1 x_seek 2015/01/01 (木) 08:07:52 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 01/08 (木) 00:13 [修正] [削除]
こんにちは。x_seekです。

次のスレッド、

・多世界解釈によるボルンの規則の導出
 http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/130301001b02e489

で論文の内容を説明してまいりましたが、新しいアイデアに基づき、論文を改訂しました。

・量子力学の確率解釈導出
 http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.html

上記の論文は、階層宇宙で観測問題を解決します。

改訂前の論文とは、主張の異なる部分があることから、混乱を回避するため別スレッドとさせていただきました。

まだまだ多くの間違いが含まれていると思いますが、適宜訂正しつつ、順次解説させて頂きたいと考えております。

よろしくお願いします。
2 takoyaki 2015/01/12 (月) 23:24:00 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

私は興味深く論文を読ませて頂きました。
私には理解はできませんでしたが、是非ほかの皆様にもx_seekさんの新しい論文に挑戦して頂きたいです。
私がx_seekさんの論文に注目する理由を二つ挙げさせて頂きます。

一つ目は、徹底して「宇宙は有限である」との立場から説明しようと試みていること、が挙げられます。

以前、ゼノンのパラドックスをめぐって、別スレッドで様々な議論が行われましたが、私は最近改めてこのパラドックスについて考え始めました。
線分からは無限個の点を取り出すことが可能です。
「線分の中には無限個の点がある」と言えそうです。
しかし、その逆はどうでしょうか?
大きさが0の点を無限個積み重ねても、永遠に線分が生まれることはありません。
これもまた数学的事実です。
ところが現実には、この世界には「距離」や「時間」といったパラメータが存在します。
これをどう説明するのか?
この根源的な問いに対する一つの挑戦がこの論文の内容だと思っています。
でも、今の私には難しくて理解できません。

二つ目は、確率が生まれる理由を具体的に追い求めていることです。

数学的に「確率」という概念が生まれてくるには、事象の個数の概念が前提としてなければならないように私は思います。
去年、私は命題の真偽によって世界を分割するアイデアを個人的に考えましたが、概念で世界を分割しても、それを確率と結びつけるのは非常に困難であると思うようになりました。
考えることができないわけではないですが、そこには強いためらいがあります。
確率は個数以外にも、領域などでも考えることが可能です。
無作為にダーツを投げたとき、的のどの点数の領域にダーツが刺さるかの期待値は、それらの領域の面積比で決まるでしょう。しかし、その確率の概念が成立するためには、やはりダーツと的、という実体が必要であり、それらを構成する何らかの最小単位があるのではないか、と考えるのは自然なことであるように思います。
x_seekさんの論文には「素状態」という究極の最小単位が出てきます。
確率と最小単位はワンセットではないのか。

確率の概念それ自体が原理、というのは少々乱暴に思えます。確率が現れる以上、確率を生み出している最小単位があるはずだ、というアイデアを検証する価値は十分にあるのではないでしょうか。この論文にはそのアイデアが具体的に述べられています。まだ完全ではないかもしれませんが、異なる立場を持つ方々と議論することによって、より洗練されたアイデアが生まれてくる可能性はあると思います。
しかし、残念ながら私にはx_seekさんの駆使する高等数学についていける力量はありません。


私より実力のある方々が、この論文をどう捉えるのか、是非聞かせて頂きたいものです。

3 x_seek 2015/01/13 (火) 01:20:01 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんばんは。

>>2
コメントを頂きありがとうございます。コメントには改めて返信したいと思います。今回の改訂のポイントは階層宇宙でした。

階層宇宙の導入で、第n宇宙の素状態を第(n-1)宇宙の素事象と解釈できるようになりました。問題の先送りのようですが、最小距離があるので無限先送りにはなりません。

数式は難しいですが、純粋に図形として理解することはできないでしょうか?例えば、粒子の経路の円と波動関数の円の直積からトーラスを構成する部分を、図形として理解できないでしょうか?
4 takoyaki 2015/01/13 (火) 01:37:23 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>3

x_seekさん、こんにちは。

>粒子の経路の円と波動関数の円の直積からトーラスを構成する部分を、図形として理解できないでしょうか?
残念ながら今の私には「粒子の経路の円」と「波動関数の円」と「直積」という言葉の意味が、まだそれぞれに分かりません。
5 x_seek 2015/01/13 (火) 20:40:03 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>4
>残念ながら今の私には「粒子の経路の円」と「波動関数の円」と
>「直積」という言葉の意味が、まだそれぞれに分かりません。

考慮不足でした。すいません。

「直積」とは、ごく簡単に言えば座標 $(x,y)$ のことです。
直線 $L$ 上の位置を $x$ 、直線 $M$ 上の位置を $y$ とします。そして
直線 $L$ を $x$ 軸、直線 $M$ を $y$ 軸とする平面座標 $P$ を作ります。

この平面 $P$ は、直線 $L$ と直線 $M$ で次のように表現できます。
  $P=L \times M$ 

上記の式は、平面 $P$ が直線 $L$ と直線 $M$ の直積であることを意味します。
平面 $P$ 上の位置は座標 $(x,y)$ で表現できます。
6 takoyaki 2015/01/17 (土) 22:56:56 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

直積の解説ありがとうございます。
返事が遅くなってしまい申し訳ありません。
直積の概要は理解できたかと思います。

実は新しい論文について他にも質問したい疑問点はすでにいくつもあるのですが、今現在手を広げ過ぎていて、とてもx_seekさんの解説に自分がついていけないだろうな、と思い躊躇しています。
もし、それでも感じた疑問点は教えてほしいということであれば、後日まとめて投稿させて頂きます。
7 x_seek 2015/01/18 (日) 16:56:23 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>6
>直積の概要は理解できたかと思います。

解説をご理解いただきありがとうございます。
では練習問題を一つ。(^^)
次の直積はどんな形でしょうか?

 直線Lと円Cの直積T
 T=L×C

 @管
 A球面
 B平面
 C円環
 (複数回答可)

>もし、それでも感じた疑問点は教えてほしいということで
>あれば、後日まとめて投稿させて頂きます。

ありがとうございます。
私としては、もっと気楽に疑問点を書き込んで頂ければと思います。

私の解説に対する返事も、すぐに頂かなくて構いません。
現在takoyakiさんが進めてらっしゃることに影響がない範囲で、対応頂ければと思います。

よろしくお願いします。
8 takoyaki 2015/01/18 (日) 17:21:56 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>7

x_seekさん、こんにちは。
こういうクイズ大好きです。

私の考えでは、@Cが答えですね。

まず直線Lは一次元で、円Cは二次元です。
したがって、この二つの直積は三次元でなければならないと思います。
したがって、Bの平面ははじめに除外されると思います。

次に@ですが、円を直線方向に並べるだけで管はできるので、これが最もポピュラーな直積のイメージだと思います。

Aの球面は、円の大きさを変化させなければ作ることができません。
大きさの異なる円はCとは異なる存在だと思うので、除外しました。
また直線Lのすべての点に対して円が存在するなら、北極、南極より外側の直線は対応する円を持たないことになってしまいます。これも除外した理由です。

Cの円環(トーラス)は、直線を非ユークリッド空間で考えれば正しいと思います。
球面上の直線に沿って、すべての点に対し、円を配置すれば円環になると思います。
・・・あれ?
でも、明らかに内側より外側のほうが面積が大きいのに、内側と外側の点の数が同じになるのはおかしい気がする・・・まあ、気のせいかな。

どうでしょう??


>私としては、もっと気楽に疑問点を書き込んで頂ければと思います。
了解です。
今度書き込ませて頂きます。
9 x_seek 2015/01/18 (日) 17:50:45 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>8
さっそく解いていただきありがとうございます。
問題は、ユークリッド空間で、考えてみてください。
閉じた空間を考えてしまうと、円と直線の区別がつかなくなるからです。
10 x_seek 2015/01/18 (日) 19:47:39 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>8
答えは@とBだったのですが、あまり良い問題ではなかったようです。
ごめんなさい。

極座標は(r,θ)で表現しますが、これを
直線L上の位置rと、円C上の角度θと解釈できるなと考えたわけです。
この場合、直線は同一平面上に放射線状に並びます。
しかし、「直積 極座標」でgoogle検索しても該当例が出てきませんでした。
一般的な解釈ではなかったようです。


11 takoyaki 2015/01/19 (月) 09:48:46 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>10

x_seekさん、こんにちは。

何を直積の結果と見なすかは、定義によるのだと思うので、自分の解釈がただ世の中の定義と同じでなかったということであれば、私は特に気にしませんが、もしロジカルなミスがあればご指摘頂きたいです。

>直線は同一平面上に放射線状に並びます。
この発想はありませんでした。確かにそういう解釈もできそうですね。

直観的には中心部の線密度が高く、外側へ広がるほど線がまばらになっていくように感じますが、数学的に無限を連続体濃度で考えると、この平面上のどの部分平面をとっても、濃度は変わらないということなんでしょうか。
12 ********** 2015/01/19 (月) 12:56:05 ID:********** 削除日時: 16:06
(投稿者によって削除されました)
13 takoyaki 2015/01/19 (月) 13:50:31 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>12
kafukaさん、ご心配ありがとうございます。
化学の濃度とは全く別の概念として理解しておりますので、勘違いはしていないと思います。

「無限とは、全体と部分との間に全単射が存在するものである」

あくまで、上の定義に基づいて発言したつもりです。
平面の濃度が変わらないことは数学的に不思議なことではない、と思いつつ念のため自分が間違っていないか確認をしておきたかったということです。
14 hirota 2015/01/19 (月) 17:13:04 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 23:16 [修正] [削除]
では練習問題
「濃度が $\aleph_0$ より大きい集合は全体と部分との間に全単射が存在する」
を証明せよ。(かなり簡単)

こっちも書いとかないと片手落ちだな。
「全体と部分との間に全単射が存在する集合は濃度が $\aleph_0$ の集合を含む」
を証明せよ。(以前にヒントが出てる)
15 x_seek 2015/01/19 (月) 21:33:59 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>11
>何を直積の結果と見なすかは、定義によるのだと思うので、
>自分の解釈がただ世の中の定義と同じでなかったということであれば、
>私は特に気にしませんが、もしロジカルなミスがあればご指摘頂きたいです。

takoyakiさんの解答は正しいです。それはクリフォードトーラスのようです。
http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_torus

よく思いつきましたね。さすがです。
一般的には二個の円の直積でトーラスを構成します。


>直観的には中心部の線密度が高く、外側へ広がるほど線がまばらになっていくように
>感じますが、数学的に無限を連続体濃度で考えると、この平面上のどの部分平面を
>とっても、濃度は変わらないということなんでしょうか。

takoyakiさんの期待と少し違うかもしれませんが、ヤコビアンという概念があります。

ヤコビアン - EMANの物理学・物理数学
http://homepage2.nifty.com/eman/math/calculus04.html

直交座標 $(x,y)$ での微小な面積 $dS$ は次のように表現します。
<tex>dS =dxdy</tex>

一方、極座標 $(r,\theta)$ での微小な面積 $dS$ は次のように表現します。
<tex>dS =rdrd\theta</tex>

上記の $r$ がヤコビアンです。
このヤコビアンは外側へ広がるほど、
角度あたりの面積が広くなることを意味しています。
16 takoyaki 2015/01/20 (火) 01:40:45 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>14

hirotaさん、出題ありがとうございます。

>「濃度が  $\aleph_0$  より大きい集合は全体と部分との間に全単射が存在する」
>を証明せよ。(かなり簡単)

(かなり簡単)とのことですが、本当かなあ?
hirotaさんにとっては簡単かもしれませんが、私にとってはこれから初めて取り組む問題であり、そんなにたやすい問題にはとても思えない。
そもそも何を記述すれば、この命題を数学的に証明したと認められるのかが、今の私にはわからない。
でも、答え方を教えて下さいと言う前に、まず自分なりの解釈と解答を示したいと思います。
頑張りますのでよろしくお願いします。

まず問題文をどう解釈するか?
(takoyaki はまだカントールの対角線論法を学んでいない状態です。無謀かな?)
 $\aleph_0$  の定義は、おそらく自然数の濃度、ということでいいのでしょう。
自然数に限らず、「数えられるタイプの要素を持つ集合の濃度」ならすべて  $\aleph_0$  と見なして良いはず。この定義がもし間違っていたら、その時点で終わりなんだけど、ここは合ってると信じて進むしかない。
次に濃度が  $\aleph_0$  よりも大きいとはどういうことか?
知識としては、それが実数の濃度であることを知っているが、問題文には実数だなんて一言も書いていないのだから、そこは知らないふりをして、解答を書かなければならない。
そこで、  $\aleph_0$  よりも大きい濃度を  $\aleph_a$ とする。
この $\aleph_a$  は、今私が勝手に作った概念であり、それが $\aleph_1$ と同じものであるとは言っていない。

 $\aleph_a$ は、どのような性質を持つか?
もし、 $\aleph_0$ と全単射なら、 $\aleph_0$ と等しいということになってしまい、濃度が大きくなったとは言えない。
でも全単射ではない、というだけでは、 $\aleph_0$ より大きいのか小さいのかが示せない。
濃度が大きいということは、全単射を試みても絶対に一対一の対応を付けることのできない余り要素が出てくる、ということでいいのだろう。
でも、それをどうやって数学的に表現すればいいのか?

新しい濃度の概念 $\aleph_a$ を次のように定義してみたらどうかな。
 $\aleph_0$ の集合は、 $\aleph_a$ の集合に含まれる。
 $\aleph_a$ の集合は、 $\aleph_0$ の集合に含まれない。

これでは弱い気がする。
写像を持つことができるか、ということにちゃんと言及しないと濃度について語ったことにならないのではないだろうか。

な、何をどう表現すればいいんだ???

背理法を使えばいいのか?

 $\aleph_a$ の集合が $\aleph_0$ を部分集合として持つのに、 $\aleph_a$ の集合が全体と部分との間に全単射でないと仮定すると、矛盾が生まれることを示すとか?
こんなんでいいのかな・・・違う気がする。永遠に答えに辿り着かない気がする。
自分がそう思うのは、余り要素の数学的性質をちゃんと定義できていないからじゃないだろうか。

全単射を目指しても、常に写像からもれてしまう要素をどうにか表現できないだろうか?
 $\aleph_0$ の集合の要素aから、 $\aleph_a$ の集合の要素bに写像の関係を持たせても、要素bの周辺には常にもれがある。
カントールはどうやってそれを示したんだろう?

こういうことかな?
 $\aleph_0$ の集合から全単射可能な部分集合を $\aleph_a$ の集合が持つとする。
その部分集合をそれぞれA1、A2、A3、・・・とする。
このそれぞれの部分集合Ak(kは任意の順序数)の中に、要素が常に二個以上存在する、と定義すればいいのか。
この命題が常に真であれば、 $\aleph_a$ の集合は $\aleph_0$ の集合よりも大きな濃度を持つと言って良いのではないか。

これは、言い換えると $\aleph_a$ の集合を順序数個で等しく分割したとき(集合論にそういう分割演算が認められているのか知らないが)、常にそれらの部分集合の中には、何か複数の要素が残されている、ということだ。

さて、ここからが問題だ。
そのような性質を持つ集合が「全体と部分の間に全単射がある」と示すということは、どうすればいいのだろう?
 $\aleph_a$ の集合を、順序数個で等しく分割した部分集合をA1、A2、A3、・・・とする。
それぞれのAは、その中に常に複数の要素を持っているので、さらに分割可能である。
任意の部分集合Akをさらに、順序数個で分割した部分集合をB1、B2、B3、・・・とする。
任意の部分集合Bkは、その中に常に複数の要素を持っているので、さらに分割可能である。
以下、同様に同じ操作は無限に繰り返すことができる。
よって、任意の部分集合AkとBkは同じ濃度を持つ。
また、この操作を逆に辿れば、A1、A2、A3、・・・の和集合である全体も同じ濃度を持つ・・・はずだ。

これで証明したことになるのでしょうか?
イメージの方向性としては間違っていないような気がるんだけどなあ・・・怪しい表現があまりに多過ぎる気がする。
表記の仕方がわからず、日常語での説明になってしまい申し訳ありません。

二つの目の問題は、一つ目の解答例をhirotaさんに示して頂いた後に、挑戦したいです。
解答例、よろしくお願いします。

17 hirota 2015/01/20 (火) 03:36:13 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>「濃度が $\aleph_0$ より大きい集合は全体と部分との間に全単射が存在する」
なるほど、全く濃度に関する証明を見た事が無いと何をして良いか分かりませんね。
これは全部、集合で表現して考えれば良いのです。
「濃度が $\aleph_0$ より大きい集合」とは、集合Xが集合N'を含んでいて(N'⊂X)N'の濃度が $\aleph_0$ (N'とNに全単射が存在する)である状況を考えれば、Xの濃度が $\aleph_0$ より大きい状況です。
なので、Xの部分とXの間に全単射が存在することを示せば証明が完成します。

それには、N(自然数全体の集合)では「全体と部分との間に全単射が存在する」ことが知られている事を利用します。(たとえば n→n+1 のような写像)
この写像はN'にもコピーできますのでN'も全体と部分との間に全単射が存在します。
そこでまずXをN'とX−N'(XからN'を除いた残り)に分けます。
そしてN'の全体と部分との間の全単射とX−N'の恒等射(x→x という写像)を合体すれば
Xの全体と部分との間の全単射ができあがり、証明が完成します。
写像の合体とは f:N'→M (MはN'の部分) と g:X−N'→X−N' (恒等射) から h:X→M∪(X−N') を、x∈N'に対しては h(x)=f(x), x∈X−N'に対しては h(x)=g(x) とすることです。(合体は正式な用語じゃありません)

もう一つのヒントというのは Mt.Keyさんが貼ったpdfです。
http://mathematics-pdf.com/pdf/construction_of_numbers.pdf
これを見て証明が分かってると思ってました。
18 takoyaki 2015/01/21 (水) 00:35:07 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
hirotaさん、こんにちは。

私には恒等射を証明に使うという発想が無かったので、>>17を読んで勉強になりました。
>>17の解答例を参考にして、私なりに二問目の答案を作成しました。
ただその前に、Mt.Keyさんが貼ったpdfは、私にはまだ内容が難しいので未読である、と断っておきます。
最近数学の勉強サボってましたので、集合論の基礎の勉強すらも全然進んでいないのです。
そんな状況ですので、ひとつお手柔らかにお願いします。

>>14より
>「全体と部分との間に全単射が存在する集合は濃度が  $\aleph_0$  の集合を含む」
>を証明せよ。

takoyaki の答案

Xの部分集合をMとし、
f:X→M の全単射が成立しているものとする。

ここで
X=M+(X-M)とする。
※XはMとXからMを引いた集合の和集合である。

g:X→M∪(X-M) は恒等射である。

x∈Mに対しては、f(x)とg(x)の両方が成立している。

よって、全体と部分との間に全単射が存在する集合は濃度が  $\aleph_0$  の集合を含む。


以上です。
これで証明をしたことになるでしょうか?
19 hirota 2015/01/21 (水) 02:04:43 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>18
>g:X→M∪(X-M)
これは g:X→X の意味でしかありませんが何だか無意味な表現ですね。
>f(x)とg(x)の両方が成立している
これはどういう意味ですか?
写像が定義されているという意味なら、両方とも最初からX全域で定義されてるのは当たり前ですが。
>よって、全体と部分との間に全単射が存在する集合は…
何の根拠も無い結論です。どこに可算濃度の集合がありますか?
残念ながら証明とは認められません。

この証明に対するヒントとは、
「takoyaki の数学ノート」
http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/141225001b2461ad
の83で書いた $\varphi\circ\cdot\cdot\circ\varphi(x_0)=\varphi^n(x_0)$ です。( $\varphi$ は部分への全単射 $\varphi:X\to M$ を使います)
ここで引用されてるpdfでは $n\to\varphi^n(x_0)$ の対応でNのコピーを作ってますから、これが可算集合となります。
ただし、 $x_0$ をうまく設定してコピーと全単射になるようにする必要があるので>>17の証明よりチョット難しくなります。(まだ簡単な部類だけど)

以上、>>14の2つの証明が出来る(自分でやらなくても)と分かった事で、無限集合の定義「全体と部分との間に全単射が存在する」の意味が分かった事になりますね。
これを知らないと「意味も分からず偉い人の言う事を信じてるだけ」ですから。
20 takoyaki 2015/01/22 (木) 22:06:35 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>19

hirotaさん、こんにちは。

実は「takoyaki の数学ノート」の83の話はまったくついていけてなくて、私は全然理解していないのですよ・・・
理解したからスルーしたのではなく、質問すらできないほど意味不明だったのでスルーしたというのが実情です。概念が理解できないのではなく、記号がどういう意味で使われているのかがわからないという、ごく初歩的なところで躓いています。ごめんなさい。
そもそも $\varphi\circ\cdot\cdot\circ\varphi(x_0)=\varphi^n(x_0)$  の記号の意味がわからないのです。これは、日本語に翻訳すると、どういう意味を表しているのでしょう?

>>18の回答は自分でも怪しいなあ、と思って書きました。
方針としては、Nからコピーした可算集合を作って、それが「全体と部分の間に全単射が存在する集合」の部分集合であることを示せばいいのかな?と思ったのですが、できてないですね・・・

逆に考えて、  $\aleph_0$  より小さい濃度の集合があると考えてみる、というのも試してみる価値があるかもしれない。もしそういう濃度があるなら、問題の命題は成立しないことになるのだから。そこから何かヒントが得られるかも。
ただ、17の証明では  $\aleph_0$  が、すでに可算集合であるということを前提として使ってよかった。でも、まだ証明されていない濃度が存在するかどうかを考えるには、やっぱり写像の様子に踏み込んで考えないといけないと思う。
写像の問題を扱うのに、証明の道具として使っていいものが何なのか、17だけでは、よくわからない。かといって、pdfを読んでも記号の使い方がわからなくて、理解ができない・・・

それで思考停止状態でした。
申し訳ないのですが、解答を頂いてもよろしいですか?
21 hirota 2015/01/22 (木) 23:38:47 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
 $\varphi\circ\cdot\cdot\circ\varphi(x_0)=\varphi^n(x_0)$ の「 $\circ$ 」は写像の合成 $f\circ g(x)=f(g(x))$ で、 $\varphi^n(x_0)$ は $x_0$ に写像 $\varphi$ をn回作用させたものです。
 $x_0$ として $x_0\in X-M$ を採れば $x_0,\,\varphi(x_0)\ldots\varphi^n(x_0)\ldots$ は全部違うものになってXに含まれる可算集合となり、証明が終わります。
全部違う事の証明には背理法で「最初に一致した番号をnとして…」といった技巧が要るので慣れてないと思い付かないでしょう。
この証明によって $\aleph_0$ より小さい無限集合はない事が分かります。
また、>>17の証明より $\aleph_0$ より大きい集合は無限集合ですから、 $\aleph_0$ より大きい有限集合がない事も分かります。
これらの事が「無限集合の定義」から証明されることが、定義の妥当性を示しています。
当然ながら、定義を考えた人は全部分かって言ったわけです。
22 takoyaki 2015/01/23 (金) 09:45:16 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

x_seekさんは、「クリフォードトーラス」や「ヤコビアン」など、まだ私のまだ知らない一歩先の概念を教えて下さるので、x_seekさんの投稿があるといつもわくわくします。

さて、論文の疑問点をこちらに投稿すると予告していましたが、先に数学の抽象的なところから最近の私の疑問を述べておきたいと思います。

相も変わらず、同じようなことをずっと考えあぐねているのですが・・・

可算な対象と、可算な比で表される量、
自然数と実数、の関係。

これが謎です。

これについて考えるため、いくつか例示してみようと思います。

原点から放射状に広がっていく線の間の面積は、外側へ広がっていくほど大きくなります。
しかし、どんなスケールの面領域を切り取っても、その中の点の個数を数えると、無限個です。そして無限の濃度は永久に変わりません。
点は可算であり、面は量です。

ある線分の中には無限個の点が存在します。
しかし、大きさ0の点を無限個足し合わせても、線分は作れません。
点は可算であり、線分は量です。

物理学における時空は量です。
なぜなら、アインシュタインの相対性理論によると、時空は幾何学的な対象だからです。
線分の長さ(量)と同じ概念だと私は思います。
素状態は可算です。
でも大きさ0の点ではありません。有限、つまり「量」です。
それは可算な単位の比で与えられる時空という量の最小単位です。
(間違っていたら、ご指摘下さい)
だから、足し合わせると時空が生まれる。

私の疑問は、どうやって、そのはじめの「量」が生まれたか、ということです。
数学的には、まず可算な対象を作らなければ、可算な単位の比で表される「量」の概念を生み出すことができそうにありません。
自然数は実数よりも、より原初的な概念であると思われます。
しかし、自然数から実数濃度を持つ「量」を生み出すのには「無限」を超越した、大きな飛躍が必要です。
最も単純な「線分」の中にも、人智を超えた世界があります。
自然数、有理数、無理数、超越数が、その中からいくらでも取り出せそうです。
世界を0と1の列で表現できるなら、「線分」の中から取り出せる無限小数の並びから、あらゆる世界、歴史を取り出せそうな気がします。

これほど大きな飛躍が、なぜ可能なのか?
どこから「量」が湧いて出たのか?
これが最近の私の疑問です。
23 hirota 2015/01/23 (金) 14:05:50 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
最初からの数学好きタイプとは違う考え方をしますねー
僕のようなタイプは、まず空間や量に対する直感があり、それをなるべく良く表わす言葉を探したり勉強したりしますから、最初に言葉から入って疑問を持つなんてことが無い。
元の直感にない事を言葉から連想して新たに考えるなんてことは、言葉を表示の道具としか思ってなくて最初から頭に無いですね。
よく「言葉が無いと思考は出来ない」なんて事を言う人が居ますが、いつも「言葉なんかで数学が出来るか!」と突っ込んでます。
まあ、数学は科学を記述する言葉なんですが、通常言語と違って余計な物は全く付かないようになってますからね。
24 x_seek 2015/01/23 (金) 22:29:33 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>22
>私の疑問は、どうやって、そのはじめの「量」が生まれたか、
>ということです。

takoyakiさんは次の世界観を持っていると推測します。
 @連続空間が存在し、そこに物質が存在する。

私は次の世界観を持っています。
 A空間だけが存在する。空間の密な場所が物質である。

波動関数は物質を表現します。
論文は波動関数を多様体、すなわち空間にしました。
そのため物質と空間の区別はなくなりました。

さらに、私は次の過激な世界観を持っています。
 B有限群だけが存在する。有限群が離散空間を生ずる。
  有限群の要素が素状態である。

有限群とは例えば、正三角形を回転または反転する操作の
集合です。この場合、全部で6個あります。

論文は有限群をモンスター群などの直積で作っています。

連続空間の上に有限群が乗っているのではありません。
何もないところに、有限群だけが存在しているのです。
そして有限群によって近似的な連続空間が生じるのです。

素状態に大きさはありません。
なぜなら、素状態は有限群の要素だからです。
素状態の個数は加算無限ではありません。
なぜなら、有限群の要素の個数は有限だからです。

かなり、過激な話をしているのですが、
話に、ついてこれるでしょうか?(^^;)
25 takoyaki 2015/01/24 (土) 22:35:33 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>23

hirotaさん、こんにちは。
>元の直感にない事を言葉から連想して新たに考えるなんてことは、言葉を表示の道具としか思ってなくて最初から頭に無いですね。
仰ること、わかりますよ。
私も直観がまずあるんですけど、扱える数学言語が乏しいので、使い慣れている文学的な(?)表現になってしまうのです。だから言語で闇雲に考えているというより、抽象概念を何とか言語で表現できないだろうかと、とりあえず自分自身の言語表現と格闘しているみたいな感じでしょうか。

私は当初、頭の中で数学を一から創ってみたいと思いました。
最初に点を作って、その内部空間を考えて、異なるパラメータを持つ点の複合体として、線(点の集合)の概念を生み出し、幾何学を創ろうと思った。できる限り少ない前提で。
でも、点から線を作るのは、とてつもない飛躍だと気づいて、たじろいだ。
大きさ0の点をたとえ無限個並べても、線にはならない。
しかし、線はすでにある。すでにあると認めれば、その線の中には無限個の点があると言えるが、濃度が違う。それは連続体濃度だ。
「点がある」ということがすでに大きな飛躍なのに、それとは独立に「線がある」ことも表明しなくては線を扱うことができない。これは何だか悔しい。
悔しかったのです。

でも、よく考えると集合論と写像のことをもっとよく知れば、これは疑問でなくなるかも。
可算濃度の拡張が、連続体濃度であり、無限の定義から自然とその繋がりが見えてくる概念であるなら、そこまで大きな飛躍とは言えないかも。点も線も、よりシンプルな集合論という枠組みから出てくることになるのだから。
一つの根っこから点と線が生まれ来るなら、それでいいのです。
ちなみに>>21の内容は未だ消化できていません。
まあ、おいおい、じっくり考えてみます。
26 takoyaki 2015/01/24 (土) 23:03:05 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>24

x_seekさん、こんにちは。

空間と物質を同一視する感覚は私にはまだ難解です。
私の発想はまだ17世紀のニュートンの時代の人々の発想なのかもしれません。
でも、自分の発想の限界を超えた概念にトライしていみたい。

離散的な空間から、近似的に連続的な空間が生まれるという考えも、いつか理解できるようになりたいです。

対称性という概念は、これまで何度も目にしてきたし、やはり群論を学ばなければならないのかな・・・。
対称性を持つものだけで、この世界を構成できる、みたいなところがゴールなのでしょうか。
有限群って何だろう?なぜ、それだけが特別なんだろう?


ところで、x_seekさんの論文にはジュリアン・バーバーのアイデアというのが出てきますが、バーバーさんというのはどういう方なのでしょうか?
たぶん物理学の世界では有名な方ですよね。インタビューを見たことがある気がします。
バーバーさんのアイデアとはどういうもので、x_seekさんにどのような影響を与えましたか?
27 x_seek 2015/01/25 (日) 14:06:15 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>26
> 空間と物質を同一視する感覚は私にはまだ難解です。

物質を空間と解釈する考えに賛同する人は少ないと思います。
しかし私は根拠なく主張しているのではありません。
物質→波動関数→円→空間という流れで数学的に論証しています。

波動関数の複素数を一個の円に一対一対応させます。
複素数の絶対値を円の半径にします。
複素数の角度で、円を回転させます。

この円は地球上と同様に円上の位置が区別されます。
だから、回った円は、元の円とは違います。
難しいですかね。(^^;)


>離散的な空間から、近似的に連続的な空間が生まれるという考えも、
>いつか理解できるようになりたいです。

それは下記投稿での離散空間における経路積分の話です。
・多世界解釈によるボルンの規則の導出の#51
 http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/130301001b273c0d#res51

「近い」とはプランク秒後の到達確率が非常に高いということです。
「遠い」とはプランク秒後の到達確率が非常に低いということです。
28 x_seek 2015/01/25 (日) 14:07:27 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>26
> 対称性という概念は、これまで何度も目にしてきたし、
> やはり群論を学ばなければならないのかな・・・。

群論は応用範囲が広いので学ぶ価値があると思います。


> 対称性を持つものだけで、この世界を構成できる、
> みたいなところがゴールなのでしょうか。

それは、筋のよい見方ですね。(^^)
実際、現代物理はその方向に進んでいるように見えます。


>有限群って何だろう?

ここでの「有限群」は一般的な意味での有限群ではなくて
モンスター群のことですよね。

モンスター群は、この世界に26種類だけ存在する
「散在型」と呼ばれる単純群の1つです。
1973年に発見されました。その要素数は、なんと約10^54です。


>なぜ、それだけが特別なんだろう?

理由の一つは散在型単純群が26種類しか存在しないことです。
有限群の種類が有限で、有限群の要素数も有限です。
有限群は離散的なので、無限小もありません。

ムーンシャイン予想で調べれば弦理論との関係も見えてきます。

私は、空間も点も線も実在しないと考えています。
時空のない所に有限種類の有限群だけが存在しているのです。
29 x_seek 2015/01/25 (日) 14:13:41 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>26
> バーバーさんというのはどういう方なのでしょうか?

在野の物理学者で1999年に著書で時間は存在しないと主張しました。


> たぶん物理学の世界では有名な方ですよね。

あまり有名では、ないかな。


> バーバーさんのアイデアとはどういうもので、

そのアイデアとは、次のようなものです。

宇宙に電子が1個だけあるとしましょう。
宇宙は空間1次元で閉じてるとします。スピンは無視します。位置もx1とx2の二つしかないとしましょう。

すると、次のような2種類の世界が存在します。
・電子が位置x1にある世界
・電子が位置x2にある世界

次に、宇宙に電子と陽子だけがあるとしましょう。
すると、次のような4種類の世界が存在します。
・電子が位置x1,陽子が位置x1にある世界
・電子が位置x1,陽子が位置x2にある世界
・電子が位置x2,陽子が位置x1にある世界
・電子が位置x2,陽子が位置x2にある世界

ここまで多世界的に考えたとき、
「あれ?時間って必要?」
という発想に至るわけです。

時間がなくっても、異なる世界が四つあれば、十分ではないかという意味です。
これが「時間は存在しない」の意味です。


> x_seekさんにどのような影響を与えましたか?

彼から私への影響はないと思います。私が論文で彼の著書を引用した理由は、私が独自に到達したアイデアと同じアイデアを彼がその著書で発表していたからです。

それ以前にも同じアイデアに到達した人はいると思います。なぜなら、それは多世界解釈において自然な発想だからです。
30 ひゃま 2015/01/25 (日) 14:21:40 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>29 x_seekさん、お久しぶりです。

時間発展がないと粒子も励起しないので、その論理は成り立たないのではないでしょうか?
31 x_seek 2015/01/25 (日) 15:15:54 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、お久しぶりです。(^^)

>>30
>時間発展がないと粒子も励起しないので、
>その論理は成り立たないのではないでしょうか?

そうですね。ひゃまさんのおっしゃるとおり、
時間発展は必要だと思います。

そのため論文では時間発展として
素状態から素状態への遷移「素事象」を導入しました。

素事象とは点から点への矢印のようなものです。
素事象の定義は論文を参照願います。
32 ひゃま 2015/01/25 (日) 16:59:22 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>31 x_seekさん

では、最初の段階ではどのような処理が最適であるかの議論の段階ではハミルトニアンは不要であるという解釈でよろしいでしょうか?
33 x_seek 2015/01/25 (日) 17:27:00 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>32
>では、最初の段階ではどのような処理が最適であるかの議論の
>段階ではハミルトニアンは不要であるという解釈でよろしいでしょうか?

計算にハミルトニアンは必要です。
でも、ひゃまさんの確認の意図がわからないので、的外れな回答になっているかもしれません。もし、よろしければ、どのような論理展開を経て、ハミルトニアンが不要だと解釈されたのか教えていただけますか?
34 ひゃま 2015/01/25 (日) 17:56:55 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>33 x_seekさん
ああそれは量子情報的な扱いと同じで系の入出力だけで最適化するので、とりあえずはハミルトニアンは関係ない>>29でおっしゃてるのかなと解釈したからです。
あと、多世界解釈では、以下なのかと思いますが、

論文によれば、量子もつれにより相関した多数のbranchを相対状態として波動関数に記述しており、それらのbranch同士はお互いに干渉できないまま常に並存している。 観測者のうちのひとつのbranchの主観では、それと相関したbranchのみが観測可能な世界であって、相関していない他のbranchは観測できない。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%AC%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E5%A4%9A%E4%B8%96%E7%95%8C%E8%A7%A3%E9%87%88

これはx_seekさんの論文でも同じでしょうか?
要は、一般的なシュレディンガー描像やハイゼンベルグ描像や多世界やコペンハーゲン解釈などとの繋がりが見えないのです。
35 takoyaki 2015/01/26 (月) 23:19:10 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

ムーンシャイン予想について調べましたが、まったく話題についていけず、素人の手に余る話だと感じました。いきなり群論やその他数学、あるいは物理の重要な概念をすっ飛ばして理解しようとしても無理があるのだろうな、と思いました。

>私は、空間も点も線も実在しないと考えています。
>時空のない所に有限種類の有限群だけが存在しているのです。
x_seekさんが、このような前提を持って考えていることは認識しましたので、これからはそのつもりで議論についていきたいと思います。

ジュリアン・バーバーさんについてですが、なぜ興味を持ったかと言いますと、この方が「時間は存在しない」と主張しているという話を聞いたことがあるような記憶がありまして、今回の論文にそのバーバーさんのアイデアが引用されていたので、x_seekさんがどこまでその思想(?)を継承しているのだろう、と気になり質問をしました。
>彼から私への影響はないと思います。
とのことでしたので、バーバーさんとは全く別ものの世界観であるということで認識しました。

というわけで時間発展についてバーバーさんがどのような考え方をしているのか気になりましたが、x_seekさんにそれを問うのは違うかもしれませんね。



経路積分についてですが、私がこれについて考えるのはまだ早いというのは自覚していますが、素朴に感じた疑問を書かせて頂きたいと思います。
>時空のない所に有限種類の有限群だけが存在しているのです。
という前提の上では、もしかしたら、もはや意味の無い問いなのかもしれませんが、自分では判断がつきませんので。

経路積分では、あらゆる可能な経路を考え、位相のズレ(の重ね合わせ)から生き残った経路が立ち現れてくるというイメージを私は持っているのですが、これを確率で考えるなら(この前提が間違っているかもしれませんが)、多世界解釈の場合たとえ低い確率であっても、予想外の経路をたどる場合の世界も実在していると考えられるような気がします。その中には、光速度不変の原理を破ってしまうような世界もあるのではないか、というが疑問です。
「ほとんど蓋然性がない」と「完全に0である」は数学的に別ものであるだろう、というのが私の思った疑問です。そして、0ではない確率の中に何かとんでもない物理学的な矛盾が潜んでいないのか、というのが気になったポイントです。そういうことを考慮しても特に問題が無いということであれば、それで納得します。

おそらくですが、x_seekさんの論文では「完全に0である」という結論だったと思いますが、何度もしつこく同じような質問をして申し訳ありません。

つまり、経路積分のみでは、矛盾のある世界まで含んでしまう可能性を否定できないが、素状態のアイデアを導入すると、それを回避できる、みたいな流れで読めばいいのかな?
というのが私の知りたいところです。
言葉足らずで伝わるが自信がありませんが・・・。
36 x_seek 2015/01/27 (火) 00:44:35 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>34
>ああそれは量子情報的な扱いと同じで系の入出力だけで
>最適化するので、とりあえずはハミルトニアンは
>関係ない>>29でおっしゃてるのかなと解釈したからです。

回答いただきありがとうございます。
ひゃまさんの興味の方向性を理解できました。
量子コンピュータに興味をお持ちなのですね。


>あと、多世界解釈では、以下なのかと思いますが、
>(略)
>これはx_seekさんの論文でも同じでしょうか?

他の世界と干渉する可能性は、ごくわずかですが存在します。
でもそれは、エヴェレットの多世界解釈でも同じだと思います。
エヴェレットの多世界解釈との違いは確率を説明する方法です。

エヴェレットは測度という概念を導入して確率を説明しました。
測度の詳細は、私の論文で説明しています。
私は、ラプラスの確率論に基づいて説明しました。

ラプラスの確率論は素事象の個数の比で確率を説明します。
例えば、スピンの測定で、上向きスピンを測定する確率が80%、
下向きスピンを測定する確率が20%だとします。この時、
多世界解釈における世界の個数の比はどうなると思いますか?
37 ひゃま 2015/01/27 (火) 01:03:37 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>36 x_seekさん、こんばんわ
>>多世界解釈における世界の個数の比はどうなると思いますか?

今頃そんなこというなよって怒られるのかも知れませんが、多世界ってなんですか?って根本的な質問なんですw
宇宙を階層構造でみることとその場分けすると摂動、干渉があるっていうのは持論(トップダウン)でもあるのですが、多世界っていうのは分岐(ボトムアップ?)ですよね?意味合いが違うんじゃないかと、どう関係するかがわからないのです。
38 x_seek 2015/01/27 (火) 01:17:01 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>35
>ムーンシャイン予想について調べましたが、
>まったく話題についていけず、素人の手に余る話だと感じました。

ムーンシャイン予想は、数学のまったく異なる分野の間で
不思議な一致が発見され、それが弦理論で証明されたという話です。


>>彼から私への影響はないと思います。
>とのことでしたので、バーバーさんとは全く別ものの
>世界観であるということで認識しました。

影響はないですが、持っている世界観は近いと思います。


>その中には、光速度不変の原理を破ってしまうような世界も
>あるのではないか、というが疑問です。

ありえます。1グーゴルプレックス分の1ぐらいの低確率ですが。


>0ではない確率の中に何かとんでもない物理学的な矛盾が
>潜んでいないのか、というのが気になったポイントです。

物理学的な矛盾は生じません。
ただ、あまりにも低確率なので実際には観測できません。


>つまり、経路積分のみでは、矛盾のある世界まで
>含んでしまう可能性を否定できないが、
>素状態のアイデアを導入すると、それを回避できる、
>みたいな流れで読めばいいのかな?

連続空間では、経路積分だけで問題は生じません。
離散空間では、経路積分で問題が生じますが、
素状態の個数に関する議論で、問題を回避しています。
39 hirota 2015/01/27 (火) 01:26:58 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>有限群によって近似的な連続空間が生じる
何十年か前の子供の頃に聞いた話ですね。
時空概念を革新する試みの話だったんですが、湯川博士の素領域理論(時空の最小単位を素領域とする理論)から始まって、時空そのままを離散的にするより離散的な変換群を考えて時空の代わりにする方が優れてる、というような事を読みましたから、わりと自然な発想なんですね。
今はそれも捨てられて、時空の代わりの物など存在しない、あるように思えるのは一種の錯覚、くらいの過激な話になってるようですが、理解するのが面倒そうなのでパスしてます。
これを片付けないとM理論が出来ないそうなので、それまで放置で…
40 x_seek 2015/01/27 (火) 01:33:09 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>37
> 多世界ってなんですか?

多世界は、シュレーディンガーの猫のように、
生きてる猫がいる世界と、死んでる猫がいる世界に分岐する話です。


>意味合いが違うんじゃないかと、どう関係するかがわからないのです。

多世界と階層宇宙は、まったく別の概念です。

階層宇宙とは、入れ子になっている宇宙の列です。
宇宙の中に宇宙があり、宇宙の外に宇宙があるのです。
ただ、最小距離があるので、無限には続きません。

波動関数は複素数なので、二次元時空の階層宇宙しか作れません。
そこで波動関数を四元数にして四次元時空の階層宇宙を作りました。
41 ひゃま 2015/01/27 (火) 01:45:25 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>多世界と階層宇宙は、まったく別の概念です。

よかったです、それならひゃまも接点があります。
多世界と階層宇宙をくっつけようとしているのかと勘違いしました。
あとは、時空の取り扱いの問題だけです。
ここら辺をもう少し議論してみたいとおもいます。
観測問題に関しては各階層や要素間で時空の役割というものがあると考えてますが、ここら辺はどのように考えていらっしゃるのですか?
42 takoyaki 2015/01/27 (火) 02:05:20 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

質問にお答え頂きありがとうございます。
そもそもなんですが、離散空間においても経路積分というのはできるものなのですか?
経路積分が可能な対象が持つべき前提条件とはどのようなものでしょうか?
なぜそれぞれの世界は経路積分でつながっていると考えられるのでしょうか?
質問が漠然としていて申し訳ないのですが、そのあたりのことを教えて頂けると嬉しいです。
43 x_seek 2015/01/27 (火) 22:11:08 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
hirotaさん、こんにちは。

>>39
>時空そのままを離散的にするより離散的な変換群を
>考えて時空の代わりにする方が優れてる、というような事を
>読みましたから、わりと自然な発想なんですね。

教えて頂きありがとうございます。
モンスター群が発見されたのは1973年頃ですが、そのお話はモンスター群を考慮された見解なのでしょうか?ちなみにダイソンは1983年に次のような言葉を残しています。

<引用開始>
私はひそかなる期待を持っている。その期待を裏付けるいかなる事実も、ましてや、いかなる証拠もない。しかし私は、期待しているのだ。21世紀のある日、物理学者たちが、思いも寄らない方法で宇宙の構造に組み込まれている、モンスター群に遭遇することを。
<引用終了>

モンスター群がいつか物理に現れることを期待している人は少なくないのではないかと思います。
44 x_seek 2015/01/27 (火) 22:19:05 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>41
>観測問題に関しては各階層や要素間で時空の役割というものがあると考えてますが、
>ここら辺はどのように考えていらっしゃるのですか?

すいませんが、ひゃまさんの考えていらっしゃる「時空の役割」というものを教えて頂けますか?それを教えていただけたら、ひゃまさんが、どのような回答を期待されているのか、わかると思います。

ちなみに、階層宇宙は次の目的で導入しました。
・素状態が従う方程式を与えること。

素状態が存在する場所も、同じ宇宙なので、この宇宙と同じ方程式が使えます。
45 x_seek 2015/01/27 (火) 22:20:36 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>42
>そもそもなんですが、離散空間においても経路積分というのは
>できるものなのですか?

はい。ボルンの規則のスレッドの>>51で示したとおり可能です。

>経路積分が可能な対象が持つべき前提条件とは
>どのようなものでしょうか?

弦理論でも使えるので、量子系ならば可能だと思います。

>なぜそれぞれの世界は経路積分でつながっていると
>考えられるのでしょうか?

ボルンの規則のスレッドの>>245でghsoboさんに回答した内容を
読んで欲しいのですが、多粒子の波動関数を考えます。すると、
粒子の位置の違いが多世界における世界の違いとなるのです。

複数の粒子の位置を変えれば、それは別の世界ですよね。
それぞれの世界の違いは、粒子の位置の違いだけですから、
経路積分でつながっているのです。
46 takoyaki 2015/01/28 (水) 00:56:37 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

離散的なものが繋がっているという世界観に、どうやら私はまだうまく飲み込めていない何かがあるようです。わかるような気もするのですが。
ここでいう「繋がる」とは、どういうことだろうか?
なぜ「繋がる」のだろうか?
どうすれば、自分はそれを納得できるのだろう?

そこで、少し質問の仕方を変えてみたいのですが・・・
x_seekさん、質問ラッシュで大変そうですね・・・。

私の質問は後回しでかまいませんので、疑問点だけ先にここに書かせて頂きます。
返答はいつでもかまいませんので、気長にお待ちしております。

一般的に離散的な空間を考える上で、数学のグラフ理論を学ぶ必要はありますか?
ペンローズ博士のツイスター理論について、私は不勉強で詳しく知らないのですが、アイデアとしてx_seekさんの考える離散的な空間の概念とどのくらい似た概念なのでしょうか?
それらを理解するために、初学者はどのような数学的概念を学ぶ必要がありますか?

私たちの身体は、素朴な視点で見ると連続した空間の中にあるように見えます。
これらを拡大していくと、どこかしらのスケールで連続さが失われて、バラバラの要素とそれらの繋がりだけの世界が現れてくる、というイメージで合っていますか?
階層宇宙の概念とは、その要素がまた一つの(近似的に連続な)宇宙を形成しているということでしょうか。
そして、それをまた拡大し、というのを続けていくと、いつか素状態が見えてくる、ということで合ってますか?

よろしくお願いします。
47 ひゃま 2015/01/28 (水) 04:22:50 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 05:24 [修正] [削除]
>>44 x_seekさん、こんばんわ  
>すいませんが、ひゃまさんの考えていらっしゃる「時空の役割」というものを教えて頂けますか?

現在の場の量子論では、真空とは、十分な低温状態下を仮定した場合に、その物理系の最低エネルギー状態として定義される。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9C%9F%E7%A9%BA
物理学の歴史は真空の捉え方の歴史と言われておりますが、階層宇宙は云々の真空の定義は?になろうかと
あと、ひゃまてきには、時空を登場させなくても説明できますかっていう問いになろうかと・・・
48 takoyaki 2015/01/29 (木) 10:22:46 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
「離散的な空間が近似的に連続空間を生み出している」という概念は、言葉で書くのは簡単ですが、日常的なイメージで想像するのには困難を伴います。そこで、私は次のように考察してみました。

仮想現実世界について考えてみます。
仮想現実の世界は、0と1の配列のみによって構築されます。その0と1のデータがどのように保存されているか、またどのように回路内で処理されるか、内部の主観から直接にみることはできません。内部の主観から見れば、仮想現実によって生み出された世界は無限に分割可能であるかのように精密に見えたとします。しかし、実際には極小を拡大していくと、離散的なドットと思える何かが見えてくることにある日気づいてしまった。そこで、初めてこの世界を外側から見たらどうなっているのか、という疑問が湧いてくる。

私が連続的だと考えている宇宙は、仮想現実の内部にいる存在からの視点で見たときのような、自分のスケールを基準にした素朴な世界観であり、
x_seekさんが離散的だと考えている宇宙は、仮想現実の外部にいる存在から神の視点で見た時のような、客観的な世界の姿である。

このように考えればいいのかな、と思った次第です。
勝手な考察ですので、間違っているかもしれませんが。
49 x_seek 2015/01/30 (金) 00:48:14 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>46
>一般的に離散的な空間を考える上で、数学のグラフ理論を学ぶ必要はありますか?

グラフ理論は必要ありません。以下を学ぶ必要があります。
数学:微分積分、線形代数、群論
物理:古典力学、量子力学、経路積分

>ペンローズ博士のツイスター理論について、私は不勉強で詳しく知らないのですが、
>アイデアとしてx_seekさんの考える離散的な空間の概念とどのくらい似た
>概念なのでしょうか?

時空が離散的であることと、空間が点と点を線で結んだグラフであること以外に
共通点はありません。

>それらを理解するために、初学者はどのような数学的概念を学ぶ必要がありますか?

まずは必要な前提知識の少ない微分積分と線形代数、群論を学んでください。
それと並行して古典力学と量子力学を学んでください。
そして量子力学を十分に理解してから、経路積分を学べばよいと思います。

数学も物理も基礎から始める必要があります。
私の経験上、いきなり難しい教科書に挑戦すると挫折します。(^^;)

>そして、それをまた拡大し、というのを続けていくと、
>いつか素状態が見えてくる、ということで合ってますか?

私は、この世界を有限群だと推測しています。
有限群の要素は「操作」ですので拡大しても見えません。

>>48
takoyakiさんは論文の限界を超えた所を知りたいようですね。
それは、私にとって、ありがたいことなのですが、
まずは、論文の前半から始めませんか?

離散空間の考察は、論文における今後の課題です。
今後の課題は、今後の研究の見通しですので、研究はこれからです。
まだ、よくわかっていませんし、間違いも多いと思います。
50 x_seek 2015/01/30 (金) 00:49:42 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>47
>階層宇宙は云々の真空の定義は?になろうかと

真空の定義は、場の量子論と同じです。
場の量子論は場を第二量子化しますが、
階層宇宙では場の量子化を繰り返し第n量子化します。

>あと、ひゃまてきには、時空を登場させなくても
>説明できますかっていう問いになろうかと・・・

現状、説明に時空は必要です。
時空を使わない説明は、今後の課題です。
51 takoyaki 2015/02/06 (金) 21:27:33 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>49

x_seekさん、こんにちは。
色々と教えて下さりありがとうございます。

応用数学は苦手なイメージがありましたが、私もようやく興味が湧いてきました。
古典力学も、ちゃんと勉強したいかなあ、と思ったり。
地道に勉強を続けていきたいと思っています。
52 x_seek 2015/02/22 (日) 01:45:07 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 13:28 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>「多世界解釈によるボルンの規則の導出」のスレッドの#374
>ここで「地球が加速膨張している」を「地球の質量が周囲の空間を加速度的に
>吸い込んでいる」と言い換えることもできそうです。数学的に同じことなら、
>両者の違いはただの言葉の綾かもしれません。
><略>
>私が気になったのは、x_seekさんが、なぜ「吸い込み」という表現のほうを
>選んだのか、ということなのですが、そこには何か理由があるのでしょうか?

はい。理由があります。

もし「物質の加速膨張」が存在するならば、それは観測可能なはずです。
しかし私たちは、物質の加速膨張を観測していません。

その理由として考えられるのは、

「すべての物質が同時に加速膨張しているから」

というものです。定規も同時に加速膨張するので
物質の加速膨張を観測できないのです。

一見、うまくいきそうですが、問題があります。
それは相対論における同時性のずれです。

ある静止系の観測者が2個の物体の大きさを同じと観測したとしましょう。
別の運動している観測者から見れば、同時性がずれているので、
一方の物体は少し過去の物体です。少し過去の物体だと大きさが違うはずです。
物体は加速膨張してますからね。

運動する観測者から見たときに、2個の物体の大きさが違うという現象は
観測されていないので、物質が加速膨張する可能性は棄却されます。

#相対論の同時性のずれって、わかります?
53 takoyaki 2015/02/25 (水) 21:36:19 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>52

x_seekさん、こんにちは。
私の質問にお答え頂きありがとうございます。

>はい。理由があります。
・・やっぱり質問してみて良かったです。何となくそんな気がしていました。

相対論における同時性のズレを私は考えていませんでしたので、なるほど、と思いました。

>相対論の同時性のずれって、わかります?
聞き慣れてはいるけれど、「わかっている」とはとても言えないです。
私が現時点で知っているのは、「加速」すると「同時」がズレるらしい、ということです。
これは観測宇宙を「同時刻」でスライスしようとするとき、観測者の加速状態によって、「同時刻」の面が斜交座標のように斜めに倒れていき、加速前とは違う面で観測宇宙がスライスされることになる、というヴィジュアルイメージを頭の中に抱いています。
だから「加速膨張」の「加速」の部分が重要なのかな、と。

ただ、今回の物質の膨張にそのイメージを当てはめて考えるのはなかなか難しいです。
また「吸い込み」によってなぜそれが回避できるのかも、自分の言葉で説明することはできそうにありません。

またいつものおねだりですけれど、何か分かりやすい説明方法はありますでしょうか?
教えて頂けると嬉しいです。
54 x_seek 2015/02/27 (金) 00:52:07 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>53

すいませんが、同時性のずれによる説明は取り下げます。
わかりやすい説明ではありませんでした。

物資加速膨張説では、月が地球の周りを回る理由を説明できないと思います。
もし地球が加速膨張したら、月までの距離がどんどん短くなります。

一方、空間加速吸収説は、等価原理の言い換えに過ぎません。
55 takoyaki 2015/02/27 (金) 12:53:59 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>すいませんが、同時性のずれによる説明は取り下げます。
>わかりやすい説明ではありませんでした
了解しました。こちらも変なことを質問してしまい、すみません。

>もし地球が加速膨張したら、月までの距離がどんどん短くなります。
もし、地球から月へロケットを飛ばすのと同じ意味で、地球の物質が加速膨張しているなら、月までの距離がどんどん短くなるということでしょうか。
そう言われると、そんな気がしてきます。
最近話題のローレンツ収縮というやつですね。

空間加速吸収説では、物質の位置は見た目通り変わらず、慣性力を生み出す意味での空間(物質ではないものの)の吸収だけがあると。

それにしても重力と慣性力が等価であるというのは実に不思議な理屈を導きますね。
質量はなぜそのように空間を吸収する作用があるのか、そして吸収された空間はどこへ行くのか?不思議です。
それともただの数式上のレトリックのようなものなのでしょうか。
56 x_seek 2015/02/27 (金) 23:14:07 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>55
>>もし地球が加速膨張したら、月までの距離がどんどん短くなります。
>もし、地球から月へロケットを飛ばすのと同じ意味で、
>地球の物質が加速膨張しているなら、月までの距離が
>どんどん短くなるということでしょうか。

私の説明が不正確でした。ごめんなさい。

例えば、地球が風船のように膨らんでいるとします。
すると、地球の半径がどんどん大きくなります。
一方、地球の中心から月の中心までの距離は一定です。
そのため、いつかは地球の表面が月に接触します。


>最近話題のローレンツ収縮というやつですね。

前記のように、地球の表面と月までの距離が短くなるという意味でした。
そのため、ローレンツ収縮とは異なります。


>質量はなぜそのように空間を吸収する作用があるのか、
>そして吸収された空間はどこへ行くのか?不思議です。

takoyakiさんは、問いの立て方にセンスがありますね。(^^)
私も、そのことをずっと不思議に思っていました。

@質量が吸収した空間はどこへ行くのか?
Aなぜ質量は空間を加速吸収するのか?

この問いの答えは何でしょうか?


一般的な考え方ではありませんが、その可能性の一つが階層宇宙です。

@第一宇宙にある質量が吸収した空間は、第二宇宙へ行きます。
 なぜならば、質量は物質であり、物質は波動関数であり、
 波動関数は第二宇宙だからです。質量の真の単位は素状態の個数です。

A第二宇宙は加速膨張するため、第一宇宙の空間を加速吸収します。
 第二宇宙が加速膨張する理由は、
 第一宇宙と第二宇宙の空間の歪みを平均化するためです。
 (ラプラス方程式の導出方法を思い出してください)

実際、我々の宇宙は加速膨張しています。

#我ながら電波な発言だなぁと自戒しつつ…(^^;)
57 takoyaki 2015/02/28 (土) 18:30:45 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>56

x_seekさん、こんにちは。

>一方、地球の中心から月の中心までの距離は一定です。
私はてっきり、こちらの距離も一緒に増えていくのかと思い込んでいました。
でも、よく考えると宇宙空間は質量がほとんどないから、質量由来の膨張だと考えると、地球や月と同様に宇宙空間も膨張するのはおかしいですね。
なるほど、質量は空間を「吸い込む」。一方で、真空はダークエネルギー(質量由来ではない)によって膨張している。そのせめぎ合いって感じでしょうか。

>takoyakiさんは、問いの立て方にセンスがありますね。(^^)
ありがとうございます。励みになります。
むしろ、自分の疑問を通して、答えて下さる方から色々な意見を聞いてみたいという気持ちで問いを考えている部分もありますが。

>一般的な考え方ではありませんが、その可能性の一つが階層宇宙です。
たしかにx_seekさんの考え方はとても壮大ですね。
でも、私が理解できないだけで、しっかり読み解けば緻密なストーリーで一本に繋がっているはずだと信じています。
階層性宇宙が歪みを平均化しようとしている、ですか。なるほど。

ラプラス方程式やラグランジアンや経路積分には、どれも底通する意志があるように感じます。大雑把に言えば「歪みをなくしていく」ってことですかね。
エントロピーの増大もそうかも。
物理って、みんなそういう感じじゃありませんか?
58 x_seek 2015/03/01 (日) 16:59:47 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>57
>でも、よく考えると宇宙空間は質量がほとんどないから、
>質量由来の膨張だと考えると、地球や月と同様に宇宙空間も
>膨張するのはおかしいですね。

takoyakiさんの考察に同意します。

>ラプラス方程式やラグランジアンや経路積分には、
>どれも底通する意志があるように感じます。
>大雑把に言えば「歪みをなくしていく」ってことですかね。

そうですね。
「歪みをなくしていく」方向が正しい方向のように感じます。
59 takoyaki 2015/03/04 (水) 20:58:50 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

すごく馬鹿な質問をしますが、次に私は何を勉強すれば良いでしょうか?

先月はラプラス方程式や合成関数についてx_seekさんから教えて頂きました。
合成関数の証明は面白いものでした。
次は多様体ですか?
続きが気になります・・・またお題を頂けたら嬉しいです。
60 x_seek 2015/03/05 (木) 22:03:47 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>59
>次に私は何を勉強すれば良いでしょうか?

一番大切なことは、楽しむことだと思います。takoyakiさんの興味の
おもむくままに、自分が面白いと思えることをやるのがよいと思います。

ただ、順序は大切かもしれません。
Aを学んでからBを学ぶと簡単でも、
Bを学んでからAを学ぶと難しいことがあるからです。

線形代数と微分積分を学んでおくと、
他の数学書や、物理の教科書を読むのがかなり楽になる気がします。

掲示板で、takoyakiさんがわからないところを理解するための
ヒントを差し上げることはできます。しかし、教科書の情報量には
かないません。しっかり理解するには、教科書が必要です。

教科書のスタイルは簡単なものや難解なものなどいろいろです。
takoyakiさんにとってちょうど良いレベルの教科書を選ぶ必要があります。


>合成関数の証明は面白いものでした。
>次は多様体ですか?

多様体を学ぶ前に、線形代数と微分積分を学んだほうが良いと思います。
なぜなら、線形代数や微分積分を学ぶ前に多様体を学ぶと難しいからです。
数学は基礎から順に積み上げることが大切です。
そうしないと、よくわからない、もやもやした部分が残ってしまいます。


>続きが気になります・・・またお題を頂けたら嬉しいです。

そうですね。また面白い問題を思いついたら、投稿したいと思います。
今は、相対論で面白い問題を出しています。
蟻や幼虫や天道虫が出てくる相対論は、ほのぼのしていて楽しい感じです。(^^)
61 takoyaki 2015/03/10 (火) 23:37:00 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

アドバイスありがとうございます。
参考にさせて頂きます。

>今は、相対論で面白い問題を出しています。
>蟻や幼虫や天道虫が出てくる相対論は、ほのぼのしていて楽しい感じです。(^^)
いやぁ、私もできることなら議論に参加したかったのですが、いかんせん、特殊相対論もろくに勉強していない身でヘタなことは書き込めないな、と躊躇してしまいました。それを言ってしまうと、今までだってさんざん無知を晒して書き込みをしてきたのですが・・・

今日は勝手ながら、現時点での私の勉強方針をx_seekさんに報告しておきたいと思います。
本当に、勝手ながら・・・すみません。

私がいま関心をもって勉強しているのは数理論理学、集合論です。
応用数学を学ぶ前に「無限集合」について自分なりの考え方を身につけてから挑みたいな、という想いがあります。ちょうど今、色々と調べているところです。「無限」はやっぱり奥が深いです。「矛盾」とは何か、ということにも依然として関心を持っています。

無限集合が一段落ついたら、解析学と呼ばれるところの微分、積分を勉強してみたいと思っています。線形代数はちょっと後回しかな、と思っています。

微積分を先にやりたいのは、ニュートン力学をまず理解するためです。
高校時代に多少勉強したとはいえ、この掲示板での議論に加われるほどの素養は残念ながら持ち合わせていません。自分の科学史スレッドでガリレオまで進んだら、自分も本格的に古典力学を一から勉強してみたいと画策しています。それまでに数学の勉強もしておかないとなぁ、と、漠然とそんなことを思っております。

以降、科学史の流れに沿って数学も適宜勉強していきたいと思っています。
あまり効率のいい勉強方法ではないかもしれませんが、それが私の希望です。
自分の中のストーリー重視っていうのでしょうか。

教科書は・・・どうしようかなぁ。
とりあえず高校物理の参考書なら持っているのですが。
相対論まで進むのはだいぶ先になりそうですね。その前にまず高校物理を頑張ります。

最終的にどこを目指しているのか自分でもよくわかりません。
興味があるから、勉強する。
そんな感じです。

またこの先勉強を続けていく中で疑問に思ったことがあったら質問させて頂きたいと思っておりますので、こんな私とも引き続きお付き合い頂けると嬉しいです。
よろしくお願い申し上げます。
62 x_seek 2015/03/17 (火) 22:09:33 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>61
>「無限」はやっぱり奥が深いです。
>「矛盾」とは何か、ということにも依然として関心を持っています。

無限集合は矛盾してるんじゃないかなぁと、個人的には想像してます。
でも無限について徹底的に考えてみることはとても大切なことだと思います。


>微積分を先にやりたいのは、ニュートン力学をまず理解するためです。

その進め方で良いと思います。
微分積分は、物理を学ぶ基盤になると思います。


>以降、科学史の流れに沿って数学も適宜勉強していきたいと思っています。

そうですね。
個人的な意見ですが、数学は歴史の流れに沿って学んだ方が理解しやすいと思います。
いろいろな数学的概念について、いつ誰が発見したのかに、とても興味があります。
また、どのような順序で、どのぐらいの期間を経て発見されたのかにも、
とても興味があります。


>教科書は・・・どうしようかなぁ。

まずは、無料公開している教科書を試してみればよいと思います。
市販の教科書が欲しいと思ったら、その時に入手すればよいでしょう。


>最終的にどこを目指しているのか自分でもよくわかりません。
>興味があるから、勉強する。
>そんな感じです。

社会人の場合は、それでよいと思います。
特に目的があるわけではなく、好きだから勉強するというところでしょうか。


>またこの先勉強を続けていく中で疑問に思ったことがあったら
>質問させて頂きたいと思っておりますので、
>こんな私とも引き続きお付き合い頂けると嬉しいです。

こちらこそ、よろしくお願いします。(^^)

勉強し、自分なりに理解した内容を他の人に説明し、
理解してもらうことは楽しいことですし、
他の人がどのように理解しているかを聞くことによって、
新しい気づきが得られることもありますね。
63 takoyaki 2015/03/20 (金) 23:24:00 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

ここしばらく物理、数学から離れて別のことに夢中になっていました・・・。
こう、他のことをやりながら数学の難しい問題にも取り組む、みたいな器用なことができなくて、仕方なくこちらはご無沙汰しておりました。
もっとスペックのいい頭を持って生まれたら良かったのですが、あんまり贅沢を言ってはいけませんね・・・。
あと花粉症も辛かったです。だいぶマシになりましたが。x_seekさんは花粉は大丈夫ですか?


>無限集合は矛盾してるんじゃないかなぁと、個人的には想像してます。
私もそう思います!
無限集合は概念として、矛盾を孕んでいます。以下、私の考えを述べます。

矛盾とは現在進行形の「可能無限」と過去完了系の「実無限」の鉢合わせのことです。
無限集合(整列集合)では数が常に生成されています。それは限りなく続き終わることがありません。
一方で、集合とは「ものの集まり」のことであり、すでに出来上がったものとして扱われます。
しかし「すべての自然数を集めた集合」というのは変です。集めきることができないのが無限の定義だからです。
したがって、無限集合は常に作りかけの不完全で動的な集合、かなり特別な例外として扱われるべきものだと考えます。

カントールの対角線論法は無限集合を公理として認めた上で、集合同士の要素の「一対一対応」というアイデアを導入して背理法で証明されますが、この証明の中で「一対一対応」が可能無限と矛盾しないので、可能無限なら正しい、ということになろうかと思います。

一方で、実例をまだ出すことはできませんが、無限集合を用いた証明で矛盾が生まれるときは、何らかの形で可能無限と実無限の鉢合わせがその証明の中に現れるのではないかと予想しています。例えば連続体仮説は「証明も反証もできないことが証明されている」そうですが、ひょっとしたら実無限がこれに絡んでいるんじゃないかと私は睨んでいるのです。まだ勉強不足で憶測でしか語れないのが悲しいところですが。

集合や写像の考えに慣れたら、高校時代に習った微積分を改めて概観してみたいです。
連続であるとはどういうことか、「コーシー列」とかちょっと調べてみたいのですが、今はそこまで手が届きません。

>いろいろな数学的概念について、いつ誰が発見したのかに、とても興味があります。
x_seekさんはすでに色々と詳しく知っていそうなイメージを勝手に抱いているのですが、私も興味があります。でも、ちっとも整理がつきません。論理学はライプニッツ→デデキント→ブールというごく大雑把な流れを捉えています。それ以外はそもそも数学的にまだ習っていない概念が多すぎて、調べてもよくわからない。できれば無限集合の勉強を通して公理的集合論が生まれるまでの物語を順序立てて学びたいのですが、今はとても手が届きません。いつのことになるやら・・・
64 x_seek 2015/03/24 (火) 20:15:07 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

私も花粉症です。そのため花粉の多い日は大変です。
でも最近は、花粉も減ってきて少し楽になりました。(^^)

>>63
>矛盾とは現在進行形の「可能無限」と過去完了系の「実無限」の鉢合わせのことです。

このあたりが、非常に微妙で、取り扱いが難しいように感じています。
というのも、現代数学では可能無限と実無限が混ざっているからです。
実際、数学の教科書では普通に自然数の無限集合が出てきます。

無限集合を前提とする数学で、「無限集合は矛盾している」と主張しても
誰からも相手にされません。なぜならば、それは前提だからです。

一つの打開策は、数学を無限数学と有限数学にきっちり分離することです。
有限数学では $n$ までの自然数の集合を $\mathbb{N}_n$ とします。 $n$ の無限極限で自然数集合 $\mathbb{N}$ を構成します。無限極限はεδ論法で定義します。
また $n$ 桁の二進数の小数で集合 $\mathbb{R}_n$ を構成し、 $n$ の無限桁極限で実数集合 $\mathbb{R}$ を構成します。無限桁極限はεδ論法で定義します。

0以上1未満の小数を二進数で並べると小数点以下 $n$ 桁で $2^n$ 行になります。

 0.000...000
 0.000...001
 0.000...010
 0.000...011
 ...........
 0.111...111

桁数が $n$ なので、最小単位を順に可算することで、小数を並べています。
そして、 $n$ の無限桁極限で小数を実数にします。

この表で対角線論法を考えるならば、自然数と実数が一対一対応しないのは当然です。
なぜならば、自然数集合 $\mathbb{N}_n$ の要素数 $n$ よりも小数集合 $\mathbb{R}_n$ の要素数 $2^n$ が常に多いからです。

しかし、この有限桁の小数の無限桁極限が実数かどうかが問題となります。
実際、無限数学では「小数の無限桁極限は実数ではない」と言われます。
なぜならば、無限数学では実数は、最初から無限桁を持つ数字だからです。

そこで、数学を無限数学と有限数学にきっちり分離します。
そして「有限数学では実数を小数の無限桁極限で定義する」と決めるのです。
65 takoyaki 2015/03/31 (火) 22:42:57 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

他のスレッドも議論が活発ですね。-1/12の話など、三角関数や双曲線関数が出てきて、何だか私も興味をそそられるのですが、残念ながら話題についていけないので指をくわえて見守っています。いつか自分も理解できるようになりたいものです。

>>64
>現代数学では可能無限と実無限が混ざっているからです。
このことについて、私も少しずつ事情を理解し始めてはいますが、まだ自分の中で整理がつきません。いずれ自分の数学ノートに私なりの考えをまとめてみたいと思っています。今は科学史の投稿を頑張っているので、そちらが一区切りついたら、始めるつもりです。

>一つの打開策は、数学を無限数学と有限数学にきっちり分離することです。
私もx_seekさんの考えに共感を覚えるようになりました。以前は無条件に実数を受け入れていましたが、実数が無限桁の小数であるということについて今はどう受け止めるべきか考えが定まりません。

数学もさることながら、現実の物理を考える時、果たして実数をベースに考えて良いのかも悩ましい問題だと思います。しかし、すべてを有限で考えるというx_seekさんのスタイルは、今の私にはまだ想像力が追いつきません。すごい挑戦をされているのだと思っています。(これからも是非研究を頑張って頂きたいなと陰ながら応援しております。)

>この表で対角線論法を考えるならば、自然数と実数が一対一対応しないのは当然です。
>なぜならば、自然数集合  $\mathbb{N}_n$  の要素数  $n$  よりも小数集合  $\mathbb{R}_n$  の要素数  $2^n$  が常に多いからです。

>しかし、この有限桁の小数の無限桁極限が実数かどうかが問題となります。

よく考えてみようと思います。
66 x_seek 2015/04/03 (金) 23:37:56 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>65
>以前は無条件に実数を受け入れていましたが、実数が無限桁の
>小数であるということについて今はどう受け止めるべきか考えが定まりません。

私も以前は無条件に無限桁の実数を受け入れていました。
しかし対角線論法をきっかけに疑問を持つようになりました。

本来、無限とは「限りがない」という意味です。
完結した無限集合は、言葉の意味に反します。
実際、ガウスも実無限に反対していました。

>そこでガウスはいかなる形であれ数学に実無限を取り入れることに
>反対の意を表明していました(1831年7月12日付けの書簡)
・実無限に関する様々な立場について(1886) G.カントール
 http://www.geocities.jp/mickindex/cantor/cnt_uSU_jp.html

しかし、無限数学の枠組みで、実無限に反証するのは難しいと考えています。
67 takoyaki 2015/04/05 (日) 15:24:50 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>66

x_seekさん、こんにちは。

カントールの考え方を知る上で、非常に参考になる貴重な資料を教えて頂きありがとうございます。
>いわゆる実無限数に反対する全ての証明が犯している最も大きな誤りは、最初から実無限数に有限数が持つ全ての属性を要求し、あるいは強要していることであり、この点にこうした証明の虚偽が存在します。これに対し、実際には無限数は、そもそもそれが何らかの形で思考可能なものであるならば、有限数との対立を通して全く新しい数の系統を構成せねばなりません。
ううむ、と思わず唸ってしまいました。

>最後に第四の立場では、実無限は具体的にも抽象的にも肯定されます。この立場こそ、私が唯一正しいと考えるものですが、支持する人はごく少数です。この立場を全面的に、その全ての結果において主張している者となると、現在のところ恐らく私一人だけです。しかし私は、私がこの立場を擁護する最後の者にはならないだろうということを確信しております。
カントールさん、かっこいいですね。さすがです。

実無限をめぐる論争で立場が分かれるのは、論証の枠組みに原因がある、と私も考えます。
うまく話を整理できる枠組みがあればいいわけですよね。
自分も考えてみたいな、と思います。
68 NS 2015/05/23 (土) 14:30:16 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの論文
多世界解釈と確率論によるボルンの規則の導出
http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm
@図4.5と図4.12の目盛は不要ではないでしょうか。
A図4.15と図4.16で、t軸となっているのはψ軸ではないでしょうか。
B図4.16の上の説明で「角度θxに対する円の半径」となっているのは
「角度φ・・」ではないでしょうか。
69 x_seek 2015/05/24 (日) 17:39:49 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 17:43 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

takoyakiさんからは、2014/11頃に論文への質問をいくつか頂きました。
それらの質問に回答した内容を、その後、論文に追記しております。
そのため、論文の謝辞に「Tさん」としてお名前を書かせて頂きました。
もし問題あれば、お知らせください。よろしくお願いします。


>>67
>>無限数は、そもそもそれが何らかの形で思考可能なものであるならば、
>>有限数との対立を通して全く新しい数の系統を構成せねばなりません。
>ううむ、と思わず唸ってしまいました。

私が無限という言葉を使う時は常に、
「無限回の操作が完了した」という意味ではなく、
「何回でも同じ操作を繰り返すことが可能」という意味で使っています。

カントールの考える実無限は、自然数1,2,3,...の先にあるものではなく、
そこからは決して繋がることのない、全く新しい種類の概念だと思います。

私は、有限個の自然数から有限回の操作で具体的に構成可能な
数学的概念だけを数学的考察の対象にしたいと考えています。
70 x_seek 2015/05/24 (日) 17:41:25 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、ご指摘頂きありがとうございます。

>>68
>@図4.5と図4.12の目盛は不要ではないでしょうか。

そうですね。目盛を削除し、説明に基づいた軸を追加しました。


>A図4.15と図4.16で、t軸となっているのはψ軸ではないでしょうか。

この図は、元の数式から見直しました。


>B図4.16の上の説明で「角度θxに対する円の半径」となっているのは
>「角度φ・・」ではないでしょうか。

ご指摘の通りです。訂正しました。


下記論文は、私自身よく理解していない所もあるため、
かなりわかりいくい論理展開となっています。
(実際、スピンの論文を書いてから、理解の進んだ箇所もあります)

・多世界解釈と確率論によるボルンの規則の導出
 http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm

それにも関わらず読んで頂けたことに、心より感謝いたします。
論文の謝辞にお名前を書かせて頂きました。よろしくお願いします。
71 NS 2015/05/24 (日) 19:07:34 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>70
これは、内容があまり分からないまま目についたことを指摘してしまったので
「しまった・・」と思うところもありました。
気付かれたと思いますが、私はxとχ(カイ)を混同していました。
ともかく、内容が向上したなら幸いですm(__)m
72 takoyaki 2015/05/24 (日) 23:30:23 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、謝辞に載せて頂き、光栄です。ありがとうございます。
論文も、私が初めて見た時より、かなり充実したものになりましたね。
私など大した事はできませんが、x_seekさんの斬新なアイデアがより多くの人の目に留まって、ますます議論が深まる事を期待しております。

無限について私は最近、微積分の基礎を勉強中なのですが、次から次へと疑問、疑惑が湧いてきて、まだ頭の中が迷走中です。特に積分について、スッキリしません。まだ勉強を始めたばかりなので、しばらくは数学の迷宮を探索したいと思います。
73 NS 2015/05/25 (月) 07:44:27 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの論文で、また見つけてしまいました。
8.2 場の量子論のための定式化の考察
式8.1の数行上に、次のような文章があります。
「こえは粒子の位置が広がっていることそ意味する」たぶん
「これは粒子の位置が広がっていることを意味する」でしょう。
74 x_seek 2015/05/25 (月) 22:06:04 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、ご指摘ありがとうございます。

>>73

訂正しました。(^^;)
75 NS 2015/05/25 (月) 22:53:48 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>74
ありがとうございます(^^)
76 NS 2015/05/27 (水) 18:39:48 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、また見つかってしまったので書きます。
多世界解釈と確率論によるボルンの規則の導出
http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm
式4.3
I^2=-E=(1,0,0,1)
とありますが、これはまずいと思います。
恐らく
I^2=-E
E=(1,0,0,1)
という意図ではないでしょうか。
77 x_seek 2015/05/27 (水) 21:15:29 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>76
教えて頂きありがとうございます。
ご指摘通りのため、訂正しました。
78 NS 2015/05/29 (金) 20:16:50 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、論文のことで質問です。
表面的ではなく、中身のことです。
4.93式の説明「回転角度が180度ならば、位相の符号は負となる」
位相というのは、回転角度のことではないのでしょうか。
fは波動関数で四元数ですね。
「正の四元数」「負の四元数」という表現はおかしいように思います。
回転角度が180度ならば、関数値が(-1)倍になるとか、
そういうことではないのでしょうか。
4.94、4.101、4.102についても同様です。

科学史スレでも話題に出ましたが、「位相」という言葉は
数学(位相幾何学)と物理学(量子力学)では意味が違うようですね。
日本語だけの問題らしいですが・・
少しスッキリした気がします。
79 x_seek 2015/05/29 (金) 21:41:52 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>78
>4.93式の説明「回転角度が180度ならば、位相の符号は負となる」
>位相というのは、回転角度のことではないのでしょうか。

そうですね。ご指摘どおりです。
私は「3次元球面の回転角度」を波動関数の位相と解釈すべきだと主張しておりました。
私の用語の使い方は正しくありませんでした。文章表現を見直します。


>fは波動関数で四元数ですね。

f は四元数です。
波動関数は、f が表現する3次元球面の全体と解釈します。
なぜなら、3次元球面の表面積を波動関数の絶対値と解釈するためです。
波動関数は通常時空 (T,X,Y,Z) の位置の関数 Ψ(ET+IX+JY+KZ) です。


>「正の四元数」「負の四元数」という表現はおかしいように思います。
>回転角度が180度ならば、関数値が(-1)倍になるとか、
>そういうことではないのでしょうか。

はい、そうです。
回転角度が180度ならば、四元数関数fの値は(-1)倍になります。
その場合、多様体は原点に対する対称変換となり、表と裏が入れ替わります。
回転角度が0度の多様体と回転角度が180度の多様体を重ね合わせると、
つまり、立体角毎に表面積の和を取ると、表面積は0になります。


>4.94、4.101、4.102についても同様です。

了解です。書き直します。


>科学史スレでも話題に出ましたが、「位相」という言葉は
>数学(位相幾何学)と物理学(量子力学)では意味が違うようですね。

はい。数学の位相はトポロジーですが、物理の位相はフェーズです。

同じ概念に、異なる名前を付けることや、
異なる概念に、同じ名前を付けることは混乱の元となります。
同じ概念には、同じ名前、
異なる概念には、異なる名前を付けて欲しいと思います。
80 NS 2015/05/30 (土) 05:20:22 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 06:27 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>79
丁寧なご説明、ありがとうございますm(__)m

次は細かい話です。
4.6 多世界解釈における素状態
1行目の「配意空間」は「配位空間」ではないかと思われます。
81 x_seek 2015/05/30 (土) 07:16:19 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、おはようございます。

>>80

教えていただき、ありがとうございます。
訂正しました。
82 NS 2015/05/31 (日) 12:02:42 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 13:42 [修正] [削除]
x_seekさんに質問(と相談?)があります。
x_seekさんは、物理と数学で「位相」の意味が異なることについて
別の名前にしてほしいというご意見のようですが、
どちらに「位相」の名前を残して、もう一方はどんな名前が良いと思われますか?
私は、数学の「位相」は「位」と「相」に意味を持たせているので
(なんか、行列に似ていますね)こちらは残したいです。

実は、科学史スレで「金属」の意味が化学と天文学で違うことについて
化学に詳しい方から突っ込まれてしまいまして。
冷静に考えると、天文学に分が悪い気がするんですね。
おそらくx_seekさんも同意見だろうと思います。
リチウム以上の元素を総称する場合「重元素」が良いでしょうね。
83 hirota 2015/05/31 (日) 12:50:16 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
Phaseの訳は時相でどうだ。
84 甘泉法師 2015/05/31 (日) 13:12:08 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

数学のtopology と物理のphase はちがうものなのに 日本語で同じ位相をあてたのが問題と思います。

安易な解決策は トポロジー、フェーズと違ったカタカナの日本語を当てるようにすること。

物性物理で phase transition 相転移 のようにphaseにほかのつかわれかたがあります。
phaseには実体が存在して(↑の回転盤、分子)、その異なる表れ方に注目する(角度、位置・運動量あるいは集合しての気体液体固体)というイメージがあリます。

θについては角相とか計相とか。回転盤が時計のイメージだと時相ですが時間でかわるだけでなくおいてある場所もいろいろです。

単純に「相」とだけいうのも簡潔かもしれません。・・・諸法空相不生不滅不垢不浄不増不減。
85 サンマヤ 2015/05/31 (日) 13:35:11 ID:p9sSs48hHk [修正] [削除]
phaseを「相」と訳すのは、ときどきみかけますね。
とくに解析力学系(かつ微分位相幾何の要素を含む)の本で、
phase spaceを位相空間といってしまうとわけが分からなくなるので、
「相空間」と訳すことがあります。
86 甘泉法師 2015/05/31 (日) 14:35:25 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>82 科学史スレで「金属」の意味が化学と天文学で違うことについて

未開人の数のかぞえかた「ひとつ、ふたつ、たくさん」と
天文学者の「水素、ヘリウム、金属」の間に親しいものを覚えました。

「そんなのどうだっていいじゃないですか、生きていいけないわけでないし。重いものっていえば金属でしょう。それで十分。」という具合の野生のたくましさを勝手に想像しました。 

(次のリシウムはたしかに金属だし・・・)
87 甘泉法師 2015/05/31 (日) 14:46:56 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
(続)
「木星型惑星の中心には金属水素が存在するか」という議論は天文学者の間では誤解と混乱を招きかねないですね。
88 NS 2015/05/31 (日) 15:40:30 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
甘泉法師さん、こんにちは。

>>86
そうなんですよ。
天文学者はたくましいんです(^^)

>>87
そうですね。恒星や宇宙の元素比を論ずる場合など、「まとめる場合もある」ということです。
やはり「金属」はまずいので「重元素」がよいですね。
89 hirota 2015/05/31 (日) 15:58:08 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
「メタ」の意味は「…の後ろの」だから
ヘリウム以後の元素を「メタル」と言っても間違いではない。
90 NS 2015/05/31 (日) 17:32:58 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
hirotaさん、サンマヤさん、こんにちは。

「位相」の名前には、違和感を持つ人が多いのですね。
不自然な日本語ですし。
物理の「位相」は「相」でよいような気もしてきました。
91 x_seek 2015/05/31 (日) 18:38:59 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 06/02 (火) 20:22 [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>82

学問は、良い名前を付ければ格段にわかりやすくなると、私は考えています。


ある概念に、それと近い意味を持つ名前を付ければ、理解が容易となります。
例えば、画像の90度回転に「回転単位」と命名すれば理解容易です。

一方、その概念に近い意味を持たない名前を付ければ理解が困難となります。
例えば、画像の90度回転に「虚数単位」と命名すれば理解困難です。


名前が日常用語ならば、なお良いと思います。
回転は日常用語であり、理解容易ですが、
虚数は日常用語でなく、理解困難です。


さて、物理の位相ですが、フェーズの訳語としては相とし、
回転する角度を表現する場合は回転角度と呼ぶのがよいと思います。
なぜなら、名前からそれが回転する角度であることがわかるからです。


私は位相幾何学には通じておりませんので、
数学の位相に対する意見は控えさせていただきます。

以上をまとめると下記の通りです。
・物理:位相→相、または回転角度

実際の所、位相は日常用語でないため、理解困難なのだと思います。
92 NS 2015/05/31 (日) 20:40:50 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。
>>91
「位相」は確かに日常語でないですね。
「位相幾何学」より「構造幾何学」の方が、本質は伝わる気がします。
波動関数の場合、「位相と振幅」で身構えてしまうところがあります。
「振幅」は「位相」より日常的ですが、少ししっくり来ません。
「回転角度と絶対値」なら分かりやすいと思います。
93 NS 2015/06/01 (月) 12:01:08 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの論文
多世界解釈と確率論によるボルンの規則の導出
http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm
@4.2.1 4次元時空の閉じた経路
式4.49でΨ(C)は複素数とありますが、四元数ではないでしょうか。
A4.2.2 波動関数の絶対値の導入
「カルツァ=クライン理論と余剰空間として3次元球面Sを導入する」
とありますが、「カルツァ=クライン理論と同様に・・」
ではないでしょうか。
B図4.10と図4.11で、Z(z)の文字が切れています。
94 x_seek 2015/06/01 (月) 14:01:17 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>92
>「位相」は確かに日常語でないですね。

物理の位相を日常で使うならば、「Aさんとは波長が合わない」に対し、
「Aさんとは位相が合わない」といったところでしょうか。
後者の場合、タイミングさえ合えば、うまくいきそうな感じがします。


>「振幅」は「位相」より日常的ですが、少ししっくり来ません。

振幅(しんぷく)ではなく振れ幅(ふれはば)と呼べば日常的な気がします。


>「回転角度と絶対値」なら分かりやすいと思います。

「回転角度と絶対値」ならば
「偏角と絶対値」の方が組み合わせ的に良さそうです。


>>93
>@4.2.1 4次元時空の閉じた経路
>式4.49でΨ(C)は複素数とありますが、四元数ではないでしょうか。

一般的な波動関数は四元数ではなく複素数と考えられています。
この論文の目的は、一般的な波動関数を3次元球面と解釈することなので、
この波動関数は複素数としました。
しかし引数を四元数とするのは適切でないため見直しました。


>A4.2.2 波動関数の絶対値の導入
>「カルツァ=クライン理論と余剰空間として3次元球面Sを導入する」
>とありますが、「カルツァ=クライン理論と同様に・・」
>ではないでしょうか。

そうですね。訂正しました。


>B図4.10と図4.11で、Z(z)の文字が切れています。

教えて頂き、ありがとうございます。訂正しました。
95 NS 2015/06/01 (月) 16:07:17 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>94
>後者の場合、タイミングさえ合えば、うまくいきそうな感じがします。

そうですね。ありがとうございますm(__)m

>しんぷくでなく、ふれはばと呼べば日常的な気がします。

なるほど。読み方で変わりますね。面白いです。

>「偏角と絶対値」の方が組み合わせ的に良さそうです。

まさに!複素数の極形式ですね。

>一般的な波動関数は複素数と考えられています。

そうですね。基本的なことを忘れていましたm(__)m

あおるわけじゃないですが、土曜日の深発地震はやばい気がします。
可能な備えは怠らないようにしたいものです。
96 NS 2015/06/02 (火) 18:31:12 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの論文で、式2.2の説明が分かりません。
<tex>| \psi  _{k} ></tex>
と係数aが式に見当たりません・・
97 x_seek 2015/06/02 (火) 20:25:05 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 20:55 [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>82
>リチウム以上の元素を総称する場合「重元素」が良いでしょうね。

リチウム以上の元素を金属と呼ぶことは、日常用語の観点で適切でない気がします。
ただ、どう呼べば良いかについては、よくわかりません。
私は天文学に通じておりませんので、意見は控えさせていただきます。


>>92
>>「位相幾何学」より「構造幾何学」の方が、本質は伝わる気がします。

私は位相幾何学に通じておりませんので数学の位相への意見は控えるべきでした。
そのため、投稿>>91は修正しました。申し訳ありません。
#位相は「組織構造」の方が良い気がしますが、よくわかりません。


>>95
>あおるわけじゃないですが、土曜日の深発地震はやばい気がします。

次のwikipediaを読んでみましたが、
深発地震の発生メカニズムは、よくわかっていないようですね。

・深発地震
 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%B1%E7%99%BA%E5%9C%B0%E9%9C%87


>>96
>x_seekさんの論文で、式2.2の説明が分かりません。

説明を少し変えてみました。


><tex>| \psi _{k} ></tex>
>と係数aが式に見当たりません・・

係数  $a$  を追記しました。

・多世界解釈と確率論によるボルンの規則の導出
 http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm
98 NS 2015/06/02 (火) 21:03:45 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>97
>私は天文学に通じておりませんので、意見は控えさせていただきます。

私も通じていませんが・・了解しました。

>私は位相幾何学に通じておりませんので、数学の位相への意見は控えるべきでした。

私も通じていませんが、「位」と「相」に意味を持たせるのが面白いと思いました。

>深発地震の発生メカニズムは、よくわかっていないようですね。

ネットでは根拠のない噂が広まっているようですが、分かりませんね。
ベテルギウスの爆発とどっちが早いか?

>説明を少し変えてみました。

かなり変わりましたね(^^)
また取り組んでみます。
99 NS 2015/06/03 (水) 15:39:59 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの論文で、4.1 2次元時空の宇宙のミンコフスキー空間Uを考えておられますが、
複素数でミンコフスキー平面は表せないのではないでしょうか。
一つの方法として「分解型複素数」があります。
http://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0
分解型複素数のペアで分解型四元数も作れますが、これは2+2=4次元となってしまい、
3+1=4次元にする方法は分かりません。
他の方法はないのか?と思ってEMANさんの「時空回転と不変量」を読んでみたら、
「符号の違いが気になるなら、時間を虚数にすれば?」
というような記述がありました。
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/invariable.html
ひょっとしたら、これがヒントになるかもしれません。
100 x_seek 2015/06/03 (水) 19:30:25 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>99
>複素数でミンコフスキー平面は表せないのではないでしょうか。

そうですね。複素数でミンコフスキー空間を表現することは一般的でないため、
ミンコフスキー空間を使わない表現に改めます。


>分解型複素数のペアで分解型四元数も作れますが、
>これは2+2=4次元となってしまい、3+1=4次元にする方法は分かりません。

論文では、4次元時空の座標(t,x,y,z)を四元数s=t+ix+jy+kzで表現しています。
そのため、2次元時空の座標(t,x)は複素数s=t+ixで表現しています。

四元数のローレンツ変換の方法は検討中です。
101 NS 2015/06/04 (木) 16:07:05 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

ラプラスの確率の定義は
「同様に確からしい複数の場合において」から始まっており、
確率を定義するのに確率を使っていて、
これは循環論法ではないか?という批判があります。
これについてはどうでしょうか。
102 x_seek 2015/06/04 (木) 19:40:04 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>101

NSさんのご指摘通り、確率の定義ならば循環論法ですね。
では、確率の計算方法ならば、どうでしょうか?


例として次の文を考えます。

 物質の質量は原子の質量の合計である。

上記の文は、質量の定義ではなく、計算方法を示しています。
同様に次の文も確率の定義ではなく計算方法を示していると解釈できます。

 事象の確率は根元事象の確率の合計である。

ラプラスは次のように主張したと私は解釈します。

 等しい発生確率を持つ根元事象なるものが存在し、
 一般的な事象の確率は、その根元事象の個数の比で計算できる。

根元事象の具体例は、サイコロの目であり、コインの裏表です。
根元事象の等確率性は、根元事象の対称性に由来すると考えます。


上記の考え方に基づき、論文の表現を見直しました。
103 NS 2015/06/04 (木) 20:23:35 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
>>102
なるほど。計算方法ですか・・了解です。

実は今、takoyakiさんに触発されて昔挫折した岩波文庫の「科学と仮説」
(ポアンカレ著、河野伊三郎訳)を読んでいますが、こんな文章がありました。

幾何学の対象は特殊なある「群」の研究である。
しかし群の一般概念は我々の理知の内に先在している、
少なくともその可能性を内に蔵している。

これはx_seekさんの「宇宙は数学的事実である」に近いように思いました。
見当違いだったらすみません。
104 takoyaki 2015/06/04 (木) 21:56:24 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>102
x_seekさん、NSさん、こんにちは。

>では、確率の計算方法ならば、どうでしょうか?
なるほど、と思いました。
循環論法だからダメ、という論法も、ときに顧みる必要があるのではないかと思うことがあります。というのも、循環論法に陥らずに定義できる「存在」が果たしてどれほどあるものかと思うからです。

>>103
「科学と仮説」読まれているんですね。私も読み始めることにしました。
105 聖白馬ホーリーウマゴン 2015/06/04 (木) 22:29:26 ID:WTcxHMNgQk [修正] [削除]
僕も数学における「定義」というものは何なのか興味があります。循環論法はなぜいけないとされているのでしょうか?循環論法を許容すると困ったことが生じる、例えば理論に矛盾が生じるとかいうことがあるのでしょうか?普通に確率の計算をする分には多分困らないのでしょうね。この辺は公理的集合論を知らなくても普通に数学を使う分には矛盾に出くわさないで済む事情と似ているかもと思いました。そもそも数学においてある対象を定義するとはどういうことですか?定義が厳密だ、厳密じゃないっていうの何を基準に言ってることなんですか?
>というのも、循環論法に陥らずに定義できる「存在」が果たしてどれほどあるものかと思うからです。
そうなんですか?僕はまだよく分かってないんですが例えば循環論法で定義される「存在」にはどのようなものがあるんですか?

カントルが与えた素朴な集合の定義、確定したよく区別しうるナントカカントカはどのようにまずいのでしょうか?数学で何を考えるときにこの定義じゃ困ってくるんでしょうか?確率の分野でも循環論法では困ったことが生じる場面があるのでしょうか?それとイプシロンデルタ論法を使う意義というのもよく分かっていません。イプシロンデルタ論法じゃないと困ったことになる場面ってどんなものですか?ちょっと書きすぎましたが教えていただけるとありがたいです。

106 NS 2015/06/04 (木) 23:11:48 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
深い・・深すぎる・・もう寝ます。
http://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E8%AB%96%E6%B3%95
107 聖白馬ホーリーウマゴン 2015/06/04 (木) 23:14:37 ID:WTcxHMNgQk [修正] [削除]
なんだか確率に関してはこの知恵袋の回答を見て納得してしまったんですがhttp://m.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/q11146061306
だぶんx_seekさんのおっしゃることと同じですよね?違うかな。
現代の確率論では確率を直接定義せずに確率の満たすべき性質を幾つか定めて間接的に定義してるそうですね。これは集合の場合と似ていますね。でもなぜ普通の定義では困るのかやっぱり分かりません。
108 x_seek 2015/06/04 (木) 23:52:26 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 06/05 (金) 08:41 [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>103
>しかし群の一般概念は我々の理知の内に先在している、

上記の発言は数学的直観主義に基づくものと推測します。
私は、この発言を次のように解釈しました。

 群の概念は、人間の理性と知恵の中に、元々存在している。

私は、次のように考えています。

 群の概念は、人間の精神活動とは無関係に、
 時間も空間も物質もない所に、元々存在している。

何もない所に、散在型有限単純群モンスターの概念だけが存在し、
その群の概念の存在によって、宇宙が存在しているかのように
感じているのではないかと考えています。

数学的直観主義では、数学的概念とは人間の精神活動の産物です。

私は数学的概念は人間の精神活動の産物ではないと考えています。
それは人間の精神活動とは無関係に存在します。

数学的概念とは、人間が発明するものではなく発見するものです。
NSさんの公式も、発明されたのではなく、発見されたのだと考えています。
109 x_seek 2015/06/04 (木) 23:57:12 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>104

NSさんの>>101の指摘は、非常に的確な指摘でした。
ラプラスの確率定義が循環論法であることは有名な話で、
救う手立てがないように思えました。しかし、少し考えてみて、

「そうか!これは定義ではなく計算方法なのだ」

と、ひらめきました。

たいしたひらめきでは、なかったかもしれませんが、
「なるほど」と思ってくれた人が二人もいてくれたので、
きっと良いひらめきだったのでしょう。


「なるほど」と言ってくれる人がいることは
私にとって、とても有難いことです。

私は、かなり一般常識から外れたことを主張しているので、
多くの人から、狂人と思われていると推測します。

しかし「なるほど」と言ってくれる人が一人でも存在するならば、
それは私が狂人でないことの証明になるような気がします。
だから、とても有難いと思っています。
110 x_seek 2015/06/05 (金) 00:01:47 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ウマゴンさん、こんにちは。

>>105
>僕も数学における「定義」というものは何なのか興味があります。

ある視点では、数学における「定義」とは略記による記述量の節約です。
例えば、
 2:=1+1
 3:=2+1
 4:=3+1
 ...
 9:=8+1
と定義します。(記号「:=」は左辺を右辺で定義するという意味です)

すると、
 1+1+1+1+1+1+1+1+1 + 1+1+1+1+1+1+1+1+1
と書く代わりに、
 9 + 9
と略記でき、記述量を節約できます。


>循環論法はなぜいけないとされているのでしょうか?

例えば「GNUって何の略だろう?」と思って調べると、
GNUが「GNU is Not Unix」の略であることがわかります。
それでも、やっぱりGNUのGが何の略なのか解らなくてストレスがたまります。
111 takoyaki 2015/06/05 (金) 00:30:17 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>105
ウマゴンさん、こんにちは。

>例えば循環論法で定義される「存在」にはどのようなものがあるんですか?
例えば(詳しく学んだわけではありませんが、)「ノイマンの再帰的定義」というのが、それに当たると私は考えています。
これについては「takoyaki の数学ノート」の155と156で私が言及しています。
ノイマンは自然数があると仮定してから、自然数を定義しているように私は思いました。
そのような方法を「自然数の再帰的定義」として認めてしまおうという(実務的な?)判断だと思っています。

とはいえ、このあたりは私も勉強中ですから、あまり深く突っ込まれても詳しく答えられません。
参考までに、ということでお願いします。
112 hirota 2015/06/05 (金) 00:34:18 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
数学で「well defined」という言葉が出てきたら、「循環論法で定義してるけど矛盾してないよ」と解釈して良い。
確率の定義は色々な物があったけど、どれにも共通する性質だけで定義したら何にでも使える上に理論の展開にも充分だった。
113 takoyaki 2015/06/05 (金) 00:45:19 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさんの話が理解できないとき、それはx_seekさんが狂人だからなのではなく、勉強不足のために自分には同じものが見えていないからだと思っています。
114 NS 2015/06/05 (金) 07:55:45 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん
>>108
>群の概念は・・時間も空間も物質もない所に、元々存在している。

「人間の」という修飾語をつけるからいけないのかもしれません。
「時間も空間も物質もない所」が「精神」「理知」なのかもしれません。
115 聖白馬ホーリーウマゴン 2015/06/05 (金) 08:52:38 ID:WTcxHMNgQk [修正] [削除]
>>111
「takoyaki の数学ノート」は一通り目を通してるので知ってますよ。「再帰的定義」あるいは「帰納的定義」は論理式の定義にも使われている方法ですね。『学んでみよう!記号論理』には何故か載ってませんが、練習帳スレにある慶応義塾大学の講義ノートには載っています。というかほとんどの本には載っているようです。その定義は「命題変数及び命題定数は論理式である。」などという文から始まります。ところでウィキペディアを見ると「循環定義」と「再帰的定義」は区別されているようです。ウィキペディアによれば循環定義との違いは、
>再帰的定義にはその定義を使わずに定義される基本となるケースが存在することである。
だそうです。詳しくはウィキペディアの「再帰的定義」の項目を見てください(リンクの貼り方が分からなくてすみません)。
116 聖白馬ホーリーウマゴン 2015/06/05 (金) 09:01:12 ID:WTcxHMNgQk [修正] [削除]
今思い出しましたが数学の「漸化式」も再帰的な定義と言えるのでしょうか?ウィキペディアの印象だと「循環定義」が単なる悪循環と言われているのに対して「再帰的定義」は数学では広く認められている定義方法なのかな?とはいえ僕も変な定義の仕方だなあと思います。
117 NS 2015/06/05 (金) 09:02:21 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
再帰は数学的帰納法に似ていますね。
118 NS 2015/06/05 (金) 15:49:37 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの論文で
@式4.112 の前「一方、確率Pはラプラスの確率の定義に基づいて」
とありますが、ここも「計算方法」に直されるとよいのでは?
A式4.112 の次「NがNより十分大きいとすれば」
とありますが、「NaがNより・・」ではないでしょうか。
119 x_seek 2015/06/05 (金) 20:25:29 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>118

ご指摘頂きありがとうございます。訂正しました。
120 NS 2015/06/06 (土) 20:58:41 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの論文で、波動関数の位相の導入のところを読んでみました。
@式4.67の左辺は、式4.21と同じでΦ(Ω)でなくΦ(ω)ではないでしょうか。
A式4.74の右辺後半は、式4.28と同じでδS(r, ω, Ω)ではないでしょうか。
B式4.75の右辺後半は、式4.29と同じでR(r, ω, Ω)ではないでしょうか。
C四元数のほうで、虚数単位行列がIしかなくてJとKが出てきませんが、
これはこれでよいのでしょうか。
121 x_seek 2015/06/06 (土) 21:50:10 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>120
>x_seekさんの論文で、波動関数の位相の導入のところを読んでみました。

ありがとうございます。m(_ _)m

>@式4.67の左辺は、式4.21と同じでΦ(Ω)でなくΦ(ω)ではないでしょうか。
>A式4.74の右辺後半は、式4.28と同じでδS(r, ω, Ω)ではないでしょうか。
>B式4.75の右辺後半は、式4.29と同じでR(r, ω, Ω)ではないでしょうか。

@ABについて、ご指摘通りのため訂正しました。


>C四元数のほうで、虚数単位行列がIしかなくてJとKが出てきませんが、
>これはこれでよいのでしょうか。

3次元球面を回転させる軸は、任意に選ぶことができるので、
計算を簡単にするため、exp(IΦ)で回転しています。
そのため、論文の議論では、今の所、JとKは出てきていません。
(JとKも出てくる議論については検討中です)
122 NS 2015/06/07 (日) 10:12:01 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>121
4.2.1 4次元時空の閉じた経路
ここでも、sは一般には四元数だが、今は複素数に限って議論している。
という理解でよろしいでしょうか。
123 x_seek 2015/06/07 (日) 16:33:25 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>122
>ここでも、sは一般には四元数だが、今は複素数に限って議論している。
>という理解でよろしいでしょうか。

変数sは複素数ではなく、次のような四元数です。
 s=t+ix+jy+kz

今は、一個の粒子の一次元の閉じた経路を考えています。
経路のある平面は、任意に選ぶことができるので、
計算を簡単にするため、y=0, z=0 平面上の経路を選び、
経路をr exp(iθ)で表現しています。
124 NS 2015/06/07 (日) 17:41:58 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
>>123
そうですね。sは四元数であって、複素数ではありませんね。
ここでは四元数空間の中のy=0, z=0 平面上の経路を選んでいるのですね。

ただ、複素数が実数を含んでいるのと同じように
四元数は複素数を含んでいるのは確かですが、
四元数の三つの虚数単位i, j, kは完全に平等なので
四元数の中の複素数は t+ix, t+jy, t+kz の三つが存在します。
t+ixだけではないので、この意味でも私の発言はおかしかったですね。
すみませんでしたm(__)m
125 聖白馬ホーリーウマゴン 2015/06/08 (月) 04:54:31 ID:WTcxHMNgQk [修正] [削除]
>>112
>確率の定義は色々な物があったけど、どれにも共通する性質だけで定義したら何にでも使える上に理論の展開にも充分だった。
なるほど納得です。
126 NS 2015/06/08 (月) 09:24:07 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
ポアンカレ「科学と仮説」より
「我々には力が何であるかはすっかりわかっている。・・
この直観は筋肉の収縮から生じた概念で、我々が幼時から慣れているものである。
しかし・・それは力学の基礎とするには不十分であろう。
重要なのは力が何であるかを知ることではなくて、力の測り方を知ることである。」
127 NS 2015/06/08 (月) 13:03:50 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの論文「多世界解釈と確率論によるボルンの規則の導出」
http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm
3.12 カルタンの微分形式
@式3.47の左辺 dS1 は、δS1 ではないでしょうか。
A式3.48の左辺 dS2 は、δS2 ではないでしょうか。
B式3.48の上の説明で、δS2のSが小文字になっているようです。
128 x_seek 2015/06/08 (月) 21:22:18 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>124
>ただ、複素数が実数を含んでいるのと同じように
>四元数は複素数を含んでいるのは確かですが、

ご意見に同意いたします。表現が難しいですね。(^^;)
「四元数体の部分体である複素数体」といったところでしょうか。
複素数体が四元数体の部分体であったがゆえに、
これまで波動関数を複素数とみなすことができたと私は考えています。


>>126
>重要なのは力が何であるかを知ることではなくて、力の測り方を知ることである。」

ポアンカレの考察は深いですね。
我々は力そのものではなく、力を受けた物体の時刻毎の位置を測定しています。
量子力学で考えると、力は確率的な現象のように思えます。


>>127
>@式3.47の左辺 dS1 は、δS1 ではないでしょうか。
>A式3.48の左辺 dS2 は、δS2 ではないでしょうか。
>B式3.48の上の説明で、δS2のSが小文字になっているようです。

@ABについて、ご指摘通りのため訂正しました。
129 NS 2015/06/09 (火) 12:25:43 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 18:10 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

ポアンカレは「科学と仮説」で、まる一章を費やして「確率」についても論じています。
そこで「ベルトランのパラドックス」が紹介されていました。
http://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%81%AE%E9%80%86%E8%AA%AC
私は知りませんでした。
これがx_seekさんの論文に影響するか分かりませんが・・
ご参考になれば幸いです。
130 x_seek 2015/06/09 (火) 22:54:37 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>129
>そこで「ベルトランのパラドックス」が紹介されていました。

教えて頂き、ありがとうございます。

ベルトランのパラドックスは連続的な対象での確率の難点を示したものだと思います。
私の論文では、確率の対象を離散的にすることで、この難点を回避しています。

波動関数は波のようなものですが、確率が波の高さの2乗に比例することはとても
奇妙です。私は、この理由を何年も考え続け、あるアイデアを思いつきました。
それが事象原理です。事象原理では、素状態から素状態への遷移が素事象となります。

ベルトランのパラドックスでは、確率は円の弦の本数に比例しますが、
私の論文でも、確率は円の弦の本数に比例します。
数珠のような円があり、数珠の玉が素状態です。(論文の図4-22:多世界解釈の素状態)
そして、玉と玉を結んだ弦が素事象となります。

・多世界解釈と確率論によるボルンの規則の導出
 http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm
131 NS 2015/06/10 (水) 11:53:29 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 16:18 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>130
ベルトランのパラドックスは、似たイメージだったようですね。
x_seekさんに見えている世界が、少しだけ見えたような気がします。
132 NS 2015/06/11 (木) 11:19:14 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 15:59 [修正] [削除]
x_seekさんの論文で
@図3-4:ファインマンの経路積分で
x座標bに対応するt座標がta(aは添字)になっています。
これはtbではないでしょうか。
A式3.43 と式3.44と式4.90 で周回積分の範囲が二次元閉曲面になっていますが
三次元閉曲面と思われます。
B図3-9:カルツァ=クライン理論で
薄いグレーの線は、何を表しているのでしょうか。
C図2-1と図3-6の目盛と凡例?は、何を表しているのでしょうか。
133 x_seek 2015/06/11 (木) 23:09:31 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>132
>@図3-4:ファインマンの経路積分で
>x座標bに対応するt座標がta(aは添字)になっています。
>これはtbではないでしょうか。

ご指摘通りのため訂正しました。

>A式3.43 と式3.44と式4.90 で周回積分の範囲が二次元閉曲面になっていますが
>三次元閉曲面と思われます。

数式の書体と解像度の複合要因によりS^3がS^2のように見えていたため、
周回積分の範囲をS^3ではなくSと表記するように変更しました。

>B図3-9:カルツァ=クライン理論で
>薄いグレーの線は、何を表しているのでしょうか。

円筒の陰線処理の線だと思います。(HTML化の際になぜか表示されたと推測)
図を描きなおしたので、薄いグレーの線は消えたと思います。

>C図2-1と図3-6の目盛と凡例?は、何を表しているのでしょうか。

目盛と数式(右上の小さな文字列)は不要だったため、消去しました。
134 NS 2015/06/12 (金) 13:11:44 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

ネット論文は(ネットにかぎりませんが)苦労が多そうですね・・
と言いながらすみません、また見つかったのでお知らせします。
式4.114 右辺の分母はプランク長の三乗になっていますが
四乗ではないでしょうか。
135 x_seek 2015/06/13 (土) 00:37:20 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>134
>式4.114 右辺の分母はプランク長の三乗になっていますが
>四乗ではないでしょうか。

教えて頂き、ありがとうございます。m(_ _)m
ご指摘通り、プランク長の四乗が正しいです。


2012/9に、この論文を書いていた頃、私は波動関数を2次元多様体だと考えていました。
そのため、2次元多様体の表面積をプランク長の2乗で割れば、素状態の個数を
計算できると考えていました。

その後、2013/5に、スピンの波動関数を3次元球面で表現する論文を書きました。
波動関数を3次元球面で表現する場合、素状態の個数を計算するには、
3次元球面の表面積をプランク長の3乗で割る必要があります。

そのため、論文でプランク長のn乗の記載箇所を訂正していたのですが、
該当箇所の訂正が漏れていました。


式4.116の通り、素粒子の観測確率は、素粒子の位置の偏差の2乗に比例します。
つまり不確定性原理に基づいて測定精度を向上させると検出効率は低下します。
逆に、不確定性原理に基づいて測定精度を低下させると検出効率は向上します。

直感に反するこの奇妙な効果は、将来、実験で検証できると予想します。
136 NS 2015/06/13 (土) 08:48:38 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>135
x_seekさんのお考えにも変遷があったのですね。
不確定性原理自体、直感には反しますけど、よく聞けば納得できます。
137 x_seek 2015/06/14 (日) 11:23:28 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>136
>不確定性原理自体、直感には反しますけど、よく聞けば納得できます。

不確定性原理は、粒子が確定した位置と運動量を持たないという原理です。
コペンハーゲン解釈では、観測前の位置と運動量は存在しないと解釈します。
一方、多世界解釈では、粒子の位置が各世界に波のように広がっていると解釈します。

不確定性原理に基づいて測定精度を低下させると検出効率が向上するという効果は、
私自身納得しがたい奇妙な効果です。そして、この理論の不可避な結論でもあります。

この効果は実験で簡単に否定できそうな気がしますが、
これと矛盾しない効果として、量子ゼノン効果が知られています。
量子ゼノン効果とは、測定頻度を高くすることで現象の発生を抑止する効果です。

量子ゼノン効果は、時刻の測定精度の向上で観測確率が低下したと解釈できます。
138 NS 2015/06/14 (日) 12:32:47 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 22:31 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>137

測定精度を低下させると検出効率が向上するというのは、直感通りとも思えます。
望遠鏡でも目的の天体を探すとき、倍率は低いが視野が広いファインダーに入れてから
倍率が高く視野が狭い本体で観測しますが、それとは違うのかな・・
139 NS 2015/06/16 (火) 19:06:45 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 20:40 [修正] [削除]
x_seekさんの論文で、4.2は4次元時空の宇宙ですので
@図4-16の虚軸は ix+jy+kz でないとまずいかなと思います。
A図4-12と4-14の虚軸は
>>121 で検討中とのことですので、微妙ですね。
B式4-72と4-73の間の文で「振幅円S」とあるのも検討中事項でしょうか。
140 x_seek 2015/06/16 (火) 21:10:23 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 06/17 (水) 22:57 [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>138
>測定精度を低下させると検出効率が向上するというのは、直感通りとも思えます。

量子ゼノン効果に似たこの効果を、仮に事象ゼノン効果と呼ぶことにします。
この事象ゼノン効果を、簡単な例で説明したいと思います。

空から豆が降ってくるとしましょう。それを地面に敷き詰めた皿で受け止めます。
通常、豆は皿に当たって止まりますが、
説明の都合上、豆はある確率で皿を透過することにします。

皿一枚あたりの豆の観測確率は皿の面積に比例します。
皿を小さくすると、それに比例して皿一枚あたりの豆の観測確率は低下します。
なお、単位面積あたりの検出効率は皿一枚の面積に依存せず一定です。

ここまでは古典力学的な話ですが、豆を電子だとして、
皿の大きさが390^2 fm^2程度に小さくなると、事象ゼノン効果により
皿一枚あたりの電子の観測確率が、皿の面積の2乗に比例し始めると予想します。
その結果、電子の観測確率は急激に小さくなります。

単位面積あたりの検出効率も減少するため、直感に反する効果と考えています。


>>139
>@図4-16の虚軸は ix+jy+kz でないとまずいかなと思います。

そうですね。変更しました。

>A図4-12と4-14の虚軸は
>>>121 で検討中とのことですので、微妙ですね。

図4-12と4-14はexp(IΦ)で回転しているため、
回転平面としてET軸とIX軸の平面を描くのは問題ないと考えています。

>B式4-72と4-73の間の文で「振幅円S」とあるのも検討中事項でしょうか。

振幅円は球面に訂正しました。
141 NS 2015/06/16 (火) 22:10:59 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>140
>事象ゼノン効果
古典力学的な部分はよく分かりますが、その後の部分が不思議ですね。
まさに直感に反しています。
ゼノンの名は、ゼノンのパラドックスで有名なゼノンに由来するようですね。
量子ゼノン効果、すごく不思議です。
「火山をじっと観測し続ければ火山は噴火しない」みたいな・・
日本中の火山に適用してほしいです(^^)
142 takoyaki 2015/06/16 (火) 22:55:51 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>140
x_seekさん、こんにちは。
>事象ゼノン効果
私も不思議だな、と思いました。
143 NS 2015/06/18 (木) 20:06:35 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm
上記のx_seekさんの論文で、図3-1:多粒子波動関数についてです。
x1軸とx2軸とありますが、説明文から考えますと
x軸とy軸とすべきように思われますが如何でしょう。
z軸は書けないから省略されているのですね?
144 x_seek 2015/06/18 (木) 21:56:25 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>141
>量子ゼノン効果、すごく不思議です。

そうですね。

原子を励起状態にすると基底状態に戻るときに光を放出します。
通常、原子は単位時間毎に一定の確率で光を放出します。
ところが、原子の外で、光の放出を観測していると
なぜか原子は、光を放出しにくくなります。

直感的には、いつ光を放出するかは原子の外部とは独立に決まるはずです。
なぜ原子は、原子の外部で観測していることを知っているのでしょうか?
とても不思議です。


>>143
ご指摘頂きありがとうございます。

>x1軸とx2軸とありますが、説明文から考えますとx軸とy軸とすべきように
>思われますが如何でしょう。

粒子1の座標をr1=(x1,y1,z1)、粒子2の座標をr2=(x2,y2,z2)とした時に、
多粒子の波動関数であることを強調するため、
粒子1の座標のx1と粒子2の座標のx2でグラフを表現しました。

>z軸は書けないから省略されているのですね?

はい。y軸とz軸は描けないので、省略しています。
145 x_seek 2015/06/18 (木) 21:57:35 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>137
>私も不思議だな、と思いました。

同意頂き、ありがとうございます。
事象ゼノン効果に似た他の例としてレーザーがあります。

レーザの基本原理は1917年にアインシュタインが発表しました。
タウンズが1953年に世界初のマイクロ波増幅器を開発しましたが、
ボーアとノイマンは最初、理論的に不可能だと反対したそうです。
そのぐらい、直感に反する不思議な現象です。

原子を励起状態にすると基底状態に戻るときに光を放出します。
通常、原子は全立体角のすべての方向に等しい確率で光を放出します。
ところが、原子の外で、光がある方向へ走っていると
なぜか原子は、その光と同じ方向に光を放出しやすくなります。

直感的には、どの方向に光を放出するかは原子の外部とは独立に決まるはずです。
なぜ原子は、原子の外部を走っている光の方向を知っているのでしょうか?
とても不思議です。
146 x_seek 2015/06/18 (木) 22:26:23 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>144
量子ゼノン効果は、事象論の概念で解釈することができます。

事象論では、原子は実際に単位時間毎に一定の確率で光を放出していると解釈します。
外でたまたま、光の放出を観測していると、
放出された光は、その観測系とともに、一つの局在状態を形成します。

ある特定の現象の発生が抑止されているのではなく
局在状態が細かく分離されているために観測確率が低下していると解釈します。


例えば、100個の素状態を含む局在状態があったとして、
光を放出しない局在状態A(98個)と光を放出する局在状態B(2個)に分けます。
すると、各局在状態が含む素事象の個数比は約10000:4になります。

この結果、光の素状態は単位時間毎に一定の確率で放出されますが、
光を放出する局在状態が含む素事象の数は、
光を放出しない局在状態が含む素事象の数よりも非常に少なくなります。
その結果、我々人間は、光を放出しない原子を観測し続けることになるのです。


量子ゼノン効果による爆弾判定実験も同様に解釈します。
爆弾が爆発する世界は一定確率で存在しますが、その局在状態が細かく
分断されているので、その局在状態の観測確率が非常に下がっているのです。
147 NS 2015/06/18 (木) 23:16:35 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>144
了解しました。

>>146
素事象の個数が、素状態の個数の二乗であることが大きく効いてきますね。
陽子の崩壊だと確率はきわめて小さいですから、その二乗としたら・・
とんでもなく小さくなりますね。
確かに説明できそうです。
148 takoyaki 2015/06/19 (金) 07:38:44 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

レーザーの話、ありがとうございます。
とても興味深いです。

>ボーアとノイマンは最初、理論的に不可能だと反対したそうです。
初めて知りました。
こういう話を聞くとボーアよりアインシュタインの方が量子論に対して深い理解に達していたのではないか、みたいなことをつい思ってしまいます・・・。←観衆の心理かな(?)

本題はなぜ「全立体角のすべての方向に等しい確率で光を放出する」はずの原子がレーザーという現象を生み出すのか、ということですが・・・。
>>146も合わせて読むと色々な想像に掻き立てられます。
149 NS 2015/06/19 (金) 11:20:26 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>148
全く違いますが、マクロでも同様なことがありますね。
地球が受けとる太陽エネルギーは全体の22億分の一に過ぎません。
太陽は全ての方向にエネルギーを放出しているからです。
ところが特異な天体では宇宙ジェットと呼ばれる現象があり、
特定の方向に集中してエネルギーが放出されることがあります。
このメカニズムは完全には解明されていないようです。
150 hirota 2015/06/19 (金) 13:00:47 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
「完全には」なんて言ったら解明されてるものなど一つもないけど、大体は解明されてます。
レーザーの誘導放出の方は、量子力学では結果の確率で物事が決まってしまいますから、デタラメな方向,位相で出すより同方向,同位相で出す方が効率が良くて確率も大きいくらいに思っておけば良いでしょう。
結果の確率で物事が決まると言うのは、干渉で波動関数が消える所は「波が来てから消える」のではなく「始めからそこには来ない」という、結果を見て行き先を決めてるような話です。
151 x_seek 2015/06/20 (土) 17:58:53 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>148
>こういう話を聞くとボーアよりアインシュタインの方が量子論に対して
>深い理解に達していたのではないか、みたいなことをつい思ってしまいます・・・。

アインシュタインはボーアよりも深く量子論を理解していたと、私は考えています。
なぜならアインシュタインはボーアの気づかなかったEPR相関を提示したからです。


>本題はなぜ「全立体角のすべての方向に等しい確率で光を放出する」はずの原子が
>レーザーという現象を生み出すのか、ということですが・・・。

この現象を、量子論(一部、事象論)で説明してみようと思います。


今、3個の光が右へ走り、2個の光が上へ走っているとします。
この時、新たに放出される光が飛ぶ方向の右と上の確率比は、どうなるでしょうか?



奇妙なことに、右方向と上方向の確率比は、4:3となります。
それは次のような理由です。

今、仮に、2個の光が上方向へ進んでいるとしましょう。

これらの光にa,bと名前を付けます。
そして、空間における位置をx1,x2とします。
位置x1にいる光aの状態をa(x1)と表現します。
ある時刻の状態をa(x1),b(x2)として、
次の瞬間には次の状態に遷移する可能性があります。
a(x1),b(x2)
a(x2),b(x1)

合計2通りです。つまり事象の個数は2個です。
光の集団は、毎時刻に、このすべての場所換えを繰り返しながら進んでいきます。


この光の集団に1個の光が加わると、合計3個の光になります。
これらの光にa,b,cと名前を付けましょう。
そして、空間における位置をx1,x2,x3とします。
ある時刻の状態をa(x1),b(x2),c(x3)として、
次の瞬間には次の状態に遷移する可能性があります。
a(x1),b(x2),c(x3)
a(x1),b(x3),c(x2)
a(x2),b(x1),c(x3)
a(x2),b(x3),c(x1)
a(x3),b(x1),c(x2)
a(x3),b(x2),c(x1)

合計6通りであり元の3倍になっています。素事象の個数は元の3倍です。
光の集団は、毎時刻に、このすべての場所換えを繰り返しながら進んでいきます。

合流する光の集団が大きい方が、事象数が多くなり観測確率も上昇します。
このため、元々n個の光が飛んでいたら、そこに合流する確率は(n+1)に比例します。
この結果、本来、全立体角に等確率で光を放出するはずの原子は、
ある特定の方向に放出しているかのように、観測されるのです。



ただし光の吸収確率もnに比例するので、このままでは光の個数を増幅できません。
そのため、特別な条件を用意する必要があります。この条件を反転分布といいます。

この反転分布を滑り台で説明します。

たくさんの子供が滑り台で遊んでいるとしましょう。
滑り台の上Aと、滑り台の下B、滑り台の階段の上Cがあります。

C_
#_\___A
#_____\
#______\
#_______\
#________\B

AからBへすべった子供は、BからAへ登るのに必要なエネルギーを持つ光を放ち、
直ちにBからCへ移動します。
そのため、常にAがいっぱいで、Bがガラガラの状態です。これが反転分布です。
Bがガラガラなので、BからAへ登るのに必要なエネルギーを持つ光が飛んできても、
BからAへ登る子供はいません。

このため、光の放出だけが発生し、光の吸収は抑制されます。
152 takoyaki 2015/06/20 (土) 22:23:46 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>なぜならアインシュタインはボーアの気づかなかったEPR相関を提示したからです。
あとは、「ボース=アインシュタイン凝縮」の予言なんかもしていますよね。

>合計6通りであり元の3倍になっています。素事象の個数は元の3倍です。
右方向の3個についても、考えてみました。
3個の場合の事象は6通り。
これが1個増えて4個になると、事象は4!で24通り。一般的には(n+1)!ですね。
「6通り」→「24通り」なので、4倍に増えました。

原子から光子が1個放出されるとき、右方向に3個、上方向に2個光子が飛んでいるとした場合、
光子は全方向に等確率で飛び出すが、事象の数は右方向が4倍、上方向が3倍になります。
そのため、観測される確率は4:3になる。

一度方向が決まると、おそらく隣りの原子もそれに従うようになるので、ますます一方向への偏りが大きくなっていく。それがレーザーということでしょうか。

ルールは理解できたつもりですが、改めて概観するとやはり不思議です。
はじめに>>151の4:3の比率を見たときには、めくるめく光量子の神秘にダイブしたような感覚に陥りました。

光の吸収確率と反転分布の話は、なぜこれが問題になるのか、ということから分からず躓いてしまいました。現時点では、すごくざっくりとした感想ですが、「満席になってると入ってこない」みたいな話かな?と想像しました。
153 x_seek 2015/06/21 (日) 16:48:31 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>152
>一度方向が決まると、おそらく隣りの原子もそれに従うようになるので、
>ますます一方向への偏りが大きくなっていく。それがレーザーということでしょうか。

円筒の両端に鏡を置き、合わせ鏡で光を反射させて増幅します。
下記記事などが参考になると思います。

・レーザーの基礎知識
 http://www.laserfront.jp/learning/basic1.html


>光の吸収確率と反転分布の話は、なぜこれが問題になるのか、
>ということから分からず躓いてしまいました。

本来ならば、光の放出と吸収が同頻度で起きるため増幅できなくなるようです。
反転分布の必要性に関しては、次のページの説明が、わかりやすいと思います。

・負の温度(反転分布)を利用したレーザー発振の原理
 http://masa-cbl.hatenadiary.jp/entry/20130109/1357738635


>現時点では、すごくざっくりとした感想ですが、「満席になってると入ってこない」
>みたいな話かな?と想像しました。

滑り台の上は、満席には、なっていないようです。
滑り台の下が、常にガラガラだからという理由となります。
154 NS 2015/06/21 (日) 18:54:55 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、takoyakiさん、こんにちは。
負の温度について初めて知ったのは、都筑卓司氏の「マックスウェルの悪魔」という本でした。
「マイナスの温度とは、無限大の温度をもっとはげしく?したもののことである」
という説明がありましたが、全く分かりませんでした。
ところが今読み返すと、その説明の上に三つのグラフがあります。
「各エネルギー準位にある粒子の分布状態で温度を定義すると、無限大やマイナスの温度が存在する」
「ボルツマン因子が1より大きくなるためには、いやでもTがマイナスでなければならない」
「ふつうに熱を加えるだけでは、上の準位の粒子の方が多くなることはない。
スピンの体系に磁界をかけておき、突然磁界の向きを逆にするのである」
読み返したら、全部説明してあるのですよ!
ありがとうございますm(__)m
155 x_seek 2015/06/21 (日) 21:26:05 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 22:12 [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>154

もしNSさんのお役に立てたのならば、幸いです。(^^)
私も、ブルーバックスのように、
物理の面白さを平易な言葉で伝えられたらいいなと思っています。
156 takoyaki 2015/06/21 (日) 23:53:02 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
世の中のレーザーというのはすべて負の温度(反転分布)を利用しているのですか?

少し前のニュース記事なのですが、負の温度(反転分布)というのは2013年に初めて明らかになった物理現象だと私は誤解していました。

「マックス・プランク研究所ら、絶対零度より低温の気体を実証。熱効率100%超の内燃機関が実現可能に?」
http://sustainablejapan.net/?p=3407

では、このニュースは何が新しかったのでしょうか?
157 hirota 2015/06/22 (月) 00:39:07 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 00:47 [修正] [削除]
1954年に発明されたアンモニア・メーザーも1960年に発明されたルビー・レーザーも、レーザーとかメーザーとか言われる物は全部が反転分布を利用してます。
引用の記事には「運動する粒子においてマイナスのケルビン温度が実現された初めての例」と書かれてますから、これは粒子の運動エネルギーが反転分布してます。
レーザーとかメーザーは電子などのエネルギー準位が反転分布してますが、数個の準位だけの反転分布ですから実現は容易で、これを負の温度と言うのはこじつけめいてますが粒子運動の負の温度は本格的です。
158 takoyaki 2015/06/22 (月) 00:45:35 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>157
ありがとうございます。
納得しました。
159 takoyaki 2015/06/22 (月) 08:06:47 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>153
>円筒の両端に鏡を置き、合わせ鏡で光を反射させて増幅します。
ミラーの一方から光が通り抜ける原理がわかりません・・・。
「反射する」と「透過する」は矛盾しませんか?
160 聖白馬ホーリーウマゴン 2015/06/22 (月) 10:33:25 ID:WTcxHMNgQk [修正] [削除]
>>159
ハーフミラーですか?一部が透過し、一部が反射するっていう。ガラスや水面でもそうですよね。原理は分かりません。
161 hirota 2015/06/22 (月) 11:44:50 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
波動という物は媒体の性質(動き難さと動かす力)のバランスによって波の速度やエネルギーに決まった関係がある物です。
それが性質の違う媒体に全部が入りますと境界で関係式を満たせなくなってしまいます。
しかし、一部が反射して一部が通過するとすれば各種関係式を満たすことが出来ます。
つまり、ハーフミラーは物理法則を満たすための必然です。
162 NS 2015/06/22 (月) 11:56:51 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
>>156
このニュース、私は知りませんでした。
勉強になります。
takoyakiさん、hirotaさん、ありがとうございますm(__)m
163 takoyaki 2015/06/22 (月) 12:10:45 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>161
ありがとうございます。
納得しました。
164 x_seek 2015/06/22 (月) 20:53:05 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 06/23 (火) 20:11 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>159

光の反射と透過は確率的な現象です。次の記事が参考になると思います。

・量子力学の薄膜干渉
 http://www.geocities.jp/x_seek/coat.html

元ネタはファインマンの一般向け書籍「光と物質のふしぎな理論」です。
この本は、ほとんど数式を使わずに量子力学の本質を説明しています。

・光と物質のふしぎな理論―私の量子電磁力学 (岩波現代文庫)
http://www.amazon.co.jp/dp/4006001770
165 NS 2015/06/22 (月) 23:00:00 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。
>>164
「経路積分」につながっていく話かと思いますが、今まで何となく避けてきたというか・・
でも面白いですね。
「光が粒だからこそ星が見える」は都筑さんの「不確定性原理」で読みました。

連続的な考え方では、星からの光はあとからあとからと続いてやってくる。
だから、やってくる光のエネルギーを視神経の分子がしばらく溜めておけば
やがては1エレクトロン・ボルト程度になるが、そのしばらくの時間は、
計算してみると数分から数十分になる。
実際には・・そんなおかしなことにはなっていない。空を仰いだ瞬間に星が見られる。
暗夜に外出してしばらくすると星の光がはっきりしてくることはあるが、
これは瞳孔が拡大したせいであり、やってくるエネルギーが蓄積されたためではない。

直進する光も、重ね合わせなんですね。もちろん実験に基づいて。
166 x_seek 2015/07/21 (火) 23:53:18 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 00:29 [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>165
>直進する光も、重ね合わせなんですね。もちろん実験に基づいて。

はい。光は本来いろいろな方向へ進みます。
その重ね合わせの結果、直進する光が観測されます。

もしも光の経路が、一本の直線だけならば、光は直進できません。
光の経路が横方向に複数存在することで、はじめて光は直進できます。

この不思議な現象を人の行進で説明してみます。

一列の行進の場合は、一人一人が勝手な方向へ進んでいき、直進できません。
しかし、八列の行進の場合は、一人一人が勝手な方向へ進むことができなくて、
全体として直進し続けることになります。

人が勝手な方向へ進むことができない原因は、
その方向に別の人がいるからというわけではありません。
勝手な方向へ進む事象は干渉し消えてしまいます。
その結果、人は直進することしかできなくなるのです。
167 NS 2015/07/25 (土) 08:06:23 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 18:54 [修正] [削除]
>>166
光は直進します。
人は意思を有しており、あえて曲がった道をゆくこともできます。
「この道しかない」誰かの催眠術にかかるのではなく、
自分の未来は自分で決めてゆきたいものです。
今の政治の方向はどうも危ないと思っているので。
168 NS 2015/12/12 (土) 12:32:20 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
四元数とミンコフスキー空間について調べてみました。
普通の四元数はユークリッド空間ですが、ミンコフスキー空間の四元数としては次の二つが考えられます。
@複四元数(biquaternion)
ハミルトンは四元数を発表した翌1844年に複四元数を発表しました。
普通の四元数は各要素が実数ですが、各要素を複素数とする四元数です。
時間を実数とし、空間を純虚数とすると4次元ミンコフスキー空間になります。時間が純虚数、空間が実数でも同様です。
A双曲四元数(hyperbolic quaternion)
スコットランドのマクファーレンは1890年代に双曲四元数を発表しました。
二乗して-1になる普通の虚数単位でなく、二乗して1になる三つの虚数単位を実数に加えたものです。
この奇妙な虚数単位は直線y=xについての対称移動を表していて、1848年にイングランドのクックルが考案しました。
これでもミンコフスキー空間を作れますが、双曲四元数はとても不便な数です。乗法の結合法則が成立せず、(ij)j≠i(jj)のようにalternativeでもないので十六元数並みです。
現代では@の説明がされることが多いようです。
169 x_seek 2015/12/13 (日) 18:14:22 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

四元数だけでローレンツ変換を表現するのは難しいようです。
そのため、四元数の各要素を複素数とする試みがあるようですね。
複四元数は四元数と複素数の直積H×Cで表現できると思います。

私としては、階層的な構造を持つ宇宙を表現するために、
階層的な構造を持つ四元数H×H×H×…×Hを検討したいと考えています。
170 NS 2015/12/17 (木) 20:19:23 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
複四元数は複素数を成分とする二次正方行列とも同型です。
ただ、係数の複素数と同じではなく、少しばかりの変換が必要です。
同様に、実数を成分とする2×2行列は四元数と同型にはならず、
1849年にクックルが発見した分解型四元数split quaternionと同型になります。
この変わった四元数のノルムは時間と空間が2次元ずつで
2次元の時間?想像がつきません。
この他、1873年にクリフォードが発見した分解型複四元数split biquaternionは四元数の直和H+Hであり
四元数を成分とする2×2行列もspacetime algebraというとか
いろいろあるようです。
171 NS 2015/12/19 (土) 08:12:51 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 12/20 (日) 10:50 [修正] [削除]
複四元数は実数係数だと8次元でh, i, j, k, hi, hj, hkの7つの虚数単位を持ちますが
ミンコフスキー空間を作るのはhi, hj, hkの3つ(と実数)です。
この3つはパウリ行列に対応しています。またディラック行列は2×2の複四元数行列とも考えられます。私にとっては新鮮でした。
172 x_seek 2015/12/20 (日) 12:40:57 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>171
>この3つはパウリ行列に対応しています。
>またディラック行列は2×2の複四元数行列とも考えられます。
>私にとっては新鮮でした。

お考えに同意いたします。
私はパウリ行列を複素数と四元数の直積C×H、
ディラック行列を四元数と四元数の直積H×Hと解釈したいと考えています。
173 NS 2015/12/21 (月) 21:03:27 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>172
>ディラック行列を四元数と四元数の直積H×Hと解釈したいと考えています。

ディラック行列は、相対論の次の式が成り立つように
<tex>E ^{2} =  \left(pc\right)  ^{2} +  \left(mc ^{2} \right)  ^{2} </tex>
1次式のエネルギーの係数を1、運動量の係数をα1,α2, α3, 質量の係数をβとして求めますが
各αとβは完全に対等で単位行列が入っていないので、このままでは難しそうです。
βの代わりにエネルギーの係数1を単位行列Eと見なして、Eと各αをディラック行列とすれば
H×Hでたとえば1, fi, gi, hiと解釈できそうです。
174 x_seek 2015/12/21 (月) 22:06:07 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

ディラック方程式は次の通りです。
<tex>i\frac{\partial\psi}{\partial t} =-i\bold{\alpha}\cdot\nabla\psi+\beta m\psi</tex>
両辺にiをかけます。
<tex>-\frac{\partial\psi}{\partial t} =\bold{\alpha}\cdot\nabla\psi+i\beta m\psi</tex>
上記の式で $i$ と $\beta$ をセットにして考えます。

そして、H×Hの四元数単位を{I,J,K}×{i,j,k}とします。
すると
<tex>\alpha_x \sim Kk</tex>
<tex>\alpha_y \sim Kj</tex>
<tex>\alpha_z \sim Ki</tex>
<tex>i\beta \sim I</tex>
の置き換えで、ディラック行列の性質を満たします。
175 NS 2015/12/21 (月) 23:28:15 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
>>174
ありがとうございます。
もう一度取り組んでみます。
176 NS 2015/12/22 (火) 19:27:33 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
>>174
確認しました。ディラック行列は四元数の直積H×Hと解釈できます。
驚きました。行列でしか表せないと思い込んでいたし、そう書いてあるものが多いので。
四元数の直和H+Hはsplit biquaternionという名前らしいですが、直積は名前はあるのでしょうか。
もし無いなら、命名上手なx_seekさんは名前を考えておられるでしょうね。
これは階層的な構造の足掛かりに過ぎないのでしょうか・・
177 x_seek 2015/12/22 (火) 21:33:18 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>176
>確認しました。ディラック行列は四元数の直積H×Hと解釈できます。

確認いただき、ありがとうございます。
私だけが主張しても、誰も信じてくれませんので、とても助かります。
(実は、次の記事のネタでした)


>驚きました。

そのように言っていただけて、とても光栄です。
わたしも、この事実を発見した時、とても驚きました。
この驚きを共有してくれる方がいてくれて、とてもうれしいです。


>行列でしか表せないと思い込んでいたし、そう書いてあるものが多いので。

はい。四元数の行列でディラック行列を表現する文献が多いです。
これまでの所「ディラック行列は四元数の直積H×Hで表現できる」と
記述している文献を、見つけることはできていません。


>四元数の直和H+Hはsplit biquaternionという名前らしいですが、
>直積は名前はあるのでしょうか。

まだ名前はないようです。そのため、次の名前を検討しています。
・H×H:円環四元数(Toric quaternion)

階層的な四元数は、次の名前を検討しています。
・H×H×H×…×H:階層四元数(Hierarchical quaternion)


>これは階層的な構造の足掛かりに過ぎないのでしょうか・・

階層四元数は階層宇宙(入れ子になっている宇宙)を表現します。
円環四元数は、階層宇宙の二階層分、私たちの住む「マクロな宇宙」と
一階層下にある「ミクロな宇宙」を表現していると推測します。
178 coJJyMAN 2015/12/22 (火) 23:38:04 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
こんばんは。
ディラック行列は四元数の直積H×Hではないのでは?
クリフォード代数の分類では、ディラック行列は
<tex>Cl_{1,3}(\mathbb {C} )=Cl_{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} =\mathbb {H} \otimes \mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} </tex>
なので、これは $\mathbb {H} \otimes\mathbb {H} $ とは違うと思いますよ。( $\mathbb {H}=Cl_{0,2}(\mathbb {R} )$ です。)
cf.)
https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_Clifford_algebras
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_algebra

179 NS 2015/12/23 (水) 09:35:45 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 11:55 [修正] [削除]
>>178
こんにちは。
x_seekさんは方程式の両辺にiをかけ、iとβをセットにして考えておられます。
βにはiが掛かっているのでディラック行列そのままではないですが、よく似ています。
このiを掛ける操作にはどんな意味があるのでしょうか。次の記事が楽しみです。

iを掛ける操作はローレンツ変換、カイラリティーなどに関係するようです。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E8%A1%8C%E5%88%97
180 x_seek 2015/12/23 (水) 11:59:52 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
coJJyMANさん、コメント頂きありがとうございます。

>>178
>ディラック行列は四元数の直積H×Hではないのでは?

頂いたコメントに回答するため、
ディラック方程式導出の論理を、再確認したいと考えます。

ディラック方程式の波動関数は4成分であることが知られていますが、
そのことを一旦忘れます。波動関数はN成分のベクトルかも知れませんし、
複素数や四元数の直積かも知れません。

方程式として、次の形を仮定します。
<tex>i\frac{\partial\psi}{\partial t} =-i\bold{\alpha}\cdot\nabla\psi+\beta m\psi</tex>
ここで、 $\bold{\alpha}$ と $\beta$ の中身も一旦忘れます。
上記の方程式がクライン=ゴルドン方程式を満たすには、
次の関係式を満たす必要があります。

<tex>\alpha^r\alpha^s+\alpha^s\alpha^r=0,(r\neq s)</tex>
<tex>\alpha^r\alpha^r=1</tex>
<tex>\beta \alpha^r+\alpha^r\beta=0</tex>
<tex>\beta^2=1</tex>

4行4列の複素行列が上記の関係式を満たします。
しかし上記の関係式を満たすならば、それ以外の表現でもよいのです。
例えば、複素数や四元数の直積でも構いません。

ただ、そのままでは、うまく四元数の直積で表現できません。
>>174の式変形で方程式の $i$ と $\beta$ をまとめ、
 $i$ と $\beta$ をセットで考えることで、はじめて
四元数の直積で表現できるようになります。

四元数の直積で表現された新しいディラック方程式の波動関数は虚数を含みません。
その方程式の波動関数は四元数の直積だけを含みます。
181 x_seek 2015/12/23 (水) 12:34:37 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>179
>このiを掛ける操作にはどんな意味があるのでしょうか。

方程式の両辺にiをかける操作自体には特別な意味はありません。
なぜならば、方程式の両辺に $\beta$ をかけることでも、
同じ目的を達成できるからです。

その目的とは、iを  $\bold{\alpha}$ と $\beta$ にくっつけて、まとめ、
最終的に四元数の直積に吸収させることで、iを消し去ってしまうことです。
182 NS 2015/12/23 (水) 15:36:24 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>181
なるほど。iを消すことが目的だったのですね。
coJJyMANさんへの返事で「虚数を含みません」とあって「?」と思いましたが
複素数を含まず、四元数の直積だけを含むということですね。
183 coJJyMAN 2015/12/23 (水) 20:29:38 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
いやあすいません。
何度考えても、ディラック方程式に出てくる行列については、
4元数を2行2列の行列に入れた形にしか持っていけません。
8元数ならおっしゃることはわかるんですけれど。。
参考)8元数を使ったディラック方程式については、
"OCTONIONIC DIRAC EQUATION"
http://arxiv.org/pdf/hep-th/9609033.pdf

4元数の直積で考えるのであれば、元のクライン=ゴルドン方程式から、
ディラックとは違うやり方で(波動?)方程式を導き出すことになると思います。
この場合、ディラック方程式とは違う方程式になりますけど、
方程式の解が物理的に解釈可能であればいいですね。
184 x_seek 2015/12/24 (木) 00:26:28 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
coJJyMANさん、こんにちは。

>>183

このアイデアは、まだ検討段階であり
細部まで十分に詰めきれておりませんので、
これ以上の議論は差し控えたいと思います。

貴重なコメントを頂きありがとうございました。
185 x_seek 2015/12/24 (木) 00:47:23 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>182
>複素数を含まず、四元数の直積だけを含むということですね。

はい、そうです。
ただ、このアイデアはまだ十分に詰め切れていないため、
もう少し検討したいと思います。
186 NS 2016/01/06 (水) 19:33:29 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
Spin groupをwikiで調べてみると、次のような記述がありました。

Spin(1)=O(1)
Spin(2)=U(1)=SO(2)
Spin(3)=Sp(1)=SU(2)
Spin(4)=SU(2)×SU(2)

よく分かりませんが、ご参考まで。
187 NS 2016/01/17 (日) 20:13:28 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 01/18 (月) 15:43 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

名前の問題で、ちょっと気になるところがあります。
三次元球面と円周の直積を「トーラス(円環)」と表現されているところです。
n次元トーラスは<tex>S ^{1} </tex>のn個の直積を指します。
二次元トーラス=<tex>S ^{1} </tex>×<tex>S ^{1} </tex>
三次元トーラス=<tex>S ^{1} </tex>×<tex>S ^{1} </tex>×<tex>S ^{1} </tex>
<tex>S ^{2} </tex>×<tex>S ^{1} </tex>は、三次元アニュラス<tex>S ^{2} </tex>×<tex>I</tex>を境界の球面で貼り合わせたもの
<tex>S ^{3} </tex>×<tex>S ^{1} </tex>は、四次元アニュラス<tex>S ^{3} </tex>×<tex>I</tex>を境界の三次元球面で貼り合わせたものですが、特に名前は無いようです。
論文では「円環空間」の定義があるので問題ないと思われますが、一般的な「n次元トーラス」と異なることは説明されてもよいかな?と思ったりします。
188 x_seek 2016/01/19 (火) 01:08:06 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>187
そうですね。
一般的なn次元トーラスとは異なることも説明しようと思います。
189 NS 2016/01/22 (金) 14:07:44 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。
「トーラス」の件については、論文はそのままでよいと思います。冒頭に「トーラスのような多様体」という表現もあるので。
直すとすれば記事のほうですが・・お任せします。

別件ですが、記事のほうで明確な誤りを見つけてしまいました。
3.階層宇宙 のすぐ上の文章で
「一方、素状態の個数は3次元球面の表面積の2乗に比例します。」
「の2乗」を削るか、「素状態」を「素事象」にするか、どちらかだと思われます。
190 x_seek 2016/01/23 (土) 14:22:57 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>187
>n次元トーラスは<tex>S ^{1} </tex>のn個の直積を指します。

<tex>S ^{3} </tex>×<tex>S ^{1} </tex>をトーラスではなく、「トーラスのような多様体」と呼ぶことにしました。
また、多様体の名前を螺旋円環から円環世界面に変更しました。


>>189
>「一方、素状態の個数は3次元球面の表面積の2乗に比例します。」
>「の2乗」を削るか、「素状態」を「素事象」にするか、どちらかだと思われます。

教えて頂き、ありがとうございます。(^^)
とても助かります。「の2乗」が余分でしたので削除しました。
191 NS 2016/01/23 (土) 19:40:25 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>190
>「トーラスのような多様体」と呼ぶことにしました。

4次元時空ではそれで良いと思われますが、2次元時空ではトーラスそのものですので
式4.26と式4.27の間は「円環(トーラス)」だけでよいのではないでしょうか。
192 x_seek 2016/01/23 (土) 21:07:49 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>191

そうですね。
2次元時空の場合には、世界面はトーラスそのものになるので、
そこでは、「円環(トーラス)」とだけ記載します。

超弦理論では、閉じた弦が時空で一周しトーラスとなります。一方、
2次元時空の事象論では、円が時空で一周しトーラスとなります。
2次元時空の事象論では、円の周長を波動関数の絶対値と解釈し、
円の回転角度を波動関数の位相と解釈します。





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