(3) $L$ の不足指数は(1,1)
が成り立つので、1階微分作用素 $L=-i d/dx$ は 今の条件の場合、自己共役のように僕には読めます。
(僕の勘違いなら、うれしいのですが)
PS.
気になるのが「補題8.1」のu’=f は、x=0とx=2πで≠0ですが
uと同じように x=0とx=2πで0を満たさなくてよいのか?
という点です。
これは、  $L$ の逆写像 $K=L^{-1}$ を考えると、
 $L$ は1対1なので、D(K)=R(L) (Rは値域の意)
 $K$ は、少なくとも対称作用素の必要があるので
補題8.5(1)を援用すると、
部分積分の左辺は   $(Kf, v)$  、右辺の積分は   $(f, Kv)$ 
なので、
 $(Kf, v)=if(x)\overline{v(x)}|_0^X + (f, Kv)$ 
これが、箱の幅 $X$ がどんな値でも   $(Kf, v)=(f, Kv)$   になるためには、
 $f(0) = 0$ 、 $f(X) = 0$ 
である必要があります。
これは矛盾なので、 $K=L^{-1}$ は、自己共役でないです。
そうであるなら「定理3.2  $A$ が自己共役で1対1なら $A^{-1}$ も自己共役である」
に反しますから、
 $L$ は、自己共役でない(自信はありません)

皆様も、冒頭の証明を読んで頂きたいです m(_ _)m
尚、単に(a, b)とあれば内積のことで、これは $\braket{b|a}$ のことです。
また、ベクトルと関数を区別してないような書き方の所もあります。
それから、 $L^2$ が $L^2$ 空間を意味する場合もあり、文脈に注意が必要です。
44 kafuka 2017/06/06 (火) 21:13:37 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 22:12 [修正] [削除]
ちょっと進展がありました。
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf の
「1.8.1 有界区間のとき」の証明が、自己共役である証明 だとしてですが。
これが自己共役でない証明であれば、トンデモ以前のアホだと思って、以降は無視して下さい。

「補題8.1」のu’=f が、x=0とx=2π(=有界区間の終わり $X$ )で≠0
(この場合の $L$ の固有関数はsin( $a$ x)なので、fは  $a$ cos( $a$ x)で x=0とx= $X$ で≠0です)
なので、
1階微分作用素Lの逆作用素 $K=L^{-1}$ は、
 $(Kf, v)=if(x)\overline{v(x)}|_0^X + (f, Kv)$ 
ですが、
一見、x=0とx= $X$ で同じ値なら≠0でよさそうですが、
(確かに、 $X$ =2πなら良い)
 $X$  が例えば πでは   $(Kf, v)=(f, Kv)$   になり得ません。
そうであれば、 $K$ は対称作用素にならなず、
「定理3.2」より Lは、自己共役でないということになり、この証明自体が
意味をなしません。

この矛盾を回避するには、
1. $X$ =2π $n$ しか許さない
  そうなると「無限壁の箱」の基底状態の波動関数が、sinの半分という教科書は
  間違いということになります。
  それだけでなく、壁のVが有限なら、基底状態がsinの半分の形に近く、
  V→∞で、sinまるごと という相転移?があることになります。

2. $f(0) = f(X)=0$ を前提として関数をどなんかする。
  そうなると、fは  $a$ cos( $a$ x)で x=0とx= $X$ の点で $a-a$ でないといけないので
   $L$ の固有関数はsin( $a$ x) ただし、x=0とx= $X$ だけはsin( $a$ x)と−sin( $a$ x) $dx$ の
  重ね合わせ
  これなら、波動関数にちょっとヒゲが付くだけで、基底状態が、sinの半分で良いです。

このどちらかだと思います(有界区間のときは量子力学は矛盾するというトンデモ説もありかw)

もちろん、冒頭のisozakih先生の証明が自己共役である証明であれば、ですが。
どうなのでしょうか?
45 kafuka 2017/06/07 (水) 11:03:16 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 21:07 [修正] [削除]
僕も迷走しています。(毎度のことですが ^^;
昨日、http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf
に詳しい方とやり取りができて、>>43 を伝えました。
それで、「定理3.2 $A$  が自己共役で1対1なら  $A^{-1}$  も自己共役である」の意味を僕が取り違えている
という指摘を受け、1階微分作用素−i d/dxは、有界区間のとき自己共役とのこと。
でも、そのあと、
>運動量の演算子L = −i d/dx は、有界区間のときは自己共役ではなく対称作用素(u, Lv) = (Lu, v) でしかない
とも言われて、、、もう、何がなにやら???

でも、興味を持たれたようで、関数解析の視点で考えて頂けるそうです。
46 kafuka 2017/06/12 (月) 20:40:22 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>運動量の演算子L = −i d/dx は、有界区間のときは自己共役ではなく対称作用素(u, Lv) = (Lu, v) でしかない
Lを運動量の演算子とする場合、そもそも、U(0)=0を満たすLの固有関数がないです。
なぜなら、
L=−id/dx の固有関数は aを正の実数として
Aexp(iax)かBexp(−iax) のどちらかで、固有値は±aです。
これらが、U(0)=0を満たさないのは明らかです。
(exp(iax)−exp(−iax)は、固有関数でない)

この場合でも、固有関数の無限和(積分)を考えれば
U(0)=0を満たす連続固有値の固有関数はあるでしょうが、
離散?固有値ではないので、運動量の演算子は、可観測量ではありません。

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf の
「1.8.1 有界区間のとき」の証明で、
UをU(0)=0、U(2π)=0を満たす「Lの固有関数」とすると
{U}は、空集合となり、この証明は、無意味です。
しかしこの結論は、
運動量の演算子が有界区間のとき
「U(0)=0、U(2π)=0を満たす連続固有値の固有関数は自己共役である」
を否定しないです。
47 hirota 2017/06/13 (火) 22:52:59 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>19
r>0 での 1/r を掛ける作用素が自己共役になる証明は過去ログのNo.8988(2010/04/27)に書いてあると思ったら消えてらー。
しょうがないから再投稿。
底空間 $R^+=(0,\infty)$ , Hilbert空間 $L^2(R^+)$ で 1/r を掛ける作用素 $T$ を
<tex>f\in L^2(R^+):(Tf)(x)=\frac{1}{x}f(x)</tex>
とすれば定義域 $D(T)$ は
<tex>D(T)=\{f\in L^2(R^+)\,;\int_0^\infty|\frac{1}{x}f(x)|^2dx<\infty\}</tex>
そして $f,g\in D(T)$ に対して
<tex><f,T g>-<T f,g>=\int_0^\infty(\,\overline{f(x)}\frac{1}{x}g(x)-\frac{1}{x}\overline{f(x)}g(x))dx=0</tex>
だから対称作用素。
次に共役作用素 $T^*$ の定義域 $D(T^*)$ は、 $f\in D(T^*)$ とすると
<tex>\forall g\in D(T)\,\exists h\in L^2(R^+)\,[\,<f,T g>=<h,g>\,]</tex>
だから
<tex>&0=<f,T g>-<h,g>=\int_0^\infty(\,\overline{f(x)}\frac{1}{x}g(x)-\overline{h(x)}g(x))dx=\int_0^\infty\overline{(\frac{1}{x}f(x)-h(x))}g(x)dx\\&\therefore\,\frac{1}{x}f(x)=h(x)\in L^2(R^+)\ \therefore\,f\in D(T)</tex>
というわけで $D(T^*)=D(T)$ となって自己共役。

なお、 $L^2(R^+)$ で $p_x$ が自己共役でないことは過去ログ「動径座標演算子の自己共役拡大について」のNo.9020, $p_x^2$ が自己共役であることはNo.9024にあります。
48 kafuka 2017/06/14 (水) 20:10:15 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 20:56 [修正] [削除]
hirotaさん
お教え頂きありがとうございます。

演算子Lが有界であるということは
 $\|Lv\|_Y \le M \|v\|_X$    ∀ $v \ne 0 \in X$ 
であるMが存在することですが、
この条件は、底空間を  $R^+ =(0,\infty)$ とすると、
 $\int_0^{\infty}(Lv(x))^* Lv(x)dx \le M \int_0^{\infty}v^* (x)v(x)dx$ でよいでしょうか。

それで例えば、 $X$ を $L^2(R^+)$ 空間として、
 $v(x)=sin(x)/x$     $0<x<\infty$ 
とすれば、Mは存在しない
∴  $L=1/x$ は有界でない

演算子が有界でないならば、自己共役が言えても、物理では意味を持たない
(可観測量にならない)と思うのですが、
どうなのでしょうか?

もしかして、上記 $X$ を、 $L^2(R^+)$ 空間とするのはナンセンスで
 $X=D(T)$ ということでしょうか?
49 hirota 2017/06/14 (水) 20:54:57 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
そもそも微分演算子が有界じゃないし、物理で重要な演算子の多くが有界じゃないのは基礎知識のはずだが。
そのため、演算子の定義域が全域じゃなくても稠密であれば良いという定義にしている。
(有界なら定義域は全域)
50 kafuka 2017/06/15 (木) 18:08:10 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 18:27 [修正] [削除]
そうでした。すみません。

演算子の非有界に関しては
 $\|Lu\|_Y \le M \|u\|_X$   $\|Lv\|_Y \le M \|v\|_X$ において Mがある値より小さくなるu、vを考えて、
$T$ u,v)=(u, w), ∀u∈D( $T$ )
をみたすwが存在するならば、 $T^*$ v=wとして作用素 $T^*$ を定義でき、
演算子が有界の時と同じ議論で、自己共役になる・ならないが言えます。
なので、有界でないことは問題にならないと思います。

それから、演算子1/x の固有関数ですが
 $1/x \, f(x)-$ λ $f(x)=0$ 
とすると、f(x)=0 になってしまいます。どう計算したらいいですか?
51 甘泉法師 2017/06/15 (木) 18:26:40 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。
Dirac流では座標の固有ket |x> は xの固有状態であるしその関数、1/xを含む任意のf(x)、の固有状態でもある。

<tex>\hat{x}|x>=x|x></tex>
<tex>\hat{x}^{-1}|x>=x^{-1}|x></tex>

で、具合はどうでしょう。
52 kafuka 2017/06/15 (木) 19:47:19 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
なるほどです。
演算子 $\hat{x}$ をスペクトル展開すると
 $\hat{x}=\sum_x x\ket{x}\bra{x}$ 
1/xは x演算子の関数だから
 $\hat{1/x}=\sum_x 1/x\ket{x}\bra{x}$ 

 $\hat{1/x}\ket{x'}=\sum_x 1/x\ket{x}\braket{x|x'}$ 
 $=\int 1/x \, \delta(x-x')\ket{x}dx$ 
 $=1/x'\ket{x'}$ 
ですね。

それで固有値は、 $1/x$ 
固有関数は、 $\braket{x|\psi}$ 
でしょうか。
53 甘泉法師 2017/06/15 (木) 21:33:03 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは

|ψ>?

<tex>\hat{x}|x_0>=x_0|x_0></tex>
<tex>\hat{x}^{-1}|x_0>=x_0^{-1}|x_0></tex>
<tex><x|x_0>=\delta(x-x_0)</tex>

でしょう。
54 hirota 2017/06/15 (木) 22:24:58 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
質問どころか他人に確認を求めることすらダメなレベル。
55 kafuka 2017/06/16 (金) 02:26:09 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 03:34 [修正] [削除]
 $\hat{1/x}\ket{x}=1/x\ket{x}$ 
ですから
 $\hat{1/x}\braket{\psi|x}=1/x\braket{\psi|x}$ 
と思ってしまって、
 $\hat{1/x}$ の固有関数は $\braket{\psi|x}$ 
のつもりでした。
 $\hat{x}$ の固有関数は、x表示の波動関数それ自体と
どこかで読みましたが、その本の著者も僕と同じ間違いをしたのですね。

 $1/x \, f(x)-$  λ  $f(x)=0$  を素直に計算すると
λ≠1/x で0
λ=1/x で不定(関数としては)
なので、超関数で表せば
固有関数=δ(x-1/λ)=δ(x-x0) として矛盾はないことがわかりました。
56 hirota 2017/06/16 (金) 11:38:49 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
自分の矛盾に気が付いて記憶を疑った方が良いね。
そんな本が存在する可能性は遥かに低いから。
57 kafuka 2017/06/16 (金) 17:44:19 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
> $\hat{x}$  の固有関数は、x表示の波動関数それ自体
という思い込みは、
僕が量子力学の勉強を始めた頃(線形代数の勉強よりずっと前)
白石清「絶対わかる量子力学」という本の「固有値・固有関数の説明」で
「xの演算子は、xそれ自体である」という文を
前後の内容とゴッチャにして、国語的に推測してしまったからのようです。

それより、問題なのは、後年 $\braket{x|x0}$ =δ(x-x0)を知ったのに、
これを、xの固有関数と認識できなかった(結びつかなかった)ことです。
「反省だけなら僕でもできます」が、、、
58 coJJyMAN 2017/06/16 (金) 21:17:18 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
kafukaさんへ,
基礎があやふやなのに,その上に高度な知識をのせようとしているので,体系化された知識を会得できていないようです.

波動関数と固有関数の言葉の意味がわかっておられないことは,今までの文面から想像していました.しかし,今も理解されておられるとは思えません.

是非,簡単な本でいいので,ちゃんとした本で学習されることをおすすめします.
59 hirota 2017/06/16 (金) 22:45:31 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
複数の流儀の異なる「ちゃんとした本」を混ぜて矛盾を起こしてるんじゃないかな?
更に記憶が改竄されて矛盾を検出しないからカオス化とか。
自身の論証を厳密にチェックする習慣を身につければ分離できるけど、厳密の感覚が得られてないうちは厳密かどうかも分からないでしょう。
普通の学生なら一本道を進むから厳密感覚なしでもレベルに達して、その結果感覚も得られるんだけどね。
60 kafuka 2017/06/17 (土) 15:39:33 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 17:46 [修正] [削除]
こういう勉強法は しちゃいけないという意味で、参考までに。

僕は、好奇心が強く、特に量子力学には興味のあるテーマがたくさんあり、
それを「わかりたい」と思いました。10数年前のことです。

僕の勉強は、興味のあるテーマを「わかるため手段」でした。
まず目的のテーマを選ぶ(例えば当初は、シュレーディンガの猫)
そして、まずはテーマに直結したわからないことを勉強する。
その過程で、また、わからないことが出てくる
→それらを勉強する、またまた、わからないことが出てくる
→それらを勉強する、、、
のトップダウン(システム開発でいうトップダウン)の勉強法になりました。

なので、関係ないと思ったことは、勉強しなかったし、
わかっていること(と思っていること)は、それ以上のより深い所は、
勉強しなかったし、演習問題もやらなかったので、自身の理解をチェックできませんでした。

それで、基礎的なことでも理解していないこと、とか、誤解しているのに気づかないことがいっぱいあり、
また、目的のテーマが「わかる」ためだけの勉強なので、
言葉による理解が主となり、それに記憶違いが重なって矛盾した言説が出てくるわけです。

「わかっている(と思っている)こと」でも、それに関係する演習問題を
いろいろ解けば、自身が誤解してないかチェックできまるのですが、
目的のテーマが「わかる」ためには、
僕にとっては、言葉による理解で十分なので、演習問題もやらなかったのです。
深く反省します。

尚、上記の「わかる」というのは「自分なりの言葉でわかる」ということで、
(数式で理解している)詳しい方から見れば、ナンセンスと思います。
61 ひゃま 2017/06/17 (土) 18:14:50 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
え、数式もある意味、言葉でしょうが、自然とのリンクはどうしてるんですか?

ひゃまなんか、計測経験やハードウェア開発に照らし合わせてますけど・・・
っその上で、わからなことは専門家はどうかんがえてるのか、調べるんですけど

それでも、時間を結晶にしやがってとか、納得できないことがおおいんですけどねw
62 kafuka 2017/06/17 (土) 19:07:16 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 19:38 [修正] [削除]
それは、適宜、数式で補います。

僕がダメなところは「数式展開して行くのに、まず言葉で考えてから次の式を書く」
ことと、「言葉で結論が出たら そこで数式展開を止めてしまう」ことです。
なので、深い理解に至らないし、
もっと、計算を続ければ、言葉での結論が間違っていたらわかる。

英語が堪能な人は「母国語で考えてから英語に直して言う」なんてしないでしょう。

「xの固有関数は、x表示の波動関数」というトンデモ間違いも、
 $\hat{x}\braket{\psi|x}-\lambda\braket{\psi|x}=0$ 
を 
 $\hat{x}\psi^*(x)-\lambda\psi^*(x)=0$   波動関数は固有関数の和で表されるので、
 $\hat{x}f(x)-\lambda f(x)=0$ 
とならないといけないことがわかれば、間違いに気づきました orz
63 coJJyMAN 2017/06/17 (土) 19:41:08 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
なるほど,著者の言っていることを「著者のボキャブラリーで」理解するのではなくて,「自分のボキャブラリー」で理解しようとしているのですね.

でも,それでは,自分の知らない概念などは自分のボキャブラリーには存在するはずがないので理解できないです.
やはり,物理的概念を,どのように数式をつかって定義しているか,これを頭で覚えるのではなくて,面倒でも紙やWEBに書いて,基本事項の整理と簡単な例題を解く作業がとても重要だと思います.

僕だって他人に偉そうなことを言えるほどの人間ではないはずですので,コンパクトにまとまった量子力学の教科書と,最もやさしい演習書を注文して知識の整理をし始めているところです.
64 hirota 2017/06/17 (土) 20:14:56 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
過去のkafukaさんの勉強では正しい知識を得た時も有ったんですよ。
でも何故か見る影も無く変質するんです。
人の記憶は本人が正しいと思う形に自動的に変質して行くものですから、その「正しい」に厳密要素が入ってないと努力が賽の河原になるのは避けられないと思われます。
僕が厳密感覚-「確実に正しい」と「単にもっともらしいだけ」を識別する感覚-を得た方法は証明を追求し続けたからのような気がしますが、これは数学科ならではの方法ですから他の分野ではどうなんでしょうね。
なお、トップダウンの勉強法に問題があるとは思いません。
僕が解析力学を勉強した方法はまさしくトップダウンでしたし、解析力学も電磁気学も相対論も不要と思った所は無視しましたから。
それに、僕の「分かる」も数式じゃなくて「イメージで分かる」だし。
もっとも、イメージから数式導出は容易ですが。
65 kafuka 2017/06/17 (土) 20:43:35 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 21:39 [修正] [削除]
>自分の知らない概念などは自分のボキャブラリーには存在するはずがないので理解できないです
そうです。なので、自分に「追加」するという回り道をしています。

「状態の重ね合わせ」という基本的な概念さえ、
理解するのに、数年を要しました(学生の頃から数えれば30数年w)
ちゃんとわかった(数式で不自由なく書ける)のは、科目履修生になって線形代数を習ったあとです。

自分が見当もつかない概念(僕の場合例えば位相)の場合は、教科書だけで理解するのは、
不可能と思います。
(学生の大半が理解できるような講義録があれば、なんとかなるかも?

これからは、継ぎはぎになっている(穴だらけの)基礎を埋めて、
言葉ではわかったつもりのテーマまで、ボトムアップしようと思っています。
(今が折り返し点)
66 hirota 2017/06/17 (土) 20:57:45 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
位相を一言で言うと「連続関数が定義できる」
連続関数を一言で言うと「開集合の逆像は開集合」
以下、トップダウン…
67 kafuka 2017/06/17 (土) 21:03:47 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 21:42 [修正] [削除]
>正しい知識を得た時も有ったんですよ
6〜7年前の科目履修生の頃でしょうか?
以前、記憶力がなくなったと、ここに書きましたが、その頃から記憶違いが
起きるようになりました。
仕事でも、支障がでるようになりました。

もう、記憶に頼っちゃダメですが、
数式が書ける内(書いた数式の意味がピンとくる内)は、勉強を続けられると思います。
(いつピンとこなくなるかが心配)

位相のアドバイス、ありがとうございます。
でも、おっしゃたことが、位相の定義に行き着くまでには、かなりの数の段階がありそうですね
68 ひゃま 2017/06/18 (日) 05:28:18 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
記憶違いなら、変な情報公開しまくってもいいのでしょうか?

なんかそんな甘さが物理にも出ているような気がします。

ひゃまは、もちろん趣味でもリハビリでも間違ってても、ネットコミュニケーションはしたほうがいいと思います。

69 kafuka 2017/06/18 (日) 11:37:33 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
そりゃ、ダメです。
当然ながら、正しい・合ってると思って、書いています。
指摘されて、やっと間違いに気づくことが多いのは、申し訳ないと思っています。





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