1 kafuka 2015/09/21 (月) 10:31:31 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 20:47 [修正] [削除]
波動関数は、普通 観測できないとされますが、
シュレーディンガ方程式は、波の方程式に似ており、
束縛状態では定常波、非束縛状態では進行波の解があります。
そこで、自由粒子の解を単純に波f(x,t)と考えて、ドップラー効果を計算してみます。
ただし、この解は運動量の固有関数になっており、位置と運動量は交換しないので、
近づく位置、遠ざかる位置というのは意味を成しません。ドップラー効果と同じ計算をしてみるだけです。

自由粒子の波動関数f(x,t)がx軸の正の方へ動いているとすると、
f(x,t)=exp(ikx-iwt)=exp(ik(x-w/kt))
したがって、この「波?」の速度vは、w/k
これを、V1の速度でx軸の正の方へ動く慣性系(x1=x-V1t)から見る?と、
exp(ik(x1+V1t-w/kt))
この慣性系から見た速度をv1 とすると、
v1=w/k−V1
=w1/k1 と置くと、
exp(ik1(x1-w1/k1t))

k=w/v=w1/v1 なので k1=k となり、
w1=k(w/k−V1)=w(1-V1k/w)
=w(v−V1)/v
これは、波源が固定の場合の古典波のドップラー効果に一致します。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/wave/dopp/doppura-2.html

この場合、波長(波数k)は変わらないように見えます。
しかし、f(x,t)は波動関数でもあるので、pf(x,t)=-ih’∂x f(x,t)
という関係があります。
ということは、このf(x,t)の系を上記の慣性系から見ると、
p-mV1=-ih’∂x f(x,t)
=h’k1
のはずで、波数kが変わらないというのでは、矛盾です。

だから、「波動関数は観測できないとする」とも言えますが、
僕は、別の解決策を考えています(xとpが交換しないことを利用)

皆様は、どうお考えでしょうか、ご意見をお聞かせ下さい。
2 とおりすがり 2015/09/21 (月) 14:07:46 ID:JB9yhsvppA [修正] [削除]
ガリレイ変換 :

<tex>\boldsymbol r' = \boldsymbol r - \boldsymbol V t, \quad t' =t</tex>

に対する波動関数の変換則は、シュレーディンガー方程式の共変性から、

<tex>\psi'(\boldsymbol r', t') = \exp\left( -im \boldsymbol V \!\cdot\! \boldsymbol r + \frac{i}{2}\, m |\boldsymbol V|^2 t \right) \psi(\boldsymbol r, t)</tex>

となるでしょう( $\hbar=1$ の単位系を採用)。不変と勝手に決めつけるのはまずいでしょうね。確かにそんな勘違いをネットではよく見かけますが…。
3 kafuka 2015/09/21 (月) 16:11:37 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 20:48 [修正] [削除]
あっ、その点は、誤解していないつもりです。
(exp(ikx-iwt)を古典波の式とすれば、波数kは、k=w/v=w1/v1 なので変わらないです)

ご提示の式ψ’(r,t)から、(h’=1とする単位系)
pψ’(r’,t’)=(-i∂r)ψ’(r’,t’) 
=−mVexp(-imV・r+iV・Vt/2m)ψ(r,t)+exp(-imV・r+iV・Vt/2m)(-i∂r)ψ(r,t) 
自由粒子では、H=p^2/2m だけなので、
=(P0-mV)ψ’(r’,t’)     (元のψ(r,t)のpの固有値をP0とする)
ということは、pの固有値は、P0-mV です。
したがって、波数が、(P0-mV)h’に変わることが言えます(元の波数は P0/h’)
4 kafuka 2015/09/21 (月) 16:50:40 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 21:20 [修正] [削除]
論点は、シュレーディンガ方程式の自由粒子での解は、
角振動数wや波数kが定数なので、古典波の式 のように見える。
古典波の式として、他の慣性系から見ると波数kは変わらない(wは変わる←ドップラー効果)
しかし、シュレーディンガ方程式の解であれば、他の慣性系から見ると、
kは変わる! というパラドックスです。
僕の解答は、
角振動数wや波数kは、E演算子やp演算子の成れの果て?なので、
wやkが定数であっても、シュレーディンガ方程式に戻って 扱わないといけない。
wやkが定数であっても、古典波の式として扱うのは、間違い
というものです。
5 バク 2015/09/21 (月) 21:42:06 ID:K7uZPKFysA [修正] [削除]
ドップラー効果とは座標変換に伴う波の変化になるでしょう
この場合の計算は通常、通りすがりさんのような座標変換で、光のドップラー効果を求めるのと同様に
ψ(x,t)→ψ(x’,t)の変換の変換を求めて(k,ω)の変換則を導くのが通常でしょう。

この形式なら、光の軌道方程式であるアイコナ−ル方程式とつながっており、アイコナ−ル方程式は正準理論でSchrödinger方程式とつながっています。
6 甘泉法師 2015/09/21 (月) 22:01:23 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

文献 https://ocw.kyoto-u.ac.jp/ja/09-faculty-of-engineering-jp/quantum-theory-for-electrical-and-electronic-engineering/pdf/chap11.pdf

11.11 ガリレイ変換 がご疑問の説明に近いでしょうか。


7 kafuka 2015/09/21 (月) 22:34:29 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 22:56 [修正] [削除]
甘泉法師さん
ありがとうございます。
そのものズバリです!

普通は無視される位相因子が、この場合 波数を変えるのですね。
8 kafuka 2015/09/21 (月) 22:55:50 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
バクさん
今の場合のSchrödinger方程式は、非相対論なので、
音のドップラー効果を求めるのと同じでいいと思いますが。

問題は、甘泉法師さんのご紹介の文献の「11.11ガリレイ変換」にある指摘です。
9 バク 2015/09/22 (火) 20:01:15 ID:K7uZPKFysA [修正] [削除]
参考サイトの内容は基本的にはホイヘンスの原理から来るもので、これは第一義的には波数が変化します。じっさいこれを使ってドップラー公式を導くのですが、この結果の式からもガリレイ変換で

ψ〜exp(ik’x’−ωt)

が導かれます。通常の場合、上式からω’を求めればドップラー公式が導出されます。
ただし、光で相対論の場合ならローレンツ変換で一発で出てきますが、ガリレイ変換の場合、速度の合成をはさむ必要があります。
逆ならそれを意識するひっつようがないので、おっしゃるとおり、簡単かも知れません。しかし波動関数を出発点にしている以上、

ψ(x,t)→ψ(x’,t)

で考える必要があルと思います。
10 バク 2015/09/22 (火) 22:00:05 ID:K7uZPKFysA [修正] [削除]
甘泉法師さんが紹介された資料での、ガリレイ変換のところ、記述が間違っていませんか?

まるで、p=mvとかΔE=(1/2)mv^2のような扱いをしていますが、波動関数にvがが入ってくるのは常識として・・・・

確かに経路積分では使いますが、この場合、きちんと正準理論に沿って計算しています。ところがあの資料はそんなことに無頓着に扱っているとか思えない書き方ですね。

量子力学でドップラー効果を扱うのなら、正準理論に則して定式化する必要があると思います。ぱっと思うのはネータの定理で並進運動を扱えばと思います。
他に経路積分もよいと思います。古典力学とつながりやすいですし。mvはさすがにまずいでしょう。
11 coJJyMAN 2015/09/22 (火) 22:37:00 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
結局>>2でとおりすがりさんが言われてた
<tex>\psi'(\boldsymbol r', t') = \exp\left( -im \boldsymbol V \!\cdot\! \boldsymbol r + \frac{i}{2}\, m |\boldsymbol V|^2 t \right) \psi(\boldsymbol r, t)</tex>
でいいんでしょ?
甘泉法師さんが紹介してた北野正雄の「量子力学の基礎」でも同じ式だったんだけど。
(僕はこの教科書、量子力学では一番好きだな。)
12 バク 2015/09/23 (水) 07:49:55 ID:K7uZPKFysA [修正] [削除]
と思います。
あのテキストも同じ式になっていますし
しかしこのままでは使いにくいと思います。
13 coJJyMAN 2015/09/23 (水) 20:43:52 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
波を表わす関数を座標変換するんじゃなくて、波が満たす方程式=波動方程式をガリレイ変換して、変換前の関数と変換後の関数を比較するんだよね。比を求めると言ってもいいかな。

音波の波動方程式と、シュレーディンガー方程式は、式が違うから比も違うことになるけど。

音波と対比するならクラインゴルドン方程式を座標変換したときの解がわかりやすいかな。
その解をコンプトン波長で粗視化すればシュレーディンガー方程式の波動関数になると思う。





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