1 htms42 2015/05/14 (木) 14:15:18 ID:i/jtzg3bTU 修正アリ: 05/16 (土) 21:12 [修正] [削除]
「ピタゴラス数の表現」?
「何を今さら?」と思われるでしょうね。

ピタゴラスの定理は中学校で出てきます。
直角三角形の直角をはさむ2つの辺の長さa,bと斜辺の長さcとの間に
a^2+b^2=c^2
という関係があるというものです。
たいていは面積を使って幾何的に証明されています。
辺の長さの比が3:4:5の直角三角形はよく知られています。簡単な整数でこんなきれいな関係があるのですから印象深いです。
この整数比を表す、整数の組がピタゴラス数です。
当然この数字の組のほかにどういう数字があるのかということを知りたくなります。3,4,5の数字の組はほとんどの高校生が知っていると思います。しかし、5,12,13の数字の組を知っているのは学年に数人でしょう、7,24,25を知っている高校生は珍しいと思います。興味を持った生徒が先生に聞きに行ったとします。即答できる先生はほとんどいないでしょう。たいていは「公式があるから調べて御覧」と言って終わりになるでしょう。調べて公式を見つけたとします。たいていの本に載っているのはディオファントスの式(式Dとします)として知られているものです(wikipediaでもこの式が出てきます)。でもこの公式を使ってピタゴラス数を求めるのは大変です。7から始まる数字の組、9から始まる数字の組、・・・を直ぐに求めることができる高校生はいないのではないでしょうか。先生でも出来る人はほとんどいないでしょう。15では?、105では?、・・・無理だろうと思います。
※15には(15,112,113)と(15,8,17)の二組が存在します。15は2組の数字が存在する一番小さい奇数です。1<a<100の奇数49個の中では二組の解が存在する奇数が20個、残りの29個は全て一組です。105は4組の数字が存在する一番小さい奇数です。

全ての奇数aに対してピタゴラス数が存在します。
これはピタゴラスの時代にすでに解が得られています(当然予想されることですね)。正方数を使って求めています。奇数aに対して、b=(a^2-1)/2、c=(a^2+1)/2という数字の組です。aに任意の奇数を入れれば直ぐにb,cは求められます。しかし、1つの奇数に対して二組以上の数字の組が解として存在することがあるのですからこの式では不足です。この式は1つの奇数に対して一組の解を与えているものです。全ての解を表しているのがディオファントスの式だということになっています。
確かにこの式では不足なのですが使いこなすことのできないディオファントスの式よりは意味があるのではないでしょうか。
中学生、高校生の知りたいと思う気持ちに応えることができるということであればまずはピタゴラスの時代の式(式Pとします)を教えてもいいのではないでしょうか。
もしディオファントスの式を教えるのであれば使いやすいような表現に式を変えておく必要があるのではないでしょうか。具体的には、奇数aを任意に与えた時にそのaに対するピタゴラス数が直ちに求められるような表現、4の倍数であるbを任意に与えた時にそのbに対するピタゴラス数が直ちに求められる様な表現、になっていることです。式の使い方のマニュアルも必要です。

式P a、 (a^2-1)/2、 (a^2+1)/2、・・・aは奇数
式D p^2-q^2、 2pq、 p^2+q^2、・・・p、qは互いに素な偶数と奇数の組

式Dの変更について書くのがこのスレッドの目的です。
一般式を導くこともやるつもりです。

◎ここで扱うピタゴラス数は全て既約なピタゴラス数(原始ピタゴラス数)です。

※普通の高校生であればピタゴラスの定理を満たす数字として知っているのは
3:4:5
1:2:√3
1:1:√2
です。
※※ピタゴラス数についてのサイトは多いです。ほとんどがp、qを2次元的に変化させてa,b,cを求めるというものです。「コンピュータを使って求めた」と誇らしげに書いてあるサイトも目に付きます。
※※※a^3+b^3+c^3=d^3をa=3、b=4、c=5、d=6が満たすというのもきれいな関係です。3次のディオファントスの式と言うようです。
2 htms42 2015/05/14 (木) 21:53:13 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
これからやろうとすること、ディオファントスの式の書き変えは高校の数学教師のレベルであればだれでも出来ることではないかと思っています。でもだれもやっている形跡はありません。生徒が知りたいと思ったときにそれに役に立つような表現になっていてほしいと思ったことはないのでしょうか。皆、すんだことだと解釈してしまっているように思います。私は元高校の教師です。担当は数学ではありません、理科です。主に化学を教えていました。使いにくい公式しかないのに終わってしまっているとしているのにはイライラしていました。ネットの質問コーナーの質問や回答を見ていて公式を作り直そうと思い始めたのです。これでOKだと言えるところまで持って行くのに結構時間がかかりました。
aが3桁ぐらいであればどんな数字でも手計算(電卓併用)ですべての組を求めることができます。偶数bからスタートして数字の組を求める表現も求めました。ディオファントスの式が使いにくいのは奇数aについての式か、偶数bについての式かの区別がなされていないからです。ただ恒等式を持ってきただけです。、
元教師でなければこういう風な問題意識は出てこなかっただろうとも思います。

3 htms42 2015/05/15 (金) 18:31:53 ID:i/jtzg3bTU 修正アリ: 20:01 [修正] [削除]
ちょっと寄り道します。

(式P)を使ってピタゴラス数をいくつか求めてみます。
(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(9,40,41)、・・・
奇数aを順に変えて行った時の偶数bの変化を見てみます。
4,12,24,40、・・・
bは4の倍数であるというのはわかっています。でもこの数字の現れ方は少し飛びすぎですね。8、16,20、・・・などは出てこないのでしょうか。
>>1で(15,8,17)という数字の組が存在するということを書きましたのでb=8の解は存在するのです。b=4nの全てのnに対して解が存在します。これは簡単に求めることができます。ピタゴラスの時代にこれを与える式が出ていてもよさそうに思えるのですが何故か奇数aについての(式P)しか見当たりません。そういう問題意識がなかったということなんでしょうか。

奇数aについての式(式P)から偶数bについての式(式P’)を求めてみます。
a、(a^2-1)/2、(a^2+1)/2 ・・・(式P)
aは奇数でなければいけないというのは直ぐに分かります。
全体を2倍します。
2a、(a^2-1)、(a^2+1)
実数に関係する式であれば全体を2倍しても内容に違いは生じません。でも整数についての関係式である場合には意味が違ってきます。2aは偶数ですからbに相当することになります。役割が入れ変わりました。文字が混乱しますのでpを導入します。
a=(p^2-1)、b=2p、c=(p^2+1) ・・・(式P’)
pは偶数でなければいけません。pが奇数であればa,b,cは全て偶数になりますので共約数を持たないという条件(原始ピタゴラス数であるという条件)に反することになります。これでbは4の倍数であることが出てきます。また全ての偶数pについて解が存在するということも分かります。
(3,4,5)、(15,8,17)、(35,12,37)、・・・
(式P)から得られる数字の組と(式P’)から得られる数字の組とは(3,4,5)が共通ですが他に一致するものはありません。まったく別の系統の解を表す表現であると言うことができます。表現は単に2倍異なるだけですが表されている内容はまったく異なるのです。

私はピタゴラスの時代に(式P),(式P’)のどちらも知られていたのではないかと思っています。後世の人が(式P),(式P’)を同じものだとして(式P)だけしか取り上げようとはしなかったという可能性があります。またディオファントスの式で表現は完成したという受け取りで、過去の不完全な表現はいくつあっても全部取り上げる必要はない、「例えば・・・」と言う風な例としての取り上げ方で終わりにしてしまっているということかも知れません。「偶数について・・・」、「奇数について・・・」というのはセットのはずなんですが何故か片方が抜け落ちてしまっているのです。図形数の取り上げ方でもそういう印象があります。自然数、偶数、奇数は数を考える時の3本柱です。それぞれに対応する三角数、矩形数、正方数を考えたというのが知られています。でも何故か矩形数を省いてしまっている本が多いです。
ギリシャの数学について詳しい人がいるといいのですが。

4 htms42 2015/05/15 (金) 22:59:50 ID:i/jtzg3bTU 修正アリ: 05/16 (土) 12:15 [修正] [削除]
>>3までの結果をまとめてみます。

ピタゴラスの定理
a^2+b^2=c^2
a,b,cは共約数を持たない正の整数・・・(「既約」だと表現します)
aを奇数とするとbは偶数になります。

pを正の整数とします。
(式P) :a=p、b=(p^2-1)/2、c=(p^2+1)/2
(式P’):a=(p^2-1)、b=2p、c=(p^2+1)
pが奇数の時・・・式P、pが偶数の時・・・式P’

bは4の倍数であることが分かります。
(式P)はピタゴラスの時代に知られていた式です。
(式P’)は(式P)から導くことができる式です。表現の違いは2倍したということだけです。ピタゴラスの時代に知られていただろうと思われますが確かではありません。
(式P)は全ての奇数aに対してピタゴラス数が存在することを、(式P’)は全ての4の倍数bに対してピタゴラス数が存在することを示しています。(3,4,5)はどちらの式からでも得られますが他に得られる数字の組で一致するものはありません。2つの式から得られるピタゴラス数の組は異なる系統の解であるということになります。

この2系統以外の解が存在するということがわかって初めて(式P)、(式P’)ではない一般式が必要になるという認識が出てくるのです。それがディオファントスの式です・・・従って、ディオファントスの時代には(式P)、(式P’)では不足だということが認識されていたということになります。
(式P),(式P’)と分けて考えたことと照らし合わせるとディオファントスの式もaについて考えた場合の式とbについて考えた場合の式に分けて考える必要があるのではないかと言うことができます。また普通、ディオファントスの式として出てくる表現は偶数bに着目したものになっているということも分かります。一般式だからどちらであっても同じ内容のはずだということではありません。扱いやすさが変わってきます。ある奇数aを含むピタゴラス数が知りたい時であればやはり奇数aを軸にした表現になっていなければすっきりした求め方にはならないのです。奇数aを軸にした表現を(式Da),偶数bを軸にした表現を(式Db)とします。(式Da)の方が手順が簡単になります。

(式Da):a=pq、b=(p^2-q^2)/2、c=(p^2+q^2)/2
      p、qは互いに素な奇数、p>q≧1

奇数aを与えます。そのaに対してp、qの組を決めます。p=a、q=1は全ての場合に存在します。この場合、(式Da)は(式P)に一致します。

aが互いに素な2つの奇数の積a1a2(a1>a2)で表される場合はq≠1が可能です。p=a1,q=a2 です。
a<100の場合、a=a1a2a3となる場合はありません。a=a1a2となる場合が20個あります。
   
a=a1a2a3となる一番小さい数字は105=7×5×3です。
この場合、(p,q)=(105,1)、(35,3)、(21,5)、(15,7)の4通りです。a=105を含むピタゴラス数の組は4組です。

a=a1a2a3a4となる一番小さい数字は11×7×5×3=1155です。この場合、(p、q)は8通り出てきます。
(1155,1)、(385,3)、(231,5)、(165,7)
(105,11)、(77,15)、(55,21)、(35,33)

このことから
ある奇数aに対してピタゴラス数の組がいくつ存在するかの数は
1,2,4,8、・・・となるようです。
a<100では1と2
a<1000では1,2,4
a<10000では1,2,4,8です。

偶数は奇数に比べて可能な約数への分割の場合分けが複雑になります。
普通示されているディオファントスの式は偶数を軸とした表現(式Db)ですから、いきなり式を与えて「全てのピタゴラス数が求められます」と言っても手の着けようがないという事態が生じます。
式を1つ与えるとしたら、それは奇数aを軸とした表現(式Da)の方でなければいけないでしょう。求める手順も合わせて示す必要があります。

(式Da)は整数の問題として導くことができます。ディオファントスの式が恒等式からの天下りで出てきた式だというところに不満を感じている人もおられるかもしれませんので参考になると思います。

(式Db):a=(p^2-q^2)、b=2pq、c=(p^2+q^2)
      p、qは互いに素な整数で積pqは偶数、p>q≧1、
5 htms42 2015/05/16 (土) 11:57:41 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
p,qを求めるための場合分けについて書きます。

これは結局「素因数分解からスタート」するということです。
a=a1a2・・・
と積の形に書いた時のa1、a2、・・・は素数、または素数の塁乗です。この素数には2は含まれていません。aを奇数とした時の表現ですから当然です。
偶数bを軸とした時の表現(式Db)では素数として2が含まれてきます。素数の数が増えますので考えなければいけない場合の数も増えてしまいます。
b≦100で4の倍数は25個あります。その中の1つ 60には4組のピタゴラス数が存在します。100以下の奇数49個の中には4組のピタゴラス数の出てくる数字は存在しないのですから偶数bで考えた場合の方が分散の度合いが強いということが分かります。

任意の数字を与えてその数字を含むすべてのピタゴラス数の組が知りたいということであれば偶数であれ、奇数であれこの(p,q)への分割が手順として必要になります。その場合、奇数を与えたのであれば(式Da)、偶数を与えたのであれば(式Db)と使い分ける必要があります。
全てのピタゴラス数が知りたいのではない、その数字を含むピタゴラス数が1組分かればいいというのであればピタゴラスの時代の式(式P)または(式P’)で充分です。ディオファントスの式は必要ありません。(式P)、(式P’)は(式Da)、(式Db)でq=1としたときのものです。
あちこちのサイトで目にすることのある、p、qを二次元的に変化させてa,b,cを計算する(p,qをパラメータ的に変化させて計算する)というのではある数字を含む全ての組を拾い出すというのは無理です。何組のピタゴラス数が存在するのかということも分かりません。
6 JK 2015/05/16 (土) 16:09:12 ID:.hRjTKzdvg 修正アリ: 17:54 [修正] [削除]
>>1
2点ほど確認させて下さい。
まず、ある自然数を含む「原始ピタゴラス数」のみを探すという趣旨ですよね?
数え漏れがありますから。

【例1】自然数15=3・5を含む「すべてのピタゴラス数」を挙げると、
・15=8^2−7^2→(15,112,113):原始ピタゴラス数
・15=4^2−1^2→(15,8,17):原始ピタゴラス数
・5=3^2−2^2→(5,12,13)≡(15,36,39)
・5=2^2+1^2→(3,4,5)≡(9,12,15)
・3=2^2−1^2→(3,4,5)≡(15,20,25)

また、ある自然数を「斜辺以外に含む原始ピタゴラス数」のみを探すという趣旨ですよね?
数え漏れがありますから。

【例2】自然数5=1・5を含む「すべての原始ピタゴラス数」を挙げると、
・5=3^2−2^2→(5,12,13):斜辺以外に含む原始ピタゴラス数
・5=2^2+1^2→(3,4,5)

【例3】自然数65=5・13を含む「すべての原始ピタゴラス数」を挙げると、
・65=33^2−32^2→(65,2112,2113):斜辺以外に含む原始ピタゴラス数
・65=9^2−4^2→(65,72,97):斜辺以外に含む原始ピタゴラス数
・65=8^2+1^2→(63,16,65)
・65=7^2+4^2→(33,56,65)
7 JK 2015/05/16 (土) 16:11:43 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>5
>あちこちのサイトで目にすることのある、p、qを二次元的に変化させてa,b,cを計算する(p,qをパラメータ的に変化させて計算する)というのではある数字を含む全ての組を拾い出すというのは無理です。

探すべき範囲が有限になるので可能です。
簡単な証明問題ですので、htms42さんへの宿題にしましょう。
8 htms42 2015/05/16 (土) 21:04:23 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
>>6
コメントありがとうございます。

>例1
原始ピタゴラス数です。
3,4,5のところで「整数比」と書いたので既約な数字の組だということは了解してもらえるのではないかと思って「原始ピタゴラス数」という言葉は出していませんでした。
>>1に「原始ピタゴラス数」という言葉を修正で入れました。

>例2、例3
斜辺に来る数字については考慮していませんでした。
a,b、cのaを与えた場合とbを与えた場合です。
(cを与えてa,bを求めるというのは簡単ではないと思います。全ての奇数cに対してピタゴラス数が存在するということはないからです。c=5は存在しますがc=7は存在しません。)

この「aを与える」、または、「bを与える」というところからスタートするのが大事だというのも私の主張の一つです。ただいきなり、ディオファントスの式を見てもわからないのです。この「aを与える」、「bを与える」を抜きにして変数のp、qに値を入れて行ってもなにも見えてきません。与えたaまたはbについて場合分けをして対応付けして行くということも手順として大事なことです。高校生がこの式をwikipediaで知ったとしても使えないという理由の一つはここにあると思います。式は書かれていても手順は書かれていません。


>例1
・15=8^2−7^2→(15,112,113):原始ピタゴラス数
・15=4^2−1^2→(15,8,17):原始ピタゴラス数

これは奇数aに対しても偶数bに対してもディオファントスの式(式Db)を適用しようという計算ですね。私は奇数aに対しては修正した式(式Da)を使っています。a=p・qを15=15・1=5・3に対応させればp、qが直ちに分かります。計算は必要ありません。(8,7)とか(4,1)を求める手順は必要ありません。この手順は簡単だと言っても連立方程式を解くことです。約数が多くなるとかなりしんどくなってくるのではないでしょうか。
a=105でやってみて下さい。

・65=8^2+1^2→(63,16,65)
・65=7^2+4^2→(33,56,65)
これがどういう風にして出てきたのかがわかりません。
確かにcからp、qが決まればa、bは決まります。
(8,1)または(7,4)を決める手順が分かりません。
ある奇数を2つの二乗の和に書き直す簡単な手順が存在するのでしょうか。





9 htms42 2015/05/18 (月) 17:57:02 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
JK様
私は>>8
>ある奇数を2つの二乗の和に書き直す簡単な手順が存在するのでしょうか。

と書きました。

「存在しない」と思います。
もし存在するのであれば、もうそれでピタゴラス数の問題は解けてしまっていることになります。奇数として二乗数を選べばピタゴラスの定理を満たす数字の組が決まります。

改めてまとめてみました。

a^2+b^2=c^2・・・(a,b,cは互いに素)
を満たす数字の組がピタゴラス数です。
aを奇数とするとbは偶数(4の倍数)、cは奇数になります。

・aについて:a>1の全ての奇数に対してピタゴラス数が存在します。
      aを与えた時のピタゴラス数を求める式・・・(式Da)
・bについて:b>0の全ての4の倍数に対してピタゴラス数が存在します。
      bを与えた時のピタゴラス数を求める式・・・(式Db)
 (式Da)、(式Db)は表現としては2倍ちがうだけですが主役が取り換えられています。aについてもbについても同じ手順を当てはめるようになっています。a、bに分けて考えることで表現も求める手順もわかりやすくなっています。(式Da)、(式Db)は(>>4)に書いてあります。

奇数aを与えた場合
(式Da):a=pq、b=(p^2-q^2)/2、c=(p^2+q^2)/2
      p、qは互いに素な奇数、p>q≧1
      
偶数b(4の倍数)を与えた場合
(式Db):a=(p^2-q^2)、b=2pq、c=(p^2+q^2)
      p、qは互いに素な整数で積は偶数、p>q≧1、

・cについて:cに規則性があるとは思えません。
  c=5の次に出てくるのは13、その次は17です。
10 TMO 2015/05/18 (月) 22:32:04 ID:s8BM.pqBMU [修正] [削除]
>> htms42 さん
長い書き込みに敬意を表して一通り読んでみました。
 ;私も以前一人で長々と書きましたが、反応が薄くてがっかりしました。
要約すると、
「ピタゴラス数の表現としては、※4の(式Da)が基本形とされるべきだ」
ということでいいでしょうか?

確かに、二次方程式の解法をやらされている高校生に
「(式P)がピタゴラス数の解の組を与える」
ということを教えると、その一般化として(式Da)を推測する賢い子もいそう
に思えます。

ただし、大人になるとそういうやり方にエレガントさを覚える心が失われて
「そんなのプログラムを組んで総当りで求めればいいやん」
となりそうです。私もまずはじめにそう考えました。
11 takoyaki 2015/05/18 (月) 22:54:17 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
科学史方面からコメントさせて頂きます。

『古代インドの科学思想』 佐藤 任 著より要約

古代インドのリグヴェーダには祭式を正しく執り行う知識として、天文学、測量、幾何学に言及している。
BC800頃にバウダーヤナという人物が『バウダーナヤ・シュルバスートラ』という文献を書き残しており、ピタゴラス数について、幾つもの例示を記述しており、その法則性を論じている。ただし、古代ギリシアの『原論』のように幾何学的な証明にまでは至っていない。
インドで最初にピタゴラスの定理について証明した記録は1150年のバースカラ二世である。

とのことです。
古代中国、バビロニア、エジプトでも、ピタゴラス数についてはかなり古い時代から知られていたようです。
古代人がどこまで一般化を考えていたかは私にはわかりませんが、もしかしたら同じようなことを頭の中であれこれ考えていたのかも知れませんね。
12 JK 2015/05/18 (月) 23:00:40 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>9
「手順」という用語を、どのように定義しているのですか?
13 htms42 2015/05/19 (火) 14:21:40 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
JK様
>>12

c=65に対する2つの式
・65=8^2+1^2→(63,16,65)
・65=7^2+4^2→(33,56,65)
2つの二乗数の和で表すことができています。
もしかしてですが、この2つの数字を見つけられたのはディオファントスの式でp、qを二次元的に変化させたものをコンピュータで作りだし、その表からcが同じになるa(またはb)を拾い出されたのではないでしょうか。コンピュータを使うのも手順の一つだということですね。

そうだとすると
>>10でTMO様が
「そんなのプログラムを組んで総当たりで求めればいいやん」と書かれていることの延長線にあることになります。

藤原正彦が「世にも美しい数学入門」という本を書いています。
そこにある基準からすると「美しくない」公式の使い方になると思います。
高校生に教える値打ちはなくなってしまうと思います。

14 JK 2015/05/19 (火) 16:20:36 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>13
>もしかしてですが、この2つの数字を見つけられたのはディオファントスの式でp、qを二次元的に変化させたものをコンピュータで作りだし、その表からcが同じになるa(またはb)を拾い出されたのではないでしょうか。

いいえ、違います。
htms42さんにとっては残念なことかも知れませんが、代数的に解きました。
15 htms42 2015/05/19 (火) 17:35:19 ID:i/jtzg3bTU 修正アリ: 05/24 (日) 21:01 [修正] [削除]
整数の問題として解いてみることにします。

a^2+b^2=c^2 (a,b,cは互いに素な整数、a:奇数、b:偶数)
c−b=kとしてbを消去します。
a^2=k(2c−k)
c=(k+a^2/k)/2
2つの条件が出てきます。
・a^2/kは整数である
・kとa^2/kは互いに素である

2つの条件を満たすkを求めます。
奇数aを互いに素な2つの奇数の積に分解します。
a=p・q  (p>q≧1)
この分割に対してk=p^2であるかq^2であることが決まります。どちらでも対称ですからk=q^2だとします。
c=(p^2+q^2)/2
b=c−k=(p^2−q^2)/2
a=pqへの1つの分割に対して1つのkが決まります。
得られた式は>>4の(式Da)です。
奇数aで考えたのは約数の数が少なくて簡単になるからです。

私ははじめにこの式を求めました。後からディオファントスの式と照らし合わせをやっったのです。「ピタゴラスの式も、ディオファントスの式も恒等式を少し変化させているだけではないか」というのに気が付きました。
(x+y)^2=(x−y)^2+4xy
この恒等式は高校でふつうにでてくる式です。

(参考)ここで使った方法は
・a^2+b^2−ab=c^2
・a^2+b^2+ab=c^2
という2つの整数方程式の解を求めるのにも使うことができます。
これで直角三角形の辺の比、60°、120°の三角形の辺の比と3つの基本的な場面がそろいました。120°の三角形の辺の比の整数解が分かると60°の三角形の辺の比は分かります。

恒等式をいじくるだけで式を出した場合、1つの恒等式だけで十分なのだろうかという疑問が出てきます。整数方程式を解くという手順を踏めばこの恒等式1つで十分だという保証が得られるように思います。

3次のディオファントスの式
a^3+b^3+c^3=d^3
についてのサイトを見ると恒等式が4つ出てきています。それで全部かどうかはまだよくわからないようです。負の整数も候補に上がってきますので複雑です。一般的にはまだ解けていないようです。ラマヌジャンという名前が出てきて驚きました。3,4,5,6は一番小さい数字の組です。次に小さい数字の組は1,6,8,9です。

16 htms42 2015/05/19 (火) 17:43:27 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
>>14
>代数的に解きました。

難しくなければ知りたいと思いますが、
多分私のレベルを超えているでしょうね。
17 takoyaki 2015/05/19 (火) 20:41:37 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
こんにちは。
あまり参考にはならないかもしれませんが、科学史スレッドでご質問があったので、ちょこっと調べてきました。今日読んだのは『図説 科学・技術の歴史』平田寛 著 です。
ヘレニズム時代のギリシア系科学者として、ディオファントス以前に二人の数学者の名前が出てきました。

・新ピタゴラス学派のゲラサのニコマコス(後100年頃)
 『数論入門 2巻』を記す。
  T:数論、幾何学、天文学、音楽
  U:平面多角形数、グノモン、立体数とその数系列の和
 平田先生のコメント「証明が正確でなく、科学的価値乏しい」

・アレクサンドリアのパッポス(後200〜300頃)
 『数学集成 8巻』を記す。
  T:現存せず
  U:現存せず
  V:正立方体の倍加問題、平均の理論、三角形に関する研究、球に内接する5個の正多面体
  W:ピタゴラスの定理の一般化、アルキメデスの「靴のナイフ」という図形の拡張化、
    螺旋とコンコイドと円積線、球状の螺旋、角の三等分
  X:等周問題、円と円柱、5つの正多面体の比較
  Y:プトレマイオス天文学
  Z:『分析論宝典』なる著作(?)についての説明
  [:理論的機械学、重心、円錐曲線の作図
 平田先生のコメント「数学上の新機軸もなければ、評価に値する特色もないに等しい」

以上です。
平田先生はけっこう辛口のコメントでしたね。パッポスが「ピタゴラスの定理の一般化」を取り上げているようなので、もしかしたらhtms42さんの知りたいことに関わっているかもしれないと私は思いました。ただ、この本には主題が書かれているだけで、詳しい内容まではわかりません。残念ながら・・・。

個人的に感じたことは、ヘレニズム文化の中でも、ギリシアの伝統を守り、数学の研究を続ける人々はいたが、中でもディオファントスが突然歴史に登場してきた傑出した天才だったのではないかということです。
18 TMO 2015/05/19 (火) 23:58:29 ID:s8BM.pqBMU [修正] [削除]
>> htms42 さん
(式Da)によってある奇数を含むピタゴラス数の解の組を求められること
が分かりました。また、
(式Db)によってある奇数の4倍の整数を含むピタゴラス数の解の組を求められること
も分かりました。
では、この両式からは求められないピタゴラス数の解の組は存在するのでしょうか?

もし存在しないことが証明できるのであれば、この問題はそれで解決でしょう。
逆に反例があるのであれば(;プログラムを組む気力と時間があれば
すぐに確かめられる)、それらを包含する更なる一般化が必要になりそうです。
19 htms42 2015/05/20 (水) 07:58:14 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
>>18
TMOさん
(式Da)(式Db)と2つ書きましたが得られるピタゴラス数は同じです。ただ、出て来方が異なるのです。この点は出てくる数字の組の異なる(式Pa)、(式Pb)と異なります。
a^2+b^2=c^2
で奇数aについて求める式が(式Da)です。これで全部出てきます。偶数b(4の倍数)について求める式(式Db)で求めても全部出てきます。
ただ(式Da)を使って求めた表からある特定の偶数bを含む組を拾い出すのは大変です。式を変換しておいてから求めるとわかりやすいだろうということです。どちらか片方を使うというのであれば(式Da)の方がいいだろうということも言えます。偶数と奇数であれば奇数の方が約数が少ないからです。奇数aが素数、または素数の塁乗であれば解は一組しかありません。(式Db)を使う時はbが2の塁乗の形のものだけが一組です。2つの式の表現は2倍の違いだけです。a,bへの対応は逆になります。
(式Db)のa=(p^2−q^2)をa=(p+q)(p−q)とすればaの素因数分解と対応させることができるので1つの式でいいと言う人もいると思いますが連立方程式を解かなくてはいけなくなります。それならはじめからa=pqとしてやればいいのです。
ただどちらを使うにしても、まずa,またはbを与えるというところからスタートしなければ見えてこないのです。
高校生がディオファントスの式を何かの本で見つけたとしても、多分p、qをいくつか変えて、いくつかの数字を求めて終わりになるでしょう。コンピュータを使ってもっと大きな範囲でp、qを変えてみるということをやったとしてもそこからa、またはbを変えた時の系統的な結果を導くことは難しいでしょう。中学校や高校の先生らしき人の書いたサイトでも系統的な結果を導くことの出来ていないものが多いです。公式が使いきれていないのです。一般式が得られたということとそれが使えるということの間には少し距離があります。使う立場でいえば少しでもわかりやすい表現の方がいいです。ピタゴラス数のような中学生、高校生の興味の対象になり得るような公式はわかりやすい方がいいです。公式の表現は1つではありません。どういう人を対象にしているかで使い分けてもいいと考えています。

>では、この両式からは求められないピタゴラス数の解の組は存在するのでしょうか?

恒等式を出発点にするとどうしても「それだけでいいのか」という疑問が出てきます。

>>15で整数方程式として解を求めたのはその疑問を解消するためです。(式Da)を導きました。この導き方は高校生レベルです。式を示せば理解できます。天下りの一般式に数値を入れるのをコンピュータでやって、ずらずらと数字の組を出したとしても得るところは少ないのではないでしょうか。残念ながらそういう結果を示しているだけのサイトも結構あるようです。



20 TMO 2015/05/20 (水) 23:15:38 ID:s8BM.pqBMU [修正] [削除]
>>15 がピタゴラス数の解の表現の唯一性証明の鍵になっているということですね。
a^2 + b^2 = c^2 (ただしa, b, cは自然数)
 ⇔ a^2 = c^2 - b^2 = (c + b)(c - b)
ここまではトートロジー、すなわち単なる式変形です。
これが何らの条件を加えることなく(式Da)の表現に変形できれば
(式Da)がピタゴラス数の解の唯一の表現だと言えることになります。

一方、※15では式変形を進める上でいくつか条件を課しています。
@a, b, cは互いに素な整数
Aa:奇数
Bb:偶数
Ca^2/kは整数である (ただしk=c-b>0)
Dkとa^2/kは互いに素である

@は前提としても問題ないでしょう。Cもトートロジーとして出てきます。
しかし、A、B、Dの妥当性が分かりません。
A、Bについては、そうでないと「a^2 + b^2 = c^2」を満たせない
ということがあるのでしょうか?
Dは、つまり「cは素数でなければならない」ということ?
 ;ちょっと見直したところ※1に(7, 24, 25)という組み合わせが挙げてあったので、
  cは素数でなければならないわけではなさそうです。
21 htms42 2015/05/22 (金) 20:43:19 ID:i/jtzg3bTU 修正アリ: 05/24 (日) 20:58 [修正] [削除]
>>20 TMO様

a,b,cは
a^2+b^2=c^2
を満たす互いに素な整数の組です。
これだけで「a,bは奇数と偶数の組である」ということが出てきます。a,bについては対称ですからaを奇数、bを偶数としました。
(a,bは両方とも奇数、両方とも偶数、片方が奇数で他方が偶数のどれかです。
・両方とも偶数はcも偶数になりますから駄目です。
・両方とも奇数の場合、cは偶数になるはずです。であればc^2は4の倍数のはずです。
a=2m+1,b=2n+1とします。
c^2=a^2+b^2=4[m(m+1)+n(n+1)]+2=2{2[m(m+1)+n(n+1)]+1} 
これは奇数の2倍ということです。4の倍数ではありません。)

a=2m+1,b=2nとします。
c^2=a^2+b^2=4[m(m+1)+n^2)]+1
c=2t+1とするとc^2=4t(t+1)+1
t(t+1)=m(m+1)+n^2
になります。t(t+1)、m(m+1)は偶数ですからn^2は偶数です。nは偶数になりますからb=2nは4の倍数です。
「aは奇数であるとしてよい。その時bは4の倍数になる」というのはピタゴラス数の組を求めるという問題以前の問題としてわかります。
cは奇数です。素数であるということはでてきません。4n+1という形の奇数です。(abが12の倍数である、abcが60の倍数である、cが4n+1の形の奇数であるという性質はピタゴラス数の表現が分かってから導く方がわかりやすいです。)

>Ca^2/kは整数である (ただしk=c-b>0)
>Dkとa^2/kは互いに素である
C、Dはkを決めるための条件です。
「kとa^2/kは互いに素である」
・・・「kとa^2/kが約数xを持つ」とします。「a^2はx^2を約数として持っている」はずです。「aはxを約数に持っています」。「cはxを約数に持っています」からa、b、cはxを約数に持ちます。これは「a,b,cがが互いに素である」という条件に反します。

22 TMO 2015/05/22 (金) 23:09:33 ID:s8BM.pqBMU [修正] [削除]
>> htms42 さん
なるほど、分かりました。これで
「(式Db)から求められないピタゴラス数の解の組は存在しない」
 ⇔ (式Db)がピタゴラス数の解の組を与える一般方程式である
と証明できたことになるでしょう。

しかし、※21の説明がないと※15だけ読んでも理解できないですね。
本スレの主題という観点からも、※15と※21がその核心部分ということになりそうです。
23 htms42 2015/05/26 (火) 11:03:46 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
>>17
takoyakiさん
ありがとうございます。
いろんな本を読んでおられるのですね。

「ピタゴラスの定理の一般化」というのがどういうことを言っているのかがよくわかりません。「ピタゴラス数を表す式の一般化」という意味であれば、ディオファントスの式で終わっていると思います。ピタゴラスの時代の式からディオファントスの式への流れを改めて追いかけたということなのでしょうか。「直角三角形で成り立つピタゴラスの定理が直角以外ではどうなるのか」ということであれば>>15に書いた60°や120°の三角形での式のことを言っているのかも知れません。これにも整数の組が無限に存在しますから問題にしている可能性があります。

ユークリドの「幾何原本」に一般式が出てくると書いてあるのを見ましたが「原本」のどこに書いてあるのかがわかりません(・・・パラパラと見ただけですが、わかりません)。代数的な表現ではなくて、図形的な表現になっていると思います。等差数列の表現になっている可能性もあります。

カジョリの「初等数学史」は共立全書から出ていました。これは多分、絶版でしょう。筑摩学芸文庫から新しく出ているようです(先週、書店に行った時に気が付きました)。

辺の比が3:4:5の三角形は直角三角形である・・・(イ)
直角三角形の3つの辺の長さの間にa^2+b^2=c^2の関係がある・・・(ロ)
(イ)(ロ)は別の内容だと思います。

(イ)は直角を出す方法として使うことができますからピタゴラスの定理など知らなくても経験的に見つけ出されていた可能性があります。水平の取り方、鉛直の取り方と並んで設計や建築の関係者には知られていたのではないでしょうか。エジプトでもインドでもメソポタミヤでもです。中国でも、日本でもでしょう。「3:4:5以外の数字の組では?」というのは数字の体系を理解しようという問題意識がなければ出てこないものなのではないでしょうか。ピタゴラス数の問題はやはり、ピタゴラスの時代に確立したものだと言えるのかもしれません。

以前、2週間ほど入院していたことがあります。同室に建築関係の人がいました。ピタゴラス数の計算をしていると言ったのですが「3,4,5は直角を出すのに使うので知っている。それ以外は知らない。必要ない。」いう反応でした。
私のいた高校では生徒会が球技大会を運営していました。12mのロープを輪にして3m、4m、5mのところに印を付けたものを常備していました。グランドにコートを引くために使っていました。
24 聖白馬ホーリーウマゴン 2015/05/26 (火) 11:48:54 ID:WTcxHMNgQk [修正] [削除]
>>23
>「ピタゴラスの定理の一般化」というのがどういうことを言っているのかがよくわかりません。
中線定理のことではないでしょうか?
25 htms42 2015/05/28 (木) 19:39:56 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
やっともやもやが晴れたと思えるようになりました。
ディオファントスの式が「原始ピタゴラス数を求めるための式」だというのが思い込みでしかなかったというのがわかりました。ディオファントスの式というのは「原始ピタゴラス数を求めるのにも使うことができる式」なのです。式自体としては原始ピタゴラス数を求めることを目的とはしていません。

私の感じていたもやもやを改めてまとめてみます。
wikipedia、その他で「ピタゴラス数」を調べると「ディオファントスの式」が出てきます。

a^2+b^2=c^2   (a,b,cは互いに素な整数、a:奇数、b:4の倍数)
このa,b,cに対して
a=p^2-q^2、b=2pq、c=p^2+q^2 ・・・(式D) 
(p,qは互いに素な偶数と奇数の組)・・・(*)

これだけです。ついている条件(*)は原始ピタゴラス数を求めるために必要です。使い方の説明はありません。この式を見た人はp,qをパラメータ的に変えていってa,b,cを求めるでしょう。そのa,b,cが確かにピタゴラスの式を満たすことを確かめるでしょう。でも脈絡なしにa,b,cの組が出てくるだけですからいくつかの数字を求めたら終わりにするでしょう。コンピュータを使ってもっとたくさんの数字を求めても同じことです。やはり、何かの基準をもとにして系統的に整理するということが必要なはずです。そういうことでいえば、ピタゴラスの時代に正方数(奇数の数列を図式化したもの)を使って求められた(と思われる)式
a、b=(a^2-1)/、c=(a^2+1)/2・・・(式P)
の方がよほどましです。奇数aを与えた時のピタゴラス数が系統的にわかるようになっています。でも(式P)を載せているサイトはほとんどありません。2つの式を見比べてもらうとわかりますが表現形式が異なります。(式D)が(式P)の拡張になっているというものではありません。

(式P)を拡張したのであれば
a=pq、b=(p^2-q^2)/2、c=(p^2+q^2)/c
(p、qは互いに素な奇数、p>q)
になるのです。奇数aを柱にして系統的にピタゴラス数を求めて行く式です。
なぜ、使いにくい、間接的な表現が原始ピタゴラス数を求める式として出回っているのでしょうか。歴史的な裏付けがあるという装いのもとにです。

足立恒雄著「フェルマーを読む」(日本評論社)という本があります。ディオファントスの『算術』とそれに対するフェルマーの書き込みを解説付きで読むことができます。

その本のp6から引用します。
・・・・・・
ディオファントスには『算術』のほかに、その予備定理集とでも呼ぶべき『系論』という書物があったらしい。現在この書物は失われているが、『算術』の中で何度か引用されているのでその内容をだいたいは推測できる。パシェ版『算術』には付録としてパシェの考案した『系論』が載せてある。その中に
x=p^2−q^2、y=2pq、z=p^2+q^2  (p,qは整数)
がピタゴラス方程式
x^2+y^2=z^2
の解を与えることが記されていて、フェルマーの書き込みの第一番はこれに関するものである。
・・・・・・・・
条件(*)はついていません。整数と言う条件だけです。偶数、奇数も、互いに素も関係ありません。その後の問題では整数も問題にしていません。有理数になっています。

フェルマーの書き込みも原始ピタゴラス数ということは意識していないものです。「等差数列の連続する3つの項が与えられていれば その数字を使って直角三角形を作ることができる。その三角形の面積は3つの数字の積に公差をかけたものに等しい」というものです。これは整数であることも必要とはしていないものです。

いつ頃のことかは分かりませんが、ピタゴラス方程式を満たす数字の一般式を原始ピタゴラス数を求める一般式だと読み変えてしまったのでしょう。「ディオファントスの式」という歴史的な裏付けがあるという装いのもとにです。その後の人は「ディオファントスの式」という権威に従って、そのまま、何とか利用しようとしてきたのだということのようです。



26 htms42 2015/05/28 (木) 20:53:58 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
>>25
であげた本からの引用です。
p13
・・・ユークリッドの『原論』のなかの数論として扱われる題材とディオファントスの扱う題材とでは歴然とした違いがある。前者は、互いに素、偶数、奇数、素数、完全などの用語に満ちている。後者は不定方程式の有理数解を問題とする。・・・

この説明に従えば原始ピタゴラス数の表現の問題はユークリッドが問題にしているものであってもディオファントスの問題にしているものではないということになります。

ユークリッドの『原論』に載っているというピタゴラス数の表現がどういうものであるか調べてみる必要がありそうです。でもそれがなぜ、ディオファントスの名前で伝わっているのかは疑問です。
27 takoyaki 2015/05/28 (木) 22:12:07 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
htms42さん、こんにちは。

私は大したお力にはなれませんでしたが、htms42さんのように精力的に数論の研究をされている姿を見て、私も興味が湧いてきました。
今は他の事で忙しくて手を出せませんが、いずれ私も数論の勉強をしてみたいです。
『原論』の内容について、私も図書館で資料を見つけたらメモを取るように覚えておきます。(今のところ、すでに書いた以上の事はわかりません。)
28 JK 2015/05/29 (金) 16:53:45 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
大矢真一「ピタゴラスの定理」には、

>Euclidは解答の組
>αβγ,α(β^2−γ^2)/2,α(β^2+γ^2)/2
>を与える

とあります。
これは、L.E.ディクスン「数論の歴史」からの孫引きとのこと。
ご参考まで。
29 JK 2015/05/29 (金) 17:11:15 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
因みに、ある整数cを斜辺に含むピタゴラス数を求めるには、

c=(p^2+q^2)/2

よりも、

c=m^2+n^2

のほうが便利です。
30 htms42 2015/05/30 (土) 21:46:08 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
まとめ直します。
ピタゴラス方程式を満たす数字の組を求めるというだけであればなにもディオファントスとかユークリッドとかを出してくる必要はありません。
(x+y)^2=(x−y)^2+4xy
という高校1年生で出てくる恒等式を使えばいいという記事を書けば終わりです。3つの項のうち2つがすでに2乗になっていますから残りの1つである4xyが2乗になるように修正すれば解になります。
x=p^2、y=q^2と置けば
(p^2+q^2)^2=(p^2-q^2)^2+(2pq)^2
a=p^2-q^2、b=2pq、c=p^2+q^2でピタゴラスの式「a^2+b^2=c^2」が成り立っています。p、qに好きな数字を入れればa,b,cが得られます。p,qが整数である必要はありません。偶数、奇数も関係ありません。
(a、b、c)に「既約な整数の組」という条件を付けると難しくなりますから式に補足を付ける必要が出てきます。わかりやすい表現、使いやすい表現を選ぶ必要も出てきます。過去に得られている式を参照する記事を書くというのはここにきてからです。でもディオファントスの名前を出す必要はありません。ディオファントスは「既約な整数の組」を問題にしていないからです。『算術』に出てくる式は有理数で考えています。
ディオファントスの式というのがどの本にも出てきているので、その式からスタートしなければいけないと思うかもしれませんが、その必要はありません。ディオファントスの『算術』がフェルマーの書き込みのあった本だという権威に寄り掛かって普及したものではないでしょうか。

フェルマーの書き込みの1番はピタゴラス方程式を満たす数字の表現についてのものです(>>25参照)。
フェルマーの2番目の書き込みは
X^2+Y^2=a^2
でaを与えた時の(X,Y)を求めるという問題に対してです。
ディオファントスはa=4に対してX=16/5,Y=12/5を求めています。
(有理数の範囲で求めています。解はここに出てきているもの以外にもあります。)

この問題に対しての書き込みが有名なのです。
「これに反し、立方を2つの立方に、二重平方を2つの二重平方に分かつこと、一般に、平方よりも大きい任意の冪を2つの同名のものに分かつことはできない。そのことの真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを記すには狭すぎる。」

JKさんが斜辺cを与えた時のピタゴラス数を求めることにこだわっているのもこの問題が有名だということにあるのではないでしょうか。

私は原始ピタゴラス数を与えるわかりやすい式を問題にしてきました。
まず示すとしたら、ピタゴラスの時代の式(式P)です。定理を表す式だけあって解が見つかっていないということはないはずですから、それが不十分な解であっても一緒に載せておくのが自然です。奇数aを与えるとそのすべてに対して原始ピタゴラス数が得られます。奇数の数列の図式化である正方数の性質を使っていますので式の得られる筋道も分かりやすいです。でも1つの奇数に対して存在するピタゴラス数が1組だけであるとは限らないのですから拡張が必要です。(式Da)はその拡張された表現です。どちらの式も奇数aを与えた時に得られるピタゴラス数の組を与えるものです。これですべての原始ピタゴラス数が得られます。(式Da)は整数方程式を解くことで得ることができますから恒等式からスタートするだけの時に感じる不安を取り除くことができます。4の倍数である全てのbに対しても解が存在します。それは(式Da)で得られた結果をまとめ直せばわかります。でもまとめ直すのはしんどいです。その場合は式をあらかじめ変形しておく方がいいでしょう。(式Da)を2倍してa,bとの対応を逆にした式(式Db)を使うとわかりやすいです。奇数aを与えた場合と、4の倍数bを与えた場合と、求めて行く手順は同じです。aまたはbを素因数分解して互いに素な2つの数字p、qの積に表します。aに含まれている素数は奇数だけですがbに含まれている素数には2が入っています。

斜辺cは4n+1の形の奇数ですがこの形の奇数すべてについて解が存在するわけではありません。2つの平方数の和で表すことができるものだけです(これは(式Db)の表現からわかることです)。c=5は解になりますがc=9は解になりません。c=21も解にはなりません。。(式Dc)は存在しないと思われます。
原始ピタゴラス数を与えるわかりやすい式を問題にしているのですから、同じcを含む解を求めるというのは別の問題であるように思います。

ユークリッドの名前も出す必要はないと思います。
今までなしでやってきたのです。名前を出してわかりやすくなるのであればいいですが、権威付けだけであれば必要ありません。もし名前を出すのであればきちんと吟味しておく必要があります。孫引きでしか内容を示すことができないようなものであれば必要はありません。

『原論』の翻訳(完訳)は共立出版から出ています。初版は1971年です。現在は追補版が出ています。訳者の代表は中村幸四郎です。







31 JK 2015/05/30 (土) 23:20:13 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>ピタゴラス方程式を満たす数字の組を求めるというだけであればなにもディオファントスとかユークリッドとかを出してくる必要はありません。

高校で教えるという趣旨ではありませんでしたか?
「名無しの公式」として紹介するよりも、数学史と関係付けたほうが良いと思いますが?

>JKさんが斜辺cを与えた時のピタゴラス数を求めることにこだわっているのもこの問題が有名だということにあるのではないでしょうか。

いいえ、違います。
有名だとか、権威付けだとかの理由ではありませんよ。
こういう発想は、どこから来るのでしょうか?
まあ、知りたくもありませんが。

>斜辺cは4n+1の形の奇数ですがこの形の奇数すべてについて解が存在するわけではありません。

4n+1型の素数を約数に持てばピタゴラス数の斜辺に、4n+1型の素数のみを約数に持てば原始ピタゴラス数の斜辺になります。
ある整数を素因数分解することで、もっと系統的に求めることも出来ます。
詳しくは、初等整数論の教科書などでお調べください。

>原始ピタゴラス数を与えるわかりやすい式を問題にしているのですから、同じcを含む解を求めるというのは別の問題であるように思います。

原始ピタゴラス数を求めるだけなら、m,nに適当な数字を代入すれば良いでしょう。
本来の目的は、「もれなく、重複なく」なのですから。
a,bだけに含む解を求めるというのは別の問題であるように思います。

>孫引きでしか内容を示すことができないようなものであれば必要はありません。

>>28には、「ご参考まで」と書きましたよね?
手元の資料に載っていたので、善意で紹介したのですが、大変失礼しました。
32 htms42 2015/06/01 (月) 00:38:32 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
>>35
>「名無しの公式」として紹介するよりも、数学史と関係付けたほうが良いと思いますが?
数学史に関係づけるとして、その数学史があやしければ、困りますよね。

>孫引きでしか内容を示すことができないようなものであれば必要はありません。
これはJKさんに対して言ったのではありません。紹介していただいたのは有難いと思っています。ただ「ディオファントスの名前を消してユークリッドの名前を入れるというわけにはいかないだろう」と言う意味でした。大矢真一が孫引きで手に入れた情報です。それをそのまま受け入れれば孫引きの孫引きになります。『原論』のどこに、どういう文章で載っているのかを教えていただいて自分で確認しないことには入れるのが適当かどうかは判断できないわけです。残念ながら自分では探し出せていません。ユークリッドの証明があると書いてあるサイトもいくつか見ましたが『原論』のどこに載っているのか、どういう表現なのかを書いてあるものには出会った事がありません。それで私も『原論』を買ったのです。でも探し出せていません。だからユークリッドの名前を出すかどうかの判断は保留することにしたのです。ただ、ディオファントスの名前は消した方がいいと思っています。ピタゴラスの時代の式は入れた方がいいと思っています。

>本来の目的は、「もれなく、重複なく」なのですから。
>a,bだけに含む解を求めるというのは別の問題であるように思います。

原始ピタゴラス数は全ての奇数aに対して存在します。そのピタゴラス数の全てを与える式が(式Da)です。これで終わりにしていいのではないでしょうか。「漏れなく、重複なく」になっています。cについて考えるというのが別の問題なのです。

>4n+1型の素数のみを約数に持てば原始ピタゴラス数の斜辺になります。

「そうですか、すごいですね!」としか言いようがありません。
これは別の問題です。ディオファントスの『算術』に4n+1型の素数は2つの平方の和に書くことができるというのが出てきています。これに関してフェルマーの長い書き込み(書き込みの7番)もあります。でもこれは発展問題です。証明も難しいです。「ピタゴラス数の表現は?」というのとは別の次元の問題です。フェルマーの書き込みの対象となった様な問題をあれこれ持ち込む必要はありません。

足立恒雄「フェルマーを読む」p24、25に証明が載っています。
「フェルマーは4n+1型の素数が2つの平方数の和で表されるという定理を『直角三角形の基本定理』と呼んでいる。・・・これらの定理が厳密に証明されていたとは信じがたいが、フェルマーはカルカヴィにあてた手紙の中で、無限降下法を用いて証明したのだと述べている」
「このことの証明は決して容易ではない。もしこれが容易なら「驚嘆すべき」とは言わないのである。整数論の命題は証明が難しい時に初めて「美しい」とか「驚嘆すべき」とか形容詞を付けて嘆賞されるのである。」
種々の証明が載っているから参照するといいとして紹介している本は
Hardy,Wright“Intoroduction to Number Theory”


>原始ピタゴラス数を求めるだけなら、m,nに適当な数字を代入すれば良いでしょう。

m、nに適当な数字を入れて求められるのは「ピタゴラス数」です。「原始ピタゴラス数」ではありません。
33 JK 2015/06/02 (火) 15:15:53 ID:3N70r2XIqo [修正] [削除]
>>32
「ユークリッド原論」第10巻命題28の直後にある補題1の内容が、htms42さんがお探しの記述のようです。
ただし、>>28で引用した、

>αβγ,α(β^2−γ^2)/2,α(β^2+γ^2)/2

のような直接的表現になってないかも知れませんし、α,β,γへの条件も完全でないかも知れません。
また、ギリシア数学の古式ゆかしく、幾何学的に証明されてるようです。

>m、nに適当な数字を入れて求められるのは「ピタゴラス数」です。「原始ピタゴラス数」ではありません。

これは、適当=適切という意味の文脈です。
m,nには、満たすべき条件があるわけですから。
34 htms42 2015/06/02 (火) 19:20:31 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
ユークリッドの『原論』で該当する個所だと思われるものがやっと見つかりました。今まで見つからなかったのは私の力不足だったようです。

該当箇所は10巻の命題28と29の間に置かれている補助定理です。この本には命題の一覧表が巻末に「内容集約」として載っています。補助定理はこの一覧表には含まれていません。

補助定理T「和も平方数である二つの平方数を見いだすこと」
補助定理U「和が平方数でない二つの平方数を見いだすこと」

補助定理Tを引用します。(Α、Β、Γ、Δ、・・・をA,B,C,Dに書き換えています。)
・・・・(引用)・・・・
2数AB,BCが定められ、ともに偶数であるかともに奇数であるとせよ。そうすれば偶数から偶数がひかれても、奇数から奇数が引かれても残りは偶数であるから残りのACは偶数である。ACがDにおい2等分されたとせよ。そしてAB,BCが相似な平面数か、または平方数であるとせよ。平方数はそれ自身相似な平面数である。したがってAB,BCの積とCDの平方数の和はBDの平方数に等しい。なぜならもし二つの相似な平面数を互いにかけあわせてある数をつくるならば、その積は正方数であることが先に証明されたから。したがって二つの平方数、すなわちAB,BCの積とCDの平方数が見いだされ、それらは加えられてBDの平方数をつくる。
・・・・・
線分図「A----D----C---B」が添えられています。

この文章はわかりやすくはありません。
>したがってAB,BCの積とCDの平方数の和はBDの平方数に等しい。
の「したがって」は意味不明です。そのすぐ前に書かれていることから出てくることではないからです。
この部分は>>30の初めの方に書いたことを言っているだけです。
>(x+y)^2=(x−y)^2+4xy
という高校1年生で出てくる恒等式を使えばいいという記事を書けば終わりです。3つの項のうち2つがすでに2乗になっていますから残りの1つである4xyが2乗になるように修正すれば解になります。
x=p^2、y=q^2と置けば
(p^2+q^2)^2=(p^2-q^2)^2+(2pq)^2
a=p^2-q^2、b=2pq、c=p^2+q^2でピタゴラスの式「a^2+b^2=c^2」が成り立っています。

恒等式を
(x+y)^2=(x−y)^2+4xy
ではなくて
[(x+y)/2]^2=[(x−y)/2}^2+xy
としています。
それはこの恒等式を図で導くためです。現在のような代数的な表現が普及していなかったのですから証明は図を使っています。中学校の数学の教科書に
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy
を正方形を田の字型に区切って証明する図が載っています。それと同じことを囲の字型に区切った正方形でやろうとしているのです。
DがACの二等分点であるということに数字を対応させるとACが偶数でなければいけないことになります。でもそれを最初に出しているのでわかりにくくなっています。
「AB,BCを相似な平面数か、平方数であるとせよ」と言うのはxyを平方数とするためです。

ユークリッドのこの補助定理で求めているのはピタゴラス数です。原始ピタゴラス数ではありません。

結局、ユークリッドもディオファントスも原始ピタゴラス数を求めてはいないのです。どちらの名前も出す必要はないということになります。

35 htms42 2015/06/02 (火) 21:38:03 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
>>33
JKさん、探していただいたのですね。ありがとうございます。
私は昨日、やっと見つけました。でも意味を理解するのに時間がかかりました。>>34の文章を書くのにも時間がかかりました。
36 htms42 2015/06/03 (水) 09:32:20 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
大矢真一(1907年 - 1991年)は、日本数学史学会会長を務めたこともある人です。ちょっと残念ですね。

「ピタゴラスの定理」は1952年に出版された本だそうですから45歳の時です。
まだ日本語版は手に入らない状態だったと思いますが、英語版は見ることができたと思います。

L.E.ディクスンのまとめた表現にも疑問を感じます。
>Euclidは解答の組
>αβγ,α(β^2−γ^2)/2,α(β^2+γ^2)/2
>を与える

α、β、γについての条件が書かれていません。
それでいて1/2が付いています。αが任意の整数という意味であればで1/2は必要ありません。
ユークリッドが1/2のついた表現を求めたからですが恒等式を図形的に求めるために設定したものだということが理解できていなかったのではないでしょうか。α、β、γに特別な条件を付けないのであればディオファントスの使った式と何ら変わるものではないのです。

まさかの話ですが、ディクスンがまた誰かの記述を孫引きしているということがあるかもしれませんね。
37 htms42 2015/06/03 (水) 13:04:24 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
>>34


>したがってAB,BCの積とCDの平方数の和はBDの平方数に等しい。
の「したがって」は意味不明です。そのすぐ前に書かれていることから出てくることではないからです。

の部分についてです。
この「AB,BCの積とCDの平方数の和はBDの平方数に等しい」はユークリッド以前に知られていたことで証明なしに使っていいことになっていたのではないでしょうか。正方形を区切って面積を調べるだけで出てくることだからです。補助定理のTではその関係が使えるように数字を設定したということだろうと思います。
(『原論』の前の方で出てきているのかもしれませんが、その場合は「前で示したことだ」という注が入ってくると思います。「二つの相似な平面数を互いにかけあわせてある数をつくるならば、その積は正方数である」という命題は「先に証明されたから」と注が付いています。)

代数的な記法が行きわたっていないのであれば図で導くしか仕方がありません。その場合、2つの恒等式
(x+y)^2=(x−y)^2+4xy・・・@
[(x+y)/2]^2=[(x−y)/2}^2+xy・・・A
は同等ではありません。
Aの方が図に対応させやすいのです。@がAと同等だと言うのは代数的には簡単なことですが図を使う場合には違いがあります。
ユークリッドが図に従ってAを使い、ディオファントスは図にとらわれない形で@を使ったということになるのではないでしょうか。500年ほど間が空いているのですから捉え方が変化していても不思議ではありません。

38 htms42 2015/06/03 (水) 21:09:42 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
>>37
>「AB,BCの積とCDの平方数の和はBDの平方数に等しい」
に該当する命題が載っていました。『原論』の第2巻、命題の6です。
解説に「第2巻の内容はバビロニア代数学のギリシャにおける理論化と考えられる」と書かれています。

39 htms42 2015/06/05 (金) 18:13:51 ID:i/jtzg3bTU [修正] [削除]
>>38に『原論』の第2巻、命題の6
と書きましたが命題の5も同じです。命題5の方が補助定理Tで使う関係に表現が近いようです。

この本は命題内容を現代風に書きなおしたものを「内容集約」として巻末に載せています。
命題5・・・ab+[(a+b)/2−b]^2=[(a+b)/2]^2
命題6・・・(2a+b)b+a^2=(a+b)^2

a,bを図の中のどの線分に対応させるかの基準が命題の5と6で変わっているようです。命題の5で使った対応付けと同じ基準を当てはめれば
命題6・・・ab+[(a−b)/2]^2=[(a−b)/2+b]^2
になると思います。

命題8も基準が変わっています。
「内容集約」・・・4(a+b)a+b^2=[(a+b)+a]^2
→ 命題5の基準で書くと 4ab+(a−b)^2=(a+b)^2

結局、>>37で書いた2つの恒等式、@,Aは2巻の命題5、命題8で示されていたことがわかりました。
この恒等式は古くから知られていたことのようですからユークリッドの見つけたこととする必要はありません。補助定理Tはこの式にあてはめるとピタゴラス数の一般式が得られるということを主張しているものですからその点についての評価であれば補足として書き加えることは意味があると思います。いずれにしてもディオファントスの名前を持ち出す必要はありません。

現在、(a+b)^2=a^2+b^2+2ab という関係はどこで証明されているとか、だれが見付けたものかとかを気にしないで使っています。そうであれば、(a+b)^2=(a−b)^2+4ab、、[(a+b)/2]^2=「(a−b)/2]^2+ab もことわりなしに使ってもいいでしょう。・・・、(a+b)^2=a^2+b^2+2ab は2巻の命題4に出ています。

ユークリッドもディオファントスもピタゴラス数の表現は問題にしていますが原始ピタゴラス数は問題にしていません。ユークリッドの補助定理Tのある10巻は無理量論を扱っています。ディオファントスは不定方程式の有理数解を扱っています。 原始ピタゴラスの表現は関心を示す対象ではなくなっている
のです。
40 JK 2015/06/05 (金) 21:52:58 ID:3N70r2XIqo [修正] [削除]
>>33>>35
今更ですが、見事なシンクロニシティですね。

>>39
>いずれにしてもディオファントスの名前を持ち出す必要はありません。

それで良いと思います。
むしろ、htms42さんが何故「ディオファントスの式」と呼んでいるのか、そちらのほうが気になります。
もともと、htms42さんが「ディオファントスの式」と呼んでいる式は、ブラーマグプタ「ブラーマ・スプタ・シッダーンタ(西暦628年)」以前には見られず、この式と原始ピタゴラス数との関係についての記述も、「作者不明のアラビアの写本(西暦927年)」以前には見られないそうですから。
実は、手元にある初等整数論の教科書でも、

・pq,(p^2−q^2)/2,(p^2+q^2)/2型の表現…既約ピタゴラス数の定理
・m^2−n^2,2mn,m^2+n^2型の表現…もう1つの方法

と呼んでいます。
ですので、htms42さんが前者の優位性ばかりを主張しなければ、JKも議論には参加しなかったことでしょう。





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