1 遠藤研二 2015/07/13 (月) 09:21:05 ID:QTUqNJw8UA [修正] [削除]
2つの荷電粒子がともに+に帯電していれば反撥しあいます。観察者の私が後ずさりすると、相対的に両電荷が私から走り去ることになり、ともに遠ざかる方向に流れる電流と見立ててよいことになります。ところで、同一方向に流れる電流は引き合いますね。あれあれ、見方を変えただけで反発しあっていたものが引き合うことになるのでしょうか? この疑問、高名な方々におたずねしたのですが、ロクな回答をいただけておりません。
2 namuny 2015/07/13 (月) 11:37:00 ID:csvIgUzAWQ [修正] [削除]
素人ですが、こういう回答はいかがでしょうか。

磁場とは電界の相対論的効果によるものというものだそうです。
問題の、これらの荷電粒子の相対速度は0です。したがって、これらの電荷は引き合いません。

ではなぜ電流の流れる配線が引き合うかと言えば、電流とは電子の流れであると同時に逆方向に流れる正孔の流れでもあるからです。
相対速度を持つ電子と正孔がそれぞれの作る磁場に寄り引き合うため
並行した電流の流れる配線は引き合うと理解できます。
3 hirota 2015/07/13 (月) 11:42:15 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
高名な方って誰?
どんな回答?
4 甘泉法師 2015/07/13 (月) 11:45:10 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

ロクな考察をしている例として ファインマンの

13–6The relativity of magnetic and electric fields
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_13.html#Ch13-S6

をご紹介します。 
---
電流が流れる電線に並行して電流と逆向きに(=マイナス電流と同じ向きに)電子が走っている。電子は電流のつくる磁場で電線向きの力を受ける。
電子と同じ速度で動く系に乗れば、電子は静止する。 磁場は力を及ぼさないが電子は電線向きの力を受けるだろうか。
系をかわっただけで電子に電線向きの力が働いたり働かなかったりするのだろうか。
---
5 ひゃま 2015/07/13 (月) 12:40:41 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 13:52 [修正] [削除]
Hrotaくんておもしろいね、悪気はなくてもそういうとこ気になってしかたないんだろうな、普通一般常識としては聞き流すとこなんだけどw

まあ、電車と一緒になって動くと、線路の方が動いてるみたいな慣性の法則みたいな
だから線路と電車は相対速度があることを前提にしておいて、電車と一緒になって動くということを付け足してるだけですね。

ひゃまも高明な先生がなにいったのか、気になります。
差し支えなければ教えてください。
6 迷惑防止条例 2015/07/13 (月) 15:17:00 ID:.fRxfq8wzM [修正] [削除]
>>2
本当に素人だな
はた迷惑だから回答するな
7 namuny 2015/07/13 (月) 16:08:48 ID:csvIgUzAWQ [修正] [削除]
>迷惑防止条例さま

そうおっしゃられるということは明快な回答をお持ちとお見受けしますので
是非とも御教授ください。よろしくお願いします。
8 EMAN 2015/07/13 (月) 16:45:17 ID:UKC.BNkKEk [修正] [削除]
これは相対論で説明できるのですが、
前提のイメージをはっきりさせておかないと
とんでもない結論になったりするのです。

まず、二つの同種の電荷が離れて存在する、というのをイメージしますが、
当然、何の支えもなければ勝手に反発して運動を始めてしまいます。
だから静止した電荷をイメージして考えるわけにはいきません。

電荷が移動することで電流になるということから、
静止した電線の上にある電子をイメージするかも知れませんが、
これを遠ざかりながら観察するとき、
金属の正の電荷も同方向に一緒になって移動しますから、
電流が発生したことにもなりません。

この辺りを気をつけて議論すべきです。
9 hirota 2015/07/13 (月) 16:46:56 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>4
それって帯電してない電線だから、始めから反発力無いじゃない。

>>6
どっちかというと、雰囲気を悪くされる方が迷惑。
10 甘泉法師 2015/07/13 (月) 17:22:38 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>9

まったく同じ設定でないのはそのとおりです。

慣性系を移ると磁場からの力があったりなかったりすることをどう観るかについて出題者に興味を持っていただけるのでないかと思い紹介した次第です。


11 ナマステ 2015/07/13 (月) 22:59:16 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
静止系でのクーロン力によって電荷が動く速度よりも、相対論的効果によって電荷の動きは遅くなるはずです。
そのためには、むしろクーロン力だけしかないとしたら電荷の運動は静止系と変わらないことになってしまうので、何かしらクーロン力を弱める力があると相対論からは予測できるわけで、それがちょうどローレンツ力になるという事になるかと思います。
12 サンマヤ 2015/07/14 (火) 00:43:31 ID:p9sSs48hHk [修正] [削除]
「高名な方々からはロクな解答をいただけていない」、
という言い方は、印象操作をして別の意図があるんじゃないかと思われます。

実際、専門家と言われる人たちに質問しても分からないという経験をされて、
色々と思うところがおありなのかもしれませんが、
言い方というのがあるのでは、と思います。

この問題への解答を書くひまはないので、参考文献を挙げておきます。
太田浩一「電磁気学 I・II」
江沢洋「相対性理論」
が、最近の本では割りとまじめにこういった問題を扱っていると思います。

ポイントは、観測者の運動によって電場・磁場もローレンツ変換を受ける、
ということだと思います。
13 coJJyMAN 2015/07/14 (火) 00:50:08 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
問題が提出されたなら、まず答えを考えてみるべきと思うんだが。。
>2つの荷電粒子がともに+に帯電していれば反撥しあいます。観察者の私が後ずさりすると、相対的に両電荷が私から走り去ることになり、
この部分で問題は解決されており、答えは「反撥」。
要するに、2つの粒子はそれぞれ、観測者から斜めに遠ざかってゆく。

続く文章は、問題の解決に必要かどうかは読み手の判断に委ねられると考える。
>ともに遠ざかる方向に流れる電流と見立ててよいことになります。
これを電流と見立ててよいかどうかは疑問。出題者のイメージが不明確。
ここは「運動する荷電粒子」の描像で捉えるのが素直だと思う。
>ところで、同一方向に流れる電流は引き合いますね。
2本の並行な導体を電流が同一方向に流れる時、導体が引き合うことは、今回の問題を考えるにはあまり関係のない事柄。

2つの荷電粒子の離れてゆく運動の細かいことを調べたければ、観測者系で磁場とローレンツ力を計算するよりも、2粒子系でクーロン力だけでの運動を解析し、その後、観測者系に座標変換するのが吉。
14 hirota 2015/07/14 (火) 00:59:51 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
運動する荷電粒子は電流と思って良い。
2本の電流に働く力と同じ。
15 coJJyMAN 2015/07/14 (火) 01:10:19 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
hirotaさん、それは言いすぎだと思うよ。。
磁場の形が違うからね。「2本の電流に働く力と同じ。」とは言えない。
16 ひゃま 2015/07/14 (火) 02:54:31 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
静電場を前提にしてるのに、観察者の私が後ずさりすると、なぜ加速もされてない電荷が流れるんですか?

高名な方々はなんとおっしゃってました?
17 迷惑防止条例 2015/07/14 (火) 07:07:43 ID:.fRxfq8wzM [修正] [削除]
>>7
結局そういう質問になるだろ?
だからはた迷惑なんだ
運動したからといって電場すべてが磁場になるわけじゃない
というか両者のオーダーくらい比較しろ

>>9
申し訳ない
18 不識庵 2015/07/14 (火) 07:24:48 ID:Zwp4rt4wek 修正アリ: 21:30 [修正] [削除]
高名な方々がなんと仰ったかは、私も興味があります。

さて本件、等速運動をする点電荷の周りの電磁場を実際に計算してみてはどうかと思います。

こちらの大家さんも計算されておられますし、

http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/const_vel.html

内山龍雄先生の、これも高名な「相対性理論」にも同じ計算が載っています。

電荷qの2個の点電荷が、点電荷を結ぶ線分に垂直な方向に速度vで飛んでいたとします。片方の点電荷がもう片方の点電荷の位置に作る電場をEとすると、その位置の磁束密度はv×E/c^2になるようです。(×はベクトルの外積です。)
もう片方の点電荷も速度vで飛んでいる訳ですから、磁場によって作用する力はqv×(v×E/c^2)=-q(v/c)^2・Eとなります。
2個の点電荷の間には電気的な反発力qEが働きます。
磁気的な力はこれと反対向きですから、2本の電流の時と同じように、磁気的な引力が作用する事になると思います。

ただ、通常の場合、(v/c)^2<1ですので、引力は反発力よりも常に小さく、引力が反発力と入れ替わるところまでは行かないのだと思います。
>>11 ナマステさんの仰っている事と同じだと思いますが。


19 甘泉法師 2015/07/14 (火) 07:33:40 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

もっと簡単な場合ですが

帯電した無限に長い棒が2本平行に静止している。 クーロン反発力で運動がはじまる。

棒が長さ方向に運動する慣性系に移ると電流による磁場で引力がはたらく。電荷密度の上昇でクーロン反発力は増す。都合、静止系と同じく反発力で運動がはじまる。

20 甘泉法師 2015/07/14 (火) 07:44:52 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 14:55 [修正] [削除]
こんにちは。

棒でなくて点どうしだとリエナールヴィーヒェルトポテンシャルで相手の昔の居所からの寄与が増えることが 棒での電荷密度の増と対応するのだろうと大雑把に考えます。 分身の術。
21 ghsobo 2015/07/14 (火) 08:39:15 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
回答得られなかったのは静止系での点電荷の電場や電位が運動するとどのような変化するのか
けっこう難儀です。それに質問者の「観察者の私が後ずさりする」という表現も回答者からすると
加速度運動か、と思われたかもしれません。その言い方を
二つの電荷の中心(重心)を原点とする座標系を等速直線運動する観測者の座標系から見ると
どのようになるかと。
22 namuny 2015/07/14 (火) 09:06:59 ID:csvIgUzAWQ [修正] [削除]
これは

2本の並行した配線中を同じ速度(同じ断面積、同じ電流量)で電流が流れる状態(互いの磁場に寄る引力を受ける)と
配線中の代わりに真空中で上の並行した配線と同じ間隔に固定された荷電粒子が上記配線中と同じ速度で直線運動する状態(互いの磁場に寄る引力を受けない)との本質的な違いは何か

という問題だと思うのですが。

外部の観察者の運動によって見える見かけの力(ローレンツ収縮による反発する粒子の飛行の加速度低下)と配線に実際にかかっている引力を混同するのはおかしくないですか?
23 ひゃま 2015/07/14 (火) 14:54:03 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 15:56 [修正] [削除]
以下は線状帯電体をx方向に速さvで移動させてるから一見似てるけど
http://s3.myopenarchive.org/season1_doc_org/896.pdf#search='%E3%82%AF%E3%83%BC%E3%83%AD%E3%83%B3%E5%8A%9B+%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E5%8A%9B+%E6%94%BE%E9%80%81%E5%A4%A7%E5%AD%A6'

この質問は双子パラドックスの地球側が電荷対に置き換わってるだけで、加速もされてないのに、なぜ高名な方がロクな回答ができないのだろうだけ疑問が残ります。
だから興味の中心は、高名な方々のロクでもない回答パラドックスになってますw

普通に考えれば、質問の仕方が悪かったんじゃないんですか?
24 coJJyMAN 2015/07/14 (火) 23:54:10 ID:JYV.OZw18Y 修正アリ: 07/16 (木) 21:58 [修正] [削除]
計算してみました。
座標のローレンツ変換が
 $x'= \gamma  \left(x- \beta w\right) $ 
 $y'=y$ 
 $z'=z$ 
 $w'= \gamma  \left(- \beta x+w\right) $ 
ただし、
<tex> \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1- \beta  ^{2} } } , \beta = \frac{V}{c} ,w=ct</tex>
のとき、電磁場のローレンツ変換は
 ${E_x}'=E_x$ 
 ${E_y}'=\gamma (E_y -V B_z)$ 
 ${E_z}'=\gamma (E_z +V B_y)$ 
 ${B_x}'=B_x$ 
<tex>{B_y}'=\gamma (B_y +\frac{V}{c^2} E_z)</tex>
<tex>{B_z}'=\gamma (B_z -\frac{V}{c^2} E_y)</tex>
です。(符号が合ってるか不安だけど)

xy平面上の運動で考えて、2粒子はともにy軸上にあり、例えば+y,-yの場所で+v,-vの速度にあるとします。
y軸上に磁場の成分はなく、また、対称性により電場はy成分だけなので
この座標系でのローレンツ力 $F=q(E+v \times B)$ は
 $F_x=0$ 
 $F_y=qE_y$ 
ここで
<tex>E_y=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{4y^2}</tex>

これをx軸上を速度Vで遠ざかる観測者の座標系、すなわちx'y'平面で見るとどうなるかですね。

電磁場は
 ${E_x}'=0$ 
 ${E_y}'=\gamma E_y $ 
 ${E_z}'=0$ 
 ${B_x}'=0$ 
 ${B_y}'=0$ 
<tex>{B_z}'=-\gamma \frac{V}{c^2} E_y</tex>
粒子の速度は、+yの場所の粒子について
 ${v_x}'=-V$ 
<tex>{v_y}'=\frac{v}{\gamma}</tex>
です。

x'y'平面でのローレンツ力は
<tex>{F_x}'&=q({E_x}'+{v_y}'{B_z}'-{v_z}'{B_y}')=q{v_y}'{B_z}' \\&=-q \frac{v}{\gamma}\gamma \frac{V}{c^2} E_y \\&=-q v \frac{V}{c^2} E_y</tex>
<tex>{F_y}'&=q({E_y}'+{v_z}'{B_x}'-{v_x}'{B_z}')=q({E_y}'-{v_x}'{B_z}' )\\&=q \left( \gamma E_y -\left( -V \right) \left( -\gamma \frac{V}{c^2} E_y \right) \right) \\&=q \left( \gamma E_y -  \gamma \frac{V^2}{c^2} E_y \right) \\&=q  \gamma E_y \left( 1-\frac{V^2}{c^2} \right) \\&=q  E_y \sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} \\&=\frac{1}{\gamma} q E_y  \\</tex>
と求められる。

y軸方向の加速運動をx軸でローレンツ変換して見ると、
こんなふうに力が働いているように見えるのかぁ〜。。
25 namuny 2015/07/15 (水) 08:18:53 ID:csvIgUzAWQ [修正] [削除]
>ナマステさま

>静止系でのクーロン力によって電荷が動く速度よりも、相対論的効果によって電荷の動きは遅くなるはずです。
>そのためには、むしろクーロン力だけしかないとしたら電荷の運動は静止系と変わらないことになってしまう

動きが遅くなるのは、磁気による影響ではなく(横)質量が増えるからではないのでしょうか?電荷ではなくばねの力で単振動していたとしても振動速度は遅くなって見えるはずですし。
26 ジャンボ 2015/07/15 (水) 12:40:33 ID:DEiW4yeywY [修正] [削除]
横からですが、

>>25
>動きが遅くなるのは、磁気による影響ではなく(横)質量が増えるからではないのでしょうか?
>電荷ではなくばねの力で単振動していたとしても振動速度は遅くなって見えるはずですし。

それだけでは不十分です。
単振動の周期を計算してみて下さい。
いわゆる「時計の遅れ」と矛盾すること、つまりは「特殊相対性原理」に反することが分かります。
質量だけを変えれば良いという話ではないのです。
27 hirota 2015/07/15 (水) 19:15:24 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
座標を $(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,{\bf x}),\,x=|{\bf x}|$ として、原点に電荷Qがある場合の電場,磁場(Gauss単位系)は
<tex>{\bf E}=\begin{pmatrix}E_1\\E_2\\E_3\end{pmatrix}=\frac{\bf x}{x}\frac{Q}{x^2},\,{\bf H}=\begin{pmatrix}H_1\\H_2\\H_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}</tex>
電磁場テンソルと計量は
<tex>(F_{ij})=\begin{pmatrix}F_{00}&F_{01}&F_{02}&F_{03}\\F_{10}&F_{11}&F_{12}&F_{13}\\F_{20}&F_{21}&F_{22}&F_{23}\\F_{30}&F_{31}&F_{32}&F_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-E_1&-E_2&-E_3\\E_1&0&H_3&-H_2\\E_2&-H_3&0&H_1\\E_3&H_2&-H_1&0\end{pmatrix}</tex>
<tex>(F^{ij})=\begin{pmatrix}0&E_1&E_2&E_3\\-E_1&0&H_3&-H_2\\-E_2&-H_3&0&H_1\\-E_3&H_2&-H_1&0\end{pmatrix},\,(g_{ij})=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</tex>
位置 ${\bf x}$ にも質量mの静止電荷qがあれば働く力は
<tex>m\frac{d^2\bf x}{dt^2}=q{\bf E}=\frac{\bf x}{x}\frac{qQ}{x^2}</tex>
次に速度 ${\bf v}$ で動く座標を $(x^{*0},{\bf x}^*)$ とするとローレンツ変換は
<tex>\begin{pmatrix}x^0\\{\bf x}\end{pmatrix}=L({\bf v})\!\!\begin{pmatrix}x^{*0}\\{\bf x}^*\end{pmatrix},\,L({\bf v})=\left(\frac{\partial x^i}{\partial x^{*j}}\right)=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\frac{{\bf v}^T}{c}\\\gamma\frac{{\bf v}}{c}&1_3+(\gamma-1)\frac{{\bf v}{\bf v}^T}{v^2}\end{pmatrix},\,\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\,v=|{\bf v}|</tex>
電磁場の変換は
<tex>(F^{*ij})=(\frac{\partial x^{*i}}{\partial x^k}\frac{\partial x^{*j}}{\partial x^n}F^{kn})=(\frac{\partial x^{*i}}{\partial x^k})(F^{kn})(\frac{\partial x^{*j}}{\partial x^n})=L(-{\bf v})(F^{kn})L(-{\bf v})^T=L(-{\bf v})(F^{kn})L(-{\bf v})</tex>
だから、 ${\bf x}=(x,0,0),\,{\bf v}=(0,-v,0)$ とすると
<tex>\begin{pmatrix}E_1\\E_2\\E_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\!\!\frac{Q}{x^2}\,,\,(F^{ij})=\frac{Q}{x^2}\!\!\begin{pmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\!,\,L(-{\bf v})=\!\begin{pmatrix}\gamma&0&\gamma v/c&0\\0&1&0&0\\\gamma v/c&0&\gamma&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</tex>
<tex>(F^{*ij})&=\frac{Q}{x^2}\!\!\begin{pmatrix}\gamma&0&\gamma v/c&0\\0&1&0&0\\\gamma v/c&0&\gamma&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\!\!\!\!\begin{pmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\!\!\!\!\begin{pmatrix}\gamma&0&\gamma v/c&0\\0&1&0&0\\\gamma v/c&0&\gamma&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\\&=\frac{Q}{x^2}\!\!\begin{pmatrix}0&\gamma&0&0\\-\gamma&0&-\gamma v/c&0\\0&\gamma v/c&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix},\,{\bf E}^*=\frac{Q}{x^2}\!\!\begin{pmatrix}\gamma\\0\\0\end{pmatrix},\,{\bf H}^*=\frac{Q}{x^2}\!\!\begin{pmatrix}0\\0\\-\gamma v/c\end{pmatrix}</tex>
となる。
電荷Qは動座標では速度 $-{\bf v}=(0,v,0)$ で動いているので、この電流による ${\bf x}^*=(x,0,0)$ 点の磁場が ${\bf H}^*$ である。
電荷qの速度も $\dot{\bf x}^*=-{\bf v}=(0,v,0)$ なので電磁場による力(4元力)は
<tex>m c^2\frac{d u^{*i}}{ds}=q F^{*ij}g_{jk}\,u^{*k}</tex>
ただし $ds$ は固有時, $u^{*i}$ は固有速度で
<tex>ds^2=-g_{ij}d x^{*i}d x^{*j}=\left(\!\frac{c\,dt^*}{\gamma}\!\right)^{\!\!2}\!,\,(u^{*i})=\left(\!\frac{d x^{*i}}{ds}\!\right)=\begin{pmatrix}1\\\dot{\bf x}^*/c\end{pmatrix}\!\gamma=\begin{pmatrix}1\\0\\v/c\\0\end{pmatrix}\!\gamma</tex>
4元力を3次元で見るには
<tex>1_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}</tex>
として
<tex>\dot\gamma=\frac{d}{dt^*}\frac{1}{\sqrt{1-(|\dot{\bf x}^*|/c)^2}}=\frac{\gamma^3}{c^2}\dot{\bf x}^{*T}\ddot{\bf x}^*</tex>
<tex>\left(\!\frac{d u^{*i}}{ds}\!\right)&=\frac{dt^*}{ds}\frac{d}{dt^*}(u^{*i})=\frac{\gamma}{c}\frac{d}{dt^*}(\begin{pmatrix}1\\\dot{\bf x}^*/c\end{pmatrix}\!\gamma)=\frac{\gamma}{c}(\begin{pmatrix}0\\\ddot{\bf x}^*/c\end{pmatrix}\!\gamma+\begin{pmatrix}1\\\dot{\bf x}^*/c\end{pmatrix}\!\dot\gamma)\\&=\frac{\gamma^2}{c^2}(\begin{pmatrix}0\\1_3\end{pmatrix}\!+\begin{pmatrix}1\\\dot{\bf x}^*/c\end{pmatrix}\!\gamma^2\,\dot{\bf x}^{*T}\!\!/c)\ddot{\bf x}^*=\frac{\gamma^2}{c^2}\!\begin{pmatrix}0&\gamma^2v/c&0\\1&0&0\\0&\gamma^2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!\ddot{\bf x}^*</tex>
<tex>m c^2\!\left(\!\frac{d u^{*i}}{ds}\!\right)\!=m\gamma^2\!\begin{pmatrix}0&\gamma^2v/c&0\\1&0&0\\0&\gamma^2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!\ddot{\bf x}^*</tex>
<tex>=q(F^{*ij})(g_{jk})(u^{*k})=\frac{qQ}{x^2}\!\!\begin{pmatrix}0&\gamma&0&0\\-\gamma&0&-\gamma v/c&0\\0&\gamma v/c&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\!\!\!\!\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\!\!\!\!\begin{pmatrix}1\\0\\v/c\\0\end{pmatrix}\!\gamma=\frac{qQ}{x^2}\!\!\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}</tex>
<tex>\therefore\ m\,\ddot{\bf x}^*\!=m\frac{d^2{\bf x}^*}{dt^{*2}}=\frac{qQ}{x^2\gamma^2}\!\!\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</tex>
である。
これは静止電荷の場合と比べると $1/\gamma^2$ になってるが、時間2階微分による時間伸長効果である。
なお、普通にローレンツ力を求めると
<tex>m\frac{d^2{\bf x}^*}{dt^{*2}}=q({\bf E}^*+{\bf H}^*\times{\bf v}/c)=\frac{qQ}{x^2}(\begin{pmatrix}\gamma\\0\\0\end{pmatrix}\!\!-\!\!\begin{pmatrix}0\\0\\-\gamma v/c\end{pmatrix}\!\!\times\!\!\begin{pmatrix}0\\v/c\\0\end{pmatrix})=\frac{qQ}{x^2\gamma}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</tex>
となって間違いになる。
結局、説明としては電流としての引力も発生するが電場も強くなって反発力の方が強いままであり、そこに時間伸長で弱くなる効果も加わると言ったところか。
電場が強くなるってなんでかね?ローレンツ短縮で電気力線が密集すると思えばいいのかな。
しかし、練習問題レベルとは言え数式環境が無けりゃ答える気にはなれん問題。
もちろん、高名な方に聞いたなんて最初から信じてないが。
28 甘泉法師 2015/07/15 (水) 21:37:59 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>27 電場が強くなるってなんでかね?

数学からは、 $F^{ij}F_{ij}$ がスカラーだから、と存じます。
29 coJJyMAN 2015/07/15 (水) 21:53:17 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
なるほど〜。
<tex>f ^{ \mu } =m \frac{du ^{ \mu } }{d \tau } =F ^{ \mu  \rho } g _{ \rho  \nu } u ^{ \nu } </tex>
から解くんですね。
>これは静止電荷の場合と比べると  $1/\gamma^2$  になってるが、時間2階微分による時間伸長効果である。
そっかぁ〜。。 $1/\gamma$ じゃなくて $1/\gamma^2$ になるんだ。
coJJyMANもまだまだ修行が足りないな。(←教科書開いてなかったし。)
30 甘泉法師 2015/07/15 (水) 21:58:30 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 07/16 (木) 07:39 [修正] [削除]
こんにちは。

>>28
物理としては リエナールヴィーヘルトポテンシャルのEMANさんの説明 http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/retarded.html
ではどうでしょうか。

div E = ρ/ε0 の右辺のρはデルタ関数ですが、ローレンツ収縮の逆数倍になるので左辺のEもふえる と解しました。
31 coJJyMAN 2015/07/17 (金) 00:54:26 ID:JYV.OZw18Y 修正アリ: 2016/10/10 (月) 22:12 [修正] [削除]
coJJyMANは、お勉強してきました。(注意!途中から間違っています!!)
ローレンツ力 $\Vec{F}=q(\Vec{E}+\Vec{v} \times \Vec{B})$ の $\Vec{F}$ は
運動の法則
<tex>\Vec{F}=\dif{\Vec{p}}{t} \ ,\  \Vec{p}=m\Vec{v}=\frac{m_0 \Vec{v}}{\sqrt{1-\frac{\Vec{v}^2}{c^2}}}</tex>
の $\Vec{F}$ なので、
<tex>m_0\dif{\Vec{v}}{t}=q(\Vec{E}+\Vec{v} \times \Vec{B})</tex>
ということにはなりません。

<tex>\dif{\Vec{p}}{t}&=\dif{(m\Vec{v})}{t}=m\dif{\Vec{v}}{t}+\dif{m}{t}\Vec{v}=m\dif{\Vec{v}}{t}+\frac{1}{c^2} \dif{E}{t}\Vec{v} \\&=m\dif{\Vec{v}}{t}+\left( \frac{\Vec{F} \cdot \Vec{v} }{c^2} \right) \Vec{v}</tex>
ですので、粒子の運動の方程式は一般的に
<tex>m\dif{\Vec{v}}{t}=\Vec{F}-\left( \frac{\Vec{F}\cdot \Vec{v}}{c^2} \right) \Vec{v}</tex>
となります。(C.メラー:相対性理論)
ただし、
<tex>m=\frac{m_0 }{\sqrt{1-\frac{\Vec{v}^2}{c^2}}}</tex>
です。

今回のローレンツ力の場合、方程式の右辺は
<tex>q(\Vec{E}+\Vec{v} \times \Vec{B})-\left( \frac{q\Vec{E}\cdot \Vec{v}}{c^2} \right) \Vec{v}</tex>
となりますが、
<tex>\gamma=\frac{1 }{\sqrt{1-\frac{\Vec{v}^2}{c^2}}}</tex>
とおいて方程式を書き直せば
<tex>m_0\dif{\Vec{v}}{t}=\frac{1}{\gamma}\left(q(\Vec{E}+\Vec{v} \times \Vec{B})-\left( \frac{q\Vec{E}\cdot \Vec{v}}{c^2} \right) \Vec{v}\right)</tex>
が得られます。

hirotaさんの>>27の設定の場合 $\Vec{E}\cdot \Vec{v}=0$ なので、その時は簡単に
<tex>m_0\dif{\Vec{v}}{t}=\frac{1}{\gamma}q(\Vec{E}+\Vec{v} \times \Vec{B})</tex>
とおくことができます。

僕の>>24を改めて考察すると、x'y'座標系での
<tex>q(\Vec{E}'+\Vec{v}' \times \Vec{B}')-\left( \frac{q\Vec{E}'\cdot \Vec{v}'}{c^2} \right) \Vec{v}'</tex>
という量のx成分は
<tex>&q({E_x}'+{v_y}'{B_z}'-{v_z}'{B_y}')-\left( \frac{q{E_y}'\cdot {v_y}'}{c^2} \right) {v_x}'=q{v_y}'{B_z}' -\left( \frac{q{E_y}\cdot v}{c^2} \right) {v_x}'\\&=-q \frac{v}{\gamma}\gamma \frac{V}{c^2} E_y -\left( \frac{q{E_y}\cdot v}{c^2} \right) (-V) \\&=-q v \frac{V}{c^2} E_y+ \frac{q{E_y}\cdot v}{c^2} V=0</tex>
(よかった。。)
一方y成分は
ーーーー以下の式展開は間違いです!γの計算が違います!ーーーー
<tex>&q({E_y}'+{v_z}'{B_x}'-{v_x}'{B_z}')-\left( \frac{q{E_y}'{v_y}'}{c^2} \right) {v_y}'=q({E_y}'-{v_x}'{B_z}' )- q{E_y}'\frac{ {v_y}'^2}{c^2} \\&=q \left( \gamma E_y -  \gamma \frac{V^2}{c^2} E_y  -\gamma E_y \frac{ {v_y}'^2}{c^2} \right) \\&=q  \gamma E_y \left( 1-\frac{V^2}{c^2}  -\frac{ {v_y}'^2}{c^2}\right) \\  &=q  \gamma E_y \left( 1-\frac{v'^2}{c^2}  \right) \\ &=q  E_y \frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}  \left( 1-\frac{v'^2}{c^2} \right)</tex>
これが
<tex>m\dif{v_y'}{t'}</tex>
に等しいので、方程式は
<tex>m_0\dif{v_y'}{t'}&=q  E_y \frac{1 }{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} {\left( 1-\frac{v'^2}{c^2} \right) }^{3/2}\\&=q  E_y \frac{ 1 }{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{ \left( 1-\frac{V^2}{c^2}  -\frac{ {v_y}'^2}{c^2} \right)}^{3/2} \\&=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}  \frac{1 }{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\frac{q^2}{4{y'}^2}  { \left( 1-\frac{V^2}{c^2}  -\frac{ {v_y}'^2}{c^2} \right)}^{3/2}</tex>
となります。(考察終わり)
32 甘泉法師 2015/07/18 (土) 07:56:44 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 09:14 [修正] [削除]
こんにちは。

>>27 ローレンツ短縮で電気力線が密集すると思えばいいのかな。

御意。 面を貫く電気力線の本数密度 が電場ですが、
固有静止系での正方形の単位面は、運動系では一辺がローレンツ収縮しているため係数  $\sqrt{1-v^2/c^2}<1 $ だけ小さいので密度は、つまり電場は $\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}>1$ 倍 固有静止系より大きくなる。
と存じます。

33 nagata 2016/10/05 (水) 12:11:48 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
答えはもっと単純な話で、
荷電粒子の相互作用を考える場合、
荷電粒子同士の相対運動から計算すべきで、
「観察者の私が後ずさり」しても荷電粒子同士の速度差はゼロなのでローレンツ力は発生しません。

AとBの相互作用を計算するのに、無関係のCの座標系を使う必要性は全くありませんし、してはいけません。
(ガリレオ変換の感覚が抜けていないとやってしまいます)

Cが帯電している場合は話は変わります。
AとB、BとC、CとAすべての組み合わせを計算する必要があります。


相対性理論を使わず電磁気学のみで説明しても同じです。
ローレンツ力が発生するのは、荷電粒子同士が相対運動をした場合のみです。

ただし、電流の定義は
I=nvsQ
と習ったような気がしますが、この意味で、
「vは、同量かつ、符号の異なる電荷の相対運動の速度」として明記する必要があると考えます。

「同量かつ、符号が異なる」以外の条件だと電磁気学の範疇を超えるので相対論で計算するか、
電流を定義しなおす必要があります。

例えば、
1)電子の代わりに、陽電子が流れている場合
2)帯電している導線に流れている電流の場合

1)は現実的にありえないし、2)は実用上、帯電量を無視できます。
34 nagata 2016/10/05 (水) 12:19:12 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
補足

>> 2)は実用上、帯電量を無視できます。

原子核の電気量の総和 >> 帯電量

ということです。
v/c程度の誤差になるはずなので、通常の範囲内では無視できます。


35 nagata 2016/10/05 (水) 13:33:50 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
ここまで書いて気づいたけど、ローレンツ力の定義も再考する必要があるかもしれません。

電流I(原子核+電子電流)の横に+Qの電荷を置いた場合、相対論効果を考えると、
+Qが運動していなくても引力が発生してしまう。
+Qが運動すると、引力が増減してローレンツ力に相当する力が発生する。

電磁気学を式を満たすためには、
電流の横に置くのは、+QとーQのペアである必要が出てくる。

現実的には、+Q、−Qが単独で行動するのは電離した状態であり、
電流中の電子の速度に対して電荷の速度がはるかに大きくこの効果は無視できるような気がします。




36 明男 2016/10/05 (水) 18:23:25 ID:SRA5fKO8ng [修正] [削除]
>35 +Qが運動していなくても引力が発生してしまう。

一体、どういう計算したら、そんな結果になるんですか?
37 大学生A 2016/10/05 (水) 18:58:34 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
荷電流体のモデルなら、電荷密度0の静磁場に電場は生じない。

伝導電子と正イオンのモデルでは、積分計算が複雑なので、直線電流が、
電場を作るとは言い切れないが、円電流の(中心点を除く)中心軸上には、
明らかに電場が生じるでしょう?
だから、平均電荷密度0の静磁場に電場が生じないとは限らない。

つまり、このモデルはローレンツ収縮で密度の均一性が破れてしまう。

ということでは?
38 明男 2016/10/05 (水) 19:53:27 ID:SRA5fKO8ng [修正] [削除]
>37 大学生さん
多分私へのレスかな?と思いますが、さっぱり分かりません。円電流の中心軸上にできるのは通常磁場であって、あきらか?に電場が生じるとは何のことでしょう。相対論的効果で電場が生じるのはその通りですが、私はモデルの数学的導出を問うています。ただ、このスレッドの大もとの、二つの荷電粒子のシンプルなモデルでの説明からして欲しいですね(どうも解決した気がしない)。根本原理は一緒だと思います。
39 大学生A 2016/10/06 (木) 08:46:08 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>>38

レスどうもです。
EMANさんの記事

http://eman-physics.net/electromag/retarded.html

を引用しますと、荷電流体のモデルにおいて、電磁場の遅延ポテンシャルは、(2)、(3) 式で表されますが、
伝導電子と正イオンのモデルでは、後述の「リエナール・ヴィーヒェルト・ポテンシャル」の総和として表されますので、
二つのモデルが作る電磁場には、その分の差異が生じうると言う事だと思います。

nagataさんが、このように考えてコメントしているかは、判りかねますが・・・。
40 明男 2016/10/06 (木) 17:00:29 ID:SRA5fKO8ng [修正] [削除]
大学生Aさん。
リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャルは遅延ポテンシャルの一種であり、等速運動する点電荷に”古典的に”適用したものです。モデル云々との問題では無いでしょう。まあ、考えている状況が違うので、差異が生じるのは当たり前ですがw。遅延ポテンシャルも相対論を使えば、あのややこしい導出が必要なく、素直に得られることも周知ですね。
話を元に戻して、本来の問題「併走する2体の同種荷電粒子」間に働く力は、観測者(系)によってどのように見えるか。(特殊)相対論の立場で「両観測(物理現象)」に矛盾がないことを(またはあることを)示せ。ということです。
私は、勿論、相対論の帰結として、当然観測者の立場によらない説明ができるはずと思っています。ここの議論のなかで、c/vのオーダーで無視できるとか、現実にはそのような状況は作れない、とかありますが、その手の解決ではなく、厳密に「成立すると」思います。
そこで、一体どのような計算がされているのか、質問したわけです。
まあ、この問題は昔から「荷電粒子のパラドクス」として知られているものですが、ちょっと分からなくなったもんで(恥;)。
41 明男 2016/10/06 (木) 20:42:30 ID:SRA5fKO8ng [修正] [削除]
自己完結(大笑)。お騒がせしました。何とビオ・サバールと間違えて、アンペールで計算していた。合わんわけじゃ。
42 nagata 2016/10/08 (土) 01:20:42 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
>37 大学生Aさん

>つまり、このモデルはローレンツ収縮で密度の均一性が破れてしまう。
>ということでは?

円電流云々はよくわかりませんでしたが、たぶんそういうことです。

例えば、原子核+電子の代わりに、原子核+陽電子という組み合わせを考え、
(現実的にはありえませんが)、
陽電子が流れて電流を作っているとすします。
ローレンツ収縮を考えると、どの組み合わせを選んでも相手の密度が増加する方向なので、
反発力しか生まれません。

円電流を相対論で考えるのは面倒なので無限の長さの直線電流とします。

特殊相対性理論の結果と、電磁気論の結果で矛盾しませんか?という話です。

相対性理論は電磁気論より上位の理論と考えています。
相対性理論を厳密に用いれば電磁気論をすべて説明できるはずです。

個々の計算をすべてローレンツ変換しているとやってられないので、
「磁場」を定義してローレンツ収縮効果の計算を簡略化していると解釈できます。

で、磁場の定義を見てみると電流が出てくる。
で、電流の定義を探すと、、、、
相対性理論に基づいた定義になっていない気がするのです。
私の知識は浅いので違ってたらすいません。

「正の電荷と負の電荷の相対運動」を電流と定義したら矛盾はなくなるはずです。
43 nagata 2016/10/08 (土) 01:37:48 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
>39 大学生Aさん

>nagataさんが、このように考えてコメントしているかは、判りかねますが・・・。

すいません、遅延ポテンシャルとかはついていけません、、、
電場情報の遅延と関係あるのですかね?
44 nagata 2016/10/08 (土) 02:34:34 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
>40 明男さん

>本来の問題「併走する2体の同種荷電粒子」間に働く力は、観測者(系)によってどのように見えるか。(特殊)相対論の立場で「両観測(物理現象)」に矛盾がないことを(またはあることを)示せ。ということです。

相対性理論のみで考えるならば、
座標系が変わってローレンツ収縮が起こっても、電気量に変化はありませんし、2点間の距離も、進行方向と垂直な成分である限り変わりはありません。
したがって、どの座標系で観測してもクーロン力以外の力は発生しません。

もう一歩踏み込んで、
「別の座標系で力を観測する」というのはどういうことかというと、
EMANさんのページに書いてあります。

http://eman-physics.net/relativity/4force.html

不変量として「力」を求める場合、「固有時を使え」となります。
すなわち、物体の世界線に沿って計算する必要があり、
第3者の座標系で計測した力は不変量ではないので、
座標系によって見かけ上の力が異なっていても何ら不思議ではありません。

と書いておきながら、
進行方向と垂直な方向成分のみ(点電荷の場合)だとこの項目にはあてはまらないはずです。

点電荷ではなく線電荷だと影響を受けるので、無限長の線電荷のモデルを出した次第です。
線電荷だと、ローレンツ収縮で電荷密度が増えるので「反発力が働くように見えてしまう」はずです。
そのことに意味があるのかないのかはわかりませんが、
力そのものが不変量ではありませんので意味がないと解釈しています。
固有時で計算すれば相対性原理は満足するのでそれで十分です。

45 nagata 2016/10/08 (土) 03:05:14 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
たびたびすいません、線電荷の場合の補足をします。

電荷(線)密度が大きくなるけど、それに比例して質量(線)密度も大きくなるので加速度は変わらずです。

点電荷のモデルと本質的な違いはありませんでした。
46 甘泉法師 2016/10/08 (土) 10:28:40 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 10/09 (日) 20:59 [修正] [削除]
こんにちは。

ずいぶん昔にたったスレッドでわたしも投稿しているのですが忘れてました。

あらためて >>1 をみると

>ところで、同一方向に流れる電流は引き合いますね。あれあれ、見方を変えただけで反発しあっていたものが引き合うことになるのでしょうか? 

ここに言葉のトリックがあるのではないでしょうか。  

電流が引き合うからといって電荷どうしが反発をやめるわけではない。電流が引き合っても電荷間のクーロン斥力は増して、トータルで反発することはかわらない。

平行に離れた導線の中を同じ向きの電流が通ると、たしかに導線は引き合う。この場合導線はイオンと電子でできていて電気中性なのでふたつの導線を流れる電子どうしの反発がない。

しかし裸で電子と電子が運動するならクーロン斥力は運動系でも働き続きる、どころかかえって強まる。

-----------
47 甘泉法師 2016/10/08 (土) 10:44:26 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
PS

2電荷の静止系で電荷はクーロン斥力で反発しあっている。
ほんの少しのvの運動系にうつると、電流の小さな引力がはたらきはじめるが運動系(しかも小さなvの)にうつるとクーロン斥力がまったく消失する、とは考えにくい。 だから斥力が勝っているだろう。

引力を大きくするにはどんどんvの大きな運動系にうつればよい。クーロン斥力に勝てるかもしれない...と思って試してみると、敵もさるものこちらの動きをみて常に上をいくよう増強している。
48 黄昏に帰る 2016/10/08 (土) 11:54:00 ID:NTutyxmtEU [修正] [削除]
全文を読み切れないので外しているかもしれませんが。

直線上の電荷と電流、それぞれに働く力は「MIT物理、A.P.フレンチ、特殊相対性理論」に初等的に
詳しく説明されています。初等的というのは、ほぼクーロンの法則、ローレンツ力、特殊相対性理
論(ローレンツ変換)によって、丁寧すぎるほどに説かれています。

その他、直線状分布電荷や正負の直線状電荷を配した導体モデルについても詳しいです。普通(フ
ァインマン、ときわ台学など)は電流が流れる導体に平行に運動する電荷の速度に等しい座標系を
とりますが、任意の慣性系基準の議論も載っています(今一だった速度のローレンツ変換もしっく
り当てはまっています)。

逆に話が細かくなりすぎ、結論だけ求めるならば、電磁界のローレンツ変換で解釈したほうが簡明
だったりします。
49 明男 2016/10/08 (土) 23:12:40 ID:SRA5fKO8ng [修正] [削除]
S:静止系、S':電荷と併走する運動系、とすると、Sから見た荷電粒子(対)の運動はS’系でも同じ運動を記述するはずなので、運動方程式をローレンツ変換し、まったく同型に書ければ良いわけですが、運動をあらわに計算しなくても、電磁場の変換を通じて理解できる筈だと思います。
そこで、S系(電場+電流磁場)とS'系(電場のみ)で、運動方程式の変換は行わず、シミュレートしてみました。結果は予想通り、S'系のS系に対する時間遅延を考慮するのみで合うことが見て取れます。
お暇なら下記を見てね。
開始ボタンで始まります。速度は初期値0.8cにしてあります。S系は磁場あり・なし、S'系は時間遅延考慮・なしが試せます。エラーチェエックやユーザーインタフェースは適当なので、期待しない様にw。
http://www.asahi-net.or.jp/~ka3y-ssk/akio/RelParadox.html
50 coJJyMAN 2016/10/09 (日) 14:32:36 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
点電荷対の反撥運動を,その運動方向に垂直な方向に等速度で移動する慣性系から見たときの運動は,
僕が>>24>>31で解いているので,よかったら見てくだされ.

この結果からは,反撥の速度には上限があって,その速度以上には加速していかないようです.
まるで等速度運動しているように観測されるので,速度が反転することもないようです.
51 明男 2016/10/09 (日) 20:05:52 ID:Ao3BwcJfC. [修正] [削除]
>coJJyMANさん
>>31の設定では、両荷電粒子は並走してないということですか?並走ならhirotaさんの設定と同じ、 $E\cdot v=0$ で、そもそも結果が同じになる筈だと思うんですが。
52 coJJyMAN 2016/10/10 (月) 07:35:53 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
明男さん、どうもです。
反撥の加速度の方向に垂直な方向に等速度で動く慣性系から観測した場合なので、
この座標系からは両電荷は並走して見えるはずです。
53 明男 2016/10/10 (月) 10:01:00 ID:SRA5fKO8ng [修正] [削除]
お早うございます、coJJyMANさん。
そうですよね。だったら、hirotaさんとはx軸とy軸のとりかたの違いだけなので、同じ結果にならねばおかしい気が・・・。coJJyMANさんの最後の式では、 $v'_{y}$ の項が残っていますが、hirotaさんの方にはありませんよね?
お二人共結局、電荷の静止系から(観測者の)運動系へローレンツ変換している、ということは、我々が観測するいわゆる”実験室系”なので、電荷は電場とローレンツ力の和として運動が見える筈です。coJJyMANさんの設定では、電荷が正として、 $\vec{B}=B\vec{k}$ なので、速度 $\vec{v}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}$ とすると、ローレンツ力 $\vec{v}\times\vec{B}=-v_{x}B\vec{j}+v_{y}B\vec{i}$ となって、つまり運動の $\vec{j}$ 方向には電荷速度の $y$ 方向成分はでてきません。もちろん、電場は $y$ 方向ですが、距離のみの関数なので当然速度は効いて来ませんし、 $v'_{y}$ の項が残るのはおかしい気がします。勿論上の考察からその速度成分は運動に対しx軸方向(成分)へ寄与することになると思います。結論から言えば、hirotaさんの結果が正しいだろうと思います。
蛇足ですが、hirotaさんの普通に計算すると間違いになる、と書かれている”式”ですが、そこまでの計算では $m$ はあきらかに静止質量を表しているので、その式では $m^{*}$ にすれば、 $m^{*}=\gamma m$ なので、間違えませんね。相対論の要請は、*つきと*なしの方程式が全く”同形”になるはずですから。
54 coJJyMAN 2016/10/10 (月) 12:17:27 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
明男さん、ちょっと待ってください。
<<27は両電荷の相対速度がゼロの場合の考察で、
僕の<<31(&<<24)は相対速度がある場合の運動方程式の考察です。
表式の違いはそのせいではないですかね?
僕の式で相対速度がゼロの時に、>>27の結果と同じになるので
問題無いと思ってましたが。
55 明男 2016/10/10 (月) 13:27:18 ID:SRA5fKO8ng [修正] [削除]
どうも(^_^;)
hirotaさんの設定でも、電荷の静止系に移ったとき、勿論電荷を結ぶ方向(x軸)には電場があり、*つきの運動方程式はそれを計算する式です。電荷が相対速度0(固定しないと無理)とは書いてありません。coJJyMANさんの設定とどこが違うかわかりません。どちらも束縛のない自由運動だと思いますよ。(観測者と)電荷の運動方向にx軸↔y軸の違いがあるだけです。
56 coJJyMAN 2016/10/10 (月) 19:20:31 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>27を見ると,まず

>座標を  $(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,{\bf x}),\,x=|{\bf x}|$  として、原点に電荷Qがある場合の電場,磁場(Gauss単位系)は
とあるので,1つ目の電荷Qの位置を座標原点としています.
ある時刻t(例えばt=0)で,その位置は(0,0,0,0)としています.
速度ははっきりとは書いてありませんが,その後の記述でこの瞬間では原点で静止していると考えられていることがわかります.
(その一つが,原点にある電荷が周りの空間に作る電磁場を見たときに,クーロン型の電場が存在して,磁場が全く見当たらなければ,原点での瞬間速度はゼロのはずです)

次に,
>位置  ${\bf x}$  にも質量mの静止電荷qがあれば働く力は
2つ目の電荷qが同じ時刻にx方向にある距離に離れたところにあり,その時は「静止している」とあります.
この座標系では,原点の電荷Qも位置xにある電荷qも,共に静止している瞬間を捉えているので,この時,相対速度はゼロです.

続いて,
>次に速度  ${\bf v}$  で動く座標を
>だから、  ${\bf x}=(x,0,0),\,{\bf v}=(0,-v,0)$  とすると
とあるのは,2つ目の電荷qが位置xにあって,x方向の速度はゼロで,y方向に-vで動いている座標系へのローレンツ変換をしています.
2つ目の電荷qのx方向の速度はゼロのはずです.
それは,続く,
>電荷Qは動座標では速度  $-{\bf v}=(0,v,0)$  で動いているので、この電流による  ${\bf x}^*=(x,0,0)$  点の磁場が  ${\bf H}^*$  である。
>電荷qの速度も  $\dot{\bf x}^*=-{\bf v}=(0,v,0)$  なので電磁場による力(4元力)は
の記述からもわかります.
動座標でも.2つの電荷のx方向の速度は共にゼロですから,相対速度がゼロであり,
完全にy方向に平行運動している瞬間を捉えています.

僕が計算していたのは相対速度がある場合なので,動座標から見ると完全な平行運動ではなく,斜めに離れていく運動になっています.
それでも加速度は両電荷を結ぶ軸方向にしか存在せず,ローレンツ変換した方向には等速度運動しています.
また,僕の計算で初速度ゼロの時の加速度は,>>27の結果と等しくなっていますから,とりあえず問題はないのかなと思っています.
57 明男 2016/10/10 (月) 22:03:20 ID:SRA5fKO8ng [修正] [削除]
う〜む、やはり変ですね(自分かもしれんがw)。coJJyMANさんが思われた設定はその通りだと思います。
>51で質問したように、並走する電荷は、動座標系では相対論に関係なく、斜めに離れていく運動になることは私のシミュレーションを見るまでもなく明らかですが、そこにy軸(ローレンツ・ブーストに垂直)方向の速度(依存)項が入る余地はありません。hirotaさんの計算がy軸方向初速度0、coJJyMANさんがすでに動き出したあと(初速度≠0)だったとしても、運動方程式に2とおりありうるのでしょうか。
瞬間を捉えた運動方程式というのも物理的に変です。もしそうなら、>27は運動方程式になりえませえん。なにしろ動き出した途端に使えなくなりますからね。
また、この(動座標系の)運動では頭打ちはなく、無限に遠ざかりますが、ローレンツ力は電場の $\beta^2$ 倍のため、(力が)決して反転しないことは明らかですね。
58 coJJyMAN 2016/10/10 (月) 22:09:09 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
ええ,運動方程式が2通りあるはずがありません.
<tex>m\dif{\Vec{v}}{t}=\Vec{F}-\left( \frac{\Vec{F}\cdot \Vec{v}}{c^2} \right) \Vec{v}</tex>
より,
<tex>m_0\dif{\Vec{v}}{t}=\frac{1}{\gamma}\left(q(\Vec{E}+\Vec{v} \times \Vec{B})-\left( \frac{q\Vec{E}\cdot \Vec{v}}{c^2} \right) \Vec{v}\right)</tex>
です.ここで,
<tex>\gamma=\frac{1 }{\sqrt{1-\frac{\Vec{v}^2}{c^2}}}</tex>
..とここまで書いて,僕の>>31がどこがおかしかったかわかりました!
明男さん,ありがとうございます!
(結論はあまり変わりませんが..詳細は次回.)
59 coJJyMAN 2016/10/10 (月) 22:44:49 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
改めて書きますと,>>31のx方向の加速度がゼロというのは問題ないのですが
ーーーーーーこれは問題なさそうーーーーーー
x'y'座標系での
<tex>q(\Vec{E}'+\Vec{v}' \times \Vec{B}')-\left( \frac{q\Vec{E}'\cdot \Vec{v}'}{c^2} \right) \Vec{v}'</tex>
という量のx成分は
<tex>&q({E_x}'+{v_y}'{B_z}'-{v_z}'{B_y}')-\left( \frac{q{E_y}'\cdot {v_y}'}{c^2} \right) {v_x}'=q{v_y}'{B_z}' -\left( \frac{q{E_y}\cdot v}{c^2} \right) {v_x}'\\&=-q \frac{v}{\gamma}\gamma \frac{V}{c^2} E_y -\left( \frac{q{E_y}\cdot v}{c^2} \right) (-V) \\&=-q v \frac{V}{c^2} E_y+ \frac{q{E_y}\cdot v}{c^2} V=0</tex>
ーーーーーーーーーーーーーーー
ところがy成分の計算でγを間違えましたね.正しくは
ーーーー以下の式展開で合っているはずです.検証お願いいたします.ーーーー
<tex>&q({E_y}'+{v_z}'{B_x}'-{v_x}'{B_z}')-\left( \frac{q{E_y}'{v_y}'}{c^2} \right) {v_y}'=q({E_y}'-{v_x}'{B_z}' )- q{E_y}'\frac{ {v_y}'^2}{c^2} \\&=q \left( \gamma E_y -  \gamma \frac{V^2}{c^2} E_y  -\gamma E_y \frac{ {v_y}'^2}{c^2} \right) \\&=q  \gamma E_y \left( 1-\frac{V^2}{c^2}  -\frac{ {v_y}'^2}{c^2}\right) \\  &=q  \gamma E_y \left( 1-\frac{v'^2}{c^2}  \right) \\ &=\frac{q  E_y}{\gamma} </tex>
これが
<tex>m\dif{v_y'}{t'}=\gamma m_0\dif{v_y'}{t'}</tex>
に等しいので、方程式は
<tex>m_0\dif{v_y'}{t'}&=\frac{q  E_y}{\gamma^2}\\&=q  E_y { \left( 1-\frac{V^2}{c^2}  -\frac{ {v_y}'^2}{c^2} \right)} \\&=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{4{y}^2}  { \left( 1-\frac{V^2}{c^2}  -\frac{ {v_y}'^2}{c^2} \right)}</tex>
ローレンツ変換はx方向だったので,y方向の位置については $y=y'$ になります.
まとめると,
<tex>m_0\dif{v_x'}{t'}&=0</tex>

<tex>m_0\dif{v_y'}{t'}&=\frac{q  E_y}{\gamma^2}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{4{y'}^2}  { \left( 1-\frac{V^2}{c^2}  -\frac{ {v_y}'^2}{c^2} \right)}</tex>
このような方程式となります.
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
確認よろしくお願い申し上げます.m(_._)m
60 明男 2016/10/11 (火) 00:02:52 ID:SRA5fKO8ng [修正] [削除]
計算に間違いは無さそうですが、>31の頭で、γの定義が、
<tex>\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</tex>
となっており、これは元々のメラーの式が、粒子の速度方向にブーストしている式ではないですか。そのため、今回の
<tex>\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}</tex>
と齟齬がある気がします。ローレンツ変換は両電荷を結ぶ線に直角な方向であるはずで、電荷の(方向も含めた)速度ではなく、動座標系の観測者からみた速度Vの筈です。そのためγが2種類あります。
違うかな?
61 coJJyMAN 2016/10/11 (火) 07:29:57 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
明男さん、ありがとうございます。
今晩、もう一度よく見てみます。
62 coJJyMAN 2016/10/11 (火) 20:03:55 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>そのためγが2種類あります。
全くご指摘のとうりです.m(_._)m
以下,
<tex>\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}</tex>

<tex>\gamma'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v'^2}{c^2}}}</tex>
に分けて改めて考えます.そして方程式の質量 $m$ にも「'」がつきますね..
ーーーーーーx'成分の計算は問題なしーーーーーー
x'y'座標系での
<tex>q(\Vec{E}'+\Vec{v}' \times \Vec{B}')-\left( \frac{q\Vec{E}'\cdot \Vec{v}'}{c^2} \right) \Vec{v}'</tex>
という量のx'成分は
<tex>&q({E_x}'+{v_y}'{B_z}'-{v_z}'{B_y}')-\left( \frac{q{E_y}'\cdot {v_y}'}{c^2} \right) {v_x}'=q{v_y}'{B_z}' -\left( \frac{q{E_y}\cdot v}{c^2} \right) {v_x}'\\&=-q \frac{v}{\gamma}\gamma \frac{V}{c^2} E_y -\left( \frac{q{E_y}\cdot v}{c^2} \right) (-V) \\&=-q v \frac{V}{c^2} E_y+ \frac{q{E_y}\cdot v}{c^2} V=0</tex>
ーーーーーーーーーーーーーーー
ーーーー問題のy'成分ですが,今度こそ以下の式展開で合っているはずです.ーーーー
<tex>&q({E_y}'+{v_z}'{B_x}'-{v_x}'{B_z}')-\left( \frac{q{E_y}'{v_y}'}{c^2} \right) {v_y}'=q({E_y}'-{v_x}'{B_z}' )- q{E_y}'\frac{ {v_y}'^2}{c^2} \\&=q \left( \gamma E_y -  \gamma \frac{V^2}{c^2} E_y  -\gamma E_y \frac{ {v_y}'^2}{c^2} \right) \\&=q  \gamma E_y \left( 1-\frac{V^2}{c^2}  -\frac{ {v_y}'^2}{c^2}\right) \\  &=q  \gamma E_y \left( 1-\frac{v'^2}{c^2}  \right) \\ &=q  E_y\frac{\gamma}{\gamma'^2} </tex>
これが
<tex>m' \dif{v_y'}{t'}=\gamma' m_0\dif{v_y'}{t'}</tex>
に等しいので、方程式は
<tex>m_0\dif{v_y'}{t'}&=q  E_y\frac{\gamma}{\gamma'^3}\\&=q  E_y \frac{1}{\sqrt{ 1-\frac{V^2}{c^2} }}{ \left( 1-\frac{V^2}{c^2}  -\frac{ {v_y}'^2}{c^2} \right)}^\frac{3}{2}\\</tex>
結局>>31に戻ってしまったみたいですが..
さて,
<tex>E_y=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{4{y}^2} </tex>
ですので,,って!違うじゃん!!
静電場じゃまずいですよね!りえなある・ゔぃいへると・ぽてんしゃるですよね!
・・出直してきます!
63 nagata 2016/10/12 (水) 12:41:24 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
並走する電荷に働く引力の正体

ようやく理解できました。
計算はついていけないので定性的な説明のみで。

磁界を考慮しないで相対性理論のみで説明を行う場合、
並走方向の効果だけじゃなくて、クーロン力を受ける方向での相対論効果も考える必要がありました。

たとえば二つの電荷が正の場合、
クーロン力が働くので反発しながら遠ざかっていく。
遠ざかるにつれて、相対性理論の効果によりガリレオ座標系で考える場合より加速度が小さくなる。

この「加速度が小さくなった分」を、電磁気学の立場では磁力(引力)としているわけですね。

二つの電荷が正と負でも同じですね。
引き合って加速するにつれて、加速度が減じられるので、この減じられた分の力を磁力(反発力)とする。


64 nagata 2016/10/12 (水) 13:26:29 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
そういえば、このモデルだと電荷が加速運動をしているけど、
電磁波を発して運動エネルギーを失う効果もありますね。

http://eman-physics.net/electromag/accel_radiation.html
65 甘泉法師 2016/10/12 (水) 14:21:20 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>63 >>64

両電荷が反発しての自由な加速度運動は扱うのが難しいので

「両電荷が細い糸でつながれ慣性系で静止している。糸は電荷どうしのクーロン斥力による引っ張り応力を少しでも超えると切れるぎりぎりの強さ」

という設定にすれば
観測慣性系によって反発か吸引かの具合がかわり糸がたるんだり切れたりする...ことはなかろう、と楽に考えられると存じます。
66 nagata 2016/10/13 (木) 13:10:12 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
甘泉法師さん

なるほど、その設定だと最初の命題に戻りますね。

厳密にいうと、、、
糸がたるんだり切れたりするのもクーロン力に支配されているのでややこしくなりますけど。

特殊相対性理論で考えたら、
糸が緩んだり切れたりすることはありえないのは解決済みですね。

よくよく考えたら電磁気論でも基本的な事項を確認すれば矛盾してませんね。
ローレンツ力が発生するのは、電荷が磁力線を横切った時。
並走状態だと並走しているから磁力線は横切らない。

そうなると、逆に導線の場合が複雑になりますね。
例えば、電流の方向が同じ場合、電子同士、原子核同士にはローレンツ力が働かない。
原子核と隣の導線の電子の組み合わせで引力が発生する。

これって特殊相対性理論の計算結果そのままですね。


受験生時代、当たり前のように導線電流のローレンツ力計算をしていたのでこんな基本的なことに気づきませんでした。

67 nagata 2016/10/13 (木) 13:24:09 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
導線電流が発生する磁場は、原子核、電子、それぞれから発生する磁場が打ち消しあうので、
荷電粒子から見たら導線の運動速度に依存しなくなるということですね。
原子核と電子の相対運動のみの成分が残る。

実用上はこれを電流と呼んでいて、実際の計算もこちらがメインなので荷電粒子単体が出てくると???となるわけですが、
実は導線電流の方が特殊なケースだった、というオチでした。

ということで、私が33で書き込みした

>相対性理論を使わず電磁気学のみで説明しても同じです。
>ローレンツ力が発生するのは、荷電粒子同士が相対運動をした場合のみです。

が正解でした。
電磁気論をまじめに考えたのは20年ぶりなので回り道をしてしまいました。
今、家庭教師で電磁気を教えているので基本事項を再確認できて助かりました。

68 甘泉法師 2016/10/13 (木) 13:33:47 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>ローレンツ力が発生するのは、電荷が磁力線を横切った時。並走状態だと並走しているから磁力線は横切らない。

と簡単に片づけられません。 相手の電荷が過去に走って生んだものが距離/cの時間を経て現在の電荷の位置の磁場に反映されているからです。
69 nagata 2016/10/13 (木) 13:36:08 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
物理は専門ではありませんが、
ローレンツ変換は予備校の自習室で自力で導出したのでそこそこ理解できています。
当時浪人生だったので専門書は読めず、
一般の解説書ではどうしても相対論が理解できなかったので、
高校数学の範囲(一次変換)を使って導出しました。

直線電流のローレンツ力をローレンツ収縮で計算する問題は、
z会の物理の問題に出ていました。
この問題をちゃんと理解して解いていた受験生が自分以外にいたとは思えない。
70 nagata 2016/10/13 (木) 13:38:28 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
>68

>と簡単に片づけられません。 相手の電荷が過去に走って生んだものが距離/cの時間を経て現在の電荷の位置の磁場に反映されているからです。

そうであっても、磁力線は電荷と一緒に動いているのでローレンツ力は発生しないはずです。
71 甘泉法師 2016/10/13 (木) 13:50:55 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

EMANさんの記事 遅延ポテンシャル
http://eman-physics.net/electromag/retarded.html
にここらの事情が説明されています。

72 nagata 2016/10/13 (木) 14:08:14 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
詳しい計算はしていませんが、、、

磁場も運動すると考えればどのような計算をしても矛盾した結果にならないはずです。
導線電流の計算方法をそのままあてはめて計算しているのではないでしょうか?

「ポテンシャル場そのもが運動する」ということは考慮されているのでしょうか?
遅延があったとしても、荷電粒子周りの磁場は定常状態になるのでローレンツ力は受けないはずです。
73 nagata 2016/10/13 (木) 14:12:14 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
遅延ポテンシャルが影響するのは、荷電粒子が加速運動した場合じゃないでしょうか?
74 nagata 2016/10/13 (木) 14:38:51 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
運動する電荷まわりのポテンシャル、磁場については、EMANさんのページに書いてありました。

http://eman-physics.net/electromag/const_vel.html
75 甘泉法師 2016/10/13 (木) 15:15:47 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 16:13 [修正] [削除]
こんにちは。

電磁場が運動するか、についてはその記事の最後の結論パラ2のようにそうだとも、パラ3のようにそう見えるだけともいえましょうが、いずれにせよ相手の電荷の位置につくる磁場はゼロでないと存じます。
76 nagata 2016/10/14 (金) 00:00:17 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
磁場はゼロになりませんが、
ローレンツ力は磁場を電荷が横切った時に発生するので、
このモデルだとどの座標系から見てもローレンツ力は発生しない。

ということです。
77 甘泉法師 2016/10/14 (金) 05:51:20 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

電荷が磁場から受ける力はq,v,Bで決まります。
横切る、とはどういうことでしょう?
78 nagata 2016/10/15 (土) 05:19:25 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
すいません、正確には「磁場を横切る」のではなく、「磁力線を横切る」でした。

「磁場が速度を持っている」と表現すると微妙ですね。
79 甘泉法師 2016/10/15 (土) 08:51:28 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

「磁力線を横切る」と $q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ は整合するのでしょうか。 B≠0ですが力は発生しないのでしょうか。
80 nagata 2016/10/20 (木) 09:19:21 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
>「磁力線を横切る」と  $q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$  は整合するのでしょうか。 B≠0ですが力は発生しないのでしょうか。

強引に座標系を固定するなら、

qv×Bによるローレンツ力と、
dΦ/dtによる誘導起電力が釣り合うので合力はゼロと解釈できるはずです。
81 nagata 2016/10/20 (木) 09:56:05 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
dΦ/dtと書くと大雑把すぎる気がするので、

1、磁場を固定し、電荷が運動しているとして計算したローレンツ力
2、電荷を固定し、磁場が時間変化をしているとして計算したローレンツ力

この両者が釣り合うということですね。

2の計算は面倒な感じですが、、、
誘導起電力の計算はローレンツ力から計算していたはずなので、
両者は同じになるはずです。
82 黄昏に帰る 2016/10/20 (木) 12:02:11 ID:NTutyxmtEU [修正] [削除]
拾い読みした感想です。


1. 磁界は運動するか?

今井功氏がパリティの本に「運動しない」と書いてあった。しかし、記憶に残っていないので、たいした記述は無か
ったと思う。私も長らく、「運動する」と考えて問題が解けるので、それが正しいと思っていた。

しかし、源より発生した磁界は光速で飛んでいくはずあり、その後、源がどのような運動しようと、その飛行中?の
磁界は影響を受けないはずである。だから、電磁界は常に上書きされている?と考えたほうが良い気がしている。

とはいえ、相対論効果のない現象では磁界が運動するとして計算しても全く問題無い。つまり、「磁界が運動する」
ということを定義しなければ、議論もできないけれど、上の範囲で矛盾のないことが根拠、「運動する」という意味
・定義と考えても良いのでないだろうか。

なお、磁界の速度は「ある系(基準とする)からみた、別の系(磁界が静止していると考えた)の速度」です。
言い換えれば、各系に固定された磁界の観測装置の相対速度です。


2. 電荷に働く力

これは、F=qE+qv×B の定義以外に無い(この原理、定義によって電磁力学が作られている)。たとえ、電界・磁界の
運動の有無にかかわらず、観測系で測定した電界・磁界を使うので(というか電磁界は上の定義そのもの)。

したがって、S系に静止ている電荷qと磁界Bに対して、S'系がS系に対して速度v運動していると、電磁気でも特相対
論の結論でも、v<<cであれば、S'系で磁界はB'≒Bであり、-qv×B'のローレンツ力が働く。しかし、同時に誘導電界?
E'≒v×Bが発生して、これらは打ち消し、結局、電荷間のクーロン力だけとなり、S系の力と変わらない。

これを、磁界と電荷は並走して「横切らない」からローレンツ力は働かないとして計算しても良いわけである。
しかし、これは便法的な気がしており、常に、定義 F=qE+qv×B を考えていないと具合が悪いような気がする。


3. dΦ/dtについて

本来、電磁誘導とローレンツ力は別の物・法則であるが、ファインマン(EAMMNの下記サイト参考)によると、これら
http://eman-physics.net/electromag/induction.html

は偶然、同じ効果を示す。それを示しているのがレンツの法則であり、これは、上の2つの法則を含んでいる。
83 甘泉法師 2016/10/20 (木) 18:34:42 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。 


お話のご趣旨はローレンツ力 

 $\mathbf{F}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 
(第2項だけをいう流儀もありますが電場、磁場両方の寄与の合計をローレンツ力とよぶ流儀にしたがいます Wikipedia など)

が基準慣性系の変換で、すくなくともv/cの1次の近似で、不変ということと理解しました。


 お話の磁束ΦとdΦ/dtは、電荷ペアが速度vで運動すると観測される基準系でどう分布しているのでしょうか。


>しかし、同時に誘導電界? E'≒v×Bが発生して、これらは打ち消し、結局、電荷間のクーロン力だけとなり、S系の力と変わらない。

 誘導電界...?なので <tex>\mathbf{E}=-\nabla \phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</tex> とヴェクトルポテンシャルAで見ると

<tex>\mathbf{F}/q=-\nabla \phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A})</tex>

第2.3項はキャンセルするのか...どうなんでしょう。
84 ********** 2016/10/20 (木) 18:49:10 ID:********** 削除日時: 23:09
(投稿者によって削除されました)
85 黄昏に帰る 2016/10/20 (木) 21:00:24 ID:NTutyxmtEU 修正アリ: 10/21 (金) 12:25 [修正] [削除]
>>83 すみません。>>82 の話のようです。よく読まず、電荷ペアなどの話とは思いませんでた。
>>76,78,80,81 当たりの話と、Φというので磁束と考え、もっと簡単なモデルと思ってしまいました。
難しい議論は私には分かりませんので、重ねて失礼しました。

ただ、題意と違っていたら申し訳ないですが、同位置で並走する電荷の場合はローレンツ変換で簡単に計算でき
ます。S系で速度vで並走する電荷qに働く力、電界、磁界をF, E, B、S'系を電荷に固定した系とすると、この系
でqに働く力、電界をF', E'(B'=0)は(F'=qE'である。E'=kQ/r² そして電荷は不変)

E=γE' , B=γ(-v/c²)E'
F=q(E+vB)=qγ(1-(v/c)²)E'=qE'/γ=F'/γ
したがって、系の相対速度に垂直な力のローレンツ変換に一致する。

【追加】>>1 の話だったら、上の計算で終わりと思いますが(一瞬のことですが)、>>24 で完了していました。

また、>>33 "「観察者の私が後ずさり」しても荷電粒子同士の速度差はゼロなのでローレンツ力は発生しませ
ん。"
これは、>>82 で述べたように、間違いです。ローレンツ力は、荷電粒子や磁界に対する速度ではなく、慣性系
における速度です。そして、慣性系における磁界なので、磁界が運動(言い方が微妙ですが)しようと停止して
いようと関係ないのです。

【訂正】 なお、磁界が運動している(と考えられる)場合、電界が発生していますので、>>82 で述べたよう
に、ローレンツ力と同じ形で逆方向になっています(v<<cのとき)ので、相対速度と考えても計算できます。
しかし、念を押すと、これは定義によるローレンツ力ではありません。
86 甘泉法師 2016/10/20 (木) 23:50:08 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 10/21 (金) 21:25 [修正] [削除]
>>83 (続き)

計算して
<tex>\mathbf{F}/q=-\nabla (\phi-\mathbf{v}\cdot\mathbf{A})-\frac{D \mathbf{A}}{D t}</tex>

Aが「運動」していると <tex>\frac{D \mathbf{A}}{D t}:=(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=0</tex> と右辺第2項はゼロ。

<tex>\mathbf{F}/q=-\nabla (\phi-\mathbf{v}\cdot\mathbf{A})=-\gamma^{-1}\kappa_\mu u^\mu,_\lambda</tex>

ここで、κ 4元電磁ポテンシャル、u 慣性基準系の速度v相当の4元速度、,反変成分による微分.



cAはv/cのオーダーなので v/c の二乗を無視する近似で

<tex>\mathbf{F}/q=-\kappa_0 u^0,_\lambda=-\nabla_{rest} \phi_{rest}</tex>

と静止系の力と近似で一致。


計算に自信ありません。 突っ込みいただければ幸いです。
87 coJJyMAN 2016/10/22 (土) 02:06:10 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
ちなみに「磁力線の速度」という描像は、磁力線源と磁力線の束が一緒になって動いて見えるような、非相対論的速度で磁力線源が運動している場合にのみ、近似的に成立します。
してがって、非相対論的近似であることを忘れなければOK。
88 nagata 2016/10/24 (月) 05:53:53 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
磁場の時間変化を計算するのに、
磁力線が速度を持っているとして計算しても同じ結果になるということですね。
計算テクニックの話であり、
定義的に「磁力線が速度をもつ」とは別の次元の話でした。

>1の質問に対して一言で結論づけると、
「ローレンツ力と誘導電場によるクーロン力がつりあう」
「レンツの法則を再確認した」

でよろしいでしょうか?
89 黄昏に帰る 2016/10/24 (月) 09:41:46 ID:NTutyxmtEU 修正アリ: 11:35 [修正] [削除]
【訂正】
>>88 表現がビミョーです。
>1の質問の結論は
(一言まではとは言わないが簡明に) >>24 coJJyMAN さんで終わっています。

>「ローレンツ力と誘導電場によるクーロン力がつりあう」
はよいと思いますが、「レンツの法則を再確認した」は違います。レンツの法則は閉回路(回路の実体
が無くともよい)に関するものなので。


v<<c の議論として、「磁場の時間変化」と「磁力線が速度を持っている」という概念は明確に区別する
必要があります。例えば、一様一定な磁界が運動すると考えると、時間変化は全くないけれど、ローレン
ツ力のような電界として計算できます。

磁界の純粋な時間変化と運動を区別して考えないと、2重計算したりして間違えることになります。
つまり、レンツの法則には、純粋な時間変化と回路運動によるローレンツ力と磁界の運動による電界の
発生の3つの要因が、「完璧」に含まれて「無敵」なのです。

そして、ローレンツ力の定義は観測座標系基準の速度であるけれど、磁界との相対速度を考えれば、ロー
レンツ力と磁界の運動による電界発生の力を「込みで」考慮したことになります。

ところがこのことがよく理解あるいは説明されておらず、いらぬ誤解が広まっています。つまり、磁界の
運動による現象を理解するためには、観測系を変えた議論が必要なのに、ほぼありません。

だから、単極誘導やそれに相当する現象(導体が線状でなく)広がりを持つ場合、ファインマンさえも
(電気学会の電磁気学も)間違っています。

この他、回路が2つに分断されるような場合などは、無理せずローレンツ力で考えるほうが間違えません。

90 coJJyMAN 2016/10/24 (月) 23:02:49 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>磁場の時間変化を計算するのに、
>磁力線が速度を持っているとして計算しても同じ結果になるということですね。
ちがいます。電磁石のコイルのつくる磁場を、電流制御で時間変化させた場合などは
>>87とは異なる状況になります。
あくまで、静磁場がゆっくり並進運動するときの近似です。
91 nagata 2016/10/26 (水) 02:05:39 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
>89
>>>88 表現がビミョーです。
>>1の質問の結論は
>(一言まではとは言わないが簡明に) >>24 coJJyMAN さんで終わっています。

ローレンツ変換を持ち出したら一瞬で終わるのは解決済です。
今議論しているのは、相対論抜きで矛盾なく説明できるかというところです。
(当然のことながら、近似でしか解決できないはずです。)

>>「ローレンツ力と誘導電場によるクーロン力がつりあう」
>はよいと思いますが、「レンツの法則を再確認した」は違います。レンツの法則は閉回路(回路の実体
>が無くともよい)に関するものなので。

確かにレンツの法則とは条件が異なりますが、
レンツの法則を別の観点から確認したということにはなりませんか?
考え違いだったらすいません。

磁場の運動が否定されるなら、
電場の運動も否定されます。
電荷は運動しても電荷回りの電場は運動しません。
電荷が静止しているとしてレンツの法則を用いることもできます。
電荷の後方では磁力線が減り、電荷の前方では磁力線が増えます。
これを打ち消す方向に誘導起電力が働く。

>86の計算でローレンツ力との釣り合いの確認がとれたと理解しています。


>v<<c の議論として、「磁場の時間変化」と「磁力線が速度を持っている」という概念は明確に区別する
>必要があります。例えば、一様一定な磁界が運動すると考えると、時間変化は全くないけれど、ローレン
>ツ力のような電界として計算できます。

磁界の発生源は電流、すなわち電荷の移動です。
磁界が運動するということは、
磁界の発生源の電荷が(さらに)運動するということになり、
最初の電流量が変わってしまい、磁界の初期値も変わってしまいます。

つまり、
「磁界が運動している」という概念は原理的にありえません。
「一様磁場が運動する」という状況は想定できません。

「磁力線が動く」というのは別の現象ですね。
波が伝わるのと同じ感じでしょうか。
媒質そのものが移動したわけではない。

92 ghsobo 2016/10/26 (水) 07:29:29 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
横から失礼します。
ずーっと読んでいますが電場、磁場という用語と電界とか磁界とうい用語を使う人も
います。完全に同じ意味なら、統一した用語にしていただけませんか。
私へのレスは不要です。
93 ghsobo 2016/10/26 (水) 08:50:01 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
ここは質問コーナーなので
「電磁場が運動する」とはある座標の任意の点に電荷を置くと時間とともに力を受ける
方向と大きさが刻々と変わるという意味ですね。オイラーの立場です。
94 黄昏に帰る 2016/10/26 (水) 09:52:56 ID:NTutyxmtEU [修正] [削除]
>>92 失礼しました。ついつい電気のくせが出ます。「電場・磁場」にします。

>>91
1. 難しくないので、無理に特相対論無しで考える必要もないと思いますが、一応説明します。静電場は
E=q/(4πε₀r²)、電流qvによる真横の磁場は ids=qvなので、ビオ・サバールの式から B=μ₀qv/(4πr²)
=(v/c²)E. となる。これらのローレンツ力を考えると q(E+v×B)=q(1-(v/c)²)E=qE/γ² となり、特相論の
1/γとは少し異なりますが、一応の説明はできます(違いは多分、相対論効果)。

2. レンツの法則をどのように電荷ペアに適用して、どのような説明がなされるのかわからないので、
わかりません。 >>86 の式は難しくて分かりません。

3.
>つまり、「磁場が運動している」という概念は原理的にありえません。
>「一様磁場が運動する」という状況は想定できません。

上は理解できないので、パスさせて下さい。

なお、電磁場が運動するということは、源も考えるなら込みで考え、源の運動による効果が電磁場に
現れます。源から計算しなくても電磁場だけで計算できるのが座標変換と思います。

というか、源も込みで変換するのが座標変換ですから、変換した電磁場に変換した源の効果を加味する
ということは無いと思います。

例えば、源はローレンツ変換で、q'=γq、i'=γqv となるので、上の議論のローレンツ力のγ倍になり、
電磁場のローレンツ変換と一致します。
95 大学生A 2016/10/26 (水) 10:56:32 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 15:39 [修正] [削除]
総電荷量はローレンツ不変。
電荷密度はローレンツスカラ。
では?

***************************************************************

hirotaさん、そうですね。電荷密度はスカラ量ではないです。
不変量とスカラ量は共に数値は変わらず、関数形が一致するか否かの違いですね。
すみません。m(_ _)m
96 黄昏に帰る 2016/10/26 (水) 11:18:42 ID:NTutyxmtEU [修正] [削除]
>>95 そうでした。申し訳ありません。
やはり、運動する源の議論は難しいのでした。>>94 の最後は無視してください。
97 hirota 2016/10/26 (水) 13:24:27 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
電荷密度は4元電流密度ベクトルの時間成分。
98 ghsobo 2016/10/26 (水) 15:06:59 ID:o31aFqxxYw 修正アリ: 18:07 [修正] [削除]
ここは一般の人が持つ疑問に対する質問コーナーなので、回答もそのレベルで行うのが
筋なので、その旨で質問回答します。
>>94
「磁場が動く」というのはわかりやすく言うとある座標系Aで見て速度vで動く磁石が固
定された座標系または電流のある導体に固定された座標をA座標系で見れば磁場が動くと
表現されるのでは?基本的に電磁気学はオイラーの立場です。

何周も遅れた回答で申し訳ないけど、あえて回答ですが、1の質問者の両方向の流れる時の
導体での引力は負電荷と正電荷が同密度であるためクーロン力は生じません。負電荷と正電
荷の相対速度による磁場のみ発生での引力です。2つの電荷の並走の場合は非常に複雑な計
が必要で、クーロン力+磁力ですが、v<<cなので正反対に働く磁力は極めて弱い。
動いているので相対論的に静止した時より時間の遅れで運動がゆっくりした分が磁力が生じ
たとみなして精算される。

ここでは先に述べたようにあくまでも質問コーナーなので質問者に納得してもらうようする
のがふさわしいと思っています。色々言って申し訳ございません。
99 nagata 2016/10/27 (木) 13:24:06 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
>94

磁場が座標変換できることと、
「磁場そのものが運動速度を持っている」ことは別の現象と捉えています。
なので、磁場そのものは運動速度を持たないと解釈しています。

一方、磁力線は等高線みたいなものなので、
磁場の時間変化に従って移動するし、移動速度を求めることができる。

1)ローレンツ力の発生を、「磁場中を電荷が運動すると発生する」と定義すると、
並走する電荷の場合、磁場と電場の変化量が打ち消しあうことになる。

2)「ローレンツ力は電荷が磁力線を横切った時に発生する」と定義すると、
並走する電荷ではお互いに磁力線を横切ることがないのでローレンツ力は発生しない。

厳密に電磁気学を適用するとこれまで議論してきたように1)の説明になると思いますが、
直観的(素人的?)には2)の説明がわかりやすい。
1)を計算すると2)が出てくるので、見当はずれの説明とはいえない。

ここで新たな疑問が出てきます。
「時間変化しない一様磁場」を定義すると、
この磁場はどの座標系から見ても「時間変化しない一様磁場」になるはずだけれど、
磁力線を特定の座標系に固定しなければ2)を説明できません。

磁力線の定義を、電気力線の定義と比較すると、
「N極から出てS極へ入る」となり、
磁力線は発生源である磁荷の座標系に固定されることになる。

現実には磁荷は存在しないけれど、
磁場を定義したら磁荷を仮想的に導入して磁力線をその座標系に固定してあげる必要がある。

1)には磁力線が出てこないので磁荷を導入して座標系を固定する必要はなく、
磁場の座標変換をするだけ。

高校物理の範囲だと2)の解釈に近いと思います。


100 ghsobo 2016/10/27 (木) 16:32:40 ID:o31aFqxxYw 修正アリ: 10/28 (金) 06:46 [修正] [削除]
>>99
時間変化しない一様磁場について
>この磁場はどの座標系から見ても「時間変化しない一様磁場」になるはず
おっしゃる通りですが一様な磁場内において自分が動いているのか止まっているのか
判断できません。言い換えると巨大なシンクロトロン装置は内の一様な磁場では装置
が動いているのか止まっているのか判断できません。一様な磁場内で磁力線の方向を
zとし大きさを(0,0,Bz)とすると
A…x方向に動く荷電粒子はローレンツ力うけて進行方向と垂直な力yを受けます
B…止まっている荷電粒子はそのまま止まったままです
nagataさんの考えは磁力線があるから判断できるという考えですね。
Bの場合でもシンクロトロン装置内を動く座標系で見ると荷電粒子は動いているので
1)のローレンツ力  $\mathbf{F}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ うけるのではと
動く座標系で見ると磁力線も荷電粒子と一緒に動いているので力を受けないと
コレに関してYahoo知恵袋に
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1424852844
に同様な疑問が載せられていますがベストアンサーも磁力線が特定な座標に固定されている
という回答ですが、正しくないと思っています。ベストアンサー以外の人の回答の方が正しい。
だから磁力線を特定な座標に固定する必要はありません。
この問題に関して砂川著理論電磁気学の337p〜340pあたり。

※訂正 一様磁場が作れるのはシンクロトロンではなくサイクロトロンです。その他ヘルムホル
ツコイルです
101 黄昏に帰る 2016/10/27 (木) 17:57:37 ID:NTutyxmtEU [修正] [削除]
>>99
1. 磁力線は磁場のイメージ化の1つと思うので特に区別しておらず、何とも言えません。
2. 1)2)はちょっと違います。ローレンツ力はある座標系を取ると、その座標系での磁場Bとその座標系での電荷
 の速度で 定義されています。磁場が運動していると考えられるときでも、その運動に関係なく基準座標系で測
 定された磁場Bです (勿論、qv×Bで測定するわけなので、身も蓋も無いですが)。

3.
> 2)並走する電荷ではお互いに磁力線を横切ることがないのでローレンツ力は発生しない
 話が難しいですが、この場合、磁場と電荷が並走する条件と異なると思います。つまり、電荷は走って磁場を発
 生させる わけで、静止状態の磁場が運動するわけではない。
102 nagata 2016/10/28 (金) 03:51:05 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
>>100

>一様な磁場内において自分が動いているのか止まっているのか
判断できません。
>nagataさんの考えは磁力線があるから判断できるという考えですね。

2)のように考えた場合です

1)の場合、与えられるのは磁場のみですので、
与えられた磁場を座標変換するだけです。
この場合、与える磁場をどの座標系で観測される磁場かを決める必要がありますね。

シンクロトンの例をとると、
磁場の発生源はコイルの導線内の陽イオンと自由電子なので、
磁場内の電荷が装置の移動速度がわからなくなるということはないですね。

ちょっと考えてみたところ、一様磁場でも磁場の発生源の電荷まで考えて、
それらの総和とすれば>>1の条件と同じように考えられますね。

1)と2)の違いですが、
結局のところ、1)は観測座標系で直接力の計算を行っているのに対し、
2)は磁力線の発生源の座標系で力を計算しているにすぎないですね。

どちらの計算方法も近似的に間違ってはいない。
2)の磁力線を固定するという作業は、
実質的に「発生源の座標で計算する」とやっていることは同じ。
計算テクニックとしては使えるけど、
厳密な意味での電磁気論の説明としては間違いということですね。

並走する場合はキャンセルするので計算結果に差は出ないけど、
並走しない場合は相対論効果で誤差が出ますね。

磁場の存在自体、相対性理論ですべき計算を簡単にする方法の一つにすぎないので、
定義の仕方を変えて計算しても問題はないと思います。
その場合、定義を変えたことを明言する必要がありますが。

103 nagata 2016/10/28 (金) 04:11:30 ID:s7NQN0Lr/I [修正] [削除]
>>101
>磁場が運動していると考えられるときでも、その運動に関係なく基準座標系で測定された磁場Bです

磁場が運動する→磁場を座標変換する
という解釈でよろしいでしょうか?
この場合、1)の範囲内なので、
私の言っている「磁力線を固定する」とは意味が異なります。

>3.
> 話が難しいですが、この場合、磁場と電荷が並走する条件と異なると思います。つまり、電荷は走って磁場を発
 生させる わけで、静止状態の磁場が運動するわけではない。

磁荷(モノポール)を定義すると静止状態の磁荷が磁場を発生させることができます。
導線内の自由電子の電流速度も遅いので、
静止していると近似しても問題ないはずです。

磁場は座標系に付随するものなので、
「磁場が運動する」と言ってしまうと、
「座標系が運動する」という意味と同義になりますね。

104 黄昏に帰る 2016/10/28 (金) 09:46:19 ID:NTutyxmtEU [修正] [削除]
>>103 >磁場が運動する→磁場を座標変換するという解釈でよろしいでしょうか?
 そのような状況を考えていましたので、違うのでしたら申し訳ないです。

>磁荷(モノポール)・・・
電荷しか考えていなかったので、これも申し訳ないです。
105 ghsobo 2016/10/28 (金) 12:06:05 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
nagataさん、引用するときはやや短め30文字くらいで切って改行して引用符を
つけ下さい。でないと上の「判断できません。」がnagataさんが書いたように
思われます。
>電磁気論の説明としては間違いということですね。
上のYahoo知恵袋のベストアンサーは正しくないと思っています。

nagataさん、黄昏に帰るさん、その他の皆さん
このスレッドは100超えましたので別スレでやりたいと思います。どうでしょうか
タイトルは
「一様磁場内でのローレンツ力のパラドックス」です
内容は
ローレンツ力はF=q(E+v×B)ですが、このvは何に対するvなのか、
一様磁場内では絶対静止系はありうるのか、ある座標系で荷電粒子が静止していると
ローレンツ力はかからないので、そのまま動かない。だけど別の動いている座標系か
ら見ると、その荷電粒子は動いているのでローレンツ力が掛かりBの方向と垂直なら
円運動するはずで、明らかに矛盾する。これはローレンツ力のパラドックスと言いま
すが、その解明に当たります、高校生も見てますのでそのレベルで話を進めたいと思
います。
106 甘泉法師 2016/10/29 (土) 18:14:55 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 21:51 [修正] [削除]
こんにちは。

>>86 Aが「運動」していると <tex>\frac{D \mathbf{A}}{D t}:=(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=0</tex> と右辺第2項はゼロ。

(補足)
1

D/Dt 物質微分 material derivative、Wikipediaによるとたくさん別名があって

advective derivative
convective derivative
derivative following the motion
hydrodynamic derivative
Lagrangian derivative
particle derivative
substantial derivative
substantive derivative
Stokes derivative
total derivative

は、明らかにガリレイ変換に対して不変なので 0になるというのはあくまで近似でないか と考えたのですが相対論的に不変な関係

<tex>\frac{D}{D\tau}:=u^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}</tex>

<tex>\frac{D}{D\tau}=\gamma^{-1}\frac{D}{Dt}</tex>
定数係数しか違わないので大丈夫かなとみています。

2

<tex>-\gamma\mathbf{F}/q=(\kappa_\mu u^\mu),_\lambda+\frac{D}{D\tau}\kappa_\lambda</tex>

λ=1,2,3 . λ=0もとる4元共変ベクトルにかく

<tex>(\ (\kappa_\mu u^\mu),_0+\frac{D}{D\tau}\kappa_0,-\gamma\mathbf{F}/q)=(\kappa_\mu u^\mu),_\nu+\frac{D}{D\tau}\kappa_\nu</tex>

0成分は仕事に相当する。 電場も磁場も系とともに「動く」とすると
<tex>\frac{D}{D\tau}\kappa_\nu=0</tex>

<tex>(\ (\kappa_\mu u^\mu),_0,-\gamma\mathbf{F}/q)=(\kappa_\mu u^\mu),_\nu</tex>

磁場(ベクトルポテンシャルのこと)は式にまだ残っている。 それでも磁場をつかわないでいうことに腐心するとふたつの系にまたがり、「静止系」のφを「運動系」の座標でgrad をとってγをかけることをあらわす。
これではなんともならないので
<tex>\sim(\kappa_0 u^0),_\nu=\gamma\kappa_{0,\nu}</tex>
「運動系」のφを「運動系」の座標でgrad をとることに近似的に一致。







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