1 unrany 2013/11/24 (日) 04:40:50 ID:8R4Loi7vnw [修正] [削除]
幾つかの参考書とこのサイトを見ながら量子力学を勉強しているのですが、自分で情報をまとめている間に疑問に思ったことがあります。

僕自身の考え方の前提は…
・時間と空間は対称的である。
・ポテンシャルエネルギーとは物体が静止していても持っているエネルギーのことであり、その「場」のエネルギーのこと。つまり空間的なエネルギー。
・運動量とは運動している物体が持つエネルギーであり、その「運動」のエネルギーのこと。つまり時間的なエネルギー。
・波数は波長の逆数であり、空間的な物理量。
・角周波数は周期の逆数であり、時間的な物理量。

なのですが、これを前提にアインシュタイン-ド・ブロイの式
E=hω、p=hk  (hはhバーのつもりです)
を見ると、時間と空間の関係が逆になっています。

時間的な物理量から空間的なエネルギーが求められ、空間的な物理量から時間的なエネルギーが求められることになってしまいます。
どうにも腑に落ちないのですが、これはそういうものだ、と思うしかないのでしょうか?
2 kafuka 2013/11/25 (月) 17:46:48 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 18:23 [修正] [削除]
こんにちは。
量子力学と相対論をゴッチャにしておられる所が、かなりあるように見受けられます。
もちろん、相対論的量子力学というのはありますが、
それを理解するには、普通の量子力学(時間と空間が非対称)を、
きっちり理解されたあとの方がよいと思います。

で、
>ポテンシャルエネルギーと(相対論でいう)物体が静止していても持っているエネルギー
は、別物です。
後者は、mc^2 で、
ポテンシャルVは、力Fと、F=-∇V(x,y,z) の関係があります(量子力学では「力」は出てきませんが)
普通の量子力学のシュレーディンガ表示では、 Eψ=(p^2/2m + V)ψ の関係があります。
ここで、Eやpは、演算子で、
E=ih'∂/∂t
p=-ih'∇      x軸に限ると、p=-ih'∂/∂x
です。
仮に、相対論の4元運動量を持ち込むと、
E/c は、時間軸方向の運動量
pは、空間(X,Y,Z)方向の運動量
ですから、おっしゃることは、話が逆 と思います。

例えば 自由粒子(つまり V=0)の場合、
Eψ=(p^2/2m + V)ψ に、上記の演算子を代入して、E=一定値とすると、
ψ(x,t) = Aexp(ikx - iωt) という形になります。
pψ(x,t)=-ih'∂/∂x ψ(x,t) を計算すると、
pψ(x,t)=h'kψ(x,t) ということは、p=h'k
同様に、
Eψ(x,t) = h'ωψ(x,t) ということは、E=h'ω
ですから、
>波数は波長の逆数であり、空間的な物理量。
>角周波数は周期の逆数であり、時間的な物理量。
で整合しています。
3 unrany 2013/11/26 (火) 01:00:22 ID:8R4Loi7vnw [修正] [削除]
>kafuka さん

やはり前提の考え方が間違っていたんですね…
EとVもごっちゃになっていました。
運動量というものも見直してみます。

具体的な例も挙げていただき、ありがとうございました!m(_ _)m
4 kafuka 2013/11/26 (火) 21:23:24 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>unranyさん
参考までに、、、

運動エネルギーE、運動量p、力F の関係は、XYZ座標系の場合:
p=mv なので、pはmaの時間積分。F=maなので、Fの時間積分とも言える。
E=1/2 mv^2 なので、結論だけ書けば、maつまりFの距離についての積分です。
で、p=mvをEについての式に代入すると、E=p^2/2m とも書けます。

具体的には、
注目する質量mの物体に、時刻t1からt2まで Fが働いて、位置x1からx2まで移動したとすると、
<tex>p= \int_{t1}^{t2} F dt</tex>
<tex>E= \int_{x1}^{x2} F dx</tex>

それから、ポテンシャルVによる力Fは、
F=−∇V(x,y,z)    x軸方向だけなら、F=−∂/∂x V(x,y,z)
ポテンシャルによる力の成すエネルギーは、
上の計算と同じで(距離についての積分)
<tex>E= \int_{x1}^{x2}  \left(- \frac{ \partial }{ \partial x} V\right) dx= \left[-V\right]_{x1}^{x2} </tex>
マイナスがつくのは、上の計算の場合とは 系に対するエネルギー収支が逆だからです。

で、あとハミルトニアンとかラグランジュアンとかの説明は、
一般化力とか一般化座標とかを理解してからでないと、きちんとした理解が
得られないと思いますので、
EMANさんの解析力学のページを読んで下さい。
わかりやすい本としては、西野友年「ゼロから学ぶ解析力学」がお勧めです。
5 unrany 2013/11/29 (金) 21:36:51 ID:8R4Loi7vnw [修正] [削除]
>kafuka さん

補足ありがとうございます.

その運動量・エネルギーの具体的な積分の式を見ると,やはり運動量が時間的な物理量でエネルギーが位置的な物理量に見えてしまいます.

演算子に変える操作も,参考書などを見てもアインシュタイン-ド・ブロイの式が元になっており,論理が堂々巡りしてしまいます.

やはりどこか納得できません…
6 ghsobo 2013/11/30 (土) 09:35:58 ID:oSnFPZokqk [修正] [削除]
unranyさん、はじめまして、よろしくです。
>・運動量とは運動している物体が持つエネルギーであり、
>その「運動」のエネルギーのこと。つまり時間的なエネルギー。
率直に言いますと意味がわかりません。というかヘンな方向に行っていませんか?

 運動量は位置とともに力学ではかけねなしの素の量と思っています。時間はパラメータですね。位置も運動量も時間の関数で表されます。言い過ぎかもしれませんが運動量は日常の生活感覚で表すと運動量の時間変化が"力"として感じるということだと思っています。系に運動量の流入流出は系に加わった力とその時間積分として表されます。ただそれだけのことだと理解しています。力学として"力"を中心におくというのは力をキチンと定義しずらく、あいまいさもありまして以後の理論では排除する方向になっています。
 解析力学やると分かるとおり、ネーターの定理では連続変換でラグランジアンが形を変えない対称性があると保存量が存在するという定理から空間並進の対称性に対しての保存量は運動量です。むしろ位置空間に関係していると言えます。エネルギーは時間です。
7 EMAN 2013/11/30 (土) 13:17:35 ID:UKC.BNkKEk [修正] [削除]
勝手な解釈で独自のイメージを作り過ぎだと思うんだよなぁ。

例えば、
>・時間と空間は対称的である。
これは本当だろうか?
空間は3次元なのに、時間は1次元しかない。
相対論でも、ミンコフスキー空間は時間だけ特別扱いで符号が逆。
我々は空間の正負のどちらにでも自由に動けるのに、時間については一方通行。
実は時間と空間は同等でもないし、対称でもないように思える。
時間と空間と合わせて4つで一組になって、この世界の舞台を表現してる。

>・運動量とは運動している物体が持つエネルギーであり、その「運動」のエネルギーのこと。つまり時間的なエネルギー。
運動量とエネルギーは別ものだから用語の使い方が反則なのだけど、
そこには目をつぶるとして、
「運動量は空間を移動する運動に関わる量だから空間的な量」なんてことも言える。
実際、運動量は3次元だし、空間も3次元だから対応がある。
エネルギーは1次元で、時間も1次元だから対応がある。
この方が自然だと思う。
8 unrany 2013/11/30 (土) 17:27:57 ID:8R4Loi7vnw [修正] [削除]
>ghsoboさん

初めまして.とても変な質問ですみませんが,よろしくお願いします.
変な方向に行っている自覚はあります.しかしどうしても納得ができないのです.惜しいところまで来ている気はするのですが.

>位置も運動量も時間の関数で表されます。
>系に運動量の流入流出は系に加わった力とその時間積分として表されます。
やはり運動量は時間的な物理量とおっしゃっているようにしか見えません…空間的に保存されるのは時間によって定義されているためと考えるのが妥当な気がします.


――――
話は戻ってしまいますが,何故こんな疑問に至ったのかを一応….

きっかけは,高校数学では登場しなかった波数という概念を理解していなかったため,量子力学や固体物理学が分からなくなったからです.
そこで自分なりに波数について調べてまとめると,
二次元の波を考える上でx-yグラフとt-yグラフは対称的に見ることができると分かり,
例えばy=sin(kx-ωt)では,
xを任意としたt-yグラフからは周期が読み取れ,そこから周波数や角周波数が求められる.
tを任意としたx-yグラフからは波長が読み取れ,そこから波数が求められる.
このことから,空間と時間を対称として,周期と波長,角周波数と波数が対称的な物理量になっている.

というところまで理解し(合っているかは分かりませんが),
では,角周波数と波数からさらに何が求められるのか?について勉強し始めたときに,
アインシュタイン-ド・ブロイの式で時間と空間が逆になっているように感じた,というのがこの疑問に至った経緯です.
――――


運動量p:Fの時間積分 →時間によって定義される物理量
であるにも関わらず,時間を任意としたx-yグラフから確かに波数を求められ,そこからp=h'kによって,時間によって定義されているはずの運動量が求められてしまうところに疑問が残るんです.
(例えば,ある量子がy=sinxという動きをしたときに,速度や時間を無視してλ=2, k=1/2, p=h'/2と求められてしまいます.)
勿論ド・ブロイ波なので,mという質量でkという波数を持っている,という事実からある1つの速度を求めることもできます.でもそこで使われる式はアインシュタイン-ド・ブロイ式ですよね.
エネルギーに関しても同様です.

演算子に置き換えた形による説明も,アインシュタイン-ド・ブロイの式を基とした置き換え方なので根本的な解決にはなりません.
E=h'k, p=h'ω だったらこんな疑問は浮かばないのですが….


自分でもあまり整理できていないため「これ!」という質問ができません.すいません.
長文・散文で読みにくいですがどうかお願いしますm(_ _)m
9 EMAN 2013/11/30 (土) 20:32:23 ID:UKC.BNkKEk [修正] [削除]
なるほど、高校物理で波を考える時には空間も1次元だけ使って考えるので、
時間と空間が対称的に見えるのだな。 納得。

波長が空間的な量で、振動数が時間的な量だというイメージも悪くない。

力と移動距離(空間)の積がエネルギーになって、
力と時間の積が運動量になるから、
エネルギーは空間的な量で、運動量は時間的な量だと連想してることも、
なるほどそれももっともだ、と理解できた。

どう考えたらこの呪縛から解放されるか・・・? 難しいな。
10 unrany 2013/11/30 (土) 22:22:40 ID:8R4Loi7vnw [修正] [削除]
最初から疑問に至る経緯を書くべきでした.皆さん混乱させてしまってすいませんm(_ _)m


>EMAN さん
時間と空間は対称ではなく直交している,の方が感覚的には正しいかもしれません.
波動性と粒子性が重なる時に何かが起きてるとは思うのですが…
11 EMAN 2013/11/30 (土) 22:43:32 ID:UKC.BNkKEk [修正] [削除]
ghsoboさんがすでに書かれたように、
「力」という概念は実は力学の体系の中ではそれほど中心的な存在ではなくて、
解析力学まで学ぶと、
空間をずらしたときの対称性から運動量保存則が存在することが言えるし、
時間をずらしたときの対称性からエネルギー保存則が存在することが言えるので、
(これをネーターの定理というのです)
運動量は空間的だし、エネルギーは時間的だというのが
ほとんどの物理学者の持つイメージです。

というのが模範解答かなぁ、とは思うのですが、
解析力学の敷居が高いが故に納得してもらえる気がしない。
12 unrany 2013/11/30 (土) 23:20:55 ID:8R4Loi7vnw [修正] [削除]
>EMAN さん

運動量は空間的な変化が基に,エネルギーは時間的な変化が基になっている…という捉え方でいいでしょうか?
空間的な変化は時間をパラメータとして記述するために時間積分
時間的な変化は空間をパラメータとして記述するために空間積分
と考えると納得できます.

p=h'kについては
波長とは進むはずの距離,さらに言えば空間的な変化を表す量であり,時間は関係してこない.
波動の運動量(というと語弊があるかもしれません)を求めるのに必要なのは同じ位相に戻ってくるまでの空間的変化である.

と考えるとある程度納得ができます.
では何故波動の運動量に関わるのは位相と距離のみで,時間が関わってこないのかと言われると全く説明できませんが…


「時間的」「空間的」という言葉にとらわれて,空間と距離をごっちゃにしていた気がします.

ただの自分なりのイメージでしかありませんが,これで考え方としては合っているのでしょうか?
13 甘泉法師 2013/11/30 (土) 23:42:35 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 12/02 (月) 13:06 [修正] [削除]
こんにちは。

>>8 例えばy=sin(kx-ωt)では,
xを任意としたt-yグラフからは周期が読み取れ,そこから周波数や角周波数が求められる.
tを任意としたx-yグラフからは波長が読み取れ,そこから波数が求められる.
このことから,空間と時間を対称として,周期と波長,角周波数と波数が対称的な物理量になっている.

3次元空間の波 <tex>sin( k_x x + k_y y + k_z z - \omega t)=sin\phi</tex> で考えます。
x=定数 y=定数 z=定数のところを観察する。 tをたどり振動を見る(<tex>\frac{\partial}{\partial t}</tex>)ことになります。ωがわかる。
t=定数 y=定数 z=定数のところを観察する。 xをたどり振動を見る(<tex>\frac{\partial}{\partial x}</tex>)ことになります。<tex>k_x</tex>がわかる。
x=定数 t=定数 z=定数のところを観察する。 yをたどり振動を見る(<tex>\frac{\partial}{\partial y}</tex>)ことになります。<tex>k_y</tex>がわかる。
x=定数 y=定数 t=定数のところを観察する。 zをたどり振動を見る(<tex>\frac{\partial}{\partial z}</tex>)ことになります。<tex>k_z</tex>がわかる。

<tex> k_x x + k_y y + k_z z </tex> はベクトルの内積ですから  <tex> - \omega t</tex> も内積の成分とみて一緒くたにしたい。しかし負号があるのでトリックを導入します。<tex>x^0=ct, x^1=x, x^2=y, x^3=z</tex> という添字上の4次元のベクトルと<tex>k_0=\frac{\omega}{c}, k_1=-k_x, x_2=-k_y, k_3=-k_z</tex> という具合に、1,2,3成分にはマイナスが係る約束の添字下のベクトルを導入すると
<tex>sin( k_x x + k_y y + k_z z - \omega t)=sin\phi=sin[- (k_0 x^0 + k_1 x^1 + k_2 x^2 + k_3 x^3)] = sin[- \Sigma k_\alpha x^\alpha ]= sin[- \Sigma k^\alpha x_\alpha ]</tex>

となります。<tex>x^\alpha</tex> も <tex>k^\alpha</tex> も時間的(第0成分)と空間的(第1,2,3成分)な成分をもつベクトルという点は共通です。ふたつのベクトルの内積は無次元スカラー <tex>x_\alpha k^\alpha=x^\alpha k_\alpha=-\phi</tex> 波の位相です。内積をとる相手をみると時間(XC)には振動数(÷C)が、3つの空間には3つの波数が対応します。  自身との内積はそれぞれ、<tex>x^\alpha x_\alpha = s^2</tex> 、世界間隔、 <tex>k^\alpha k_\alpha = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}</tex>、コンプトン波長の逆数の二乗になります。

PS 量子力学のふたつの表示のEMANさんの解説
座標表示 http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/zahyo.html
運動量表示 http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/undoryo.html
から、座標と運動量が対になっている具合、フーリエ変換の関係がみてとれます。
交換関係<tex>[x,p_x]=[y,p_y]=[z,p_z]=i\hbar</tex>の対も同根です。

14 denpa 2013/12/01 (日) 00:34:50 ID:x760RWl.3Y [修正] [削除]
視点がいろいろあると思いますが。
ド・ブロイ波の着想の前にアインシュタインの「光量子仮説」+プランク定数が先か?
という視点でもいいと思います。
光量子:<tex>E=\hbar \omega</tex><tex>E=|p|c</tex>の関係。(特殊相対性理論)
解析力学のみではプランク定数は出てこないので「奇妙な感覚」をしたのではと思いました。
15 kafuka 2013/12/01 (日) 11:42:38 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>エネルギーは空間的な量で、運動量は時間的な量だと連想してることも、
>なるほどそれももっともだ
作用sで考えるといいと思います。
古典力学は、最少作用の原理から、すべてが出てきます。
量子力学の量子も、昔は「作用量子」と呼ばれていたぐらいで、作用が重要です。
で、作用s=∫Edt=∫p・dr (rは位置ベクトル)なので、
エネルギーは時間的な量で、運動量は空間的な量
と言えると思います。
16 ghsobo 2013/12/01 (日) 22:48:15 ID:oSnFPZokqk 修正アリ: 12/02 (月) 08:13 [修正] [削除]
unranyさん、いぜん自分もそのように考えたことがありました。考えてみると「力」を中心に据えればそのような考えに至ることが納得できます、でもさらに考察すると「力」はよくわからない実体です。ようは筋肉が支え脳がそれを力と感じるに過ぎないのでは?このさい力は忘れることにしましょう。波数は明日書きます。
17 サンマヤ 2013/12/03 (火) 01:09:16 ID:p9sSs48hHk [修正] [削除]
力を積分するという観点にこだわるならば、
力はベクトルです。
エネルギー(仕事)は、力と位置の内積で向きの情報が落ちます。
そのため、スカラーである時間と対応します。
一方、運動量(力積)は、力を時間で積分したもので、ベクトルのままです。
そのため、ベクトルである位置と対応します。

解析力学で考えるならば、
作用の時間微分から出るのがエネルギーで、
空間微分(勾配)から出るのが運動量となります。
どちらにせよ、結論はいっしょです。

解析力学をやると「力」は物理に不要と思ってしまいますが、
運動を変化させる要因としての力抜きで、
物理学への導入を作るのはかなり難しいでしょう。
避けて通れない概念かと思います。
18 unrany 2013/12/03 (火) 22:44:30 ID:8R4Loi7vnw [修正] [削除]
皆さん、回答ありがとうございます。


>甘泉法師さん
やはり空間と時間が直交していると考えると良さそうですね。
時間と空間が異符号である意味を考えると、時間の流れが未来から過去だとか、二つは対称的で時間も3次元だとか、いろいろ考えられます。


>denpaさん
一応参考書でその部分は読んだのですが、プランク定数とE=hνは実験事実に基づいて算出されたものであるとだけ認識しています。
もっと深い何かがあるのでしょうか?


>kafukaさん ghsoboさん サンマヤさん
なんだか少しずつ分かってきた気がします。

そして>>8にも書いたのですが、
運動量は空間的な量ではありますが、もともとp=mvのように時間微分であれ時間積分であれ、時間を内包した量です。
にもかかわらず、空間的な量である波数のみで求められてしまうのは、何故なのでしょうか?
もし光以外のド・ブロイ波を観測できたとすると、その1波長の距離のみ求められれば、そこから運動量、p=mvにより速度、またエネルギーまで求められてしまいます。
時間を一切測定していなくても、時間的な量が求められることになります。
これは一体何が起きているのでしょうか?
19 denpa 2013/12/04 (水) 00:47:29 ID:x760RWl.3Y 修正アリ: 02:25 [修正] [削除]
>>18
甘泉法師さんが示した4元波数ベクトルによってド・ブロイ波が理解できると思ったのです。
(これは特殊相対性理論と光量子を合わせたアイデアとして考えられるからです。)
まず、光ですが光量子と特殊相対性理論の結果からエネルギーに関して
<tex>E=\hbar \omega = |p|c</tex>
が得られます。「波数」で示せば
<tex>E=\hbar \frac{\omega}{c} c=\hbar |k| c =|p|c</tex>
となります。ここで<tex>|k|</tex>>>13<tex>k_0</tex>です。
さらに<tex>|p|=\hbar |k|</tex>という問題になっている運動量が出てきます。
ド・ブロイ波では、<tex>(E/c,{\bf p})=\hbar(\omega/c,{\bf k})</tex>というアイデアです。(3次元を内包した4元ベクトルを用いています。光量子+特殊相対性理論:ローレンツ不変も隠れています。)
この「空間+時間」が一緒になって(相対性理論)考えられているため、「不思議な関係」の元になっていると言えそうです。

エネルギーと運動量を纏めた表式については
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/4momentum.html
が参考になると思います。この4元運動量ベクトルと4元波数ベクトルを結びつけたのです。
20 ghsobo 2013/12/04 (水) 08:40:56 ID:oSnFPZokqk [修正] [削除]
>>18
>時間を内包した量です。
古典力学なら時間を変数として含む量と言えますが、広く全体に行き渡る様に言い切るのは間違っています。位置も同じです。もう一度いいますが位置とともに素な量です。なにか哲学に偏っていませんか?
量子力学と古典力学は別な理論です。もちろん<tex>\hbar</tex>→0の極限で古典力学に一致しますが、そのように置くとうまく説明できるという話です。
21 甘泉法師 2013/12/04 (水) 16:00:14 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 19:28 [修正] [削除]
 こんにちは。

>>18 運動量は空間的な量ではありますが、もともとp=mvのように時間微分であれ時間積分であれ、時間を内包した量です。
にもかかわらず、空間的な量である波数のみで求められてしまうのは、何故なのでしょうか?

  >>13 <tex>k^\alpha k_\alpha = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}</tex>と時間成分ωと空間成分kは関係づけられています(分散関係)。
  kあるところにωあり。瞬間のスナップ写真の波の具合からkがわかれば対応するωも必ずある。この意味でkはωをひいては時間を内包している、といえばお答えとしてハマるでしょうか。
  瞬間写真をとったにも関わらず時間的に振動していること、つまり運動エネルギーの存在が帰結されるわけです。
  で、どちらのほうこにどれくらい運動しているかをつかさどっているのがkです。

  沖の船が撮った海面が異様に盛り上がっている写真がTVにでたら、「動画でもあるまいし運動についてなにもわからない・・」と居間でお茶をすすりつづけるより、すぐ高台に避難するほうをおすすめします。 

  きつねにつままれたようですか?書いていてゼノンの矢のパラドックスに近い感触をおぼえました。どの瞬間も物体は静止しているのだから「瞬間の速度」などありえない、とか。 

  失礼しました。
22 サンマヤ 2013/12/05 (木) 00:09:17 ID:p9sSs48hHk [修正] [削除]
部分的にかじっただけだとたぶん分からないことだと思います。
いいたいことは、甘泉法師さんとたぶん同じなんですが、
ある時点で空間がうねっている状態が観測された場合、
それが「波」であるというのは、時間的な変化を含めてそう判断していることになります。
古典的に説明するならこうなります。

ただ、いまの話は量子論の話です。
シュレーディンガー方程式は、
<tex>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi = \left[ \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V\right] \Psi</tex>
です。
左辺は波動関数の時間変化、右辺は波動関数の空間変化が含まれます。
つまり、波動関数の空間的な変化があるならば(=波数が観測できる)、
波動関数は必ず時間変化します。
シュレーディンガー方程式は(また、ディラック方程式も)、
時間に関して1階の微分方程式ですから、
一度、関数の空間的な形が与えられると、
その後の時間変化は自動的に決定されます。
これは、状態を表す量である波動関数が複素数であり、
その中に空間的情報(確率密度)も時間的情報(運動学的なエネルギーや運動量)も含まれるという、
量子論特有の事情です。
23 unrany 2013/12/05 (木) 03:03:00 ID:8R4Loi7vnw [修正] [削除]
>denpaさん
式ではなく、感覚的に、空間と時間を何故結びつけることができるのかが分からなかったんです…
波長だけが分かっても、その距離を進むのにかかった時間はいくらでもありえるだろう、と。
10秒かかって移動したかもしれないし、0.1秒で移動したかもしれない。
それなのに、波長が決まればそれらも全て1つの値(モードによっては複数なのでしょうか)に決まってしまうことに違和感がありました。


>ghsoboさん
ある意味哲学…かもしれません。式がこうだから、理論がこうだから、ではなく感覚上での理解がしたいのです。
量子力学と古典力学が別の理論であることは理解しているつもりですが、時間と位置の概念が変わっているとは思いません。


>甘泉法師さん サンマヤさん
>kあるところにωあり。瞬間のスナップ写真の波の具合からkがわかれば対応するωも必ずある。この意味でkはωをひいては時間を内包している、といえばお答えとしてハマるでしょうか。

>これは、状態を表す量である波動関数が複素数であり、
その中に空間的情報(確率密度)も時間的情報(運動学的なエネルギーや運動量)も含まれるという、
量子論特有の事情です。

なるほど… kとωは切り離して考えることはできないんですね。
kとωが独立して変化することができないのは不思議ですが、量子の世界では、言い方は悪いですが「そういうもの」なのだと理解しました。

最後にもう一つ質問させてください。
kとωは切り離せない、というのは
@量子力学という理論の中で、波動関数がそういう風に定義されたから。
A何かの定義の元に計算をしていったらその関係が現れたから。
B理論の問題ではなく、実験事実として現実世界でkとωが1:1で対応する、という現象が起きている。

これのうちどれなのでしょうか?
サンマヤさんは「量子論特有の事情」とおっしゃっていますが、他の理論ではkとωが独立して動くということがあり得るのでしょうか?

ご指摘の通り、量子力学を部分的にかじっただけなので本質は全く見えていません。見当違いな質問をしていたらすいませんm(_ _)m
24 ASA 2013/12/05 (木) 05:12:48 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
>サンマヤさんは「量子論特有の事情」とおっしゃっていますが、他の理論ではkとωが独立して動くということがあり得るのでしょうか?

波動現象の一般の話であって「量子論特有」ではないと考えてます。
 波動を複素表示するとexp(i(kx-ωt))と表現できます(実体波だろうと確率波であろうと表現は同じ)。
 波動の性質は、波動方程式で規定されます。
 それが量子論では、シュレーディンガー方程式になってます。
先の波動をシュレーディンガー方程式に入れると
 hω=(hk)^2/2m+V というkとωの関係(分散関係)が出てきます。
 実体波だと2階の方程式がよくでてきます(波により波動方程式は様々ですけど)。このときは、ω=k/cなどの分散関係(真空中の電磁波など)が良く知られてます。
25 サンマヤ 2013/12/05 (木) 14:11:06 ID:p9sSs48hHk [修正] [削除]
>>23,24
ご指摘のように、kとωの関係でいえば、
そこに何らかの関係があるのは波動現象一般の話でした。
自分がいったのは、もっと強く、
波動の空間的形から時間発展の様子が完全に決定できるのは、
量子論特有ということをいいたかったのです。
波動方程式が既知という条件ならば、
波数の決定で振動数も決まるのは、波動一般の話です。
26 甘泉法師 2013/12/05 (木) 14:56:30 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 12/07 (土) 00:14 [修正] [削除]
こんにちは。

1 紙に横にx軸をひいてそれに沿って縦に振幅A(x)の線を適当にフリーハンドで描いていきます。 A(x)をフーリエ変換したA(k)をつかって波数kの正弦波の重なりとしてもこの振幅は表現できます。 これは数学の話で全然物理ではありません。描いた図やその要素の波数kの正弦波が、動きだすわけではもちろんありません。

 考えるべきは物理的な波ですよね。>>13 の分散関係の物質波であったり、水の表面波であったり、弾性振動であったりいろいろありえますがとにかく物理を考えていますよね。それぞれの物理によってωとkに関係があります。物理系の具合をあらわす「ハミルトニアン」がω(k)です。津波の海深など位置情報にもよればω(k,x)です。

2 >kとωは切り離せない、というのは

「kあるところωあり」と申しましたが、「kとωが切り離せない」という表現には慎重です。

 量子力学には位置、運動量のオペレータとエネルギーを位置と運動量であらわしたオペレータ(ハミルトニアン)があります。
 ポテンシャルのない自由空間では運動量の固有状態はエネルギーの固有状態でもあるのでkとωの関係は見通しがいいのですがポテンシャルエネルギーがある系では、運動量とハミルトニアンは非可換になります。このことによって 運動量の固有状態 は さまざまなエネルギーの固有状態の重ね合わせ になります。両者の固有状態が同じだったらそのままつかえるのが、重ねあわせという面倒な加工が要るようになります。
 同様に、エネルギーの固有状態(ω)は さまざまな運動量状態(k)の重ねあわせ(重みψ(k))です。エネルギー固有状態の波数関数は ψ(k)e^-iωt で、ψ(k)と e^-iωt の積に"分けて"書くことができます。 じっとかわらない波動関数 ψ(k)、馴染み深い座標空間でいえば ψ(k)を1.と逆向きに波数空間から座標空間へフーリエ変換したψ(x)、 とe^-iωt の積です。 水素の1s電子軌道も 箱の中の粒子も 調和振動子も エネルギー固有状態は、じっと動かない絵に描いたψと振動を受け持つe^-iωt の積になります。

 重ねあわせとか面倒ですがこの場合でもkとωに関係はあり「kあるところωあり」ではあるでしょう。 
 かえって話を面倒にしたかもしれません。失礼しました。
27 unrany 2013/12/05 (木) 23:18:30 ID:8R4Loi7vnw [修正] [削除]
皆さん、ありがとうございます。
そもそもの波動というものをひどく勘違いしていました。

甘泉法師さんの2つの話が僕としてはとても分かりやすかったです。


波動現象ではそれぞれに波動関数が決まり、必ずしも1:1になるとは限らないが、kとωは常に対応する。
…今まで、別々に考えていました。今更ですが目から鱗です。

頭の中で、量子を球体の粒子として考えてしまっていて、その粒が波の形で運動している、と考えていました。
これは言いすぎですが、人間が物体を掴んでゆらゆら揺らしながら動かしている感じです。
それは波動ではなく、「正弦波の形で動く(動かされている)物体」であり、ただそれだけなんですよね。本来の波動は、媒質や場が振動することで伝わるもので、1つの粒子が蛇のように動いているわけではない。
理解できた今だからこそ、この間違いを馬鹿らしいと思えますが、ここで質問しなかったらそのまま突き進んでいました。
量子が粒子性と波動性を持っているため、このようなイメージを持ってしまったのだと思います。
時間と空間、エネルギーと運動量、周波数と波数、いろんなものについての捉え方が皆さんのおかげで正しい方向にシフトできた気がします。


質問がいろんな方向に飛んでしまったり、返信が遅れたりしてしまい、申し訳ありませんでした。
それでも最後まで回答してくださり、本当にありがとうございました!

また何かあったら、どうかその時もよろしくお願いします。





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