1 x_seek 2014/03/15 (土) 16:54:33 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
「大栗先生の超弦理論入門」では、次の自然数の総和を紹介しています。
1+2+3+4+...=-1/12

発散する経路積分を収束させる計算手法「iε処方」をゼータ関数に適用し、この級数が収束する理由を考察してみました。

・なぜゼータ関数ζ (-1) = 1+2+3+4+…は無限大に発散しないのか?
 http://www.geocities.jp/x_seek/zeta.html

ゼータ関数に対しiε処方を適用することは、数学的には許されないかもしれません。しかし、経路積分におけるiε処方には「安定粒子に非常に長い有限の寿命を与える」という物理的意味があります。このため、ゼータ関数におけるiε処方にも物理的意味があると考えています。

もしよろしれけば、ご意見を頂けると幸いです。よろしくお願いします。
2 ASA 2014/03/16 (日) 16:38:11 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
総和 S=1+2+3+4+...=-1/12
同様にF=1+1+1+1+...=-1/2
としておく
S-F=1+2+3+4+...-(1+1+1+1+...)=(1-1)+(2-1)+(3-1)+(4-1)+...=0+1+2+3+4+...=S
つまり S-F=S・・・(1) が成立
(1)を整理すると F=0
当初の値を(1)の左辺に代入すると S=5/12
総和への有限値割り当てはいろいろ可能で、その整合性が取れませんね。

3 甘泉法師 2014/03/16 (日) 19:16:26 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 20:18 [修正] [削除]
こんにちは。

Re: >>1

ζ関数 ζ(s)をRe(s)<0に解析接続した関数の値ζ(-1)=-1/12 と

ζ(s)のRe(s)>1 の級数の式に定義域外のs=-1を代入した 1+2+3+ ... は別のもので 等式で結べない

のではないでしょうか。 
4 冷蔵庫 2014/03/17 (月) 21:37:02 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>2

ASAさん、お久しぶりです。
ζ(-1)=-1/12のそのような計算による説明は数学的には不完全ですから
(記憶法としては便利ですが)、おかしな結果が得られるのでしょうね。
5 不識庵 2014/03/17 (月) 22:31:29 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
申し上げたい事は、既にご指摘のある点とほぼ同じになります。

途中の計算を丹念に追いかけられてはどうかと思います。

これを行う上で、次の内容が参考になると思います。

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E7%B4%9A%E6%95%B0

この中に、

「有限個の項の和を取る場合は自由に順序を変更できるのですが、無限和を取る場合はこのような「項の順序」に気をつけなければならない場合があります。」

という記載があります。

この点に特に注意が必要と思います。

(つまり、絶対収束する場合を除き、無限和の場合は和を取る順序は変えちゃいけないという事。)
6 x_seek 2014/03/18 (火) 00:36:29 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ASAさん、冷蔵庫さん、不識庵さん、ご指摘頂きありがとうございます。

ASAさんのご指摘に同意いたします。自然数和導出のため発散級数と振動級数で加減算することは、整合性が取れないと思います。そのため、私は下記ページで次のように表明しております。

http://www.geocities.jp/x_seek/zeta.html
> 上記の計算方法は、自然数の総和が収束するならば正しいです。
> しかし、収束しなければ正しくありません。
> どうすれば収束させることができるでしょうか?

冷蔵庫さんから「数学的に不完全」とご指摘を頂いております。ご指摘に同意いたします。

不識庵さんから「項の順序」について注意を頂いております。私も、発散級数の項の順序変更には注意が必要と考えております。

私は、自然数和を収束させるために、素粒子物理学のくりこみのような手法が使えないかと考えております。
7 x_seek 2014/03/18 (火) 00:38:57 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 03/21 (金) 14:02 [修正] [削除]
甘泉法師さん、ご指摘ありがとうございます。

甘泉法師さんは次のようにお考えだと思います。
ζ(-1)≠1+2+3+..
甘泉法師さんのお考えは正しいと思います。私自身も、解析接続したζ(-1)は、1+2+3+...とは異なると考えておりました。

ところが、ポルチンスキーの教科書「ストリング理論」では、驚くべきことに、くりこみの結果として次の式が登場します。

<tex>\sum_{n=1}^{\infty} n \rightarrow -\frac{1}{12}</tex>

超弦理論では、この式が世界の次元数10を決めています。ポルチンスキーは、この式をくりこむため次の式をかけています。

<tex>\exp(-\epsilon n(\pi/2p^+\alpha'l)^{1/2})</tex>

私の方法は、この $\epsilon$ を複素数化したものにあたると考えています。
8 ASA 2014/03/18 (火) 07:56:55 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
 収束しない総和を処理するための苦肉の策とみます。また、そこに「ストリング理論」が、砂上の楼閣であることが端的に示されていると考えます。
 収束しない総和を処理方法として、いろいろあるでしょうが、ある数値へのマッピングが唯一無二であるとは思ってません。
 適当な収束因子(実関数やら複素関数)により、特定の数値へのマッピングが偶々出来たという話だと考えます。
 こうした苦肉の策は、一つでないでしょうが、そこには物理的な意味を見出しません。
9 甘泉法師 2014/03/18 (火) 09:40:58 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>7 ありがとうございます。

<tex>\sum_{n=1}^{\infty} n \neq -\frac{1}{12}=\zeta(-1)</tex>

<tex>\sum_{n=1}^{\infty} n \rightarrow -\frac{1}{12}</tex> ここで→は「驚くべきくりこみ」

 ストリング理論やカシミール効果の導出でつかわれているところをみると物理に役にたつものなのでしょう。 「くりこみ」がはいってくる具合を知りたいものです。 「くりこみ」の結果がζ(-1)と一致するというのもなにか仕組みがあるのでしょうね。
10 hirota 2014/03/18 (火) 12:54:22 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
普通に使われる「くりこみ」の定義と違って、発散を有限化する事を解析接続でも何でもひっくるめて「くりこみ」と言ってるみたいですね。
11 ASA 2014/03/18 (火) 13:33:19 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
ここではζ正規化を「くりこみ」と呼んでいるみたいですね。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%8C%96
12 ASA 2014/03/18 (火) 13:45:35 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
wikiみると「収束性を確立し、熱核正規化の方法とゼータ函数正規化の方法の同値性を確立する初期の仕事」とありますね。このような熱核の選択に関するお話のように思えます。
13 denpa 2014/03/18 (火) 18:38:50 ID:DP0g64pPQU 修正アリ: 19:12 [修正] [削除]
ポルチンスキーの教科書ではこの結果は"odd result"と書かれていますが、2次元の場の説明を後回しにして総和の結果を示しているので「?」だと思われます。(後章に2次元の場の説明が始まります。)
2次元の場は複素平面で記述(CFT)されその時のエネルギー運動量テンソルをローラン級数で展開(OPE)した時の特異項(singular term)と共形変換後の結果から $-\frac{1}{12}$ が意味を持ちます。この結果から改めて $1+2+3+4...=-\frac{1}{12}$ を見直すと複素平面、ゼータ正則化の「くりこみ」について考察できると思います。

x_seekさんの方法は、土台となるものがなく、総和をコントロールしてみたという事なので、背景となる複素平面との関係が不明なので物理としても意味を持つかは不明です。(CFTの結果からの説明で総和が物理として支持されるならば起源は一緒なので、x_seekさんの方法を用いなくても良いと思われます。)
14 x_seek 2014/03/19 (水) 02:01:04 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
denpaさん、ご教授頂きありがとうございます。
共形場の理論について、よく理解していないため、勉強していきたいと思います。

また、ご指摘どおり、土台となるものはありません。ですが、記事5.5節でレルヒのゼータ関数のある極限であることを示しています。

「起源は一緒」と指摘頂いておりますが、実際、式の形は同じであるため、ごもっともな指摘だと思います。

しかし、私の数式では、有限個の自然数和では、通常の和の公式と一致します。一方、無限個の自然数和では、無限回の振動による相殺で、-1/12になります。このように、ひとつの式で両方の結果が得られることから、私の数式にも、ある程度の意義があると考えております。
15 x_seek 2014/03/19 (水) 02:08:23 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
hirotaさん、コメントありがとうございます。
「くりこみ」の定義と異なるため、「くりこみ」と区別して「正規化」または「正則化」と呼びたいと思います。

ASAさん「ゼータ函数正規化」のwikiページを紹介頂きありがとうございます。
「苦肉の策」とご指摘頂いておりますが、実際そのとおりだと思います。自然数の総和という明らかに発散する級数を何とか収束させるため、かなり無理なことをしていると思います。
16 hirota 2014/03/19 (水) 12:47:10 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
英語で見ると
正規化  normalization
くりこみ renormalization
「re」の分だけ違いますね。その分ややこしいのか?
「くりこみ」は理論自体を極限移行させるような感じですから、形式的級数を解析接続で収束させるより高度なんでしょう。
17 x_seek 2014/03/20 (木) 01:17:31 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 03/21 (金) 00:05 [修正] [削除]
甘泉法師さん、こんにちは。

>「くりこみ」がはいってくる具合を知りたいものです。
解析接続したゼータ関数は「くりこみの結果」ではなく「正規化したゼータ関数」と呼ぶべきでした。訂正いたします。正規化したゼータ関数の例として、1930年頃にクノップが発見し、ハッセが証明した次の式があります。

<tex>\zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n + 1}}\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\frac{(-1)^k}{(k + 1)^s}</tex>

この式で $\zeta(-1)$ を正しく計算できます。しかし、この式の形は、次に示すゼータ関数の元の級数の形とは大きく異なっています。

<tex>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</tex>

このことが、一般に「s=-1のゼータ関数は元の級数の形では表現できない」と、みなされている原因と推測します。

私は、正規化したゼータ関数として次の式を提案します。

<tex>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\exp((-\epsilon+i\nu)(n-1))</tex>

定数 $\epsilon$ と $\nu$ は非常に小さい正の実数であるため、上記の式の形は、有限項では、元の級数と同じ形になります。一方、無限項ではs=-1で-1/12になります。このため、「 $\zeta(-1)$ も元の級数と同様の形で表現できる」と考えております。
18 hirota 2014/03/20 (木) 11:47:58 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
いやそれ「べき級数」じゃないから。
べき級数なら項は変数sのべき乗s^nで、n^sはDirichlet級数です。
19 ASA 2014/03/20 (木) 16:50:07 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
 何らかの級数で表現できると思いますが、定数  $\epsilon$  と  $\nu$  との2つの間の制約なり条件が必要に思えます(sに依存しそう)。
20 冷蔵庫 2014/03/20 (木) 18:53:30 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>x_seekさん

>#7
>超弦理論では、この式が世界の次元数26を決めています。

ボゾン的弦理論が26次元で、超弦理論は10次元です。

>#7
>私の方法は、この  $\epsilon$  を複素数化したものにあたると考えています。

>#17
>私は、正規化したゼータ関数として次の式を提案します。

x_seekさんの方法ではεを複素数にした収束因子を掛けただけですから、
特異項が消えていないのではないでしょうか?
ポルチンスキーでは収束因子をかけた後に相殺項によって特異項を消しています。


>>8 ASAさん

>適当な収束因子(実関数やら複素関数)により、特定の数値へのマッピングが偶々出来たという話だと考えます。
>こうした苦肉の策は、一つでないでしょうが、そこには物理的な意味を見出しません。

x_seekさんが#7の最後の三行で述べられているのはポルチンスキーの1章で行われている議論ですが、
この因子の導入に依るカットオフで現れる特異項は単に発散するだけでなくWeyl対称性を破るので、
取り除かれなくてはなりません。
そこで世界面の座標の微分同相対称性、Weyl対称性を保つために、相殺項の形は一意に決定されると理解しています。
また、denpaさんも触れられているように、ポルチンスキー2章、3章ではそれについてもう少しきちんとした議論がなされています。

ASAさんの仰るように零点エネルギーが異なる値を取るようにできるのであれば、26や10以外の次元の弦理論が作れる可能性がありますね。
21 ASA 2014/03/20 (木) 20:34:10 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
>>20
 ****理論(弦に限らない)という新理論の可能性は否定できないと思いますよ(こうしたことに懸命に取り組んでいる研究者もいるのでは?:場の理論の枠組みにおける対称性の制約があるにせよ)。
 なんにせよ、繰り込み理論では、微細定数で理論と実験とのすりあわせが出来ましたが、正規化理論の帰結である次元数の検証などでは、実験との乖離が甚だしいので(みかけで無く"真"の零点エネルギー実測方法どうするの等)、理論自体に意味がないと思ってます。
22 ASA 2014/03/20 (木) 20:48:05 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
参考「QED検証情報」:理研など、基礎物理定数「微細構造定数α」を40億分の1の精度で決定 http://news.mynavi.jp/news/2012/09/11/097/
23 冷蔵庫 2014/03/20 (木) 23:00:25 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>21 ASAさん

>****理論(弦に限らない)という新理論の可能性は否定できないと思いますよ

同意します。弦理論研究の動機の1つは重力の量子化ですが、
量子重力理論の候補としては他にループ量子重力理論が挙げられますね。

>正規化理論の帰結である次元数の検証などでは、実験との乖離が甚だしいので(みかけで無く"真"の零点エネルギー実測方法どうするの等)、理論自体に意味がないと思ってます。

仰るとおり、弦理論の実験による検証可能性はほぼ無いでしょう。
ですが理論自体に意味がないかと言われると、私はそうは思いません。
量子重力理論の成果としては特定のブラックホールのエントロピーの統計力学的な導出に成功していますし、
様々なゲージ場の理論や超重力理論を超弦理論におけるブレーン上の物理と解釈することにより
それらの理論間の自明でない対応(ゲージ/重力対応など)が理解されています。

また、弦理論の実験による検証とは言えないかもしれませんが、
ゲージ/重力対応のQCDへの応用として考案された酒井杉本模型は、実験的に知られているハドロンの質量スペクトルを定性的に再現しているそうです。
http://arxiv.org/abs/hep-th/0412141
(QEDによる微細構造定数の決定の精度には及ぶべくもありませんが)
他にもゲージ/重力対応の実際の物理への応用は物性物理や流体力学に対してなされ、成果が見られているようです。
24 x_seek 2014/03/21 (金) 00:03:07 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 14:00 [修正] [削除]
hirotaさん、間違いを教えて頂きありがとうございます。私の投稿記事を次のように訂正させていただきます。
 訂正前:ゼータ関数の元のべき級数
 訂正後:ゼータ関数の元の級数

冷蔵庫さん、次元数についてご指摘頂きありがとうございます。私の投稿記事の該当部分を26次元から10次元に訂正します。

#23の超弦理論の解説は、とても興味深く読ませて頂きました。私は、超弦理論をあまり理解できていませんが、少しでも理解できるよう、あきらめずに勉強していきたいと思います。
25 ASA 2014/03/21 (金) 07:30:29 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
x_seekさん、水をさす様で申し訳ないが、超弦理論はマニアックすぎるのでお勧めはしません(模索中の理論でわき道も多いですし)。QEDは、ある意味現代物理の成果なので、こちらをじっくり勉強してみてはいかがでしょうか(その後QCDまで止めるのが無難)。
26 x_seek 2014/03/22 (土) 01:23:41 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ASAさん、アドバイス頂きありがとうございます。
超弦理論が発展中の理論であることに注意して勉強を進めたいと思います。
27 x_seek 2014/03/22 (土) 23:15:44 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
冷蔵庫さんから頂いたご指摘に回答します。

> x_seekさんの方法ではεを複素数にした収束因子を掛けただけですから、
> 特異項が消えていないのではないでしょうか?

冷蔵庫さんが言われている「特異項」というのは、自然数の総和を「無限大になる項」と、「-1/12になる項」に分離したときの前者の項のことだと思います。(もし間違っていたらご指摘ください)
ここでは、そのように項を分けず、単純に級数の各項を初項から順に足しています。そのため、特異項はでてきませんが、そのかわり、総和が発散します。

収束因子が実数の場合は次の式になります。
<tex>\zeta(-1)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\exp(-\epsilon n)</tex>

上記の級数のn番目の項は、nの増大に対し指数的に減衰しますが、任意のnに対して正です。そのため、前記の総和は単調増加します。総和は小さな $\epsilon$ に対し、非常に大きな数になります。

一方、収束因子が複素数の場合は次の式になります。
<tex>\zeta(-1)=\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)\exp(-\epsilon n+i\nu n)</tex>

上記の級数のn番目の項に、オイラーの公式を適用すると次の式になります。
<tex>(n+1)\exp(-\epsilon n)(\cos(\nu n) + i \sin (\nu n))</tex>

三角関数の引数 $\nu$ は非常に小さな数ですが、十分大きい $n$ に対して、上記の項は周期的に負になります。そのため、前記の総和は、増え続けるのではなく、周期的に増減を繰り返します。さらに $\epsilon$ の効果で減衰するため、総和はある数に収束します。しかし、相殺が不十分のまま減衰すると、小さな数に収束しません。そのため、十分な回数、振動してから減衰する必要があります。そこで次の条件を与えます。

<tex>0 < \epsilon << \nu << 1</tex>

相殺する様子はグラフを見ればわかりやすいと思います。グラフは次のページに掲載しています。
 http://www.geocities.jp/x_seek/zeta.html

28 冷蔵庫 2014/03/23 (日) 23:12:06 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>x_seekさん

#24
>私は、超弦理論をあまり理解できていませんが、少しでも理解できるよう、あきらめずに勉強していきたいと思います。

はい、がんばってください。QEDやQCDといったゲージ場の理論はASAさんが#25で勧められていますが、
弦理論を理解する上でも必須の概念ですので、こちらの勉強もしたほうがよいと思います。

#27
>冷蔵庫さんが言われている「特異項」というのは、自然数の総和を「無限大になる項」と、「-1/12になる項」に分離したときの前者の項のことだと思います。

そのつもりです。ポルチンスキーでは、

<tex>\sum_{n=1}^{\infty} n \exp(-\epsilon n) = \frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2} = \frac{1}{\epsilon^2} - \frac{1}{12} + {\mathcal{O}}(\epsilon)</tex>

のような計算を行い、特異項である最右辺のε^(-2)の項を落として-1/12という値を得ています。

>そのため、特異項はでてきませんが、そのかわり、総和が発散します。

x_seekさんの、

<tex>\zeta(-1)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\exp(-\epsilon n)</tex>

という式ですが、右辺にはパラメータεが含まれているのでこれをイコールで結ぶのはまずいかと思います。
また、上式の右辺はεの実部が正ならば収束して、

<tex>\frac{1}{(1-e^{-\epsilon})^2} = \frac{1}{\epsilon^2} + \frac{1}{\epsilon} + \frac{5}{12} + {\mathcal{O}}(\epsilon)</tex>

となっており、特異項が現れています。
(どうでもいいことですが、ASAさんが#2で指摘していた5/12が出ていますね。)
29 甘泉法師 2014/03/24 (月) 22:02:15 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>28 <tex>\sum_{n=1}^{\infty} n \exp(-\epsilon n) = \frac{e^{-\epsilon}}{(1-e^{-\epsilon})^2} = \frac{1}{\epsilon^2} - \frac{1}{12} + {\mathcal{O}}(\epsilon)</tex>

たいへんおもしろいです。εでローラン=マクローリン展開し、定数項を取り出す。n階微分で任意のζ(-n)の値が表せますね。

和をとるnにかかる係数が $\exp(-\epsilon n)$ である必然性も知りたいところです。
30 冷蔵庫 2014/03/25 (火) 21:40:38 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>甘泉法師さん

こんにちは。この方法でζ(-n)が計算できそうだということは(nが3ぐらいまでを実際に計算して)気づいていましたが、何故うまくいくのかは知りません。
31 x_seek 2014/03/25 (火) 23:43:34 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 03/27 (木) 22:25 [修正] [削除]
冷蔵庫さん、こんにちは。

> 弦理論を理解する上でも必須の概念ですので、こちらの勉強もしたほうがよいと思います。

アドバイスいただき、ありがとうございます。

> という式ですが、右辺にはパラメータεが含まれているのでこれをイコールで結ぶのはまずいかと思います。

ご指摘どおり等しくないため、次の関数を定義します。
<tex>G(z)=\sum_{n=1}^{\infty}n e^{nz}</tex>

自然数を係数に持つ等比級数の公式で下記式を得ます。
<tex>G(z)=\frac{e^z}{(1-e^z)^2}</tex>

ローラン=マクローリン展開により下記式を得ます。
<tex>G(z)=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{12}+O(z)</tex>

上記の係数を考察するため、次のベルヌーイ数の定義式を用います。

<tex>\frac{z e^z}{e^z-1} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}z^n</tex>

この記事では、ベルヌーイ数 $B_n$ はベルヌーイ多項式 $B_n(1)$ とします。
両辺を2乗し、両辺を $z^2$ で割ります。
<tex>\frac{e^{2z}}{(1-e^z)^2} = \frac{1}{z^2}(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}z^n)^2</tex>

上記の式の左辺に $e^{-z}$ をかけ、右辺に $e^{-z}$ のマクローリン展開をかけます。
<tex>\frac{e^z}{(1-e^z)^2} = \frac{1}{z^2}(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}z^n)^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(-z)^n</tex>

上記の式より前記のローラン=マクローリン展開の係数がベルヌーイ数の積であることがわかります。ベルヌーイ数とゼータ関数には次の関係式があります。
<tex>\zeta(-n)=-\frac{B_n+1}{n+1}</tex>

冷蔵庫さんのご指摘どおり、ローラン=マクローリン展開の第一項が特異項となっています。もう少し考えてみます。
32 甘泉法師 2014/03/26 (水) 14:29:22 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 15:10 [修正] [削除]
こんにちは。 

>>30 >>28  $\epsilon=\frac{\hbar \omega}{kT}$  と見れば  $\sum_{n=1}^{\infty} \exp(-\epsilon n)$  は統計力学の状態和と観ることができますね。高温の極限 ε→+0

準位のm次期待値 <n^m>は発散するけれどうまい具合のくりこみで ζ(-m) に対応する、と観てみました。

33 甘泉法師 2014/03/27 (木) 18:58:47 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 20:23 [修正] [削除]
(続く)ディラックの負のエネルギーの電子のように、負のエネルギー状態が満たされている真空を分配関数   $\sum_{n=1}^{\infty} \exp(-\epsilon n)$  が表し、対応するζ(0)= -1/2 はゼロ点振動の補正とちょうど対応する

と、くりこみを妄想しました。
34 冷蔵庫 2014/03/27 (木) 21:04:05 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>30 冷蔵庫
>この方法でζ(-n)が計算できそうだということは(nが3ぐらいまでを実際に計算して)気づいていましたが、何故うまくいくのかは知りません。

ベルヌーイ数を、
<tex>f(x) = \frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n</tex>
と定義するのであれば、
<tex>\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\epsilon n} = \frac{1}{e^\epsilon - 1} = \frac{f(\epsilon)}{\epsilon}</tex>
ですから、#28のやり方でベルヌーイ数が現れることは簡単に示せますね。
x_seekさんの書かれたベルヌーイ数とζ関数の満たす関係式から、ζ(-n)が現れることもわかります。
私はまだ、その関係式が成り立つ理由がわかっていませんが。

>>31 x_seekさん

収束因子を導入しても、何もせずにε→0という極限をとるのは収束因子の導入前に戻すということです。
ですからそれで発散が取り除かれることはないし、特異性が現れるのは当然かと思います。
35 x_seek 2014/03/27 (木) 22:02:37 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 23:28 [修正] [削除]
冷蔵庫さん、こんにちは。

次の正規化で特異項の発散を取り除くことができます。
<tex>H(\epsilon)=\sum_{n=1}^{\infty}n\exp(-n\epsilon)\cos(n\epsilon)</tex>

この正規化で次の式を導出できます。
<tex>H(\epsilon)=-\frac{1}{12}+O(\epsilon)</tex>

導出方法を次に示します。

次の関数を定義します。
<tex>G(z)=\sum_{n=1}^{\infty}n e^{nz}</tex>

自然数を係数に持つ等比級数の公式で下記式を得ます。
<tex>G(z)=\frac{e^z}{(1-e^z)^2}</tex>

一方、ベルヌーイ数 $B_n$ の定義式は下記です。ただし、ベルヌーイ数 $B_n$ はベルヌーイ多項式 $B_n(1)$ とします。
<tex>\frac{z e^z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}z^n</tex>

したがって $G(z)$ はベルヌーイ数で次のように表現できます。
<tex>G(z)=\frac{1}{z^2}(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}z^n)^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(-z)^n</tex>

具体的に計算すると下記です。第1項が特異項です。
<tex>G(z)=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{12}+O(z)</tex>

さて、 $H(\epsilon)$ は下記でした。
<tex>H(\epsilon)=\sum_{n=1}^{\infty}n\exp(-n\epsilon)\cos(n\epsilon)</tex>
オイラーの公式により、 $H(\epsilon)$ は $G(z)$ で次のように表現できます。
<tex>H(\epsilon)=\frac{1}{2}(G(-\epsilon+i\epsilon)+G(-\epsilon-i\epsilon))</tex>

 $G(z)$ の最後の式より、下記式を得ます。
<tex>H(\epsilon)=\frac{1}{2(-\epsilon+i\epsilon)^2}+\frac{1}{2(-\epsilon-i\epsilon)^2}-1/12+O(\epsilon)</tex>

第1項と第2項が特異項です。第1項は次のとおりです。
<tex>\frac{1}{2(-\epsilon+i\epsilon)^2}=\frac{1}{2(\epsilon^2-2i\epsilon^2-\epsilon^2)}=\frac{1}{-4i\epsilon^2}</tex>

第2項は次のとおりです。
<tex>\frac{1}{2(-\epsilon-i\epsilon)^2}=\frac{1}{2(\epsilon^2+2i\epsilon^2-\epsilon^2)}=\frac{1}{4i\epsilon^2}</tex>

したがって、第1項と第2項の特異項の和は0になり、下記式を得ます。
<tex>H(\epsilon)=-\frac{1}{12}+O(\epsilon)</tex>
36 hirota 2014/03/28 (金) 11:50:51 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
ベキ級数の収束半径が有限位数の極によって制限される場合、極の影響を指数関数で打ち消すと収束させる事が出来る。
指数関数の影響を微小パラメーターで減少させる場合、指数関数である限り有限位数の極より強いので収束に変わりはない。
微小パラメーターを0に収束させれば収束半径外の解析関数の値が得られる。
ζ関数の特異点は全て極なので有効である。
37 x_seek 2014/04/02 (水) 00:36:42 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 2015/01/11 (日) 08:09 [修正] [削除]
hirotaさん、コメント頂きありがとうございます。

次のWolframのサイトに次の数式を入力すれば数値計算できます。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_%7bk%3d1%7d%5e3000%20k%20exp%28%2d0%2e01k%29cos%280%2e01k%29
sum_{k=1}^3000 k exp(-0.01k)cos(0.01k)

結果は-0.0833333498...です。これは-1/12=-0.08333...に十分近い値です。

一方、次のように、振動数に対し減衰率を2倍にすると奇妙なことに収束しません。
sum_{k=1}^3000 k exp(-0.02k)cos(0.01k)

結果は約1199.9です。この結果から、かなり微妙な条件で収束していることがわかります。
収束条件は次のページの論文(執筆中)で考察しています。
http://www.geocities.jp/x_seek/zeta.html
38 x_seek 2014/04/13 (日) 18:38:32 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 04/24 (木) 21:01 [修正] [削除]
こんにちは。ここで、論理を整理してみたいと思います。

私は"自然数和"が-1/12になる仕組みを知りたいと思いました。

<tex>``1+2+3+\cdots''  = -\frac{1}{12}</tex>

発散級数を収束させる方法の一つにアーベル総和法があります。
しかしアーベル総和法では自然数和を収束できません。
そのため、アーベル総和法を振動させる新しい総和法で収束させます。
以下、説明いたします。



1. アーベル総和法の拡張
通常の自然数和は下記です。

<tex>S_n=\sum_{k=1}^n k</tex>

無限項で自然数和は発散します。

<tex>\lim_{n \to \infty} S_n = \infty</tex>



一方、アーベル総和法は下記です。

<tex>G_n(\epsilon)=\sum_{k=1}^n k \exp(-k\epsilon)</tex>

無限項では、アーベル和も発散します。

<tex>S_A = \lim_{\epsilon \to 0+} \left( \lim_{n \to \infty} G_n(\epsilon) \right)= \infty</tex>



新しい総和法では、アーベル総和法をゆっくり振動させます。

<tex>H_n(\epsilon)= \sum_{k=1}^n k \exp(-k\epsilon) \cos(k\epsilon)</tex>

この和は驚くべきことに無限項で収束します。

<tex>S_H = \lim_{\epsilon \to 0+} \left( \lim_{n \to \infty} H_n(\epsilon)\right)= -\frac{1}{12}</tex>



この結果はまったく自明でないため、信じられないと思います。
そのためオンライン計算機「WolframAlpha」で数値検証します。

「WolframAlpha」
http://www.wolframalpha.com/

(次の記事へつづく)
39 x_seek 2014/04/13 (日) 18:39:34 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 18:48 [修正] [削除]
2. 数値検証
次のURLをクリックするとオンライン計算機 WolframAlpha で計算できます。

◆ケース1:  $\epsilon = 0.01, n=3000$ 
減衰率 $0.01$ の結果は $-0.0833333\cdots \approx -1/12$ です。

<tex>\sum_{k=1}^{3000} k \exp(-0.01k) \cos(0.01k)</tex>

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%5Bk+exp%5B-0.01+k%5D+cos%5B0.01+k%5D%2C+%7Bk%2C+1%2C+3000%7D%5D

◆ケース2:  $\epsilon \to 0+, n \to \infty$ 
減衰率が $0$ の極限の結果は $-1/12$ です。

<tex>\lim_{\epsilon \to 0+}\sum_{k=1}^\infty k \exp(-\epsilon k) \cos(\epsilon k)</tex>

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%5Bsum%5Bk+exp%5B-x+k%5D+cos%5Bx+k%5D%2C+%7Bk%2C+1%2C+infinity%7D%5D%2C%7Bx-%3E0%7D%5D

ケース2のとおり、 $n$ が無限大ならば、 $\epsilon$ をいくら小さくしても-1/12に収束します。
一方、有限の $n$ に対して $\epsilon$ を十分小さく取れば、通常の自然数和に一致します。

◆ケース3:  $\epsilon = 0.0000001, n=100$ 
次の結果は、 $5049.966\cdots$ です。通常の自然数和は $5050$ です。誤差は $0.03$ です。

<tex>\sum_{k=1}^{100} k \exp(-0.0000001k) \cos(0.0000001k)</tex>

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%5Bk+exp%5B-0.0000001+k%5D+cos%5B0.0000001+k%5D%2C+%7Bk%2C+1%2C+100%7D%5D

上記の結果をまとめると次のとおりです。
・どれほど大きなn に対しても、十分小さなεを取れば、それは通常の自然数和に一致する。
・どれほど小さなεに対しても、十分大きなn を取れば、それは-1/12に収束する。

(次の記事へつづく)
40 x_seek 2014/04/13 (日) 18:41:11 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 04/22 (火) 19:52 [修正] [削除]
3.自然数和の解釈
二重引用符に囲まれた新しい自然数和を次のように定義します。

<tex>``1+2+3+\cdots+n '' \equiv \lim_{\epsilon \to 0+} \sum_{k=1}^n k \exp(-k\epsilon) \cos(k\epsilon)</tex>

<tex>``1+2+3+\cdots'' \equiv \lim_{\epsilon \to 0+} \sum_{k=1}^\infty k \exp(-k\epsilon) \cos(k\epsilon)</tex>



通常の自然数和は無限項で発散します。

<tex>1+2+3+\cdots = \infty</tex>

一方、新たに定義した自然数和は有限項では通常の自然数和と一致します。

<tex>``1+2+3+\cdots+n'' = 1+2+3+\cdots+n</tex>

無限項では、その新たに定義した自然数和は-1/12に収束します。

<tex>``1+2+3+\cdots'' = -\frac{1}{12}</tex>



4.おわりに
-1/12に収束する理論的背景と考察を下記論文にまとめております。

「減衰振動総和法による自然数の総和のゼータ関数正規化」
http://www.geocities.jp/x_seek/Regularization.htm
上記論文のリンク元:「ゼータ関数とベルヌーイ数」
http://www.geocities.jp/x_seek/zeta.html

上記論文で"自然数和"が-1/12に収束する仕組みを説明できたと考えています。

<tex>``1+2+3+\cdots'' = -\frac{1}{12}</tex>

もしよろしければ、上記の結果についてご意見を頂けないでしょうか?
よろしくお願いします。
41 NS 2015/03/27 (金) 22:04:13 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
こんにちは。不思議な数式に前から興味がありましたが、x_seekさんの論文で
lim[x→+0]Σ[k=1,∞]k*(e^(-kx))*cos(kx)=-1/12=ζ(-1)
を知り、他のζの値はどうなのかと考えました。
x_seekさんは別の数式を考えられたようですが、私はmaximaで調べてみて
lim[x→+0]Σ[k=1,∞](k^3)*(e^(-(k^2)*x))*cos((k^2)*x)=1/120=ζ(-3)
が高い精度で成り立つのに驚きました。ζ(-7)まで調べたところ
lim[x→+0]Σ[k=1,∞](k^n)*(e^(-(k^((n+1)/2)))*x)*cos((k^((n+1)/2))*x)=ζ(-n)
が成り立ちそうです。これは複素数で表すと
Re(lim[x→+0]Σ[k=1,∞](k^n)*(e^((i-1)*(k^((n+1)/2))*x)))=ζ(-n)
となります。ちなみに虚部(sin)は∞に発散しますが、1/((n+1)*(x^2))
になりそうですが、これは正しいのでしょうか・・
42 x_seek 2015/03/27 (金) 23:28:27 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

私は次の公式を発見し2014/3/27に>>35で発表しました。

<tex>\zeta(-1)=\lim_{x \to 0+}\sum_{k=1}^\infty k \exp(-kx)\cos(kx)</tex>

NSさんがそれを一般化した次の式を発見し、
私が発表してからまさに1年後である2015/3/27に発表されたことは、
私にとって、とても感慨深いです。本当にありがとうございます。

<tex>\zeta(-n)=\lim_{x \to 0+}\sum_{k=1}^\infty k^n \exp(-k^\frac{n+1}{2}x)\cos(k^\frac{n+1}{2}x)</tex>

maximaで数値計算しζ(0)からζ(-9)まで
誤差の範囲で正しい値を与えることを確認しました。
次の二点を確認してみようと思います。

(1) 正しい式か?(証明可能か?)
(2) 既知でないか?

少し時間がかかるかもしれませんが、よろしくお願いします。
43 甘泉法師 2015/03/28 (土) 11:49:02 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 21:33 [修正] [削除]
こんにちは。

右辺
<tex>\lim_{x \to 0+}\sum_{k=1}^\infty k \exp(-kx)\cos(kx)</tex>

<tex>=Re\ \lim_{x \to 0+}\sum_{k=1}^\infty k e^{(-1+i)kx}</tex>

<tex>=Re\ \frac{1}{-1+i} \lim_{x \to 0+}\sum_{k=1}^\infty \frac{d}{dx} e^{(-1+i)kx}</tex>

<tex>=Re\ \frac{1}{-1+i} \lim_{x \to 0+}\frac{d}{dx}\frac{1}{1-e^{(-1+i)x}}</tex>

<tex>=Re\ \lim_{x \to 0+}\frac{1}{(e^{(1/2-i/2)x}-e^{(-1/2+i/2)x})^2}=+\infty</tex>

のように計算してみたのですが、具合はどうでしょうか。
44 x_seek 2015/03/28 (土) 16:44:29 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
甘泉法師さん、こんにちは。

>>43

該当の式が発散しないことは
>>35の数式計算と>>39の数値計算で示しております。
ご確認よろしくお願いします。
45 甘泉法師 2015/03/28 (土) 21:15:05 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 22:30 [修正] [削除]
ありがとうございます。 最後の行は

>>35 <tex>H(\epsilon)=\frac{1}{2}(G(-\epsilon+i\epsilon)+G(-\epsilon-i\epsilon))</tex>

と一致するので変形まではあっていたようです。

計算しなおして
<tex>\frac{1}{2}\    \frac{cosh(x)cos(x)-1}{(cosh(x)-cos(x))^2}</tex>
ロピタルの定理を3回つかって 値-1/12になりました。

46 NS 2015/03/29 (日) 12:38:36 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
こんにちは。
x_seekさん、ちょうど一年目だったのですね。びっくりです。不思議なこともあるものですね。

甘泉法師さん、見事な証明ですね。未熟な自分が後を追うのは大変でしたが、なんとか理解できました。ただ、ロピタルの定理は4回適用で、4階微分まで必要なのでは?
47 甘泉法師 2015/03/30 (月) 18:52:09 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 19:54 [修正] [削除]
フォローいただきありがとうございます。仏の顔も三度、でしたね。
48 NS 2015/03/30 (月) 22:21:56 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
こんばんは。甘泉法師さん、もう一ヶ所、指摘させて下さい。
>>43 の最後から二番目の式で、等比数列の和を出していますが、初項は1ではありませんよね?
結果的には合ってしまうのですが、これは良くないと思います。

でも、よく証明されましたね。パチパチパチ。
他のケースにも応用できないかと思いますが、難しそうですね・・
49 甘泉法師 2015/03/30 (月) 23:17:57 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>初項は1ではありませんよね?

表記の簡単のためk=0からの和にしました。すると1が足されますが
d/dxを作用させると0になるので問題なしとしました。
50 NS 2015/03/31 (火) 12:41:52 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 18:15 [修正] [削除]
こんにちは。
甘泉法師さんの証明のおかげで、-1/12を三角関数と双曲線関数で簡単に表せました。
興味深いのは、係数1/2です。
>>45 は実部ですが、虚部の分子はsinh(x)sin(x)になり、xが小さいときはx^2に近いです。分母はx^4に近いので、全体でx^(-2)となります。
x=1のとき、虚部は0.5に近く、x=0.1では50, x=0.01では5000にほぼ一致します。
虚部は∞に発散しますが、xを固定した一般形は、次の形ではないでしょうか?
<tex> \frac{1}{n+1}  \frac{\left(sinh x* \sin x\right)  ^{n}}{{ \left(cosh x - \cos x\right)  ^{n+1} }} </tex>

予想に過ぎませんが・・
51 ********** 2015/03/31 (火) 18:34:43 ID:********** 削除日時: 04/01 (水) 21:46
(投稿者によって削除されました)
52 NS 2015/04/01 (水) 09:24:40 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの >>35 の証明、やっと理解できました。
甘泉法師さんのは別証明ですね。自分はとても理解が遅いので、x_seekさんの「新しい証明」ページを読むのも時間がかかりそうです。
改めてx_seekさんに感謝しますm(__)m
53 NS 2015/04/01 (水) 12:56:48 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
大栗先生の超弦理論入門を読んでいますが、この式はとても重要だったのですね。
付録で中学レベルと大学レベルの導出を説明していますが、x_seekさんの数式はその間を埋める高校レベルの説明になるのではないのでしょうか。高校生でも理解でき、しかも本質的です。
大栗先生はこの式をご存知なのかな?
54 NS 2015/04/02 (木) 15:14:06 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
こんにちは。
n=0のとき、実部は次のようになると推測します。
<tex> \lim_{x \rightarrow 0+}  \frac{cos x - 1}{cosh x -  \cos x} </tex>
または
<tex> \lim_{x \rightarrow 0+}  \frac{1 - cosh x}{cosh x -  \cos x} </tex>

ロピタルの定理を二回適用して-1/2
でも、ここまでの道が分からない。
55 NS 2015/04/03 (金) 17:35:44 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの「新しい証明」内容豊富で大変ですが、勉強になります。
「ゼータ関数とベルヌーイ数」も面白く読ませて頂いています。
ただ、これはクレームではなく改善意見ですが、ベルヌーイ数のところで
<tex>1 ^{0} +2 ^{0} +3 ^{0} + \cdots +n  ^{0} = \frac{1}{1} B _{0} n  ^{1}</tex>
を先頭に追加して頂くと、さらに美しいと思います。
56 x_seek 2015/04/03 (金) 23:20:07 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>52
論文を読んでいただけて、とても光栄です。
もし不明点あれば、お気軽にご連絡願います。
説明させて頂くとともに、論文を改善いたします。


>>53
>大栗先生はこの式をご存知なのかな?

大栗先生には2014/8にお伝えしました。
でも読んで頂けたかどうかは、わかりません。


>>54
>でも、ここまでの道が分からない。

証明を試みていますが、うまくいきません。

NSさんは素晴らしい発見をされたと私は考えています。
なぜならば、この公式がゼータ関数の本質を探るための
重要な鍵になると推測しているからです。


>>55
>x_seekさんの「新しい証明」内容豊富で大変ですが、勉強になります。

ゼータ関数の論文を評価頂けたのは初めてなので、とてもうれしいです。(^^)
ゼータ関数の引数を微分回数とみなす解釈は面白いと考えています。また
自然数と分配関数、ゼータ関数が連続的に繋がる所も興味深いと思います。


>「ゼータ関数とベルヌーイ数」も面白く読ませて頂いています。

ありがとうございます。
ベルヌーイ数を連続化する解釈は
あまり知られていないのではないかと考えています。


>ベルヌーイ数のところで
><tex>1 ^{0} +2 ^{0} +3 ^{0} + \cdots +n ^{0} = \frac{1}{1} B _{0} n ^{1}</tex>
>を先頭に追加して頂くと、さらに美しいと思います。

ご提案頂き、ありがとうございます。そうですね。
追加させていただこうと思います。
57 NS 2015/04/04 (土) 17:41:19 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。
ベルヌーイ数、不思議ですね。ΣkやΣk^2の公式は中学から知っているのに、展開して係数を比べてみると・・最高次の係数は調和級数だし、次の係数は1/2がズラリと並んでリーマン予想のようです。自分の予想した公式で、kの指数に1/2が出てくるのも、リーマン予想とつながっているのでしょうか?
n=1以外では等比級数の公式が使えないので、どうしたらいいの?て感じです。まずは周りから固めていこうかと思います。
58 NS 2015/04/05 (日) 11:09:33 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 14:30 [修正] [削除]
x_seekさん、質問です。
「自然数の総和がゼータ関数の-1/12であることの新しい証明」
5.2 特異方程式のところで、式5.18の上と下の行で□(x)とあるのはΦ(x)でしょうか。私の環境の問題ならよいのですが(^^)
あと、式5.10は
<tex>G \left(z\right) =  \sum_{k=1}^{inf} k * exp \left(-kz\right) </tex>

<tex>G \left(z\right) = \sum_{k=1}^{inf} a _{k} * exp  \left(-kz\right) </tex>
ではないでしょうか。
59 NS 2015/04/05 (日) 23:26:45 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんが発見した次の式(「新しい証明」の5.25式)
<tex> \lim_{x \rightarrow 0+}  \sum_{k=1}^{inf} k ^{2} exp \left(-kx \sqrt{3} \right)  \cos  \left(kx\right)  = 0</tex>
を、甘泉法師さん方式で証明できました。かなり面倒でしたが。
やっぱりx_seekさんはすごいと思います!
60 x_seek 2015/04/06 (月) 01:50:59 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>58

教えて頂き、ありがとうございます。(^^)
後日、訂正させていただきます。
61 NS 2015/04/06 (月) 07:20:07 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
「新しい証明」の5.23式
<tex> \lim_{x \rightarrow 0+}  \sum_{k=1}^{inf} exp \left(-kx ^{3} \right)  \cos  \left(kx\right) = - \frac{1}{2} </tex>
も正しいです。
ロピタルの定理を二回適用します。
62 NS 2015/04/06 (月) 15:43:33 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
こんにちは。
>>41 で私が発表し、>>42 でx_seekさんが補足して下さった数式について
新たなことが分かったので書いておきます。
cosを掛けないで指数関数のみを掛け、xを固定すると、次の式が成り立ちそうです。
<tex> \sum_{k=1}^{inf} k ^{n} exp \left(-k ^{ \frac{n+1}{2} } x\right) =  \frac{2}{ \left(n+1\right) x ^{2} } + \zeta   \left(-n\right) </tex>
63 NS 2015/04/06 (月) 16:16:21 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
もうひとつ、sinの式
<tex> \sum_{k=1}^{inf} k ^{n} exp \left(-k ^{ \frac{n+1}{2} } x\right)  \sin  \left(k ^{ \frac{n+1}{2} } x\right) =  \frac{1}{ \left(n+1\right) x ^{2} } </tex>
も成り立ちそうです。
64 NS 2015/04/06 (月) 18:42:24 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 04/07 (火) 05:55 [修正] [削除]
ざっくり表現すると(厳密ではないですが)
元の級数は、純粋な無限
指数関数を掛けると、有限(定数項)と無限(特異項)が分離される
さらにうまく三角関数を掛けると、有限だけ、無限だけが取り出される
こんな感じでしょうか。
65 NS 2015/04/07 (火) 00:08:51 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの「新しい証明」で減衰振動総和法の例5.25式
<tex> \lim_{x \rightarrow 0+}  \sum_{k=1}^{inf} k ^{2} exp \left(-kx \sqrt{3} \right)  \cos  \left(kx\right) = 0</tex>
は、expからcosにルート3を移すと成り立ちません。
しかし5.26式
<tex> \lim_{x \rightarrow 0+}  \sum_{k=1}^{inf} k ^{3} exp \left(-kx \left(1 +  \sqrt{2} \right) \right)  \cos  \left(kx\right) =  \frac{1}{120} </tex>
は、1+ルート2を移動しても成り立つようです。
これも不思議です。
66 NS 2015/04/07 (火) 10:40:30 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、改善ありがとうございます。
5.4式
<tex>H = \sum_{k=1}^{3000} k * exp  \left(-k0.02\right)  \cos  \left(k0.01\right) </tex>
5.5式
<tex>H = 1199.9166679</tex>
とても面白いです。H=1200+(-1/12)ですが、この0.02を0.01732に変えると
H = 1250+(-1/12)で極大になります。0.01732=0.01*<tex> \sqrt{3} </tex>
ですが、極大は微分して0なので、ルート3でΣk^2が0になるのに対応しています。
67 NS 2015/04/07 (火) 13:55:52 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、証明ありがとうございます。
難しそうですが、読んでみようと思います。
68 x_seek 2015/04/07 (火) 20:18:59 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

なんとか、証明できたと思います。
次の論文の付録に証明を記載しましたが、論理の不十分な点を
補ったりするので、内容が安定するまで時間がかかりそうです。

・自然数の総和がゼータ関数の-1/12であることの新しい証明
 http://www.geocities.jp/x_seek/Regularization.htm

証明で不明な点があれば、お知らせください。
説明させていただきます。では、よろしくお願いします。
69 NS 2015/04/08 (水) 06:52:11 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。
立派な数学の論文に自分の名前が載っているのを見るのは不思議な気持ちです。
今後、いい加減な生き方はできませんね(^^)
自分も勉強しながら理解したいので、時間がかかりそうです。
x_seekさんはネーミングのセンスもありますね。はっとさせられる名前です。
70 NS 2015/04/08 (水) 09:14:55 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
大栗先生の超弦理論入門も、もうすぐ読み終わりますが
時間や空間は幻想であるという考えは相対論の発展とも考えられます。
相対論では運動する物体から見ると時間と空間は縮みますが、いっそのこと
「光子から見た宇宙」を考えると距離も時間経過もゼロになってしまいます。
大昔に読んだ都筑卓司氏の本では「光はあくまで客体で、主体たりえない」
と説明してありましたが・・
また「時間と空間」は「運動量とエネルギー」と同等と読んだ記憶もあり
運動量とエネルギーこそが本質なのか?と思ったりします。
駄文失礼しましたm(__)m
71 NS 2015/04/09 (木) 09:47:24 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの証明で、ローラン展開のlog(z)の極は素晴らしい視点だと思います。
ただ、log(log(z))のようにすると低位の極が作れるので、最低位の極は存在しないのではないでしょうか。
反復対数というのは、単にlogを重ねるとは別のようですね。知らないことばかりです(汗)
72 x_seek 2015/04/10 (金) 00:31:30 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>71

論理の不十分な箇所をご指摘頂きありがとうございます。
確かに問題ですね。解決策を考えてみようと思います。

でも、こうして、論理の不十分な点をご指摘頂けたということは、
私の論文をきちんと読んでいただけたということなので、
私としては、とてもありがたいと考えています。

また何かお気づきの点があれば、よろしくお願いします。
73 x_seek 2015/04/10 (金) 00:42:03 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>69
>x_seekさんはネーミングのセンスもありますね。

ありがとうございます。
調和倍音関数(仮名)は特に悩みました。英語でも
Harmonic overtone functionになって語感がよいです。

良い名前をつけることは、問題を解く上で重要だと考えています。


>>70
>相対論では運動する物体から見ると時間と空間は縮みますが、
>いっそのこと「光子から見た宇宙」を考えると距離も時間経過も
>ゼロになってしまいます。
>大昔に読んだ都筑卓司氏の本では「光はあくまで客体で、
>主体たりえない」と説明してありましたが・・

私も昔、同じことを考えました。でも距離がゼロになるのは、おかしいので、
質量を持った物体は、光の速度に到達できないのでしょう。
それが「主体たりえない」という言葉の意味だと思います。


>また「時間と空間」は「運動量とエネルギー」と同等と読んだ記憶もあり
>運動量とエネルギーこそが本質なのか?と思ったりします。

そうですね。そのお考えは正しいかもしれません。
量子論において粒子の位置と運動量は、互いにフーリエ変換できますね。
74 NS 2015/04/10 (金) 11:15:44 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 12:34 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>72
t>1 でもt<1でも、極の位数は-log(z)のオーダーでt=1の場合と変わらないことを示せればt<1の場合も証明できますが、難しいかも。
ところで、-log(z)という極の位数はいくつになるのでしょうか?
0と1との間ですが、1/2じゃないし・・

>>73
光子から見た宇宙って、考えてみるとおかしいですね。
人が物を見るときは光を当てて見るわけで、光子をぶつけるから
不確定性原理も出てくるんですよね。
光子が物を見るなんて(^^)脳も目も意識もないのに。
意識なんて幻想だという話もありますが。
75 x_seek 2015/04/10 (金) 13:05:06 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>74

log(1/z)は恐らく0位の極です。
0位の極とは次の意味です。
0<h<<1
1/z^h
hは有限の微小な正の数です。
上記の式はz=0で発散しています。
log(z)を微分すると1/zになりますが
1/z^hを微分すると-h/zになります。
次のように定数項も出てきます。
log(C/z)=log(C)+log(1/z)=γ-log(z)

76 NS 2015/04/10 (金) 17:51:25 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
>>75
なるほど。x_seekさんが調和倍音関数の証明に当たって、調和関数からやり直した意味が分かった気がします。
恐らく、特異項の1/(z^2)を知ったときに-log(z)の極→2回微分が見えたのではないかと推察します。自分は全く浮かびませんでした(汗)
x_seekさんが追加された記事も興味深いので、勉強してみたいと思います。
77 x_seek 2015/04/11 (土) 23:47:13 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>64
お考えに同意いたします。


>>65
複素平面で考えると理由がわかります。Σk^3の特異項は1/z^4です。
z^4が純虚数ならばcosを作るための共役同士の和で相殺し0になります。
z^4というのは、複素平面での回転角度を4倍にすることです。
そのため、z^4で純虚数になる角度は複素平面で22.5度です。

一方、expとcosで1+√2を移動することは45度の直線で折り返すことです。
22.5度を45度の直線で折り返すと、複素平面で67.5度になります。
67.5度は4倍すると270度となり、純虚数になります。


>>74
> t>1 でもt<1でも、極の位数は-log(z)のオーダーでt=1の場合と
> 変わらないことを示せればt<1の場合も証明できますが、難しいかも。

ζ(0)の数値計算が正しかったため、0<=tという条件で証明したかったのですが、
1<=tという条件でしか証明できませんでした。
t<1の証明は難しそうですが、継続して考えていきたいと思います。


>>76
はい。ご推測の通りです。
78 NS 2015/04/12 (日) 11:20:21 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>77
詳しい解説、ありがとうございます。m(__)m
振動アーベル総和法について、より深く理解できました(^^)

> 0<=tという条件で証明したかったのですが、

0<tに限る理由は何でしょうか。
t=0は明らかに駄目ですが、0>tでも成立しそうに思われますが・・
79 x_seek 2015/04/12 (日) 22:29:56 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>78
> 0<tに限る理由は何でしょうか。

証明の最終目標として0<tに限った訳ではなく、
証明の第一目標として0<=tという条件での証明を検討しました。

0<=tという条件での証明を第一目標として検討した理由は
ζ(0)の数値計算が正しかったためです。最終目標としては、
命題が成立する範囲における任意のtで証明したいと考えています。
80 NS 2015/04/12 (日) 23:45:37 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 04/13 (月) 07:14 [修正] [削除]
x_seekさんの論文がどんどん詳しくなってゆき、私は嬉しいです。
大きな付録になりますね。

>>79
そうですね。まず第一目標ですね。

補足の5.4 ε-δ論法で、ちょっと気になったところがあります。
命題2でxの言及がなく、Hn(δ)とされていますが
命題1と同様、すべての実数x>0がx<δを満足するとき・・
としてHn(x)とされるほうがよいのではないでしょうか。
ただし、nとxの極限の順序は注意ですね。
81 x_seek 2015/04/14 (火) 06:45:55 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 04/15 (水) 19:13 [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>80
> x_seekさんの論文がどんどん詳しくなってゆき、私は嬉しいです。

そのように言って頂けると、とてもうれしいです。(^^)

私は、一人でも多くの人に私のアイデアをご理解頂けるよう、
できるだけ、わかりやすく論文を書きたいと考えています。


> 大きな付録になりますね。

はい。これもNSさんのおかげです。本当にありがとうございます。
論文として見ると、付録の方が重要になりそうです。


>命題2でxの言及がなく、いきなりHn(δ)とされていますが
>命題1と同様、すべての実数x>0がx<δを満足するとき・・
>としてHn(x)とされるほうがよいのではないでしょうか。

ご指摘頂き、ありがとうございます。
NSさんの指摘は非常に的確で、とても参考になります。

論文の「図5.5:ε–δ論法」を見ながら
私の説明を聞いて頂ければと思います。


命題1では本物の自然数和に収束します。
それはNを固定しxを任意に小さくすることで実現しています。
一方、命題2では-1/12に収束します。
それはδを固定しnを任意に大きくすることで実現しています。


例えば前記の図で、-1/12の領域の、ある点Aを考えてみましょう。
点Aは、誤差ε=0.01で、-1/12であるとみなせる点です。
点Aを垂直に上昇させます。
それは、nを固定しxを際限なく小さくすることを意味します。
すると、点Aは-1/12の領域から離脱し、自然数和の領域に侵入します。
それは、本物の自然数和に収束したことを意味します。

一方、-1/12の領域に存在する点Aを右方向へ水平移動させます。
それは、δを固定しnを際限なく大きくすることを意味します。
すると、点Aは-1/12の領域の中に居続けます。
それは、-1/12に収束していることを意味します。

上記のような挙動をε-δ論法で表現するため、
命題1では固定のN,任意のxを使い、
命題2では固定のδ,任意のnを使っています。
もし、命題2で任意のxを用いると、
本物の自然数和になる可能性を排除できないからです。

上記のことが、論文でわかりやすく説明できていないため、
改善させていただこうと思います。



余談ですが、はてなブックマークに私の記事を登録してくれた方がいたようです。

・はてなブックマーク - なぜゼータ関数ζ(−1)="1+2+3+4+..."は無限大に発散しないのか?
 http://b.hatena.ne.jp/entry/www.geocities.jp/x_seek/Euler.htm

上記の記事は意外と好評で、今日の時点では47人の方に共有頂いています。
82 NS 2015/04/14 (火) 09:00:01 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 16:16 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。
>>81
丁寧な解説、ありがとうございます。
私の発言が舌足らずで申し訳ありませんm(__)m
私が気になったのは、δを固定してしまうと収束値がαにならず
「αに近いが、αでない値」に収束してしまうことです。
たとえば、ζ(-3)の場合の数値計算をしてみますと、収束値は
x=0.1では 0.0087272
x=0.01では 0.0083730
x=0.001では 0.0083373
x=0.0001では 0.0083337
となり、いずれも1/120にはなりません。
xを0に限りなく近づけて初めて1/120に収束すると言えます。
そこを表現すべきではないかと思いました。
・・と、ここまで書いて自分の間違いに気づきました。
5.71式ではHn(δ)とαの差の絶対値がεより小さければよくて
ぴったりαでなくても良いですね。
でも、εは正の任意の実数で、0に無限に近づくから
限りなくぴったりなのか・・やっぱり間違ってない?
疲れているのかも。すみません、もう一度よく読んでみます。


はてなブックマークの登録、良かったですね!
x_seekさんの論文がどんどん有名になるといいなと思います。
83 NS 2015/04/14 (火) 13:42:16 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
続きです。
よく読むと、実は命題1からよく分からないです。
「すべての実数x>0が次の条件x<δを満足するとき」とは何でしょうか。
すべての正の実数なら、δ以上の実数も含まれているはずで
すべての正の実数がx<δを満足することは有り得ないと思われますが?
命題1の前のR-N論法と命題2で
「すべてのnが次の条件N<nを満足するとき」というのも同様に分かりません。
84 ********** 2015/04/14 (火) 17:40:32 ID:********** 削除日時: 04/15 (水) 18:36
(投稿者によって削除されました)
85 x_seek 2015/04/14 (火) 18:35:56 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>83

ご意見頂き、ありがとうございます。
文章表現を、少し改善してみました。

・自然数の総和がゼータ関数の-1/12であることの新しい証明
 http://www.geocities.jp/x_seek/Regularization.htm
86 NS 2015/04/14 (火) 21:58:05 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、いろいろ騒いですみませんm(__)m
-1/12の誤差については説明があるのに見落としていました。
ε-δ論法の部分は、一通り分かったと思います。
今後も空騒ぎをするかもしれませんが、よろしくお願いします。
87 x_seek 2015/04/15 (水) 19:15:14 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>86
>ε-δ論法の部分は、一通り分かったと思います。

ご納得いただき、ありがとうございます。

私は、極限を取る順序で結果が変わることを、とても不思議に思いました。
その仕組みを探るためε-δ論法で分析しました。その結果、
極限操作は不可逆ですが、ε-δ論法は可逆であることに気づきました。

極限では、一度-1/12に収束したら、それを再び自然数和に戻すことはできません。
しかし、ε-δ論法では、一度-1/12に収束しても、それを再び自然数和に
戻すことができるのです。私はこのε-δ論法の可逆性を、
「無限によって覆い隠されていた本質」だと判断し論文に追記しました。


>今後も空騒ぎをするかもしれませんが、よろしくお願いします。

こちらこそ、引き続き、よろしくお願いします。(^^)
88 ナマステ 2015/04/15 (水) 23:31:25 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>>87
不躾に失礼します。
何の話をしているのかわかっておらずに、言葉尻だけ捉えてしまったのですが、気になったので。
 $x^y$ を $x\rightarrow+0$ ,  $y\rightarrow+0$ に極限を取るとき、どちらを先にするかで $0$ か $1$ になると思いますが、ε−δ論法ではこれは一意に決まるのですか?
的外れな事を言っていたらすみません。
89 NS 2015/04/16 (木) 10:13:57 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
>>87
x_seekさん、こんにちは。
>極限を取る順序で結果が変わることを、とても不思議に思いました。

先にx→+0としてしまうと、x=0を代入するのと同じことになって
指数関数と三角関数を掛ける意味がなくなってしまうのかと。
0と∞は通ずるところはありますが、0は数であり∞は普通の数でない
という違いでしょうか。
先にn→∞、後でx→+0とする場合は、xを0に近づけるほど収束が遅くなり、
x=0では「無限のかなたで-1/12になる」
=「有限の計算では-1/12にならない」で、「∞に発散する」と
広い意味では一致するように思います。(広すぎ?)

>>88
ナマステさん、こんにちは。
0の0乗は定義できない、ということではないでしょうか。
0で割ることはできないから0の(-1)乗が定義できないのと同様に。
90 kafuka 2015/04/16 (木) 13:00:46 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 13:58 [修正] [削除]
横から失礼して恐縮ですが、、、

>先にx→+0としてしまうと、x=0を代入するのと同じことに
にはなりません。
Limなんとか→0 は、どこまで行っても ≠0です。
例えば、
 $z=(xy)^{1/2}$  で、Limx,y→0 z/(xy) を考えてみて下さい。
また、 0の0乗も、答えがあるとしたら、1しかありませんし、そうすることで、
多くの公式が、例外を付けずに書けます。
数学では例外を付けずに書けることが重要と思います(例えば、0の階乗も1)
91 NS 2015/04/16 (木) 15:03:53 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
>>90
kafukaさん、こんにちは。
「同じこと」ではないですね。すみません。
関数y=f(x)がx=0において連続な場合、
<tex> \lim_{x \rightarrow 0} f \left(x\right) = f \left(0\right) </tex>
となるので等しいということです。
92 x_seek 2015/04/19 (日) 16:25:55 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ナマステさん、こんにちは。

>>88
>  $x^y$  を  $x\rightarrow+0$  ,  $y\rightarrow+0$  に極限を取るとき、
> どちらを先にするかで $0$  か  $1$  になると思いますが、
> ε−δ論法ではこれは一意に決まるのですか?

私は、各命題をε-δ論法で一意に表現できるとは言っておりません。
実際、各命題はε-δ論法で次のように表現できると思います。

<tex>\lim_{y \to 0+}\left( \lim_{x \to 0+} x^y \right)=0</tex>
∀ε>0,∀y>0,∃δ>0 s.t. ∀x>0,x<δ⇒|x^y - 0|<ε

<tex>\lim_{x \to 0+}\left( \lim_{y \to 0+} x^y \right)=1</tex>
∀ε>0,∀x>0,∃δ>0 s.t. ∀y>0,y<δ⇒|x^y - 1|<ε


投稿>>81もお読み頂ければ、私の主張内容をご理解頂けるものと思います。
よろしくお願いいたします。
93 x_seek 2015/04/19 (日) 16:28:54 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>89
> 0の0乗は定義できない、ということではないでしょうか。

厳密な議論ではありませんが、次のような方法で納得できると思います。

例として、0^0を次のように定義します。
<tex>0^0 := \lim_{x \to 0+}x^x</tex>

数値計算するとx^xは1へ漸近します。
0.1 ^0.1 = 0.794328234724281
0.01 ^0.01 = 0.954992586021436
0.001 ^0.001 = 0.993116048420934
0.0001^0.0001 = 0.999079389984462

また、x^xのグラフはx=0で1を通ります。
・pow(x,x) - Wolfram Alpha
 http://www.wolframalpha.com/input/?i=pow%28x%2Cx%29
94 NS 2015/04/20 (月) 15:30:34 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

0^0については、>>92 >>93 をあわせて考えると1とすべきですね。
納得しました。
95 ナマステ 2015/04/20 (月) 18:02:57 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>>92
すみません。
>私は、極限を取る順序で結果が変わることを、とても不思議に思いました。
とあったので、「可逆」を「可換」と思い違いしておりました。
96 NS 2015/04/21 (火) 10:48:19 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。
「新しい証明」5.3 留数定理による平均アーベル総和法
気になる点が二つありました。
@5.39式
<tex>L = n|z _{k+1} - z _{k} |</tex>
で、円周と多角形の周を等号で結ぶのはどうでしょうか。
nを限りなく大きくすれば円周に限りなく近づくのは確かですが。
A5.48式
<tex>H \left(x\right) = - \frac{1}{12} </tex>
とありますが、-1/12 + O(x)ではないでしょうか。
97 x_seek 2015/04/22 (水) 19:09:36 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>96

>@5.39式
><tex>L = n|z _{k+1} - z _{k} |</tex>
>で、円周と多角形の周を等号で結ぶのはどうでしょうか。

ご指摘頂きありがとうございます。

確かにそうですね。(^^;)
ただ、この節は厳密な証明が目的ではなく、振動アーベル総和法の連続極限が、
留数定理になることを示すことが目的なので、
5.39式に次の説明文を追加し、式はそのままとしました。

「円周Lは十分大きいnに対し近似的に次のように表現できる」


>A5.48式
><tex>H \left(x\right) = - \frac{1}{12} </tex>
>とありますが、-1/12 + O(x)ではないでしょうか。

5.48式は留数定理によって、定数項以外はすべて消えてしまいます。
そのため、1/z^2と同様にO(x)も不要となります。


論文の謝辞にお名前を書かせて頂きました。
もし問題あれば、お知らせください。
98 NS 2015/04/22 (水) 22:00:38 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

留数定理で、1/z以外の項はすべて消えてしまいますね。
フーリエ級数でも似たような例がありますね。
不勉強で失礼しましたm(__)m

謝辞を頂けるとは光栄です。問題なんて、とんでもないです。
いまだに数検1級も受からないし、知らないことばかりですが
よろしくご指導願いますm(__)m
99 NS 2015/04/24 (金) 22:22:50 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。
x_seekさんは四元数解析にもお詳しいのですね。ますます尊敬です。
自分は複素解析も怪しいので、論文の中身はまだまだこれからです。
ただ、周回積分の記号だけが、ちょっと気になりました。
S^3の"3"が、"E"か"Z"に見えてしまうのですね。
書体の関係で仕方ないのかもしれませんが、
ここは四元数解析を示すポイントと思われますので
可能ならはっきりさせたほうが良いように思います。
100 x_seek 2015/04/25 (土) 18:57:13 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 21:18 [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>98
>フーリエ級数でも似たような例がありますね。

なるほど。
そのような発想はありませんでしたが、本質的かもしれません。


>>99
> x_seekさんは四元数解析にもお詳しいのですね。

四元数解析は、先行研究がほとんどないため、
独自研究の比率が高く、間違いが多いと思います。
現時点では、あまり参考にしない方がよいと思います。


>ただ、周回積分の記号だけが、ちょっと気になりました。

教えていただきありがとうございます。
ワードの数式フォントを変更すれば対策できるようです。
徐々に変更していきたいと思います。


私は次の公式の証明を試みましたが、NSさんが>>71で指摘されたように不完全な証明です。
<tex>\zeta(1-2t)=\lim_{x \to 0+}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{1-2t}} \exp(-k^tx)\cos(k^tx)</tex>

NSさんの>>78の指摘も、現状、解決できる見込みがありません。
誰か完全な証明を与えてくれないものでしょうか。(^^;)
101 NS 2015/04/25 (土) 23:15:55 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 04/26 (日) 18:01 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。
100レス到達、おめでとうございます!
私も非力ながら、議論の活性化に貢献できればと思います(^^)

ちょっと横にそれますが、四元数つながりで。
クラインの四元群、名前だけでなく、構造も四元数に似てませんか?
違うところと言えば
四元群のi, j, k は180度回転で可換
四元数のi, j, k は90度回転で非可換
でしょうか。
ネットで調べても、四元群と四元数を並べた説明は少ないようです。
102 x_seek 2015/04/26 (日) 19:16:53 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>101
>四元群のi, j, k は180度回転で可換
>四元数のi, j, k は90度回転で非可換

なるほど。四元群は四元数と回転角度が違うのですね。
回転角度の違いが、可換、非可換の違いに現れていると…
少し調べてみました。

四元数はハミルトンが1843年に発表しました。
英語ではquaternionです。
一方、四元群はクラインが1884年に発表したようです。
英語ではKlein four-groupです。
恐らくクラインは四元数のことを知っていたでしょうね。
名前は、日本語では似ていますが、英語では似ていません。


ちなみに、私が四元数解析に興味を持った理由は、実軸を時間軸、
虚軸を空間軸と解釈できるからです。
しかし、四元数解析はまだ一般的ではないようです。
103 NS 2015/04/27 (月) 00:50:40 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 04/28 (火) 22:49 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>102
>日本語では似ていますが、英語では似ていません。

これは失礼しました(汗)
quarterは1/4ですが、形容詞quaternaryは「四要素から成る、四つ一組の」
という意味と分かりました。
英語もまだまだ(大汗)

>実軸を時間軸、虚軸を空間軸と解釈できるからです。

そうですね。ただ、普通の四元数だとユークリッド的で
ミンコフスキー的にならないので
実数じゃないけど二乗して1になる不思議な数を考えるようですね。
分解型複素数とか双曲四元数とか、日本語でも英語でも名前が一定しません。
クラインの四元群は、明らかに双曲型ですね(^^)
104 denpa 2015/04/27 (月) 01:13:40 ID:DP0g64pPQU [修正] [削除]
>>100
積分に置き換えたラフな評価は可能でしょうか?
 $t=\frac{1}{2}$ においては $-\frac{1}{2}$ を示す事が必要等。
$\lim_{x \to +0}\sum^{\infty}_{k=1}$ という組み合わせなので。。。)
105 NS 2015/04/27 (月) 13:44:55 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
調和倍音関数の公式は、双曲線関数で表すことも可能です。
<tex> \zeta  \left(1-2t\right) =  \lim_{x \rightarrow 0+}  \sum_{k=1}^{ \infty } k ^{2t-1} exp \left(-k ^{t} x\right)  \cosh \left(ik ^{t} x\right) </tex>
hとiが増えるだけだし、当然のことで、あまり意味ないかもしれません。

denpaさん、こんにちは。
積分に置き換えると発散してしまいませんか?
106 NS 2015/04/28 (火) 15:07:14 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
複素数 a+biの2×2行列表現はa, b, -b, a
行列式はa^2+b^2で、ユークリッド計量となります。
双曲複素数 a+bj (j^2=1) の行列表現はa, b, b, a
行列式はa^2-b^2で、ミンコフスキー計量となります。
107 NS 2015/04/28 (火) 15:42:40 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 04/29 (水) 09:31 [修正] [削除]
四元数a+bi+cj+dkの4×4行列表現は
a, b, c, d
-b, a, -d, c
-c, d, a, -b
-d, -c, b, a
この行列式は
<tex> \left(a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} + d ^{2} \right)  ^{2} </tex>
クラインの四元群を同様に表現すると、おそらく
a, b, c, d
b, a, d, c
c, d, a, b
d, c, b, a
行列式は面倒ですが、次の5項の和になります。

<tex>a ^{2} \left(a ^{2} -b ^{2} -c ^{2} -d ^{2} \right) </tex>
<tex>b ^{2} \left(b ^{2} -c ^{2} -d ^{2} -a ^{2} \right) </tex>
<tex>c ^{2} \left(c ^{2} -d ^{2} -a ^{2} -b ^{2} \right) </tex>
<tex>d ^{2} \left(d ^{2} -a ^{2} -b ^{2} -c ^{2} \right) </tex>
<tex>8abcd</tex>

双曲四元数は、これとは別のようです。
108 NS 2015/04/29 (水) 13:12:03 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 23:26 [修正] [削除]
hyperbolic quaternionで調べると、双曲四元数の虚数単位は非可換ですね。
2乗して1でも非可換?ちょっと分かりません。
クラインの四元群のほうが美しいように思いました。

よく考えてみると、三次元の回転は一般に非可換であり
180度回転のみ可換となります。
即ちクラインの四元群は例外であり、これを虚数単位とするのは無理です。
よって前項の行列は、単なるお遊びとしか言えませんが
3+1の不定符号っぽい式が現れるのが面白いです。
109 x_seek 2015/04/30 (木) 09:36:45 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
denpaさん、こんにちは。

>>104
>積分に置き換えたラフな評価は可能でしょうか?

助言頂きありがとうございます。
級数を積分に置き換える方法で
tの条件を1<=tから0<tに広げてみました。

証明は下記論文の6.1.5に追記しました。

・自然数の総和がゼータ関数の-1/12であることの新しい証明
 http://www.geocities.jp/x_seek/Regularization.htm

大小関係の論理は、もう少し検証する必要があるかもしれません。
110 x_seek 2015/04/30 (木) 10:15:50 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>103
>>日本語では似ていますが、英語では似ていません。
>これは失礼しました(汗)

すいません。決してNSさんの認識を改めたかったわけではありませんでした。
日本語が似ているので英語も似ていると予想していましたが
意外な結果だったため、NSさんのご参考として書かせて頂いた次第です。

私は、数学用語の命名に時々疑問を持ち、英語の名前を調べることがあります。
例えば、虚数という名前にも疑問を持ち、次のような記事を書いています。

・虚数は存在するか?
 http://www.geocities.jp/x_seek/imaginary_number.html


>ただ、普通の四元数だとユークリッド的でミンコフスキー的にならないので
>実数じゃないけど二乗して1になる不思議な数を考えるようですね。

はい。ローレンツ変換との整合性のため、四元数を拡張する人が多いようです。
しかし私は、四元数解析との整合性のため、四元数を拡張したくありません。
四元数を拡張せずにローレンツ変換と整合性を取るアイデアは現状ありませんが…


解析接続を周回経路の平均値とみなす解釈は、
教科書に書かれていない新しい解釈だと思います。その新しい解釈は、
解析接続よりも直観的で理解しやすいと私は考えています。

周回経路で平均を取ることによって、本来発散する量が収束するという
不思議な現象が起こります。自然数和が-1/12に収束するのはその一例です。

その解釈は、次の論文の5.3節で説明しています。
・自然数の総和がゼータ関数の-1/12であることの新しい証明
 http://www.geocities.jp/x_seek/Regularization.htm

解析接続前と、解析接続後の関数は、一般に異なる値を取るため、
明確に区別するための表記法が必要だと私は考えています。
論文では、次の3種類の表記法を使っています。

@二重引用符で囲む。
 例:<tex>1+2+3+\cdots \to ``1+2+3+\cdots``</tex>
A大文字を小文字にする。
 例:<tex>F^{(s)}(z) \to f^{(s)}(a)</tex>
B別の文字にする。
 例:<tex>H^{(s)}(z) \to \nu^{(s)}(0)</tex>

黒川先生は二重引用符で囲む方法を使っていらっしゃいます。
111 NS 2015/04/30 (木) 13:47:51 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 05/01 (金) 10:27 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

「虚数は存在するか?」の記事、興味深く拝見しました。
私も虚数がなかなか理解できなかったのですが、ある本でガウス平面のことを知り、
虚数が数直線外の平面に図示できるのを知って、納得した記憶があります。
でも、これは自分が変わっているのかもしれませんが、「虚数」という名前は好きでした。
逆に「実数」という名前に違和感を覚えました。
それは・・たとえば3という自然数にしても、現実に存在するのは3人の人とか3本の木であって、
3という数が実在するわけではない、と考えていたからです。

名前のことを言えば、「正の数」「負の数」も奇妙な名前です。
私だったら「左の数」「右の数」と呼びたいところです。
もっとも右とは何か、左とは何かを数学的に定義するのは大変かもしれません。
一番ひどいのは「無理数」です。私が無理数だったら抗議するところです(^^)
面白い名前は「行列」で「行」と「列」を分けて使う呼び方は日常語と違いますね。
「お店の前に行列ができています」と報道されていたりすると
「行列じゃなくてベクトルだろう」と思ってしまいます。

解析接続の新しい解釈、直観的で分かりやすいです。
虚数を回転と見なす原点に沿った見方で、上の話とつながっていると思います。

四元数の拡張の話は、スレ違いなのでここに書き込むのは控えます。
自分としては面白さも感じるので、続ける場合は適切な他スレに書き込むかもしれません。
112 denpa 2015/04/30 (木) 22:15:33 ID:DP0g64pPQU 修正アリ: 05/01 (金) 02:44 [修正] [削除]
>>109
テクニカルな式展開ですね。(まだ精査しきれてないですが。。。)
>>104で記述して思っただけなのですが、
<tex>\lim_{x \to +0}\sum^{\infty}_{k=0}e^{-kx}\cos (kx) \ \rightarrow\ \frac{1}{\varepsilon}\int^{\infty}_{0}e^{-x}\cos (x)dx=\frac{1}{2\varepsilon} </tex>
この変更は「あり」で、この結果を考察する事に意味はあるのだろうかとも思いました。
(実積分のみで考察、 $x$ の極限値を「微小量 $\varepsilon$ 」と置き換えた場合に相当)
注:和から積分への移行(極限)に微小量の積が抜けていたので、それを加えました。
発散するのみの特異項ですが、係数値は考察に値するかどうか。
113 NS 2015/05/01 (金) 01:10:16 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 10:11 [修正] [削除]
x_seekさんに質問です。
もちろんdenpaさんでも、他の方でも、ご回答・ご意見歓迎します(^^)

@6.1.3 調和関数による自然数和の公式の証明
6.31式と6.32式の間の文

調和関数はz=0で零位の極をもつため

とありますが、これは調和母関数ですよね?

A6.1.4 調和倍音関数による証明
6.49式から6.50式が成り立つ理由が分かりません。
6.50式は「絶対値の和」ではなく、「和の絶対値」ですよね?
kzと(k^t)zそれぞれについて、「絶対値の和」>=「和の絶対値」は言えますが
zの絶対値が十分小さければ6.50式が成り立つのでしょうか?
114 x_seek 2015/05/01 (金) 16:09:40 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>113
>@6.1.3 調和関数による自然数和の公式の証明
>6.31式と6.32式の間の文
>調和関数はz=0で零位の極をもつため
>とありますが、これは調和母関数ですよね?

ご指摘頂き、ありがとうございます。
正しくは調和母関数であるため、訂正します。


>A6.1.4 調和倍音関数による証明
>6.49式から6.50式が成り立つ理由が分かりません。
>6.50式は「絶対値の和」ではなく、「和の絶対値」ですよね?
>kzと(k^t)zそれぞれについて、「絶対値の和」>=「和の絶対値」は言えますが
>zの絶対値が十分小さければ6.50式が成り立つのでしょうか?

そうですね。ご指摘の通り、
zの絶対値が十分小さい時に不等式が成立することは、別途証明する必要があります。
115 NS 2015/05/01 (金) 18:42:10 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

「行列と複素数の幾何学的解釈」素晴らしい論文ですね!
断片的な記事は多くありますが、これほど良くまとまって、しかも斬新な記事は初めてです。
よく勉強させて頂きたいと思います。
惜しいことに「玉に傷」が二つほど見つかりました。

@図5.1 転置行列の意味
転置後のx市の「移住以外の年間人口増加率」の後の数字が切れています。

A6.1.1 四元数とは何か?
「複素数とは、3次元回転拡大行列の略記である」
とありますが、四元数と思われます。

あと、これは欲張りすぎかもしれませんが、四元数と内積について書かれるのでしたら
外積も解説してほしいな・・なんて思ったりします。
116 NS 2015/05/02 (土) 09:01:51 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
「行列と複素数の幾何学的解釈」前半について、私の改善意見です。
@2.17式(R(-θ)の式)は、もちろん正しいのですが、cos(-θ)=cosθ、sin(-θ)=-sinθで計算してもよいですね。
A図2.8の説明文で、「拡大単位行列は均等に拡大する」とありますが、「拡大単位行列の実数倍は・・」とすべきだと思われます。厳密に言えば、正の実数倍かな。ここでいう「拡大」は縮小を含むと思われますが(「加速度」といえば減速度も含むのと同じ)縮小に触れてもよいかもしれません。
B図2.8の下の文は、拡大と回転がまじった話なので、別の場所(2.6回転単位行列の後?)に持っていくほうがよいように思います。
C3.9式(e^(Iθ)の式)の右辺で、cosθの係数としてEをつけるべきと思われます。
117 x_seek 2015/05/02 (土) 12:31:02 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>111
>私も虚数がなかなか理解できなかったのですが、ある本でガウス平面のことを知り、
>虚数が数直線外の平面に図示できるのを知って、納得した記憶があります。

ガウス平面で虚数を座標とみなせることを知り、ある程度納得したのですが、
その奇妙な演算規則には納得できませんでした。

1835年には、ハミルトンが次の演算規則で虚数(a,b)を定義しました。
 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
 (a,b)×(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

しかし、私はその演算規則をとても人工的だと感じました。
そこで私は、虚数を座標ではなく、変換だと解釈しました。
それが「虚数は回転単位行列の略記である」という解釈です。


>でも、これは自分が変わっているのかもしれませんが、
>「虚数」という名前は好きでした。

私も虚数という名前は好きでしたが、同時に不安も覚えました。
なぜなら、虚数という名前から「本当は存在しない数」という印象を受けたからです。
「本当は存在しない数」の数学を作って、問題ないのだろうかと思いました。
でも虚数は、既知の数学との整合性がとてもあるんですよね。
まるで始めから、背後に存在していたかのように…


>逆に「実数」という名前に違和感を覚えました。
>それは・・たとえば3という自然数にしても、現実に存在するのは
>3人の人とか3本の木であって、
>3という数が実在するわけではない、と考えていたからです。

なるほど。次の二種類の解釈がありえますね。
@3個の物体は実在する。しかし、数字3は実在しない。
A3個の物体は実在する。それとは別の意味で、数学的概念3も実在する。

私は後者の立場です。
無矛盾な数学的事実は実在すると私は考えています。


>名前のことを言えば、「正の数」「負の数」も奇妙な名前です。
>私だったら「左の数」「右の数」と呼びたいところです。

私は「左の数」「右の数」を良い名前だと思います。
なぜなら、私は数学を幾何学的に見ることを好む人間だからです。
#でも、正の数を図の上方向に取ると混乱するかな(^^;)


>一番ひどいのは「無理数」です。私が無理数だったら抗議するところです(^^)

確かに(笑)
無理って、いったい何が無理なんでしょうね。
有理数の反対語として無理数なのでしょうが…


>面白い名前は「行列」で「行」と「列」を分けて使う呼び方は日常語と違いますね。
>「お店の前に行列ができています」と報道されていたりすると
>「行列じゃなくてベクトルだろう」と思ってしまいます。

そうですね(笑)
行列と命名したのは高木貞治で1930年のことです。
当時すでに「行列」は「人が待つ列」という意味があったでしょうから、
それに躊躇せず行列と命名したということは、
大数学者は、世間の常識の影響を受けないということなのかもしれません。

行列は英語でMatrixと言いますが、その本来の意味は母体(生み出すもの)です。
行列式(英語ではDeterminant)を生成するものとして命名されたようです。
Generating functionを母関数と命名した発想と似てますね。


>解析接続の新しい解釈、直観的で分かりやすいです。

ありがとうございます。
解析接続の新しい解釈に賛同してくれた方は、
これまでいなかったため、とてもうれしいです。

でも、既知の事柄に新しい視点を与えただけですけどね。
数式上の表現は特にこれまでと変わりません。変わるのは視点だけです。
118 x_seek 2015/05/02 (土) 12:32:08 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>115
>「行列と複素数の幾何学的解釈」素晴らしい論文ですね!

そう言って頂けると、とても光栄です。
ただ、この文章は、既知の事柄に新しい視点を提供したにすぎないため、
私は論文ではなく記事と呼んでいます。


>断片的な記事は多くありますが、これほど良くまとまって、
>しかも斬新な記事は初めてです。

数学の教科書では、天下りに虚数が出現し、天下りに行列が出現します。
私は、もっと親切に一歩一歩、説明して欲しいと思いました。
「記号の略記」という視点は、多くの人の理解の助けになると私は信じます。


>@図5.1 転置行列の意味
>転置後のx市の「移住以外の年間人口増加率」の後の数字が切れています。

教えて頂きありがとうございます。訂正しました。


>A6.1.1 四元数とは何か?
>「複素数とは、3次元回転拡大行列の略記である」
>とありますが、四元数と思われます。

そうですね。四元数の誤りです。訂正しました。


>あと、これは欲張りすぎかもしれませんが、四元数と内積について
>書かれるのでしたら外積も解説してほしいな・・なんて思ったりします。

よく気づかれましたね。さすがです。
外積の解説を入れるかどうかは、迷いました。
なぜならば、外積の解説を入れると、内容が難しくなるからです。

四元数の実数成分と虚数成分が不変で、実数成分が内積であるならば、
虚数成分は何だろうと疑問に思う人は気づくでしょうね。
そのあたりが、数学の面白いところかなと思います。
小説において、思わぬ場所で思わぬ人物に出会うような。

四元数の考察から、自然に内積と外積が現れるのは、とても面白いと思います。
そのあたりの面白さは、読者に残すのも良いかなと思いました。
外積の解説を追加するかどうかは、もう少し考えてみようと思います。
119 x_seek 2015/05/02 (土) 12:33:19 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>116
>@2.17式(R(-θ)の式)は、もちろん正しいのですが、
>cos(-θ)=cosθ、sin(-θ)=-sinθで計算してもよいですね。

そうですね。反対方向の回転であることを明示するため、
-θを計算せずに残しています。
もう少し計算を進めるのも、ありですね。これも、考えてみます。


>A図2.8の説明文で、「拡大単位行列は均等に拡大する」とありますが、
>「拡大単位行列の実数倍は・・」とすべきだと思われます。

確かに!
NSさんが正しいです。教えて頂きありがとうございます。
記事の「拡大単位行列」は単位行列のことなので、この説明はおかしいですね。
「拡大単位行列の実数倍」を「拡大行列」という名前で表現することにしました。


>B図2.8の下の文は、拡大と回転がまじった話なので、別の場所(2.6回転単位行列の
>後?)に持っていくほうがよいように思います。

おっしゃるとおりですね。2章の最後に移動します。
説明も3章につながる内容に変えました。


>C3.9式(e^(Iθ)の式)の右辺で、cosθの係数としてEをつけるべきと思われます。

確かに、そうですね(^^;)
Eが抜けていたので、追加しました。

見直したつもりでしたが、けっこう間違いがありますね。
教えて頂き、ありがとうございます。とても助かりました。
120 聖白馬ホーリーウマゴン 2015/05/02 (土) 14:42:32 ID:WTcxHMNgQk [修正] [削除]
>>117
正の数、負の数について
今だに分からないのですがなぜプラス×プラスはプラスなのにマイナス×マイナスはマイナスじゃなくてプラスなのでしょうか?正の数、負の数は数直線で左右まったく対称なのになんだか不思議です。
121 甘泉法師 2015/05/02 (土) 15:34:27 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>120 なぜプラス×プラスはプラスなのにマイナス×マイナスはマイナスじゃなくてプラスなのでしょうか?

1 プラス+プラスはプラスでマイナス+マイナスはマイナス ですから少し気を楽にしてください。

2 お考えのとおりだと プラスXマイナス と マイナスXプラス はどうなるはずでしょうか。



122 x_seek 2015/05/02 (土) 16:47:57 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ウマゴンさん、こんにちは。

>>120
>なぜプラス×プラスはプラスなのにマイナス×マイナスはマイナスじゃなくて
>プラスなのでしょうか?正の数、負の数は数直線で左右まったく対称なのに
>なんだか不思議です。

ウマゴンさんが不思議に思う気持ちは、よくわかります。
なぜならば、その疑問は私がガウス平面に持った疑問と本質的に同じだからです。

つまり、なぜ次のような演算規則なのかという疑問です。

 (右1)×(右1)=(右1)
 (左1)×(左1)=(右1)

左右を入れ替えると次のようになります。

 (左1)×(左1)=(左1)
 (右1)×(右1)=(左1)

上記を見ると、左右が対称になっていません。

普通、私たちは数字を「座標」のように見ます。
だから、数字を数直線上の位置と解釈します。
しかし、数字を座標ではなく「変換」と見ることもできます。

記号「-1」を「画像を180度回転する変換」と見るのです。
これは次のような視点@から視点Aへの変更に相当します。

 @座標視点:-1を、数直線上の左1の座標とみる。
 A変換視点:-1を、画像全体を180度回転する回転変換とみる。

次の演算規則を座標視点ではなく変換視点で見てみましょう。

 (+1)×(+1)=+1
 (-1)×(-1)=+1

+1を、画像を回転しない恒等変換と見れば、
その変換二回が恒等変換となることは、自然に納得できます。
-1を、画像を180度回転する変換と見れば、
その変換二回が恒等変換になることは、自然に納得できます。


次に、虚数の演算規則を座標視点ではなく変換視点で見てみましょう。

 (+i)×(+i)=-1
 (-i)×(-i)=-1

+iを90度の左回転と見れば、結果が180度回転となることは、自然に納得できます。
-iを90度の右回転と見れば、結果が180度回転となることは、自然に納得できます。

このように、視点を変えることで、数学は非常に理解しやすくなります。
123 ナマステ 2015/05/02 (土) 18:05:07 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
プラス*プラス=プラス
プラス*マイナス=マイナス
マイナス*プラス=プラス
マイナス*マイナス=マイナス
みたいな感じだと対称的でいいんですかね?
124 聖白馬ホーリーウマゴン 2015/05/02 (土) 18:08:20 ID:WTcxHMNgQk [修正] [削除]
なるほど回転で考えると虚数の演算まで同じ理解ができて面白いですね。x_seekさんありがとうございます。いろいろ考えてみます。
125 聖白馬ホーリーウマゴン 2015/05/02 (土) 18:42:11 ID:WTcxHMNgQk [修正] [削除]
x_seekさんの一次変換と行列と複素数に関する記事面白いですね。僕の知識でも読める部分もあるのでゆっくり読んでみようと思います。
126 NS 2015/05/02 (土) 18:56:03 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
みなさん、こんにちは。

x_seekさん、長文の返信ありがとうございますm(__)m

まず、ウマゴンさんの疑問について。
みなさんのご説明で十分と思いますが、あえて言えば・・

そもそも足し算と掛け算は全く違う演算です。
加法の単位元は0です。だから加法に関しては、正の数と負の数は対称です。
乗法の単位元は1です。だから乗法に関しては、正の数と負の数は非対称です。

という見方もできます。
127 NS 2015/05/02 (土) 19:45:45 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 05/03 (日) 07:00 [修正] [削除]
x_seekさんへの返信、その1です。

>>117
>虚数は回転単位行列の略記である

私の説明が舌足らずでした。
実は、私の読んだ「ある本」では、-1を掛けるという演算を数直線上の対称移動でなく
平面内での180度の回転移動と考えてみよう、という説明だったのです。
古い本ですがランツォスの「数とは何か」という本です。
やはり私も「回転」で虚数を納得していたのでした。

>無矛盾な数学的事実は実在する

そうですね、実在とは何かという哲学になるかもしれません。
古代ギリシアでは数学と哲学は一体でしたね。
デカルト、ラッセルなども数学者で哲学者でした。
ランツォスの本では、「自然界」と「数の世界」があって
両者はそれぞれ独自の世界であり、一部交わるところもある・・
といった説明でした。プラトンのイデア論に通じるのでしょうか。

>無理って、いったい何が無理なんでしょうね

「分数で表すのが無理な数」でしょうね。
「代数方程式の解として表すのが無理な数」は「超越数」で、
こちらは良い名前です。
128 NS 2015/05/02 (土) 20:08:25 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 05/03 (日) 07:08 [修正] [削除]
x_seekさんへの返信、2回目です。

>>118
>面白さは、読者に残すのも良いかなと思いました。

そうですね。あと、隠れたテーマとして「直交行列」「ユニタリー行列」もありますね。
対称行列は実数のエルミート行列ですが、直交行列は実数のユニタリー行列です。
ユニタリー行列は直訳すると「単位行列」です。
ところが「単位行列」はもちろん日本語では別の意味で、日本語の単位行列は
英語ではidentity matrix(同一行列)となります。
単位行列はユニタリー行列であり、エルミート行列でもあります。
129 NS 2015/05/03 (日) 07:43:02 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、すみません、また気づいたことがあります。
「行列と複素数の幾何学的解釈」5.3.2 エルミート共役行列とは何か?
@5.28式は、5.23式と同様ではないでしょうか。
A5.29式で、行列の各要素に転置記号がついていますが、このような表記はあるのでしょうか。
あるとしても、この場合は共役記号をつけるほうがよいと思われます。
もう少し考えると、複素数の行列表現に限らず「要素がすべて実数の場合」としてもよいかと思います。
まあ、読者に考えさせるのもよいですが・・

5.3.3 エルミート行列とは何か?
「複素数の行列表現では、エルミート行列は対称行列である」とありますが、
複素数の行列表現は要素がすべて実数なので正しいのですが、
これも同様ですね。
130 x_seek 2015/05/03 (日) 10:33:02 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 11:10 [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>129
>「行列と複素数の幾何学的解釈」5.3.2 エルミート共役行列とは何か?
>@5.28式は、5.23式と同様ではないでしょうか。

わかりにくい表現となっており、申しわけありません。
5.23式は複素数の行列表現です。
5.28式は複素数の行列表現を要素に持つ行列であるため、
5.23式と同様ではありません。
わかりにくい表現でしたので記事の表現を見直しました。

・行列と複素数の幾何学的解釈
 http://www.geocities.jp/x_seek/Matrix_complex.htm


>A5.29式で、行列の各要素に転置記号がついていますが、
>このような表記はあるのでしょうか。
>あるとしても、この場合は共役記号をつけるほうがよいと思われます。

5.29式の各要素は複素数ではなく、
複素数の行列表現であるため共役記号ではなく転置記号を使っています。


>5.3.3 エルミート行列とは何か?
>「複素数の行列表現では、エルミート行列は対称行列である」とありますが、
>複素数の行列表現は要素がすべて実数なので正しいのですが、
>これも同様ですね。

これも、各要素は複素数の行列表現であるため転置記号を使っています。


この記事の狙いはエルミート行列が対称行列と解釈できることを示すことでした。
そのため、複素数の行列表現を要素に持つ行列を使いました。

私はエルミート共役を学んだとき、転置を取ると同時に各要素の複素共役を
取るという操作が人工的だと感じました。なぜならば、転置を取る操作と
複素共役を取る操作は、質的に異なる気がしたからです。

しかし、複素数の行列表現を要素に持つ行列を使えば、
すべて「転置を取る」という操作で統一的に理解することができます。
131 NS 2015/05/03 (日) 12:09:00 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>130
なるほど!目から鱗です。
各要素が小文字でなく大文字で書かれていた時点で、行列の行列である可能性に気づくべきでした。
共役・転置の意味が、よく分かりましたm(__)m
それで、後ろの四元数の話にもつながりますね。
さらに八元数につなげないかと思うと、八元数では乗法の結合法則も成り立たないので
行列表現できないのでした(T-T)
132 x_seek 2015/05/03 (日) 16:29:07 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>126
>乗法の単位元は1です。だから乗法に関しては、正の数と負の数は非対称です。

NSさんの見解に同意します。

>>127
>やはり私も「回転」で虚数を納得していたのでした。

了解しました。

>ランツォスの本では、「自然界」と「数の世界」があって
>両者はそれぞれ独自の世界であり、一部交わるところもある・・

かつて私は、自然界は数学とは完全に独立して存在し、
数学は自然界を近似的にしか表現できないと考えていました。

しかし私は、その考えを改めました。
「自然界」は「無矛盾な数学的事実」そのものではないかと
考えるようになったのです。その考えは次の記事で説明しています。

・世界が存在する不思議
 http://www.geocities.jp/x_seek/math.html

>「分数で表すのが無理な数」でしょうね。

なるほど。そういう解釈もできますね。

>>128
>あと、隠れたテーマとして「直交行列」「ユニタリー行列」もありますね。

はい。それも追記するか迷いましたが、複雑になるため割愛しました。

>>130
>さらに八元数につなげないかと思うと、
>八元数では乗法の結合法則も成り立たないので行列表現できないのでした

はい。八元数は結合法則を満たさず、行列表現できないので、
記事は四元数までにしておこうと思っています。
133 NS 2015/05/04 (月) 00:44:31 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>132
>世界が存在する不思議

とても深い問題ですね。
アインシュタインはイスラエルの大統領になってくれという誘いを断り
「私にとっては、政治より方程式のほうが重要だ」と言ったそうですね。
カール・セーガンの「コンタクト」で、ジョディ・フォスターが演じた電波天文学者は
「数は、宇宙の共通語です」と言っていました。
「ある意味で、神は数学者だ」という言葉も原作にありました。
「数学者は神だ」と言ったら明らかにまずいですけどね(^^)
「数学は数学者が頭で作ったものだから、真実じゃない」
と言った医学生を私は知っていますが、私は同意しません。
人間が数を勝手に作ったなら、なぜリーマン予想は未だに解けないのか。

x_seekさんの記事は、もう少し時間をかけて考えたいですね。
134 denpa 2015/05/04 (月) 06:18:47 ID:DP0g64pPQU [修正] [削除]
>>132
そういえば、「ムーンシャイン現象」についてはどう考えていますか?
世界が存在する不思議の最後に「モンスター群」があったので。
(物理と数学がミックスした好例。CFTの勉強とかどうなったんだろ。。。)
135 x_seek 2015/05/04 (月) 18:28:01 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
denpaさん、こんにちは。

>>112
><tex>\lim_{x \to +0}\sum^{\infty}_{k=0}e^{-kx}\cos (kx) \ \rightarrow\ \frac{1}{\varepsilon}\int^{\infty}_{0}e^{-x}\cos (x)dx=\frac{1}{2\varepsilon} </tex>
>この変更は「あり」で、この結果を考察する事に意味は
>あるのだろうかとも思いました。

NSさんが発見されたのは次の式です。
<tex>\zeta(1-2t)=\lim_{x \to 0+}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{1-2t}} \exp(-k^tx)\cos(k^tx)</tex>

変数 $t$ に1/2を代入すると次の式になります。

<tex>\zeta(0)=\lim_{x \to 0+}\sum_{k=1}^\infty \exp(-\sqrt{k} x)\cos(\sqrt{k} x)=-\frac{1}{2}</tex>

上記の式は、denpaさんが考察されている式と異なります。
denpaさんは、なぜ、その式を考察されているのでしょうか?
136 x_seek 2015/05/04 (月) 18:29:04 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>133
書いてから、これはさすがに引かれるかなと思ったので、
ちょっと安心しました。(^^;)

>「ある意味で、神は数学者だ」という言葉も原作にありました。

それについてはガリレオの次の言葉が有名ですね。
「宇宙は数学という言語で書かれている」


例として、マンデルブロ集合は発明なのか、
それとも発見なのかという議論があります。

私は、発明ではなく発見だと考えています。
それは、人間に発見されるのを待っていたのです。

私は、ゼータ関数のマンデルブロ集合の世界を探索し、
花のような構造物を発見しました。

・ゼータ関数のマンデルブロ集合
 http://www.geocities.jp/x_seek/mandel.html

一般に、マンデルブロ集合には人工的な印象がありますが、
ゼータ関数のマンデルブロ集合にはとても自然な印象があります。
137 x_seek 2015/05/04 (月) 18:30:08 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
denpaさん、こんにちは。

>>134
>そういえば、「ムーンシャイン現象」についてはどう考えていますか?

denpaさんがこの質問をされたということは、denpaさんには知りたいことが
あるのだと推測しますが、denpaさんが具体的にどのようなことを
知りたいとお考えなのか、denpaさんの質問文から読み取ることができませんでした。
denpaさんの知りたいことがわからないため、仮に私が回答したとしても、
その回答は、denpaさんが期待する回答とならない可能性が高いと予想します。

もし、よろしければ、denpaさん自身が、どのようにお考えなのか、
述べていただけますか?その内容を読めば、denpaさんが私にどのような内容の
回答を期待されているのか、わかると考えるからです。

よろしくお願いします。
138 NS 2015/05/04 (月) 23:53:04 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

「世界が存在する不思議」という記事について、一つ疑問点があります。
正多面体が5種類だけあること、散在型有限単純群が26個だけあることは、確かに「数学的事実」でしょう。
しかし、ゼータ関数の零点が一直線上に(だけ)存在するというリーマン予想は、まだ証明されていないので、これを「数学的事実」というのはどうでしょうか。
もちろん多くの数学者はリーマン予想は正しいだろうと推測しているようですし、
x_seekさんも同じだろうとは思いますが・・

それ以外の多くの記事・論文については、私にはまだ難しく、理解するには時間がかかりそうです。

x_seekさんは「人間原理」については否定的ご意見でしょうか。
つまり・・この宇宙は人間(地球に限らず、いわゆる宇宙人を含む宇宙の知的生物)が生まれてくるように、あまりにも上手くできている。
物理法則や物理定数が少しでも違えば、星や銀河は形成されず、原子さえ形成されず、人間は生まれてこない。
なぜ宇宙はこれほど都合よくできているのか。神様を持ち出さずに説明しようとすれば、物理法則が異なる無数の宇宙を考えざるを得ない・・
「人間原理」は一定の説得力はあるように思います。
139 denpa 2015/05/05 (火) 00:13:37 ID:DP0g64pPQU [修正] [削除]
>>135
>なぜ、その式を考察されているのでしょうか?
最初の簡単なモデルで
 $\lim_{x \to +0}\sum^{\infty}_{k=0}\ \rightarrow\ \int^{\infty}_{0}$ という単純な総和の置き換えが意味するのはという、とても簡単な最初期の検討でした。。。
極限操作で一旦積分に置き換えて、その被積分関数の形式を考察するのは有用かなという浅はかな考えでした。
被積分関数の展開やら何やらで総和が復活して結局x_seekさんや、既存の収束、特異項との分離にとどまるならば別にこれ以上意味を追求するのはどうかなと思った次第で。
総和をある形式に置くという事はx_seekさんがこのスレでやっている事であり、新たな事を模索する必要もないですが。
(簡単なモデルの場合はデルタ関数とも結びつけられるので、何か有益な情報/使用法が得られるかなと。)

>>137
>具体的にどのようなことを知りたい
このスレのスタートが「 $-\frac{1}{12}$ 」、http://www.geocities.jp/x_seek/Riemann_hypothesis.htm#_Toc409979663
においてムーンシャイン現象に触れており、これは共形場の理論とも深い関係があったので、特に $j$ 不変量とゼータ関数をどのように絡めていくかという事について何か具体的な「思想」があるのかなと思ったので。(今の所はムーンシャインの紹介にとどまっていますが。個々のトピックは、かなり重いテーマであり、漠然と何かと何かが関係するかと思う事はわかります。それをストレートにすっきりさせるような物を求めているのかなと。)
140 x_seek 2015/05/05 (火) 12:24:48 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>138
>しかし、ゼータ関数の零点が一直線上に(だけ)存在するというリーマン予想は、
>まだ証明されていないので、これを「数学的事実」というのはどうでしょうか。

私は、私のサイトで次のように記述しました。
・ゼータ関数の零点が一直線上に存在する。

私は、私のサイトで次のようには記述していません。
・ゼータ関数の零点が一直線上にだけ存在する。

ハーディとリトルウッドは1914年に、
ゼータ関数の零点がRe(s)=1/2上に無限に存在することを証明しました。

したがって、ゼータ関数の零点が一直線上に存在することは、数学的事実であると
考えています。ただ、誤解を招く表現であるため、表現を改善しようと思います。


>もちろん多くの数学者はリーマン予想は正しいだろうと推測しているようですし、
>x_seekさんも同じだろうとは思いますが・・

リーマン予想が正しいかどうかについては、予断を許さない気がします。
実際リトルウッドは、正しいと想像できる理由は全く存在しないと述べています。


>x_seekさんは「人間原理」については否定的ご意見でしょうか。

人間原理には次の2種類が存在すると考えます。
@多元宇宙論を前提としない人間原理
A多元宇宙論を前提とする人間原理

私は、@ではなくAの人間原理を支持します。
ラプラスが言ったように、仮説としての神は不要と考えます。
141 x_seek 2015/05/05 (火) 12:27:38 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
denpaさん、こんにちは。

>>139
>最初の簡単なモデルで
$\lim_{x \to +0}\sum^{\infty}_{k=0}\ \rightarrow\ \int^{\infty}_{0}$  という
>単純な総和の置き換えが意味するのはという、とても簡単な最初期の検討でした。。。

回答頂きありがとうございます。denpaさんの意図を理解することができました。


>特に  $j$  不変量とゼータ関数をどのように絡めていくかという事について
>何か具体的な「思想」があるのかなと思ったので。

ありがとうございます。おかげで、denpaさんが知りたいと思っていることが
わかりました。残念ながら、具体的な思想はありません。


>(今の所はムーンシャインの紹介にとどまっていますが。個々のトピックは、
>かなり重いテーマであり、漠然と何かと何かが関係するかと思う事はわかります。
>それをストレートにすっきりさせるような物を求めているのかなと。)

ムーンシャイン現象の背後には、未知の何かが存在すると、私は期待しています。
でも、それが何なのかは、よくわかりません。

現状のゼータ関数は複素数を引数としていますが、
その引数を四元数や散在型有限単純群にすれば、
何か新しい知見が得られないかなと思った次第です。
142 NS 2015/05/05 (火) 14:23:42 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>140
>私は「ゼータ関数の零点が一直線上にだけ存在する」とは記述していません。

確かに、そうですね。その前の正多面体と散在型有限単純群の記述が、
「だけ」を補っても成り立つので、見事に引っ掛かってしまいました。
申し訳ありませんでしたm(__)m

>リーマン予想が正しいかどうかについては、予断を許さない気がします。

確かに、フェルマーの最終定理は証明される前から「定理」と呼ばれていましたが、
リーマン予想を定理と呼ぶ人はいませんね。
デュ・ソートイの「素数の音楽」で読んだことですが、これが証明不能な命題である可能性もあります。
しかしその場合は、事実上正しいと証明されたのと同じです。
もし間違っているなら、反例をあげて証明することができるはずだからです。
セルバーグは、証明はあるだろうが、人間が理解できないほど複雑かもしれないと考えていたようです。

>私は、多元宇宙論を前提とする人間原理を支持します。

強い人間原理でなく、弱い人間原理ですね。私も同じ立場です。
143 x_seek 2015/05/05 (火) 23:53:19 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>142
>その前の正多面体と散在型有限単純群の記述が、
>「だけ」を補っても成り立つので、見事に引っ掛かってしまいました。

申し訳ありません。私の文章は不親切だったので、少し改善してみました。
・世界が存在する不思議
 http://www.geocities.jp/x_seek/math.html


>これが証明不能な命題である可能性もあります。

ゲーデルによる不完全性定理の証明は対角線論法を用いていますが、
私は、対角線論法に疑問を持っています。
そのため、不完全性定理にも疑問を持っています。

対角線論法は実無限を使います。
私は次の記事で、実無限は矛盾していると主張しています。
・実無限と可能無限
 http://www.geocities.jp/x_seek/quantum_number_theory.html

仮に実無限を使わない場合、次の投稿のように対角線論法は成立しません。
・スレッド「階層宇宙による観測問題の解決」の#64
http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/150101001b8ad260#res64

実無限を支持した数学者としては、次のような数学者がいます。
・デデキント
・カントール
・ヒルベルト
・ラッセル
・ゲーデル

一方、実無限に反対した数学者としては、次のような数学者がいます。
・ガウス
・コーシー
・クロネッカー
・ポアンカレ
・ワイル
144 takoyaki 2015/05/06 (水) 00:22:26 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>143
おお。これは私も興味のある内容なのでメモしなければ。
コーシーさんって実無限に反対だったんですね。にわかで碌にまだ調べておりませんが、実無限の極限を使って実数の定義を生み出した人なのかな、と勝手に当たりをつけていました・・・
いやぁ、これからちゃんと調べなくては。
ここに名前の出て来る数学者たちのことをもっと知りたいです。
自分がまだ数学のことを全然わかってなくて、数学史を読み解けないんですよね。

>ゲーデルによる不完全性定理の証明は対角線論法を用いていますが、
これも興味深いです。
私も対角線論法を扱った(素人向けの)本を図書館で読んで少なからず疑問を持っています。

でも最近はまた実無限を認める立場に魅力を感じ始めています。まだ自分の意見を言える立場ではないですね。

いつか自分も勉強してこのスレッドの議論に加われるようになりたいです。
145 NS 2015/05/06 (水) 10:17:26 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 05/07 (木) 14:06 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>143
>私の文章は不親切だったので、少し改善してみました。

ありがとうございますm(__)m

>私は次の記事で、実無限は矛盾していると主張しています。

「実無限と可能無限」読ませていただきました。
7.ゼノンのパラドックスで、実無限の立場では手帳に無限大が書かれる。
「これは不可能で矛盾」と言われますが、実無限の立場では矛盾しないと思うのですが?
ホテルが無限個の部屋を持てるのと同様に。
実無限は、無限を「永久に終わらない過程」として見るのではなく「既に完成したもの」と見る立場です。
ゼノンのパラドックスは可能無限の立場に立っているので矛盾は当然出てきます。

無限に広い空間、無限に小さい空間は存在しないのでしょうか?
「観測できる宇宙」は有限ですが、銀河系外の銀河から観測すれば「宇宙の地平線」は後退し、新たな銀河が観測できるかもしれません。
プランク長より短い長さは原理的に観測できませんが、観測できない=存在しない、とは言い切れないように思います。

有限な人間が無限を考えることは、身の程知らずなのかもしれません。
ガリレオやガウスはそれを知っていたのかもしれません。
高木貞治も実無限について「とてもおそろしいこと」と言っていますね。
その恐ろしい道をあえて進んだカントールやゲーデルは「天罰を受けた」のでしょうか。

takoyakiさん、こんにちは。

>>144
>まだ数学のことを全然わかってなくて

私もわかってないです。同じですね。

>まだ自分の意見を言える立場ではないですね。

私もそうですが、あつかましく言ってしまってます笑
146 takoyaki 2015/05/06 (水) 19:35:58 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>145

NSさん、こんにちは。
私もx_seekさんの記事を愛読している一人です。
私は文系出身の素人で、まだ数学の勉強を始めたばかりです。
でも、このスレッドの議論が面白そうでいつも気になっています。
NSさんのことも応援してます。
147 NS 2015/05/06 (水) 21:48:58 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
>>146
takoyakiさん、こんにちは。

>NSさんのことも応援してます。

ありがとうございますm(__)m

>私は文系出身の素人で、まだ数学の勉強を始めたばかりです。

私も文系出身です。
若い頃にやりたい勉強ができなかったので、高校数学からやり直しました。
物理や数学は、一度離れると一生離れてしまいがちですが、誰でも理解できるはずのものです。
一部の人にしか分からなければ、科学や数学の意味はありません。
そうは言っても、現代科学の最先端まで到達するのは大変なことです。
x_seekさんのように自ら語れるようになるのは、いつになることか・・
お互いに頑張りましょう。
148 takoyaki 2015/05/07 (木) 09:12:44 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>147
NSさんも文系出身なんですね。
勇気づけられます。よろしくお願いします。m(__)m
149 NS 2015/05/07 (木) 15:50:43 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
「実無限と可能無限」について。
0.999・・・・・と9が無限に並んだ状態を「想像しにくい」というx_seekさんの言葉の意味が、正直よく分かりません。
数字がランダムならともかく、9が続くと分かっていますから。
現実に9を無限に書き並べることが不可能なのは分かりますが、
観念的には想像できるように思えます。
ゼノンのパラドックスは、0.999・・・・・・=1の別の表現ですね。
ゼノンのゴールは極限値1であり、手帳に書いた無限大は無限に並ぶ9です。
この辺はあまり深入りせず、本題に戻るほうがいいかもしれませんね。

takoyakiさん、こちらこそ、よろしくお願いしますm(__)m
150 x_seek 2015/05/07 (木) 18:40:19 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>149
>この辺はあまり深入りせず、本題に戻るほうがいいかもしれませんね。

そうですね。(^^)
失礼しました。m(__)m
151 NS 2015/05/07 (木) 20:07:30 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

「行列と複素数の幾何学的解釈」ですが、
2.1. 一次変換の略記としての行列
2.1. 行列の演算規則
同じ番号になっているので、これは直されたほうがよいと思います(^^)
152 takoyaki 2015/05/07 (木) 21:21:20 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>111
「無理数」の語源について 調査報告

『数について』デデキント著 訳者あとがき より引用
---------------------------------------------------------------------------
 正方形の辺と対角線とは不可通約である。すなわち、どんな長さをとっても、辺も対角線もともにこの長さの整数倍として表すことができない。
 これらの不可通約量は(古代ギリシアで)alogonと呼ばれた。ここのlogosというのは比の意味だから、alogonとは整数の比にならないという意味である。しかし、logosというのは元来、言葉とか道理とか論理とかの意味である。それでalogonとは言外すべからざるものという意味になるから、いろいろの伝説を生じた。
 (たとえば、ピタゴラス学派の人物が無理数の秘密を外に持ち出したら、難船して水死したという言い伝え)
---------------------------------------------------------------------------

結論:「無比数」を「無理数」と誤訳してしまった。
   (もしくは言葉遊びで、わざと誤訳した可能性あり)
153 NS 2015/05/07 (木) 21:45:22 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
>>152
takoyakiさん、こんにちは。

立派な調査報告、ありがとうございますm(__)m
桜井進氏の「面白くて眠れなくなる数学」には以下のように書かれています。

irrationalからは、「比に非ず」「非合理的」の両方のニュアンスが伝わります。
ところが、この英語を初めて日本語に訳した昔の日本人数学者たちは、
「非合理的」を採用して「無理」という言葉をあてたのです。
この訳語は、人類が長い間「比に非ず」の数を扱うことが、
まさに「無理」だったことを上手に言い表しています。
154 takoyaki 2015/05/07 (木) 22:32:34 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>153
面白いですね。
古代ギリシア人は直線の中に有理数でない長さがあること、つまり有理数だけでは直線を埋め尽くせないこと、に混乱したようです。その混乱はどうやら19世紀の終わりまで続いたようです。
デデキントが『連続性と無理数』を発表したのが1872年とあります。
今ちょうどそれを読んでいるところですが、まだ解読には時間がかかりそうです。
155 x_seek 2015/05/08 (金) 01:18:17 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>151

教えて頂きありがとうございます。訂正しました。
また、外積についても追記しました。

・行列と複素数の幾何学的解釈
 http://www.geocities.jp/x_seek/Matrix_complex.htm
156 NS 2015/05/08 (金) 07:22:35 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 16:00 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>155
すみません、また見つけてしまいました。
6.1.3 内積とは何か?
6.14式の後、「四元数p、qへの回転変換を四元数Rとする」とありますが、
「四元数pからp'、qからq'への回転変換」ではないでしょうか。

あと、四元数を複素数に置き換えて考えると
普通のスカラー同士の積=一次元ベクトルの内積=純虚数の回転不変積の実数成分
とも言えますね。
虚数成分は常に0なので、一次元ベクトルの外積は常に0となります。
これは私が思いついたのではなく、某かぎしっぽサイトからの受け売りです。すみませんm(__)m
これこそ、読者が自分で考えるべきことでしょうね。

純虚数の普通の積では内積の符号が反転し、回転不変積では外積の符号が反転する。
面白いです。
157 x_seek 2015/05/09 (土) 00:28:43 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>156
>「四元数pからp'、qからq'への回転変換」ではないでしょうか。

そうですね。(^^;) 訂正しました。
NSさんのおかげで、記事をとても改善できましたので、
謝辞に書かせていただきました。


>普通のスカラー同士の積=一次元ベクトルの内積=純虚数の回転不変積の実数成分
>とも言えますね。

なるほど。


>これは私が思いついたのではなく、某かぎしっぽサイトからの受け売りです。

次のサイトですね。

・七次元の外積 - 物理のかぎしっぽ
 http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SevenDCrossProd/

天下りに内積と外積を定義するよりも、
四元数の乗算で内積と外積を定義する方が、自然だと思います。
158 x_seek 2015/05/09 (土) 01:00:17 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

日曜数学者のtsujimotter氏が「触れるゼータ関数」を販売開始されました。

・「触れるゼータ関数」ついに販売開始しました!
 http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/touchable-3d-zeta-function

非自明な零点が20個もあるフルエディションは 298,999円(素数)、
零点が6個のミニエディションは4,999円(素数)です。

関数に触れることは、私が考える以上に一般受けが良いようです。

この関数を上から見たのが、次ページ冒頭のグラフとなります。

・ゼータ関数とベルヌーイ数
 http://www.geocities.jp/x_seek/zeta.html
159 NS 2015/05/09 (土) 06:55:42 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 05/10 (日) 08:39 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>157
>謝辞に書かせていただきました

ありがとうございますm(__)m

>次のサイトですね

x_seekさんに探させてしまって、申し訳ないです。
次回からは、参照サイトは明示するようにします。

>四元数の乗算で内積と外積を定義するほうが自然だと思います。

歴史的には、四元数のほうが古いですね。
マックスウェル方程式も古くは四元数の言葉で表されていたものが
ベクトル解析の発達によって変わっていったとか。
現代では三次元空間の回転を表せる四元数が見直されて、
CGのプログラミングでは必須科目になっていると聞きます。
数学は時を超えますが、数学の歴史を知ることも大事ですね。

>>120
ウマゴンさんの疑問は、ベクトルの内積でも答えられそうです。
同符号の実数は間の角が0度のベクトル
異符号の実数は間の角が180度のベクトル
と考えられますので。
一次元では一次独立のベクトルは無いので、外積が0になるのも当然です。

>>158
すみません、ゼータ関数には興味大有りですが、この商品には興味ないです。
石油王でもないし(^^)
160 NS 2015/05/09 (土) 22:05:18 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 00:16 [修正] [削除]
行列と複素数の幾何学的解釈
http://www.geocities.jp/x_seek/Matrix_complex.htm
5.2.1 虚数とは何か?
「虚数とは、回転単位行列の略記である」
とありますが、ここは
「虚数単位iとは、回転単位行列の略記である」
または
「(純)虚数とは、回転単位行列の実数倍の略記である」
のどちらかにすべきではないでしょうか。
虚数・複素数・実数の記述順序も、一考の余地ありかもしれません。


161 x_seek 2015/05/10 (日) 10:48:46 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>159
>同符号の実数は間の角が0度のベクトル
>異符号の実数は間の角が180度のベクトル
>と考えられますので。

なるほど。そういう見方もできますね。


>すみません、この商品には興味ないです。石油王でもないし(^^)

私が>>158で強調したかったことは次のことです。
>関数に触れることは、私が考える以上に一般受けが良いようです。

一般の人にとって、「触って理解すること」は「見て理解すること」と、
まったく異なる特別な意味があるのかな、と思いました。

私自身、「数学的概念を幾何学的に理解すること」を好む人間です。
だから、なんとなく「触って理解すること」の特別な意味がわかるような気がします。

>>160
おっしゃるとおりですね。(^^;)
記述順序も含め、見直したいと思います。
162 NS 2015/05/10 (日) 15:02:06 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>161
>関数に触れることは、私が考える以上に一般受けが良いようです。

触れることで、実在感が得られるからではないでしょうか。
数学は抽象概念を扱うので、どうしても実在感が希薄になりがちです。
実体化した途端に永遠性は失われますが、
有限な人間である自分と同等になり、実在感は増します。
どんなに高度化・抽象化しても、幾何学的イメージは大事だと思います。

物理学では現実が相手なので、こうした葛藤は無いですね。
物理学者は数学を便利なツールと割り切って捕らえています。
数学はむしろ、宗教や芸術に近いでしょうね。
人間はいつも偶像を崇拝してきましたが、それを決して許さない考えもあります。
かくして偶像は作られては壊され、壊されては作られるのです。
163 NS 2015/05/11 (月) 18:35:13 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 20:55 [修正] [削除]
x_seekさんの複素数の解釈を読んで、何か連想することがあったのですが、やっと思いつきました。
複素数を絶対値と偏角で表す「極形式」です。
極形式を初めて知ったとき、変わった表し方だな・・と思いました。
実部と虚部に分ける普通の表し方とは全然違う表し方だと思っていましたが、
x_seekさんの記事を読んで、案外似ているような気がしてきました。
極形式だと、複素数が回転を表すことがはっきりと分かりますし、
オイラーの公式とも、スムーズにつながります。
複素数を教えるとき、極形式から教えるほうが良いかもしれません。
四元数の極形式は、面白いけど難しそうですね。

x_seekさんの次の論文に、四元数の極形式が見つかりました。
多世界解釈と確率論によるボルンの規則の導出
http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm
今の自分には難しそうですが・・
3.116式は、rが抜けているように思われますが?
164 NS 2015/05/12 (火) 19:11:32 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

「行列と複素数の幾何学的解釈」で
>>160
の指摘は、取り下げたいと思います。
細かく言えばそうですが、記事全体の流れを考えると、これはこれで良いと思われますので。
細部に拘りすぎて「批判のための批判」になってはいけませんね。申し訳ありませんm(__)m

それ以外で、二点ほど指摘させて下さい。

@図5.3 長径軸と短径軸がそれぞれ、固有ベクトルである。
対称行列では、それぞれの方向への拡大率が固有値である。
とありますが「対称行列では」は文頭が適切と思われます。
A5.1.6 特異値分解定理とは何か?
任意の行列Mは回転行列R(-θ)と対角行列Dと回転行列R(□)の積で表現できる。
とありますが、回転行列R(Φ)が適切と思われます。
165 x_seek 2015/05/12 (火) 22:10:00 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>162
>触れることで、実在感が得られるからではないでしょうか。

なるほど。実在感は触れることで得られるということですね。


>物理学では現実が相手なので、こうした葛藤は無いですね。

場の量子論では、実在感が、どんどん失われているような気がします。
場の量子論の数式を現実と対応づけるのが、とても難しく感じます。


>>163
>複素数を教えるとき、極形式から教えるほうが良いかもしれません。

そうですね。同意します。


>3.116式は、rが抜けているように思われますが?

ご指摘ありがとうございます。訂正しました。


>>164
>細部に拘りすぎて「批判のための批判」になってはいけませんね。

NSさんの指摘は「批判のための批判」とは思いません。的確だと思います。
虚数に関する指摘について訂正し、記述順序も見直しました。


>対称行列では、それぞれの方向への拡大率が固有値である。
>とありますが「対称行列では」は文頭が適切と思われます。

ご指摘の通りです。改善しました。


>任意の行列Mは回転行列R(-θ)と対角行列Dと回転行列R(□)の積で表現できる。
>とありますが、回転行列R(Φ)が適切と思われます。

そうですね。文字化けしていたので、訂正しました。
166 NS 2015/05/13 (水) 06:07:12 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>165
>場の量子論では、実在感が、どんどん失われているような気がします。

場の量子論には、私の理解が追いついていませんが・・
ガリレオやニュートンの時代に比べると、現代物理は進歩しすぎて
超高速、超高密度、超ミクロの世界を扱うようになりました。
そんな極端な条件で人間は生存できませんから、現実感が無いのは当然とも言えます。
天上と地上が別世界でないことを知ったニュートンは「史上初の宇宙人」です。
史上初の宇宙飛行士ガガーリンより偉大だと思います。
「宇宙人」が誉め言葉になる時代が早く来てほしいものです(^^)

>NSさんの指摘は的確だと思います。

ありがとうございますm(__)m
167 NS 2015/05/13 (水) 15:33:29 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 22:27 [修正] [削除]
x_seekさんの論文
四元数と単純群によるゼータ関数の構成
http://www.geocities.jp/x_seek/Riemann_hypothesis.htm
3.1 多項式環
「多項式次のような式をと呼ぶ」
これは直されるほうがよいと思います。
168 x_seek 2015/05/13 (水) 20:26:45 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>167

多項式環の説明は論文に不要でしたので、該当の節を削除しました。

残念ながら、その論文は今の所、不十分な内容です。
ゼータ関数の引数を複素数から四元数や散在型有限単純群に変えれば、
何か新しい知見が得られないかと思ったのですが、何も得られてないからです。
169 NS 2015/05/13 (水) 21:54:17 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

「行列と複素数の幾何学的解釈」
記述順序を見直されたとのことですが、新たな誤りが発生してしまったようです。
5.2.3 複素数とは何か?
行列Zの要素にzがありますが、これはxと思われます。
170 x_seek 2015/05/13 (水) 23:14:43 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>169

訂正しました。(^^;)

記事の趣旨としては、 $i$ という記号をみかけたら、これは
<tex>I = \left(\begin{array}{cc}    0 & -1 \\    1 &  0 \\    \end{array}\right)</tex>

という行列 $I$ の略記なんだなぁ、と思ってみてはどうだろうか、というものでした。そうすれば、複素数を成分に持つ行列のエルミート共役を取る操作で、転置を取ると同時に各成分の複素共役を取る理由が納得できると思います。
171 NS 2015/05/14 (木) 07:33:52 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>170
なるほど。複素数の2×2行列は実数の4×4行列になり、その転置をとって複素数に戻すと
すべて共役になりますね。
納得できました。m(__)m
172 NS 2015/05/14 (木) 09:59:02 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 10:31 [修正] [削除]
x_seekさんの記事を読むと、いろいろ考えることがあります。
複素数と行列だけでなく、複素数とベクトルについても考えたくなります。
複素数と二次元ベクトルは「似て非なるもの」で、混乱する人もいると思うのです(自分もそうでした^^;)
自分の場合、複素数を行列で表す発想が出来なくて、ベクトルで考えて混乱したんですね。
複素数は加法についてはベクトルと同じですが、乗法は異なります。
ベクトルの内積はスカラーになるし、外積は二次元で定義できません。
四元数を知ってしまえば、記事にあるように四元数の積と三次元ベクトルの内積・外積の美しい関係が分かりますが
複素数しか知らないと、一次元の内積・外積は絶対に思いつかないですね。
歴史的な意味も含めて、四元数は意外に重要な気がします。
でも高校数学に四元数が入ることは決して無いでしょう(>_<)
173 NS 2015/05/14 (木) 13:55:03 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 21:32 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

「行列と複素数の幾何学的解釈」
6.1.1 四元数とは何か?
6.2式で、Eの係数がτタウとなっておりますが、tではないでしょうか。
また、6.1式・6.2式と6.5式・6.6式が合っていないように思われます。

四元数とは、3次元拡大回転行列の略記である。

私は、ここが理解できていません。
クラインの四元群をまねて、i, j, kをx, y, z軸回りの90度回転と考えても
ij=kを再現できません・・
違うから当然ですね。クラインは3次元、四元数は4次元ですから。
しかし、なぜ四元数が3次元拡大回転になるのか
分かりやすく説明して頂けないでしょうか。
相当に難しい話でしょうか?
174 NS 2015/05/14 (木) 18:57:01 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの論文
多世界解釈と確率論によるボルンの規則の導出
http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm
3.21式と3.60式で、iが抜けているようです。
175 x_seek 2015/05/14 (木) 22:45:59 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 00:11 [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>166
>天上と地上が別世界でないことを知ったニュートンは「史上初の宇宙人」です。

そうですね。ニュートンの偉大な点は、月と林檎を支配する法則が
同一の法則であると看破した点にあると思います。


>>172
ハミルトンは、四元数を自然現象の理解に役立つと信じ、研究に没頭しました。
私はベクトルよりも四元数の方が自然だと思います。


>>173
6.1式と6.2式を訂正しました。


>「四元数とは、3次元拡大回転行列の略記である」
>これは正しいのでしょうが、私の理解が追いつかない点です。

それは四元数の利用方法の一部であるため、該当の記述を見直しました。


>複素数が2次元平面内の回転なので、
>何となく四元数は4次元空間内の回転かと思ってしまいますが間違いですね?

四元数はパウリ行列のi倍であるため、スピンの回転SU(2)だと推測します。

・量子力学のスピン
 http://www.geocities.jp/x_seek/spin.html


>>174
訂正しました。
176 サンマヤ 2015/05/14 (木) 23:29:32 ID:p9sSs48hHk [修正] [削除]
自分も、WEBページで複素数や四元数について書いているので、
いくつかコメントさせてください。

まず、複素数の本質という話ですが、
それは2次方程式から入るのが、歴史的にも、定義としても、
あるいは学習の系統性からも自然です。
平面上の回転という話はけっこうむずかしいですよ。
加法定理を理解していないといけませんし。
行列とかを知っている立場からすると、そのほうが入りやすいのは分かりますが。
というか、複素解析を考えると、
複素平面を考えてこそ、豊かな世界が広がっているといえるとは思います。
自分のWEBページに訪れる人が、どんな検索ワードからくるのか調べると、
圧倒的に「複素平面」なんです。
これは最近、高校数学に複素平面が復活したからだと思いますが、
理解しにくい分野になっているみたいです。

むしろ、虚数単位も、あの行列の形も、2次元の回転も、
ある代数的な関係<tex>i^2=-1</tex>というものを満たす、
ということに着目した、群論の威力を強調すべきかもしれません。

ちなみに、群論的な観点というのは、最近中学生から少しずつ導入されてきています。
(演算が閉じている、閉じていない、などの話題として)

それと、「四」元数なのに、なんで3次元回転?という話ですが、
2次元の回転は1種類しかありません。
3次元の回転は3種類あります。
そして、群には必ず単位元(図形でいえば恒等変換)が必要です。
ですから、2次元の回転は1+1=2で、2個の成分を持つ複素数、
3次元の回転は3+1=4で、4個の成分を持つ四元数になります。
こんな感じの説明でいかかでしょうか?

四元数のさまざまな分野への応用については、
堀 源一郎「ハミルトンと四元数―人・数の体系・応用 」
の後半が詳しいです。

x_seekさんのゼータなどへの応用の試みは面白そうですが、
四元数の非可換性を考えるとかなり大変なのではと推察します・・・
177 NS 2015/05/15 (金) 06:40:01 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 13:57 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>175
>ニュートンの偉大な点は、月と林檎を支配する法則が
同一の法則であると看破した点にあると思います。

「林檎が落ちるのを見て引力を発見した」などと言われますが
なぜ月は落ちてこないのか?と考えるところが偉人です。

>私はベクトルよりも四元数のほうが自然だと思います。

ベクトルも便利な考え方なので、思考経済の法則で四元数は下火になってゆきましたが
最近は四元数も見直されてきましたね。

>四元数はパウリ行列のi倍であるため、スピンの回転SU(2)だと推測します。

U(1)は電磁気力で複素数、SU(2)は弱い力で四元数。
SU(3)は強い力ですが、途端に複雑になる感じです。

>訂正しました。(174)
ん?オイラーの公式、sin(Φ)にiを掛けないと・・
178 NS 2015/05/15 (金) 06:55:23 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
サンマヤさん、こんにちは。

>>176
>群論の威力を強調すべきかもしれません。

子供のころから、ガロアの劇的な生涯には憧れたものですが(^^)
最近ようやく彼の理論を学び始めました。
物理で重要なリー群も理解したいです。

>3次元の回転は3+1=4で、4個の成分を持つ四元数になります。

なるほど、そう考えると理解できます。ありがとうございますm(__)m
179 NS 2015/05/15 (金) 14:50:34 ID:ATxOZThXXM 修正アリ: 16:33 [修正] [削除]
x_seekさんの論文
「3次元球面の回転によるスピン1/2の二価性と角運動量の導出」
http://www.geocities.jp/x_seek/Spin.htm
2.13式の前「位相の変化量Δ□は次のとおり」
ΔΦの文字化けと思われます。
3.28式の後「□はらせん円の大円の回転角である」
3.30式の後「□mはらせん円の大円の回転角である」
も同様です。
Figure 3.9:1次元らせん空間
Figure 3.10:1次元らせん円
図でなくFigureとされているのは・・
180 NS 2015/05/15 (金) 18:38:51 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの論文
「多世界解釈と確率論によるボルンの規則の導出」
http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm
図4.17 通常空間Uの多様体視点
図4.18 通常空間Uの球面調和関数視点
図4.25 素事象の本数は素状態の個数の2乗
図6.1 多世界解釈の素歴史と素世界
以上4つの図が空白になっています。
「調和関数」という言葉が、ちょっと気になります(^^)
181 x_seek 2015/05/15 (金) 21:54:34 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
サンマヤさん、こんにちは。

サンマヤさんの四元数の記事は素晴らしいですね。とても参考になります。

・第11回:四元数とベクトルの演算―内積・外積との関係
 http://sammaya.garyoutensei.com/math_phys/math1/math1-11/math1-11.html


>>176
>四元数の非可換性を考えるとかなり大変なのではと推察します・・・

四元数のゼータ関数は、道半ばという感じです。
182 x_seek 2015/05/15 (金) 22:00:02 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 23:11 [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>177
>>訂正しました。(174)
>ん?オイラーの公式、sin(Φ)にiを掛けないと・・

すいません。ファイル転送が途中で止まっていたようです。再転送しました。
(ヤコビアンの節は参考情報であるため、付録9.1へ移動しました)


>>179
訂正しました。


>>180
図が空白となった原因は、ファイル転送が途中で止まったためのようです。
再転送しました。


>「調和関数」という言葉が、ちょっと気になります(^^)

一般に、ラプラス方程式を満たす関数を調和関数と呼ぶため、
その関数と区別するために、調和母関数を微分して得る関数は、
調和導関数と呼ぶことにしたいと思います。
183 denpa 2015/05/15 (金) 23:16:28 ID:DP0g64pPQU [修正] [削除]
>>176
自分が「クォータニオン」を知ったのはMSのDirectXマニュアル。
(結構前のバージョンでの座標回転の説明だった。 $x,y,z,w$ だったかな。。。)
サンマヤさんのDirectXを用いたプログラムとも関係あったりする。
(HPでの四元数の元ネタが、DirectXだったら、ある意味身近だなと。)
184 NS 2015/05/16 (土) 07:59:01 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>182
ファイル転送ですか・・こういう指摘も無意味ではないのですね。
ネットに論文を発表するのは大変だなと改めて思いました。

denpaさん、こんにちは。

>>183
今はコンピュータを通じて四元数を知る人が多そうですね。時代を感じます。
185 NS 2015/05/16 (土) 10:23:09 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの論文
「3次元球面の回転によるスピン1/2の二価性と角運動量の導出」
http://www.geocities.jp/x_seek/Spin.htm
@表3.4のStep1で「円の一点を除くと、円弧とする」は
「円の一点を除くと、円弧となる」または
「円の一点を除き(または「取り」)、円弧とする」
が良いと思われます。
A3.2.2 2次元のらせん空間の構成
「1次元のらせん空間は三角関数で表現できない。
また、1次元のらせん空間は複素数で表現できない」は
「2次元のらせん空間は・・」と思われます。
Bこれは、ちょっと細かいかもしれませんが、度数法で角度を表す場合「度」または「○」が必要です。
図3.3と表3.1から後、特に断りなく単位が消えているので、私は気になりました。
186 NS 2015/05/16 (土) 11:39:43 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんに(他の方でもよいですが)尋ねてみたいことがあります。
長沼伸一郎氏の「物理数学の直観的方法」第5章「ベクトルのrotと電磁気学」に、
気になる記述があるのです。
「ずばり結論を言ってしまうと、rotの意味というのは、ベクトル場を水流と考えたとき、
その流れの中にある微小な水車の回転速度と解釈できるのである」
「電磁場というものの本質について想像をたくましくする際、水車あるいはそれに類するものを
用いたモデルがかなり本質的なものである可能性は、少なくない。
本書ではこれ以上述べる余裕はないが、物理をやっている方は、このことを心に留めておくと、
将来意外に面白い展開が可能であるかもしれない」
長沼氏の言う「微小な水車」とは、電子のスピンを意味するのでしょうか?
187 甘泉法師 2015/05/16 (土) 13:09:47 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>長沼伸一郎氏の「物理数学の直観的方法」第5章「ベクトルのrotと電磁気学」

については過去にスレッドがあります。
http://eman.hobby-site.com/emanbbs/1402/140201001.html
188 ナマステ 2015/05/16 (土) 13:26:04 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
マクスウェルの電磁場の描像(六角形の歯車のやつ)のことかと思いましたが関係無いみたいですね。
189 x_seek 2015/05/16 (土) 15:54:12 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>185
>「3次元球面の回転によるスピン1/2の二価性と角運動量の導出」
>http://www.geocities.jp/x_seek/Spin.htm

正直、この論文にコメントをもらえるとは思っていなかったので、
とてもうれしいです。(謝辞にお名前を書かせて頂きました)

奇妙なことに、電子のスピンが360度回転すると電子の波動関数は逆位相になります。
この奇妙な現象をホップ・ファイブレーションで説明しました。
ホップ・ファイブレーションとは、3次元球面から1次元円周の束への分解です。
この1次元円周を、3次元球面が自転する時の
3次元球面上のある1点の軌跡と解釈しました。


>@表3.4のStep1で「円の一点を除くと、円弧とする」は
>「円の一点を除くと、円弧となる」または
>「円の一点を除き(または「取り」)、円弧とする」
>が良いと思われます。

了解です。「円の一点を除くと、円弧となる」にしようと思います。


>A3.2.2 2次元のらせん空間の構成
>「1次元のらせん空間は三角関数で表現できない。
>また、1次元のらせん空間は複素数で表現できない」は
>「2次元のらせん空間は・・」と思われます。

ご指摘どおりです。訂正しました。


>Bこれは、ちょっと細かいかもしれませんが、度数法で角度を表す場合「度」
>または「○」が必要です。

そうですね。「 $180^\circ$ 」のように角度の単位を追記しました。
190 NS 2015/05/16 (土) 16:06:29 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
甘泉法師さん、ナマステさん、こんにちは。

スレッド紹介、ありがとうございますm(__)m
菅野礼司氏の「物理革命はいかにしてなされたか」(1976)には
「マクスウェルの渦柱模型」というものが紹介されていて、
回転する渦巻きの柱が空間を埋め尽くす模型が初期のマクスウェル論文では考えられていたそうです。
基本法則が分かった後ではその模型は捨てられましたが、菅野氏は
「マクスウェルの模型は・・架空のものとして捨て去ってよいものか・・
将来には修正され、一層現実的な模型として復活するかもしれない」
と言います。
長沼氏と同じことを言われたのかと思いましたが、違うのかな・・
191 NS 2015/05/16 (土) 16:34:00 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>189
>謝辞にお名前を書かせて頂きました。

ありがとうございますm(__)m
読解はまだ半ばですが、頑張ろうと思います。
192 x_seek 2015/05/16 (土) 17:05:52 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>186
>長沼氏の言う「微小な水車」とは、電子のスピンを意味するのでしょうか?

長沼氏の言う「微小な水車」は、量子力学的なスピンではなく
古典力学的な回転を意味していると推測します。
でも、NSさんのアイデアは、長沼氏が言うように、
意外に面白い展開が可能であるかもしれません。


>>190
>「マクスウェルの模型は・・架空のものとして捨て去ってよいものか・・
>将来には修正され、一層現実的な模型として復活するかもしれない」

なるほど。
マクスウェルの模型をどのように修正するかが、難しいところですね。
一次元螺旋空間の類推から得た三次元螺旋空間は、
具体的に想像するのは難しいですが、面白い模型だと思います。

それは、回転する三次元球面が三次元空間を埋め尽くす模型です。
その模型は四元数の極形式で記述されます。
193 ナマステ 2015/05/16 (土) 17:12:44 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
マクスウェルの模型は慣性系の変換に対応できないので実体ではあり得ない、と『「ファインマン物理学」を読む』という本に書かれていました。
2つの電荷が同じ方向に飛んでいるとき、それぞれが生じる磁場による影響を受けるはずで、それをマクスウェルの模型で説明することはできるが、
2つの電荷と一緒に動く観測者の慣性系から見たら、磁場がなくなる代わりに電場が現れることをマクスウェルの模型は説明できないみたいな話だったかと思います。
194 NS 2015/05/16 (土) 19:07:06 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさん、ナマステさん、こんにちは。

アインシュタインはマクスウェルが死んだ年の生まれで
「マクスウェルに比べれば、私の業績など足元にも及ばない」
と言っていたそうですね。
でも古典力学だけで考えても駄目でしょうね。
スピンは量子力学の不思議な概念ですが、磁石の起源であると分かれば
NSを名乗る私としても興味を持たざるを得ません(^^)
何とか理解したいと思います。
195 聖白馬ホーリーウマゴン 2015/05/16 (土) 19:27:04 ID:WTcxHMNgQk [修正] [削除]
>>194
NSさん
NSとはその意味だったのですか?
読み方はエヌエスですか?
196 coJJyMAN 2015/05/16 (土) 20:58:20 ID:vSuangktWw [修正] [削除]
おじゃまします。
NSさん、こんばんは。
>>186で引用された長沼伸一郎氏の
>水車あるいはそれに類するものを用いたモデル
とは、その後の彼の著書「一般相対性理論の直感的方法」の中に挿入された彼の論文
「第4章 時空構造への波動論的アプローチ」《4.12 スピノールについて》
で取り組むこととなった、磁場の起源としての離散的回転波動モデルのことを指しております。
(この本は現在入手困難です。)
197 NS 2015/05/16 (土) 20:59:50 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
ウマゴンさん、こんにちは。

>>195
その意味だったわけではありません。
たまたまです。
198 NS 2015/05/16 (土) 21:07:00 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
coJJyMANさん、こんばんは。

>>196
なるほど。長沼氏もスピンと結びつけて考えておられたようですね。
199 NS 2015/05/17 (日) 06:43:24 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんの論文
「3次元球面の回転によるスピン1/2の二価性と角運動量の導出」
http://www.geocities.jp/x_seek/Spin.htm
@図3.9:1次元らせん空間
x, y, z軸となっていますが、x, y, t軸ではないでしょうか。
A図3.10:1次元らせん円にx, y, t軸が入っています。
これと同様に図3.6, 図3.7にも軸を入れるほうが良いように思います。
図3.13はちょっと分かりませんが・・
200 denpa 2015/05/17 (日) 07:44:50 ID:DP0g64pPQU [修正] [削除]
>>184
研究ではコンピュータが必須になっている時代ですから、表現方法である
3Dグラフィックスの詳細を知る機会が増えている可能性がありますね。
シミュレーション、数値計算 etc。

>>186
「1周して元の地点に戻った時の状態,あるいはループ,それに付随したrot」が物理や数学での
様々な理論開拓の「元、センス」である事は確かな感じですね。
201 NS 2015/05/17 (日) 09:33:47 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
denpaさん、こんにちは。

>>200
>研究ではコンピュータが必須になっている時代ですから

そうですね。だからこそ人間の役割も重要になっていますね。
「巨大望遠鏡が人間の視力を非常に拡大したのと同様、
コンピュータは人間の計算能力を非常に拡大したものだが、
ただそれだけのものである」

>1周、ループ、rot
ミクロもマクロも、宇宙は回転だらけですね。
202 NS 2015/05/17 (日) 16:13:44 ID:ATxOZThXXM [修正] [削除]
x_seekさんに質問です。
「量子力学のスピン」
http://www.geocities.jp/x_seek/spin.html
ここでx_seekさんは回転速度の問題と二価性の問題を挙げておられます。
二価性については解決案が示されていますが、超光速の問題はどうお考えでしょうか。
3次元球面を考えることで、電子は現在考えられているより大きくなり、解決するということでしょうか。
203 x_seek 2015/05/17 (日) 18:07:43 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
NSさん、こんにちは。

>>202
>二価性については解決案が示されていますが、超光速の問題はどうお考えでしょうか。

この問題の説明を始めると長くなりそうですので、スピンに関する別のスレッドを立ち上げることにしました。そちらのスレッドで説明させていただきます。





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