1 cqf02343 2014/10/03 (金) 13:21:01 ID:9WEmhqQq0Q [修正] [削除]
静止慣性系Kに対してそのx軸方向に速度v0で動く慣性系K’と
、慣性系K’に対して速度0,加速度aで動く加速系K”がある。
出発時に3つの座標原点は一致していた。
また出発時では3つの座標系内の全ての点において時刻 t,t’
,t”は全てゼロだったと仮定する。
 便宜上 時刻には w=ct,w’=ct’,w”=ct” を使用する。
 c:光速度

x軸上である点事象が生じ、それが3つの系では(x,w),(x’,w’)
,(x”,w”)として観測された。
K系とK’系とはローレンツ変換で関係づけられているから

  x’=(x-v0・w/c)/√(1−v0^2/c^2)     --- (1)
  w’=(w/c-v0・x/c^2)/√(1−v0^2/c^2)

である。
K’系とK”系とはリンドラー変換で関係づけられているから

  x’=(c^2/a+x”)・Cosh(aw”/c^2)−c^2/a --- (2)
 w’=(c^2/a+x”)・Sinh(aw”/c^2)

である。


(1) 式と (2)式を等置してK’系を消すと

(c^2/a+x”)・Cosh(aw”/c^2)−c^2/a=(x-v0・w/c)/√(1−v0^2/c^2)
(c^2/a+x”)・Sinh(aw”/c^2)      =(w-v0・x/c^2)/√(1−v0^2/c^2)

上記の連立式が静止慣性系Kの世界点(x,w)と、初速v0,等加速度a
の加速系K”の世界点(x”,w”)との対応関係を与える。

  ※ これを使って双子のパラドックスに止めをさす。
    初速度v0や加速度aの符号を変えることで応用範囲が広がるはずだ。
2 gmnrmn 2014/10/14 (火) 00:32:36 ID:9JPP7lqxv6 [修正] [削除]
(1)のw’の式で、右辺をcで割り算していますが、これは不要です。
3 cqf02343 2014/10/14 (火) 03:43:25 ID:9WEmhqQq0Q [修正] [削除]
>(1)のw’の式で、右辺をcで割り算していますが、これは不要です。

あっそうだ、御指摘有難う。


もう少し見易く書き直そう。

γ0=1/√(1−v0^2/c^2),β0=v0/c ,g=a ,L=c^2/g とする。

次に (x”,w”)→(x’,w’) とした方が良さそう。

静止系Kでの初期x0を付加する。 x→(x−x0)と置換する。

             ↓


(L+x')・Cosh(w'/L)−L=γ0・{(x−x0)−β0・w} --- (1)
(L+x')・Sinh(w'/L)  =γ0・{w−β0・(x−x0)} --- (2)

と見易くなった。

L=c^2/gはブラックホールのシバルツシルド半径に相当する長さのようだ。


x0とv0を入れたので宇宙船による惑星までの往復旅行で4カ所の加速・減速
区間に使えるはずだ。
 地球観測者は宇宙船に常時乗ってるからx'=0 
 地球はK系の原点に常時静止だから x=0
w'はK系から見た宇宙船の固有時で計算するんだろう、恐らく。
それから(2)式からwが求められそう。

   とはいえ、少し気が重い・・





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