1 kafuka 2014/02/03 (月) 23:34:33 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 00:25 [修正] [削除]
POVM測定で、測定結果mが得られる確率は、測定演算子をMmとすると、
<tex>Prob \left(m\right) =<\psi|M _{m}  ^{ \dagger } M _{m} |\psi></tex>
で、測定後の状態は、
<tex> \frac{M _{m} |\psi>}{ \sqrt{<\psi|M _{m}  ^{ \dagger } M _{m} |\psi>} } </tex>
となる。

<tex>\Sigma_{m} Prob \left(m\right) =1=\Sigma_{m} <\psi|M _{m}  ^{ \dagger } M _{m} |\psi> </tex>
なので、測定演算子は、完全系である必要性がある(直交する必要はない)
POVM測定は、このような測定演算子の集合{Mm}で定義される。
ここで、
<tex>M _{m}  ^{ \dagger } M _{m}</tex>
という演算子ををPOVM要素と呼ぶ

Unsharpness最大のPOVM測定とは、POVM要素が、
恒等演算子/N          Nは、測定の回数
である。つまり、
<tex>Prob \left(m\right) =<\psi|M _{m}  ^{ \dagger } M _{m} |\psi> = 1/N</tex>
のことで、どの測定値mも、確率1/N で等しくなる。

ここで、位置について、このUnsharpness最大のPOVM測定を行うことを考える。つまり、
<tex>1/N =<\psi| 1/N |\psi> </tex>
この式と、位置の射影演算子|x><x|を組み合わせると、|x><x|の完全性から
<tex> \int_{- \infty }^{+ \infty } dx 1/N  <\psi|x><x|\psi> = 1/N </tex>

一般に |x><x|ψ>=ψ(x)|x> が、波動関数の定義なので、上記に
<x|ψ>=ψ(x)
を代入すると、
<tex> \int_{- \infty }^{+ \infty } dx  \psi^{*}(x)\psi(x) = 1 </tex>
したがって、 
x と x+dx の間の確率は、ψ*(x)ψ(x)dx
全確率は、
<tex> \int_{- \infty }^{+ \infty } dx  \psi^{*}(x)\psi(x) </tex>
で与えられるという「ボルンの確率規則」が導出できました。
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2 kafuka 2014/02/04 (火) 00:04:54 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 10:11 [修正] [削除]
追伸:
>1
で「ボルンの確率規則」を導出したつもりでいましたが、
自分で書いた式を追っていくと、
わざわざ、Unsharpness最大のPOVM測定を考えなくても、
というか、POVM測定には、何の関係もなく、
<tex>1/N= <\psi| 1/N |\psi></tex>
つまり、<ψ|ψ> =1 を仮定していました。
これから、即、
<tex> \int_{- \infty }^{+ \infty } \psi ^{*}  \left(x\right) \psi \left(x\right) dx=1</tex>
が出てきますね。
量子力学の1つの要請「状態は、あるヒルベルト空間の規格化された射線で表される」
から言える ということです。

でも、上記の式は導出できますが、
ボルンの確率規則のもう1つの主張「測定値が測定毎にバラついても(バラつかなくても)、測定値は固有値の1つである」
は、出てこないように思えます。

やっぱり、ボルンの確率規則は、量子力学の要請の1つのようです。





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