1 cqf02343 2014/09/26 (金) 13:19:17 ID:RFN52OFMzc [修正] [削除]
例によって双子のパラドックスを取り上げる。

そしてモヤモヤが

      完全に特殊相対論の枠内

で解消されるように以下で決着をつけた。
つまり重力・等価原理・や時空の歪みは登場しない。



A)状況設定



    地球がある慣性系Kの原点に静止して在る。双

    子の一方Pが地球に残り他方P’が宇宙船に載っ

て遠方の惑星を目指して出発した。 下図参照。



    地球 +g    -g 惑星

      A    →   B         →       C    → D

           等加速            等速             等加速

       アクセル      帰りはこの逆          ブレーキ



     LL:AD間距離  L:AB間距離(=CD間距離)



B)特殊相対論的等加速度運動とは?



    加速運動している宇宙船内でリンゴを手から

    静かに放したらつねに一定の加速度gで進行

    方向と逆方向に落下していくような宇宙船を

    外部の静止慣性系Kから見た運動。



C)特殊相対論的等加速度運動



    X=X(t) : 宇宙船のK系での位置

    v=v(t) : 宇宙船のK系での速度 (=dX/dt)

            C : 光速度

       LL : 地球-惑星間距離

        L : 加速区間距離 (AB間=CD間距離) 



    船内で感じる一定の加速度gを地球静止慣性系

    Kから見ると特殊相対論的加速度変換公式から



        a= (1−v^2/c^2)^3/2・g    ---   (1)

              a=dv/dt



    の加速度aで運動している。

    もちろんaは時間的に一定ではない。

    (1)式を頑張って1回積分すると、左辺はvにな

    り、もう1度積分すると位置Xも求められる。



  v= gt/√(1+(gt/c)^2)  ,  v0=0   --- (2)



  X= (c^2/g )・ [√(1+(gt/c)^2)−1]+X0 --- (3)

 (2)(3)から時間tを消去すると、β=v/c

  v^2=[√(1-β^2)+(1-β^2)]・g(X−X0) --- (4)

  ※ gt/c → 0 でニュートン力学に漸近する 

    となる。

  

D)AB間での地球時間t と船内固有時間τ



    刄ム= √(1−v^2/c^2)・dt を積分すると

  t

       τ= ∫√(1−v^2/c^2)・dt   --- (5)

           0



(2)式を代入



        = ・・




        = c/g・ArcSinh(gt/c)    --- (6)



ArcSinh(ξ)≡Log{ξ+√(ξ^2+1)}



     となって、宇宙船が加速中の船内時間τと地

     球時間tの関係が得られた。



     さらに宇宙船が加速中にK系で距離Lを進む

     地球時間tと船内時間τを(3)式と(5)式から求

     めよう。 (3)式で X=L ,X0=0 を代入すると



        L= (c^2/g )・ [√(1+(gt/c)^2)−1]



     これより

 

           ξ≡1+gL/c^2        --- (7)



        t=c/g ・√(ξ^2−1)    --- (8)



      

     となってtが求められた。 これを(6)式に代入し



       τ=c/g・Log[ξ+√(ξ^2−1)]  --- (9)



となってτが求められた !

     また(8)式を(2)式に代入すると加速終了時の

     速度比 v/c も以下のように求められた。



        v/c= √(ξ^2−1)/ξ --- (10)



   

E)BC間での地球時間t と船内固有時間τ



    ここでは等速度なので

            vt = LL−2L

    (10)式のvを代入すると



    t = (LL−2L)/c ・[ξ/√(ξ^2−1)] --- (11)



   と求められる。

   船内固有時は



            τ= √(1−v^2/c^2)・t



   なので、これに(10)式(11)式を代入すると



    τ= (LL−2L)/c ・1/√(ξ^2−1) --- (12)



   と求められた。



F)全地球経過時間と全宇宙船内経過時間



    宇宙船が出発から帰還するまで加速区間は4箇

    所、等速区間は2箇所である。



    全地球経過時間

    =4×(8)+2×(11)

    =[4×c/g・√(ξ^2−1)

+2×(LL−2L)/c ・ξ/√(ξ^2−1)--- (13)



   全宇宙船内経過時間

=4×(9)+2×(12)

=4×c/g・Log[ξ+√(ξ^2−1)]

     +2×(LL−2L)/c ・1/√(ξ^2−1) --- (14)



G)10光年先の惑星までの宇宙旅行



    LL=10光年       L=1光年 (加速区間)

g=9.80 m/s^2    c=3.00×10^8 m/s

    1年間=3.156×10^7 s

    1光年=9.46×10^15 m    

      という条件の宇宙旅行だ。



    もし光で往復する場合は地球経過時間は

    20年である。





    宇宙船で往復する場合



    (7)式より  ξ≡1+gL/c^2= ・・ =2.03

     また    √(ξ^2−1)=1.77



    (13)式より

    全地球経過時間
    =4×c/g・1.77+2×8光年/c ・1.15

    =7.96×10^8 s = 25年



    (14)式より

全宇宙船内経過時間
=4×c/g・Log[3.8]+2×8光年/c ・0.565

    =4.48×10^8 s = 14年



30歳の双子の兄が宇宙船に乗って、光と同時

    に出発した。 地球で20年後の50歳の時その

    光が戻ってくる。25年後の55歳の時兄が帰っ

    て来た。 兄は自分より若く見え44歳位の膚や

    頭髪だった。
2 大学生A 2014/09/27 (土) 08:29:18 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
で?兄から見た弟の年の取り方の計算は?
それをしないと「パラドックス」を説明したことにならないですね。
3 kafuka 2014/09/27 (土) 16:24:57 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 09/28 (日) 17:23 [修正] [削除]
大学生Aさん
時間の遅れは、単純にローレンツ変換での遅れと、慣性系が切り替わるときの遅れの2つがある
というのが、ミソですね。

往復しなくて、向こうの星(地球と同じ慣性系)に留まったとした場合、地球の観測者から見て、
宇宙船内で過ぎた時間の遅れだけでなく、宇宙船が止まった時の(特殊相対論の枠内では)ぴょんと飛ぶ遅れがある。
宇宙船に居る人にとっては、慣性系が切り替わるのが一瞬であっても、地球から観測すると、
切り替わる2つの慣性系の同時刻の差だけ、時間が経過すると測定される(その分、地球で時間がたつ)
4 cqf02343 2014/09/28 (日) 00:30:53 ID:9WEmhqQq0Q [修正] [削除]
>で?兄から見た弟の年の取り方の計算は?
それをしないと「パラドックス」を説明したことにならないですね。


「論理」に注意してみれば誤りはないはず。
大前提として
  地球が静止している慣性系(静止系)では無条件
  に特殊相対論が成立している
と宣言している訳です。

ということは非慣性系で成り立つと推測される一般相対論
や他の重力理論などからの帰結には全く触れないというこ
とです。

あくまで徹頭徹尾特殊相対論の枠内ではパラドックスが生
じないという事です。

        t
それから τ=∫(1−v^2/c^2)^1/2 dt 固有時間とい
       0

う定積分の値τ(t)はv(t)がノコギリ歯のように滑らかで
なくとも、tの連続関数であって、不連続関数には成らない
でしょう。

兄は非慣性系にいるのでそこでは特殊相対論が成り立つ保証
はありません。特殊相対論が使えない訳です。パラドックス
というものは成立しない。
5 ひゃま 2014/09/28 (日) 01:11:00 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
ほらね、理論成立以前のパラドックスというならわかるが
成立後のパラドックスはないといってるんですね?

でもそれに対してはアインシュタインの回答があります。

「まず、上のように特徴づけられる、この理論(特殊相対性理論)について一つの注意をする。この理論が、(四次元空間を別にして)二種類の物理的なもの、すなわち(一)測定棒と時計、(二)例えば電磁場や物質点などの他のすべてのものを導入するという事実は、奇異の感をいだかせる。これはある意味では矛盾している。厳密にいうと、測定棒と時計はあたかも理論的に自明なものとしてではなく、基本方程式の解(運動している原子の配位からなる対象物)として表されなければならないであろう。しかしながら、そもそもの始めから、理論の仮定が、そこから物理的事象の十分に完全な方程式を十分任意性のないように導くことができ、そこに測定棒と時計の理論を基礎づけるほどしっかりしてはいないのであるから、この手続きは正当である。座標の物理的解釈を(それ自身可能な何かを)一般にあきらめたくないならば、このような矛盾を許すほうがよいが──もちろん、理論の以後の研究において、それを取り除く必要はある。」(1946)。
http://www1.odn.ne.jp/~cex38710/clock.htm
6 大学生A 2014/09/28 (日) 05:18:08 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>兄は非慣性系にいるのでそこでは特殊相対論が成り立つ保証はありません。特殊相対論が使えない訳です。

http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/uni_accel.html

上記のEMANさんの記事では、兄の系を特殊相対論の範疇で導出しています。

>パラドックスというものは成立しない。

そもそもなぜ、「双子のパラドックス」が存在するのでしょうか?
特殊相対論では、二つの慣性系は相対的で区別され得ないにもかかわらず、
固有時間に有意差が生じるのは矛盾するということから来ているのでしょう?
ひょっとしたら、兄から見ても弟の年の取り方は、同じ誤差(+ー)かもしれません。
そうなると、パラドックスは解消されないわけです。
そうならないことを、示す必要があると思います。
7 ひゃま 2014/09/28 (日) 05:44:53 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 17:07 [修正] [削除]
>そもそもなぜ、「双子のパラドックス」が存在するのでしょうか?

ローレンツ変換でエネルギーが変化するわけではないからです。
結果に対してのスケール変換だからですね
つまり仕事をしないと、慣性系の切り替えはできません。
これが物理的作用と数学的作用の違いですね。
力学(相互作用)の基本は仕事(入出金)とエネルギー(貯蓄)の関係だということです。
結果的に慣性間の時計の進み方は違うので、どちらから見ても同じにはならないってことで、どんな幾何学座標(リンドラー?)を持ってつじつま合わせしても力学の体を成してないことには代わりがありません。
ってことで、アインシュタインの1946年の言葉がでたのでしょう。
8 cqf02343 2014/09/28 (日) 16:52:33 ID:9WEmhqQq0Q [修正] [削除]
大学生Aさんの御指摘の通り、私の間違いでした。
(静止慣性系での計算部分は合ってるはず)
噴飯ものだ! 笑ってくれ。

Emanさんのリンドラー座標導出の過程は、まさに圧巻ですね!

この座標変換を使うと宇宙船内の兄の時間経過がgetできそう。
静止慣性系弟からみた地球-惑星間距離をL,静止慣性系弟からみた
加速・減速時の加速度の大きさをa,飛行距離をdとする。光速
はc。
      
 リンドラー座標変換を出発時の原点同士を一致させるように定数付加

        ↓ 加速区間で船内の兄が感ずる経過時間
        ↓ 加速停止の瞬間までの静止慣性系弟からみた経過時間
        ↓ 弟からみた兄の速度Vと弟からみた兄の固有経過時間
        ↓ 等速区間の弟と兄の速度Vと固有経過時間
      減速は加速と同じ

という感じかな・・
9 宇宙な人 2014/09/30 (火) 16:44:38 ID:KliASJ/1Ww [修正] [削除]
直接関係ない話で恐縮ですが。

>>1やEMAN先生の加速度系の時間・速度・距離等の導出ですが、実に鮮やかで明解です。

私の理解不足だと思うのですが一般相対論は理解することが苦しいと感じる部分があるのですが、これなら納得です。
ローレンツ変換式の導出みたいに鮮やかです。
これを最初に導いた人は誰なのでしょう。

アインシュタインですか?
それとも別の人ですか?

相対論の歴史に詳しい方がいましたら、教えて頂けないでしょうか。
10 cqf02343 2014/10/02 (木) 02:58:16 ID:9WEmhqQq0Q [修正] [削除]
  <宇宙船から見た地球の経過時間>



Eman氏によると、地球慣性系(弟)での宇宙船(兄)の速度vと走行距離Xは

弟時間 w=ct  ,  兄時間 w’=cτ --- (1)

としたとき

       v=(aw/c)/√{1+(aw/c^2)^2}  --- (2)

       X=(c^2/a)√{1+(aw/c^2)^2}   --- (3)

で与えられる。

       ※ この結果は先に求めた私の結果と一致する。



地球慣性系(弟)での点事象(X,w)と等加速宇宙船系(兄)での点事象(X’,w’)との対応関係は



  X=(c^2/a+X’)・Cosh(aw’/c^2)ーc^2/a --- (4)

  w=(c^2/a+X’)・Sinh(aw’/c^2)       --- (5) 



        ※ 双曲線関数の数学公式

          Cosh(ξ)≡{Exp ξ+Exp (-ξ)}/2

 Sinh(ξ)≡{Exp ξーExp (-ξ)}/2

           (Coshξ)^2ー(Sinhξ)^2=1

ArcCosh(ξ)≡Log{ξ±√(ξ^2ー1)}

ArcSinh(ξ)≡Log{ξ+√(ξ^2+1)}



というリンドラー変換で結ばれている!

但し、出発時に兄は地球から出発した。



   c:光速度

   a:宇宙船内の兄が感じる一定加速度

  LL:弟系での地球惑星間距離

   L:弟系での加速(減速)区間



の4つが与えられたものとする。

    ---------------------------

まずは(4)式で X=L ,X’=0 とおくと

        ξ≡aL/c^2+1          --- (6)

を用いて

       Cosh(aw’/c^2) = ξ   --- (7)

となる。  また数学公式の3番より

       Sinh(aw’/c^2) = √(ξ^2−1) --- (8)

   ( 以後様々な量をできるだけξで表す。

     また ξ→ 0 でニュートン力学に移行する。)



(7)式の両辺に逆関数演算子ArcCoshを作用させc^2/a倍すると、加速区間で兄の経過時間w’は

    w’= c^2/a・ArcCosh (ξ)  --- (9)

となって求められた。



A)加速区間で兄(宇宙船)からみた弟(地球)の

  飛行距離Xと経過時間w



   (4)式で X’=0 とおき、(7)(9) 式も援用すると
    X = c^2/a・Cosh(aw’/c^2)ーc^2/a

     = c^2/a・ξーc^2/a

      = c^2/a・(aL/c^2+1)ーc^2/a

      = L                     --- (4)'

となって辻褄が合っている。



  (5)式で X’=0 とおき、(8)(9)式も援用すると


   w = c^2/a・Sinh(aw’/c^2)

= c^2/a・ √(ξ^2−1)         --- (5)'

となる。

    (ξ→ 1 で w → c√(2L/a) となっている)

  

B)加速停止時の兄からみた弟の速度v



    停止の瞬間のvは弟からみた兄の速度と一致。

    (2)式に代入すればOK。 (5)'式も援用する。

       v = c√(ξ^2−1)/ξ       --- (2)’

    となる。

    (ξ→ 1 で v → √(2aL) となっている)



C)等速区間での兄からみた弟の経過時間T

ここでは時間=距離÷速度が時間収縮

を受ける。(兄が地球の出来事を見たら

スローモーションで見える)

    T = { (LL−2L)/v }・√{1−v^2/c^2}

  = (LL−2L)・ξ/c√(ξ^2−1)・√{1−(1

−1/ξ^2}

= (LL−2L)/c√(ξ^2−1)  --- (10)



D)兄の固有時の合計

    4・w’/c + 2・T

    =4(c/a)・ArcCosh (ξ)
+ 2・(LL−2L)/{c√(ξ^2−1)} --- (11)

    =14.2 年  (正 → 正解14年)



E)兄から見た弟の時間経過の合計

    4・w/c + 2・T

    =4(c/a)√(ξ^2−1)

 + 2・(LL−2L)/{c√(ξ^2−1) } --- (12)

=15.9 年  (誤 → 正解25年)





     −−−宇宙旅行のパラメーターーーー

    

    LL=10光年       L=1光年 (加速区間)


  a=9.80 m/s^2   c=3.00×10^8 m/s

    1年間=3.156×10^7 s

    1光年=9.46×10^15 m        もしも光で往復する場合の地球経過時間は

    20年である。



ξ≡aL/c^2+1 =2.03

     √(ξ^2−1)  = 1.77

     ArcCosh (ξ) = Log{ξ±√(ξ^2ー1)}

               = 1.335 , ー1.35

     c/a=3.06×10^7 s = 0.970 y

(LL−2L)/c=2.52×10^8 s = 7.98 y
11 cqf02343 2014/10/02 (木) 03:23:13 ID:9WEmhqQq0Q [修正] [削除]
追記

兄が弟の経過時間を観測した場合の答えが誤答である。
それは惑星近くで減速区間の扱いが誤りだと思う。
加速区間と減速区間は地球観測の場合は異なってくる
ようだ。減速区間を正しく扱うためには、宇宙船の初速
度をゼロでなくてV0を与えてより一般化したリンドラー
変換が必要だ。(どなたかチャレンジしてみては?)


宇宙船内の兄が地球の弟の様子を大望遠鏡で再会するまで
観測し続けるものとする。加速や等速区間では弟の動作が
スローモーションに見えて、減速区間に突入するとハイス
ピードモーションに見えるだろう。結果的にはハイスピー
ドが勝り弟は自分よりも年をとるだろう。
12 大学生A 2014/10/02 (木) 06:11:09 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>それは惑星近くで減速区間の扱いが誤りだと思う。

減速区間では、加速度定数の符号を逆にして計算しますよね。

>宇宙船内の兄が地球の弟の様子を大望遠鏡で再会するまで
>観測し続けるものとする。

これは、単純に、遠ざかっていれば遅く、近づいていけば早く観えるのでは?
つまり、弟から観た兄との相対速度の符号に依存するかと。
13 cqf02343 2014/10/02 (木) 19:56:21 ID:9WEmhqQq0Q [修正] [削除]
>減速区間では、加速度定数の符号を逆にして計算しますよね。

例えば高校物理で
  v=at , X=1/2・at^2
は加速にしか使えない。
  v=v0+at , X=v0t+1/2・at^2
は加速にも減速にも使えます。

リンドラー座標(変換)にも初速度v0を取り込んだものに
拡張しておくと汎用的になるでしょう。
(実際にできるかは別)


>これは、単純に、遠ざかっていれば遅く、近づいていけば早く観えるのでは?

そうかな?
たとえば兄が惑星に近ずき一定減速モードに入った場合に重力場とそれに
対応した重力ポテンシャルが現出するだろう。 惑星方向は低ポテンシャ
ルなので現象がスローモーションに見え、ずっと後方にある地球の弟は高
ポテンシャルなので現象が相当なスピードスローモーションに見える気が
する。(ここで一般相対論的用語は使ってはいけないのだが・・)

全体として双子のパラドックスは特殊の枠内で決着がつくのは明らか
のようだ。






14 gmnrmn 2014/10/11 (土) 14:22:46 ID:9JPP7lqxv6 [修正] [削除]
慣性系と加速度系の間の初速がある場合の座標変換式は以下のとおりです。

<tex>X=L+ \left(x+ \frac{1}{ \alpha } \right) Cosh \left( \alpha w _{} +u _{0} \right) - \frac{1}{ \alpha } Cosh \left(u _{0} \right)  _{} </tex>

<tex>W= \left(x+ \frac{1}{ \alpha } \right) Sinh \left( \alpha w+u _{0} \right) - \frac{1}{ \alpha } Sinh \left(u _{0} \right)  _{} </tex>

ここで、
<tex> \alpha = \frac{g}{c ^{2} } ,W=cT,w=ct,Cosh \left(u _{0} \right) = \frac{1}{ \sqrt{1- \frac{v _{0}  ^{2} }{c ^{2} } } } ,Sinh \left(u _{0} \right) = \frac{ \frac{v _{0} }{c} }{ \sqrt{1- \frac{v _{0}  ^{2} }{c ^{2} } } } </tex>

X,Tは慣性系のX軸及び時間の座標であり、x,tは加速度系の座標です。加速度系の原点x=0は、T=0でX=Lの位置にあり、そのときt=0とします。また、そのときの(慣性系から見た)速度がv0です。gは加速度系の加速度で(一定としています)、gが負のときは減速となります。加速度系はX方向に加速度運動をするものとしています。また、加速度系のx軸と慣性系のX軸は同じ方向にあるとします。
15 cqf02343 2014/10/11 (土) 20:46:30 ID:9WEmhqQq0Q [修正] [削除]
私も求めてみました。
一致しているかな? 

これを使って宇宙船から見た場合の地球の時間経過
が計算できるはずですが・・・    (^^)


γ0・{(x−x0)-β0・w} = (c^2/g+x’)・Cosh(gw’/c^2)−c^2/g  --- (1)

γ0/c・{w-β0・(x−x0)}=(c^2/g+x’)・Sinh(gw’/c^2)      --- (2)



   x0:K系におけるK’系原点の初期位置

   v0:K系におけるK’系の初速度   

β0≡v0/c   γ0≡1/√(1−β0^2) 

 w=ct  w’=ct’  時刻

   g:加速系K’内で感じる重力加速度で一定値
16 gmnrmn 2014/10/15 (水) 00:26:41 ID:9JPP7lqxv6 [修正] [削除]
(2)の左辺の/cが余計ですが、これを直して、(1)と(2)を整理し直すと、私が書いた式と同じになります。
17 cqf02343 2014/10/15 (水) 03:37:54 ID:RFN52OFMzc [修正] [削除]
>(2)の左辺の/cが余計ですが、これを直して、(1)と(2)を整理し直すと、私が書いた式と同じになります。

確かに余計でした! 
一致したのでひと安心、有難う。
私もgmnrmn氏に揃えて書き直してみた。
1/αは距離の次元で距離の単位に使うと便利そう。
またブラックホールでいうとシバルツシルド半径に相当する感じ。


γ0・{(x-L)−β0・w}=(1/α+x’)・Cosh(αw’)−1/α  --- (1)

γ0・{w−β0・(x-L)}=(1/α+x’)・Sinh(αw’)     --- (2)



   L:K系におけるK’系原点の初期位置

   v0:K系におけるK’系の初速度   

 β0≡v0/c  γ0≡1/√(1−β0^2)   α=g/c^2

 w=ct  w’=ct’  時刻

   g:加速系K’内で感じる重力加速度で一定値



※ この変換を使うと双子パラドックスだけでなくて
    一様重力場中での
     1)光速度の計算
     2)光の重力赤方偏移
     3)質点の自由落下(厳密解)
    加速物体からの光線のドップラー効果
    加速時計の時間の遅れ
    加速定規のローレンツ短縮
  などとドッサリと解決できそうだ! 重そうだけど。
18 cqf02343 2014/10/19 (日) 22:16:23 ID:9WEmhqQq0Q [修正] [削除]
γ0・{(x-x0)−β0・w}+L=(L+x')・Cosh(w'/L) --- (5)

γ0・{w−β0・(x-x0)}=(L+x')・Sinh(w'/L)   --- (6)

   w=ct  w'=ct'   L=c^2/g
     
   β0=v0/c   γ0=1/√(1−β0^2)


上記の連立式が静止慣性系Kと加速系K’の世界点の対応関係を与える。

しかし実戦的に使用する際は使いにくい ! ⇒ 逆変換が必要



【リンドラー逆変換】

加速系K'から静止慣性系Kの現象を見るには(5)(6)式

の逆変換を求めておくと大いに便利である。

この逆変換を求める過程で |ξ|<1 に対して

   ArcTanh ξ = 1/2 ・Log {(1+ξ)/(1−ξ)}

   Sinh (ArcTanh ξ) = ξ/√{1−ξ^2}

なる関係を使う。その結果
慣性系Kのある点事象(x,w)に対して


       λ1=γ0・{(x−x0)-β0・w}+L  --- (7)

       λ2=γ0・{w-β0・(x−x0)}   --- (7)'


       β0=v0/c , γ0=1/√(1−β0^2)


を用いて、加速系K’からは


        x’=√(λ1^2ーλ2^2) ー L --- (8)

        w’=L・ArcTanh (λ2/λ1)  --- (9)


の点事象(x',w')として観測される。

特に加速系K’の初期位置x0=0 ,初期速度v0=0

の場合(つまりKとK’系の原点が一致の場合)には

        x’=√{(x+L)^2ーw^2 } ー L --- (8)’
        w’=L・ArcTanh{(w/(x+L)} --- (9)'

となる。


【KとK'の原点一致場合の速度の変換】

(8)’と(9)’式の全微分は

dx’={(x+L)dx−wdw)}/√{(x+L)^2ーw^2}    -- (8)”

dw’=L{(x+L)dw−wdx}/(x+L)√{(x+L)^2ーw^2}--- (9)”


∴ dx’/dw’=(x+L)・{(x+L)dx/dw−w)}/L{(x+L)−wdx/dw}

 ∴ V’/c =(x+L)・{(x+L)V/c−w)}/L{(x+L)−wV/c}


V’= (x+L)c・{(x+L)V/c−ct)}/L{(x+L)−Vt} ---(10)

となって速度変換が得られた。


※ V=c で V'=(1+x/L)・c となっている。
※ 後でドップラー効果や重力赤方偏移の計算にきっと
役立つだろう。





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