1 トビラ。。 2015/05/31 (日) 16:13:02 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
<tex>S=-mc\int ds</tex>
という作用は光子に適応されていますでしょうか?疑問です。

<tex>\spadesuit </tex>自分の否定的な意見

1);光子の場合<tex>m=0</tex>であるので、作用に最少作用の原理も用いることができない。(自明に最小であるから)

2);同等の対称性(ポアンカレ不変性ならびにパラメーター付け替え不変性)をもち、作用原理として等価な
<tex>S_{pp}=\frac{1}{2}\int d\tau \left( \eta^{-1}\dot x^\mu \dot x_\mu -\eta m^2\right) </tex>
を持ちるべきである。これは<tex>m=0</tex>でも有用。

<tex>\spadesuit </tex>自分の肯定的な意見

3);作用積分では係数の値は問題にならない。実際繰り込み理論などでは値が発散していることもあるし、逆に、運動方程式を解いてみたら、作用はに現れている関数は0だったってこともある。(b-c理論の作用とか)。最少作用の原理は、関数を変化させることの最小値という意味なので問題ない。

4);<tex>S_{pp}</tex><tex>m=0</tex>を代入しても、光子のエネルギーと運動量の関係式を導くことができない(個人的に)。ので意味不


<tex>\spadesuit </tex>自分の肯定的な意見に対しての反論

5);経路積分での停留位相近似法が正しければ、主張3)は成立しないきが・・・(弦理論では問題とはならないけど)



こんな感じで混乱してます。ご教授ください。

自分の中では3)の主張が優勢です。ただ確信は持てません。あと、4)に書いているように<tex>S_{pp}</tex>から、光のエネルギーと運動量の関係式って導けるのでしょうか?
2 甘泉法師 2015/05/31 (日) 18:26:06 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

電磁場の作用密度は 電磁場テンソル $F_{\mu\nu}$ をつかって $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ とあらわれる筈です。
3 トビラ。。 2015/05/31 (日) 19:14:31 ID:ZQOavh2Flg 修正アリ: 19:18 [修正] [削除]
甘泉法師さんこんにちは、

お返事ありがとうございます。

すなわち、上の<tex>S</tex>は光子には、適応範囲外ということでいいでしょうか?

僕は、場の作用(電磁場)と、素粒子(光子)の作用は区別すべきだと思うんですが違うのでしょうか?

場としてではなく(空間の性質)としてではなく、1個の光子として扱う場合は、一つの方法として、上の<tex>S</tex>を用いることができそうな気がします。

例えば、標準模型では、クラインゴルドンのラグランジアンや、ディラックのラグランジアンを用いて、上の<tex>S</tex>は用いませんが、単純化された素粒子としての作用として<tex>S</tex>を使うのは適切だと思います。

そう思う理由は、<tex>S</tex>にあらわれている<tex>ds</tex>は「世界線」を表します。光子も世界線を持つので、世界線が最短になるという理由で<tex>S</tex>に最少作用の原理を用いることができると思います。すなわち、4次元時空上で、世界線を描くもの「素粒子」はすべてこの<tex>S</tex>の適応範囲だと僕は思っています。この考えは間違っているのでしょうか?
4 甘泉法師 2015/05/31 (日) 19:39:51 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
 こんにちは。 

 解説できるほど理解に自信はないのでそのつもりでご覧ください。

古典論の作用は 
 物質の作用
 電磁場の作用
 電荷と電磁場の相互作用の作用
の和になります。 手元の教科書で説明のあるのはランダウの場の古典論、ディラックの一般相対性理論です。

 光については ds=0 です。 光線で変分原理をつかったものにフェルマーの定理があります。
5 トビラ。。 2015/05/31 (日) 20:00:57 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
お返事ありがとうございます。


直接の具体例として、

内山龍雄著の「一般相対性理論」p238あたりでは、シュバルツシルド座標の世界線<tex>ds^2</tex>に変分を適応しています。(38.3)(38.4)そしてその結果を光の場合にも応用しています(p238)。そして光の湾曲の計算をしているんですが、これについてはどう思いますか?

6 甘泉法師 2015/05/31 (日) 20:08:27 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 20:59 [修正] [削除]
こんにちは。 その本は持っていないので式の説明をしてもらうとありがたいです。 光についてはds=0ですから、なんらかほかのパラメターが要りそうに思います。
7 トビラ。。 2015/05/31 (日) 20:40:18 ID:ZQOavh2Flg 修正アリ: 21:17 [修正] [削除]
計量は東海岸表示です。

まず、パラメーター<tex>s</tex>
<tex>-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}=1</tex>
を満足するとき
<tex>I=\int ds</tex>

<tex>I=-\int ds g_{\mu\nu}(d x^\mu /ds)(dx^\nu/ds) </tex>
と変形することができます。

そして、これを用いて
<tex>I=-\int d\tau \left\{ -\left(1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2+\left( 1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2+r^2\left\{ (\dot \theta)^2+\sin ^2\theta (\dot \phi)^2\right\}\right\}</tex>
となります。ここでシュバルツシルド座標を採用しました。

これを<tex>x^0,\,\phi</tex>で変分して
<tex>\frac{d}{d\tau }\left\{ \left(1-\frac{a}{r}\right)\dot x^0\right\}\quad \quad \cdots (38.2)\\\frac{d}{d\tau }\{ r^2\sin ^2\theta \dot \phi\}=0\quad \quad \cdots (38.4)</tex>
を得ます。

次に、光の場合を考えます。光の場合にはパラメーター<tex>\tau</tex>(固有時)を用いるわけにはいかないので別のパラメーター<tex>\lambda</tex>を用いることにし、
<tex>0=\left( 1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2-\left(1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2-r^2\{ (\dot \theta )^2+\sin^2\theta (\dot \phi)^2\}\quad \quad \cdots (39.1)</tex>
となります。ここでドットは<tex>\lambda</tex>の微分に変わりました。

(38.2)(38.4)から
<tex>r^2\frac{d\phi}{d\lambda}=h=constant \quad \quad \left(1-\frac{a}{r}\right)\frac{dt}{d\lambda }=b=constant</tex>
がなりたつ。


と書いてます。できるだけ加工せずに移しました。

そして、これをもとに光の湾曲の計算をしています。
8 甘泉法師 2015/05/31 (日) 22:35:58 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

くわしく教えていただき恐縮です。 難しいのでよく読解してみます。
まずは御礼まで。
9 甘泉法師 2015/05/31 (日) 22:45:53 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

><tex>S=-mc\int ds</tex> という作用は光子に適応されていますでしょうか?疑問です。

光はヌル測地線をとおるつまり  $\int ds=0$  なので具合がよくありません。
テキストではヌル測地線の上に適当にふったパラメターλの微分でヌル測地線を表しています。
そのことを作用Sでどうあらわしたらよいか、が課題と存じます。
10 サンマヤ 2015/05/31 (日) 23:19:25 ID:p9sSs48hHk [修正] [削除]
最初の変分では長さsで書いていますが、
変分ではパラメーターはなんでもいいので、
光の場合は単純にsをλに置き換えているんだと思います。

「変分」なので作用は0でも、そこが停留点になっていればそれでいいんだと思います。
11 トビラ。。 2015/06/01 (月) 11:31:53 ID:ZQOavh2Flg 修正アリ: 12:03 [修正] [削除]
甘泉法師様、サンマヤ様お返事ありがとうございます。

僕もサンマヤ様の意見より(かな?)です。例えば、
光なら
<tex>-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}=0</tex>
が成立します。
ここで
<tex>I=\int d\lambda\,\,  g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}</tex>
という作用を作ります(これは0という値を持ちます)。例えば、計量<tex>g_{\mu\nu}</tex><tex>\phi</tex>を変数にもっていたとします(具体的にシュワルツシルド座標を考えていると考えてください。)。ここで
<tex>\lambda\to \lambda^\prime =\lambda\quad \quad \phi\to \phi^\prime =F(\phi)=\phi+\delta\phi</tex>
という変換を考えます。この変換に対し作用は不変です(添字が縮約されているし、それ以前に、どちらも、0という同じ値を持つので)。
よって
<tex>\delta I=I^\prime (\phi^\prime )-I(\phi)=0\quad \cdots (1)</tex>
が成り立ちます。
<tex>I^\prime (\phi^\prime )=I(\phi+\delta \phi)</tex>
に対し、<tex>\delta \phi</tex>を冪に展開して、(1)式に代入すると、運動方程式や保存式(保存の法則の式)が出てきます。

僕はこのような考えなんですが、このような考え方で正しいでしょうか?なんか自信ないですが。
12 甘泉法師 2015/06/02 (火) 09:48:56 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 11:54 [修正] [削除]
こんにちは。

><tex>-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}=0</tex>
が成立します。
ここで
<tex>I=\int d\lambda\,\, g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}</tex>
という作用を作ります(これは0という値を持ちます)

δI=0 から <tex>-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}=0</tex> が導かれるのでしょう。

だとすると光については $I=C\int ds$  Cは任意の定数、どうせI=0なので
ということになりそうです。 

電磁場単独ならそれでもいいが、電荷もあって物質を含め3つの作用の和の変分だとCが相互作用の大きさを規定するので見直しが要ります。

電磁場単独の作用をつかえば
 $\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} dxdydzdt=\int(E^2-H^2) dxdydzdt$  の変分ゼロから E^2=H^2 などビームの性質が規定されその直進やら反射やら屈折が出てくるのだろう、と想像します。 3つの作用の和を考えた係数も整っているはずです。
 
13 トビラ。。 2015/06/02 (火) 13:58:40 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
こんにちは、お返事ありがとうございます。

>δI=0 から <tex>-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}=0</tex> が導かれるのでしょう

僕は、それ以外の方程式も導けると思います。

>電磁場単独ならそれでもいいが、電荷もあって物質を含め3つの作用の和の変分だとCが相互作用の大きさを規定するので見直しが要ります。

僕は、荷電粒子が作る重力場の中を、光子が運動するときの古典的な軌道は。計量に対し、ライスナーの計量を用いれば問題ないと思います。

というのも、上で紹介した本(p,257)には、電磁場の作用と重力場の作用をあさせた作用から、オイラーの方程式を応用し、ライスナーの計量を定めているからです。

>電磁場単独の作用をつかえば
 $\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} dxdydzdt=\int(E^2-H^2) dxdydzdt$  の変分ゼロから E^2=H^2 などビームの性質が規定されその直進やら反射やら屈折が出てくるのだろう、と想像します。 3つの作用の和を考えた係数も整っているはずです。

でもそれでは、電磁がが作る重力場を考慮できていないと思われます。

僕が思うに、作用積分とは、

古典論の作用は 
 物質の作用
 電磁場の作用
 電荷と電磁場の相互作用の作用
 重力場の作用
 
とすべきだと思います。そして、そのほかの計量をミンコフスキー計量から、一般の計量に代えておくべきです。

また、僕は光子は電磁場と(重力での相互作用を除き)相互作用するとは思えないので(光子の電荷は0なので)、物質の作用だけを変分すれば、光子の軌道が求まると思います。



14 トビラ。。 2015/06/02 (火) 14:19:11 ID:ZQOavh2Flg 修正アリ: 14:37 [修正] [削除]
少し追記、

すなわち、光子の場合には、次の手順で軌道を計算すべきだと思います。


トータルの作用は

「物質の作用」+「電磁場と物質の相互作用」+「電磁場の作用」+「重力場の作用」。

であるが、光子は電荷をもたないので、「電磁場と物質の相互作用の項」は消えて

物質の作用+電磁場の作用+重力場の作用

となる。電磁場で満たされた真空中の重力場の作用は

電磁場の作用+重力場の作用    

となる。これに変分をもちいて計量(ライスナー計量)を定める。
光子の軌道を計算するには、

物質の作用+場と物質の相互作用

の項を計算すればいいが、電磁場とは相互作用しないので、物質の作用の項だけを考えればよい。ひいては、

物質の作用の項

を変分すれば求まる。この時、光子が重力場や電磁場に与える影響がないほど、小さなエネルギーであるとするなら、上で求めた真空中の方程式がそのまま用いられ、すなわち、ライスナー計量を用いることができる。


僕はこの計算プロセスが正しいと思います。
15 甘泉法師 2015/06/02 (火) 14:19:36 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>とすべきだと思います。

そうですね。

>物質の作用だけを変分すれば、光子の軌道が求まると思います。

・電荷が物質と電磁場の間で相互作用をさせるもの
・光は電磁場
なので電荷がなくかつ重力は無視できれば

電磁場の作用の変分だけで済む、
光子(量子力学)にはいる手前の幾何光学も説明できる、
重力もいれれば光の重力による曲りも説明される、

筈です。
16 トビラ。。 2015/06/02 (火) 14:29:46 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
僕は、光子を、電磁場という「空間の広がり」としてみるのではなく、「物質」(空間上の点)としてみた場合のアプローチをしているのだと思います。すなわち、その点(空間上の点)の持つ性質は、電荷0、質量0、のボソン粒子です。
17 甘泉法師 2015/06/02 (火) 14:59:15 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

質量をもつ物質と相互作用せず電磁場とも関係ない質量ゼロの粒子であれば
作用は自身だけを考えればよいですね。

重力を無視しないなら、電磁場も物質も自身も寄与するからずべて考えあわせることになるのだとおもいます。
18 ********** 2015/06/02 (火) 15:12:53 ID:********** 削除日時: 15:29
(投稿者によって削除されました)
19 ********** 2015/06/02 (火) 15:21:49 ID:********** 削除日時: 15:28
(投稿者によって削除されました)
20 トビラ。。 2015/06/02 (火) 15:28:42 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
こんにちは

そうだと思います。すなわち、
例えば、典型定期な荷電粒子の計算だと、

物質の作用+物質と電磁場の作用+電磁場の作用

を考えます。そして、物質の運動について考える場合は

物質の作用+物質と電磁場の作用

について変分すればいいです。電磁場の方程式については

物質と電磁場の作用+電磁場の作用

の項について変分すればいいです。これらを合わせてマクスウェルの方程式が導かれたと思います。そして>>14僕が言った計算プロセスは、

点電荷が「重力場」「電磁場」を作り、その空間の真空中のを移動する光子

についてです。この時、光子は、「質量0」「電荷0」「光速度」のボソン粒子(物質)として扱ってます。(”光子=電磁場”ではなく)
21 トビラ。。 2015/06/02 (火) 21:37:17 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
>>1

の疑問は自分の中で解決したと思います。今度改めてそのことについてまとめようと思います。結論から言うと、
<tex>S=-mc\int ds</tex>
は光子には適応できないと思います。
22 サンマヤ 2015/06/03 (水) 09:32:50 ID:p9sSs48hHk [修正] [削除]
>>21
自分はちょっとちがって、
光子であることは忘れて、変分を適用し、
そのあとでヌル測地線であるという拘束条件をつけている、
というふうに理解していました。
23 トビラ。。 2015/06/03 (水) 20:29:25 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
サンマヤ様お返事ありがとうございます。

あくまで僕の解釈で、間違っているかもしれません。
24 トビラ。。 2015/06/05 (金) 02:50:00 ID:ZQOavh2Flg 修正アリ: 03:35 [修正] [削除]
軽く自分の意見をまとめておこうと思います。

まず、面倒なので、自然単位系を用いるものとします。
<tex>S=-m\int ds</tex>
の作用は光子には適応されない。と思います。理由は、作用原理を適応したとしても、係数に<tex>m=0</tex>が必ず入ってきて、結局は意味をなさないからです。すなわち、この作用積分と<tex>m=0</tex>ならば、光速度であるを示すことができません。

それに対し、
<tex>S_{pp}=\frac{1}{2}\int d\tau \left( \eta^{-1}\dot x^\mu \dot x_\mu -\eta m^2\right) </tex>
という作用は光子に対しても有用です(ただし、ここで現れている<tex>\eta</tex>は、ミンコフスキー計量の行列式という意味ではなく場であることに注意が必要である)。

<tex>S</tex>という作用は、パラメーター付け替え不変性と、diff不変性を持っています。特に、場の量子論などでは、diff不変性までは要求せずポアンカレ不変性をのみを要求します。理由はdiff不変性まで要求してしまうと数え上げすぎて繰り込み不可能になってしまうからです。そのため、場の量子論などではポアンカレ不変性という特殊相対性理論の枠組みで作られています。

とりあえずここでも、ポアンカレ不変性のみを要求することにします。
ポアンカレ不変性とは、
<tex>x^\mu\to x^{\prime \mu}=a^\mu_{\,\,\,\nu}x^\nu+b^\mu\\ \eta_{\mu\nu} =\eta_{\alpha\beta}a^\alpha_{\,\,\,\mu}a^\beta_{\,\,\,\nu}</tex>
(<tex>b^\mu</tex>は定数)
という変換に対しての作用の不変性を言います。<tex>S</tex>は明らかにこの不変性を持っています。

パラメーター付け替え不変性とは
<tex>\tau \to \tau ^\prime =g(\tau )\\x^\mu(\tau )\to x^{\prime }(\tau^\prime  )=x^\mu (\tau)</tex>
という変換に対しての不変性を言います。
<tex>S^\prime =-m\int ds^\prime =-m\int d\tau^\prime \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{dx^{\prime \mu}}{d\tau^\prime }\frac{dx^{\prime \nu}}{d\tau^\prime }}=-m\int d\tau^\prime \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\left(\frac{d\tau }{d\tau^\prime }\right)^2\frac{dx^\mu(\tau)}{d\tau }\frac{dx^\nu(\tau)}{d\tau}}=--m \int d\tau^\prime\frac{d\tau}{d\tau^\prime} \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}} =-m \int d\tau \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}} =S</tex>
と不変です。このようにして、<tex>S</tex>はパラメーター付け替え不変性とポアンカレ不変性を持っています。素粒子物理学や場の量子論などでの美の基準(重要視される基準)は、作用の単純な形よりも、作用の持つ対称性が優先されます。

ここで、この作用と同じ対称性を持ち、かつ作用として同等であり、また、できるだけ単純な形(<tex>x^\mu</tex>の導関数がルートから出る形でかつ、あまり高次にならない)に限定するなら、
<tex>S_{pp}=\frac{1}{2}\int d\tau \left( \eta^{-1}\dot x^\mu \dot x_\mu -\eta m^2\right)</tex>
という作用になります(ここで現れている<tex>\eta</tex>は、ミンコフスキー計量とは無関係であることに注意。例えばミンコフスキー計量の行列式でもない。)。この作用はパラメーター付け替え不変性並びにポアンカレ不変性を持っています。また、<tex>\eta</tex>で変分することで、<tex>S</tex>と同等であることが理解できます。唯一異なるのは、この作用は<tex>m=0</tex>に対いしても作用原理は有用であるということです。

ここでは、とりあえず、この<tex>S_{pp}</tex>より、<tex>m=0\Longrightarrow v=c,\,p^\mu p_\mu=0</tex>を示したいと思います。確認はしていませんがおそらく、<tex>v=c</tex>を前提しても同等のものが導けると思います。m=0では
<tex>S_{pp}=\frac{1}{2}\int d\lambda  \eta^{-1}\eta_{\mu\nu} \dot x^\mu \dot x^\nu\quad\quad \dot x^\mu=\frac{dx^\mu}{d\lambda}</tex>
となります。両辺を<tex>\eta^{-1}</tex>で変分することで
<tex>\eta_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}=0</tex>
が導けます。これは粒子の4元の接ベクトルがヌルベクトルであることを表しています。言い換えると
<tex>ds=\sqrt{-\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}=d\lambda \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot x^\mu \dot x^\nu}=0</tex>
より、光速度であることを意味します。ただし、ここで、<tex>\lambda</tex>を固有時<tex>\tau </tex>にすることはできません。理由は
<tex>\Delta s=-c\Delta \tau \quad\quad \to \quad\quad \Delta \tau =-\frac{\Delta s}{c}=0</tex>
より、光速で運動している物体の感じる時間間隔は0であるからです。例えば、パラメーター<tex>\lambda</tex>として、第三者の時間<tex>t</tex>などを選べばいいです。

四元運動量を求めてみると
<tex>p_\mu=\frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}=\eta^{-1}\dot x_\mu</tex>
となります。光速度の式と合わせると
<tex>\eta p^\mu p_\mu=0\quad\to \quad  p^\mu p_\mu=0</tex>
が導けます。次に、この<tex>p_\mu</tex>が保存量であることを示さなければいけません。個人的には、正準エネルギーとして理解したかったのですが、あまりうまくいきませんでした。ので、作用<tex>S_{pp}</tex><tex>x^\mu</tex>で変分して
<tex>\frac{\partial }{\partial \lambda}\left(\eta^{-1} \dot x_\mu)\right)=\frac{\partial }{\partial \lambda}p_\mu=0</tex>
を導きます。ここでパラメーター<tex>\lambda</tex>を座標時間<tex>t</tex>などに選べば、これは保存量であることを示せたことになります。そこで、<tex>p_\mu</tex>の時間成分をエネルギー、空間成分を運動量と解釈することで、<tex>p_\mu p^\mu=0</tex>より
<tex>E^2=p^2</tex>
が導けます。これは自然単位系を用いているので、次元がそろうようにディラック定数や光速度をうまく組み合わせて、
<tex>E^2=c^2p^2</tex>
を示すことができます。

個人的には、この考えかなと思います。
25 トビラ。。 2015/06/05 (金) 03:44:38 ID:ZQOavh2Flg 修正アリ: 05:23 [修正] [削除]
一部ミス。
<tex>\eta</tex>
で変分して
<tex>-\eta^{-2}\dot x^\mu \dot x_\mu=0</tex>
が導け、これより、
<tex>p_\mu p^\mu=0</tex>
です。もしくは、光速度である場合は、weyl不変性、すなわち、
<tex>x^\mu\to x^{\prime \mu}=x^\mu\\g_{\mu\nu}(x)\to g_{\mu\nu }^\prime (x)=\exp (2\omega (x))g_{\mu\nu}(x)</tex>
に対しての不変性を<tex>S_{pp}</tex>が持つので
<tex>\frac{\delta S_{pp}}{\delta \omega }=\frac{\delta g_{\mu\nu}}{\delta \omega }\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}=g_{\mu\nu}T^{\mu\nu}=0 </tex>
を用いてもいいかもしれない。

追記、よく見たらほかにもいくつか書き間違えがありました。(ds)^2=-(cdτ)^2など。でも気にしないww
26 denpa 2015/06/05 (金) 07:28:00 ID:DP0g64pPQU 修正アリ: 11:04 [修正] [削除]
・クラインゴルドン場(ボソン): $(\square+m^2)\phi=0$ 
・アイコナール方程式(幾何光学): $\partial_{\mu}\psi\partial^{\mu}\psi=0$ (粒子として捉えた経路:4元波動ベクトルとの対応 $k_i=-\frac{\partial \psi}{\partial x^i},k_ik^i=0$ )

アイコナールは当然特殊相対性理論に対応できるので、これから測地線の方程式が得られ、クラインゴルドン場で $m=0$ の時の $E$ に対応可能だからこれで足りるといえば足りる。
場の理論は特殊相対性理論だから一般の重力を考えた測地線の式を生み出す作用を考えて作っても、限定用途の測地線の式及び、混ぜるな危険(重力)かなー。

 $S=-mc\int ds$ は直接、光に適用はしてないな。避けてる?(from 場の古典論)

アイコナール方程式、作用 $S$ の変分=0に対応するのは? => フェルマーの原理 $\delta \psi=\delta \int \bm{k} d\bm{l}=0$ 
場の古典論では「古典」として運動量 $\bm{P}=A\bm{k}$ ( $A$ は比例定数,ここでは3次元)としていたが、これは $A=\hbar$ か。
これを前提にして4元波動ベクトル $k^i=\frac{dx^i}{d\lambda}$ ( $\lambda$ :あるパラメータ)の形式で書けて、経路にそって波動ベクトルが変化しない事を考えると、 $dk^i=0$ 。重力場だから共変微分に置き換えて、それが0となると置けば $\frac{dk^i}{d\lambda}+\Gamma^{i}_{kl}k^kk^l=0$ 。 $k^ik_i=0$ で最初の式で用いた $k_i=-\frac{\partial \psi}{\partial x^i}$ を用いれば $g_{\mu \nu}\frac{\partial \psi}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial \psi}{\partial x^{\nu}}=0,\left(g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda} =0\right)$ というアイコナール方程式を得る。
質量 $m$ を持った粒子に適用する $S=-mc\int ds$ を用いるのではなく、光線の経路が最小となる事を見出すフェルマーの原理に $\delta S=0$ が適用されている。

>>1
 $S=-mc\int ds$ の $m=0$ か $ds=0$ かの問題になっていないのはこの為だろうか。
>>4の「光線で変分原理をつかったものにフェルマーの定理があります」が自然に光線というものを導入したと言えるだろうか。
27 甘泉法師 2015/06/05 (金) 12:08:16 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。


>アイコナール方程式、作用  $S$  の変分=0に対応するのは? => フェルマーの原理  $\delta \psi=\delta \int \bm{k} d\bm{l}=0$ 

エネルギーωが経路によらない定数である場合に、運動量kだけが変分にかかるということと存じます。 重力場があればそうもいかないのだろうと存じます。
28 denpa 2015/06/05 (金) 12:25:23 ID:DP0g64pPQU [修正] [削除]
>>27
特殊から一般への拡張としてフェルマー→
>経路にそって波動ベクトルが変化しない事を考えると、  $dk^i=0$  。重力場だから共変微分に置き換えて、それが0となると
という流れのような気がしました。
トビラさんの疑問であった $S=-mc\int ds$ は光子( $m=0$ )に適用しないという事はどうでしょう?
(場の古典論では「光線に対しては、粒子に対するラグランジアンに相当する関数を導入するのは不可能」と引導が渡されていますね。。。)
29 トビラ。。 2015/06/05 (金) 19:56:33 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
denpaさんは、上で紹介した<tex>S_{pp}</tex>は光子には有用でないという主張でしょうか?
30 denpa 2015/06/05 (金) 22:47:10 ID:DP0g64pPQU 修正アリ: 06/06 (土) 02:32 [修正] [削除]
>>29
導きたいものが $ds=0$ や $m=0,p^{\mu}p_{\mu}=0$ の場合の無理ないような作用と呼べるものならばフェルマー(波動の粒子的な見方=>アイコナール+拡張)というものがあるというだけで、 $S_{pp}$ 否定ではないですが、 $S=-mc\int ds$ の代用として「持ちいるべき」でもないような。波動の性質から $ds=d\lambda \sqrt{k^ik_i}=0$ 、 $m=0$ より満たしているので光の経路問題はこれでいいのかなと(フェルマー, $dk^i=0$ )。

この問題で特殊なのが
・ $m=0$ 
・粒子は電磁場の光子( $E=h\nu$ ):古典的な所でプランク定数使うのはちょっとという感じですが。
という設定なので、4元ベクトルの対応は $p^i=\left(\frac{E}{c},\bm{p} \right), k^i=\left(\frac{\omega}{c},\bm{k} \right)$ です。
 $m \neq 0$ で導入した作用 $S$ の変分を取る時に波動ベクトルで表現される $m=0$ のものを扱う時に無理ないような「変換」をするならば $p^i=\hbar k^i$ を用いて係数の $m$ に当たるものを無くすのがすっきりすると思います。
運動量 $p^i$ から波数(波動) $k^i$ に置き換え、それの変化がないと置く。(これが先にあげたフェルマー。)
これは $m \neq 0$ と $m=0$ でやっている事は結局同じです。 $E=pc=h\nu$ の想定を取り入れた特殊な状況として。 $v=c \rightarrow m=0$ は他のスレや、普通の処方で得られる特殊相対性理論の情報です。これには違反していないので、フェルマーは有効かなと。

普通は光子に関してはご存知の通り、量子化を視野にいれるならば $U(1)$ ゲージ場の量子化が整備されているので電磁場の量子化で光子が出てくる(非相対論的でも)ので>>2で電磁場テンソル〜場と粒子の記述をすまして終わってますよね。
議論の根を刈り取ってしまうような記述が嫌なので(かつそれに対する批判、独創性の否定)、「まとめ」みたいな感じだと、 $S=-mc\int ds$ は $m \neq 0$ に用いるのが健全で、波動場である光子かつ $m=0$ の場合だと $p^i=\hbar k^i$ の導入+フェルマー(やっている事は $S=-mc\int ds$ の変分と同じ)なのかなと思います。ただし、ゲージ場の側面をまったく無視しているので、光線の経路に関係したものとだけ見るのが正しいと思います。

追記:トビラさんの紹介した作用 $S_{pp}$ は弦理論に関係するもので、参考先の一つとして、あもんさんのあもんノート「ひも理論入門」が参考になります。(最近始まりましたね。)
http://amonphys.web.fc2.com/amonst.pdf
31 トビラ。。 2015/06/06 (土) 05:18:19 ID:ZQOavh2Flg 修正アリ: 06:18 [修正] [削除]
>作用  $S_{pp}$  は弦理論に関係するもので

そうですよ。よくご存じで。 $S$ は世界線を描きます。それを面にしたのが南部後藤作用 $S_{NG}$ です。しかし、どちらも導関数がルートの中に入っており取扱いが難しいです。そこで粒子の場合は $S_{pp}$ と置き換える方法を用います。それに真似て弦理論でも、南部後藤作用をポルヤコブ作用 $S_P$ に置き換えます。すなわち、 $S_{pp}$ に対応するのが $S_P$ です。どちらも経路積分を用いるのに適しています。ポルチンスキー著の本では経路積分による量子化をメインに取り扱っているのですが、ボソン弦の場合はこの $S_{P}$ の作用を用いてます。それから光子だの重力子だのディラトンだのを扱ってます(頂点演算子と組にしてですが)。


>代用として「持ちいるべき」でもないような

南部後藤作用の代用としてポルヤコブ作用を用いるように。適切かと。
32 トビラ。。 2015/06/06 (土) 09:32:48 ID:ZQOavh2Flg 修正アリ: 06/07 (日) 01:59 [修正] [削除]
>代用として「持ちいるべき」でもないような

<tex>\partial_\mu\to \nabla_\mu,\,\int d^4x\to \int d^4x\sqrt{-g},\,\eta_{\mu\nu}\to g_{\mu\nu}</tex>
という変換で重力場に移ることができると仮定し、例えば、質量0、光速度、点粒子、のボソン粒子を対象とした場合
<tex>S_{pp}=\frac{1}{2}\int d\lambda \eta^{-1}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}g_{\mu\nu}</tex>
となります。ここで、パラメーターの付け替え則は
<tex>\lambda\to\lambda^\prime =f(\lambda)\\\eta\to\eta^\prime= \frac{d\lambda}{d\lambda^\prime }\eta</tex>
です。この時、<tex>\eta=1</tex>になるようにパラメーターの付け替えを選ぶことができます。したがって
<tex>S=\frac{1}{2}\int d\lambda \frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}g_{\mu\nu}</tex>
となります。

内山龍雄著の一般相対性理論で、光の軌道を求める際この作用の変分を用いてます。そして、それは見事実験事実を再現しています。

denpaさんの主張は、この作用に変分をして導いた結果が実験と一致するのはまったくの偶然である。という主張でしょうか?
33 denpa 2015/06/06 (土) 18:54:20 ID:DP0g64pPQU [修正] [削除]
はっきりいって「トビラさんが間違っている」とは言っていないのですが。

自分の紹介した場の古典論から引用した方式も $S_{pp}$ と同様の形式「  $ds=d\lambda \sqrt{k^ik_i}=0 \leftrightarrow ds=\sqrt{-\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}=d\lambda \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot x^\mu \dot x^\nu}=0$ 」
なので、方法の一つしてあるよという意味で、最短経路(最小化)の方法は古来(こう表現すると歴史ですね。。。)からありますね。という事です。( $k^i$ の説明で $\lambda$ はあるパラメータとなっているから場の古典論の説明は古いだけかな。かつその部分がちょっと曖昧です。)  $S_{pp}$ の方法が現代的です。(現代に近い。)

>denpaさんの主張は、この作用に変分をして導いた結果が実験と一致するのはまったくの偶然である。という主張でしょうか?
それは言っていません。最初っから、それのみの方法ではなく、表現や書き方が違う「古風な」組み立て方をしているのもあるという意味になります。

>そうですよ。よくご存じで。
喧嘩っぽいふられ方ですが、過去に「String Theory I」の範疇の議論でトビラさんと騒いだ事があったので、存じてます。
34 トビラ。。 2015/06/07 (日) 01:48:10 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
>方法の一つしてあるよという意味



>アイコナールは当然特殊相対性理論に対応できるので、これから測地線の方程式が得られ、クラインゴルドン場で  $m=0$  の時の  $E$  に対応可能だからこれで足りるといえば足りる。

$S=-mc\int ds$  の代用として「持ちいるべき」でもないような。

は僕の中では、等しくないです。

>喧嘩っぽいふられ方ですが、過去に「String Theory I」の範疇の議論でトビラさんと騒いだ事があったので、存じてます。


僕が、どうかしてました。denpaさんごめんなさい。
35 甘泉法師 2015/06/07 (日) 07:45:29 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

ディメンジョンが作用になるように係数はどうきめますか。
36 トビラ。。 2015/06/07 (日) 09:45:12 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
こんにちは

あれ、 $S$ ってそもそも作用の次元になってないような・・・ $S$ に合わせるなら
<tex>S=-mc^2\int d\tau \sqrt{-\dot x^\mu \dot x_\mu}=-c^2\int d\tau \frac{1}{2}\left( m\sqrt{-\dot x^\mu \dot x_\mu}+m\sqrt{-\dot x^\mu \dot x_\nu}\right)=-\frac{c^2}{2}\int d\tau\left(\frac{-m\dot x^\mu \dot x_\mu }{\sqrt{-\dot x^\mu \dot x_\mu }}+m\sqrt{-\dot x^\mu \dot x_\mu}\right)= \frac{c^2}{2}\int d\tau \left( \dot x^\mu \dot x_\mu \eta^{-1}-m^2\eta\right)=S_{pp}\\\eta=\frac{\sqrt{-\dot x^\mu \dot x_\mu}}{m}</tex>
普通の作用の次元に合わせるなら、パラメーター $\lambda$ が次元を持つなら $c,\,\hbar$ を組み合わせたり、ほかの作用を同時に考えるなら結合定数を導入したりするのかなとおもいました(相対論の場合はおそらく対称エネルギーテンソルの定義式やヒルベルト作用で調整してあると思います)
37 甘泉法師 2015/06/07 (日) 10:14:53 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>1 <tex>S=-mc\int ds</tex>

は次元が作用と存じます。質量がゼロの粒子の

>>32 <tex>S=\frac{1}{2}\int d\lambda \frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}g_{\mu\nu}</tex>

はどう次元あわせをするのでしょう。

プランク定数の導入 ref >>26 >>30 が必須でしょうか。
38 トビラ。。 2015/06/07 (日) 17:21:54 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
おはこんばんはです。

計算ミスしてました。


<tex>S_{pp}=\frac{c}{2}\int d\lambda  \eta^{-1} \dot x^\mu \dot x_\mu</tex>

とすればいいと思います。パラメーター付け替えで
<tex>\lambda\to\lambda^\prime =f(\lambda),\quad\quad \eta^\prime =\frac{d\lambda}{d\lambda^\prime}=\eta</tex>
と変換するのでこれにより $\eta^{-1}=1$ となるようパラメーター<tex>\lambda</tex>を調整したと仮定します。すると
<tex>S_{pp}=\frac{c}{2}\int d\lambda \dot x^\mu \dot x_\mu</tex>
となるわけですが、ここで、次元をもつ $1$ という数字が作用にかけられていることになります( $\eta^{-1}$ が見えなくなっただけで存在はしている)。

後はこの作用に変分を適応すればいいです。最終的には $\lambda$ は計算結果から消すことができるので、特に問題もありません。
39 トビラ。。 2015/06/07 (日) 17:27:51 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
追記、この作用 $S_{pp}$ において
<tex>\eta</tex>は $L/(MT)$ という次元を持つ場です。どのようなものかは変分してから決まります。
40 甘泉法師 2015/06/07 (日) 18:13:03 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 19:04 [修正] [削除]
こんにちは。

>>38 <tex>S_{pp}=\frac{c}{2}\int d\lambda \dot x^\mu \dot x_\mu</tex>



>>32 <tex>S=\frac{1}{2}\int d\lambda \frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}g_{\mu\nu}</tex> 

にcを掛けた修正と拝読しました。 これに従うと λを無次元のパラメターに変換して次元を負わせる係数 $\mathbf{1}$ を導入すると

>>32 <tex>S_{pp}=\frac{c}{2}\ \mathbf{1}\int d\lambda \frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}g_{\mu\nu}</tex>

と書くことができて  $\mathbf{1}$ c の次元が 作用/長さになる、つまり $\mathbf{1}$ は質量の次元になる。ことと考えましたがあっててますでしょうか。

紹介いただいた相対論の教科書では質量ゼロの粒子の作用の次元をもつ定数係数は気にしていないでしょうか。

誤り修正 19:00
 $\mathbf{1}$ c の次元が 作用/(長さ)^2になる、つまり $\mathbf{1}$ は質量/長さ の次元になる。
41 甘泉法師 2015/06/07 (日) 18:24:52 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 19:40 [修正] [削除]
(追記)こんにちは。質量がある場合のdsが長さの次元((長さ)^2でなく)であることにあわせて  

もし

 <tex>S=\frac{c}{2}\ \mathbf{1}\int d\lambda \sqrt{\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}g_{\mu\nu}}</tex>

 なら右辺のλからの次元はキャンセルされるので次元はどうでもよく
  $\mathbf{1}$ c の次元が 作用/長さになる、つまり $\mathbf{1}$ は質量の次元になる。

 こちらが正しいのでしょうか。
42 ********** 2015/06/07 (日) 18:36:00 ID:********** 削除日時: 18:42
(投稿者によって削除されました)
43 トビラ。。 2015/06/07 (日) 18:41:42 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
僕はパラメーターに時間の次元を持たせてます。次のようにしてます。

<tex>S_{pp}=\frac{c}{2}\int d\lambda \eta^{-1}\dot x^\mu \dot x_\mu </tex>
において、
<tex>\dim S_{pp}=\dim\left[\frac{c}{2}\int d\lambda \eta^{-1}\dot x^\mu \dot x_\mu \right]=\dim [c]\dim [\lambda]\dim[\eta^{-1}]\dim [\dot x^\mu ]\dim [\dot x_\mu]=\frac{L}{T}\cdot T\cdot \frac{MT}{L}\cdot \frac{L}{T}\cdot \frac{L}{T}=\frac{ML^2}{T}</tex>
です。
<tex>\mathbf 1=\eta^{-1},\quad\quad \dim [\mathbf 1]=\dim [\eta^{-1}]=\frac{MT}{L}</tex>

ちなみに、 $\eta$ の次元は

 $m\not=0$ の場合 $\eta$ で変分すると
<tex>\eta=\frac{\sqrt{-\dot x^\mu\dot x_\mu}}{m}</tex>
が導けるのでこれに合わせて、 $\eta$ も $L/(TM)$ 
の次元を持つものとします。

>次元をもつ定数係数は気にしていないでしょうか

いえ、これは僕の考えです。本に書いてあったわけではないです。しかし、内山龍雄著の本では、本質的に光に対しても作用積分を使っています。その作用積分の形はまさにここで僕が示したものと同じものです。しかし、 $S_{pp}$ から導いたとは書いていないので別の方法かもしれませんが、僕はこの考えで十分であると思います。何も問題を感じません。パラメーター $\lambda$ は表には出ない(計算結果にでない)ので。
44 トビラ。。 2015/06/07 (日) 19:04:30 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
例えば、単位質量の物質を扱う場合は
<tex>S=-mc\int ds=-c\int ds</tex>
になります。しかし、 $m$ は消えたわけではなく、次元を持った1として存在してます。こういうことだと思います。今回は、それが質量ではなく、場ηであって、1に規格化するためにパラメーター付け替え不変性を利用したんです。
45 甘泉法師 2015/06/07 (日) 19:12:04 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>例えば、単位質量の物質を扱う場合は

<tex>S=-c\mathbf{1}\int ds</tex>
で、2単位質量の物質の作用は
<tex>S=-c\ 2\ \mathbf{1}\int ds</tex> ですね。

光も1個ではなく「単位量」を扱ってるのでしょうか。

46 甘泉法師 2015/06/07 (日) 19:28:57 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

ref >>41 あらためて>>24 を拝読すると Sから $S_{pp}$  になると √はとれて、mでなくm^2依存になるのですね。 とても面白いです。 

内山の本の作用積分は S と  $S_{pp}$  のどちら(も?)でしょうか。
47 甘泉法師 2015/06/07 (日) 21:04:38 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 22:19 [修正] [削除]
こんにちは。

これまでのご教示をふまえ あらためて >>7 を拝読、検討してみました。

><tex>I=\int ds</tex>

右辺にはmc の次元の   $\mathbf{1}$  がある。これを mc と明示してみる。

>次に、光の場合を考えます。光の場合にはパラメーター<tex>\tau</tex>(固有時)を用いるわけにはいかないので別のパラメーター<tex>\lambda</tex>を用いることにし、

光にうつる前に、慣性系での時間tでλを導入する。 dτ/dt= $\sqrt{1-v^2/c^2}$ =γ で積分から 1/γがでる。 mc^2/γ はエネルギー。 以降ドットはtによる微分に読み替えて

<tex>I=-\frac{m}{\gamma }\int dt \left\{ -\left(1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2+\left( 1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2+r^2\left\{ (\dot \theta)^2+\sin ^2\theta (\dot \phi)^2\right\}\right\}</tex>  

教科書と違っていれば教えてください。

光に近づける。 m→0 γ→0 で mc^2/γ→ E とする。

<tex>I=-E\ c^{-2}\int dt \left\{ -\left(1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2+\left( 1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2+r^2\left\{ (\dot \theta)^2+\sin ^2\theta (\dot \phi)^2\right\}\right\}</tex>  

E はtをとった慣性系での光のエネルギーをあらわす。

光の測地線の求め方は

> <tex>0=\left( 1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2-\left(1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2-r^2\{ (\dot \theta )^2+\sin^2\theta (\dot \phi)^2\}\quad \quad \cdots (39.1)</tex> となります。ここでドットは<tex>\lambda</tex>の微分に変わりました。

tを採る慣性系をかえるごとに E の値は異なっても上の方程式には関係しない。

だからtを採るのは任意の慣性系でよいことがわかる。光の測地線の式から最終的にtは消える(筈な)ことと整合する。

ある慣性系でエネルギーがEである光の塊、光子気体について測地線を考えた事になる。 個数が与えられているわけではない。 Eの値は測地線に関係しない。
 
と自分なりに考えました。

御紹介ありがとうございました。
48 甘泉法師 2015/06/07 (日) 21:20:15 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 22:20 [修正] [削除]
訂正

大域的な慣性系のt,γを考えることは、重力場ではできないため上の議論は正しくありません。 

ただし重力がない場合(a=0)の光の経路にはあてはめられそうです。 そういう場合と見直してください。

失礼しました。
49 トビラ。。 2015/06/08 (月) 08:29:44 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
甘泉さんこんにちわ^^

>内山の本の作用積分はSと  $S_{pp}$  のどちら(も?)でしょうか

恐らく厳密にはどちらも違います。下でそれを説明します。


<tex>I=-\frac{m}{\gamma }\int dt \left\{ -\left(1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2+\left( 1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2+r^2\left\{ (\dot \theta)^2+\sin ^2\theta (\dot \phi)^2\right\}\right\}</tex>  

 $\gamma$ には $v$ が入っているから、積分の外に出すのは、 $v\to c$ 極限をとったあとのほうがいいかなと思いました。

>教科書と違っていれば教えてください。

甘泉さんの方法でもいいと思います、一応本では次のように説明してあります。


本に載ってある方法を書くと、まず、作用は
<tex>I=\int ds=\int d\lambda \sqrt{-\dot x^\mu \dot x_\mu}</tex>
と書かれています。係数には $m$ も $c$ も表れていません(僕個人の意見を言うならつけたほうがいいと思うし、つけても今からいう議論に差支えない。しかし本にのっとり、取りあえずつけないことにします。)ラグランジアンは
<tex>L=\sqrt{-\dot x^\mu \dot x^\nu g_{\mu\nu}(x(\lambda))}</tex>
となり、これにオイラーの方程式を用いると、



<tex>\frac{\partial L}{\partial x^\alpha}-\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x^\alpha}\right)=\frac{1}{2\sqrt{-\dot x^\mu \dot x^\nu g_{\mu\nu}(x(\lambda))}}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\alpha}\dot x^\mu d\dot x^\nu-\frac{d}{d\lambda} \left(\frac{1}{\sqrt{-\dot x^\mu \dot x^\nu g_{\mu\nu}(x(\lambda))}}g_{\alpha\nu}\dot x^\nu\right)</tex>
今までいってきたように、この作用 $I$ は、パラメーター付け替え不変性を持っています。すなわち、 $\lambda \to\lambda ^\prime =f(\lambda)$ とパラメーターを変換しても作用は不変です。そこで、パラメーター $\lambda$ を
<tex>-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\mu}{d\lambda}=1</tex>
となるように選ぶことが可能です。具体的には、 $\lambda$ として $s$ (世界線の長さ)を選べばいいです(これはベクトル解析や曲面論などで有名だと思います)。

このように選ぶことで、上のオイラーの方程式は
<tex>-\frac{1}{2}\partial_\alpha g_{\mu\nu}\dot x^\alpha\dot x^\beta+\frac{d}{ds}(g_{\mu\nu }\dot x^\nu)=0\quad\quad \dot x^\mu =dx^\mu/ds</tex>
変形して
<tex>\frac{d^2x^\rho}{ds^2}+\Gamma^\rho_{\,\,\,\mu\nu}\frac{dx^\mu}{ds}\frac{d^\nu}{ds}=0</tex>
になります(測地線方程式)。この測地線方程式を導き出す作用として
<tex>I^\prime =-\int ds\,g_{\mu\nu}(x)\dot x^\mu dx^\nu</tex>
があります。(これを $x^\mu$ で変分すれば測地線方程式が出ます。)このようにして、 $I$ の代わりに $I^\prime $ を用いてもよいという論法を使っています。

今のが普通の物質に対しての議論です。光の場合には今の議論をすることができません。なぜならば、
<tex>-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\mu}{d\lambda}=1</tex>
を満足するパラメーター $s$ が光の場合には存在しないからです。よって、光の場合には $I^\prime $ を用いることができません。

と内山龍雄著の本に書かれてあります。(p97あたり引用)


で、僕がこのトピのどこかで「この本で、光に対して $S_{pp}$ と同じ変分を使っている。」といったのは、この $I^\prime $ で変分した結果を光子の場合にも引用していたからです。ただしパラメーターは $s$ ではなく、 $\lambda$ に変わっていますが。
<tex>I^\prime =-\int ds\,g_{\mu\nu}(x(s))\dot x^\mu \dot x^\nu\quad\quad \quad \dot x^\mu=dx^\mu/ds\\S_{pp}=\frac{c}{2}\int d\lambda\,g_{\mu\nu}(x(\lambda)) \dot x^\mu \dot x^\nu\quad\quad\quad \dot x^\mu=dx^\mu/d\lambda</tex>
を比べたらわかるように、この本でやっていることは、まさに、 $S_{pp}$ に変分を用いたことと同じことをしているわけなんですよ。実際、 $I^\prime $ のパラメーターは $s$ でなければいけないのに、変分した結果のパラメーターを $s$ から $\lambda$ に代えたということは、本質的に $S_{pp}$ の変分を用いたのと同じことだと思います。
50 甘泉法師 2015/06/08 (月) 11:57:00 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

本をていねいに説明いただき、ありがとうございます。

1.

 I については定番の考え方で、復習になりました。

 I’は>>7でご紹介いただいたように 1=4元速度の大きさ をIに掛けたもので私には初物で勉強になりました。

 光については「1=4元速度の大きさ」に疑問をもっていたところ

>よって、光の場合には  $I^\prime $  を用いることができません。

とうかがい安堵しました。  

2.

>>7 では光についてもI'をつかっているように見えていたところ

>この  $I^\prime $  で変分した結果を光子の場合にも引用していたからです。

とおっしゃっていただき心強いです。 さて、この引用は

>よって、光の場合には  $I^\prime $  を用いることができません。

と抵触し正しいのかたいへん疑問ですが、いかがでしょうか。
51 甘泉法師 2015/06/08 (月) 12:19:19 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 13:00 [修正] [削除]
こんにちは。

>>7 <tex>I=-\int d\tau \left\{ -\left(1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2+\left( 1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2+r^2\left\{ (\dot \theta)^2+\sin ^2\theta (\dot \phi)^2\right\}\right\}</tex>

上記の議論からするとI'とよぶのがふさわしく、隠れている係数mもあらわにかくと

<tex>I'=-mc^2\int d\lambda \frac{d\lambda}{d\tau}\left\{ -\left(1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2+\left( 1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2+r^2\left\{ (\dot \theta)^2+\sin ^2\theta (\dot \phi)^2\right\}\right\}</tex>
<tex>=-\int E(\lambda)d\lambda \left\{ -\left(1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2+\left( 1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2+r^2\left\{ (\dot \theta)^2+\sin ^2\theta (\dot \phi)^2\right\}\right\}</tex>
where  $E(\lambda)=mc^2\frac{d\lambda}{d\tau}>0$  エネルギーの次元


光にうつるとm→0  $\frac{d\lambda}{d\tau}$ →∞ だけどE(λ)は有限値に収まるものと期待する。任意のパラメタ―λによる変分がゼロとは非積分関数がつねにゼロということで、 

>>7 <tex>0=\left( 1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2-\left(1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2-r^2\{ (\dot \theta )^2+\sin^2\theta (\dot \phi)^2\}\quad \quad \cdots (39.1)</tex>

と冷や汗ものの(39.1)の導きだしをしてみました。

52 甘泉法師 2015/06/08 (月) 13:20:57 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 16:13 [修正] [削除]
(続)

>>49 <tex>I^\prime =-\int ds\,g_{\mu\nu}(x(s))\dot x^\mu \dot x^\nu\quad\quad \quad \dot x^\mu=dx^\mu/ds</tex>

の質量ゼロの粒子もカバーは上記と同様に

<tex>I^\prime =-\int E(\lambda)d\lambda\,g_{\mu\nu}(x(\lambda))\dot x^\mu \dot x^\nu\quad\quad \quad \dot x^\mu=dx^\mu/d\lambda</tex> where  $ E(\lambda)= mc^2 \frac{d\lambda}{ds}$  for m>0, its limit value for massless particle m=0.

とE(λ)を非積分関数に掛ける のが正しいようにおもいます。

質量のある物体の4元速度の大きさは1ですが、質量がゼロだと同じような微分でも
 $g_{\mu\nu}(x(\lambda))\dot x^\mu \dot x^\nu= 0$ が課せられるのは対照的です。



I'とSppの一致、式をみて理解しました。ありがとうございます。
 
Sppは超弦理論が出自のようですがこちらは質量ゼロの粒子に使えるのですね。
ref.
>>24 それに対し、
<tex>S_{pp}=\frac{1}{2}\int d\tau \left( \eta^{-1}\dot x^\mu \dot x_\mu -\eta m^2\right) </tex>
という作用は光子に対しても有用です(ただし、ここで現れている<tex>\eta</tex>は、ミンコフスキー計量の行列式という意味ではなく場であることに注意が必要である)。

だとするとI'におけるE(λ)と同じことがSppにおけるη^-1(とdλ/dτの積?) によってなされていると考えてよいのでしょうか。 いかがでしょう。 大いに興味があります。

53 トビラ。。 2015/06/08 (月) 17:40:54 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
>と抵触し正しいのかたいへん疑問ですが、いかがでしょうか

その通りだと思います。僕も本で言っていることは矛盾が存在していると思います。


>任意のパラメタ―λによる変分がゼロとは非積分関数がつねにゼロということで

><tex>0=\left( 1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2-\left(1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2-r^2\{ (\dot \theta )^2+\sin^2\theta (\dot \phi)^2\}\quad \quad \cdots (39.1)</tex>

?パラメーター付け替え不変性を、作用が持っているため、そのパラメータそのもので変分すると0が出力されてしまい、意味をなさないと思います。実際、

<tex>I^{\prime}&=-\int E(\lambda)d\lambda \left\{ -\left(1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2+\left( 1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2+r^2\left\{ (\dot \theta)^2+\sin ^2\theta (\dot \phi)^2\right\}\right\}\\=&-\int d\lambda \, E(\lambda)F(\lambda)</tex>
とします。そして $\lambda$ で変分すると
<tex>\delta I^\prime&=-\int d\lambda^\prime \, E(\lambda^\prime )F(\lambda^\prime )+\int d\lambda \, E(\lambda)F(\lambda)\\&= -\int d\lambda \,\,\frac{d\lambda^\prime }{d\lambda}E(\lambda+\delta \lambda)F(\lambda+\delta \lambda)+\int d\lambda \,E(\lambda)F(\lambda)\\&=-\int d\lambda \left\{ (1+\partial_\lambda \delta \lambda)   \left(E(\lambda)+\delta \lambda\partial _\lambda E)\right)\left(F(\lambda)+\delta \lambda \partial _\lambda F\right)-E(\lambda)F(\lambda)\right\}\\&=-\int d\lambda\{ EF+\delta \lambda (E\partial _\lambda F+\partial _\lambda E\cdot F)+\partial_\lambda(\delta \lambda)EF+O(\delta \lambda)-EF\}  \\&=-\int d\lambda\, \partial_\lambda (EF\delta \lambda)</tex>
最少作用の原理では境界(停留点)で $\delta \lambda=0$ を要求するので
<tex>=0</tex>
になります。なので、トリビアルだと思います。

しかし、 $I^\prime $ を $\lambda$ で変分するのではなく、 $E$ を場とみなし、 $E$ で変分すれば、(39.1)が導けると思います。

>だとするとI'におけるE(λ)と同じことがSppにおけるη^-1(とdλ/dτの積?) によってなされていると考えてよいのでしょうか

そのようですね。甘泉さんすごいですね。僕なんて本に書いてあることを理解するのに手いっぱいなのに、甘泉さんは本に書いていない計算を自分で見つけ出すので。
54 denpa 2015/06/09 (火) 04:47:08 ID:DP0g64pPQU [修正] [削除]
>>34
アイコナール(短波長近似)で光線経路を扱うという「流派」なだけで、クラインゴルドンについて記したのは、純粋に特殊相対性理論の枠組みでボソン(ただの粒子)が扱えるなあという思考から、そう記述しただけです。それは>>3の標準模型についてクラインゴルドンに触れたのと同じ感覚です。そういった点でトビラさんにはカルチャーショックだったのかもしれません。(短波長近似)

4次元版フェルマーは $\delta \int k_{\mu}dx^{\mu}=\delta \int g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda}d\lambda=0$ なので、これを「作用」として書くならば、 $k^{\mu}$ の次元を $[\rm{m}^{-1}]$ , $dx^{\mu}$ の次元を $[\rm{m}]$ として
<tex>S_{fer}= A \int k_{\mu}dx^{\mu}=A\int g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda}d\lambda</tex>
となり、係数 $A[\rm{J} \cdot \rm{s}]$ については $\hbar$ とおける。(計量は西海岸方式) また、 $ds=d\lambda\sqrt{k^{\mu}k_{\mu}}=0,\lambda\ [\rm {m}^{2}]$ 。
これは、 $ds$ がそのまま使えず、パラメータの付け替えと同じで内山氏が示した骨格となる部分と一致する。係数の違いだけ。変分時に係数が消えてしまう。
 $S_{fer} \rightarrow I=-\int \dot{x}^{\mu}\dot{x}_{\mu} d\lambda \leftarrow S_{pp}$ 、 $ds$ がそのまま使用できないという点でパラメータの付け替えをやっているので、「流派」の違いなだけの気がします。ただし $S_{fer}$ の方は一般のmassless particleではなく、 $k^{\mu}$ の特性を持った光線、光子について扱っています。

内山氏の本でパラメータの付け替えや $m=0$ についての適用についてどのような思考で「作用」を導いたかは気にはなりますが、本での説明不足が否めないかもしれません。 $S_{pp}$ の式を導くにしたって、準備というか説明がいるはずなので。
55 トビラ。。 2015/06/09 (火) 07:08:57 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
denpaさんわかりやすい説明ありがとうございます。恐らく内山龍雄氏もそちらの考えだったと思います。
56 甘泉法師 2015/06/09 (火) 08:28:18 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>53 なので、トリビアルだと思います。しかし、  $I^\prime $  を  $\lambda$  で変分するのではなく、  $E$  を場とみなし、  $E$  で変分すれば、(39.1)が導けると思います。

「λで変分」というのはたしかにおかしかったです。 変分をちゃんと勉強していないので

<tex>I^{\prime}&=-\int E(\lambda)d\lambda \left\{ -\left(1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2+\left( 1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2+r^2\left\{ (\dot \theta)^2+\sin ^2\theta (\dot \phi)^2\right\}\right\}\\=&-\int d\lambda \, E(\lambda)F(\lambda)</tex>

を変分してゼロから(39.1)がでてくる(だろう)具合を教えていただければたいへん勉強になります。
57 甘泉法師 2015/06/09 (火) 08:33:09 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>54 4次元版フェルマーは  $\delta \int k_{\mu}dx^{\mu}=\delta \int g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda}d\lambda=0$  なので、

波数  $k_{\mu}$ とλによる座標の微分 $\frac{dx_{\mu}}{d\lambda}$ が等しいと
おけるのはどうしてだったでしょうか。 基本的なことを忘れてすみません。
58 トビラ。。 2015/06/09 (火) 09:13:51 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
>を変分してゼロから(39.1)がでてくる(だろう)具合を教えていただければたいへん勉強になります。


変分は図を使わないとうまく僕は説明でいないのですが、大雑把にいうと次のようになります。

Eで変分するとします。ここで条件として、 $\lambda\in \{a,\,b\}$ で $\delta E(\lambda)=0$ になるとします。そして

<tex>\delta I^\prime &=-\int_a^b d\lambda \{E^\prime (\lambda)F(\lambda)\}+\int_a^b d\lambda \{E(\lambda)F(\lambda)\}\\&=-\int_a^b d\lambda \{(E(\lambda)+\delta E(\lambda))F(\lambda)\}+\int_a^b d\lambda \{E(\lambda)+F(\lambda)\}\\&=-\int_a^b d\lambda \delta E(\lambda ) \cdot F(\lambda)</tex>
となります。しかし最少作用の原理より
<tex>\delta I^\prime =0</tex>
が要請されます。また $a<\lambda<b$ で $E(\lambda)$ は、0以外の値も取るので、ひいては
<tex>F(\lambda)=0</tex>
でなければいけません。ということだと思います。

修正;符号が間違っていたので修正しました。反映されるまで時間がかかります。
59 甘泉法師 2015/06/09 (火) 16:34:25 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。
>>58
ありがとうございます。 変分の基礎に自信がなくただちに理解ができませんがもっと考えてみます。 まずは御礼まで。
60 甘泉法師 2015/06/09 (火) 16:44:49 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 17:10 [修正] [削除]
こんにちは。 新しいことはありませんが

1
>>7
<tex>I=-\int d\tau \left\{ -\left(1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2+\left( 1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2+r^2\left\{ (\dot \theta)^2+\sin ^2\theta (\dot \phi)^2\right\}\right\}</tex>

 $\left\{-\left(1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2+\left( 1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2+r^2\left\{ (\dot \theta)^2+\sin ^2\theta (\dot \phi)^2\right\}\right\}$  は 4元速度の大きさ=1 だから作用にかけてもよいとして導入したのに あとでは

>>7 <tex>0=\left( 1-\frac{a}{r}\right)(\dot x^0)^2-\left(1-\frac{a}{r}\right)^{-1}(\dot r)^2-r^2\{ (\dot \theta )^2+\sin^2\theta (\dot \phi)^2\}\quad \quad \cdots (39.1)</tex>

とゼロになっている。 
微分する変数をかえたことはわかりますが、1だったはずが0になっているところが狐につままれたような感じのすることです。 

2
E(λ)≡mc^2 dλ/dτ が 『 0 * ∞=有限値 』 のきわどい計算のしわ寄せを引き受けています。>>51 

 こんな怪しいE(λ)がかかっても作用が最小であるとは、もうほかの係数がゼロであるしかない。 経路をすこしかえるとかいう話でなくとにかくゼロ。

 ...やはり変分がわかっていないのでしょうね。


3
(39.1)はヌル測地線の式ですが、最小作用の原理を持ちださなくても光の測地線がヌル測地線であるのは自明でないか。 

 光がヌル測地線であるのは最小作用の原理から導かれるのでしょうか。光にはラグランジアンがあるのでしょうか。

 ds^2 は ヌルから空間的になればいくらでもマイナスに小さくなリます。
最小とはいわなくても本当にヌルのところで停留してるのか?
61 トビラ。。 2015/06/09 (火) 17:09:13 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
こんにちは、

>微分する変数をかえたことはわかりますが、1だったはずが0になっているところが狐につままれたような感じのすることです。 mc^2 dλ/dτ が 『 0 * ∞=有限値 』 のきわどい計算のしわ寄せを引き受けています。>>51

ごもっともだと思います。しかしそれ以上のことを言及できる知識が僕にはありません。

>光がヌル測地線であるのは最小作用の原理から導かれるのでしょうか。光にはラグランジアンがあるのでしょうか。

少なくても、 $S_{pp}$ のほうは光に対しては何の問題もなく正しいと思います。今指摘したような問題が起こらないですし。
62 甘泉法師 2015/06/09 (火) 17:44:12 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

<tex>S_{pp}=\frac{1}{2}\int d\tau \left( \eta^{-1}\dot x^\mu \dot x_\mu -\eta m^2\right) </tex>

光子の場合 ηm^2=0 でしょうからη^-1 dλ/dτ 〜E(λ)でI'と同じに見えます。
超ひも理論のことは無知ですが、Sppが光の作用として問題ないならその考えかたをI'の考察にも適用できるかもしれない。と思いました。 
63 トビラ。。 2015/06/09 (火) 17:56:47 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
<tex>S_{pp}</tex>の場合、 $\eta$ は全く「未知の場」なんです。すなわち、
<tex>\eta=\frac{\sqrt{-\dot x^\mu \dot x_\mu}}{m}</tex>
がはじめっから与えられているわけではないんです(前提条件ではない)。この方程式が導かれるのは、 $m\not=0$ の場合、 $\eta$ で変分してからであり、<tex>m=0</tex>の場合は $\eta$ で変分しても、この式は導かれません。唯一、ηにはじめっから与えられてる条件は、 $\eta$ の持つ次元と、パラメーターに対しての変換法則
<tex>\dim\eta=\frac{L}{TM},\quad\quad \eta^\prime (\lambda^\prime)=\frac{d\lambda}{d\lambda^\prime }\eta (\lambda)</tex>
です。
64 hirota 2015/06/09 (火) 20:56:24 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 2018/05/04 (金) 22:06 [修正] [削除]
運動方程式
<tex>\frac{du^k}{ds}=-\Gamma^k_{\,ij}u^iu^j,\,u^i=\frac{dx^i}{ds},\,\Gamma^k_{\,ij}=\frac{1}{2}\,g^{kn}(\frac{\partial g_{ni}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{nj}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n})</tex>
を $ds=0$ の場合にも使えるように変形すると、
<tex>\dot s=\frac{ds}{dt}=\sqrt{-g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}}=\sqrt{-g_{ij}\dot x^i\dot x^j},\,u^i=\frac{dt}{ds}\frac{dx^i}{dt}=\frac{\dot x^i}{\dot s}</tex>
<tex>\frac{du^k}{ds}=\frac{dt}{ds}\frac{du^k}{dt}=\frac{1}{\dot s}\frac{d}{dt}(\frac{\dot x^k}{\dot s})=\frac{1}{\dot s}(\frac{\ddot x^k}{\dot s}-\frac{\dot x^k\ddot s}{\dot s^2})</tex>
<tex>\therefore\quad\frac{1}{\dot s}(\frac{\ddot x^k}{\dot s}-\frac{\dot x^k\ddot s}{\dot s^2})=-\Gamma^k_{\,ij}\frac{\dot x^i}{\dot s}\frac{\dot x^j}{\dot s}\quad\therefore\quad\ddot x^k=-\Gamma^k_{\,ij}\dot x^i\dot x^j+\dot x^k\frac{\ddot s}{\dot s}</tex>
最後の項については
<tex>\ddot s=\frac{d\dot s}{dt}=\frac{1}{2\dot s}\frac{d}{dt}(-g_{ij}\dot x^i\dot x^j)=\frac{1}{2\dot s}(-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\dot x^i\dot x^j\dot x^n-2g_{ij}\dot x^i\ddot x^j)</tex>
だから
<tex>\therefore\quad\ddot x^k=-\Gamma^k_{\,ij}\dot x^i\dot x^j+\frac{\dot x^k}{2\dot s^2}(-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\dot x^i\dot x^j\dot x^n-2g_{ij}\dot x^i\ddot x^j)</tex>
ここで $x^0=ct,\,\dot x^0=c,\,\ddot x^0=0$ だから空間成分だけの添字をギリシャ文字 $\alpha,\beta,\theta,\sigma$ で表わして
<tex>\ddot x^\alpha=-\Gamma^\alpha_{\,ij}\dot x^i\dot x^j+\frac{\dot x^\alpha}{2\dot s^2}(-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\dot x^i\dot x^j\dot x^n-2g_{i\beta}\dot x^i\ddot x^\beta)</tex>
とすると
<tex>\therefore\quad(\delta^\alpha_\beta+\frac{\dot x^\alpha}{\dot s^2}g_{i\beta}\dot x^i)\ddot x^\beta=-(\Gamma^\alpha_{\,ij}+\frac{\dot x^\alpha}{2\dot s^2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\dot x^n)\dot x^i\dot x^j</tex>
左辺カッコ部分は
<tex>(\delta^\theta_\alpha-\frac{a^\theta b_\alpha}{1+a^\sigma b_\sigma})(\delta^\alpha_\beta+a^\alpha b_\beta)=\delta^\theta_\beta+a^\theta b_\beta-\frac{a^\theta b_\beta+a^\theta b_\alpha a^\alpha b_\beta}{1+a^\sigma b_\sigma}=\delta^\theta_\beta</tex>
だから $a^\alpha=\frac{\dot x^\alpha}{\dot s^2},\,b_\beta=g_{i\beta}\dot x^i$ として適宜 $\dot s^2=-g_{ij}\dot x^i\dot x^j$ を代入した
<tex>(\delta^\theta_\alpha-\frac{a^\theta b_\alpha}{1+a^\sigma b_\sigma})&=(\delta^\theta_\alpha-\frac{\frac{\dot x^\theta}{\dot s^2}g_{i\alpha}\dot x^i}{1+\frac{\dot x^\sigma}{\dot s^2}g_{i\sigma}\dot x^i})=(\delta^\theta_\alpha-\frac{\dot x^\theta g_{i\alpha}\dot x^i}{\dot s^2+g_{i\sigma}\dot x^i\dot x^\sigma})=(\delta^\theta_\alpha-\frac{\dot x^\theta g_{i\alpha}\dot x^i}{-g_{ij}\dot x^i\dot x^j+g_{i\sigma}\dot x^i\dot x^\sigma})\\&=(\delta^\theta_\alpha-\frac{\dot x^\theta g_{i\alpha}\dot x^i}{-g_{i0}\dot x^i\dot x^0})=(\delta^\theta_\alpha+\frac{\dot x^\theta}{c}\frac{g_{k\alpha}\dot x^k}{g_{m0}\dot x^m})</tex>
を両辺にを掛けると
<tex>\ddot x^\theta&=-(\delta^\theta_\alpha+\frac{\dot x^\theta}{c}\frac{g_{k\alpha}\dot x^k}{g_{m0}\dot x^m})(\Gamma^\alpha_{\,ij}+\frac{\dot x^\alpha}{2\dot s^2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\dot x^n)\dot x^i\dot x^j\\&=-(\delta^\theta_\alpha+\frac{\dot x^\theta}{c}\frac{g_{k\alpha}\dot x^k}{g_{m0}\dot x^m})\Gamma^\alpha_{\,ij}\dot x^i\dot x^j-(\delta^\theta_\alpha+\frac{\dot x^\theta}{c}\frac{g_{k\alpha}\dot x^k}{g_{m0}\dot x^m})\frac{\dot x^\alpha}{2\dot s^2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\dot x^i\dot x^j\dot x^n</tex>
となる。この第二項は
<tex>-(&\delta^\theta_\alpha+\frac{\dot x^\theta}{c}\frac{g_{k\alpha}\dot x^k}{g_{m0}\dot x^m})\frac{\dot x^\alpha}{2\dot s^2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\dot x^i\dot x^j\dot x^n=-\frac{1}{2\dot s^2}(\dot x^\theta+\frac{\dot x^\theta}{c}\frac{g_{k\alpha}\dot x^k\dot x^\alpha}{g_{m0}\dot x^m})\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\dot x^i\dot x^j\dot x^n\\&=-\frac{\dot x^\theta}{2\dot s^2}(1+\frac{1}{c}\frac{g_{kh}\dot x^k\dot x^h-g_{k0}\dot x^k\dot x^0}{g_{m0}\dot x^m})\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\dot x^i\dot x^j\dot x^n=-\frac{\dot x^\theta}{2\dot s^2}(1+\frac{-\dot s^2-c\,g_{k0}\dot x^k}{c\,g_{k0}\dot x^k})\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\dot x^i\dot x^j\dot x^n\\&=\frac{\dot x^\theta}{2\,c\,g_{k0}\dot x^k}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\dot x^i\dot x^j\dot x^n</tex>
であるから
<tex>\ddot x^\theta&=-(\delta^\theta_\alpha+\frac{\dot x^\theta}{c}\frac{g_{k\alpha}\dot x^k}{g_{m0}\dot x^m})\Gamma^\alpha_{\,ij}\dot x^i\dot x^j+\frac{\dot x^\theta}{2\,c\,g_{m0}\dot x^m}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\dot x^i\dot x^j\dot x^k\\&=-\Gamma^\theta_{\,ij}\dot x^i\dot x^j-\frac{\dot x^\theta}{2\,c\,g_{m0}\dot x^m}(2\,g_{k\alpha}\Gamma^\alpha_{\,ij}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})\dot x^i\dot x^j\dot x^k\\&=-\Gamma^\theta_{\,ij}\dot x^i\dot x^j-\frac{\dot x^\theta}{2\,c\,g_{m0}\dot x^m}(g_{k\alpha}g^{\alpha n}(\frac{\partial g_{ni}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{nj}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n})-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})\dot x^i\dot x^j\dot x^k\\&=-\Gamma^\theta_{\,ij}\dot x^i\dot x^j-\frac{\dot x^\theta}{2\,c\,g_{m0}\dot x^m}((\delta^n_k-g_{k0}g^{0n})(2\frac{\partial g_{nj}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n})-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})\dot x^i\dot x^j\dot x^k\\&=-\Gamma^\theta_{\,ij}\dot x^i\dot x^j-\frac{\dot x^\theta}{2\,c\,g_{m0}\dot x^m}(2\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-g_{k0}g^{0n}(2\frac{\partial g_{nj}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n})-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})\dot x^i\dot x^j\dot x^k\\&=-\Gamma^\theta_{\,ij}\dot x^i\dot x^j+\frac{\dot x^\theta}{c\,g_{m0}\dot x^m}g_{k0}g^{0n}(\frac{\partial g_{nj}}{\partial x^i}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n})\dot x^i\dot x^j\dot x^k\\&=-\Gamma^\theta_{\,ij}\dot x^i\dot x^j+\frac{\dot x^\theta}{c}g^{0n}(\frac{\partial g_{nj}}{\partial x^i}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n})\dot x^i\dot x^j=-\Gamma^\theta_{\,ij}\dot x^i\dot x^j+\frac{\dot x^\theta}{c}\Gamma^0_{\,ij}\dot x^i\dot x^j</tex>
これは任意質量で使える運動方程式であるから、更に
<tex>\dot s^2=-g_{ij}\dot x^i\dot x^j=0</tex>
を付加すれば光の運動方程式になる。
65 甘泉法師 2015/06/09 (火) 22:16:07 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

頭のほうの

>>64  $ds=0$  の場合にも使えるように変形すると、
<tex>\dot s=\frac{ds}{dt}=\sqrt{-g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}}=\sqrt{-g_{ij}\dot x^i\dot x^j},\,u^i=\frac{dt}{ds}\frac{dx^i}{dt}=\frac{\dot x^i}{\dot s}</tex>

 $ds=0$ だとここでもう、 $\dot s=0$ , $u^i=\frac{dt}{ds}\frac{dx^i}{dt}=\frac{\dot x^i}{\dot s}=\infty$  になり具合が悪そうですが杞憂でしょうか。 
66 甘泉法師 2015/06/09 (火) 23:15:45 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>63

変数変換にたいしてたしかに

 $\eta_\tau d\tau = \eta_\lambda d\lambda=\eta_{\lambda'}d\lambda'$ 

面白いです。 

m=0 だと ηが無理しなくても  $\dot x^\mu \dot x_\mu=0 $  が作用の式を成り立たせてくれるのかもしれない(結果と原因が逆)。とも思いました。

67 denpa 2015/06/10 (水) 01:22:10 ID:DP0g64pPQU [修正] [削除]
>>54 >>55 >>57
4次元版フェルマーと $S_{fer}$ は勇み足な気がしました。3次元の類推から4次元にしただけなので、元は>>26の3次元フェルマー。
 $L=\bm{p}\frac{\partial H}{\partial \bm{p}}-H$ において $\omega=c|\bm{k}|,H=A\omega,\bm{p}=A\bm{k},A[\rm{J}\cdot\rm{s}]$ (係数 $A$ は $\hbar$ の代用)の時 $L=0$ なので、 $\delta \int L dt$ の形式は諦めて>>28、光線の運動方程式を求める時には光線に接する波数ベクトル $k^{\mu}$ は経路に沿って、変化しないとすれば重力場での変化は $\left(\frac{\partial k^{\mu}}{\partial x^{\nu}}+\Gamma^{\mu}_{i\nu}k^{i} \right)dx^{\nu}=\left(\frac{\partial k^{\mu}}{\partial x^{\nu}}+\Gamma^{\mu}_{i\nu}k^{i} \right)\frac{dx^{\nu}}{d\lambda}d\lambda=\left(\frac{\partial k^{\mu}}{\partial \lambda}+\Gamma^{\mu}_{i\nu}k^{i}k^{\nu}\right)d\lambda=0$ とおける。
4元ベクトル $k^{\mu}$ の性質から $k^{\mu}k_{\mu}=0,ds=d\lambda\sqrt{k^{\mu}k_{\mu}}=d\lambda \sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda}}=0$ は自動的に出てくる。
作用 $S$ フォーマリズムで展開しているというわけでもないですね。。。
>>26$\delta \int Ldt=0$ で幾何光学的な処理では $L$ を用いない。
一方、 $S_{pp}$ の方は拘束条件(特異系)を用いて導けるので、自分がだらだらと記述した幾何光学的な扱いはしていませんね。
内山氏が解析力学の方法を用いるのを望むと思われるので、幾何光学的な事はやっていないと思われるので、 $S$ フォーマリズム+ $ds=0$ だからパラメータをいじっておこうという事に落ち着くだけなのかもしれません。

>>57
特殊な処理なので、基本というわけでもないような気がします。
変化量 $dx^{\mu}$ に対して合わせる為の微小量な「あるパラメータ $\lambda$ 」を用いて $dx^{\mu}=k^{\mu}d\lambda$ としてあるので。波数ベクトルがそれぞれの軸に対して存在して $k^{\mu}$ はそのままで、変化(倍数)を $\lambda$ に担わせた形式です。
68 hirota 2015/06/13 (土) 19:29:29 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 2018/05/04 (金) 23:38 [修正] [削除]
>>64の運動方程式を使ってシュバルツシルト時空での光線軌跡を計算する。
座標系を
<tex>x^0=c\,t,\quad{\bf r}=\begin{pmatrix}x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix},\quad r=|{\bf r}|</tex>
とすると、対称化したシュバルツシルト計量は
<tex>-ds^2=g_{ij}x^i x^j=-(1-\frac{2GM}{c^2r}(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^{-2})(dx^0)^2+(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^4((dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2)</tex>
なので共変計量テンソルの0でない成分は
<tex>g_{00}=-1+\frac{2GM}{c^2r}(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^{-2}=-\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^2},\quad g_{11}=g_{22}=g_{33}=(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^4</tex>
反変計量テンソルは
<tex>g^{00}=-\frac{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2},\quad g^{11}=g^{22}=g^{33}=(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^{-4}</tex>
全成分をまとめて書くと
<tex>g_{ij}=-\delta^0_i\delta_{ij}\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^2}+(1-\delta^0_i)\delta_{ij}(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^4</tex>
<tex>g^{ij}=-\delta^i_0\delta^{ij}\frac{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}+(1-\delta^i_0)\delta^{ij}(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^{-4}</tex>
である。
共変計量テンソルの微分は $x_i=x^i$ として
<tex>\frac{\partial r}{\partial x^i}=(1-\delta^0_i)\frac{x_i}{r}</tex>
<tex>\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}=-(1-\delta^0_i)\delta^0_j\delta_{jk}\frac{x_i}{r^2}\frac{2GM}{c^2r}\frac{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^3}-(1-\delta^0_i)(1-\delta^0_j)\delta_{jk}\frac{x_i}{r^2}\frac{2GM}{c^2r}(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^3</tex>
となり、リーマン接続は
<tex>\Gamma_{ijk}&=\frac{1}{2}(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i})\\&=\frac{\delta^0_j\delta^0_k(1-\delta^0_i)x_i-\delta^0_i\delta^0_k(1-\delta^0_j)x_j-\delta^0_i\delta^0_j(1-\delta^0_k)x_k}{r^2}\frac{GM}{c^2r}\frac{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^3}\\&\hspace{18pt}+(1-\delta^0_i)(1-\delta^0_j)(1-\delta^0_k)\frac{\delta_{jk}x_i-\delta_{ik}x_j-\delta_{ij}x_k}{r^2}\frac{GM}{c^2r}(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^3</tex>
<tex>\Gamma^n_{\,jk}&=g^{ni}\Gamma_{ijk}\\&=(1-\delta^n_0)\delta^0_j\delta^0_k\frac{x^n}{r^2}\frac{GM}{c^2r}\frac{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^7}\\&+\delta^n_0\frac{\delta^0_k(1-\delta^0_j)x_j+\delta^0_j(1-\delta^0_k)x_k}{r^2}\frac{GM}{c^2r}(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^{-1}(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^{-1}\\&+(1-\delta^n_0)(1-\delta^0_j)(1-\delta^0_k)\frac{\delta_{jk}x^n-\delta^n_k x_j-\delta^n_j x_k}{r^2}\frac{GM}{c^2r}(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^{-1}</tex>
となる。従って質点の運動方程式は、ギリシャ文字を空間成分だけの添字として
<tex>-\Gamma^\theta_{\,ij}\dot x^i\dot x^j=(-x^\theta(\frac{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}+\frac{|\dot{\bf r}|^2}{c^2})+\dot x^\theta\frac{2\,{\bf r}^{\!\mathrm T}\dot{\bf r}}{c^2})\frac{GM}{r^3}(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^{-1}</tex>
<tex>\Gamma^0_{\,ij}\dot x^i\dot x^j=\frac{2\,GM{\bf r}^{\!\mathrm T}\dot{\bf r}}{c\,r^3(1-\frac{GM}{2\,c^2r})(1+\frac{GM}{2\,c^2r})}</tex>
より
<tex>\ddot x^\theta&=-\Gamma^\theta_{\,ij}\dot x^i\dot x^j-\frac{\dot x^\theta}{c}\Gamma^0_{\,ij}\dot x^i\dot x^j\\&=(-x^\theta(\frac{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}+\frac{|\dot{\bf r}|^2}{c^2})+\dot x^\theta\frac{2\,{\bf r}^{\!\mathrm T}\dot{\bf r}}{c^2}(1+\frac{1}{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}))\frac{GM}{r^3}(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^{-1}</tex>
<tex>\therefore\ \ddot{\bf r}=(-{\bf r}(\frac{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}+\frac{|\dot{\bf r}|^2}{c^2})+\dot{\bf r}\frac{2\,{\bf r}^{\!\mathrm T}\dot{\bf r}}{c^2}(1+\frac{1}{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}))\frac{GM}{r^3}(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^{-1}</tex>
となる。そして光速条件 $\dot s^2=-g_{ij}\dot x^i\dot x^j=0$ は
<tex>c^2\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^2}-|\dot{\bf r}|^2(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^4=0\quad\therefore\ \frac{|\dot{\bf r}|^2}{c^2}=\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}</tex>
となる。
光速条件を加速度式に代入すると
<tex>\ddot{\bf r}=(-{\bf r}\frac{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}+\frac{\dot{\bf r}}{c^2}\frac{2\,{\bf r}^{\!\mathrm T}\dot{\bf r}}{1-\frac{GM}{2\,c^2r}})\frac{GM}{r^3}\frac{2-\frac{GM}{2\,c^2r}}{1+\frac{GM}{2\,c^2r}}</tex>
であるから、 ${\bf r}$ との外積を取ると $\frac{d {\bf r}\times\dot{\bf r}}{dt}={\bf r}\times\ddot{\bf r},\,\dot r=\frac{{\bf r}^{\!\mathrm T}\dot{\bf r}}{r}$ より
<tex>\frac{d {\bf r}\times\dot{\bf r}}{dt}={\bf r}\times\ddot{\bf r}={\bf r}\times\dot{\bf r}\frac{\frac{2GM}{c^2r}(2-\frac{GM}{2\,c^2r})}{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})(1+\frac{GM}{2\,c^2r})}\frac{\dot r}{r}</tex>
となり、 ${\bf r}\times\dot{\bf r}$ の方向は不変と分かる。
そこで $|{\bf r}\times\dot{\bf r}|$ の変化を調べるため定数ベクトル $\bf u$ との内積を考えて $h={\bf u}^{\!\mathrm T}({\bf r}\times\dot{\bf r})$ とすると
<tex>\frac{dh}{h}=4\frac{\frac{GM}{2\,c^2r}(2-\frac{GM}{2\,c^2r})}{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})(1+\frac{GM}{2\,c^2r})}\frac{dr}{r}</tex>
<tex>\therefore\ \int\frac{dh}{h}&=4\int\frac{\frac{GM}{2\,c^2r}(2-\frac{GM}{2\,c^2r})}{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})(1+\frac{GM}{2\,c^2r})}\frac{dr}{r}=-4\int\frac{(2-\frac{GM}{2\,c^2r})d(\frac{GM}{2\,c^2r})}{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})(1+\frac{GM}{2\,c^2r})}\\&=-2\int(\frac{1}{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}+\frac{3}{1+\frac{GM}{2\,c^2r}})d(\frac{GM}{2\,c^2r})</tex>
<tex>\therefore\ \ln(h)=2\ln(1-\frac{GM}{2\,c^2r})-6\ln(1+\frac{GM}{2\,c^2r})+const.</tex>
<tex>\therefore\ h={\bf u}^{\!\mathrm T}({\bf r}\times\dot{\bf r})=\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}const.=\frac{|\dot{\bf r}|^2}{c^2}const.</tex>
となり、 ${\bf u}^{\!\mathrm T}\frac{{\bf r}\times\dot{\bf r}}{|\dot{\bf r}|^2}$ は定数となる。
 $\bf u$ は任意だから $\frac{{\bf r}\times\dot{\bf r}}{|\dot{\bf r}|^2}$ は定数ベクトルとなる。
そこで、次の定数ベクトルを定義する。
<tex>{\bf H}=\frac{{\bf r}\times\dot{\bf r}}{|\dot{\bf r}|^2}\,c^2,\ {\bf r}\times\dot{\bf r}={\bf H}\frac{|\dot{\bf r}|^2}{c^2}={\bf H}\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}</tex>
次に、 $\bf H$ 方向をz軸として
<tex>{\bf r}=\begin{pmatrix}r\cos\theta\\r\sin\theta\\0\end{pmatrix},\ |\dot{\bf r}|^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2,\ {\bf r}\times\dot{\bf r}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}r^2\dot\theta</tex>
とすると
<tex>H=|{\bf H}|=\frac{c^2}{|\dot{\bf r}|^2}|{\bf r}\times\dot{\bf r}|=\frac{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}r^2\dot\theta,\ \frac{|\dot{\bf r}|^2}{c^2}=\frac{\dot r^2+r^2\dot\theta^2}{c^2}=\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}</tex>
であるから
<tex>\dot\theta=\frac{H}{r^2}\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}\,,\ \dot r^2=\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}\,c^2-r^2\dot\theta^2=\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}(c^2-\frac{H^2}{r^2}\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6})</tex>
<tex>\therefore\ \dot r=\pm\,c\,\frac{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^3}\sqrt{1-\frac{H^2}{c^2r^2}\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}}</tex>
となる。
ここで原点に最接近する時刻を $t_p$ 、その位置,速度を ${\bf r}_p,\dot{\bf r}_p$ とすれば
<tex>|\dot{\bf r}_p|=\frac{1-\frac{GM}{2\,c^2r_p}}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r_p})^3}\,c</tex>
であり、 ${\bf r}_p$ と $\dot{\bf r}_p$ は垂直だから
<tex>H=\frac{c^2}{|\dot{\bf r}_p|^2}|{\bf r}_p\times\dot{\bf r}_p|=\frac{c^2}{|\dot{\bf r}_p|^2}r_p|\dot{\bf r}_p|=\frac{(1+\frac{GM}{2\,c^2r_p})^3}{1-\frac{GM}{2\,c^2r_p}}\,c\,r_p</tex>
である。
光線軌跡は $\dot r$ と $\dot\theta$ より
<tex>t-t_p=\int_{r_p}^{\,r}\frac{dr}{\dot r}=\pm\int_{r_p}^{\,r}\frac{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^3}{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}\left(1-\frac{H^2}{c^2r^2}\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}\right)^{\!\!\!-1/2}\frac{dr}{c}</tex>
<tex>\theta-\theta_p=\int_{r_p}^{\,r}\frac{\dot\theta\,dr}{\dot r}=\pm\int_{r_p}^{\,r}\frac{H}{c\,r^2}\frac{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^3}\left(1-\frac{H^2}{c^2r^2}\frac{(1-\frac{GM}{2\,c^2r})^2}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}\right)^{\!\!\!-1/2}dr</tex>
と求められる。
複号は $t-t_p$ と同符号にする。
69 hirota 2015/06/16 (火) 02:55:36 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>68で求めた光線軌跡は積分が簡単でないので $\varepsilon=\frac{GM}{2\,c^2}$ の一次近似で計算してみる。
<tex>H=\frac{(1+\frac{\varepsilon}{r_{\!p}})^3}{1-\frac{\varepsilon}{r_{\!p}}}\,c\,r_{\!p}\thickapprox c\,r_{\!p}(1+\frac{4\,\varepsilon}{r_{\!p}})</tex>
<tex>\left(1-\frac{H^2}{c^2r^2}\frac{(1-\frac{\varepsilon}{r})^2}{(1+\frac{\varepsilon}{r})^6}\right)^{\!\!\!-1/2}&\thickapprox\left(1-\frac{r_{\!p}^2}{r^2}(1+\frac{8\,\varepsilon}{r_{\!p}}-\frac{8\,\varepsilon}{r})\right)^{\!\!\!-1/2}=\left(\frac{r^2-r_{\!p}^2}{r^2}-8\,\varepsilon\frac{r_{\!p}(r-r_{\!p})}{r^3}\right)^{\!\!\!-1/2}\\&=\frac{r}{\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}(1-\frac{8\,\varepsilon\,r_{\!p}}{r(r+r_{\!p})})^{-1/2}\thickapprox\frac{r}{\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}(1+\frac{4\,\varepsilon\,r_{\!p}}{r(r+r_{\!p})})</tex>
<tex>|t-t_p|\thickapprox\int_{r_{\!p}}^{\,r}(1+\frac{4\,\varepsilon}{r}+\frac{4\,\varepsilon\,r_{\!p}}{r(r+r_{\!p})})\frac{r\,dr}{c\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}=\int_{r_{\!p}}^{\,r}(1+\frac{4\,\varepsilon(r+2\,r_{\!p})}{r(r+r_{\!p})})\frac{r\,dr}{c\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}</tex>
<tex>|\theta-\theta_p|\thickapprox\int_{r_{\!p}}^{\,r}(1+\frac{4\,\varepsilon}{r_{\!p}}-\frac{4\,\varepsilon}{r}+\frac{4\,\varepsilon\,r_{\!p}}{r(r+r_{\!p})})\frac{r_{\!p}\,dr}{r\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}=\int_{r_{\!p}}^{\,r}(1+\frac{4\,\varepsilon\,r}{r_{\!p}(r+r_{\!p})})\frac{r_{\!p}\,dr}{r\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}</tex>
ここで
<tex>w=\sqrt{\frac{r-r_{\!p}}{r+r_{\!p}}}\,,\,r=\frac{1+w^2}{1-w^2}\,r_{\!p}\,,\,dr=4\,r_{\!p}\frac{w\,dw}{(1-w^2)^2}</tex>
とすると
<tex>|t-t_p|&\thickapprox\int_0^{\,w}\!\!\!\left((\frac{1}{(1-w)^2}+\frac{1}{(1+w)^2})\,r_{\!p}+4\,\varepsilon(1+\frac{1}{1-w}+\frac{1}{1+w})\right)\!\!\frac{dw}{c}\\&=\frac{1}{c}\left(\frac{2\,r_{\!p}\,w}{1-w^2}+4\,\varepsilon(w+\ln\frac{1+w}{1-w})\right)\\&=\frac{1}{c}\!\left(\!\!\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}+4\,\varepsilon(\frac{\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r+r_{\!p}}+\ln\frac{r+r_{\!p}+\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r+r_{\!p}-\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}\,)\right)</tex>
<tex>|\theta-\theta_p|&\thickapprox2\!\!\int_0^{\,w}\!\!(\frac{1}{1+w^2}+\frac{2\,\varepsilon}{r_{\!p}})\,dw=2(\tan^{\!-1}\!w+\frac{2\,\varepsilon\,w}{r_{\!p}})=\tan^{\!-1}\!\!\frac{2\,w}{1-w^2}+\frac{4\,\varepsilon\,w}{r_{\!p}}\\&=\tan^{\!-1}\!\!\frac{\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r_{\!p}}+\frac{4\,\varepsilon\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r_{\!p}(r+r_{\!p})}</tex>
また
<tex>\cos(\tan^{\!-1}\!\!x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,,\,\sin(\tan^{\!-1}\!\!x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</tex>
<tex>\cos(\tan^{\!-1}\!\!\frac{\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r_{\!p}})=\frac{r_{\!p}}{r}\,,\,\sin(\tan^{\!-1}\!\!\frac{\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r_{\!p}})=\frac{\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r}</tex>
であるから
<tex>\cos(\theta-\theta_p)\thickapprox\cos(\tan^{\!-1}\!\!\frac{\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r_{\!p}})-\frac{4\,\varepsilon\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r_{\!p}(r+r_{\!p})}\sin(\tan^{\!-1}\!\!\frac{\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r_{\!p}})</tex>
<tex>\therefore\ r\cos(\theta-\theta_p)\thickapprox r_{\!p}-\frac{4\,\varepsilon(r-r_{\!p})}{r_{\!p}}</tex>
<tex>\sin|\theta-\theta_p|\thickapprox\sin(\tan^{\!-1}\!\!\frac{\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r_{\!p}})+\frac{4\,\varepsilon\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r_{\!p}(r+r_{\!p})}\cos(\tan^{\!-1}\!\!\frac{\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r_{\!p}})</tex>
<tex>\therefore\ r\sin|\theta-\theta_p|\thickapprox\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}+\frac{4\,\varepsilon\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r+r_{\!p}}</tex>
時間については
<tex>c|t-t_p|\thickapprox\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}+4\,\varepsilon(\frac{\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r+r_{\!p}}+\ln\frac{r+r_{\!p}+\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}{r+r_{\!p}-\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}}\,)</tex>
の0次近似は
<tex>c|t-t_p|=\sqrt{r^2-r_{\!p}^2}+O(\varepsilon),\,r=\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}+O(\varepsilon)</tex>
だから再び元式に代入して
<tex>\therefore\ r\thickapprox\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}-4\,\varepsilon\!\left(\!1-\frac{1}{\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}}(r_{\!p}-c|t-t_p|\ln\frac{r_{\!p}+c|t-t_p|+\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}}{r_{\!p}-c|t-t_p|+\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}})\right)</tex>
 $t-t_p$ と $\theta-\theta_p$ の符号は同じにしたから
<tex>r\cos(\theta-\theta_p)\thickapprox r_{\!p}+4\,\varepsilon(1-\frac{\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}}{r_{\!p}})</tex>
<tex>r\sin(\theta-\theta_p)\thickapprox c(t-t_p)+4\,\varepsilon\ln\frac{r_{\!p}-c(t-t_p)+\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}}{r_{\!p}+c(t-t_p)+\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}}</tex>
 ${\bf r}_p$ 方向をx軸とすれば
<tex>{\bf r}=\begin{pmatrix}x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos(\theta-\theta_p)\\r\sin(\theta-\theta_p)\\0\end{pmatrix}\thickapprox\begin{pmatrix}r_{\!p}\\\!c(t-t_p)\!\\0\end{pmatrix}+4\,\varepsilon\!\!\begin{pmatrix}1-\frac{\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}}{r_{\!p}}\\\ln\frac{r_{\!p}-c(t-t_p)+\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}}{r_{\!p}+c(t-t_p)+\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}}\\0\end{pmatrix}</tex>
これを時間微分すると
<tex>\dot{\bf r}_p\thickapprox c\,(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\!\!-\frac{4\,\varepsilon}{r_{\!p}}\!\!\begin{pmatrix}\frac{c(t-t_p)}{\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}}\\1-\frac{c^2(t-t_p)^2}{(r_{\!p}+\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2})\sqrt{r_{\!p}^2+c^2(t-t_p)^2}}\\0\end{pmatrix})</tex>
 $t=\pm\infty$ では
<tex>\dot{\bf r}_p\thickapprox c\!\begin{pmatrix}\mp\frac{4\,\varepsilon}{r_{\!p}}\\1\\0\end{pmatrix}</tex>
だから、屈折角は $\frac{8\,\varepsilon}{r_{\!p}}=\frac{4GM}{c^2r_{\!p}}$ となる。
次に、時刻 $t_p<t_1<t_2$ での位置を ${\bf r}_1,{\bf r}_2$ として相互距離を $r_{12}$ とすると
<tex>{\bf r}_i=\begin{pmatrix}r_i\cos(\theta_i-\theta_p)\\r_i\sin(\theta_i-\theta_p)\\0\end{pmatrix}\thickapprox\begin{pmatrix}r_{\!p}\\\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2}\\0\end{pmatrix}+4\,\varepsilon\!\!\begin{pmatrix}-\frac{r_i-r_{\!p}}{r_{\!p}}\\\frac{\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2}}{r_i+r_{\!p}}\\0\end{pmatrix}</tex>
<tex>r_{12}^2=|{\bf r}_2-{\bf r}_1|^2\thickapprox(\sqrt{r_2^2-r_{\!p}^2}-\sqrt{r_1^2-r_{\!p}^2})^2+8\,\varepsilon(\sqrt{r_2^2-r_{\!p}^2}-\sqrt{r_1^2-r_{\!p}^2})(\frac{\sqrt{r_2^2-r_{\!p}^2}}{r_2+r_{\!p}}-\frac{\sqrt{r_1^2-r_{\!p}^2}}{r_1+r_{\!p}})</tex>
<tex>\therefore\ r_{12}\thickapprox\sqrt{r_2^2-r_{\!p}^2}-\sqrt{r_1^2-r_{\!p}^2}+4\,\varepsilon(\frac{\sqrt{r_2^2-r_{\!p}^2}}{r_2+r_{\!p}}-\frac{\sqrt{r_1^2-r_{\!p}^2}}{r_1+r_{\!p}})</tex>
ここで
<tex>c(t_i-t_p)\thickapprox\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2}+4\,\varepsilon(\frac{\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2}}{r_i+r_{\!p}}+\ln\frac{r_i+r_{\!p}+\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2}}{r_i+r_{\!p}-\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2}}\,)</tex>
だから
<tex>\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2}\thickapprox c(t_i-t_p)-4\,\varepsilon(\frac{\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2}}{r_i+r_{\!p}}+\ln\frac{r_i+r_{\!p}+\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2}}{r_i+r_{\!p}-\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2}}\,)</tex>
<tex>r_{12}\thickapprox c(t_2-t_1)-4\,\varepsilon\ln\frac{(r_1+r_{\!p}-\sqrt{r_1^2-r_{\!p}^2})(r_2+r_{\!p}+\sqrt{r_2^2-r_{\!p}^2})}{(r_1+r_{\!p}+\sqrt{r_1^2-r_{\!p}^2})(r_2+r_{\!p}-\sqrt{r_2^2-r_{\!p}^2})}</tex>
<tex>\therefore\ c(t_2-t_1)\thickapprox r_{12}+4\,\varepsilon\ln\frac{(r_1+r_{\!p}-\sqrt{r_1^2-r_{\!p}^2})(r_2+r_{\!p}+\sqrt{r_2^2-r_{\!p}^2})}{(r_1+r_{\!p}+\sqrt{r_1^2-r_{\!p}^2})(r_2+r_{\!p}-\sqrt{r_2^2-r_{\!p}^2})}</tex>
そして
<tex>(r_i+r_{\!p}-\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2})(r_i+\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2})=r_{\!p}(r_i+r_{\!p}+\sqrt{r_i^2-r_{\!p}^2})</tex>
だから
<tex>\therefore\ c(t_2-t_1)\thickapprox r_{12}+4\,\varepsilon\ln\frac{r_2+\sqrt{r_2^2-r_{\!p}^2}}{r_1+\sqrt{r_1^2-r_{\!p}^2}}</tex>
ここから $r_{\!p}$ を消すには0次近似の
<tex>r_{12}=\sqrt{r_2^2-r_{\!p}^2}-\sqrt{r_1^2-r_{\!p}^2}+O(\varepsilon)</tex>
より
<tex>r_{\!p}^2=\frac{2\,r_{12}^2(r_1^2+r_2^2)-(r_2^2-r_1^2)^2-r_{12}^4}{4\,r_{12}^2}+O(\varepsilon)</tex>
として上に代入すれば
<tex>c(t_2-t_1)\thickapprox r_{12}+4\,\varepsilon\ln\frac{r_1+r_2+r_{12}}{r_1+r_2-r_{12}}</tex>
となる。
先に付けた $t_p<t_1<t_2$ の条件を外すには
<tex>c|t_2-t_1|\thickapprox r_{12}+4\,\varepsilon\ln\frac{r_1+r_2+r_{12}}{r_1+r_2-r_{12}}=r_{12}+\frac{2GM}{c^2}\ln\frac{r_1+r_2+r_{12}}{r_1+r_2-r_{12}}</tex>
とすれば良い。これをLight time equationと言う。
70 トビラ。。 2015/06/16 (火) 21:22:47 ID:ZQOavh2Flg [修正] [削除]
hirota様すごい、ありがとうございます。時間をかけて読んでみます。
71 hirota 2015/06/17 (水) 19:16:55 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>69では弱重力近似をしたので、ここでは強重力を調べる。
シュバルツシルト・ブラックホールの地平線は $g_{00}=0$ となる所であり、>>68の座標系では半径が
<tex>r_0=\frac{GM}{2\,c^2r}</tex>
の所である。
以下では簡単のため $c=r_0=1$ とすると、
<tex>|\dot{\bf r}|=\frac{1-\frac{1}{r}}{(1+\frac{1}{r})^3}=r^2\frac{r-1}{(r+1)^3}</tex>
<tex>H=\frac{|{\bf r}\times\dot{\bf r}|}{|\dot{\bf r}|^2}=r_{\!p}\frac{(1+\frac{1}{r_{\!p}})^3}{1-\frac{1}{r_{\!p}}}=\frac{(r_{\!p}+1)^3}{r_{\!p}(r_{\!p}-1)}</tex>
<tex>\dot\theta=\frac{H}{r^2}\frac{(1-\frac{1}{r})^2}{(1+\frac{1}{r})^6}=Hr^2\frac{(r-1)^2}{(r+1)^6}</tex>
<tex>|\dot r|=\frac{1-\frac{1}{r}}{(1+\frac{1}{r})^3}\sqrt{1-\frac{H^2}{r^2}\frac{(1-\frac{1}{r})^2}{(1+\frac{1}{r})^6}}=r^2\!\frac{r-1}{(r+1)^3}\sqrt{1-H^2r^2\frac{(r-1)^2}{(r+1)^6}}</tex>
であるから、 $\dot r$ を更に微分して
<tex>\ddot r=r^3\!\frac{r-1}{(r+1)^{13}}(2(2\,r-1)(r+1)^6+r^2H^2(r-1)^2(r^2-8\,r+3))</tex>
とし、 ${\bf r}_{\!p}$ での値を求めると
<tex>\ddot r_{\!p}=r_{\!p}^3\frac{r_{\!p}-1}{(r_{\!p}+1)^7}(r_{\!p}-2-\sqrt{3})(r_{\!p}-2+\sqrt{3})</tex>
となる。
 $r_{\!p}$ は $r$ の最小値だから $\ddot r_{\!p}\geqq0$ なので、
<tex>r_{\!p}\geqq2+\sqrt{3}\thickapprox3.73</tex>
が必要である。これより内側はブラックホールの側を通過することはできず吸い込まれてしまい、限界値では光が円軌道となる。
限界近くでの軌道はどうなるかと言うと、
<tex>\frac{|\dot r|}{\dot\theta}=r_{\!p}\frac{(r_{\!p}-1)(r+1)^3}{(r-1)(r_{\!p}+1)^3}\sqrt{1-\frac{r^2(r-1)^2(r_{\!p}+1)^6}{r_{\!p}^2(r_{\!p}-1)^2(r+1)^6}}</tex>
を $\Delta r=r-r_{\!p}$ が微小な範囲で近似すると
 $\dot r\geqq0$ では
<tex>\frac{d\Delta r}{d\theta}=\frac{|\dot r|}{\dot\theta}\thickapprox\sqrt{2\,r_{\!p}\frac{(r_{\!p}-2-\sqrt{3})(r_{\!p}-2+\sqrt{3})}{(r_{\!p}-1)(r_{\!p}+1)}\Delta r}</tex>
<tex>\therefore\ \Delta r\thickapprox r_{\!p}\frac{(r_{\!p}-2-\sqrt{3})(r_{\!p}-2+\sqrt{3})}{2(r_{\!p}-1)(r_{\!p}+1)}\,\theta^2</tex>
となる。
限界との差が小さければ係数はいくらでも小さくなるので、光はブラックホールの周りを何周でも回ってから離れて行く。
72 甘泉法師 2015/06/18 (木) 08:14:16 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

たいへんな計算で恐れいります。 ながめているだけでコメントは恐縮ですが

>>71 <tex>r_{\!p}\geqq2+\sqrt{3}\thickapprox3.73</tex>

について。 あもんさんのノートを見ての記憶はシュワルツシルト半径の1.5倍です。 検算の参考となれば幸いです。
 
73 hirota 2015/06/18 (木) 14:06:03 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>72
あもんさんの座標変換式は
<tex>r=\bar r\left(1+\frac{a}{4\,\bar r}\right)^{\!\!2},\,a=\frac{2GM}{c^2}=4\,r_0</tex>
これに
<tex>\bar r=(2+\sqrt{3}\,)\,r_0</tex>
を入れると
<tex>r=(2+\sqrt{3}\,)\frac{a}{4}\left(1+\frac{1}{2+\sqrt{3}}\right)^{\!\!\!2}=\frac{3}{2}\,a</tex>

これに引っ掛かる人がいると思って、上で「>>68の座標系では」と断ったんだけどね。
74 甘泉法師 2015/06/18 (木) 17:33:24 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。
みごとに引っ掛かり失礼しました。

シュワルツシルト解の動径で aの1.5倍
等方座標の動径では a/4 の 2+√3 倍

ですね。 ありがとうございます。





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