1 トビラ。。 2015/07/03 (金) 01:57:52 ID:ZQOavh2Flg 修正アリ: 07:20 [修正] [削除]
僕も偉大なひゃま様にならってトビラ理論を作ってみました。

目標とするのは質量を持ち亜光速で運動する粒子の古典的な物理量です(例えばニュートリノです。超新星爆発の光を観測した時刻とニュートリノを検出した時刻がほぼ同時刻であることからニュートリノは光速度である可能性が高いです。また、ニュートリノ振動により質量を持ちます。)。

最も基本的な方程式を

<tex>E^2=m^2c^4+p^2c^2\quad\quad \quad (p^\mu p_\mu=-m^2)</tex>

であるとします。質量を持っているので

<tex>\vec p=p^i=\frac{mv^i}{\sqrt{1-(v/c)^2}}</tex>

とします。よって

<tex>E^2=m^2c^4+\frac{(mvc)^2}{1-(v/c)^2}</tex>

となりますが、亜光速であるので

<tex>E^2=m^2c^4+\lim_{v\to c} \frac{(mvc)^2}{1-(v/c)^2}</tex>

となります。このままでは単純に発散してしまうので繰り込み理論をつかって発散部分を取り除くとします。そこで右辺第二項を次のように変形します。

<tex>\lim_{v\to c}\frac{(mv)^2}{1-(v/c)^2}=\lim_{v\to c}\frac{(mv)^2}{1-\exp (\ln (v/c)^2)}=\lim_{v\to c}\frac{(mv)^2}{1-\exp (-\ln(c/v)^2)}</tex>

ここで、

<tex>a=\ln (c/v)^2\quad\quad \lim_{v\to c}\quad\to\quad \lim_{a\to 0}</tex>

とすると、

<tex>\lim_{a\to 0}\frac{(mc)^2}{1-\exp (-a)}</tex>

このままでは発散するので<tex>\exp (-a)</tex>を冪に展開します。

<tex>\lim_{a\to 0}\frac{(mc)^2}{1-1+a-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{3!}a^3+O(a^4)}=\lim_{a\to 0}\frac{(mc)^2}{a}\frac{1}{1-\frac{1}{2}a+\frac{1}{3!}a^2+O(a^3)}=\lim_{a\to 0}\frac{(mc)^2}{a}\left(1+\frac{1}{2}a-\frac{1}{3!}a^2+O(a^3)\right)=\lim_{a\to 0}(mc)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{2}+O(a)\right)</tex>

この右辺第一項は極限で発散するので繰り込みます。第三項は極限で0になります。第二項は定数として残ります。よって

<tex>\mid \vec p\mid ^2=\frac{(mc)^2}{2}</tex>

が導かれ

<tex>E^2=\frac{m^2c^4}{2}+m^2c^4=\frac{3}{2}m^2c^4</tex>

となります。ここからは面倒であるので自然単位系を用います。よって

<tex>E^2=\frac{3}{2}m^2</tex>

となるわけですが、同様のことを<tex>\vec p</tex>について行ってみます。特に、進行方向を<tex>p^1</tex>に揃えておきます。
計算が間違っていなければ

<tex>p^1=\lim_{a\to 0}\frac{m}{\sqrt a}\left\{ 1+\frac{1}{4}a+\frac{1}{96}a^2+\cdots\right\}</tex>

になります。同様の考察で第一項の発散を取り除くと第二項以降は極限で0になります。よって運動量は $0$ とないります(ただし2乗すると値を持つ)。
このようにして

<tex>m=\sqrt{\frac{2}{3}} E,\quad\quad \vec p=0\quad \quad v\to c</tex>

という質量を持ち亜光速で運動し、運動量が0である粒子を導き出しました。

この性質をもつ粒子を、ここは謙虚に、「トビラ丸-第三粒子(略してT3粒子)」と呼ぶことにしましょう $^{\ast 1}$ 。

僕はこのトビラ丸-第3粒子がニュートリノの質量と一致するのではないかとひそかに期待しています。

常に運動量が0(物質と相互作用しない)であるにもかかわらず質量やエネルギーを持っています。よってこれはダークマターの候補としても考えられるのではとも思ってます。

どやぁぁぁあああ


 $\ast 1$ ;トビラ丸-第一、第二粒子、第四粒子についてはまたの機会に紹介します。
2 トビラ。。 2015/07/03 (金) 20:46:06 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
ミスしてました。繰り込み理論とは違ってました。
お蔵いきでお願いします。消すのはもったいないので消しません。
3 トビラ。。 2015/07/04 (土) 04:32:35 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
と、思ったんですが、次のように考えれば正当性を取り戻しました。

<tex>E^2=\lim_{v\to 1}\frac{m^2v^2}{1-v^2}+m^2</tex>

(自然単位系を用いてます。)

<tex>E^2&=\lim_{\epsilon\to 0}\lim_{v\to 1}\frac{m^2v^2}{1-v^2e^{a \epsilon }}+m^2\\&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{m^2}{1-e^{a \epsilon}}+m^2\\&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{m^2}{1-1-a \epsilon-\displaystyle\frac{1}{2}a^2\epsilon^2+O(\epsilon^3)}+m^2\\&=-\lim_{\epsilon\to 0} \displaystyle\frac{m^2}{a\epsilon}\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{2}a\epsilon +O(\epsilon^2)}+m^2\\&=-\lim_{\epsilon\to 0}\frac{m^2}{a\epsilon}\left( 1-\displaystyle\frac{1}{2}a\epsilon+O(\epsilon^2)\right)+m^2\\&=\lim_{\epsilon\to 0}\left( -\frac{m^2}{a\epsilon}+\displaystyle\frac{m^2}{2}+O(\epsilon)\right)+m^2 </tex>

ここで右辺第一項を繰り込むと極限で第二項だけが残り

<tex>E^2=\frac{m^2}{2}+m^2=\frac{3}{2}m^2</tex>

となります。質量殻条件がすべての物質に対して成立していると考えるとこれはニュートリノの質量であると思います。すなわち、ニュートリノの質量は

<tex>m=\sqrt{\frac{2}{3}}E</tex>

です。





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