1 たむぶん 2015/07/02 (木) 23:52:27 ID:OVGPbiZO1Q 修正アリ: 07/04 (土) 01:42 [修正] [削除]
ここ数日、綱渡りで、何故バランスを立て直せるか考えているのですが、納得行く説明が思いつかないので、質問に来ました。

そもそも、以下の仮定が間違っているかも知れませんが、綱は十分重く半径0、たわんだりせず、足が綱に接している場所の摩擦  $0$ とします。
人間と綱渡りで持つ棒とを合わせて一つの系と考え、その重心が、綱の鉛直真上から少し右に傾き始めたとします。
この時、棒を動かしたり姿勢を変えたりして、重心の位置を綱の真上に戻すことが出来るのでしょうか。

内力だけでは人間と棒を合わせた重心の位置は変わらず、重力は鉛直下向きなので、重心を左には戻せません。
あとは綱からの抗力しかありませんが、これは、綱と足との接点から受ける力なので、重心の位置を変えるトルクになりません。

こう考えると、無視していた足と綱との摩擦、綱の半径がバランスを立て直すために本質的に重要な要素なのかも知れないと思い始めました。
合っているでしょうか。
2 hirota 2015/07/03 (金) 00:16:57 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
内力だけで重心位置を変えることはできます。
腕を縦にぐるぐる回したときの角運動量保存則を考えて下さい。
3 takoyaki 2015/07/03 (金) 00:37:05 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
難しい話はわかりませんが、「むにむに教授」の動画がヒントになりそうな気がするので、リンクを貼っておきます。
http://www.nicovideo.jp/watch/sm22452769
4 ナマステ 2015/07/03 (金) 21:22:23 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
足と綱の接する面は水平と決まっておらず、傾けることは容易と思います。
つまり、綱から受ける力は水平成分を持ちうると思います。
5 たむぶん 2015/07/03 (金) 23:36:46 ID:OVGPbiZO1Q [修正] [削除]
皆さん、回答ありがとうございます。

ただ、hirotaさんのおっしゃっている事は正しくありません。
腕を縦にぐるぐる回すと、確かに腕以外は逆回りに回りますが、その場合でも、腕と腕以外を合わせた系全体としての重心は変わりません。
角運動量も腕を回す前と回しているときとでは同じです。

takoyakiさんのリンク先も見てみましたが、これも内力を使えば、体の向きを変える事ができると言っているだけで、重心の位置を変えるものではありません。
落ちているネコの重心は、外力が重力だけなら、単なる放物落下運動しかしませんし、重心の回りの角運動量もトルクが加わらないので変わりません。

ナマステさんのおっしゃっていることは、以下の理解で正しいでしょうか。
体が右に倒れかけているとすると、棒を左に伸ばせば、重心の位置はそのままで体が右により大きく傾きます。
体が一直線だとすると、その線は綱と重心を結ぶ線より少し右に傾いていることになります。
綱に摩擦が無い場合、綱から受ける力の向きは、体の方向、つまり、重心に向かう方向よりは少し右に傾いているので、これが重心回りに体(と棒)を回すトルクになります。

以上の意味なら、私も考えはしたのですが、これでは、傾いた重心の位置を元に戻すような、綱を中心とした回転運動のトルクは生み出せません。
そのような回転を生み出すトルクとしては、綱と足との接点での摩擦力に、接点と綱の中心の間の距離を掛けたものしか考えられないと思うのです。
6 coJJyMAN 2015/07/03 (金) 23:37:54 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
僕は、足と綱との摩擦が一番大事なポイントだと思います。
7 たむぶん 2015/07/03 (金) 23:56:05 ID:OVGPbiZO1Q [修正] [削除]
coJJyMANさん、ありがとうございます。

凄く小さいトルクしか出ないように感じますが、摩擦以外考えられませんよね。
8 ナマステ 2015/07/03 (金) 23:57:22 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
棒渡りと綱渡りで問題が全然違うんじゃないでしょうか?
綱渡りなら、綱の位置を変えられるのではと思うのですか。

体が右に倒れそうなときは、足をうまく使って、綱を重心方向に動かすような力を加えられると思います。
それで、綱が重心の真下に来たら、再び綱からの力が真上になるようにします。

棒の場合で、同じようなことをすると、棒は確かに動きませんし、重心周りの回転も止められませんが、重心を棒の方へ動かすことはできるはずです。
それで、綱の場合と同様に、重心が棒の上まで来たら、元の力に戻せばいいと思います。
9 べん 2015/07/04 (土) 00:07:31 ID:DAbReGO9C2 [修正] [削除]
>>5

右に倒れかけているときは棒を右側のばして体を左側に持っていくのが普通でしょう。
体の位置が左にくるので綱からの力は鉛直上向きよりやや左に傾いたベクトルとなり、水平左向きの成分を持ちます。
トルクの方はhirotaさんのおっしゃるように内力でなんとかなる。
全角運動量は重心の軌道角運動量プラス重心まわりの内部角運動量なので
トルクによって全角運動量増加するとしても、後者の増加が大きければ前者が減少することもあり得ます。
10 coJJyMAN 2015/07/04 (土) 00:30:55 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
綱の両端はどこかに固定されているはずです。
しかも、綱の材質は多少伸縮する、いわゆる弾性をもっていると考えるのが自然です。
そうすると、自分の肉体と綱を一体化させて、重心を滑らかに移動させることができます。

綱渡りで、綱を「渡らずに」仮にその場でとどまっていたとしても、上手くバランスを取れば、揺れながらも落ちることがないような運動ができることが、容易に想像できます。
(ただし摩擦がなければ、ただちに滑って落ちるでしょう。)

これはつまり、ブランコを漕ぐのと本質的に同じ物理です。

ちなみに、ブランコの物理については「むにむに教授」の動画
「ブランコで一回転できるか?」永年の謎に決着をつけた」
http://www.nicovideo.jp/watch/sm14518057
がとても興味深いです。


11 coJJyMAN 2015/07/04 (土) 00:45:17 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>>10
[追記]もし弾性のない硬い材質でも、円弧状の棒であれば同じ物理になります。

初期状態で揺れているブランコを、うまく重心移動することによって、その振幅を減少させるテクニックは確かに存在するので、同じ理屈で綱渡りも実現されているはずです。
12 ナマステ 2015/07/04 (土) 01:05:02 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 01:37 [修正] [削除]
あー何か勘違いしてた気がします。

ある回転軸に垂直に棒が固定されているとします。
棒の端点は回転軸に固定されています。
棒の反対の端点にはプロペラが付いています。
棒もプロペラも最初止まっていたとして、無重力下でプロペラを回すと、棒は回転し始めるということですよね?

まず、 $\Vec{R}$ の周りで二つの同じ質量の物体が、 $\Vec{R}+\Vec{r}$ と $\Vec{R}-\Vec{r}$ という関係を保って回っている場合を考えます。
その角運動量は
<tex>m(\Vec{R}+\Vec{r})\times (\Vec{V}+\Vec{v})+m(\Vec{R}-\Vec{r})\times (\Vec{V}-\Vec{v}) &=2m\Vec{R}\times\Vec{V}+m(\Vec{R}+\Vec{r})\times \Vec{v}-m(\Vec{R}-\Vec{r})\times \Vec{v}\\&=2m\Vec{R}\times\Vec{V}+2m\Vec{r}\times\Vec{v}\\&=2m\Vec{R}\times\Vec{V}+2m\Vec{r}\times(\Vec{\omega}\times\Vec{r})\\&=2m\Vec{R}\times\Vec{V}+2mr^2 \Vec{\omega}</tex>
となります。
プロペラが回る場合はこれを積分をすればいいだけです。
したがって、回転軸周りの角運動量が保存するために、プロペラが回ったら、棒は回転軸を中心に回るはずということですね。
13 たむぶん 2015/07/04 (土) 01:26:57 ID:OVGPbiZO1Q [修正] [削除]
ナマステさん、coJJyMANさん、綱の方が動くという要素を考えていませんでした。その要素については、自分で再考してみます。あと、ナマステさんが12番で書かれてるのは、どこに関連した内容か分かりませんでした。

べんさんの説明は、固定されていて、動かない棒の上でのバランスですね。綱渡りというと変ですが、当面この棒みたいな綱渡りで考えさせて下さい。
右に倒れそうな時に、手に持った棒を右に伸ばし、綱からの力を鉛直より左に傾け、この力の水平左向き成分により、右に傾いた重心を左に戻す並進運動に関しては理解できます。

トルクの方の説明が分かりません。

鉛直に立っている時の前方向をy軸とします。
先ほどの棒を右に伸ばした状況では、綱から受ける力は、人間と棒を合わせた系の重心まわりの、y軸方向の角運動量を大きくするトルクになります。
体は、重力によって右に倒れかけているので、重心の軌道角運動量(綱回り)のy軸成分も大きくなっていってます。
内力による運動は、任意の点を中心にしたトルクを考えた場合に、いつでも作用のトルクと反作用のトルクが打ち消し合ってしまうので、角運動量の変化には寄与できません。
重心の位置を元に戻すためには、角運動量y成分を一旦マイナスにしないといけませんが、この角運動量変化は、どのトルクから貰えばいいのでしょうか。

ブランコに関しては、私は別の原理だと思っています。リンク先の動画でのブランコの勢いの付け方よりもっと上手く勢いを付けて一回転出来ると思いますが話がそれそうなので止めておきます。
14 たむぶん 2015/07/04 (土) 01:36:09 ID:OVGPbiZO1Q [修正] [削除]
coJJyMANさんの11番で書かれている、初期状態で揺れているブランコの振幅を減衰させるテクニックが存在するというのは同意します。摩擦の無い理想的なブランコでも出来るはずです。
15 ナマステ 2015/07/04 (土) 01:39:33 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 01:45 [修正] [削除]
棒とプロペラの話はつまり、綱渡り中に棒を回せば、綱を中心とした体を戻すトルクが働くはずということです。

私の>>12
>棒は回転し始めるということですよね?
というのはほんと通じるわけがないのですが、「hirotaさんやべんさんの言ってることの意味ってこういうことですよね?」という確認です。
言葉足らずですみません。
16 coJJyMAN 2015/07/04 (土) 01:40:47 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
理論的なことは難しくなってしまうのですが、他の専門家の方向けに参考文献をあげておきます。
「綱渡りロボットのモデル化と安定化制御」
http://www.lab.kochi-tech.ac.jp/oka-lab/society/ron_pdf/okalab20071124_OS4_229.pdf

この論文によると、綱渡りに必要なことは、
@ロープと足の裏の間の摩擦
Aロープのたわみ
B動かせる両腕
の3点だそうです。
B両腕の振りで重心を移動させるのですが、Aロープにたわみがないとトルクがそもそも発生しないみたいです。
17 たむぶん 2015/07/04 (土) 01:50:50 ID:OVGPbiZO1Q [修正] [削除]
ナマステさん、おっしゃっていたことが、分かりました。
確かに重心が動きそうです。
風呂の中でじっくり考えてみます。

coJJyMANさん、これはじっくり読まないといけなさそうです。
疑問氷解するかもしれません。
18 hirota 2015/07/04 (土) 01:54:33 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
足の裏の角度が可変なら摩擦とたわみは安定化に必須じゃないな。進行は出来んが。
19 たむぶん 2015/07/04 (土) 02:05:41 ID:OVGPbiZO1Q [修正] [削除]
ナマステさん、風呂に入るまでもなく分りました。hirotaさん、5で違うと書いてしまい失礼しました。

12でナマステさんが書いてる例で言うと、最初静止した状態から、内力を使ってプロペラを回すと、内力のトルクの合計は 0 なので、
全体の角運動量は 0 のまま、重心が回転運動する軌道角運動量によって、自転角運動量を打ち消すのですね。

色々考えなおさないといけなくなってきました。
20 たむぶん 2015/07/04 (土) 03:47:48 ID:OVGPbiZO1Q [修正] [削除]
直前で分りましたと書いてしまいましたが、新たな疑問が出てきました。
綱渡りは一旦忘れて、12でナマステさんが書かれた回る棒の先にプロペラがある問題です。

最初、全部が静止していたとして、そこから内力を使ってプロペラを回せば、角運動量の保存則によって重心が逆周りを始める、とのことですが、
この場合、重心の位置がずれるので、系全体の並進運動が起こっています。その運動量変化(角運動量変化ではなく)は、どこからやってくるのでしょうか。
21 ********** 2015/07/04 (土) 10:15:47 ID:********** 削除日時: 15:24
(投稿者によって削除されました)
22 ナマステ 2015/07/04 (土) 12:02:29 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 13:53 [修正] [削除]
>>20
張力と違って、回転軸が棒に及ぼす力が棒に平行であるとは限らないので、回転軸から重心の位置を変える力を受けるはずです。
綱渡りでも綱から受けるはずですね。

じゃあ棒じゃなくて糸だったらどうなるんだと考えました。
プロペラからのトルクによって糸は巻き取られてしまうことになると思うのですが、これは回転軸周りの角運動量は保存しますかね?
また、物理でよくある太さを無視した糸を考えると、糸は巻き取ることはできないと思いますが、系の回転対称性からして角運動量は保存するはずで、どうなるのかわかりません。

【追記】
糸を巻き取ることができないようではプロペラにトルクをかけられないということですね。
23 たむぶん 2015/07/04 (土) 14:34:18 ID:OVGPbiZO1Q [修正] [削除]
hsaitoさんの言われるように、地球も含めれば、系全体の運動量や角運動量が変わらないのは確かですが、疑問なのは、
「棒の持ち方を適当に変えれば」の部分で、それをどう変えれば、どういう仕組で崩れたバランスを元に戻せるか、です。

ナマステさん、納得しました。
確かに、棒の回転軸が棒に及ぼす拘束力で重心の位置が変わりますね。
棒の先のプロペラを内力で回すためには、実際にはプロペラの軸に有限の大きさを持ったモーターみたいな物が必要で、
その中でプロペラの両端の錘に対して偶力を与える必要があります。
錘の方からは、軸の内部の(最低)二点に反作用が働きます。棒とプロペラの重心からその二点までへの距離の差があるので、
棒の軸からの拘束力がなければ、重心を中心にして棒が逆回りしてしまいます。
それを止めるために棒の軸から加えられる拘束力で、重心が並進運動するのでした。
この拘束力は、軸から距離 0 の位置で受けているので、重心の軌道角運動量は変化させません。これで、全部辻褄があいそうです。

糸の方はまだ考えてません。
24 たむぶん 2015/07/04 (土) 23:25:52 ID:OVGPbiZO1Q [修正] [削除]
12の問題から、少し綱渡りに近づけて、プロペラのついた棒が軸の真上に乗っている場合だと、
棒が軸から受ける拘束力の内、棒の向いている方向に垂直な成分は摩擦になると思います。
つまり、重心を並進運動させるのは摩擦ということになり、最初私が思っていた(摩擦が作るトルクによって、重心の軌道角運動量が生まれる)
のとは大分違いますが、やはり摩擦は、綱渡りでバランスを取るためには本質的に重要な役割を持っていると言えそうです。





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