1 微学生C 2015/08/28 (金) 17:45:48 ID:js1y57HB5s 修正アリ: 09/04 (金) 19:49 [修正] [削除]
>>10,14,19,20がなぜ削除されているのでしょうか、しかも管理人に。

>>10,14,19,20は、私の質問の回答(わかりやすい内容の回答)につなげるためのものだったのでは?(地球の中心の圧力の方も)

どういうことでしょうか?

もはや私の質問は関係ないということですね。
質問を削除しておきます。

2 とおりすがり 2015/08/28 (金) 23:13:14 ID:JB9yhsvppA [修正] [削除]
シュヴァルツシルト解に物質は存在しません。よって圧力は存在しません。また、一般相対論には重力加速度という概念が一般には存在しませんが、弱い重力場におけるそれから無理やり延長して、例えば、

<tex>-\,\frac{d^2r}{d\tau^2} \Big|_{dr=d\theta=d\phi=0}</tex>

で定義すると、これは  $GM/r^2$  となり、 $r=0$  で発散します。

ブラックホールを表すシュヴァルツシルト解やカー解は真空解です。地球など物質がある場合とは考えている状況が異なるので注意してください。
3 ひゃま 2015/08/29 (土) 06:53:44 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>2 とおりすがりさん、こんにちは

>一般相対論には重力加速度という概念が一般には存在しませんが、弱い重力場におけるそれから無理やり延長して

とのことですが、無理やり延長しなければどうやって重力定数を決めるのでしょうか??

一般相対性理論の基礎方程式であるアインシュタイン方程式においても比例係数として重力定数が現れる。

既知の重力加速度と地球の半径から地球の質量そして密度がはじめて求められた。この実験で求められた万有引力定数は 6.74×10−11 m3 kg−1 s−2 であり、現在知られている上記の値と比較しても相当に高精度なものであった。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%87%E6%9C%89%E5%BC%95%E5%8A%9B%E5%AE%9A%E6%95%B0
4 不識庵 2015/08/29 (土) 08:07:35 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>2、とおりすがりさん、

不勉強なのでご教示お願いできればと思います。

非常に高密度な球状の物体があって、その半径が質量から計算されるシュバルツシルト半径よりも十分に小さい場合、この物体もしくは物体周囲の重力場はブラックホールとみなして良いような気がします。

この場合に、物体中心の圧力はどう考えたら良いでしょうか?

>>1の微学生Cさんは、上記のような状況を想定されているような気がするのですが・・・。
5 とおりすがり 2015/08/29 (土) 13:10:30 ID:JB9yhsvppA [修正] [削除]
>>4

シュヴァルツシルト解のような静的な座標において、シュヴァルツシルト半径(事象の地平面)の内側に定常的に物質が存在することはあり得ないのです。もしそのような物質粒子が存在するなら、それはタキオン(固有時が純虚数)ということになってしまいます。

ちなみに高密度な星が重力崩壊してブラックホール化したなら、星の中心付近にあった物質は地平面付近に引き寄せられ、準定常的な状態になります。このとき地平面内部はフラットな真空に漸近します。物質は地平面にのみ球殻状に分布することになります。
6 coJJyMAN 2015/08/29 (土) 14:17:24 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>ちなみに高密度な星が重力崩壊してブラックホール化したなら、星の中心付近にあった物質は地平面付近に引き寄せられ、準定常的な状態になります。
ホント!?知らんかった。。
7 hirota 2015/08/29 (土) 14:22:03 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
外から見れば地平面にペチャンコだが固有距離は増えてる。
圧力はマイナスかな?
8 ひゃま 2015/08/29 (土) 14:23:34 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
こういうのなにいったって、理論内で重力定数求まらなかったら絵に描いたもちくさいよね。

万有引力定数の精度が4桁程度しかないことは、連星パルサーの質量の測定精度などにも影響する。また、ミリメートル以下の範囲でニュートンの万有引力が精度良く確かめられていないことから、小さなスケールでは重力理論の変更を考慮する余地が残されていて、近年、小さなスケールで余剰次元を持つ5次元膜宇宙モデル(ブレーンワールドモデル)が盛んに研究されている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%87%E6%9C%89%E5%BC%95%E5%8A%9B%E5%AE%9A%E6%95%B0
9 不識庵 2015/08/29 (土) 18:21:43 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>5, >>7

ご教示有難うございました。
大変勉強になりました。
10 ********** 2015/08/30 (日) 19:52:04 ID:********** 削除日時: 09/04 (金) 08:38
(管理人によって削除されました)
11 coJJyMAN 2015/08/30 (日) 20:44:54 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
すみません、とおりすがりさん。再度質問させて下さい。
>>5
>ちなみに高密度な星が重力崩壊してブラックホール化したなら、星の中心付近にあった物質は
>地平面付近に引き寄せられ、準定常的な状態になります。
とありますが、シュバルツシルト半径内の物質は中心部の特異点に向けて落下するものだと僕は思っていたのですが、それは間違っているのでしょうか?


12 とおりすがり 2015/08/30 (日) 21:12:33 ID:JB9yhsvppA [修正] [削除]
>>11

粒子の固有時では中心に向けて落下すると考えられますが、この現象を静的な座標の外部時間で考えると中心から地平面に向かう運動になることに注意してください。
13 coJJyMAN 2015/08/30 (日) 22:46:23 ID:JYV.OZw18Y 修正アリ: 09/01 (火) 21:45 [修正] [削除]
>>12
ありがとうございます。勉強しなおしてみます。
(追記)
勉強しなおしてきました。
もともと地平面にあった物質が中心に落下するときの運動を外部から観測すれば、中心から地平面に遡ってきているようになりますが、地平面より中心に近い地点から運動を始めた物質を考えた時に、外部の座標系では過去に遡ろうと、未来に進もうと、半径は減少する方向に軌跡が描かれます。したがって、物体が地平面の高さまで登ってくるようには、外部の座標系から見えることはないです。
(追追記)
前言撤回します。すいません、とおりすがりさんの言われる通りのようです。
引き続き勉強します。
14 ********** 2015/09/03 (木) 10:24:51 ID:********** 削除日時: 09/04 (金) 08:38
(管理人によって削除されました)
15 大学生A 2015/09/03 (木) 12:02:18 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
各局所系での質量密度が均一であるという条件を保ちながら重力崩壊すれば、
中心点が先に、

g00 = 0

となるが、実際には「時間の遅れ」で、質量密度の変化が中心側ほどより緩慢になるので、
球殻状に偏った密度分布を形成しながら収縮し続けて、最初に地表面が、

g00 = 0, g11 = ∞ ← (シュバルツシルド外部解に従えば、二つの現象は同時)

となるってことか?
16 とおりすがり 2015/09/03 (木) 16:57:41 ID:JB9yhsvppA [修正] [削除]
>>15

そういうことです。そして地平面ができるまでには無限の時間を要します。言い換えれば地平面は永遠に現れないわけです。一方、この間にシュヴァルツシルト半径の内部の計量は、

<tex>g_{00} = 0, \quad g_{11} = -1</tex>

に時間的に漸近するはずです。例えばシュヴァルツシルト半径付近を線形に繋げる正則化を採用すると、その付近の質量密度と圧力は、それぞれ、

<tex>\rho = \frac{3}{8\pi Ga^2}, \quad P = \frac{1}{8\pi Ga^2}</tex>

に漸近することが確かめられます。 $a$ はシュヴァルツシルト半径です。 $c=1$ とする自然単位系を用いています。ただしこれら値は正則化の方法に敏感に依存するため、あまり信用できるものではないかもしれません。正確な収束値を得るためには複雑な非線形偏微分方程式を解かなければならないでしょう。

ちなみに、物質が面内に押し込められるにも関わらず、局所ローレンツ座標における質量密度や圧力が有限に留まるのは、hirota さんがコメントされているように、空間計量がシュヴァルツシルト半径付近で発散に向かうからです。
17 hirota 2015/09/03 (木) 19:06:40 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
圧力は物質に依存しないの?
18 とおりすがり 2015/09/03 (木) 19:42:17 ID:JB9yhsvppA [修正] [削除]
>>17

無限未来の漸近的状態では依存しないです。ただしよくやるように物質を流体と仮定しています。計量場が定まればアインシュタイン方程式から $\rho$ と $P$ が勝手に決まってしまうことに注意してください。また、先の結果はあくまで線形正則化を仮定した場合の一例で、すでに書いたように漸近状態の地平面付近は極めて特異であるため、この仮定が正しくない可能性も大いにあり得ます。漸近的に $g_{00}$ は連続だが微分不可能、 $g_{11}$ は不連続になります。
19 ********** 2015/09/03 (木) 20:29:03 ID:********** 削除日時: 09/04 (金) 07:57
(投稿者によって削除されました)
20 ********** 2015/09/03 (木) 21:45:07 ID:********** 削除日時: 09/04 (金) 08:38
(管理人によって削除されました)
21 hirota 2015/09/03 (木) 22:47:58 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>18
質量が太陽の2倍程度のブラックホールなら
M=4×10^30 kg, G=6.7×10^(-11) m^3/kg・s^2, c=3×10^8 m/s=1
a=2GM=6×10^3 m, P=1/(8π G a^2)=1.3×10^35 Pa
なので、中性子星中心の圧力は 10^34 Pa くらいだから原子核もない一様流体ですね。
でも巨大ブラックホールだと原子核が潰れず一様でないから、主成分が鉄だと外部は0にもなって原子核内の高圧と斑模様でしょう。
22 とおりすがり 2015/09/04 (金) 02:50:56 ID:JB9yhsvppA [修正] [削除]
>>21
流体近似が妥当でない場合は話が違ってくるでしょうね。

温度  $T$  における輻射(相対論的粒子)のエネルギー密度は、その内部自由度を  $n$  として、

<tex>\rho \sim \frac{n\pi^2}{30}\, T^4</tex>

ですから、これと連立して、

<tex>T \sim n^{-1/4} \, T_0, \quad T_0 = \left( \frac{45}{16\pi^3 G^3 M^2} \right)^{1/4}</tex>

太陽のような主系列星で  $T_0 \sim {\rm GeV}$ . これはQCD転移くらいの温度で、物質(バリオン)はクォークとグルーオンのスープになります。一方、我々の銀河(巨大ブラックホール)で  $T_0 \sim {\rm keV}$ . これは電離温度と原子核合成の間くらいで、物質は原子核がむき出しのプラズマで、非相対論的粒子( $m \gg T$ )になっています。しかしこのとき我々の宇宙においては輻射が優勢になると思われます。つまりこの場合の  $\rho$  は主に輻射のエネルギー密度で、物質の寄与はダークマターを含めゴミ程度の量しかない、と考えられるでしょう。
23 hirota 2015/09/04 (金) 11:48:32 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
外から見たブラックホールは止まってるが、中身はビッグバンに戻ってるのは面白い!
24 coJJyMAN 2015/09/04 (金) 12:34:05 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
中身はフリードマンモデルの輻射優勢解でビッグクランチに向かう感じでしょうか?
25 とおりすがり 2015/09/04 (金) 17:14:26 ID:JB9yhsvppA [修正] [削除]
巨大ブラックホールの地平面付近が輻射優勢になる、というのはちょっと微妙でした。銀河の重力崩壊を考えているので特にCDMやバリオンが多い領域で、物質優勢になる可能性もありそうです。この陳述は撤回します。

>>24
量子効果としてのブラックホール蒸発が本当にあるなら、確かにビッグクランチで終わる感じになるのかもしれませんね。外の世界ではじわじわ起こる蒸発も、中の世界ではあっという間でしょう。これもビッグクランチに似ていますね。
26 とおりすがりくん 2016/09/07 (水) 13:40:48 ID:zH9CIQBh5k [修正] [削除]
万物の方程式は楕円に隠されているのではと考えています。





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