1 甘泉法師 2015/01/17 (土) 23:00:19 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 23:10 [修正] [削除]
こんにちは。

タイトルの件について
論文 http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0502053v1.pdf
の頭のほうの大意を日本語にしてみてすこしは体得しようというこころみです。
2 甘泉法師 2015/01/17 (土) 23:01:43 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
The role of the rigged Hilbert space in Quantum Mechanics
量子力学でRHSが果たす役割

Rafael de la Madrid

Departamento de Fisica Teorica, Facultad de Ciencias, Universidad del Paıs Vasco,
48080 Bilbao, Spain
E-mail: wtbdemor@lg.ehu.es
3 甘泉法師 2015/01/17 (土) 23:03:10 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Abstract. There is compelling evidence that, when continuous spectrum is present,
the natural mathematical setting for Quantum Mechanics is the rigged Hilbert space
rather than just the Hilbert space. In particular, Dirac’s bra-ket formalism is fully
implemented by the rigged Hilbert space rather than just by the Hilbert space. In this
paper, we provide a pedestrian introduction to the role the rigged Hilbert space plays
in Quantum Mechanics, by way of a simple, exactly solvable example. The procedure
will be constructive and based on a recent publication. We also provide a thorough
discussion on the physical significance of the rigged Hilbert space.

大意
アブストラクト
連続スペクトルがある場合の量子力学の自然な数学手法は単なるヒルベルト空間でなくて
rigged Hilbert space(以下、「RHS」)であることを認めざるを得ない強い証拠がある。
特にディラックのブラケット記法はヒルベルト空間だけよりもRHSで十全に解釈される。
この論文では単純で厳密に解ける例を示すことにより量子力学でRHSが果たす役割を一歩一歩示し初めての人に理解してもらう。またRHSの物理的意味を詳しく論じる。

4 甘泉法師 2015/01/17 (土) 23:06:11 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
1. Introduction
It has been known for several decades that Dirac’s bra-ket formalism is mathematically justified not by the Hilbert space alone, but by the rigged Hilbert space (RHS). This is the reason why there is an increasing number of Quantum Mechanics textbooks that
already include the rigged Hilbert space as part of their contents (see, for example,
Refs. [1]-[9]). Despite the importance of the RHS, there is still a lack of simple examples for which the corresponding RHS is constructed in a didactical manner. Even worse, there is no pedagogical discussion on the physical significance of the RHS. In this paper,
we use the one-dimensional (1D) rectangular barrier potential to introduce the RHS at the graduate student level. As well, we discuss the physical significance of each of the
ingredients that form the RHS. The construction of the RHS of such a simple model will unambiguously show that the RHS is needed at the most basic level of Quantum Mechanics.

1 序論
ディラックのブラケット記法がヒルベルト空間だけでは数学的に正当化されずRHSによることはもう数十年前から明らかになっている。量子力学の教科書でRHSを説明するものが増えている(例[1-9])
RHSは重要なのにRHSが演繹的に構成される単純な例はまだ提示されていない。
もっと悪いことには物理学でのRHSの重要性を教授・教育することについて議論がなされていない。
ここでは1次元の箱型障壁ポテンシャルで大学生レベルへRHSの入門を図る。またRHSを構成する要素を詳細に議論する。RHSをこのような簡単なモデルで構成することにより量子力学の最も基礎のレベルでRHSが必要だとういことがわかるに違いない。
5 甘泉法師 2015/01/17 (土) 23:07:19 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
The present paper is complemented by a previous publication, Ref. [10], to which we
shall refer the reader interested in a detailed mathematical account on the construction
of the RHS of the 1D rectangular barrier. For a general background on the Hilbert
and the rigged Hilbert space methods, the reader may consult Ref. [11] and references
therein

この論文は過去出版したもの[10]によっており詳しくはそちらを参照されたい。ヒルベルト空間とRHSの一般的背景は[11]
6 甘泉法師 2015/01/17 (土) 23:09:31 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Dirac’s bra-ket formalism was introduced by Dirac in his classic monograph [12].
Since its inception, Dirac’s abstract algebraic model of bras and kets (from the bracket
notation for the inner product) proved to be of great calculational value, although there
were serious difficulties in finding a mathematical justification for the actual

calculations
within the Hilbert space, as Dirac [12] and von Neumann [13] themselves state in their
books [14]. As part of his bra-ket formalism, Dirac introduced the so-called Dirac delta
function, a formal entity without a counterpart in the classical theory of functions. It was L. Schwartz who gave a precise meaning to the Dirac delta function as a functional over a space of test functions [15]. This led to the development of a new branch of functional analysis, the theory of distributions. By combining von Neumann’s Hilbert space with the theory of distributions, I. Gelfand and collaborators introduced the RHS [16, 17]. It was already clear to the creators of the RHS that their formulation was the mathematical
support of Dirac’s bra-ket formalism [18]. The RHS made its first appearance in the Physics literature in the 1960s [19, 20, 21], when some physicists also realized that the RHS provides a rigorous mathematical rephrasing of all of the aspects of Dirac’s braket
formalism. Nowadays, there is a growing consensus that the RHS, rather than the Hilbert space alone, is the natural mathematical setting of Quantum Mechanics [22].

ディラックはブラケット記法を名著[12]で導入した。ディラック[12] フォンノイマン[13]がそれぞれ著書で述べたように、ブラケット記法はヒルベルト空間の中で実際に計算する数学的な正当性には欠けていたが、計算にはたいへん重宝するものであることがわかった。
ブラケット記法の一部としてディラックはδ関数というものを導入した。これは伝統的な関数理論にばないもだった。シュワルツがδ関数の正確な意味、つまり試験関数空間上の汎関数であることを明らかにした。これにより汎関数解析の新分野、超関数が開拓された。フォンノイマンのヒルベルト空間と超関数を結びつけ、ゲルファントらはRHSを導入した[16,17]. RHSはディラックのブラケット記法を支援するものであるのは創始者らには明らかだった[18]。RHSが物理学誌にあらわれたのは1960年代で[19,20,21] 一部の物理学者もRHSがブラケット記法のすべての特徴を厳密に数学的に説明するものであることを理解した。今やヒルベルト空間だけによるのでなくRHSが量子力学に自然に対応するというコンセンサスが広がっている。[22]
7 甘泉法師 2015/01/18 (日) 10:53:20 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 10:56 [修正] [削除]
A note on semantics. The word “rigged” in rigged Hilbert space has a nautical
connotation, such as the phrase “fully rigged ship;” it has nothing to do with any
unsavory practice such as “fixing” or predetermining a result. The phrase “rigged
Hilbert space” is a direct translation of the phrase “osnashchyonnoe Hilbertovo prostranstvo”
from the original Russian. A more faithful translation would be “equipped Hilbert
space.” Indeed, the rigged Hilbert space is just the Hilbert space equipped with
distribution theory―in Quantum Mechanics, to rig a Hilbert space means simply to
equip that Hilbert space with distribution theory. Thus, the RHS is not a replacement
but an enlargement of the Hilbert space.

用語についてのノート。 RHSのriggedとはたとえば「完全艤装(rigged)船」というように海事用語
からきているが、修理のようなこのましくない意味やある結果に導く?とかいう意味はない。RHSは
ロシア語osnashchyonnoe Hilbertovo prostranstvoの直訳でより忠実な訳は、装備されたequipped
ヒルベルト空間。たしかに RHSはヒルベルト空間に超関数を装備しただけのものだ、特に量子力学
では。だからRHSはヒルベルト空間をおいやるものではなくヒルベルト空間を拡張したものだ。


The RHS is neither an extension nor an interpretation of the physical principles
of Quantum Mechanics, but rather the most natural, concise and logic language to
formulate Quantum Mechanics. The RHS is simply a mathematical tool to extract
and process the information contained in observables that have continuous spectrum.
Observables with discrete spectrum and a finite number of eigenvectors (e.g., spin) do
not need the RHS. For such observables, the Hilbert space is sufficient. Actually, as
we shall explain, in general only unbounded observables with continuous spectrum need
the RHS.

RHSは量子力学の物理的原理の拡張でも解釈でもなく、最も自然で簡潔で論理的に量子力学をあらわす言葉だ。 RHSは連続スペクトルをもつオブザーバブルのもつ情報をひきだし処理する数学ツールにすぎない。離散スペクトルや有限な固有ベクトル(たとえばスピン)はRHSを必要としない。ヒルベルト空間で十分だ。先に示すように一般に境界がなく連続スペクトルをもつオブザーバブルだけがRHSを必要とする。
8 甘泉法師 2015/01/18 (日) 10:55:00 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
The usefulness of the RHS is not simply restricted to accounting for Dirac’s braket
formalism. The RHS has also proved to be a very useful research tool in the
quantum theory of scattering and decay (see Ref. [11] and references therein), and
in the construction of generalized spectral decompositions of chaotic maps [23, 24]. In
fact, it seems that the RHS is the natural language to deal with problems that involve
continuous and resonance spectra.

RHSの有用性は、ディラックのブラケット記法を保証することだけではない。RHSは散乱と崩壊[11]、カオスマップの一般的スペクトル分解[23.24]の量子論にもたいへん便利であることがわかっている。 実際、RHSは連続共鳴スペクトルの問題を扱える自然なことばであるように思える。
9 甘泉法師 2015/01/18 (日) 11:24:03 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Loosely speaking, a rigged Hilbert space (also called a Gelfand triplet) is a triad of
spaces
 ⊂ H ⊂ × (1.1)
such that H is a Hilbert space,  is a dense subspace of H [25], and × is the space
of antilinear functionals over  [26]. Mathematically,  is the space of test functions,
and × is the space of distributions. The space × is called the antidual space of .
Associated with the RHS (1.1), there is always another RHS,
 ⊂ H ⊂ ′ , (1.2)
where ′ is called the dual space of  and contains the linear functionals over  [26].

ざっくりいってRHS( ゲルファントトリプレットともよばれる)は空間みっつの組だ。
<tex>\Phi \subset H \subset \Phi^X  </tex> (1.1)
 ここでHはヒルベルト空間で、ΦはHの稠密な部分空間[25]、Φ^Xは Φ上の反線形 汎関数の空間。 数学的にいえばΦは試験関数の空間でΦ^Xは超関数の空間。Φ^Xは Φの反双対空間と呼ばれる。
RHS(1.1)に付随して別のRHSがつねにあり
<tex>\Phi \subset H \subset \Phi'  </tex> (1.2)
Φ’はΦの双対空間とよばれ、Φ上の線形汎関数をなかに収めている
10 hirota 2015/01/18 (日) 11:45:31 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
Φの双対空間= $\{f:\Phi\to C,\,f(a x+b y)=a f(x)+b f(y)\}$ 線型汎関数の集合
Φの反双対空間=Φの共役双対空間= $\{f:\Phi\to C,\,f(a x+b y)=\bar{a}f(x)+\bar{b}f(y)\}$ 共役線型汎関数の集合( $\bar{a}$ は $a$ の共役複素数)
11 甘泉法師 2015/01/18 (日) 14:54:08 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 02/07 (土) 18:04 [修正] [削除]
The basic reason why we need the spaces ′ and × is that the bras and kets
associated with the elements in the continuous spectrum of an observable belong,
respectively, to ′ and × rather than to H. The basic reason reason why we need
the space  is that unbounded operators are not defined on the whole of H but only
on dense subdomains of H that are not invariant under the action of the observables.
Such non-invariance makes expectation values, uncertainties and commutation relations
not well defined on the whole of H. The space  is the largest subspace of the Hilbert
space on which such expectation values, uncertainties and commutation relations are
well defined.

Φ'空間とΦ^X 空間 が必要な理由は、ブラとケットがオブザーバブルが連続スペクトルの場合にはHでなくそれぞれΦ'とΦ^X と結びついているからだ。
Φ空間が必要な基本的な理由は、非有界な演算子はオブザーバブルが作用しても不変であるようなHの稠密な部分空間で定義されており、Hのすべてで定義されているのではないからだ。
Hのすべてにおいて定義されているわけでない期待値、不確定性、交換関係は、この不変性により成立する。Φとは期待値、不確定性、交換関係がきちんと定義できる最大の部分空間だ。

注意:非有界の定義の説明はreferenceにある。
12 甘泉法師 2015/01/18 (日) 15:17:31 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
The original formulation of the RHS [16, 17] does not provide a systematic
procedure to construct the RHS generated by the Hamiltonian of the Schr¨odinger
equation, since the space  is assumed to be given beforehand. Such systematic
procedure is important because, after all, claiming that the RHS is the natural setting
for Quantum Mechanics is about the same as claiming that, when the Hamiltonian
has continuous spectrum, the natural setting for the solutions of the Schr¨odinger
equation is the RHS rather than just the Hilbert space. The task of developing a
systematic procedure to construct the RHS generated by the Schr¨odinger equation was
undertaken in Ref. [11]. The method proposed in Ref. [11], which was partly based
on Refs. [19, 20, 21], has been applied to two simple three-dimensional potentials, see
Refs. [27, 28], to the three-dimensional free Hamiltonian, see Ref. [29], and to the 1D
rectangular barrier potential, see Ref. [10]. In this paper, we present the method of
Ref. [11] in a didactical manner.

最初に考案されたRHS[16,17]はΦ空間はもう与えられているというところから出発するものだったので、シュレジンガー方程式のハミルトニアンで生成されるRHSを系統だって与えるような処方ではなかった。
シュレジンガー方程式のハミルトニアンで生成されるRHSを系統だって得ることが重要だと言うことは、連続スペクトルの量子力学でRHSが自然な数学であると言うことと結局同じだ。[11]はじめいくつかの論文でRHSを簡単な系で得ることを扱っている。この論文では[11]の方法を系統だって説明することにする。
13 甘泉法師 2015/01/18 (日) 15:20:33 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
The organization of the paper is as follows. In Sec. 2, we outline the major reasons
why the RHS provides the mathematical setting for Quantum Mechanics. In Sec. 3, we
recall the basics of the 1D rectangular potential model. Section 4 provides the RHS of
this model. In Sec. 5, we discuss the physical meaning of each of the ingredients that
form the RHS. In Sec. 6, we discuss the relation of the Hilbert space spectral measures
with the bras and kets, as well as the limitations of our method to construct RHSs.
Finally, Sec. 7 contains the conclusions to the paper.

この論文の2章は、RHSが量子力学を扱う数学であるおもな理由を述べる。 3章で 1次元障壁モデルを復習する。 4章でこの系のRHSを与える。 5章でRHSの構成要素の物理的意味を議論する。6章でヒルベルト空間のスペクトル測度とブラ=ケットの関係と、このようにしてRHSを構成する方法の限界を議論する。第7章は結論。
14 甘泉法師 2015/01/18 (日) 18:26:23 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
2. Motivating the rigged Hilbert space
The linear superposition principle and the probabilistic interpretation of Quantum
Mechanics are two major guiding principles in our understanding of the microscopic
world. These two principles suggest that the space of states be a linear space (which
accounts for the superposition principle) endowed with a scalar product (which is used
to calculate probability amplitudes). A linear space endowed with a scalar product is
called a Hilbert space and is usually denoted by H [30].

第2章 なぜRHSなのか
線形重ねあわせの原理と確率解釈が量子力学の二大指導原理だ。
二大原理は状態空間が線形で(重ね合わせの原理から)内積がついている(確率解釈から)ことを示唆する。
線形で内積がある空間はヒルベルト空間とよばれ通常Hと記される。[30]
15 甘泉法師 2015/01/18 (日) 18:35:18 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
In Quantum Mechanics, observable quantities are represented by linear, selfadjoint
operators acting on H. The eigenvalues of an operator represent the possible
values of the measurement of the corresponding observable. These eigenvalues, which
mathematically correspond to the spectrum of the operator, can be discrete (as the
energies of a particle in a box), continuous (as the energies of a free, unconstrained
particle), or a combination of discrete and continuous (as the energies of the Hydrogen
atom).

量子力学の観測可能な量はHではたらく線形で自己共役なオペレータであらわされる。
オペレータの固有値が、オブザーバブルの測定でとりうる値をあらわす。
これら固有値は数学ではオペレータのスペクトルに対応し、離散(例 箱のなかの粒子のエネルギー)、連続(例 自由粒子のエネルギー)、離散と連続のくみあわせ(例 陽子と電子の系のエネルギー)をとりうる。
16 甘泉法師 2015/01/18 (日) 18:54:42 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 02/07 (土) 18:08 [修正] [削除]
When the spectrum of an observable A is discrete and A is bounded [31], then A
is defined on the whole of H and the eigenvectors of A belong to H. In this case, A
can be essentially seen as a matrix. This means that, as far as discrete spectrum is
concerned, there is no need to extend H. However, quantum mechanical observables are
in general unbounded [31] and their spectrum has in general a continuous part. In order
to deal with continuous spectrum, textbooks usually follow Dirac’s bra-ket formalism,
which is a heuristic generalization of the linear algebra of Hermitian matrices used for
discrete spectrum. As we shall see, the mathematical methods of the Hilbert space are
not sufficient to make sense of the prescriptions of Dirac’s formalism, the reason for
which we shall extend the Hilbert space to the rigged Hilbert space.

オブザーバブルAが離散的で境界がある場合には、AはH全空間で定義され、Aの固有ベクトルはみなHにはいっている[31]。  この場合Aは行列とみなせる。すなわち離散スペクトルならばHを拡張する必要はない。
しかしながら、量子力学のオブザーバブルは一般には非有界で[31]、スペクトルには連続な部分がある。
連続スペクトルを扱うには教科書はたいてい、離散スペクトルで使われるエルミート行列の線形代数の類推・延長としてディラックのブラ=ケット記法をつかっている。しかしこれからヒルベルト空間の数学的方法ではディラックの形式の方法が意味をもつには十分でなくRHSへ拡張することが必要であることをみよう。
17 甘泉法師 2015/01/18 (日) 19:04:27 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
For pedagogical reasons, we recall the essentials of the linear algebra of Hermitian
matrices before proceeding with Dirac’s formalism.

教育的配慮からエルミート行列の線形代数を復習しよう

2.1. Hermitian matrices  エルミート行列(訳略)
2.2. Dirac’s bra-ket formalism ディラックのブラ=ケット記法
(i)(ii)(iii)  (訳略)

(iv) Like in the case of two finite-dimensional matrices, all algebraic operations such as the commutator of two observables A and B,
[A,B] = AB − BA, (2.16)
are always well defined.

有限次元の行列の場合と同じく、ふたつのオブザーバブルAとBの間の交換関係などの代数的関係はつねによく定義されている。
18 kafuka 2015/01/18 (日) 19:32:07 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
ここからが、面白そうですね。
じっくり読みたいと思います。
19 甘泉法師 2015/01/18 (日) 19:59:41 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
2.3. The need of the rigged Hilbert space
2.3 RHSが必要なこと

In Quantum Mechanics, observables are usually given by differential operators. In the
Hilbert space framework, the formal prescription of an observable leads to the definition
of a linear operator as follows: One has to find first the Hilbert space H, then one sees
on what elements of H the action of the observable makes sense, and finally one checks
whether the action of the observable remains in H. For example, the position observable
Q of a 1D particle is given by
Qf(x) = xf(x) . (2.17)
The Hilbert space of a 1D particle is given by the collection of square integrable
functions,
L2 = \{f(x) | Z ∞
−∞
dx |f(x)|2 < ∞ \} , (2.18)


量子力学のオブザーバブルはふつう微分演算子であたえられることが多い。
ヒルベルト空間の枠では線形演算子の定義は以下のとおり
ヒルベルト空間Hをまずみつける。次にHのどの要素のうえでオブザーバブルの返し?が意味をなすかをみる。最後に返しがHの中にとどまっているかをみる。
たとえば1次元の粒子の座標Qの満たす式
Qf(x) = xf(x) . (2.17)
1次元粒子のヒルベルト空間は、二乗積分可能な関数で、
<tex> L^2=\{f(x)|\int_{-\infty}^{\infty} dx\ |f(x)|^2<\infty\},</tex> (2.18)
Qの返しは、原理的にはすべてのL^2の要素で定義されているけれども、次のような部分空間の要素についてでなければL^2に帰ってこない。
<tex> D(Q)=\{f(x)\in L^2|\int_{-\infty}^{\infty} dx\ |xf(x)|^2<\infty\},</tex> (2.19)
20 ナマステ 2015/01/18 (日) 20:24:13 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
the action of the observable
ってオブザーバブル演算子が状態ベクトルに作用することでしょうか?
21 甘泉法師 2015/01/18 (日) 23:20:10 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
The space D(Q) is the domain of the position operator. Domain (2.19) is not the whole
of L2, since the function g(x) = 1/(x + i) belongs to L2 but not to D(Q); as well,
Q is an unbounded operator, because kQgk = ∞; as well, QD(Q) is not included in
D(Q), since h(x) = 1/(x2 + 1) belongs to D(Q) but Qh does not belong to D(Q). The
denseness and the non-invariance of the domains of unbounded operators create much
trouble in the Hilbert space framework, because one has always to be careful whether
formal operations are valid. For example, Q2 = QQ is not defined on the whole of L2,
not even on the whole of D(Q), but only on those square integrable functions such that
x2f ∈ L2. Also, the expectation value of the measurement of Q in the state ',
(',Q') , (2.20)
is not finite for every ' ∈ L2, but only when ' ∈ D(Q). Similarly, the uncertainty of
the measurement of Q in ',
'Q = p(',Q2') − (',Q')2 , (2.21)
is not defined on the whole of L2.


部分空間D(Q) が座標演算子の領域となる。
領域 (2.19) は L^2全体ではない。たとえば関数 g(x) = 1/(x + i) は L^2 にあるが、 D(Q)にはおさまらない。
また||Qg|| = ∞ なのでQ は境界のない(有界でない)オペレータである。
QD(Q) は領域に含まれない。たとえばh(x) = 1/(x^2 + 1)はD(Q)にあるが、Qhは D(Q)におさまらない。
有界でないオペレータの稠密性と演算の結果が領域にかえってこないこと(領域の非不変性)はヒルベルト空間で
考える際の大きな障害になる。というのは、演算子が不変(演算結果が領域にもどってくること)であるかどうか
に神経質にならないといけないからだ。
たとえば Q^2 = QQ は L^2全体では定義されないし、D(Q)全体でも定義できない。定義できるのは
x2f ∈ L^2. であるような二乗可積分関数fだけについてになる。

またQの測定の期待値
(φ,Qφ) , (2.20)
はすべてのφ ∈ L^2について有限なわけでなく、有限になるのはφ ∈ D(Q)についてに限られる。

同様にQの測定の不確定さ
<tex>\delta_\phi Q = \sqrt{(\phi,Q^2 \phi)-(\phi,Q\phi)^2}</tex> , (2.21)
は全 L^2で定義できるわけではない。
22 甘泉法師 2015/01/19 (月) 18:32:28 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
On the other hand, if we denote the momentum observable by
Pf(x) = −i d/dx f(x) , (2.22)
then the product of P and Q, PQ, is not defined everywhere in the Hilbert space, but
only on those square integrable functions for which the quantity
PQf(x) = −i d/dx xf(x) = −i (f(x) + xf′(x)) (2.23)
makes sense and is square integrable. Obviously, PQf makes sense only when f is
differentiable, and PQf remains in L2 only when f, f′ and xf′ are also in L2; thus,
PQ is not defined everywhere in L2 but only on those square integrable functions that
satisfy the aforementioned conditions. Similar domain concerns arise in calculating the
commutator of P with Q.

運動量
Pf(x) = −i d/dx f(x) , (2.22)
についてPとQの積PQは、ヒルベルト空間のどこでも定義されているわけではなく、
二乗積分可能関数であって
PQf(x) = −i d/dx xf(x) = −i (f(x) + xf′(x)) (2.23)
に意味があり二乗積分可能であるようなfについてだけ定義される。

PQfは、fが微分可能でなければ明らかに意味をなさない。さらに
PQfは、 f, f′,xf′がみなL^2にあるときだけ、L^2にある。
こうして PQはL^2のいたるところで定義されているのでなく
上記のような条件が満たされる二乗積分可能な関数においてだけ定義されている
ことがわかる
同様にPとQの交換式を計算する際にも領域についての懸念が起きる。
23 甘泉法師 2015/01/19 (月) 18:38:04 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
As in the case of the position operator, the domain D(A) of an unbounded operator
A does not coincide with the whole of H [32], but is just a dense subspace of H [25];
also, in general D(A) does not remain invariant under the action of A, that is, AD(A)
is not included in D(A). Such non-invariance makes expectation values,
(φ,Aφ) , (2.24)
uncertainties,
<tex>\delta_\phi A=\sqrt{(\phi,A^2\phi)-(\phi,A\phi)^2}</tex>
and algebraic operations such as commutation relations not well defined on the whole
of the Hilbert space H [34]. Thus, when the position, momentum and energy operators
Q, P, H are unbounded, it is natural to seek a subspace  of H on which all of these
physical quantities can be calculated and yield meaningful, finite values. Because the
reason why these quantities may not be well defined is that the domains of Q, P and
H are not invariant under the action of these operators, the subspace  must be such
that it remains invariant under the actions of Q, P and H. This is why we take as 
the intersection of the domains of all the powers of Q, P and H [19]:
<tex>\Phi=\cap^\infty_{n,m=0\ A,B=Q,P,H}D(A^nB^m)</tex> (2.26)

座標演算子で説明したように、有界でない演算子Aの領域D(A)は、H全体とは一致せずHの部分空間
の稠密な部分空間だ。[32]。

またD(A)は一般的にAの作用について不変でない、すなわち AD(A)はD(A)の中に収まらない。
このように不変でないことから期待値
(φ,Aφ) , (2.24)
不確定さ
<tex>\delta_\phi A=\sqrt{(\phi,A^2\phi)-(\phi,A\phi)^2}</tex> , (2.25)
交換関係のような代数演算はHの全空間では定義できない[34].

こうして 座標、運動量、エネルギー演算子 Q, P, H が有界でない場合には、これらの物理量が
意味あり有限値に計算されるようなHの部分空間を探すことが自然だ。

これらの演算子はうまく定義できない、なぜならばQ,P,Hの領域がこれらの演算子の作用により不変ではないからだ。 求める部分空間はP,Q,Hのすべてのべきの作用で不変にとどまるようなものでなければならない。 [19]:
<tex>\Phi=\cap^\infty_{n,m=0\ A,B=Q,P,H}D(A^nB^m)</tex> (2.26)
24 甘泉法師 2015/01/19 (月) 18:42:02 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。
>>20
はい。オブザーバブル演算子が状態ベクトルに作用してできたベクトルのことと解しています。
訳しながら考えているため訳がゆれています。知らないものは通常の専門用語とちがうと存じます。御注意ください。
25 甘泉法師 2015/01/19 (月) 18:50:44 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
This space is known as the maximal invariant subspace of the algebra generated by Q, P
and H, because it is the largest subdomain of the Hilbert space that remains invariant
under the action of any power of Q, P or H,
AΦ ⊂Φ, A = Q, P,H . (2.27)

この空間は Q,P,Hでが生成する代数の最大不変部分空間 として知られているものだ。すなわち
この空間はヒルベルト空間の部分空間のうちQ,P,Hのどんなべきの作用でも不変であるような最大のものだ。
AΦ ⊂Φ, A = Q, P,H . (2.27)
26 甘泉法師 2015/01/19 (月) 19:22:07 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
On Φ, all physical quantities such as expectation values and uncertainties can be
associated well-defined, finite values, and algebraic operations such as the commutation
relation (2.16) are well defined. In addition, the elements ofΦ are represented by
smooth, continuous functions that have a definitive value at each point, in contrast
to the elements of H, which are represented by classes of functions which can vary
arbitrarily on sets of zero Lebesgue measure.

Φの上では、期待値や不確かさといった物理量はよく定義され、有限値で、交換関係(2.16)のような代数演算はよく定義できている。
加えて、Φの要素は滑らかで連続で各点で決まった値をもつような関数で表現される。
一方、Hの要素は、ルベーグ測度ゼロの集合では任意にちがってもいいような関数のクラスで表現される。
27 エントロピー 2015/01/19 (月) 20:07:27 ID:7BRCjW36HA [修正] [削除]
スレッドの主旨から外れて申し訳ないですが、横から失礼します。

この英文は文法としては難易度はどれくらいでしょうか?

文構造的には特殊なものはなさそうに見えるので(見える気がするだけかもしれないですが)、
専門用語と理解力でいけるかなと思い、
和訳見ながらの練習にはどうかなと思ったので質問いたしました(多分、自分にはまだ早いきがしますが・・・)
28 甘泉法師 2015/01/19 (月) 20:46:03 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Not only there are compelling reasons to shrink the Hilbert space H to Φ, but,
as we are going to explain now, there are also reasons to enlarge H to the spaces
Φ^× and Φ′of Eqs. (1.1) and (1.2).

ヒルベルト空間HをΦに縮めるだけでなく、これから説明するようにHをΦ^X(1.1)とΦ’(1.2)に拡大しなければならない
ことにも合理性がある。
29 甘泉法師 2015/01/19 (月) 20:47:50 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
When the spectrum of A has a continuous part,
prescriptions (2.11b) and (2.10b) associate a bra <a| and a ket |a> to each element a of the
continuous spectrum of A.
Obviously, the bras <a| and kets |a> are not in the Hilbert
space [35], and therefore we need two linear spaces larger than the Hilbert space to
accommodate them.
It turns out that the bras and kets acquire mathematical meaning
as distributions.
More specifically, the bras <a| are linear functionals over the space
Φ, and the kets |a> are antilinear functionals over the space Φ. That is, <a| ∈ Φ′ and
|a> ∈ Φ^×.


Aのスペクトルに連続な部分がある場合には連続な値にはブラとケットがあてはめられる。
明らかにブラとケットはヒルベルト空間のうちにはないから[35]、これらにあわせてヒルベルト空間より
広い空間が必要になる。
ブラとケットは数学の超関数の意味をもつことがわかる。つまりブラは線形汎関数、ケットは反線形汎関数だ。
<a| ∈ Φ′
|a> ∈ Φ^×.
30 甘泉法師 2015/01/19 (月) 21:41:43 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Aside from providing mathematical concepts such as self-adjointness or
unitarity, the Hilbert space plays a very important physical role, namely H selects
the scalar product that is used to calculate probability amplitudes.
The subspace 
contains those square integrable functions that should be considered as physical, because
any expectation value, any uncertainty and any algebraic operation can be calculated
for its elements, whereas this is not possible for the rest of the elements of the Hilbert
space.
The dual space Φ′ and the antidual space Φ^× contain respectively the bras and
the kets associated with the continuous spectrum of the observables.
These bras and
kets can be used to expand any φ ∈ Φ  as in Eq. (2.12). Thus, the rigged Hilbert space,
rather than the Hilbert space alone, can accommodate prescriptions (2.10a)-(2.16) of
Dirac’s formalism.

自己共役とかユニタリー性のような数学的概念はまた別にくわえるとして
ヒルベルト空間は、確率振幅を計算するための内積を与える、という重要な物理的役目を果たす。
期待値、不確定さ、代数演算の計算が要素のすべてについてできることから、これらの二乗積分関数を含む
部分空間は物理的と考えることができる。これら計算はヒルベルト空間のほかの要素では不可能だ。
双対空間Φ’と反双対空間Φ^Xはそれぞれ連続固有値のブラ、ケットを含んでいる。
これらブラ、ケットは(2.12)でのように任意のφ ∈ Φ を展開するのに使える。
こうしてヒルベルト空間だけではだめだがRHSはディラックの記法につかえる
31 甘泉法師 2015/01/20 (火) 09:39:13 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
It should be clear that the rigged Hilbert space is just a combination of the Hilbert
space with distribution theory. This combination enables us to deal with singular objects
such as bras, kets, or Dirac’s delta function, something that is impossible if we only use
the Hilbert space.
Even though it is apparent that the rigged Hilbert space should be an essential
part of the mathematical methods for Quantum Mechanics, one may still wonder if the
rigged Hilbert space is a helpful tool in teaching Quantum Mechanics, or rather is a
technical nuance. Because basic quantum mechanical operators such as P and Q are
in general unbounded operators with continuous spectrum [36], and because this kind
of operators necessitates the rigged Hilbert space, it seems pertinent to introduce the
rigged Hilbert space in graduate courses on Quantum Mechanics.
From a pedagogical standpoint, however, this section’s introduction to the rigged
Hilbert space is not sufficient. In the classroom, new concepts are better introduced
by way of a simple, exactly solvable example. This is why we shall construct the RHS
of the 1D rectangular barrier system. We note that this system does not have bound
states, and therefore in what follows we shall not deal with discrete spectrum.

RHSがヒルベルト空間と超関数論をいっしょにしたものにすぎないことは明らかだ。
ヒルベルト空間だけではできなかったブラ、ケット、ディラックのデルタ関数を扱うことが
いっしょになることでできるようになった。
RHSが量子力学の数学的方法の要であることが明らかだとしても、RHSが量子力学を教えたり
実際に使う場面で役立つかには疑問があろう。RHSは大学院で教えるのが適当に思える。
教育的な見地からは、この章の説明は十分でない。講義では新しい概念は容易に厳密に解ける
例で説明される。このため1次元の直法の壁の系でRHSを構成してみよう。
この系では束縛状態はないつまり離散的なスペクトルはない。
32 甘泉法師 2015/01/20 (火) 17:07:07 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。
>>27
>和訳見ながらの練習にはどうかなと思ったので質問いたしました

大意をとり省略したうえいいかげんに打ってます。
英語の試験にはよくない影響がある、と心配します。

脈絡ないですが

・Dirac "The Principles of Quantum Mechanics" をよんだとき内容だけでなく英語が明晰ですばらしいとおもいました。

・「高校生が英語で科学を勉強したら一石二鳥ですね。」と某大学の数学の先生に話したら
「数学の本で英語を知ったら悲惨なことになる。」とはずされたのを思い出しました。
33 甘泉法師 2015/01/20 (火) 22:46:33 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
2.4. Representations
2.4 表示

In working out specific examples, the prescriptions of Dirac’s formalism have to be
written in a particular representation. Thus, before constructing the RHS of the 1D
rectangular barrier, it is convenient to recall some of the basics of representations.
In Quantum Mechanics, the most common of all representations is the position
representation, sometimes called the x-representation. In the x-representation, the
position operator Q acts as multiplication by x. Since the spectrum of Q is (−∞,∞),
the x-representation of the Hilbert space H is given by the space L2. In this paper, we
shall mainly work in the position representation.
-------------------------
1次元障壁の例にはいるまえに表示の基礎を復習しよう。
例を扱うためディラック記法の表示をどれかにきめる必要がある。
もっともよくつかわれるのは座標表示(x-表示)だ。
座標表示では座標演算子Qはxをかけることとして働く。
Qのスペクトルは (−∞,∞)だから ヒルベルト空間Hのx-表示は L^2空間として与えられる。
この論文では座標表示を使っていこう。
34 甘泉法師 2015/01/20 (火) 22:48:49 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
In general, given an observable B, the b-representation is that in which the operator
B acts as multiplication by b, where the b’s denote the eigenvalues of B. If we denote
the spectrum of B by Sp(B), then the b-representation of the Hilbert space H is given
by the space L2(Sp(B), db), which is the space of square integrable functions f(b) with
b running over Sp(B). In the b-representation, the restrictions to purely continuous
spectrum of prescriptions (2.10a)-(2.13) become
<b|A|a> = a<b|a> , (2.28a)
<a|A|b> = a<a|b> , (2.28b)
<b|φ> = Z da <b|a><a|φ> , (2.28c)
δ(b − b′) = <b|b′> = ∫ da <b|a><a|b′>. (2.28d)
The “scalar product” <b|a> is obtained from Eq. (2.28a) as the solution of a differential
eigenequation in the b-representation. The <b|a> can also be seen as transition elements
from the a- to the b-representation. Mathematically, the <b|a> are to be treated as
distributions, and therefore they often appear as kernels of integrals. In this paper, we
shall encounter a few of these “scalar products” such as <x|p>, <x|x′> and <x|E±>l,r.

--------------------
一般に、オブザーバブルBがあると、b−表示とは Bの作用が固有値bを掛ければいいような表示だ。
BのスペクトルをSp(B)とすると ヒルベルト空間Hのb-表示は空間 L^2(Sp(B),db)であたえられる。
ここで二乗積分可能関数f(b)のbはSp(B)の上を走る。連続なスペクトルだけの場合 b−表示では
(2.10a)-(2.13) はつぎのようになる。

<b|A|a> = a<b|a> , (2.28a)
<a|A|b> = a<a|b> , (2.28b)
<b|φ> = ∫ da <b|a><a|φ> , (2.28c)
δ(b − b′) = <b|b′> = ∫ da <b|a><a|b′>. (2.28d)

「内積」<b|a>は(2.28)のように、b-表示の微分固有値方程式の解として得られる。
<b|a>は、a-表示からb-表示への変換係数ともみなせる。
数学では<b|a> は超関数として扱われる、だから積分の核によく現れる。
この論文では<x|p>, <x|x′> や <x|E±>l,r のような「内積」がでてくる。
35 甘泉法師 2015/01/20 (火) 22:52:18 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
3. Example: The one-dimensional rectangular barrier potential
3. 例 1次元矩形障壁ポテンシャル

The example we consider in this paper is supposed to represent a spinless particle moving
in one dimension and impinging on a rectangular barrier. The observables relevant to
this system are the position Q, the momentum P, and the Hamiltonian H. In the
position representation, Q and P are respectively realized by the differential operators
(2.17) and (2.22), whereas H is realized by
<tex>Hf(x) = -(\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x))f(x)</tex> (3.1)
where V(x)=
0 −∞ < x < a
V0 a < x < b
0 b < x < ∞ (3.2)
is the 1D rectangular barrier potential.

---------------
スピンのない粒子が矩形障壁のある1次元を運動する例をとりあげよう。
オブザーバブルは座標Q 運動量P ハミルトニアンHで、座標表示をつかう。
Qは(2.17)Pは(2.22)で Hは
<tex>Hf(x) = -(\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x))f(x)</tex> (3.1)
ここで V(x)=
 0 −∞ < x < a
 V0 a < x < b
 0 b < x < ∞ (3.2)
であたえられる。
36 甘泉法師 2015/01/21 (水) 19:08:24 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 02/07 (土) 20:35 [修正] [削除]
Formally, these observables satisfy the following
commutation relations:
<tex>[Q, P] = iI</tex> , (3.3a)
<tex>[H,Q] =-i\frac{\hbar}{m}P </tex>, (3.3b)
<tex>[H, P] = i\hbar \frac{\partial V}{\partial x}</tex>. (3.3c)
Since our particle can move in the full real line, the Hilbert space on which the
differential operators (2.17), (2.22) and (3.1) should act is L2 of Eq. (2.18). The
corresponding scalar product is
 $(f, g) =\int^\infty_{-\infty}dx \overline{f(x)}g(x) , f, g \in L^2$  , (3.4)
where  $\overline{f(x)}$  denotes the complex conjugate of f(x).
The differential operators (2.17), (2.22) and (3.1) induce three linear operators on
the Hilbert space L^2. These operators are unbounded [10], and therefore they cannot
be defined on the whole of L^2, but only on the following subdomains of L2 [10]:
D(Q) ={f ∈ L^2 | xf ∈ L^2}, (3.5a)
D(P) ={f ∈ L^2 | f ∈ AC, Pf ∈ L^2}, (3.5b)
D(H) ={f ∈ L^2 | f ∈ AC^2, Hf ∈ L^2}, (3.5c)
where, essentially, AC is the space of functions whose derivative exists, and AC2 is the
space of functions whose second derivative exists (see Ref. [10] for more details). On
these domains, the operators Q, P and H are self-adjoint [10].
---------------
これらのオブザーバブルは次の交換関係を満たす。
<tex>[Q, P] = iI</tex> , (3.3a)
<tex>[H,Q] =-i\frac{\hbar}{m}P </tex>, (3.3b)
<tex>[H, P] = i\hbar \frac{\partial V}{\partial x}</tex>. (3.3c)
粒子は線上のどこにも動いていくから微分演算子(2.17), (2.22) (3.1) がはたらくヒルベルト空間
は (2.18)のL^2だ。

対応する内積は
<tex>(f, g) =\int^\infty_{-\infty}dx \overline{f(x)}g(x) , f, g \in L^2 </tex>, (3.4)
ここで  $\overline{f(x)}$  は f(x)の複素共役をあらわしている。

微分演算子 (2.17), (2.22) (3.1) はヒルベルト空間L^2上のみっつの線形演算子だ。
これらの演算子は有界でなく [10],したがって全 L^2では定義されずに次のような部分空間で定義される [10]:
D(Q) ={f ∈ L^2 | xf ∈ L^2}, (3.5a)
D(P) ={f ∈ L^2 | f ∈ AC, Pf ∈ L^2}, (3.5b)
D(H) ={f ∈ L^2 | f ∈ AC^2, Hf ∈ L^2}, (3.5c)
ここで もちろんAC は導関数が存在するような関数の空間だ。 AC^2 は二階導関数が存在するような関数の空間だ。 (より詳しくは [10]参照). これらの領域ではQ, P と H は自己共役だ [10]。
37 甘泉法師 2015/01/21 (水) 19:10:40 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
In our example, the eigenvalues (i.e., the spectrum) and the eigenfunctions of the
observables are provided by the Sturm-Liouville theory. Mathematically, the eigenvalues
and eigenfunctions of operators extend the notions of eigenvalues and eigenvectors of a
matrix to the infinite-dimensional case. The Sturm-Liouville theory tells us that these
operators have the following spectra [10]:
Sp(Q) = (−∞,∞) , (3.6a)
Sp(P) = (−∞,∞) , (3.6b)
Sp(H) = [0,∞) . (3.6c)
-----------------
この例では,固有値 (つまりスペクトル)とオブザーバブルの固有関数は Sturm-Liouville 理論で
求められる。数学的にはオペレータの固有値と固有関数は無限次元行列で記される。
Sturm-Liouville の方法からオペレータは次のスペクトルをもつ [10]:
Sp(Q) = (−∞,∞) , (3.6a)
Sp(P) = (−∞,∞) , (3.6b)
Sp(H) = [0,∞) . (3.6c)
38 甘泉法師 2015/01/21 (水) 19:14:04 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 01/22 (木) 12:30 [修正] [削除]
These spectra coincide with those we would expect on physical grounds. We expect the
possible measurements of Q to be the full real line, because the particle can in principle
reach any point of the real line. We also expect the possible measurements of P to be
the full real line, since the momentum of the particle is not restricted in magnitude or
direction. The possible measurements of H have the same range as that of the kinetic
energy, because the potential does not have any wells of negative energy, and therefore
we expect the spectrum of H to be the positive real line.
----------------
これは物理とも合致する。座標 Q の測定は実軸すべてにわたるだろう、なぜなら粒子は原則として
実軸上のどの点にもいけるだろうから。運動量 P の測定は実軸すべてにわたるだろう、なぜならば自由粒子の
運動量のおおきさと方向に制限はないから。エネルギーHの測定は運動エネルギーの測定と同じスペクトル
だろう、なぜならマイナスのエネルギー井戸は存在していないので。だからエネルギー P の測定は実軸の正のすべてにわたるだろう。
39 甘泉法師 2015/01/21 (水) 19:17:57 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
To obtain the eigenfunction corresponding to each eigenvalue, we have to solve the
eigenvalue equation (2.10b) for each observable. Since we are working in the position
representation, we have to write Eq. (2.10b) in the position representation for each
observable:
<x|Q|x′> = x′<x|x′> , (3.7a)
<x|P|p> = p<x|p> , (3.7b)
<x|H|E> = E<x|E> . (3.7c)
By recalling Eqs. (2.17), (2.22) and (3.1), we can write Eqs. (3.7a)-(3.7c) as
x<x|x′> = x′<x|x′>, (3.8a)
<tex>-i\frac{d}{dx}<x|p> = p<x|p></tex> , (3.8b)
(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V (x))<x|E> = E<x|E>. (3.8c)
For each position x′, Eq. (3.8a) yields the corresponding eigenfunction of Q as a delta
function,
<x|x′>=δ(x − x′) . (3.9)
For each momentum p, Eq. (3.8b) yields the corresponding eigenfunction of P as a plane
wave,
<x|p> = \frac{e^{\frac{ipx}{\hbar}}{\sqrt{2\pi\hbar}. (3.10)
For each energy E, Eq. (3.8c) yields the following two linearly independent
eigenfunctions [10]:
-----------------------

固有値と対応する固有ベクトルをそれぞれ求めるためには
固有値方程式 (2.10b) をそれぞれのオブザーバブルについてとかねば成らない
今は座標表示をつかっているから Eq. (2.10b)を座標表示で書かないといけない:
<x|Q|x′> = x′<x|x′> , (3.7a)
<x|P|p> = p<x|p> , (3.7b)
<x|H|E> = E<x|E> . (3.7c)
(2.17), (2.22) (3.1)に注意して、式 (3.7a)-(3.7c) を書き換えると
x<x|x′> = x′<x|x′>, (3.8a)
<tex>-i\frac{d}{dx}<x|p> = p<x|p></tex> , (3.8b)
<tex>(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V (x))<x|E> = E<x|E></tex>. (3.8c)
位置x'ごとに式 (3.8a) は Qの固有関数をδ関数、
<x|x′>=δ(x − x′) . (3.9)
とあたえる。
運動量 pごとに,式 (3.8b)は P の対応する固有関数を平面波,
<tex><x|p> = \frac{e^{\frac{ipx}{\hbar}}}{\sqrt{2\pi\hbar}}</tex>. (3.10)
とあたえる。
エネルギー Eごとに, 式 (3.8c) は次のふたつの線形独立な固有関数 [10]をえる。
40 甘泉法師 2015/01/21 (水) 19:19:41 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
To obtain the eigenfunction corresponding to each eigenvalue, we have to solve the
eigenvalue equation (2.10b) for each observable. Since we are working in the position
representation, we have to write Eq. (2.10b) in the position representation for each
observable:
<x|Q|x′> = x′<x|x′> , (3.7a)
<x|P|p> = p<x|p> , (3.7b)
<x|H|E> = E<x|E> . (3.7c)
By recalling Eqs. (2.17), (2.22) and (3.1), we can write Eqs. (3.7a)-(3.7c) as
x<x|x′> = x′<x|x′>, (3.8a)
<tex>-i\frac{d}{dx}<x|p> = p<x|p></tex> , (3.8b)
(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V (x))<x|E> = E<x|E>. (3.8c)
For each position x′, Eq. (3.8a) yields the corresponding eigenfunction of Q as a delta
function,
<x|x′>=δ(x − x′) . (3.9)
For each momentum p, Eq. (3.8b) yields the corresponding eigenfunction of P as a plane
wave,
<tex><x|p> = \frac{e^{\frac{ipx}{\hbar}}}{\sqrt{2\pi\hbar}}</tex>.
For each energy E, Eq. (3.8c) yields the following two linearly independent
eigenfunctions [10]:
-----------------------

固有値と対応する固有ベクトルをそれぞれ求めるためには
固有値方程式 (2.10b) をそれぞれのオブザーバブルについてとかねば成らない
今は座標表示をつかっているから Eq. (2.10b)を座標表示で書かないといけない:
<x|Q|x′> = x′<x|x′> , (3.7a)
<x|P|p> = p<x|p> , (3.7b)
<x|H|E> = E<x|E> . (3.7c)
(2.17), (2.22) (3.1)に注意して、式 (3.7a)-(3.7c) を書き換えると
x<x|x′> = x′<x|x′>, (3.8a)
<tex>-i\frac{d}{dx}<x|p> = p<x|p></tex> , (3.8b)
<tex>(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V (x))<x|E> = E<x|E></tex>. (3.8c)
位置x'ごとに式 (3.8a) は Qの固有関数をδ関数、
<x|x′>=δ(x − x′) . (3.9)
とあたえる。
運動量 pごとに,式 (3.8b)は P の対応する固有関数を平面波,
<tex><x|p> = \frac{e^{\frac{ipx}{\hbar}}}{\sqrt{2\pi\hbar}}</tex>. (3.10)
とあたえる。
エネルギー Eごとに, 式 (3.8c) は次のふたつの線形独立な固有関数 [10]をえる。
41 甘泉法師 2015/01/21 (水) 19:21:03 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 01/22 (木) 13:35 [修正] [削除]
エネルギー Eごとに, 式 (3.8c) は次のふたつの線形独立な固有関数 [10]をえる。
<tex><x|E^+>_r = \sqrt{\frac{m}{2\pi k \hbar^2}}\times\left\{  \begin{array}{ll}T(k)e^{-ikx} & -\infty<x<a \\[4pt]A_r(k)e^{i\kappa x}+B_r(k)e^{-i\kappa x} & a<x<b \\[4pt]R_r(k)e^{ikx}+e^{-ikx} & b<x<\infty \end{array}\right.</tex>(3.11a)
<tex><x|E^+>_l = \sqrt{\frac{m}{2\pi k \hbar^2}}\times\left\{  \begin{array}{ll}e^{ikx} +R_l(k)e^{-ikx} & -\infty<x<a \\[4pt]A_l(k)e^{i\kappa x}+B_l(k)e^{-i\kappa x} & a<x<b \\[4pt]T(k)e^{ikx}+e^{-ikx} & b<x<\infty \end{array}\right.</tex>(3.11b)
where ここで
<tex>k =\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}</tex>,
<tex>\kappa =\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}</tex>, (3.12)

and where the coefficients that appear in Eqs. (3.11a)-(3.11b) can be easily found by
the standard matching conditions at the discontinuities of the potential [10]. Thus, in
contrast to the spectra of Q and P, the spectrum of H is doubly degenerate.
-------------------
式 (3.11a)-(3.11b) 中の係数はポテンシャルの不連続なところでの標準のあわせかたによって
簡単に求められる。こうして Q 、 Pのスペクトルとくらべると H のスペクトルは二重に縮重している。
42 甘泉法師 2015/01/21 (水) 22:05:31 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 01/22 (木) 13:33 [修正] [削除]
Physically, the eigenfunction <x|E+>_r represents a particle of energy E that impinges
on the barrier from the right (hence the subscript r) and gets reflected to the right with
probability amplitude Rr(k) and transmitted to the left with probability amplitude T(k),
see Fig. 1a. The eigenfunction hx|E+>_l represents a particle of energy E that impinges
on the barrier from the left (hence the subscript l) and gets reflected to the left with
probability amplitude Rl(k) and transmitted to the right with probability amplitude
T(k), see Fig. 1b.
Note that, instead of (3.11a)-(3.11b), we could choose another pair of linearly
independent solutions of Eq. (3.8c) as follows [10]:
---------------------
物理的には固有関数 <x|E+>_r はエネルギー E で右から(だから添え字r)きて、きたほうに反射される確率振幅Rr(k)と透過する確率振幅 T(k)をあらわす。図1a参照。
固有関数<x|E+>_l はエネルギーEで左から(だから添え字l)きて、きたほうに反射される確率振幅R_l(k)と透過する確率振幅 T(k)をあらわす。図1b参照。
(3.11a)-(3.11b)のかわりに方程式(3.8c)の別の線形独立な解をとることができる [10]:すなわち

<tex><x|E^->_r = \sqrt{\frac{m}{2\pi k \hbar^2}}\times\left\{  \begin{array}{ll}T^*(k)e^{ikx} & -\infty<x<a \\[4pt]A^*_r(k)e^{-i\kappa x}+B^*_r(k)e^{i\kappa x} & a<x<b \\[4pt]R^*_r(k)e^{-ikx}+e^{ikx} & b<x<\infty \end{array}\right.</tex>,(3.13a)
<tex><x|E^->_l = \sqrt{\frac{m}{2\pi k \hbar^2}}\times\left\{  \begin{array}{ll}e^{-ikx} +R^*_l(k)e^{ikx} & -\infty<x<a \\[4pt]A^*_l(k)e^{-i\kappa x}+B^*_l(k)e^{i\kappa x} & a<x<b \\[4pt]T^*(k)e^{-ikx} & b<x<\infty \end{array}\right.</tex>,(3.13b)
where the coefficients of these eigenfunctions can also be calculating by means of the
standard matching conditions at x = a, b [10].
-------------------
ここで、これら固有関数の係数はx=a,bでの通常の接続方法により計算できる。
43 甘泉法師 2015/01/21 (水) 22:07:39 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
The eigenfunction <x|E−>_r represents
two plane waves―one impinging on the barrier from the left with probability amplitude
T∗(k) and another impinging on the barrier from the right with probability amplitude
R∗r (k)―that combine in such a way as to produce an outgoing plane wave to the right, see
Fig. 2a. The eigenfunction hx|E−il represents two other planes waves―one impinging
on the barrier from left with probability amplitude R∗l (k) and another impinging on the
barrier from the right with probability amplitude T∗(k)―that combine in such a way
as to produce an outgoing wave to the left, see Fig. 2b. The eigensolutions hx|E−ir,l
correspond to the final condition of an outgoing plane wave propagating away from the
barrier respectively to the right and to the left, as opposed to hx|E+ir,l, which correspond
to the initial condition of a plane wave that propagates towards the barrier respectively
from the right and from the left.
The eigenfunctions (3.9), (3.10), (3.11a)-(3.11b) and (3.13a)-(3.13b) are not square
integrable, that is, they do not belong to L2. Mathematically speaking, this is the reason
why they are to be dealt with as distributions (note that all of them except for the delta
function are also proper functions). Physically speaking, they are to be interpreted in
analogy to electromagnetic plane waves, as we shall see in Section 5.
------------------------

固有関数 <x|E−>_r は二つの平面波(左から障壁にぶつかる確率振幅T∗(k)と右から障壁にぶつかる確率振幅 R∗_r (k))があわさり右へ出て行く平面波をつくる様をあらわしている。図 2a.参照
固有関数 <x|E−>_l は二つの平面波(左から障壁にぶつかる確率振幅R*_l(k)と右から障壁にぶつかる確率振幅 T∗ (k))があわさり左へ出て行く平面波をつくる様をあらわしている。図 2b.参照

固有解 <hx|E−>r,lはそれぞれ終りの状態が右か左へつたわる波になることに対応している。
一方、<x|E+>r,lは始めの状態がそえぞれ右と左につたわる波だ。
固有関数 (3.9), (3.10), (3.11a)-(3.11b) (3.13a)-(3.13b) はどれもみな二乗積分可能でない。
よってL^2に属さない。 だから数学的には超関数として扱わねばならない。
(δ関数を除くほかのすべては固有関数でもあることに注目)
物理的には5章でみるように電磁波の平面波とのアナロジーをたてることができる。
44 甘泉法師 2015/01/21 (水) 22:11:19 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
4. Construction of the rigged Hilbert space
4. RHSの構築

In the previous section, we saw that the observables of our system are implemented by
unbounded operators with continuous spectrum. We also saw that the eigenfunctions
of the observables do not belong to L2. Thus, as we explained in Sec. 2, we need to
construct the rigged Hilbert spaces of Eqs. (1.1) and (1.2) [see Eqs. (4.8) and (4.21)
below]. We start by constructing .
----------------
前章で、オブザーバブルが有界でなく、連続スペクトルをもち、固有関数がL^2 に属さないことをみた。よって2章でみたように(1.1)

(1.2)[以下の式 (4.8) (4.21)〕のRHSが必要になる。順に構築していこう。
45 甘泉法師 2015/01/22 (木) 21:04:48 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
4.1. Construction of φ ≡ S(R {a, b})
------------
4.1 φ ≡ S(R {a, b})をつくること 

The subspace φ is given by Eq. (2.26). In view of expressions (2.17), (2.22) and (3.1),
the elements of  must fulfill the following conditions:
• they are infinitely differentiable, so the differentiation operation can be applied as
many times as wished,
• they vanish at x = a and x = b, so differentiation is meaningful at the discontinuities
of the potential [37],
• the action of all powers of Q, P and H remains square integrable.
--------------
(2.26)できまる部分空間φの要素は、(2.17), (2.22) (3.1)式から次の条件を満たす。
・無限階微分可能、つまり微分演算はすきなだけいくらも施すことができること。
・ x = a と x = bでゼロであること、つまり微分はポテンシャルポテンシャルの不連続なところでも意味をもつこと [37],
・Q,P,Hのどんなべきを作用させても二乗積分可能であること
46 甘泉法師 2015/01/22 (木) 21:07:11 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Hence, よって
<tex>\Phi= \{\phi \in L^2 | \phi \in C^\infty (R), \phi^{(n)}(a)= \phi^{(n)}(b) = 0 ,\ \  n = 0, 1, . . . ,\ \ \ \ \ P^nQ^mH^l\phi(x) \in L^2 , n,m, l = 0, 1, . . \}</tex> , (4.1)

where C^∞(R) is the collection of infinite differentiable functions, and φ^(n) denotes the
nth derivative of '. From the last condition in Eq. (4.1), we deduce that the elements
of Φ satisfy the following estimates:
-----------------
ここで C^∞(R) は無限階微分可能な関数の集合、φ^(n) はn階のφの導関数.

From the last condition in Eq. (4.1), we deduce that the elements
of Φ satisfy the following estimates:
----------------
(4.1)式の最後の条件から、Φの要素は次の評価を満たす。

<tex>||\phi||_{n,m,l} \equiv\sqrt{\int^\infty_\infty dx |P^nQ^mH^l\phi(x)|^2} < \infty, n,m,l = 0, 1, . . . . </tex>(4.2)
47 甘泉法師 2015/01/22 (木) 21:08:54 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 02/07 (土) 20:58 [修正] [削除]
These estimates mean that the action of any combination of any power of the observables
remains square integrable. For this to happen, the functions '(x) must be infinitely
differentiable and must fall off at infinity faster than any polynomial. The estimates (4.2)
induce a topology on , that is, they induce a meaning of convergence of sequences, in
the following way. A sequence {φ_α} Φ-converges to φ when {φ_α} converges to φ with
respect to all the estimates (4.2),
-------------------
この評価は、つまりオブザーバブルのどんなべきの組み合わせを作用させても二乗積分可能ということだ。
そうなるためには関数 φ(x) は無限階微分可能で、無限遠にむけてどんな多項式よりも早く落ちることが必要だ。

評価 (4.2)から Φに位相topology τ、つまり収束列をつくることができる。
収束列 {φ_α} がφに収束するとは、φ_αが評価(4.2)のすべてに関してφに収束することだ つまり

<tex>\phi_\alpha \rightarrow^{\tau_\Phi}_{\alpha \rightarrow \infty}\phi </tex> if <tex>||\phi_\alpha-\phi||_{n,m,l} \rightarrow_{\alpha \rightarrow \infty}0,n,m,l=0,1,..</tex>(4.3)
48 甘泉法師 2015/01/22 (木) 21:10:16 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 21:53 [修正] [削除]
Intuitively, a sequence φ_α converges to φ if whenever we follow the terms of the sequence,
we get closer and closer to the limit point φ with respect to a certain sense of closeness.
In our system, the notion of closeness is determined by the estimates || ||n,m,l, which
originate from the physical requirements that led us to construct .
-----------------
いつでも列をたどれば、あるきまった意味の「近さ」についていくらでも極限点φに迫るならば列 φ_α は φ に収束する
というのが直観的な説明だ。
ここでみている系では、「近さ」とは 物理的な要請であった|| ||n,m,l をみることだ。
49 甘泉法師 2015/01/23 (金) 23:27:59 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 02/07 (土) 21:52 [修正] [削除]
From Eqs. (4.1) and (4.2), we can see that Φ is very similar to the Schwartz space
S(R), the major differences being that the derivatives of the elements of Φ vanish at
x = a, b and that Φ is not only invariant under P and Q but also under H. This is why
we shall write
-----------------
(4.1)と(4.2)から、Φはシュワルツ空間S(R)にきわめて近いことがわかる。
主な違いはΦの要素のすべての次数の導関数がx=a,bでゼロであることと
P,QだけでなくHについも不変でるあること、だ。よって以下のように書ける。

Φ ≡ S(R- {a, b}) . (4.4)

It is always a good, though lengthy exercise to check that S(R-{a, b}) is indeed
invariant under the action of the observables,
---------
S(R-{a, b})が実際、オブザーバブルの作用で不変であることを確認するのは面倒だけれどよい演習になる。

AS(R {a, b}) ⊂ S(R {a, b}) , A = P,Q,H . (4.5)

This invariance guarantees that the expectation values
この不変性から期待値

(φ,A^nφ) , φ ∈ S(R {a, b}) , A = P,Q,H, n = 0, 1, . . . (4.6)
are finite, and that the commutation relations (3.3a)-(3.3c) are well defined [38]. It
can also be checked that P, Q and H, which are not continuous with respect the
topology of the Hilbert space L2, are now continuous with respect to the topology 
of S(R-{a, b}) [10, 11].
---------
は有限で、交換関係(3.3a)-(3.3c) がよく定義できる [38]。
P, Q, H はヒルベルト空間L^2については連続でないが、 S(R-{a, b})の位相topology については連続であることも確認できる [10, 11]。
50 甘泉法師 2015/01/24 (土) 08:53:13 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
4.2. Construction of φ^× ≡ S^×(R- {a, b}). The Dirac kets
4.2 ディラックケット φ^× ≡ S^×(R- {a, b})の構成

The space Φ^× is simply the collection of τΦ-continuous antilinear functionals over Φ  [26]. By combining the spaces Φ, H and Φ^×, we obtain the RHS of our system,
Φ ⊂ H ⊂ Φ^× , (4.7)
which we denote in the position representation by
S(R- {a, b}) ⊂ L^2 ⊂ S×(R- {a, b}) . (4.8)
------------
空間Φ^× とはΦの上のτ_Φ-連続な反線形汎関数の集合をさす [26]. 
三つの空間 Φ, H と Φ^×によって、考えている系の RHS ができる。
Φ ⊂ H ⊂ Φ^× , (4.7)
座標表示ではこれは以下のように記される。
S(R- {a, b}) ⊂ L^2 ⊂ S^×(R- {a, b}) . (4.8)
51 甘泉法師 2015/01/24 (土) 10:50:19 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
The space S^×(R- {a, b}) is meant to accommodate the eigenkets |p>, |x> and |E±>_il,r of
P, Q and H. In the remainder of this subsection, we construct these eigenkets explicitly
and see that they indeed belong to S^×(R- {a, b}). We shall also see that |p>i, |x> and
|E±>_l,r are indeed eigenvectors of the observables.
The definition of a ket is borrowed from the theory of distributions as follows [16].
Given a function f(x) and a space of test functions, the antilinear functional F that
corresponds to the function f(x) is an integral operator whose kernel is precisely f(x):
---------------
空間 S^×(R- {a, b}) には P, Q ,Hの固有ケット |p>, |x> , |E±>_il,r が収まる。
この章の残りではっきりとケットを構成してたしかに S^×(R- {a, b})にあることを見よう。
また|p>, |x>,|E±>_l,r がたしかにオブザーバブルの固有ベクトルであることを見よう。

ケットの定義には以下述べるように超関数の理論を借りてくることができる [16]。
関数f(x) と試験関数空間Φがあれば,f(x)に対応する反線形汎関数 F とはf(x)を核とする積分演算子で

<tex>F(\phi)=\int dx \overline{\phi(x)}f(x) , </tex> (4.9a)

which in Dirac’s notation becomes
ディラックの記法でいえば

<tex><\phi|F> =\int dx <\phi|x><x|f> . </tex> (4.9b)
52 甘泉法師 2015/01/24 (土) 11:03:01 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
It is important to keep in mind that, though related, the function f(x) and the functional
F are two different things, the relation between them being that f(x) is the kernel of F
when we write F as an integral operator. In the physics literature, the term distribution
is usually reserved for f(x).
----------
関数f(x)と汎関数Fは、Fを積分演算子でかくとf(x)が積分核になるという関係はあっても、異なるふたつのものであることを記銘しよう。
物理では積分核f(x)に用語「超関数」を当てる。
53 甘泉法師 2015/01/24 (土) 12:19:44 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Definition (4.9a) provides the link between the quantum mechanical formalism
and the theory of distributions. In practical applications, what one obtains from the
quantum mechanical formalism is the distribution f(x) (in this paper, the plane waves
 $\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{ipx}{\hbar}}$ , the delta function  $\delta(x-x')$  and the eigenfunctions <x|E±>_l,r). Once f(x) is
given, one can use definition (4.9a) to generate the functional |F>. Then, the theory of
distributions can be used to obtain the properties of the functional |F>, which in turn
yield the properties of the distribution f(x).
---------
定義 (4.9a) は量子力学の記法と超関数の理論の結びつきをあらわすものだ。
いつもつかう量子力学の記法ではf(x)は超関数だ。 (この論文では平面波
 $\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{ipx}{\hbar}}$ , デルタ関数  $\delta(x-x')$  ,エネルギー固有関数 <x|E±>_l,r)がそれにあたる).
f(x) が与えられれば 定義式 (4.9a) で汎関数l |F>が作られる。そして超関数の理論で汎関数 |F>, の性質を知ることができる、それは超関数 f(x)の性質でもある。
54 甘泉法師 2015/01/24 (土) 13:16:13 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
By using prescription (4.9a), we can define for each eigenvalue p the eigenket |p>
associated with the eigenfunction (3.10):
--------------
(4.9a)のやりかたで、固有値pで固有関数が(3.10)の固有ケット|p>を作ることができる。

<tex><\phi|p> \equiv \int_\infty^\infty dx \overline{\phi(x)}\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{ipx}{\hbar}}</tex> , (4.10a)
which, using Dirac’s notation for the integrand, becomes
被積分関数についてディラックの記法をつかえば

<tex><\phi|p> \equiv \int_{-\infty}^\infty dx <\phi|x><x|p></tex> . (4.10b)
Similarly, for each x, we can define the ket |x> associated with the eigenfunction (3.9)
of the position operator as
<tex><\phi|x> \equiv \int_{-\infty}^\infty dx'\overline{\phi(x')}\delta(x-x')</tex> , (4.11a)
which, using Dirac’s notation for the integrand, becomes
被積分関数についてディラックの記法をつかえば
<tex><\phi|x>\equiv \int_{-\infty}^\infty dx'<\phi|x'><x'|x> </tex> . (4.11b)

The definition of the kets |E±il,r that correspond to the Hamiltonian’s eigenfunctions
(3.11a)-(3.11b) and (3.13a)-(3.13b) follows the same prescription:
------------
ケット |E±>l,r はハミルトニアンの固有関数(3.11a)-(3.11b) と (3.13a)-(3.13b)をつかって
同じ処方で定義される。

<tex><\phi|E_\pm>_{l,r} \equiv \int_\infty^\infty dx \overline{\phi(x)}<x|E^\pm>_{l,r} </tex> , (4.12a)
that is, つまり
<tex><\phi|E_\pm>_{l,r} \equiv \int_{-\infty}^\infty dx<\phi|x><x|E^\pm>_{l,r}  </tex> . (4.12b)

(Note that this equation defines four different kets.)
(この式は4つの違うケットを定義することに注意)

One can now show that the
definition of the kets |p>, |x> and |E±>_l,r makes sense, and that these kets indeed belong
to the space of distributions S×(R {a, b}) [10].

これでケット |p>, |x> 、|E±>_l,r の定義が意味をもちこれらのケットが超関数の空間 $S^X(R-\{a, b\})$ にあることがわかった [10]。
55 甘泉法師 2015/01/24 (土) 14:18:25 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
As in the general case of Eqs. (4.9a)-(4.9b), it is important to keep in mind the
difference between eigenfunctions and kets. For instance, hx|pi is an eigenfunction of a
differential equation, Eq. (3.8b), whereas |pi is a functional, the relation between them
being given by Eq. (4.10b). A similar relation holds between hx′|xi and |xi, and between
hx|E±il,r and |E±il,r. It is also important to keep in mind that “scalar products” like
hx|pi, hx′|xi or hx|E±il,r do not represent an actual scalar product of two functionals;
these “scalar products” are simply solutions to differential equations.
-----------------
式 (4.9a)-(4.9b)から一般的に固有関数とケットの違いを肝に命じておくのが重要だ。
たとえば<x|p>は微分方程式(3.8b)の固有関数だ。他方、, |p>は汎関数だ。
両者の関係は式(4.10b)のとおり。
<x′|x> と |x>, <x|E±>l,r と |E±>l,rについても違いは同様。

また<x|p>, <x′|x> や <x|E±>l,rのような汎関数どうしの「内積」 は本当にふたつの汎関数の内積なのでない
ことにも注意。 これらの「内積」は単に微分方程式の解、というだけだ。
56 甘泉法師 2015/01/24 (土) 14:59:58 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
We now turn to the question of whether the kets |pi, |xi and |E±il,r are eigenvectors
of the corresponding observable [see Eqs. (4.17)-(4.19) below]. Since the observables act
in principle only on their Hilbert space domains, and since the kets lie outside the Hilbert
space, we need to extend the definition of the observables from Φ into Φ^×, in order to
specify how the observables act on the kets. The theory of distributions provides us
with a precise prescription of how an observable acts on Φ^×, and therefore of how it
acts on the kets, as follows [16].
------------
ケット |p>, |x>, |E±>l,r が、対応するオブザーバブルの固有ベクトルであるのかどうかみてみよう [以下の式 Eqs. (4.17)-(4.19)を見よ]. 

オブザーバブルは元来ヒルベルト空間の領域にしか働かない。
そしてケットはヒルベルト空間の外にあるから,ケットに作用できるようオブザーバルの定義域をΦからΦ^Xにひろげないと行けない。超関数の理論により精密にこの定義域の拡大ができる[16].
57 甘泉法師 2015/01/24 (土) 16:01:29 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
The action of a self-adjoint operator A on a functional
|F> ∈ $\Phi^X$  is defined as
<tex><\phi|A|F>\equiv<A\phi|F></tex> , for all  $\phi \in \Phi$  . (4.13)
Note that this definition extends the Hilbert space definition of a self-adjoint operator,
<tex>(f,Ag) = (Af, g) </tex>, (4.14)
which is valid only when f and g belong to the domain of A.
In turn, Eq. (4.13) can
be used to define the notion of eigenket of an observable: A functional |a> in Φ^× is an
eigenket of A with eigenvalue a if
------------

自己共役演算子Aが汎関数|F> ∈ $\Phi^X$ に作用するしかたは
<tex><\phi|A|F>\equiv<A\phi|F></tex> すべての  $\phi \in \Phi$  について (4.13)
と定義される。 この定義は以下の自己共役演算子の定義の拡張であることに注意。
<tex>(f,Ag) = (Af, g) </tex>, (4.14)
この式は f と g が領域 Aに属するときに適用されるものだった。
逆に、式 (4.13) はオブザーバブルの固有ケットの記法を定義するものとしても使える。
: Φ^× の要素の汎関数|a> が A の固有値 aの固有ケットであるとは以下の式がなりたつことだ。、

<tex><\phi|A|a> = <A\phi|a> = a<\phi|a></tex>, for all φ in Φ
Φの要素φのすべてについて. (4.15)
58 甘泉法師 2015/01/24 (土) 18:20:55 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
When the “left sandwiching” of this equation with the elements of is understood and
therefore omitted, we shall simply write
<tex>A|a> = a|a> </tex> , (4.16)
which is just Dirac’s eigenket equation (2.10b). Thus, Dirac’s eigenket equation acquires
a precise meaning through Eq. (4.15), in the sense that it has to be understood as “left
sandwiched” with the wave functions φ of Φ.
By using definition (4.15), one can show that |p>, |x> and |E±>l,r are indeed
eigenvectors of P, Q and H, respectively [10]:
-----------
この式と要素で“左からはさむ”という約束の下でその要素を書くのを省略すれば簡単に
<tex>A|a> = a|a> </tex> , (4.16)
と書ける。これはディラックの固有ケット方程式(2.10b)だ。

このようにディラックの固有ケットの方程式には正確な意味は、
Φの波動関数φで“左からはさむ”ということにおいて、式(4.15)で与えられる。

(4.15)の定義の採用によって |p>, |x> と|E±>l,r はたしかにそれぞれ P, Q Hの固有ベクトルだ[10]。

<tex>P|p> = p|p> , p \in R</tex> , (4.17)
<tex>Q|x> = x|x> , x \in R</tex> , (4.18)
<tex>H|E^\pm>_{l,r} = E|E^\pm>_{l,r} , E \in [0,\infty)</tex> . (4.19)
59 甘泉法師 2015/01/24 (土) 20:27:43 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
4.3. Construction of Φ′≡ S′(R- {a, b}). The Dirac bras
4.3. Φ′≡ S′(R- {a, b})の構成. ディラックブラ

In complete analogy with the construction of the Dirac kets, we construct in this
subsection the Dirac bras <p|, <x| and l,r_<±E| of P, Q and H. Mathematically, the
Dirac bras are distributions that belong to the space Φ′, which is the space of linear
functionals over Φ [26]. The corresponding RHS is
ディラックケットをつくたのと全く同様にして、この章ではP, Q 、H.の ディラックブラ<p|, <x| 、 l,r_<±E| をつくろう。
ディラックブラは、Φ上の線形汎関数の空間Φ’に属する超関数だ。対応するRHSは
<tex>\Phi\subset H \subset \Phi'</tex> , (4.20)
which we denote in the position representation by 座標表示で記せば
<tex>S(R- \{a, b\}) \subset L^2 \subset S'(R- \{a, b\}) </tex> . (4.21)
60 甘泉法師 2015/01/24 (土) 20:31:49 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Likewise the definition of a ket, the definition of a bra is borrowed from the theory
of distributions [16]. Given a function f(x) and a space of test functions Φ, the linear
functional  $\tilde{F}$  generated by the function f(x) is an integral operator whose kernel is the
complex conjugate of f(x):

ケットのときと同じくブラの定義は超関数から借りてこれる[16]。
関数f(x)と試験関数空間Φが与えられれば、関数f(x)から生成される線形汎関数 $\tilde{F}$ はf(x)の複素共役を核とする積分だ。
<tex>\tilde{F}(\phi) = \int dx \phi(x)\overline{f(x)} </tex> , (4.22a)
which in Dirac’s notation becomes  ディラックの記法だと
<tex><F|\phi> =\int dx <f|x><x|\phi></tex> . (4.22b)
61 甘泉法師 2015/01/24 (土) 20:44:55 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Note that this definition is very similar to that of a linear functional, Eq. (4.9a), except
that the complex conjugation affects f(x) rather than φ(x), which makes  $\tilde{F}$  linear rather than antilinear. Likewise the antilinear case (4.9a), it is important to keep in mind that,
though related, the function f(x) and the functional  $\tilde{F}$  are two different objects, the
relation between them being that  ${\overline f(x)}$  is the kernel of  $\tilde{F}$  when we write ˜  $\tilde{F}$  as an integral operator.

この定義は線形汎関数(4.9a)と同じだが、複素共役をとるのがφ(x)でなくf(x)のほうになっているのに
注意。これによって $\tilde{F}$ は反線形でなく線形になる。
同様に 反線形だった(4.9a)のときと同様、関数 f(x) と汎関数  $\tilde{F}$  は  ${\overline f(x)}$  が積分演算子として  $\tilde{F}$  の核であるという関係はあるのだが、ふたつの異なったものであることに注意しよう。

By using prescription (4.22a), we can now define for each eigenvalue p the eigenbra
<p| associated with the eigenfunction (3.10):
(4.22a)でのやりかたで固有関数(3.10)とむすびついた固有ブラ<p|は、

<tex><p|\phi> \equiv \int_{-\infty}^\infty dx \phi(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{-ipx}{\hbar}}</tex> , (4.23a)
which, using Dirac’s notation for the integrand, becomes 被積分関数にディラックの記法をつかい

<tex><p|\phi>\equiv\int_{-\infty}^\infty dx <p|x><x|\phi> </tex> . (4.23b)

Comparison with Eq. (4.10a) shows that the action of <p| is the complex conjugate of
the action of |p>,
(4.10a)との比較から <p|への作用とは|p>への作用の複素共役だ。

<tex><p|\phi> = \overline{<\phi|p>}</tex> , (4.24)
and that
<tex><p|x> = \overline{<x|p>} =\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{-ipx}{\hbar}} </tex> . (4.25)
62 甘泉法師 2015/01/24 (土) 21:27:15 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
The bra <x| is defined as ブラ<x|の定義式は
<tex><x|\phi>\equiv\int_{-\infty}^\infty dx'\phi(x')\delta(x-x') </tex> , (4.26a)
which, using Dirac’s notation for the integrand, becomes ディラックの記法を被積分関数につかうと
<tex><x|\phi>\equiv\int_{-\infty}^\infty dx' <x|x'><x'|\phi> </tex> . (4.26b)
Comparison with Eq. (4.11a) shows that the action of <x| is complex conjugated to the
action of |x>,
(4.18a)と比べて<x|への作用とは|x>への作用の複素共役だとわかる。
<tex><x|\phi> = \overline{<\phi|x>}</tex> , (4.27)
and that また
<tex><x|x'>= <x'|x> =\delta (x-x')</tex> . (4.28)
Analogously, the eigenbras of the Hamiltonian are defined as
これと同様にハミルトニアンの固有ブラの定義は
<tex>\ _{l,r}<^\pm E|\phi>\equiv\int_{-\infty}^\infty dx \phi (x)\ _{l,r}<^\pm E|x> </tex> , (4.29a)
that is, すなわち
<tex>\ _{l,r}<^\pm E|\phi>\equiv\int_{-\infty}^\infty dx \ _{l,r}<^\pm E|x><x|\phi></tex> , (4.29b)
where ここで
<tex>\ _{l,r}<^\pm E|x> = \overline{<x|E^\pm>_{l,r}} </tex> . (4.30)
(Note that in Eq. (4.29a) we have defined four different bras.)
(式(4.29a)は4つの異なるブラを定義していることに注意)

Comparison of Eq. (4.29a)with Eq. (4.12a) shows that the actions of the bras l,r<±E| are the complex conjugates of the actions of the kets |E±i>l,r:
(4.29a)と(4.12a)を見比べると、ブラl,r<±E|への作用は、ケット |E±i>l,rへの作用の複素共役
だとわかる。
<tex>\ _{l,r}<^\pm E|\phi>=\overline{<\phi|E^\pm>}_{l,r} </tex> . (4.31)

Now, by using the RHS mathematics, one can show that the definitions of <p|, <x| and
l,r<±E| make sense and that <p|, <x| and l,r<±E| belong to S′(R-{a, b}) [10].

こうしてRHSの数学を適用して <p|, <x| ,r<±E| が意味をなすこと、 <p|, <x| and l,r<±E| が S′(R-{a, b})にあること がわかった。
63 甘泉法師 2015/01/25 (日) 10:49:49 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Our next task is to see that the bras we just defined are left eigenvectors of the
corresponding observable [see Eqs. (4.35)-(4.37) below]. For this purpose, we need to
specify how the observables act on the bras, that is, how they act on the dual space
S′(R-{a, b}). We shall do so in analogy to the definition of their action on the kets, by
means of the theory of distributions [16]. The action to the left of a self-adjoint operator
A on a linear functional <F| ∈ Φ′ is defined as
--------
次はこうして定義したブラが対応するオブザーバブルの固有ベクトルであることを見よう。[以下の (4.35)-(4.37)式]
このためにはまずオブザーバブルがブラに作用するか、どのように双対空間S′(R-{a, b})に作用するかを見よう。
ケットのばあいにならって超関数論をつかって定義しよう [16].
線形汎関数<F| ∈ Φ′が自己共役演算子Aに左から作用するとは

<tex><F|A|\phi> \equiv <F|A\phi></tex> , for all  $\phi$  in  $\Phi$  . (4.32)
64 甘泉法師 2015/01/25 (日) 17:21:34 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Likewise definition (4.13), this definition generalizes Eq. (4.14). In turn, Eq. (4.32) can
be used to define the notion of eigenbra of an observable: A functional <a| in Φ′is an
eigenbra of A with eigenvalue a if
----
定義(4.13)と同じように,この定義は(4.14)を一般化したものだ。逆に式 (4.32)は
オブザーバブルの固有ブラの記法の定義に使える。
Φ′のなかの汎関数 <a| が固有値aの固有ブラであるとはすべての $\Phi$  のなかの  $\phi$  について

<tex><a|A|\phi> = <a|A\phi> = a<a|\phi></tex> for  $\phi$  in  $\Phi$  , (4.33)

When the “right sandwiching” of this equation with the elements of  $\Phi$  is understood
and therefore omitted, we shall simply write
------
この式をΦの要素で右からはさむという前提で たとえ書かれていなくても

<tex><a|A = a<a|</tex> , (4.34)

which is just Dirac’s eigenbra equation (2.11b).
Thus,Dirac’s eigenbra equation acquires
a precise meaning through Eq. (4.33), in the sense that it has to be understood as “right
sandwiched” with the wave functions  $\phi$  of  $\Phi$ .
By using definition (4.33), one can show that <p|, <x| and l,r<±E| are indeed left
eigenvectors of P, Q and H, respectively [10]:
-------
これはなんのことはないディラックの固有ブラの方程式だ(2.11b)
ディラックの固有ブラ方程式は(4.33)を通して、Φにある波動関数φで「右からはさむ」という意味で理解される。
定義式(4.33)をつかい、<p|, <x|、l,r<±E| がP, Q、Hの「左」固有ベクトルだと示すことが出来る[10]。すなわち

<tex><p|P = p<p| ,p \in R</tex> , (4.35)
<tex><x|Q = x<x| , x\in R</tex> , (4.36)
<tex>\ _{l,r}<^\pm E|H = E \ _{l,r}<^\pm E|, E \in [0,∞) </tex> . (4.37)

It is worthwhile noting that, in accordance with Dirac’s formalism, there is a oneto-
one correspondence between bras and kets [39]; that is, given an observable A, to
each element a in the spectrum of A there correspond a bra <a| that is a left eigenvector
of A and also a ket |a> that is a right eigenvector of A. The bra <a| belongs to Φ′,
whereas the ket |a> belongs to Φ^×.
------
注意すべきこととして ディラック形式に従うと,ブラとケットは1対1対応する[39];
つまり, オブザーバブル Aがあれば、A のスペクトルの各要素は Aの左固有ベクトルであるブラ<a|
と右固有ベクトルであるケット |a> が対応する。
ブラ <a| は Φ′に,ケット |a> は Φ^× に属する。
65 甘泉法師 2015/01/25 (日) 18:20:42 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 01/26 (月) 20:14 [修正] [削除]
4.4. The Dirac basis expansions
----------------
4.4. ディラックの基底展開の方法

A crucial ingredient of Dirac’s formalism is that the bras and kets of an observable form
a complete basis system, see Eqs. (2.12) and (2.13). When applied to P, Q and H,
Eq. (2.13) yields
-------------
ディラック記法の要はブラとケットがオブザーバブルの完全基底をなすということだ。(2.12)(2.13)を参照。
P,Q,Hが与えられれれば
<tex>\int_{-\infty}^\infty dp |p><p| = I </tex> , (4.38)

<tex>\int_{-\infty}^\infty dx'|x'><x'| = I </tex> , (4.39)

<tex>\int_0^\infty dE |E^\pm >_{ll}<^\pm E| +\int_0^\infty dE |E^\pm>_{rr}<^\pm E| = I </tex> , (4.40)
66 甘泉法師 2015/01/26 (月) 20:18:44 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
In the present subsection, we derive various Dirac basis expansions for the algebra of
the 1D rectangular barrier potential. We will do so by formally sandwiching Eqs. (4.38)-
(4.40) in between different vectors. If we sandwich Eqs. (4.38)-(4.40) in between <x| and |φ>, we obtain

この節では、いろいろなディラック展開を1次元矩形障壁ポテンシャルでみてみよう。
いろいろなベクトルを(4.38)-(4.40)でサンドイッチしてみよう。<x| と|φ>
ではさめば

<tex><x|\phi>=\int_{-\infty}^\infty dp <x|p><p|\phi> </tex> , (4.41)

<tex><x|\phi>=\int_{-\infty}^\infty dx'<x|x'><x'|\phi></tex> , (4.42)

<tex><x|\phi>=\int_0^\infty dE <x|E^\pm l>_{ll}<^\pm E|\phi>+\int_0^\infty dE<x|E^\pm>_{rr}<^\pm |\phi> </tex> . (4.43)
67 甘泉法師 2015/01/27 (火) 22:55:32 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Equations (4.41)-(4.43) can be rigorously proved by way of the RHS [10]. In proving
these equations, we give meaning to Eqs. (4.38)-(4.40), which are just formal equations:
Equations (4.38)-(4.40) have always to be understood as part of a “sandwich.” Note
that Eqs. (4.41)-(4.43) are not valid for every element of the Hilbert space but only
for those φ that belong to S(R-{a, b}), because the action of the bras and kets is well
defined only on S(R {a, b}) [40]. Thus, the RHS, rather than just the Hilbert space,
fully justifies the Dirac basis expansions. Physically, the Dirac basis expansions provide
the means to visualize wave packet formation out of a continuous linear superposition
of bras and kets.

式 (4.41)-(4.43) はRHSの方法で厳密に証明できる。[10]
証明するために 式(4.38)-(4.40)に解釈をあたえる。つまり式 (4.38)-(4.40) はいつも両方から「はさむ」
意味で解釈されなければならない。

式 (4.41)-(4.43) はヒルベルト空間のすべての要素について成り立つわけではなく
部分空間 S(R-{a, b})に属するφについて成り立つものだ。というのは、ブラとケットの作用は
S(R- {a, b})の上だけで定義できるからだ。 [40].
こうしてヒルベルト空間でなくRHSにおいて ディラック基底展開が正当化される。
物理的にはディラック基底展開は波束をブラとケットの線形重ねあわせとしてあらわすものだ。
68 甘泉法師 2015/01/28 (水) 17:05:30 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
We can obtain similar expansions to Eqs. (4.41)-(4.43) by sandwiching Eqs. (4.38)-
(4.40) in between other vectors. For example, sandwiching Eq. (4.39) in between hp|
and ' yields [10]
---
式 (4.41)-(4.43) と同様な式を式 (4.38)-(4.40)を他のベクトルではさむことで得ることができる。
たとえば Eq. (4.39) を<p|と|φ>ではさむと [10]

<tex><p|\phi>=\int_{-\infty}^\infty dx <p|x><x|\phi> </tex> , (4.44)

and sandwiching Eq. (4.39) in between l,rh±E| and ' yields [10]
---
式 (4.39) を l,r<±E| と|φ>ではさめば [10]

<tex>\ _{l,r}<\pm E|\phi>=\int_{-\infty}^\infty dx \ _{l,r}<\pm E|x><x|\phi> </tex> . (4.45)

It is worthwhile noting the parallel between the Dirac basis expansions and the Fourier
expansions (4.41) and (4.44) [10].
This parallel will be used in Sec. 5 to physically interpret the Dirac bras and kets.
We can also sandwich Eqs. (4.38)-(4.40) in between two elements and φ of S(R-{a, b}), and obtain [10]
---
ディラック基底展開とフーリエ変換、 (4.41) と (4.44)、の対応をみておくのが大切だ。 [10].
この対応はディラックブラとケットを解釈するのに第5章で使われる。
(4.38)-(4.40) をS(R-{a, b})の要素のψとφではさめば

<tex>(\phi,\psi)=\int_{-\infty}^\infty dp <\phi|p><p|\psi> </tex> , (4.46)
<tex>(\phi,\psi)=\int_{-\infty}^\infty dx <\phi|x><x|\psi> </tex> , (4.47)
<tex>(\phi,\psi)=\int_0^\infty dE <\phi|E^\pm>_{ll}<^\pm E|\psi>+\int_0^\infty dE <\phi|E^\pm>_{rr}<^\pm E|\psi></tex> (4.48)
69 甘泉法師 2015/01/29 (木) 22:33:26 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Equations (4.46)-(4.48) allow us to calculate the overlap of two wave functions ' and
by way of the action of the bras and kets on those wave functions.
The last aspect of Dirac’s formalism we need to implement is prescription (2.14),
which expresses the action of an observable A in terms of the action of its bras and kets.
When applied to P, Q and H, prescription (2.14) yields
---

式 (4.46)-(4.48) によりふたつの波動関数φとψの内積を、これら波動関数へのブラ、ケットの作用によって
あらわすことができる。
ディラックの記法であとみなければならないことは (2.14)のやりかた、つまりオブザーバブルAの作用をブラとケットへの
作用によってあらわすことだ。
Aを P, Q、 Hにとれば, (2.14) は

<tex>P=\int_{-\infty}^\infty dp\  p\ |p><p|</tex> , (4.49)
<tex>Q=\int_{-\infty}^\infty dx\ x\ |x><x|</tex> , (4.50)
<tex>H=\int_0^\infty dE\ E\ |E^\pm>{ll}<^\pm E|+\int_0^\infty dE \ E\ |E^\pm>_{rr}<^\pm E|</tex><tex><x|P\phi>=\int_{-\infty}^\infty dp\  p<x|p><p|\phi> </tex> , (4.52)
<tex><x|Q\phi>=\int_{-\infty}^\infty dx'\  x'<x|x'><x'|\phi>  </tex> , (4.53)
<tex><x|H\phi>=\int_0^\infty dE\ E<x|E^\pm>_{ll}<^\pm E|\phi>+\int_0^\infty dE\ E<x|E^\pm>_{rr}<^\pm E|\phi></tex> ,

(4.54)

and sandwiching them in between two elements φ and ψ of S(R-{a, b}) yields [10]
----
S(R-{a, b})に属するφとψではさめば

<tex>(\phi,P\psi)=\int_{-\infty}^\infty dp\ p<\phi|p><p|\psi> </tex> , (4.55)
<tex>(\phi,Q\psi)=\int_{-\infty}^\infty dx\  x<\phi|x><x|\psi> </tex> , (4.56)
<tex>(\phi,H\psi)=\int_0^\infty dE\  E<\phi|E^\pm >_{ll}<\pm E|\psi>+\int_0^\infty dE\  E<\phi|E^\pm >_{rr}<^\pm E|\psi></tex> . (4.57)
70 甘泉法師 2015/01/30 (金) 17:20:09 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Note that, in particular, the operational definition of an observable—according to which
an observable is simply an operator whose eigenvectors form a complete basis such that
Eqs. (2.12), (2.13) and (2.14) hold, see for example Ref. [41]—acquires meaning within
the RHS.
--------
特に記銘すべきことは 固有ベクトルの操作的な定義、すなわち
演算子の固有ベクトルが式 (2.12), (2.13) , (2.14)が示すような完全系をなす(例は[41])こと
はみなRHSを考えそのなかで意味をもつということだ。

The sandwiches we have made so far always involved at least a wave function φ of
S(R-{a, b}). When the sandwiches do not involve elements of S(R-{a, b}) at all, we
obtain expressions that are simply formal. These formal expressions are often useful
though, because they help us understand the meaning of concepts such as the delta
normalization or the “matrix elements” of an operator. Let us start with the meaning
of the delta normalization. When we sandwich Eq. (4.39) in between hp′| and |pi, we
get
---------
これまでかんがえてきたサンドイッチにはすくなくともひとつは、S(R-{a, b})に属する波動関数φが
かかわっている。
もしサンドイッチがS(R-{a, b})の要素をひとつもふくまないならそれは形式だけのものだ。
そういう形式もまた役に立つのではあるが、たとえば「演算子の行列表現」のδ関数規格化のように。 
このδ関数規格化をもっと吟味してみよう。(4.39)を<p'|,|p>ではさめば、

<tex>\int_{-\infty}^\infty dx <p'|x><x|p> = <p'|p> </tex> . (4.58)

This equation is a formal expression that is to be understood in a distributional sense,
that is, both sides must appear smeared out by a smooth function φ(p) = <p|φ> in an
integral over p:
---
この形式的な式は超関数の意味で理解しないといけない。すなわち両辺は滑らかな関数φ(p) = <p|φ> の
pで積分されるものだと。

<tex>\int_{-\infty}^\infty dp\ \phi(p) \ \int_{-\infty}^\infty dx <p'|x><x|p>=\int_{-\infty}^\infty dp\ \phi(p)<p'|p> </tex> . (4.59)

The left-hand side of Eq. (4.59) can be written as
-----
(4.59)の左辺は以下のように変形できる。

<tex>\int_{-\infty}^\infty dx <p'|x> \int_{-\infty}^\infty dp\  \phi(p)<x|p> = \int_{-\infty}^\infty dx <p'|x>\ \int_{-\infty}^\infty dp <x|p><p|\phi>=\int_{-\infty}^\infty dx <p'|x><x|\phi> =\phi(p') </tex> (4.60)
71 甘泉法師 2015/01/31 (土) 10:48:30 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Plugging Eq. (4.60) into Eq. (4.59) leads to
--
(4.60)と (4.59)をつなげば

<tex>\int_{-\infty}^\infty\ dp\ \phi(p)<p'|p>=\phi(p') </tex> . (4.61)

By recalling the definition of the delta function, we see that Eq. (4.61) leads to
------
デルタ関数の定義をおもいだすと、(4.61)は

<tex><p'|p> =\delta(p-p') </tex> , (4.62)

and to また

<tex>\int_{-\infty}^\infty dx <p'|x><x|p>=\delta (p-p')</tex> . (4.63)

By using Eq. (4.25), we can write Eq. (4.63) in a well-known form:
----
(4.25)をつかうと (4.63)はよくしられている次の形にかける。

<tex>\frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^\infty dx e^{\frac{i(p-p')x}{\hbar}}=\delta(p-p')</tex> . (4.64)

This formal equation is interpreted by saying that the bras and kets of the momentum
operator are delta normalized. That the energy bras and kets are also delta normalized
can be seen in a similar, though slightly more involved way [28]:

----
この形は、まるで運動量演算子のブラとケットが規格化されたかのようにもみえる。
エネルギーのブラとケットも同様に「規格化」できて [28]:

<tex>\ _{\alpha}<^\pm E'|E^\pm >_{\beta}=\delta(E-E')\delta_{\alpha\beta}</tex> , (4.65a)

<tex>\int_{-\infty}^\infty dx \ _{\alpha}<^\pm E'|x><x|E^\pm>_{\beta}=\delta (E-E') \delta_{\alpha\beta}</tex> ,

(4.65b)
where α,β stand for the labels l, r that respectively denote left and right incidence.
----
ここで α,β はラベルs l, rつまり右入射、左入射をあらわす。

The derivation of expressions involving the Dirac delta function such as Eqs. (4.62),
(4.64) or (4.65a)-(4.65b) shows that these formal expressions must be understood in a
distributional sense, that is, as kernels of integrals that include the wave functions ' of
S(R-{a, b}), like in Eq. (4.59).
--------
デルタ関数の含まれる (4.62),(4.64)や (4.65a)-(4.65b) の導出ぐあいをみてわかるように
これら形式的表現は、超関数の意味で解されねばならない。つまりS(R-{a, b})に属するφを含む積分の核として、だ。
72 甘泉法師 2015/01/31 (土) 12:08:47 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Equations (4.66)-(4.68) can be obtained by formally inserting Eq. (4.39) into respectively
Eq. (2.17), (2.22) and (3.1).
-----
(4.66)-(4.68)式は (4.39) をそれぞれ (2.17), (2.22) (3.1)に代入することでえられる。

It is illuminating to realize that the expressions (4.66)-(4.68) generalize the matrix
representation of an observable A in a finite-dimensional Hilbert space. If a1, . . . , aN
are the eigenvalues of A, then, in the basis {|a1i, . . . , |aNi}, A is represented as
----
表現 (4.66)-(4.68)が有限次元ヒルベルト空間のオブザーバブルAの行列表現を一般化したものであるのは
明らかだ。 a1, . . . , aNがAの固有値で、基底が{|a1>, . . . , |aN>}, とするとA は行列で表現される

<tex>A \equiv \left( \begin{array}{ccccc}a_1 & 0 & \cdot & \cdot & 0 \\[4pt]0 & a_2 & \cdot & \cdot & 0 \\[4pt]\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\[4pt]0 & 0 & \cdot & \cdot & a_N\end{array} \right)</tex> , (4.69)

which in Dirac’s notation reads as
---
ここでディラックの記法の意味は

<tex><a_i|A|a_j> = a_i\delta_{ij} </tex> . (4.70)

Clearly, expressions (4.66)-(4.68) are the infinite-dimensional extension of expression (4.70).
---
明らかに表現 (4.66)-(4.68) は(4.70)を無限次元へと拡張したものだ。
73 甘泉法師 2015/02/01 (日) 17:57:50 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
5. Physical meaning of the Dirac bras and kets
---
5. ディラックのブラとケットの物理的意味

The bras and kets associated with eigenvalues in the continuous spectrum are not
normalizable. Hence, the standard probabilistic interpretation does not apply to
them straightforwardly. In this section, we are going to generalize the probabilistic
interpretation of normalizable states to the non-normalizable bras and kets. As well, in
order to gain further insight into the physical meaning of bras and kets, we shall present
the analogy between classical plane waves and the bras and kets.
---
連続スペクトルの固有値のブラとケットは規格化できない。
だから標準的な確率の解釈はそのままではあてはめられない。
この章では規格化された状態の標準的な確率解釈を規格化できないブラとケットにも拡張して
あてはめることをみてみよう。
またブラとケットの物理的意味にも迫る。そのためにブラ、ケットと古典的な平面波の類似に注目する。

In Quantum Mechanics, the scalar product of the Hilbert space is employed to
calculate probability amplitudes. In our example, the Hilbert space is L2, and the
corresponding scalar product is given by Eq. (3.4). That an eigenvalue of an observable
A lies in the discrete or in the continuous part of the spectrum is determined by this
scalar product. An eigenvalue an belongs to the discrete part of the spectrum when its
corresponding eigenfunction fn(x) ≡ hx|ani is square normalizable:
---
量子力学ではヒルベルト空間の内積が確率振幅を計算するのにつかわれる。
ヒルベルト空間は L^2で,内積は(3.4)だった。
オブザーバブルAの固有値は離散または連続のスペクトルでそれぞれのスペクトルで内積が定義
されている。離散固有値 のスペクトルは規格化可能な固有関数 fn(x) ≡ <x|a_n> と対応する。

<tex>(f_n, f_n) = \int_{-\infty}^\infty dx |f_n(x)|^2 < \infty </tex> . (5.1)

An eigenvalue a belongs to the continuous part of the spectrum when its corresponding
eigenfunction fa(x) ≡ <x|a> is not square normalizable:
---
連続固有値が対応する固有関数fa(x) ≡ <x|a>は規格化不能で

<tex>(f_a, f_a) = \int_{-\infty}^\infty dx |f_a(x)|^2 = \infty </tex>. (5.2)

In the latter case, one has to use the theory of distributions to “normalize” these states,
e.g., delta function normalization:
---
このあとのほうについては状態を超関数の意味で「規格化」する必要がある。、

<tex>(f_a, f_a') = \int_{-\infty}^\infty dx \overline{f_a(x)}f_{a'}(x) = \delta(a-a') </tex>. (5.2)

This Dirac delta normalization generalizes the Kronecker delta normalization of
“discrete” states:
---
このディラックデルタ規格化は離散状態のクロネッカデルタを一般化したものだ。

<tex>(f_n, f_n') = \int_{-\infty}^\infty dx \overline{f_n(x)}f_{n'}(x) = \delta_{nn'} </tex>. (5.3)

Because they are square integrable, the “discrete” eigenvectors fn(x) ≡ <x|a_n> can be
interpreted in the usual way as probability amplitudes. But because they are not square
integrable, the “continuous” eigenvectors fa(x) ≡ <x|a> must be interpreted as “kernels”
of probability amplitudes, in the sense that when we multiply <x|a> by <φ|x> and then
integrate, we obtain the density of probability amplitude <φ|a>:
---
離散固有ベクトルは二乗積分可能なので fn(x) ≡ <x|a_n> が通常どおり確率振幅と解釈される
連続固有ベクトルは二乗積分不可能なので fa(x) ≡ <x|a> は確率振幅の核と解釈される、つまり
<x|a> と <φ|x> を掛けたものを積分すると確率振幅密度 <φ|a> が得られるということだ。:

<tex><\phi|a> = \int_{-\infty}^\infty dx <\phi|x><x|a> </tex> . (5.5)

Thus, in particular, <x|p>, <x|x′> and  $<x|E\pm>_{l,r}$  represent “kernels” of probability
amplitudes.
---
このように <x|p>, <x|x′>  $<x|E\pm>_{l,r}$  は確率密度の積分核となる。
74 甘泉法師 2015/02/01 (日) 20:26:48 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Another way to interpret the bras and kets is in analogy to the plane waves
of classical optics and classical electromagnetism. Plane waves eikx represent
monochromatic light pulses of wave number k and frequency (in vacuum) w = kc.
Monochromatic light pulses are impossible to prepare experimentally; all that can be
prepared are light pulses '(k) that have some wave-number spread. The corresponding
pulse in the position representation, '(x), can be “Fourier decomposed” in terms of the
monochromatic plane waves as
---
ブラとケットを解釈するもうひとつの方法は、古典的な光学と古典的な電磁気学とのアナロジーだ。
平面波  $e^{ikx}$  は波数k 振動数(真空中で)w = kc の単色光振動をあらわす。
実際実験で単色光振動を実現するのは不可能だ。; できるのはφ(k)で色の幅をもつ電磁波だ。
そのフーリエ変換で対応するφ(x)は “フーリエ分解” だ、つまり単色平面波の重ねあわせで

<tex>\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\int dk e^{ikx}\phi(k)</tex> , (5.6a)
which in Dirac’s notation becomes
---
ディラックの記法だと

<tex><x|\phi> =\int dk <x|k><k|\phi> </tex> . (5.6b)

Thus, physically preparable pulses can be expanded in a Fourier integral by the
unpreparable plane waves, the weights of the expansion being  $\phi(k)$ . When  $\phi$ (k) is highly
peaked around a particular wave number k0, then the pulse can in general be represented
for all practical purposes by a monochromatic plane wave e^ik0x. Also, in finding out how
a light pulse behaves under given conditions (e.g., reflection and refraction at a plane
interface between two different media), we only have to find out how plane waves behave
and, after that, by means of the Fourier expansion (5.6a), we know how the light pulse
φ(x) behaves. Because obtaining the behavior of plane waves is somewhat easy, it is
advantageous to use them to obtain the behavior of the whole pulse [42].
---
つまり、物理的に準備ができる波は 準備することはできない単色平面波の重ねあわせであらわすことができて
その重みが  $\phi(k)$  だ.   $\phi$ (k) がある波数 k_0のまわりに高いピークをもつと、波は
実際的には単色平面波 e^ik0x であらわすことができる。
また、条件を与えて光がどうふるまうか(例 異なる媒体による反射や屈折)をみるには
平面波がどうふるまうかをまずみて、それでフーリエ展開すれば (5.6a) 波がどうふるまうかがわかる。
平面波のふるまいは比較的簡単だからそれを全波のふるまいを知るのにつかうのが便利だ。[42].

The quantum mechanical bras and kets can be interpreted in analogy to the classical
plane waves. The eigenfunction  $<x|p> = \frac{e^{\frac{ipx}{\hbar}}}{\sqrt{2\pi\hbar}}$  represents a particle of sharp
momentum p; the eigenfunction <x|x′> = δ(x−x′) represents a particle sharply localized
at x′; the monoenergetic eigenfunction hx|E±il,r represents a particle with well-defined
energy E (and with additional boundary conditions determined by the labels ± and l, r).
---
量子力学のブラとケットは古典的平面波とのアナロジーで理解できる。
固有関数  $<x|p> = \frac{e^{\frac{ipx}{\hbar}}}{\sqrt{2\pi\hbar}}$  は鋭い運動量のピークをもつ
粒子をあらわす。; 固有関数 <x|x′> = δ(x−x′) はx’に局在する粒子をあらわす。;
単エネルギー固有関数 <x|E±>_l,r ははっきりとエネルギーがきまっている ( ± l, r できまる
境界条件も含めて)粒子をあらわす。
75 甘泉法師 2015/02/01 (日) 21:19:56 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
In complete analogy to the Fourier expansion of a light pulse by classical plane waves,
Eq. (5.6a), the eigenfunctions hx|pi, <x|x′> and <x|E±>_l,r expand a wave function φ, see
Eqs. (4.41)-(4.43). When the wave packet '(p) is highly peaked around a particular
momentum p0, then in general the approximation φ(x) ∼  $\frac{e^{\frac{ip_0 x}{\hbar}}}{\sqrt{2\pi\hbar}}$  holds for all
practical purposes; when the wave packet φ(x) is highly peaked around a particular
position x0, then in general the approximation φ(x) ∼ δ(x − x0) holds for all practical
purposes; and when φ(E) is highly peaked around a particular energy E0, then in general
the approximation φ(x) ∼  $<x|E^\pm_0>_{l,r}$  holds for all practical purposes (up to the boundary
conditions determined by the labels ± and l, r). Thus, although in principle <x|p>, <x|x′>
and <x|E±>_l,r are impossible to prepare, in many practical situations they can give good
approximations when the wave packet is well peaked around some particular values p0,
x0, E0 of the momentum, position and energy. Also, in finding out how a wave function
behaves under given conditions (e.g., reflection and transmission off a potential barrier),
all we have to find out is how the bras and kets behave and, after that, by means of
the Dirac basis expansions, we know how the wave function φ(x) behaves. Because
obtaining the behavior of the bras and kets is somewhat easy, it is advantageous to use
them to obtain the behavior of the whole wave function [43].
---
光の波の古典的平面波でのフーリエ展開との完全なアナロジーで (5.6a),固有関数 <x|p>, <x|x′> <x|E±>_l,r は波動関数 φを展開する。式 (4.41)-(4.43)を参照。
波束φ(p) がある運動量の値 p0をピークのまわりにあれば, 近似的に φ(x) ∼  $\frac{e^{\frac{ip_0 x}{\hbar}}}{\sqrt{2\pi\hbar}}$  とたいがいは実用上おきかえてかまわない; 波束 φ(x) がある座標 x0を高いピークのまわり
にあれば φ(x) ∼ δ(x − x0)と実用上近似してかまわない。; φ(E) があるエネルギーの値 E0の高いピークのまわり
にあれば、近似 φ(x) ∼  $<x|E^\pm_0>_{l,r}$  が実用上はできる。 ( ± and l, rできまる境界条件も含めること). こうして、原理的には <x|p>, <x|x′>  <x|E±>_l,r は用意することができないけれど、たいがいの実用場面では高いピークをもつ波束(運動量がなら p0の、座標ならx0の、エネルギーならE0の)でたいへんよく近似ができる
また、与えられた条件下で波動関数がどうふるまうか (たとえば ポテンシャル障壁による反射や透過)をみるには
まずどうブラとケットがふるまうかをみればよい。次にディラックの基底展開により波動関数 φ(x)のふるまいがえられる。ブラとケットがどうふるまうかをみるのはたやすいので、これをつかい波動関数のふるまいがわかる [43].

From the above discussion, it should be clear that there is a close analogy between
classical Fourier methods and Dirac’s formalism. In fact, one can say that Dirac’s
formalism is the extension of Fourier methods to Quantum Mechanics: Classical
monochromatic plane waves correspond to the Dirac bras and kets; the light pulses
correspond to the wave functions '; the classical Fourier expansion corresponds to the
Dirac basis expansions; the classical Fourier expansion provides the means to form light
pulses out of a continuous linear superposition of monochromatic plane waves, and the
Dirac basis expansions provide the means to form wave functions out of a continuous
linear superposition of bras and kets; the classical uncertainty principle of Fourier
Optics corresponds to the quantum uncertainty generated by the non-commutativity
of two observables [44]. However, although this analogy is very close from a formal
point of view, there is a crucial difference from a conceptual point of view. To wit,
whereas in the classical domain the solutions of the wave equations represent a physical
wave, in Quantum Mechanics the solutions of the equations do not represent a physical
object, but rather a probability amplitude―In Quantum Mechanics what is “waving”
is probability.
---
以上の議論から古典的フーリエ変換とディラックの記法に強い類似があることは明らかだ
実際、ディラックの記法は、量子力学へのフーリエ変換の拡張といえるだろう。:
古典的単色平面波はディラックのブラとケットに対応する。
; 光の波は波動関数φに対応する。
; 古典的フーリエ展開はディラック基底展開に対応する。
; 古典的フーリエ展開は単色平面波の連続の線形重ね合わせで連続する光の波をつくる方法だが、ディラック基底展開はブラとケットの連続の線形重ねあわせで波動関数をつくる方法だ。
; 古典的フーリエ光学の不確定性はふたつのオブザーバブルの非可換性による量子的不確定性に対応する。[44].

このアナロジーは形の上ではとても近いものの、概念としては大きな違いがある。
古典的に波動方程式は物理的波だが、量子的には方程式の解は物理的実体をあらわすものではなく確率振幅を
あらわす。量子力学で振動しているのは確率なのだ。

76 甘泉法師 2015/02/04 (水) 16:59:14 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
6. Further considerations
---
6. 進んだ考察


In Quantum Mechanics, the main objective is to obtain the probability of measuring
an observable A in a state φ. Within the Hilbert space setting, such probability can be
obtained by means of the spectral measures Ea of A (see, for example, Ref. [8]). These
spectral measures satisfy
----
状態φについてオブザーバブルAを測定してある値を得る確率をえることが量子力学の主眼だ。
ヒルベルト空間の枠組みではAのスペクトル測度Ea (たとえば[8]参照)からえられる。
スペクトル測度の関係式


<tex>I=\int_{Sp(A)}dEa </tex> (6.1)

and
<tex>A = \int_{Sp(A)}a\ dEa </tex> (6.2)

Comparison of these equations with Eqs. (2.13) and (2.14) yields
--------
これらの式を (2.13) (2.14) と比較すれば


<tex>dEa = |a><a| da </tex> . (6.3)

Thus, the RHS is able to “factor out” the Hilbert space spectral measures in terms of
the bras and kets [45]. For the position, momentum and energy observables, Eq. (6.3)
reads as
---
すなわち、RHSでブラとケットをつかってヒルベルト空間のスペクトル測度を「追い出す」ことができる。
座標、運動量、エネルギーのオブザーバブルについて(6.3)は以下のように読み直せる。


<tex>dE_x = |x><x| dx </tex> , (6.4)
<tex>dE_p = |p><p| dp </tex> , (6.5)
<tex>dE_E = |E^\pm>_{ll}<^\pm\ E| dE + |E^\pm>_{rr}<^\pm\ E| dE </tex> . (6.6)
77 甘泉法師 2015/02/04 (水) 17:35:29 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
Although the spectral measures dEa associated with a given self-adjoint operator A are
unique, the factorization in terms of bras and kets is not. For example, as we can see
from Eq. (6.6), the spectral measures of our Hamiltonian can be written in terms of the
basis {|E+il,r} or the basis {|E−>l,r}. From a physical point of view, those two basis are
very different. As we saw in Sec. 3, the basis {|E+>l,r} represents the initial condition
of an incoming particle, whereas the basis {|E−>l,r} represents the final condition of an
outgoing particle. However, the spectral measures of the Hilbert space are insensitive to
such difference, in contrast to the RHS, which can differentiate both cases. Therefore,
when computing probability amplitudes, the RHS gives more precise information on
how those probabilities are physically produced than the Hilbert space.
---
自己共役演算子Aがあれば そのスペクトル測度 dEa はただひとつきまるが, ブラとケットの積はひととおりでない。
たとえば式 (6.6)をみれば, ハミルトニアンのスペクトル測度は基底 {|E+>il,r} でも {|E−>l,r}でもあらわせる。
物理的にみればふたつの基底は異なる。3章でみたように基底 {|E+>l,r} は入射の初期条件を 基底 {|E−>l,r} は射出の終条件を
あらわす。
しかしヒルベルト空間の測度はそういう違いには無頓着だ。RHSでは両者を区別できるのに。
だから確率密度を計算するなら RHS のほうがヒルベルト空間より物理的場面に即した計算をするのに適している。

In this paper, we have restricted our discussion to the simple, straightforward
algebra of the 1D rectangular barrier. But, what about more complicated potentials?
In general, the situation is not as easy. First, the theory of rigged Hilbert spaces as
constructed by Gelfand and collaborators is based on the assumption that the space 
has a property called nuclearity [16, 17]. However, it is not clear that one can always
find a nuclear space  that remains invariant under the action of the observables.
Nevertheless, Roberts has shown that such  exists when the potential is infinitely
often differentiable except for a closed set of zero Lebesgue measure [19]. Second, the
problem of constructing the RHS becomes more involved when the observable A is
not cyclic [16]. And third, solving the eigenvalue equation of an arbitrary self-adjoint
operator is rarely as easy as in our example.
---
この論文では簡単でわかりやすい1次元障壁での数学に限って説明した。もっと複雑なポテンシャルならどうだろう?
一般的にそう簡単にはいかない。

ひとつ:ゲルファントらはRHSをつくるにあたり空間が「nuclearity」という性質をもつと
いう前提を立てた。 [16, 17]. しかし、オブザーバブルの作用で不変に保たれるような nuclear space
をいつでもみつけることができるのかははっきりしていない。
とはいってもRobertsは ポテンシャルが無限階微分可能(ルベーグ測度0の閉集合は除いて)であるような関数には
そういう空間が存在することを示した。[19].

ふたつ:オブザーバブルAが周期的でないときにはRHSをつくるのはもっとややこしい(?)ことはわかている。[16].

みっつ:任意の自己共役演算子の固有値方程式を解くことはわれわれの例のようには簡単にいかない。
78 甘泉法師 2015/02/05 (木) 17:32:40 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 02/07 (土) 23:05 [修正] [削除]
7. Summary and conclusions
---
7. まとめと結論

We have used the 1D rectangular barrier model to see that, when the spectra of the
observables have a continuous part, the natural setting for Quantum Mechanics is the
rigged Hilbert space rather than just the Hilbert space. In particular, Dirac’s bra-ket
formalism is fully implemented by the rigged Hilbert space rather than just by the
Hilbert space.
---
1次元矩形障壁モデルをつかってオブザーバブルが連続スペクトルを持つ場合の量子力学の
自然な枠組みはヒルベルト空間よりRHSであることをみてきた。
特にディラックのブラケット記法は、ヒルベルト空間単独でなくRHSで十全につかえることがわかった。

We have explained the physical and mathematical meanings of each of the
ingredients that form the rigged Hilbert space. Physically,
the space Φ ≡ S(R - {a, b})
is interpreted as the space of wave functions, since its elements can be associated
well-defined, finite physical quantities, and algebraic operations such as commutation
relations are well defined on . Mathematically,  is the space of test functions. The
---
RHSを構成するそれぞれについての物理的、数学的な意味を説明した。

物理的には空間Φ ≡ S(R - {a, b})は波動関数の空間と解釈される。そうすると物理量は有限にとどまり
交換関係のような代数演算がきちんと定義できる。数学的には試験関数の空間だ。

The spaces Φ′≡ S′(R- {a, b}) and Φ^× ≡ S^×(R- {a, b}) contain respectively the bras and
kets associated with the eigenvalues that lie in the continuous spectrum. Physically, the
bras and kets are interpreted as “kernels” of probability amplitudes. Mathematically,
the bras and kets are distributions. The following table summarizes the meanings of
each space:
---
空間 Φ′≡ S′(R- {a, b}) と空間 Φ^× ≡ S^×(R- {a, b}) はそれぞれ、固有値が連続である
ブラ、ケットを含んでいる。 物理的にはブラとケットは確率振幅の 積分核“kernels” だ。
数学的にはブラとケットは超関数 distributions だ。.

The following table summarizes the meanings of each space:
---
以下のテーブルのように整理される。

Space Physical Meaning Mathematical Meaning
 $\Phi$  Space of wave functions Φ  Space of test functions Φ
H Probability amplitudes Hilbert space
 $\Phi^X$  Space of kets |a> Antidual space
 $\Phi'$  Space of bras <a| Dual space
---
空間  物理的意味 数学的意味
 $\Phi$  波動関数の空間 φ  試験関数の空間 φ
H 確率振幅 ヒルベルト空間
 $\Phi^X$  ケットの空間 kets |a> 反双対空間
 $\Phi'$  ブラの空間 <a| 双対空間

We have seen that, from a physical point of view, the rigged Hilbert space does
not entail an extension of Quantum Mechanics, whereas, from a mathematical point of
view, the rigged Hilbert space is an extension of the Hilbert space. Mathematically, the
rigged Hilbert space arises when we equip the Hilbert space with distribution theory.
Such equipment enables us to cope with singular objects such as bras and kets.
We have also seen that formal expressions involving bras and kets must be
understood as “sandwiched” by wave functions '. Such “sandwiching” by '’s is
what controls the singular behavior of bras and kets. This is why mathematically the
sandwiching by '’s is so important and must always be implicitly assumed. In practice,
we can freely apply the formal manipulations of Dirac’s formalism with confidence, since
such formal manipulations are justified by the rigged Hilbert space.
We hope that this paper can serve as a pedagogical, enticing introduction to the
rigged Hilbert space.

---
物理的にみればRHSはなんら量子力学の拡張を伴うものではないが、数学的にはヒルベルト空間の拡張だ。
数学的にはRHSはヒルベルト空間に超関数を装備したものだ。
この装備でブラ、ケットというかわりものを扱うことができる。
ブラとケットを含む表現は、波動関数φではさまれることを前提に理解されねばならない。
こういうφでのサンドイッチ でブラとケットの特異なふるまいが制御できる。
だから数学的にはφではさむことはたいへん重要でいつでも、かかれていなくとも念頭におかないといけない。
とはいえ実際のところはディラックの記法を自由につかってかまわない。RHSがそういう操作を裏付けてくれるからだ。この論文がRHSの入門として学生の役に立つことを祈念する。

Acknowledgments
Research supported by the Basque Government through reintegration fellowship
No. BCI03.96, and by the University of the Basque Country through research project
No. 9/UPV00039.310-15968/2004.
---
謝辞
この研究は以下の番号のバスク政府のフェローシップとプロジェクト研究費で支援された。
79 甘泉法師 2015/02/07 (土) 09:02:32 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
References
---
参照文献

[1]-[13]文献名略
[14] In Ref. [12], page 40, Dirac states that “the bra and ket vectors that we now use form a more
general space than a Hilbert space.”
In Ref. [13], page viii, von Neumann states that “Dirac has given a representation of quantum
mechanics which is scarcely to be surpassed in brevity and elegance, [...].” On pages viii-ix, von
Neumann says that “The method of Dirac, mentioned above, (and this is overlooked today in a
great part of quantum mechanical literature, because of the clarity and elegance of the theory) in
no way satisfies the requirements of mathematical rigor – not even if these are reduced in a
natural and proper fashion to the extent common elsewhere in theoretical physics.” On page ix, von
Neumann says that “[...],this requires the introduction of ‘improper’ functions with self-
contradictory properties. The insertion of such mathematical ‘fiction’ is frequently necessary in
Dirac’s approach,[...].” Thus, essentially, although von Neumann recognizes the clarity and
beauty of Dirac’s formalism, he states very clearly that such formalism cannot be
implemented within the framework of the Hilbert space.
---
[14] ディラック、[12]のP. 40, “今使っているブラとケットはヒルベルト空間よりもっと一般的な空間だ”
フォンノイマン. [13] のP. viii, “ディラックの考えた量子力学の表現はもっとも簡潔でエレガントだ。”
P. viii-ix, “このディラックの方法は (明瞭さと華麗さで多くの量子力学の文献につかわれるが) 数学的な
厳密さは満たしていない。理論物理のいたるところふつうに自然につかわれるとしても、だ。” P. ix, “[...],
これから 自己に矛盾する「尋常でない」関数 が必要になる。こういう数学的虚構を入れざるをえないのが
ディラックの方法だ。[...].”

このように、フォンノイマンはディラックの方法の明晰さをたたえつつ, ヒルベルト空間の枠には
おさまらないものだとはっきり述べている。


[15]- [17]文献名略.
[18] In Ref. [17], page 7, Maurin states that “It seems to us that this is the formulation which
was anticipated by Dirac in his classic monograph.”
---
[18] モーリン、[17], 7ページ “この記法をディッラックは初期の古典的論文ですでに予期していたようだ.”


[19]-[21] 略
[22] The following quotation, extracted from Ref. [3], page 19, gives a clear idea of the status
the RHS is achieving: “...rigged Hilbert space seems to be a more natural mathematical setting for
quantum mechanics than Hilbert space.”
---
[22] Ref. [3], 19ページ, で RHS の役割を意識した言明がある。: “...RHSはヒルベルト空間よりもより自然な数学的枠組みだ。”
80 ********** 2015/02/07 (土) 13:13:58 ID:********** 削除日時: 21:16
(投稿者によって削除されました)
81 甘泉法師 2015/02/07 (土) 13:41:44 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
[23] -[24] 略
[25] A subspace S of H is dense in H if we can approximate any element of H by an element of S as
well as we wish. Thus, for any f of H and for any small ǫ > 0, we can find a ϕ in S such that
If − ϕI < ǫ. In physical terms, this inequality means that we can replace f by ϕ within an
accuracy ǫ.
[26] A function F : Φ → C is called a linear [respectively antilinear] functional over Φ if for any
complex numbers α, β and for any ϕ, ψ ∈ Φ, it holds that F (αϕ + βψ) = αF (ϕ) + βF (ψ)
[respectively F (αϕ + βψ) = α∗F (ϕ) + β∗F (ψ)].
---
[25] Hの部分集合 S は H で稠密、つまりHの任意の要素でいくらでも近づくできること、だ。
つまり 任意の f ∈ H といくらでも小さくとっていい数 ǫ > 0 について, Sのなかに If − ϕI < ǫ を満たすφが存在する。物理的ないいかたでは、 任意の精度 ǫ でf を ϕ に置き換える といえる。.
[26] 関数 F : Φ → C は 任意の複素数 α, β と任意の ϕについて, ψ ∈ Φ, F (αϕ + βψ) = αF (ϕ) + βF (ψ) [ F (αϕ + βψ) = α∗F (ϕ) + β∗F (ψ)]を満たす場合.
Φ上の線形汎関数 [反線形汎関数] とよばれる。

[27] -[29]略
[30] Strictly speaking, a Hilbert space possesses additional properties (e.g., it must be complete
with respect to the topology induced by the scalar product). For a more technical definition of the
Hilbert space, see for example Ref. [11].
[31] An operator A is bounded if there is some finite K such that IAf I < KIf I for all f ∈ H,
where I I denotes the Hilbert space norm. When such K does not exist, A is said to be unbounded.
For a detailed account of the properties of bounded and unbounded operators, see for example Ref.
[11].
[32] The mathematical reason why quantum mechanical unbounded operators cannot be defined on all
the vectors of the Hilbert space can be found, for example, in Ref. [33], page 84.
---
[30] 厳密にいえば,ヒルベルト空間はもっとほかの属性ももつ (たとえば 内積のもたらす位相について完備
でなければならないこと). よりくわしいヒルベルト空間の定義はたとえばRef. [11]参照.
[31] オペレータ A が有界であるとは ある有限な数 K があり すべての f ∈ Hについて|Af| < K|f| ,
ここで||はヒルベルト空間のノルムのこと
そのようなKが存在しない場合、A は非有界であるという。
より詳しくは[11]参照.
[32] 非有界のオペレータがなぜヒルベルト空間の全ベクトルをつかっても定義できいのかの数学的説明については Ref. [33], page 84 を参照。


[33] 略.
[34] If we nevertheless insisted in for example calculating the expectation value (2.24) for
elements of H
that are not in D(A), we would obtain an unphysical infinity value. For instance, if A represents
an unbounded Hamiltonian H, then the expectation value (2.24) would be infinite for those ϕ
of H that lie outside of D(H). Because they have infinite energy, those states do not represent
physically preparable wave packets.
[35] If they were in the Hilbert space, |a) and (a| would be square integrable, and a would belong
to the discrete spectrum.
[36] It is well known that Heisenberg’s commutation relation necessarily implies that either P or Q
is unbounded. See, for example, Ref. [33], page 274.
[37] The reason why the derivatives of ϕ(x) must vanish at x = a, b is that we want to be able to
apply the Hamiltonian H as many times as we wish. Since repeated applications of H to ϕ(x) involve
the derivatives of V (x)ϕ(x), and since V (x) is discontinuous at x = a, b, the function V (x)ϕ(x)
is infinitely differentiable at x = a, b only when the derivatives of ϕ(x) vanish at x = a, b. For
more details, see Ref. [19]. The vanishing of the derivatives of ϕ(x) at x = a, b must be viewed as
a mathematical consequence of the unphysical sharpness of the discontinuities of the potential,
rather than as a physical consequence of Quantum Mechanics. Note also that in standard numerical
simulations, for example, Gaussian wave packets impinging on a rectangular barrier, one never sees
that the wave packet vanishes at x = a, b. This is due to the fact that on a Gaussian wave packet,
the Hamiltonian (3.1) can only be applied once.
[38] We note that, when acting on elements ϕ of S(R {a, b}), the commutator [H, P ] = i五 ∂V
reduces to [H, P ] = 0, due to the vanishing of the derivatives of ϕ at x = a, b.
[39] We recall that some authors have erroneously claimed that “there are more kets than bras”
[19], and that therefore such one-to-one correspondence between bras and kets does not hold.
[40] We can nevertheless extend Eqs. (4.41) and (4.43) to the whole Hilbert space L2 by a limiting
procedure, although the resulting expansions do not involve the Dirac bras and kets any more, but
simply the eigenfunctions of the differential operators.
---
[34] 無理に期待値 (2.24) をD(A)にないHの要素について計算しようとすると, 非物理的な無限大を得る。
たとえば A が非束縛状態のハミルトニアンHだと、 D(H)の外にある ϕ∈Hについて期待値(2.24)は無限大になる.
無限大のエネルギーをもつそんな状態をあらわすような波束はつくれない。
[35] もしそれがヒルベルト空間だとすれば, |a>と<a|は二乗積分可能となり離散スペクトルをあらわす
ことだろう。
[36] ハイゼンベルクの交換関係は P か Qが非有界であることを導くことはよく知られている。たとえば
Ref. [33], page 274.
[37] ϕ(x)の導関数が x = a, b で0でなければならない理由は、ハミルトニアンHをなんどでも作用させられる
ようにするため。Hを何度もϕ(x)に作用させれば それは V (x)ϕ(x)の微分を含み、 V (x) は x = a, bで不連続なの
だから, V (x)ϕ(x)は、ϕ(x) の導関数が x = a, bで0である場合に限りなんどでも微分可能になる。
よりくわしくはRef. [19]参照. ϕ(x)の導関数が x = a, b で0になることはポテンシャルがとがりすぎて
不連続であるという物理的でない仮定からの数学的帰結であって量子力学の物理的帰結ではないことに注意。
ふつうよく目にするガウス波束での数値シミュレーションでは x = a, bで波束が0になっていないのはガウス波束に
ハミルトニアン(3.1)が一度しか作用していなからだということにも注意。


[41] 略
[42] This is one of the major reasons why plane waves are so useful in practical calculations.
[43] This is one of the major reasons why bras and kets are so useful in practical calculations.
[44] There are many other links between the classical and the quantum worlds, such as for example
the de Broglie relation p =  $\hbar$ k, which entails a formal identity between the classical eikx and the
quantum eipx/ $\hbar$  plane waves.
[45] We recall that the direct integral decomposition of the Hilbert space falls short of such
factorization, see Ref. [20].
---
[41] 略
[42] これが実用上平面波がとても便利なおもな理由のひとつ。
[43] これが実用上ブラとケットがとても便利なおもな理由のひとつ。
[44] 古典と量子をつなぐほかの関係もたくさんある、たとえばドブロイの関係p =  $\hbar$ kでこれは古典的 e^ikx 量子的波 e^ipx/ $\hbar$  をつなぐもの.

[45] ヒルベルト空間の「直接積分分解」?では除去ができないことに注意, Ref. [20]参照.

訳出以上
=甘泉法師=
82 甘泉法師 2015/02/07 (土) 18:02:10 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
感想と考察

>>9

<tex>\Phi \subset H </tex> は定義から明らかだし、

Hのすべての要素に作用するような [反]線形汎関数空間 H*は当然Φにも作用するから

<tex>H* \subset \Phi^X, H* \subset \Phi' </tex>

も明らかで、この上下式が H=H* で三つ組としてひとつにつながる(1.1)(1.2)のだが

HとH*が同じという見方には慣れていない。

Hの要素はベクトルだし
H*の要素は関数を値に対応させる汎関数で
まるで要素の種類がまるでちがう種類のようにみえた。

間をとって ベクトルに、元素の化学結合の手のように、内積の手がついたものをイメージしている。
ふたつの要素が合うと自然に手を握り内積を返すようなもののイメージ。

つまり Hの要素のベクトルには内積の手を、H*の要素の汎関数とは要するにあるきまったベクトルと
内積をとることだとみなおして、なんとかH、H*のふたつを同じものにみる。

>>10 ありがとうございます。 ref. >>81 も。

=甘泉法師=
83 甘泉法師 2015/02/07 (土) 19:51:56 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
>>22
 微分可能ということの定義の理解に自信ない。たとえば右微分、左微分だけではだめか。
 
具体的に1次元井戸ポテンシャルにからんで後述したい。

>>23 >>25
 Q,P,Hでが生成する代数の最大不変部分空間
<tex>\Phi=\cap^\infty_{n,m=0\ A,B=Q,P,H}D(A^nB^m)</tex> (2.26)
すべてのべきの積の返しの空間の共通部分

なにをやってもその外に出ない
AΦ ⊂Φ, A = Q, P,H . (2.27) 

 というのは物理的に実際実現できている状態 と対応するものとしてはわかりやすい

 なぜQ,P,Hで足りているか今は問わない。
 
>>29

<a| ∈ Φ′ ブラが線形
|a> ∈ Φ^×. ケットが反線形

というのは、もっていたイメージとは正・反が逆。内積をとる相手(状態)の正反だと思いなおして納得してみる。
=甘泉法師=
84 甘泉法師 2015/02/07 (土) 20:54:32 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
 1次元矩形障壁系の

>>35 

V(a),V(b)は定義されていない。
 だからシュレジンガー方程式(3.1)がなりたつにはf(a)=f(b)=0でなければならない。下で詳述。

>>36 AC は導関数が存在するような関数の空間だ。 AC^2 は二階導関数が存在するような関数の空間だ。

という表記のしかたは唐突だが、まあそういう表記をするものなのだろう。


>>46   最大不変部分空間
<tex>\Phi= \{\phi \in L^2 | \phi \in C^\infty (R), \phi^{(n)}(a)= \phi^{(n)}(b) = 0 ,\ \ n = 0, 1, . . . ,\ \ \ \ \ P^nQ^mH^l\phi(x) \in L^2 , n,m, l = 0, 1, . . \}</tex> , (4.1)

いたるところで無限回微分可能なのはいいとして つながり具合がイメージしにくい。
ほかのところではいろいろな値をもててもx=a,bでは波動関数もその導関数のすべてもゼロというのは x=a,bのあたりでべったりしている感じか。テーラー展開の係数もみなゼロなわけだから。

=甘泉法師=
85 甘泉法師 2015/02/07 (土) 21:43:09 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
>>49

Φ ≡ S(R- {a, b}) . (4.4)

シュワルツ関数、急減少関数と同じとはイメージしやすいが、定義域R- {a, b}の意味について

Wiki シュワルツ空間
---
シュワルツ空間、あるいは Rn 上の急減少函数の空間とは、次の函数空間のことを言う。
<tex>   S \left(\mathbf{R}^n\right) = \left \{ f \in C^\infty(\mathbf{R}^n) \mid \|f\|_{\alpha,\beta} < \infty\quad \forall \alpha, \beta \right \}.</tex>
ここで α、β は多重指数であり、C∞(Rn) は Rn から C への滑らかな函数の集合である。
---
多重指数のことはよくわからないのでおいておいて

 R- {a, b} は開集合なので微分がきちんとできて、導関数がaの左と右で値がちがっても問題はない。

 x=a,bではどんな具合でもよく、でその値は(4.1)から
<tex>\phi^{(n)}(a)= \phi^{(n)}(b) = 0 ,\ \ n = 0, 1, . . . ,</tex> と決めるものと理解。

疑問:x={a,b}で関数値を0を与えるのはまあよいとして。孤立した点なのに微分が、しかも無限階、定義できてしかも値が0というのは都合がよすぎないか。
前の発言のつながり具合の心配も無用か。
86 甘泉法師 2015/02/11 (水) 18:29:46 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
>>76
オブザーバブルの連続な観測値について
ヒルベルト空間:固有ベクトルは無い。かわりにスペクトル測度がある。
RHS:[反]線形汎関数空間Φ’Φ^Xで「固有ベクトル」を考えられる。スペクトル測度を考える用はなくなる。

離散観測値の射影演算子
<tex>\mathbf{E}_{a_n} = |a_n><a_n|  </tex> .
のアナロジーで

<tex>d\mathbf{E}_a = |a><a| da </tex> . (6.3)
左辺:スペクトル測度が 右辺:ブラケットで表せるようになる。

<tex>dA = a d\mathbf{E}_a = |a>a<a| da </tex> .

左辺のように表記していいかどうかは確かでない。

参考 スペクトル定理
Theorem: Let A be a Hermitian operator. Then there exists a spectral measure E such
that for all v,w in H,  $(Av | w) = \int_{\lambda(A)}\lambda d(E_\lambda v | w).$ 

87 甘泉法師 2015/02/14 (土) 15:20:02 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
RHSのことをさらっと解説している講義録2009年のPDFがある。

http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/09/QM_structure2.pdf
数学者のための量子力学入門∗
原 隆
九州大学大学院 数理学研究院

3.1.1 Dirac の記法と三つ組み

「註3.9 (Gelfandの三つ組み)
最後に,Diracの記法を字義通り解釈する試みについて簡単に触れておく.
Diracの記法の最大の(唯一の?)問題点は元々存在しない筈の連続スペクトルに対する「固有状態」|a〉とその共軛〈a|が(ともに状態空間=ヒルベルト空間の元として)存在するかのようなふりをするところにある.従って,この困難から逃れるには|·〉の空間をHより小さく,〈·|の空間はその共軛空間としてHより大きくとり,Hと併せてこの3つの階層構造を考えてやればよい.これは数学的にはGelfandの三つ組みとして実現可能である(例えばS(Rn)⊂H=L2(Rn)⊂S′(Rn),[6]などを参照)」

ちなみに原先生がDiracの教科書 ref. 32>> について
「このうち[5]は数学的に都合のいいことを全て仮定して進んでしまう誠に恐ろしい本であるが,「ここの所は本当はこういうことを言いたいんだな,このところはこんな仮定があるんだな」と言ったことを他の本,例えば[9, 7],で補っていただければ,実は大変明快に読め,著者の気迫が伝わってくる名著である.」
とされているのは、我が意を得たり。





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