1 hirota 2013/09/12 (木) 17:34:33 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
以前にも書いた事ですが、Reissner-Nordström blackholeの計量(固有時)を
 $x^0=t,\,x^1=r$ の座標だけで書くと
 $-ds^2=(-1+\frac{2M}{r}-\frac{Q^2}{r^2})dt^2+\frac{dr^2}{1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}},\,g_{00}=-1+\frac{2M}{r}-\frac{Q^2}{r^2},\,g_{11}=\frac{-1}{g_{00}}$ 
(M:blackholeの質量, Q:blackholeの電荷, G=c=1)
なので、これから r 方向に動く質点の運動は
 $u^0=\frac{dx^0}{ds}=\frac{dt}{ds},\,u^1=\frac{dx^1}{ds}=\frac{dr}{ds},\,-1=g_{00}(u^0)^2+g_{11}(u^1)^2$ 
 $\Gamma^k_{ij}=\frac{1}{2}g^{kn}(\frac{\partial g_{jn}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{in}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}),\,\Gamma^1_{00}=\frac{g_{00}}{r}(-\frac{M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}),\,\Gamma^1_{11}=\frac{g_{11}}{r}(-\frac{M}{r}+\frac{Q^2}{r^2})$ 
 $\frac{d^2r}{ds^2}=\frac{du^1}{ds}=-\Gamma^1_{ij}u^i u^j=-\Gamma^1_{00}(u^0)^2-\Gamma^1_{11}(u^1)^2=\frac{1}{r}(-\frac{M}{r}+\frac{Q^2}{r^2})=\frac{1}{2}\frac{dg_{00}}{dr}$ 
となります。 これに加えて、Kerr blackholeの計量を回転軸上だけの座標成分で書くと
 $-ds^2=(-1+\frac{2Mr}{r^2+a^2})dt^2+\frac{r^2+a^2}{r^2+a^2-2Mr}dr^2,\,g_{00}=-1+\frac{2Mr}{r^2+a^2},\,g_{11}=\frac{-1}{g_{00}}$ 
(M:blackholeの質量, a:blackholeの角運動量/質量)
なので、これから回転軸上を動く質点の運動は
 $\Gamma^1_{00}=\frac{M(r^2-a^2)(r^2+a^2-2Mr)}{(r^2+a^2)^3},\,\Gamma^1_{11}=-\frac{M(r^2-a^2)}{(r^2+a^2)(r^2+a^2-2Mr)}$ 
 $\frac{d^2r}{ds^2}=\frac{du^1}{ds}=-\frac{M(r^2-a^2)}{(r^2+a^2)^2}=\frac{1}{2}\frac{dg_{00}}{dr}$ 
となり、どちらのblackholeも $-\frac{1}{2}g_{00}$ をpotentialとする運動となっています。
potentialの形も無限遠で=1, blackholeに近づくと一度負になりますが r=0 に近づけば再び正となり落下した物体は反発されてblackholeから出て行きます。
違いはNordström blackholeでは r=0 で+∞なので必ず反発されますが、Kerr blackholeでは無限遠と同じ1なので加速して突入すれば r=0 を通過しますが、どちらにしろblackholeから出て行きます。
そして、blackholeの地平線(potential=0 の所)を通過するには外で無限の時間がかかりますから、出て行った外は最初とは別の宇宙であり、どちらのblackholeも別宇宙に通じるワームホールとなっています。
2 冷蔵庫 2013/09/16 (月) 21:57:08 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
d^2r/ds^2=(1/2)dg_{00}/dr はどのように得られたのでしょうか?
右辺を Γとu で表すところまではわかるのですが、その次の変形がわかりませんでした。
3 hirota 2013/09/17 (火) 01:44:40 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
 $-\Gamma^1_{00}(u^0)^2-\Gamma^1_{11}(u^1)^2$ 

 $\Gamma^1_{00}=\frac{g_{00}}{r}(-\frac{M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}),\,\Gamma^1_{11}=\frac{g_{11}}{r}(-\frac{M}{r}+\frac{Q^2}{r^2})$ 
を代入して
 $=(-\frac{g_{00}}{r}(u^0)^2-\frac{g_{11}}{r}(u^1)^2)(-\frac{M}{r}+\frac{Q^2}{r^2})=-\frac{g_{00}(u^0)^2+g_{11}(u^1)^2}{r}(-\frac{M}{r}+\frac{Q^2}{r^2})$ 
上の方の
 $-1=g_{00}(u^0)^2+g_{11}(u^1)^2$ 
を使って
 $=\frac{1}{r}(-\frac{M}{r}+\frac{Q^2}{r^2})$ 

この画面のソースを表示するとTeX形式の数式が見れますから、コピペで同じ数式が書けますよ。
(僕も数式を打ち直したんじゃなくコピペしただけ)
4 冷蔵庫 2013/09/18 (水) 19:55:12 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>hirotaさん

回答ありがとうございます。-1 = g_{00}(u^0)^2 + g_{11}(u^1)^2 を見落としていました。
考えてみれば、これが定数になるのは当たり前でしたね。
TeXのソースがコピペできるのは知っていました。





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