1 ラムザ 2015/03/01 (日) 17:59:15 ID:.OlsHW.6N6 修正アリ: 2017/06/06 (火) 12:50 [修正] [削除]
<tex> \Lambda = \frac{2}{L _H ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \rho_{ \lambda } = \frac{2}{3}  \rho_{c} </tex>

 $ \Lambda :$ 宇宙定数  $ L _{H} :$ ハッブル半径  $\rho _{ \lambda } :$ ダークエネルギー密度  $\rho _{ c } :$ 臨界密度
計算)
<tex> \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)  ^{2} = \frac{8 \pi G}{3}  \rho  _{m} - \frac{Kc ^{2} }{a ^{2} } + \frac{ \Lambda c ^{2} }{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)  ^{2} = \frac{8 \pi G}{3} \left( \rho  _{m} + \rho  _{ \lambda } \right) - \frac{Kc ^{2} }{a ^{2} } = \frac{8 \pi G}{3} \rho  _{ m }- \frac{Kc ^{2} }{a ^{2} } + \frac{8 \pi G}{3}  \rho  _{ \lambda } </tex>
<tex> \therefore  \frac{ \Lambda c ^{2} }{3} = \frac{8 \pi G}{3}  \rho  _{ \lambda } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore  \Lambda = \frac{8 \pi G}{c ^{2} }  \rho  _{ \lambda } </tex>
<tex> \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)  ^{2} = \frac{8 \pi G}{3}  \rho - \frac{Kc ^{2} }{a ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ H= \frac{\dot{a}}{a} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ K=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore  \rho = \frac{3H ^{2} }{8 \pi G}  \equiv  \rho  _{c} </tex>
<tex> \Lambda = \frac{8 \pi G}{c ^{2} } \rho_{ \lambda } = \frac{8 \pi G}{c ^{2} }  \cdot  \frac{2}{3}  \rho  _{c} = \frac{8 \pi G}{c ^{2} }  \cdot  \frac{2}{3}  \cdot  \frac{3H ^{ ^{2} } }{8 \pi G} = \frac{2H ^{2} }{c ^{2} } = \frac{2}{c ^{2} (H ^{-1} ) ^2 } = \frac{2}{L _H ^{2} }</tex>

 $\rho _{ m } :$ 物質密度  $K :$ 曲率  $H :$ ハッブル定数 


計算) プランク時間付近では、宇宙項優勢と考えられる。
<tex> \rho  _{ \lambda } =D \rho  _{c} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ D \approx 0.68\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ H ^{-1} =t</tex>

<tex> \Lambda = \frac{8 \pi G}{c ^{2} }  \rho  _{ \lambda } = \frac{8 \pi G}{c ^{2} } D \rho  _{c} = \frac{8 \pi G}{c ^{2} } D \frac{3H ^{2} }{8 \pi G} = \frac{3D}{c ^{2}  \left(H ^{-1} \right)  ^{2} } = \frac{3D}{c ^{2} t ^{2} } </tex>

フリードマン方程式から宇宙項だけをとりだして解くと、佐藤・グースの解になる。
<tex> \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)  ^{2} = \frac{ \Lambda c ^{2} }{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a=a _{0} exp \left( \sqrt{ \frac{ \Lambda }{3} } c \left(t-t _{0} \right) \right) </tex>

これに $\Lambda$ の平均 $\bar{\Lambda}$ を代入して $a_0=l_p$ 、 $t_0=t_p$ とおく。 $l _{ p } :$ プランク長  $t _{ p } :$ プランク時間
<tex> \overline{ \Lambda } = \frac{3D}{c ^{2} t _{0} t} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a=l _{p} exp \left( \sqrt{D} t _{p}  ^{- \frac{1}{2} } t ^{- \frac{1}{2} }  \left(t-t _{p} \right) \right)  \approx l _{p} exp \left( \sqrt{D} t _{p}  ^{- \frac{1}{2} } t ^{ \frac{1}{2} } \right) </tex>

これから $H= \dot{a}/{a} $ を計算すると
<tex>H= \frac{\dot{a}}{a} = \frac{ \sqrt{D} }{2 \sqrt{t _{p} }  \sqrt{t} } = \frac{1}{t} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore t= \frac{4t _{p} }{D} = \frac{4t _{p} }{0.68} =5.9t _{p} </tex>

プランク時間付近では、 $t$ は $t_p$ の整数倍と考えられるので $t=6t_p$ が正しい。これを代入すると
<tex>D= \frac{4t _{ _{p} } }{6t _{p} } = \frac{2}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore  \rho  _{ \lambda } =D \rho  _{c} = \frac{2}{3}  \rho  _{c} </tex>

宇宙定数の現在の値は、 $\Lambda=1.05\times10^{-52} \ \ \ \ \ 1/m^2$ 
無次元化すると
<tex> \Omega  _{ \lambda } = \frac{ \Lambda c ^{2} }{3H ^{2} }= \frac{ \Lambda c ^{2} }{8 \pi G} / \frac{3H ^{2} }{8 \pi G}  = \frac{ \rho  _{ \lambda } }{ \rho  _{c} } = \frac{2}{3} =0.667</tex>

プランク時間のとき
<tex>\rho _{c} = \frac{3}{8 \pi } \rho _{p} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho _{ \lambda } = \frac{2}{3} \rho _{c} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho _{ \lambda } = \frac{1}{4 \pi} \rho _{p} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \Lambda = \frac{2}{l _{p}  ^{2} } </tex>
 $\rho  _{p} :$ プランク密度  $ \l  _{p} :$ プランク長 
計算)
<tex>H= \frac{\dot{a}}{a} = \frac{c}{l _{p} } = \frac{1}{t _{p} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \rho  _{p} t _{p}  ^{2} = \frac{c ^{5} }{ \hbar G ^{2} }  \cdot  \frac{ \hbar G}{c ^{5} } = \frac{1}{G} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \rho  _{c} = \frac{3H ^{2} }{8 \pi G} = \frac{3}{8 \pi }  \cdot  \frac{1}{G}  \cdot H ^{2} = \frac{3}{8 \pi }  \cdot  \frac{ \rho  _{p} t _{p}  ^{2} }{t _{p}  ^{2} } = \frac{3}{8 \pi }  \rho  _{p} </tex>
<tex> \rho  _{ \lambda } = \frac{2}{3}  \rho  _{c} = \frac{2}{3}  \cdot  \frac{3}{8 \pi }  \rho  _{p} = \frac{1}{4 \pi }  \rho  _{p} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \Lambda = \frac{2}{L _{H}  ^{2} } = \frac{2}{ \left(cH ^{-1} \right)  ^{2} } = \frac{2}{ \left(ct _{ _{p} } \right)  ^{2} } = \frac{2}{l _{p}  ^{2} } </tex>

プランク時間の曲率を計算する。フリードマン方程式は

<tex> \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)  ^{2} = \frac{8 \pi G}{3}  \rho - \frac{Kc ^{2} }{a ^{2} } + \frac{ \Lambda c ^{2} }{3} </tex>

プランク時間のとき
<tex>H= \frac{\dot{a}}{a} = \frac{1}{t _{p} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \rho = \rho  _{m}  = \frac{1}{3}  \rho  _{c} = \frac{ \rho  _{p} }{8 \pi } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ G= \frac{1}{ \rho  _{p} t _{p}  ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a=l _{p} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \Lambda = \frac{2}{l _{p}  ^{2} } </tex>

これらをフリードマン方程式に代入すると

<tex> \therefore\frac{1}{t _{p}  ^{2} } = \frac{8 \pi }{3} \cdot \frac{1}{ \rho  _{p} t _{p}  ^{2} }\cdot  \frac{\rho  _{p}}{8 \pi }   - \frac{Kc ^{2} }{l _{p}  ^{2} } + \frac{2}{l _{p}  ^{2} }\cdot  \frac{c ^{2} }{3} </tex>

<tex> \therefore  \frac{1}{t _{p}  ^{2} } = \frac{1}{3t _{p}  ^{2} } - \frac{K}{t _{p ^{2} } } + \frac{2}{3t _{p}  ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore 1= \frac{1}{3} -K+ \frac{2}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore K=0</tex>

プランク時間の曲率は、ゼロになる。 $\Lambda$ の代わりに $ \rho  _{ \lambda } $ を使っても同じ値になる。
<tex> \rho = \rho  _{m} + \rho  _{ \lambda } = \rho  _{c} = \frac{3}{8 \pi }  \rho  _{p} </tex>

<tex> \therefore  \frac{1}{t _{p}  ^{2} } = \frac{8 \pi }{3}  \cdot  \frac{1}{ \rho  _{p} t _{p}  ^{2} }  \cdot  \frac{3}{8 \pi }  \rho  _{p} - \frac{Kc ^{2} }{l _{p}  ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore  \frac{1}{t _{p}  ^{2} } = \frac{1}{t _{p}  ^{2} } - \frac{K}{t _{p}  ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore K=0</tex>

現在の宇宙のエネルギー密度の測定結果から考えると、宇宙が生まれた直後には、エネルギー
密度が高い精度で臨界密度に等しくなっていた必要がある。これは、平坦性問題として知られて
いる。

現在の曲率も計算する。
<tex>H= \frac{\dot{a}}{a} =H _{0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \rho = \frac{1}{3}  \rho  _{c} = \frac{1}{3}  \cdot  \frac{3H _{0}  ^{2} }{8 \pi G} = \frac{H _{0}  ^{2} }{8 \pi G} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \Lambda = \frac{2}{L _{H}  ^{2} } = \frac{2}{c ^{2}  \left(H _{0}  ^{-1} \right)  ^{2} } = \frac{2H _{0}  ^{2} }{c ^{2} } </tex>
これらをフリードマン方程式に代入すると

<tex> \therefore H _{0}  ^{2} = \frac{8 \pi G}{3}  \cdot  \frac{H _{0}  ^{2} }{8 \pi G} - \frac{Kc ^{2} }{a ^{2} } + \frac{2H _{0}  ^{2} }{c ^{2} }  \cdot  \frac{c ^{2} }{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore  \frac{Kc ^{2} }{a ^{2} } = \frac{1}{3} H _{0}  ^{2} + \frac{2}{3} H _{0}  ^{2} -H _{0}  ^{2} =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore K=0</tex>

宇宙マイクロ波背景放射の温度ゆらぎの解析から、宇宙の曲率はゼロに近いことがわかってい
る。
曲率がゼロで平坦な宇宙は、銀河の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和がゼロに
なっていることに対応している。

フリードマン方程式を変形して、エネルギー保存の式にすると
<tex>- \frac{1}{2} Kc ^{2} = \frac{1}{2} \dot{a} ^{2} - \frac{GM}{a} - \frac{ \Lambda c ^{2} }{6} a ^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M= \frac{4 \pi }{3} a ^{3}  \rho  _{m} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \rho  _{m} = \frac{1}{3}  \rho  _{c} </tex>

この式にプランク時間のときの値を代入すると
<tex>- \frac{1}{2} Kc ^{2} = \frac{1}{2} c ^{2} - \frac{1}{ \rho  _{p} t _{p}  ^{2} }  \cdot  \frac{l _{p}  ^{3}  \rho  _{p} }{6}  \cdot  \frac{1}{l _{p} } - \frac{2}{l _{p}  ^{2} }  \cdot  \frac{c ^{2} }{6}  \cdot l _{p}  ^{2} = \frac{1}{2} c ^{2} - \frac{1}{6} c ^{2} - \frac{1}{3} c ^{2} =0</tex>

曲率がゼロのとき、単位質量について運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和がゼロに
なっている。

宇宙定数は、時間を代入して近似的に計算することができる。

放射優勢のとき
<tex>H ^{-1} = \frac{a}{\dot{a}} = \frac{At ^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} At ^{- \frac{1}{2} } } = 2t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore \Lambda= \frac{2}{c ^{2}  \left(2t\right)  ^{2} }  = \frac{1}{2c ^{2} t ^{2} } </tex>

物質優勢のとき
<tex>H ^{-1} = \frac{a}{\dot{a}} = \frac{Bt ^{ \frac{2}{3} } }{ \frac{2}{3} Bt ^{- \frac{1}{3} } } = \frac{3}{2} t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore \Lambda= \frac{2}{c ^{2}  \left( \frac{3}{2} t\right)  ^{2} }  = \frac{8}{9c ^{2} t ^{2} } </tex>

宇宙項優勢のとき
<tex>H ^{-1} =t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   \therefore  \Lambda = \frac{2}{c ^{2} t ^{2} } </tex>

プランク時間のとき、不確定性原理より(ブラックホールになる解を除くので、不等号がない。)
<tex> \bigtriangleup Et _{p} = \frac{1}{2}  \hbar \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore   \frac{4 \pi }{3} l _{p}  ^{3}  \rho c ^{2} t _{p} = \frac{1}{2}  \hbar \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore   \frac{8 \pi }{3}  \rho = \frac{ \hbar }{l _{p}  ^{3} c ^{2} t _{p} } = \frac{ \hbar }{l _{p}  ^{2} c ^{3} t _{p}  ^{2} } = \frac{c ^{3} }{ \hbar G}  \cdot  \frac{ \hbar }{c ^{3} t _{p}  ^{2} } = \frac{1}{Gt _{p}  ^{2} } </tex>
<tex> \therefore  \frac{8 \pi G}{3}  \rho = \frac{1}{t _{p}  ^{2} } =H ^{2} </tex>

これは、フリードマン方程式の形になっている。密度を計算すると
<tex> \therefore  \rho = \frac{3}{8 \pi Gt _{p}  ^{2} } = \frac{3 \rho  _{p} t _{p}  ^{2} }{8 \pi t _{p}  ^{2} }=  \frac{3}{8 \pi }  \rho  _{p} </tex>

この値は、プランク時間の臨界密度に等しい。

シュヴァルツシルト半径を $l_p$ としても同様のことが成り立つ。
<tex> \frac{2GM}{c ^{2} } =l _{p} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \frac{2G}{c ^{2} }  \cdot  \frac{4 \pi }{3} l _{p}  ^{3}  \rho =l _{p} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore  \frac{8 \pi G}{3}  \rho = \frac{c ^{2} }{l _{p}  ^{2} } = \frac{1}{t _{p}  ^{2} } =H ^{2} </tex>
<tex> \therefore  \rho = \frac{3}{8 \pi Gt _{p}  ^{2} } = \frac{3 \rho  _{p} t _{p}  ^{2} }{8 \pi t _{p}  ^{2} }=  \frac{3}{8 \pi }  \rho  _{p} </tex>

この値もプランク時間の臨界密度になっている。

プランク時間のとき、カシミール効果による真空のエネルギーを計算する。
<tex> \frac{F _{c} }{A} = \frac{ \hbar c \pi  ^{2} }{240d ^{4} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A=4 \pi l _{p}  ^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d=l _{p} </tex>
<tex>E=F _{c} l _{p} = \frac{ \hbar c \pi  ^{2} }{240l _{p}  ^{4} }  \cdot 4 \pi l _{p}  ^{2}  \cdot l _{p} = \frac{ \pi  ^{3} }{60}  \cdot  \frac{ \hbar c}{l _{p} } = \frac{ \pi  ^{3} }{60} m _{p} c ^{2}  \approx  \frac{1}{2} m _{p} c ^{2} </tex>

このときの質量密度を計算する。
<tex> \therefore  \rho = \frac{E/c ^{2} }{ \frac{4 \pi }{3} l _{p}  ^{3} } = \frac{ \frac{1}{2} m _{p} }{ \frac{4 \pi }{3} l _{p}  ^{3} } = \frac{1}{2} l _{p}  ^{3}   \rho  _{p}        \cdot  \frac{3}{4 \pi l _{p}  ^{3} } = \frac{3}{8 \pi }  \rho  _{p} </tex>

真空のエネルギー密度が、プランク時間の臨界密度になっている。

ビレンキンのポテンシャルの式において、宇宙の半径とエネルギー密度の関係式がある。
この式で半径をプランク長として計算すると
<tex>l _{0} =c \left( \frac{8 \pi G \rho  _{ \nu } }{3} \right)  ^{- \frac{1}{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  l _{0} =l _{p} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore  \rho  _{ \nu } = \frac{3}{8 \pi }  \rho  _{p} </tex>

エネルギー密度が、プランク時間の臨界密度になっている。

ボルツマンの法則からプランク時間の温度を計算する。
<tex>u= \frac{4 \sigma }{c} T^{4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   \sigma = \frac{2 \pi^{5} k_{B}^{4} }{15c^{2} h^{3} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  u= \frac{3}{8 \pi }  \rho_{p} c^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore T= \frac{ \hbar }{k_{B} t_{p} }  \sqrt[4]{ \frac{45}{8 \pi^{3} } }  \approx 10^{32} K</tex>

これは、ビッグバンのときの温度と一致している。

弦の基本定数は、
<tex>T _{0} = \frac{1}{2 \pi  \alpha'  \hbar c} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ l _{s} = \hbar c \sqrt{ \alpha' } </tex>

 $l _{s} =l _{p} $ と仮定して張力 $T _{0} $ から質量を計算する。

<tex> \frac{l _{p} T _{0} }{c ^{2} } = \frac{l _{p} }{c ^{2} }  \cdot  \frac{ \hbar c}{2 \pi l _{p}  ^{2} } = \frac{ \hbar }{2 \pi cl _{p} } = \frac{m _{p} c}{2 \pi c} =\frac{1}{2 \pi } m _{p}  \approx  \frac{1}{6} m _{p} </tex>

弦の基本定数を質量密度(線密度)と考えても同じ値になる。( $ c ^{2}  \times$ 質量密度=張力)

<tex>T _{0} = \frac{ \hbar }{2 \pi cl _{p}  ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore l _{p} T _{0} = \frac{ \hbar }{2 \pi cl _{p} } = \frac{m _{p} c}{2 \pi c} = \frac{1}{2 \pi } m _{p}  \approx  \frac{1}{6} m _{p} </tex>

この質量は、半径 $l _{p}$ の球の1/3の質量に等しい。

<tex> \frac{4 \pi }{3} l _{p}  ^{3}  \times  \frac{3}{8 \pi }  \rho  _{p}  \times  \frac{1}{3} = \frac{1}{6} m _{p} </tex>

プランク時間のとき、半径 $l _{p}$ の球は、3本の弦からできている。このうち2本は、宇宙定数
(ダークエネルギー)に対応している。また、ここにダークエネルギー密度パラメータの起源がある。
<tex> \therefore  \Omega  _{ \lambda } = \frac{ \rho  _{ \lambda } }{ \rho  _{c} } = \frac{2}{3} = 0.667 = 66.7 \%</tex>

観測値は、WMAP 73% 、プランク衛星 68.3% 、超新星の観測 65%


ハッブル半径内の全質量を計算する。

<tex> \frac{4 \pi }{3} L _{H}  ^{3}  \rho  _{c} = \frac{4 \pi }{3} L _{H}  ^{3}  \cdot  \frac{3H ^{2} }{8 \pi G} = \frac{1}{2} c ^{3}  \left(H ^{-1} \right)  ^{3}  \cdot  \frac{H ^{2} }{G} = \frac{c ^{3} }{2GH} </tex>

これは、フレッド・ホイルの計算式と一致している。これをさらに変形すると

<tex> \frac{c ^{3} }{2GH} = \frac{1}{2} c ^{3}  \rho  _{p} t _{p}  ^{2} H ^{-1} = \frac{1}{2} c ^{3} t _{p}  ^{3}  \rho  _{p}  \cdot  \frac{H ^{-1} }{t _{p} } = \frac{1}{2} l _{p}  ^{3}  \rho  _{p}  \cdot  \frac{H ^{-1} }{t _{p} } = \frac{1}{2} m _{p}  \cdot  \frac{H ^{-1} }{t _{p} } </tex>

質量が、ハッブル時間に比例して増加している。  $m_{p} :$ プランク質量   プランク時間のとき
<tex> \frac{1}{2} m _{p}  \cdot  \frac{H ^{-1} }{t _{p} } = \frac{1}{2} m _{p} </tex>

これは、プランク時間の臨界密度に体積を掛けたものに等しい。また3本の弦の質量に等しい。
<tex> \frac{3}{8 \pi }  \rho  _{p}  \times  \frac{4 \pi }{3} l _{p}  ^{3} = \frac{1}{2} m _{p} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \frac{1}{6} m _{p}  \times 3= \frac{1}{2} m _{p} </tex>

現在の値は
<tex> \frac{1}{2} m _{p}  \cdot  \frac{H _{0}  ^{-1} }{t _{p} }  \approx 10 ^{53} \ \ \ \ \ kg</tex>

ハッブル半径内において、ハッブル時間で $t _{p}$ の時間を刻むごとに $ \frac{1}{2} m _{p}$ の質量が、増加している。
このとき、ハッブル半径が  $l _{p}$ だけ伸びる。


宇宙定数による斥力を計算する。
<tex>F _{ \lambda } =G \frac{mM _{ \lambda } }{r ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M _{ \lambda } = \frac{4 \pi }{3} r ^{3}  \rho  _{ \lambda } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \rho  _{ \lambda } = \frac{c ^{2} }{8 \pi G}  \Lambda \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore F _{ \lambda } = \frac{Gm}{r ^{2} }  \cdot  \frac{4 \pi r ^{3} }{3}  \cdot  \frac{c ^{2}  \Lambda }{8 \pi G} = \frac{1}{6}  \Lambda rmc ^{2} </tex>

斥力は、距離に比例して大きくなる。

宇宙年齢を計算する。
<tex>\Omega  _{ \lambda } =\frac{ \rho  _{ \lambda } }{ \rho  _{c} } = \frac{2}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ H _{0} =67.15Km/s/Mpc=2.1762 \times 10 ^{-18} \ \ \ \ \ 1/s</tex>

これらをフリードマン方程式の解に代入すると
<tex>t _{0} = \frac{2}{3}  \frac{1}{H _{0}  \sqrt{ \Omega  _{ \lambda } } } ln \left( \frac{1+ \sqrt{ \Omega  _{ \lambda } } }{ \sqrt{1- \Omega  _{ \lambda } } } \right) = \frac{2}{3}  \frac{1}{H _{0}  \sqrt{ \frac{2}{3} } } ln \left( \frac{1+ \sqrt{ \frac{2}{3} } }{ \sqrt{1- \frac{2}{3} } } \right) =0.93587 \times  \frac{1}{H _{0} } </tex>
 $\quad$   $=4.3005\times10^{17}s=136$ 億年

プランク衛星の観測値 $\Omega  _{ \lambda } =$ 0.683を代入すると138億年になる。

現在のシュヴァルトシルト半径を計算してみる。フレッド・ホイルの計算式を使うと
<tex>r _{s} = \frac{2GM}{c ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M= \frac{c ^{3} }{2GH} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore r _{s} = \frac{2G}{c ^{2} }  \cdot  \frac{c ^{3} }{2GH} =cH ^{-1} =L _{H} </tex>

シュヴァルツシルト半径とハッブル半径が、一致している。

ダークエネルギー密度の変化を計算すると、次第に減少していくことがわかる。
<tex> \rho  _{ \lambda } = \frac{2}{3}  \rho  _{c} = \frac{2}{3}  \cdot  \frac{3H ^{2} }{8 \pi G} = \frac{H ^{2} }{4 \pi G} = \frac{ \rho  _{p} t _{p}  ^{2} H ^{2} }{4 \pi } = \frac{1}{4 \pi }  \rho  _{p}  \times   \left( \frac{t _{p} }{H ^{-1} } \right)  ^{2}  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \left( \frac{t _{p} }{H _{0}  ^{-1} } \right)  ^{2}   \approx  \frac{1}{10 ^{122} } </tex>

臨界密度や宇宙定数も同様に減少している。
<tex> \rho  _{c} = \frac{3H ^{2} }{8 \pi G} = \frac{3 \rho  _{p} t _{p}  ^{2} }{8 \pi  \left(H ^{-1} \right)  ^{2} } = \frac{3}{8 \pi }  \rho  _{p}  \times  \left( \frac{t _{p} }{H ^{-1} } \right)  ^{2} </tex>

<tex> \Lambda = \frac{2}{L _{H}  ^{2} } = \frac{2}{c ^{2}  \left(H ^{-1} \right)  ^{2} } = \frac{t _{p}  ^{2} }{l _{p}  ^{2} }  \cdot  \frac{2}{ \left(H ^{-1} \right)  ^{2} } = \frac{2}{l _{p}  ^{2} }  \times  \left( \frac{t _{p} }{H ^{-1} } \right)  ^{2} </tex>

ハッブル定数も減少している。
<tex>H= \frac{1}{t _{p} }  \times  \frac{t _{p} }{H ^{-1} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \frac{t _{p} }{H _{0}  ^{-1} }  \approx  \frac{1}{10 ^{61} } </tex>

フリードマン方程式(K=0)を変形すると
<tex> \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)  ^{2} = \frac{8 \pi G}{3}  \rho  _{m} + \frac{ \Lambda c ^{2} }{3} = \frac{8 \pi G}{3}  \cdot  \frac{1}{2}  \rho  _{ \lambda } + \frac{ \Lambda c ^{2} }{3} = \frac{8 \pi G}{6}  \cdot  \frac{c ^{2} }{8 \pi G}  \Lambda + \frac{ \Lambda c ^{2} }{3} = \frac{c ^{2} }{6}  \Lambda + \frac{ \Lambda c ^{2} }{3} = \frac{1}{2} c ^{2}  \Lambda </tex>

放射優勢のとき
<tex> \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)  ^{2} = \frac{c ^{2} }{2}  \cdot  \frac{1}{2c ^{2} t ^{2} } = \frac{1}{4t ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore  \frac{\dot{a}}{a} = \frac{1}{2t} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore a \propto t ^{ \frac{1}{2} } </tex>

物質優勢のとき
<tex> \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)  ^{2} = \frac{c ^{2} }{2}  \cdot  \frac{8}{9c ^{2} t ^{2} } = \frac{4}{9t ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore  \frac{\dot{a}}{a} = \frac{2}{3t} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore a \propto t ^{ \frac{2}{3} } </tex>

宇宙項優勢のとき
<tex> \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)  ^{2} = \frac{c ^{2} }{2}  \cdot  \frac{2}{c ^{2} t ^{2} } = \frac{1}{t ^{2} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   \therefore  \frac{\dot{a}}{a} = \frac{1}{t} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore a \propto t</tex>

数十億年前を境に、減速膨張から等速膨張に変化している。

フリードマン方程式とエネルギー保存則から加速方程式を計算する。

<tex>  \frac{{\dot{a}}^{2}}{ a ^{2}  }  = \frac{8 \pi G}{3}  \rho - \frac{Kc ^{2} }{a ^{2} } + \frac{ \Lambda c ^{2} }{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Lambda = \frac{2}{{L_H}^{2}}\approx \frac{2}{a^2}</tex>

<tex>\dot{\rho}+ \frac{3\dot{a}}{a} \left(\rho+ \frac{p}{c^2}\right)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \therefore a \dot{\rho}=-3\dot{a}\rho-3\dot{a}\frac{p}{c^2}</tex>

<tex>A \equiv   \frac{8 \pi G}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \frac{{\dot{a}}^{2}}{ a ^{2}  }  = \frac{8 \pi G}{3}  \rho - \frac{Kc ^{2} }{a ^{2} } + \frac{ 2 c ^2 }{3 a^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore \dot{a}^{2} = A \rho a^2 - K c^2 + \frac{2}{3} c^2</tex>

両辺を微分すると
<tex>2 \dot{a} \ddot{a} = A \rho \cdot 2 a \dot{a} + A \dot{\rho} a^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore 2 \dot{a} \frac{\ddot{a}}{a} = A \left( 2 \dot{a} \rho + a \dot{\rho} \right)</tex>

この式にエネルギー保存則を代入
<tex>2 \dot{a} \frac{\ddot{a}}{a} = A \left( 2 \dot{a} \rho -3 \dot{a} \rho - 3 \dot{a} \frac{p}{c^2} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}  \left(\rho  + \frac{3p}{c^2} \right)</tex>

加速方程式の宇宙項が消えている。

エネルギー保存則は
<tex>\dot{\rho} = - \frac{3\dot{a}}{a} \left(\rho+ \frac{p}{c^2}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p=w  \rho c^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore \dot{\rho} = -3  \left( 1+w \right) \frac{\dot{a}}{a}\rho\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore \rho \propto a^{-3  \left( 1+w \right)}</tex>

フリードマン方程式の解は
<tex>\frac{\dot{a}}{a} = \frac{2}{3 \left( 1+w \right) t }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore a \propto t ^ \frac{2}{3  \left( 1+w \right)}</tex>

wの値によって膨張の状態が変化する。
<tex>w = \frac{1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho \propto a^{-4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  a \propto t ^  \frac{1}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p= \frac {1}{3} \rho c^2</tex>
<tex>w = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho \propto a^{-3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  a \propto t ^  \frac{2}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p=0</tex>
<tex>w = - \frac{1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho \propto a^{-2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  a \propto t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  p= - \frac {1}{3} \rho c^2</tex>
<tex>w = -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho \propto const\ \ \ \ \ \ \ \  a \propto e ^ {Ht} \ \ \ \ \ \ \ \ \  p=-\rho c^2</tex>

フリードマン方程式の宇宙項優勢のときの計算結果  $ a \propto t $ になるwの値は
<tex>w = - \frac {1}{3}</tex>

これを宇宙項がない加速方程式に代入すると
<tex> \frac{\ddot{a}}{a} &= - \frac{4 \pi G}{3}  \left(\rho  + \frac{3p}{c^2} \right)=  - \frac{4 \pi G}{3}  \left(\rho  + \frac{3}{c^2} \cdot w \rho c^2 \right)=  - \frac{4 \pi G}{3}  \left(\rho  + \frac{3}{c^2} \cdot \left(- \frac {1}{3} \rho c^2 \right) \right) \\&= - \frac{4 \pi G}{3}  \left(\rho  - \rho  \right) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore \dot{a} \propto const \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore a \propto t</tex>

加速方程式の計算結果も等速膨張になっている。

物質優勢から宇宙項優勢に移行する約60億年前付近は、宇宙定数がほとんど
一定になっているので加速膨張の計算式で近似することができる。

宇宙が2倍に膨張すると光の波長も2倍に引き伸ばされるという。その赤方偏移
は、宇宙が今の半分だった時代に対応し、距離が約80億光年と観測されている。

 $ t_m = 60 $  億年前  $ =78 $  億年  $ =2.4614 \times 10 ^{17} s $ 
<tex>\Lambda =\frac{1}{2} \left( \frac{8}{9c^2 {t_m}^2} +\frac{2}{c^2 {t_m}^2} \right) = \frac {13}{9c^2 {t_m}^2}=2.6527 \times 10 ^{-52}\ \ \ 1/m^2</tex>
 $ t_0 - t_h = 80 $  億年  $ =2.5246 \times 10 ^ {17} s $ 

これらを加速膨張の式に代入すると
<tex>\therefore a_0 = a_h exp \left( \sqrt {\frac {\Lambda}{3}} c \left( t_0 - t_h  \right) \right) = a_h exp 0.71170 = 2.04 a_h</tex>

赤方偏移による2倍と宇宙定数による計算結果の2.04倍がほとんど一致してい
る。
しかしこの加速膨張の計算式は、宇宙定数 $ \Lambda $ が一定のときにしか使えないの
で、未来に延長することはできない。


宇宙項優勢のとき
<tex>\rho \propto a^{-2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a \propto t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore \frac {4 \pi}{3} \rho a^3 \propto a^{-2} \cdot a^3 \propto a \propto t</tex>
全質量が時間に比例して増加する。

熱力学第一法則で断熱過程を考えると
<tex>dQ=dU+pdV \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dQ=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore dU+pdV=0U= \frac {4 \pi }{3} \rho a^3 c^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ V= \frac {4 \pi }{3} a^3</tex>
<tex>\therefore \frac {d}{dt} \left( \rho a^3 \right) + \frac {p}{c^2} \frac {d}{dt} \left( a^3 \right) =0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore \bigtriangleup M=-\frac {p \cdot \bigtriangleup V }{c^2}</tex>

宇宙項優勢のとき、負の圧力の空間が膨張すると質量(内部エネルギー)が増加
することがわかる。
<tex>p<0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bigtriangleup V >0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bigtriangleup M >0</tex>

微分を実行するとエネルギー保存則になる。
<tex>\therefore \do{\rho} + \frac {3 \dot{a}}{a} \left( \rho + \frac {p}{c^2} \right) =0</tex>

現在は宇宙項優勢なので、現在の負の圧力の値から、膨張による質量の変化を計
算する。
<tex>\bigtriangleup M &= - \frac {p \cdot \bigtriangleup V}{c^2} = \left( - \frac{1}{c^2} \right) \left( - \frac{1}{3} {\rho}_c c^2 \right) 4 \pi {L_H}^2 l_p = \frac {4 \pi}{3} \cdot \frac {3 {H_0}^2}{8 \pi G} \cdot c^2 { \left( {H_0}^{-1} \right)}^2 l_p \\&= \frac { c^2 l_p}{2G} = \frac {1}{2} c^2 l_p {\rho}_p {t_p}^2 = \frac {1}{2} {l_p}^3 {\rho}_p =\frac {1}{2} m_p</tex>

プランク時間についても同様に負の圧力から質量の変化を計算する。
<tex>\bigtriangleup M &= - \frac {p \cdot \bigtriangleup V}{c^2} = \left( - \frac{1}{c^2} \right) \left( - \frac{1}{3} {\rho}_c c^2 \right) 4 \pi {l_p}^2 l_p = \frac {4 \pi}{3} \cdot \frac {3}{8 \pi} {\rho}_p \cdot {l_p}^3 =  \frac {1}{2} m_p</tex>

ハッブル半径が $l_p$ だけ伸びると、 $\frac{1}{2} m_p $ の質量が増加している。
これは、ハッブル半径内の全質量を計算したときの増加の値と一致している。

現在の負の圧力は、斥力に対応し、重力とつり合っている。このことは、加速方程
式の中で、現在の負の圧力が重力による減速膨張を完全に打ち消していることか
らわかる。
<tex>\frac{\ddot{a}}{a} &= - \frac{4 \pi G}{3}  \left(\rho  + \frac{3p}{c^2} \right)=  - \frac{4 \pi G}{3}  \left(\rho  + \frac{3}{c^2} \cdot \left(- \frac {1}{3} \rho c^2 \right) \right)= - \frac{4 \pi G}{3}  \left(\rho  - \rho  \right) = 0</tex>

プランク時間のときのエントロピーを計算する。
<tex>S = \frac{ \left({\rho}_c c^2 + p \right) V }{T} \ \ \ \ \ \ \ \   \rho _{c} = \frac{3}{8 \pi } \rho _{p} \ \ \ \ \ \ \ \   \ p= - \frac{1}{3} \rho_{c} c^2  \ \ \ \ \ \ \ \   T= \frac{ \hbar }{k _{B} t _{p} }  \sqrt[4]{ \frac{45}{8 \pi^{3} } }   \ \ \ \ \ \ \ \  V=\frac{4\pi}{3}{l_p}^3 </tex>
<tex> \therefore S \approx \frac {1}{2} k_B</tex>

3本の弦のエントロピーを計算する。
<tex>S=\frac{c k_B l_s M}{\hbar}=\frac{c k_B}{m_p c}\cdot \frac {1}{2 \pi}m_p \cdot 3 \approx \frac {1}{2} k_B</tex>

半径が $l_p$ のブラックホールのエントロピーは
<tex>S_{BH}=\frac{Ak_B}{{4l_p}^2}=\frac{4\pi {l_p}^2 k_B}{{4l_p}^2}=\pi k_B</tex>
2 TMO 2015/03/07 (土) 10:29:26 ID:s8BM.pqBMU [修正] [削除]
これは既に言われている話なのですか?

それとも現在言われている話とは異なる結論が導かれているのですか?
あるいは、既存の話を独自に拡張してまだ知られていない結論を導き出した
ということでしょうか?

「現在広く受け入れられている認識では〜となっている」
という説明があるとありがたいです。
3 ラムザ 2015/03/10 (火) 16:52:38 ID:.OlsHW.6N6 [修正] [削除]
TMOさん、こんにちは、

宇宙定数の計算は、ネットで「宇宙定数 値」と検索すればすぐに見つかります。

現在広く受け入れられていることは、巨大な宇宙定数(真空のエネルギー)の斥力がインフレーションを起こし、その終了後に曲率がゼロになり、わずかに残った真空のエネルギーが現在の加速膨張の原因になっていて、宇宙定数は一定と考えられています。

ダークエネルギーは、宇宙定数と換算できるのですが、その正体は、真空の零点エネルギーとされていて、計算をすると観測値の $10^{120}$ 倍になるので正しい計算方法を探索中のようです。

プランク時間の計算は、見たことがありませんが、すぐとなりには特異点があって計算不可能とされています。
4 TMO 2015/03/10 (火) 23:26:52 ID:s8BM.pqBMU [修正] [削除]
>> ラムザ さん
これは(宇宙開闢の後)プランク時間程度の宇宙の挙動を
既存のフリードマン方程式等から導出してみよう
ということでしょうか?
だとすると、※1の
> プランク時間のとき
以後がラムザ さんのメインの主張ということでしょうね。

しかし私はその前のところが気になりました。
Λ=… と続く式変形の中ほどに出てくる"H"はおそらくハッブル定数だと思いますが、
いまは”加速膨張”を想定しているようなので、Hは定数ではなく時刻に依存する変数、
しかもt→+∞で+∞に発散します。
ゆえに、Hを用いる際にはいつの時刻の値なのかを明確にする必要があります。
後段の計算についても、定数と時刻の変数を明確にすると
修正しなければならないところが出てくるように思うのですが、どうでしょうか?

もう一点、曲率Kについての計算がありますが、
フリードマン方程式でスケール因子a(t)を導入する場合、
Kは時刻に対して定数となります。 ;その理由は
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/flrw.html
↑ここの「宇宙全体の膨張、収縮」という節に説明されています。
どこかの時点でK=0になるのであれば、それは最初からK=0だったのであり、
”加速膨張”という観測事実とは相容れない結論となってしまいます。
5 ラムザ 2015/03/13 (金) 16:36:24 ID:.OlsHW.6N6 [修正] [削除]
TMOさん、こんにちは、

この計算式は、ハッブル定数を変数として宇宙定数を計算するものですが、わかりにくいのでハッブル半径の形に変形しました。
これでプランク時間の宇宙定数を直感的に計算できます。プランク時間のハッブル半径は、プランク長に等しいからです。
後段の計算式は、時間を代入すると宇宙定数を計算できます。プランク時間付近は、宇宙項優勢の式を使います。

曲率は、現在の曲率を計算してみればわかります。現在は、加速膨張をしていて曲率がゼロです。
計算方法は、ほとんど同じなので、計算方法が正しいこともわかります。
曲率は、臨界密度との関係を考えると簡単です。密度がそれより小さければ負の曲率で、大きければ正の曲率です。プランク時間のときは、ちょうど臨界密度ですから、曲率はゼロです。少しでもずれるとブラックホールになったり、不確定性原理が成立しません。





趣味の物理学書店