1 coJJyMAN 2013/04/02 (火) 23:09:47 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
力学の問題なのですが。。

ある物体がレールの上を走っています。 レールは途中で右に曲がったり左に曲がったりしていますが、カーブの前後でスピードは変わらなかったとします。
<pic>(200,100)\put( 0,90){\line(1,0){70}}\put( 0,80){\line(1,0){70}}\qbezier(70,80)(90,80)(90,60)\qbezier(70,90)(100,90)(100,60)\put(90,60){\line(0,-1){20}}\put(100,60){\line(0,-1){20}}\qbezier(90,40)(90,10)(120,10)\qbezier(100,40)(100,20)(120,20)\put(120,20){\line(1,0){70}}\put(120,10){\line(1,0){70}}\put(50,85){\circle*{10}}\put(45,75){\vector(1,0){10}}\put(45,65){\Vec{v}}</pic>
<pic>(200,100)\put( 0,90){\line(1,0){70}}\put( 0,80){\line(1,0){70}}\qbezier(70,80)(90,80)(90,60)\qbezier(70,90)(100,90)(100,60)\put(90,60){\line(0,-1){20}}\put(100,60){\line(0,-1){20}}\qbezier(90,40)(90,10)(120,10)\qbezier(100,40)(100,20)(120,20)\put(120,20){\line(1,0){70}}\put(120,10){\line(1,0){70}}\put(150,15){\circle*{10}}\put(145,35){\vector(1,0){10}}\put(145,25){\Vec{v}}</pic>
さて、そうすると、もう一つ同じ物体が同じ速度で追いかけてきた場合には、
<pic>(200,100)\put( 0,90){\line(1,0){70}}\put( 0,80){\line(1,0){70}}\qbezier(70,80)(90,80)(90,60)\qbezier(70,90)(100,90)(100,60)\put(90,60){\line(0,-1){20}}\put(100,60){\line(0,-1){20}}\qbezier(90,40)(90,10)(120,10)\qbezier(100,40)(100,20)(120,20)\put(120,20){\line(1,0){70}}\put(120,10){\line(1,0){70}}\put(60,85){\circle*{10}}\put(55,75){\vector(1,0){10}}\put(55,65){\Vec{v}}\put(30,85){\circle*{10}}\put(25,75){\vector(1,0){10}}\put(25,65){\Vec{v}}\put(45,95){\Vec{l}}\put(45,95){\vector(1,0){15}}\put(45,95){\vector(-1,0){15}}</pic>
カーブの前後でスピードも変わらないし、2つの物体の間の距離も同じままのはずです。
<pic>(200,100)\put( 0,90){\line(1,0){70}}\put( 0,80){\line(1,0){70}}\qbezier(70,80)(90,80)(90,60)\qbezier(70,90)(100,90)(100,60)\put(90,60){\line(0,-1){20}}\put(100,60){\line(0,-1){20}}\qbezier(90,40)(90,10)(120,10)\qbezier(100,40)(100,20)(120,20)\put(120,20){\line(1,0){70}}\put(120,10){\line(1,0){70}}\put(130,15){\circle*{10}}\put(125,35){\vector(1,0){10}}\put(125,25){\Vec{v}}\put(160,15){\circle*{10}}\put(155,35){\vector(1,0){10}}\put(155,25){\Vec{v}}\put(145,0){\Vec{l}}\put(145,0){\vector(1,0){15}}\put(145,0){\vector(-1,0){15}}</pic>
そこで問題なのですが、もし2物体が(質量が比較的無視出来るくらい軽い)棒状の剛体で連結されていた場合、
<pic>(200,100)\put( 0,90){\line(1,0){70}}\put( 0,80){\line(1,0){70}}\qbezier(70,80)(90,80)(90,60)\qbezier(70,90)(100,90)(100,60)\put(90,60){\line(0,-1){20}}\put(100,60){\line(0,-1){20}}\qbezier(90,40)(90,10)(120,10)\qbezier(100,40)(100,20)(120,20)\put(120,20){\line(1,0){70}}\put(120,10){\line(1,0){70}}\put(60,85){\circle*{10}}\put(30,85){\circle*{10}}\put(45,75){\vector(1,0){10}}\put(45,65){\Vec{v}}\put(45,95){\Vec{l}}\put(45,95){\vector(1,0){15}}\put(45,95){\vector(-1,0){15}}\linethickness{3pt}\put(30,85){\line(1,0){30}}</pic>
カーブを曲がりきったあとで、果たして同じスピードを保っていられるだろうか?
<pic>(200,100)\put( 0,90){\line(1,0){70}}\put( 0,80){\line(1,0){70}}\qbezier(70,80)(90,80)(90,60)\qbezier(70,90)(100,90)(100,60)\put(90,60){\line(0,-1){20}}\put(100,60){\line(0,-1){20}}\qbezier(90,40)(90,10)(120,10)\qbezier(100,40)(100,20)(120,20)\put(120,20){\line(1,0){70}}\put(120,10){\line(1,0){70}}\put(130,15){\circle*{10}}\put(160,15){\circle*{10}}\put(145,35){\vector(1,0){10}}\put(145,25){\Vec{v'=v?}}\put(145,0){\Vec{l}}\put(145,0){\vector(1,0){15}}\put(145,0){\vector(-1,0){15}}\linethickness{3pt}\put(130,15){\line(1,0){30}}</pic>
ということを気長に考えてゆきますので、どうぞよろしくお願いいたします。
2 hirota 2013/04/03 (水) 02:18:54 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
カーブでの距離の定義が問題ですね。
3 denpa 2013/04/03 (水) 04:59:10 ID:87eccqhLlA [修正] [削除]
現実的な状況だとボブスレーや電車が近いんでしょうか?
("レール"って言ってますね。重心の速度/回転とかがキーですかね。)
4 ASA 2013/04/03 (水) 07:19:16 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
 2で指摘の問題がありますが、曲率半径Rに対して連結距離lが十分短い(R>>l)場合で、かつ、左右のカーブが対称なときは、一般的な重心運動の帰結(重心運動量保存及びそのエネルギー保存)から、同じ速度であると考えます。
 連結棒にかかる力を考察したほうが面白いのではと思います。
5 coJJyMAN 2013/04/03 (水) 12:17:42 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
> 連結棒にかかる力を考察したほうが面白いのではと思います。
実は、そこに行きます。f^_^;
しばらくお待ちください。m(_ _)m
6 甘泉法師 2013/04/03 (水) 13:24:21 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 16:57 [修正] [削除]
こんにちは。 おもしろい問題ですね。

1
条件を正しく考えるための質問です。

l の値(長さ)に条件はあるでしょうか。

たとえば カーブ群の入りから出までのコース道のりが100mだとして
l が10kmではつかえて動かなくなっていまいそうです。 小さいほうの1cmは、問題ないかなあ...

2
あ、パイプでなくてレールですね。図を勘違いしました。棒はレールの軌道の外に(上空に)はみ出してもかまわない。 

3
さらに実際の列車のように連結部と台車は固定されず向きはぐるぐるまわれるフリージョイントとかんがえて先にすすむと

台車の運動はレール上に拘束されるよう、レールから進行方向と垂直な(横の)拘束力を受ける。 力を受けるから運動量は一般に保存しない。 進行方向と垂直だからいつもエネルギーは保存する。 
ということでエネルギー保存則を考えれば、カーブを出た後は入る前と同じ速さでレールを走るのではないでしょうか。 図では出た後と入る前が同じ方向ですがそうとは限らずたとえば半円レール軌道をまわって逆方向に出るような場合も、です。


あ、でも物体はレールからだけでなく棒からもそれぞれ力を受けるからそれはどうなんだろう... 棒から受ける力は仕事をして系のエネルギーをかえるだろうか... 作用反作用から両物体は逆ベクトルの力を受けるが、それぞれのあるところの軌道の具合によって力と速度の内積(つまり仕事率)は異なるので2物体の合計ではなされる仕事はゼロでなくなりエネルギーが変化するようにおもえるが...

5
あ、また1に戻ってレールなら lの値(長さ)に制限はいらないのかな?
たとえば、3の最後にいった「直線から半円(半径100m)また直線」の軌道でlが直径より長いたとえば500mだったら先頭の物体がUターンしたあたりでスタックして止まってしまいそう...です。 それは4.のように棒が仕事をして運動エネルギーが全部熱になった..ということか..な......



7 大学生A 2013/04/03 (水) 15:10:17 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
高校物理でかんがえるなら、直線距離がカーブの入り口で縮む分、
棒は圧縮応力を受けるので、先行物体は加速され、後続物体は減速されそう。
カーブの出口ではその逆ですね。
棒へのトルクは、角速度が大きくなる分、2体の重心速度は減少し、
小さくなる分、増加するような。
8 coJJyMAN 2013/04/03 (水) 23:57:18 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>両物体は逆ベクトルの力を受けるが、それぞれのあるところの軌道の具合によって
>力と速度の内積(つまり仕事率)は異なるので2物体の合計ではなされる仕事は
>ゼロでなくなりエネルギーが変化するようにおもえるが...
はい。 僕もそう考えました。

>高校物理でかんがえるなら、直線距離がカーブの入り口で縮む分、
>棒は圧縮応力を受けるので、先行物体は加速され、後続物体は減速されそう。
皆さん、さすがだ〜。(^_^;)
大丈夫です。(何が?) 高校物理というか、初等力学の範囲内で考えてゆきますので。。
9 coJJyMAN 2013/04/04 (木) 00:29:16 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
先行する物体が次のカーブに差し掛かった時に、後続の物体がまだ手前のカーブの途中だと話が複雑になりますねぇ。。

直線−円弧−直線−円弧−直線

とある区間のそれぞれで、直線区間は全て等しく棒の長さ $l$ 、円弧の半径は $R=l/\sqrt{2}$ とします。
物体の片方が直線区間にいる時は、もう片方が円弧区間にいることにします。

改めて目標の課題は、
「先行の物体が円弧の区間を移動し、後続の物体が直線の区間を移動している時、各々が棒から受ける力を(位置と速度の関数として)求め、運動方程式を立てる。」
とします。
また、先行が直線、後続が円弧の区間にいる場合に関しては、力の方向については確認することにします。

10 coJJyMAN 2013/04/04 (木) 02:39:15 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>先行物体は加速され、後続物体は減速されそう。
え〜っと、、 $F$ がマイナスになってしまった。。
先行物体は減速され、後続物体は加速されるのかも。。

ことの本質をつかむために、まずは練習問題として「途中で折れ曲がった軌道を走行している」場合の運動を考えます。
<pic>(100,50)\put(30,0){\line(-3,4){40}}\put(30,0){\line(1,0){60}}\put(8,28){\circle*{4}}\put(50,0){\circle*{4}}\qbezier(8,28)(29,14)(50,0)\put(8,28){\vector(3,-4){8}}\put(50,0){\vector(1,0){20}}</pic>
先行する物体が、レール上に仮に置いた等間隔のチェックポイントを通過するときに、物体がどの位置にあるかプロットしてみましょう。 スタートは、先行する物体が軌道を折れ曲がった直後です。
<pic>(100,50)\put(30,0){\line(-3,4){40}}\put(30,0){\line(1,0){60}}\put(0,40){\circle*{4}}\put(30,0){\circle*{4}}\put(4,35){\circle*{4}}\put(40,0){\circle*{4}}\qbezier(4,34)(22,17)(40,0)\put(8,29){\circle*{4}}\put(50,0){\circle*{4}}\qbezier(8,28)(29,14)(50,0)\put(14,21){\circle*{4}}\put(60,0){\circle*{4}}\qbezier(14,20)(37,10)(60,0)\put(21,12){\circle*{4}}\put(70,0){\circle*{4}}\qbezier(21,12)(46,6)(70,0)</pic>
もし、先行物体に外力を加えて等速運動させてみれば、後続物体が加速してしまうことは明らかです。 ということは、後続物体は棒に引っ張られて前へ、先行物体は棒に引っ張られて後ろへ進もうとする力が働いていることがわかります。
念のため付け加えますが、外力を加えている「から」加速する、ということではなくて、外力を加え「なければ」、先行物体は「減速する」はずだということです。
力が釣り合って等速運動している物体は、釣り合いが破れれば力の方向に加速するしかない、という考え方です。

また、図で立場を入れ替えて想像すれば、後続物体を等速運動させる外力を加えると、先行物体は減速してしまいますので、その外力の向きは進行方向と逆向き。 ということは、後続物体が棒から受ける力は進行方向、になります。

さて次回は、この練習問題をきちんと数式で解いていきます。
11 hirota 2013/04/04 (木) 11:14:01 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
エネルギーで考えれば2物体の運動エネルギーの和は一定。
つまり速度の2乗和が一定ですから、速度の線形和は同じ速度の時が最大で
カーブで違う速度になれば重心速度が減少します。
12 甘泉法師 2013/04/04 (木) 21:26:32 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>10 >さて次回は、この練習問題をきちんと数式で解いていきます。

楽しみにしています。 

手を使わずに口だけで恐縮ですが
レールと棒による拘束条件から、片方の座標と速度で他方の座標と速度は決まる。独立変数はどちらか片方の座標と速度の2つに帰着する。 

でも棒から受ける力ひいては仕事率はこの2つの関数になっているのだろうか? 具体的にどんな関数?




13 coJJyMAN 2013/04/05 (金) 02:11:42 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
まず、レールの上に長さ $l$ の棒でつながれた物体Aと物体Bを、ただ置いてあるだけの状態にします。
<pic>(150,100)\put(45,0){\textcolor{red}{\line(-3,4){60}}}\put(45,0){\textcolor{red}{\line(1,0){80}}}\put(0,60){\textcolor{blue}{\line(4,-3){80}}}\put(0,0){\line(1,0){45}}\put(0,0){\line(0,1){60}}\put(45,0){\Vec{C}}\put(35,0){\Vec{\theta}}\put(80,0){\Vec{A}}\put(0,60){\Vec{B}}\put(60,-5){\Vec{a}}\put(15,25){\Vec{b}}\put(45,30){\Vec{l}}</pic>
レールは $C$ の位置で角度 $\theta$ で折れ曲がっているとします。 棒の長さは $l$ で、物体Aは $C$ から $a$ の距離にあるとき、物体BとCとの距離は $b$ とします。  $a$ と $b$ は常に
 $l^2=a^2+b^2+2ab\cos\theta$ 
の関係を満たします。
物体Aを少しだけ動かした時に、物体Bがどれだけ動くかというと
 $(a+b\cos\theta)da+(b+a\cos\theta)db=0$ 
したがって、物体Aが $C$ から離れる速さを $v=\frac{da}{dt}$ 、物体Bが $C$ に近づく速さを $u=-\frac{db}{dt}$ とおけば
 $(a+b\cos\theta)v=(b+a\cos\theta)u$ 
つまり
<tex>\frac{u}{v}=\frac{a+b\cos\theta}{b+a\cos\theta}</tex>
の関係が得られます。

この式から、2つの物体が同時に等速運動することは不可能なことがわかります。 壁以外からの外力で加速、ないし減速していますので、つまり物体は棒から力を受けているのです。

それに関して重要な定理が、手元の力学の教科書(前野昌弘著 よくわかる初等力学)にあります。
「質量がない剛体に関しては、たとえその剛体が運動していたとしても、そこに働く力と力のモーメントがつりあわなくてはいけない。」
問題の棒は質量のない剛体としていましたから、この話がそのまま当てはまります。
そして、棒が物体Aから受ける力と物体Bから受ける力がつり合っているならば、それらの反作用であるところの物体Aにかかる力と、物体Bにかかる力は、大きさが等しく、向きは互いに反対になります。

14 大学生A 2013/04/05 (金) 22:39:31 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 23:22 [修正] [削除]
折れ曲がったレールのモデルに違和感を持ったので、もっと滑らかなモデルを考えました。
図が描けないので言葉にします。
C地点で曲率半径 R(>>ℓ) のカーブに滑らかに連結されているモデルを考えると、

u/v ≒ 2b^2/(b^2 + ℓ^2)

となりました。
b がℓから小さくなるに連れ、u/v は減少します。
つまり、物体Aは加速され、物体Bは減速されます。

たぶん、皆、気づいてると思います。
面倒だから計算しないだけで。w
15 coJJyMAN 2013/04/05 (金) 23:31:18 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
速度と力のベクトルを図示すると
<pic>(150,100)\put(80,0){\textcolor{blue}{\vector(-4,3){15}}}\put(80,0){\textcolor{red}{\vector(1,0){15}}}\put(45,0){\line(-3,4){45}}\put(45,0){\line(1,0){35}}\put(0,60){\line(4,-3){80}}\put(0,60){\textcolor{blue}{\vector(4,-3){15}}}\put(0,60){\textcolor{red}{\vector(3,-4){15}}}\put(95,0){\Vec{v}}\put(70,10){\Vec{F_a}}\put(65,0){\Vec{\alpha}}\put(15,50){\Vec{F_b}}\put(8,35){\Vec{u}}\put(17,37){\Vec{\beta}}</pic>
この2つの力の大きさが、等しく $F=F_a=F_b$ である。
各物体の質量は、今まではっきりさせていなかった気がするので、ここで改めて $m=m_a=m_b$ としよう。
Aの場所でのレールと棒の角度を $\alpha$ 、Bの場所での角度を $\beta$ とおく。

物体Aの運動方程式は
<tex>-\frac{F}{m}{\cos\alpha}=\frac{v(t+\delta t)-v(t)}{\delta t}</tex>
物体Bの運動方程式は
<tex>\frac{F}{m}{\cos\beta}=\frac{u(t+\delta t)-u(t)}{\delta t}</tex>
各々の位置と速さの関係は
<tex>v(t)=\frac{a(t+\delta t)-a(t)}{\delta t}\\-u(t)=\frac{b(t+\delta t)-b(t)}{\delta t}</tex>
これら4つの式から
<tex>\frac{u(t+\delta t)}{v(t+\delta t)}=\frac{u+\frac{F}{m}\cos\beta\cdot\delta t}{v-\frac{F}{m}\cos\alpha\cdot\delta t}</tex>
<tex>=\frac{a(t+\delta t)+b(t+\delta t)\cos\theta}{b(t+\delta t)+a(t+\delta t)\cos\theta}=\frac{a+v\delta t+(b-u\delta t)\cos\theta}{b-u\delta t+(a+v\delta t)\cos\theta}=\frac{(a+b\cos\theta)+(v-u\cos\theta)\delta t}{(b+a\cos\theta)+(-u+v\cos\theta)\delta t}</tex>
したがって
<tex>\left [ u+\frac{F}{m}\cos\beta \cdot \delta t \right ]\left [ (b+a\cos\theta)+(-u+v\cos\theta) \delta t \right ]\\=\left [ v-\frac{F}{m}\cos\alpha \cdot \delta t \right ]\left [ (a+b\cos\theta)+(v-u\cos\theta) \delta t \right ]</tex>
 $u(b+a\cos\theta)=v(a+b\cos\theta)$ に注意しながら、 $\delta t$ が微小量なので2次の項を落とすと
<tex>\frac{F}{m}\cos\beta(b+a\cos\theta)+u(-u+v\cos\theta)=-\frac{F}{m}\cos\alpha(a+b\cos\theta)+v(v-u\cos\theta)</tex>
<tex>F\left [ \cos\alpha(a+b\cos\theta)+\cos\beta(b+a\cos\theta) \right ]=m(v^2+u^2-2vu\cos\theta)</tex>

これで力 $F$ が、位置と速さの関数として得られた。
<tex>F=\frac{m(v^2+u^2-2vu\cos\theta)}{ \cos\alpha(a+b\cos\theta)+\cos\beta(b+a\cos\theta)}</tex>
16 coJJyMAN 2013/04/05 (金) 23:48:16 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>たぶん、皆、気づいてると思います。
>面倒だから計算しないだけで。w
そうなん?
僕も最初は、先行物体が加速して後続物体が減速すると思ってたんだけど、計算結果が違うんだよねぇ。。
>u/v ≒ 2b^2/(b^2 + ℓ^2)
の導きかたを教えてもらえますか?
17 大学生A 2013/04/06 (土) 00:35:46 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>導きかたを教えてもらえますか?

図が描けないので数式にします。
半径Rの円において、弧ACを挟む中心角をθとすると、

a = Rθ      (1)

直線BCにおいて、棒とのなす角をφとすると、

b = ℓcosφ - Rsinθ        (2)

ここで、

ℓsinφ = R(1 - cosθ)         (3)

なので、式2と式3よりφを消去して、

ℓ^2 = b^2 + 2bRsinθ + 2R^2(1 - cosθ)     (4)

さらに、

b >> 2R(θ- sinθ)
b >> R√2(1 - cosθ)

が成り立つ場合、(つまり、物体Aがカーブの入り口付近に位置する場合)

sinθ ≒ θ
cosθ ≒ 1

と近似できて、式4は、

ℓ^2 ≒ b^2 + 2bRθ = b^2 + 2ab (∵式1)

∴-db/da ≒ 2b^2/(b^2 + ℓ^2)

こんな感じです。
18 coJJyMAN 2013/04/06 (土) 10:42:59 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
なるほど、確かに。。ありがとうございます!!
(自分の計算メモの、初めの部分はこれはこれでよかったのか。。)

実は[直線−円弧]にしろ、[直線−直線]にしろ、先行物体がカーブの入り口に入った瞬間は、物体がレールから突然横向きの力が加わるので、その瞬間の運動は考えるの避けてたんですよ。。^^;) 
入った直後の瞬間を初期状態として、改めて初期位置と初速度と与えて後の運動を考えればいいかなと。。

よく考えると、[直線−円弧]では両物体の初速度は同じですが、[直線−直線]では
<tex>\frac{u_0}{v_0}=\cos\theta</tex>
と同じになりようがなく、先行物体のほうが速いので、両物体がコーナーから等距離の時に等速になるなら、この場合は先行が減速で後続が加速してしまうんだろうなと思いました。

軌道の形状で力の向きは変わるんですね。肝に銘じます。

大学生Aさん、重ね重ねありがとうです。^^)
19 大学生A 2013/04/06 (土) 18:54:29 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>重ね重ねありがとうです。^^)

いえ、こちらこそ、お役に立てて光栄です。m(_ _)m
20 甘泉法師 2013/04/08 (月) 07:55:10 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>15 これで力  $F$  が、位置と速さの関数として得られた。

わたしは得られるか疑問だったのですが、きちんと計算され感心しました。 ありがとうございます。
21 coJJyMAN 2013/04/08 (月) 12:26:59 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
課題の、[直線]ー[円弧]の方は計算中です。
しばらくお待ちください。m(_ _)m
22 冷蔵庫 2013/04/08 (月) 22:31:52 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
みなさんこんにちは。横から失礼します。

>>17 大学生Aさん

物体Aがカーブの入り口付近にあるという近似は、
結局カーブではなく直線を考えているのと同じになってしまい、
わざわざカーブにした意味がないのではないでしょうか?

それと、

>ℓ^2 ≒ b^2 + 2bRθ = b^2 + 2ab

この近似でaの2次以上を落としてしまうと、最後の式、

>-db/da ≒ 2b^2/(b^2 + ℓ^2)

と、#14で書かれている物体の加速の議論の意味がないように思えます。
右辺をaで展開したときに主要項しか意味をなさないので。

>>15 coJJyMANさん

最後のFの式の右辺の分母は、l (cos^2α + cos^2β)とも書けますね。
a + b cosθ = l cosα, b + a cosθ = l cosβ なので。
23 coJJyMAN 2013/04/09 (火) 23:48:56 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>最後のFの式の右辺の分母は、l (cos^2α + cos^2β)とも書けますね。
確かに。 とすると逆に式からαとβを消すことも出来わけですね。。

今回は数式を整理することに、全く無頓着に進めております。
皆様ご容赦ください。

え〜、問題の運動ですが、計算結果によると、2物体の運動エネルギーの和は常に一定になるようです。。
ただ、数式で証明したわけではなく、差分方程式をExcelに入れて数値計算してみたところ、どうやらそうみたいです。
24 ASA 2013/04/10 (水) 06:29:01 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
>問題の運動ですが、計算結果によると、2物体の運動エネルギーの和は常に一定になるようです。。
 エネルギー保存則からの当然の帰結です。
2次元上運動なら
軌道(軌跡の方程式) Yi=f(Xi)…(1) :iは物体の数であり今は2
拘束条件 (x1-x2)^2+(y1-y2)^2=l^2…(2)
保存則 Σ(xi'^2+yi'^2)=ΣVi^2…(3)
と変数4つに対して方程式4つなので解ける連立微分方程式 が作れます。
それぞれの物体の初期条件 t=0 での位置と速度を与えることで位置座標の具体解が時間の関数(xi(t),yi(t))として求められます。
 物体の力は上記の二回微分から、連結棒への力は、壁からの力との合成バランスから求められます。
 以上
25 甘泉法師 2013/04/10 (水) 15:01:31 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

Re. >>23

エネルギーが保存するなら、棒が物体A、物体Bにする仕事率の和はゼロになる関係にあり >>15 の図では 関係 <tex>ucos \beta - v cos \alpha=0 </tex> です。 この関係は自明にみえないのですが成り立っているでしょうか。 >>13にあるu,vの関係と両立するのでしょうか。

あ、これはそのものですね。運動エネルギー保存を了解しました。
26 甘泉法師 2013/04/10 (水) 22:38:52 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

Re:
>>14 折れ曲がったレールのモデルに違和感を持ったので、
>>21 課題の、[直線]ー[円弧]の方は計算中です。

>>10, >>13 と >>15 の場合を 「折れ曲がったレール」 と見ないで 「軌道のA,Bのところそれぞれでの接線」 と見れば得られた結論が任意の曲線軌道の瞬間でのこととしてすべて成り立つので、大丈夫ではないでしょうか。

ただしふつうでない
-接線が平行で交わらない場合 例 AB間に軌道の変曲点がある。
-速度にあわせた接線の向きが逆になる場合 例 AB間に半円レールをかませて速度を逆向きにかえる
などの場合にも成り立つのか吟味がいるように思います。
27 大学生A 2013/04/10 (水) 23:04:17 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>任意の曲線軌道の瞬間でのこととしてすべて成り立つので

そうは思いません。
軌道上の任意の点における「情報」は、「接ベクトル」と「曲率」です。
折れ曲がったモデルでは、「曲率」が0なので径加速度(向心方向の加速度)も0となり、
曲線モデルに対して運動方程式を等価にできません。
28 甘泉法師 2013/04/10 (水) 23:22:25 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

Re: >>27

軌道に垂直な力が働いても軌道(レール)が横方向に及ぼす力(脱線しないようにとどめる力)と打ち消しあうので効果はあらわれない、と考えました。
29 大学生A 2013/04/11 (木) 02:03:23 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>打ち消しあうので

たとえば、等速円運動する物体には、円軌道に垂直な向心力が生じており、
その向心力を打ち消す力は存在しません。
もし、存在したら円軌道を脱線して中心点から離れていきます。
30 coJJyMAN 2013/04/11 (木) 03:38:28 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
みなさん、こんばんは。

特に甘泉法師さん、すいません。僕が運動エネルギー保存を確認したのは
[直線-円弧]の方でした。 余計なお仕事させてしまったようで申し訳ない。。

連投になりますが、今から結果を報告致します。
31 coJJyMAN 2013/04/11 (木) 04:20:06 ID:JYV.OZw18Y 修正アリ: 12/06 (金) 22:55 [修正] [削除]
軌道を上から見た図ですが、手前に直線部分があって、左カーブの円弧部分につながっているとします。
<pic>(100,-100)\qbezier(50,0)(46,46)(0,50)\put(0,0){\line(3,4){30}}\put(0,0){\line(1,0){50}}\put(50,0){\line(0,-1){50}}\put(5,0){\Vec{\theta}}\put(-5,-10){\Vec{O}}\put(30,40){\circle*{4}}\put(30,43){\Vec{A}}\qbezier(30,40)(40,5)(50,-30)\put(50,-30){\circle*{4}}\put(50,-30){\Vec{B}}\put(50,0){\Vec{P}}\put(0,52){\Vec{Q}}\put(45,-15){\Vec{\varphi}}\put(55,-15){\Vec{x}}\put(10,20){\Vec{r}}\put(30,15){\Vec{l}}\put(30,40){\line(1,0){20}}\put(50,40){\line(0,-1){40}}\put(52,20){\Vec{r\sin\theta}}\put(50,40){\Vec{R}}\put(50,-30){{\color{red}\vector(0,1){15}}}\put(30,40){{\color{red}\vector(-4,3){15}}}\color{blue}\qbezier(30,40)(27,50)(24,61)\put(24,61){\vector(-1,4){1}}\put(24,61){\Vec{F}}\qbezier(50,-30)(53,-40)(56,-51)\put(56,-51){\vector(1,-4){1}}\put(56,-51){\Vec{F}}</pic>
円弧は点Oが中心で半径r、点Pから点Qまでの区間です。 その間、点Pから角度 $\theta$ 進んだところに物体Aがあるとします。 物体Bは、点Pより手前にあって、点Pからの距離はxとします。 もちろん、ABの長さは $l$ です。 また、物体Bのレールと棒の角度を $\varphi$ とします。
点Aから直線BPへ垂線を下ろした時の交点をRとすると、図のとおり $RP=r\sin\theta$ また $AR=r(1-cos\theta)$ なので、2物体の位置の関係は
<tex>l^2=r^2(1-\cos\theta)^2+(x+r\sin\theta)^2</tex>
 $l=\sqrt{2}r$ に気をつけながら、仮に $x=ar$ とおくと
<tex>2=1-2\cos\theta+\cos^2\theta+a^2+2a\sin\theta+\sin^2\theta</tex>
<tex>=2-2\cos\theta+2a\sin\theta+a^2 \\</tex>
<tex>\therefore a^2+2a\sin\theta-2\cos\theta=0 \tag{1}</tex>


32 coJJyMAN 2013/04/11 (木) 04:39:48 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
この式を微分すると
<tex>(a+\sin\theta)da+(a\cos\theta+sin\theta)d\theta=0</tex>
したがって
<tex>\frac{da}{dt}=-\frac{a\cos\theta+\sin\theta}{a+\sin\theta}\frac{d\theta}{dt}\tag{2}</tex>
<tex>\frac{dx}{dt}=-\frac{x\cos\theta+r\sin\theta}{x+r\sin\theta}r\frac{d\theta}{dt}</tex>
2物体の速さを
<tex>v=-\frac{dx}{dt},r\omega=r\frac{d\theta}{dt}</tex>
のおくと、それらの比は
<tex>\frac{v}{r\omega}=\frac{x\cos\theta+r\sin\theta}{x+r\sin\theta}\tag{3}</tex>
である。

この値は $\theta$ が $0$ と $\frac{\pi}{2}$ のとき1で、それ以外の時1より小さい。

33 coJJyMAN 2013/04/11 (木) 05:32:35 ID:JYV.OZw18Y 修正アリ: 05/04 (土) 02:52 [修正] [削除]
ある瞬間の物体の位置や速度と、微小時間 $t$ 後のそれらとの関係は
<tex>x'&=x-vt \\\theta'&=\theta+\omega t\\v'&=v-\frac{F}{m}\cos\varphi\cdot t \\r\omega'&=r\omega+\frac{F}{m}\cos(\theta-\varphi)\cdot t</tex>
以上より
<tex>\frac{v'}{r\omega'}&=\frac{v-\frac{F}{m}\cos\varphi\cdot t}{r\omega+\frac{F}{m}\cos(\theta-\varphi)\cdot t} \\&=\frac{x'\cos\theta'+r\sin\theta'}{x'+r\sin\theta'} \\&=\frac{(x-vt)\cos(\theta+\omega t)+r\sin(\theta+\omega t)}{(x-vt)+r\sin(\theta+\omega t)} \tag{4}</tex>
(3)式に注意しながらtの2次以上の項をおとすと
<tex>&-\frac{F}{m}\cos\varphi(x+r\sin\theta)+v(-v+r\omega\cos\theta) \\&=\frac{F}{m}\cos(\theta-\varphi)(x\cos\theta+r\sin\theta)+r\omega(-c\cos\theta-x\omega\sin\theta+r\omega\cos\theta) \tag{5}</tex>
これで、以下のように $F$ が位置と速度の関数として得られた。
<tex>F=\frac{m(-v^2+2vr\omega\cos\theta-r^2\omega^2\cos\theta+xr\omega^2\sin\theta)}{\cos\varphi(x+r\sin\theta)+\cos(\theta-\varphi)(x\cos\theta+r\sin\theta)} \tag{6}</tex>
この値は、 $\theta<<1$ の時プラスであったことは、以前、大学生Aさんにも指摘していただきました。
そして、 $\theta=\frac{\pi}{2}$ のときにはマイナス、つまり先行物体が減速、後続物体が加速しています。 それで先行物体の速さに追いつくようです。


34 coJJyMAN 2013/04/11 (木) 06:24:56 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
最後に、数値計算の結果(の抜粋)を書きます。r=1,v=rω=1,m=1としました。

θ[deg] t[sec] rθ[m]  x[m] rω=ω v    F   v^2+(rω)^2
0     -    -    1.414 1.000 1.000 -    2.000
10    0.174 0.175 1.240 1.006 0.994 0.0727 2.000
20    0.347 0.349 1.070 1.022 0.977 0.1199 2.000
30    0.516 0.524 0.906 1.043 0.955 0.1422 2.000
40    0.682 0.698 0.750 1.064 0.932 0.1369 2.000
50    0.844 0.873 0.600 1.081 0.912 0.0994 2.000
60    1.005 1.047 0.454 1.089 0.902 0.0209 2.000
70    1.166 1.222 0.309 1.085 0.907 -0.1175 2.000
80    1.328 1.396 0.160 1.060 0.936 -0.3631 2.000
90    1.496 1.571 -0.002 0.994 1.007 -0.8454 2.002

力の向きが途中で逆転して、再び90°のときに同じ速さになるのがわかります。 運動エネルギーが一定なのは、棒が剛体で質量ゼロとしているのが理由として大きい気がします。

ところで、θ=90°の時刻はt=1.496[sec]です。
もし、左カーブの円弧の先がまた直線になっていれば、後続の物体Bもカーブを曲がりきったときの時間は、この数値計算を逆にたどって
t'=1.496×2=2.992[sec]になるはずです。

それではもしも、「棒でつがっていなければ」どのような運動をしていたでしょうか?
後続物体がカーブを曲がり切るまでの時間は
 $t=(\sqrt{2}r+\frac{\pi}{2}r) \div v$ 
 $r=1,v=1$ ですから
 $t=\sqrt{2}+\frac{\pi}{2}$ =1.414+1.571=2.985[sec]

なるほど、カーブを曲がりきったあとは、棒があってもなくても全く同じ運動していますね。^^)
35 甘泉法師 2013/04/11 (木) 09:25:11 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 18:52 [修正] [削除]
こんにちは

1. Re: >>29
ああ、向心力、遠心力、つりあいのいつもの間違いにまたはまってしまいました! 改めて言い直します。

レールから働く進行方向と垂直な力が向心力として働き、物体は軌道に沿って曲がって進む。そして、向心力による系方向の加速度a、さらには系方向に微小速度aΔtが生まれる。

失礼しました。

2. すると曲線軌道の場合は、
>>10->>13->>15 の直線の場合とは拘束条件(u,vの満たすべき関係)もかわってしまい、別に新たに考え直す必要があるのでしょうか? 直線の場合には棒の仕事率の和がゼロで簡単にわかった運動エネルギー保存が曲線では明確でないならば残念で、未練があります。

3 それで未練がましくこんなふうに考えました。

曲線軌道を、それに似せた内接(または外接)多角形に置き換えてみる。 

-AとBが多角形の辺にあるときには >>10など先の考察がそのまま使える。運動エネルギーは保存する。

-どちらかが頂点にあるときレールの撃力をうけてその速度が突然変わるがその大きさである速さはかわらない。変位はないので棒が仕事をすることはない。相方の速さもこの瞬間で変わることはない。運動エネルギーは保存する。

-たまたまどちらとも頂点にある場合でもそれぞれの速度はかわるが速さは変わらない。運動エネルギーは保存する。

ということで全過程をつうじて運動エネルギーは保存される。 多角形はいくらでも辺の数をふやして曲線に近似できる。こうして曲線軌道の場合でも運動エネルギーは保存されることがわかる。

36 ASA 2013/04/11 (木) 09:33:04 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
coJJyMANさん
 ご苦労さま。
>カーブを曲がりきったあとは、棒があってもなくても全く同じ運動していますね。^^)
 カーブの微小部分を考察すると、弧と直線で距離が異なるわけです。連結がなければ弧の長さが、一定。連結があれば直線距離が一定。弧の長さ>直線距離なので、連結されたものがカーブに進入するときは、弧に沿った距離を伸ばすために、先行物体へ加速力、後続物体へは減速力が働く。カーブから脱する時は、その逆の力が働くと理解できます。
 曲率が変わるときも同様と考えられ、曲率半径が大から小になるとき(カーブが急になる)では、先行物体へ加速力、後続物体へは減速力が働く。その逆では、前と逆の力が働くといえます。
37 甘泉法師 2013/04/11 (木) 20:15:09 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 22:10 [修正] [削除]
こんにちは。
1
Re: >>26
ふつうでない例を図示しました。
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=t_28080_1_1365678548.jpg
エネルギーは保存するので棒が<<伸びきった>>地点でA,Bともに速度が逆転して元に戻り周期的運動をくりかえすと考えます。

2
Re: >>34
辛抱強い計算に頭が下がります。 
計算の結果の副産物としておききしたいのですが、棒でつないでもつながなくても通過後は両物体の運動は同じということですが、カーブを抜けるのにかかる時間の長短はどうなっているでしょうか。ずっと同じ速さで通過するのが早いか、加速、減速したほうが早いのか。 前者と予想するのですがわかりますでしょうか。
38 ASA 2013/04/12 (金) 06:38:20 ID:SYchvwpYJQ [修正] [削除]
>>37
 >37-1
 だから、4で示したように、R>>lが前提条件と考えるべきですよ。
 >37-2
 カーブによりけりと思われます。
39 coJJyMAN 2013/04/12 (金) 12:35:28 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>カーブを抜けるのにかかる時間の長短はどうなっているでしょうか
おっと、僕宛の質問でしたかね?f^_^;
34の最後に示したつもりでしたが、もう少し丁寧に計算する事にします。
40 大学生A 2013/04/12 (金) 15:34:20 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
このモデルの場合、ℓ ≠ √2r だと、棒へのトルクのみならず、棒への応力の時間連続性も破れそうですね。
トルクや応力の時間連続性の有無は、レールの曲率の空間連続性の有無ということなのでしょうか?
41 coJJyMAN 2013/04/12 (金) 23:32:05 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>トルクや応力の時間連続性の有無は、レールの曲率の空間連続性の有無ということなのでしょうか?
そうだと思います。
今回そもそもモデルを立てるときに、一本の連続した曲線で議論する手もあったんですけれど、イメージを明確にするために、どこかには直線部分を設けたかったんです。
けれどそうすると、必ず曲率が不連続な点が(有限個ですが)出てきてしまうんですよね。。その点は丁寧に取り扱いたいです。
42 大学生A 2013/04/13 (土) 08:25:19 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>そうだと思います。

なるほど。やはりそうですか。
カーブの入り口の曲率が不連続にもかかわらず、棒への応力が連続になるのは、
物体Aがカーブの入り口に達した瞬間は、レールの壁からの抗力が物体Aの速度ベクトルのみならず、
棒に対しても垂直に作用するからで、その瞬間の前後では、物体Aの加速度の速度ベクトル方向成分も連続になり、
単に、速度ベクトルを時間微分しただけの物理量では、入り口付近の物体Aの加速・減速を評価しにくいと思っていました。
つまり、θ≒0 の近似解を求めて、物体AとBの速度比を一変数関数で表し、その増減を調べる必要を感じたのですが、
厳密解でも、高々、二変数関数で収まり、速度比の増減を評価するのに何の支障もなかったわけですね。
あぁ、くやしい。w
43 coJJyMAN 2013/04/13 (土) 15:05:47 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
甘泉法師さんが#35で書かれている
>曲線軌道を、それに似せた内接(または外接)多角形に置き換えてみる。
は、僕もこの問題を考え始めた時からやってみたかったことです。 
>-どちらかが頂点にあるときレールの撃力をうけてその速度が突然変わるがその大きさである速さはかわらない
この点はどうなんでしょうか?
2物体が「棒でつながれていなかった」場合に、先行物体(=物体A)が、もうこれはただの1物体の運動の話ですが、軌道の折れ曲がったところで擊力を受けて、その運動量ベクトルが変化するときに、
「その速さ」が変わらないことは自明でない気がするのです。

運動の舞台となるレールと、それが敷かれた大地を全く動かない絶対的なものとしていましたが、これは実は大きな湖の上に浮いた人工の島の上の出来事として考えなければいけないのではないだろうか?
そうしなければ、物体とレールの間に作用反作用の法則が成り立つような「慣性系」にならないならないので、どこかで間違いを犯してしまう気がするのです。
難しくてよくわからないですけど。。^^;)
44 甘泉法師 2013/04/13 (土) 17:21:56 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 18:03 [修正] [削除]
こんにちは。

RE:>>43

コメントありがとうございます。 


単独の物体を考えます。多角形のコーナーでどんな力(力積)を受けてもそれは瞬時で変位はゼロなので受ける仕事もゼロ。だから運動エネルギーひいては速さはかわらないと考えました。 

-正無限多角形である円周軌道を動く物体の速さは一定であること

-もし速さが減るなら時間反転すれば速さが増えることになり不自然なこと

も証左になります。


でも棒でつながった2物体だと雲行きは怪しくなります。もし1のように片方が角で速さを向きだけかえたら新しい2辺での >>13 のu,vの関係がその瞬間は満たされなくなるからです。 

そこで、

剛体の棒は次の瞬間に 無限大の力X無限小の変位 で両物体のエネルギーを片方から他方に伝達して、新たなu,vの関係を整える

と考えました。 でないと棒は動けませんからね。

う〜ん...都合良すぎるでしょうか。

3 島の重さをMとして棒の物体との間で運動量Pをやりとりすると島のエネルギーは P^2/2M になります。 有限のPに対してMは極限で無限大になるので島のエネルギーはゼロ。よって物体だけでエネルギー保存を考えてよいことがわかります。 物体だけで運動量が保存しないのは勿論です。
45 coJJyMAN 2013/04/13 (土) 19:19:13 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
あれこれ考えて分かりました。

軌道を空間に固定する物質として「レール」を想定すると、物体の速度ベクトルのレールに垂直な成分が、金属という弾性体の性質により減衰振動という形でゼロになってしまい、レールに平行な運動量の成分だけがそのまま残り、その結果として物体のみの運動エネルギーは減少してしまいます。

「円弧を多角形で近似する」というのは、難問すぎますね。。

その他として、
@重力場中の軌道を運動する2物体の連結・非連結の比較問題
Al≠√2rの一般の場合のFの表現の確認
B運動の全過程でレールが受ける運動量の変化を連結・非連結で比較
C連結棒を質量のある物体として取り扱う現実的解析
のようなことが頭の中にあります。。
46 冷蔵庫 2013/04/13 (土) 21:01:28 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>35 甘泉法師さん

>2. すると曲線軌道の場合は、

曲線でも一緒ですよ。(ASAさんの仰っているR>>lが前提というのがよく分かっていないのですが)
例えばcoJJyMANさんの[直線-円弧]の例では、

x + r sinθ = l cosφ, x cosθ + r sinθ = l cos(θ-φ)

>>32の(3)式から運動エネルギー保存が言えます。
47 甘泉法師 2013/04/13 (土) 21:22:35 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 04/14 (日) 10:12 [修正] [削除]
こんにちは。

Re:>>45
エネルギーが散逸するとのお考えですが、力学的エネルギーが保存するとして関係式をかいてみます。

設定:軌道上の原点から長さがsの軌道上の点の位置ベクトルをr(s)とする。
物体1の位置ベクトルをr(s1(t)) 物体2の位置ベクトルをr(s2(t))とする。
簡単のため両物体の質量は同じとする。


棒でつながれている
 |r(s1(t))−r(s2(t))|^2 = l^2


棒はネットで仕事をしない
 ds1(t)/dt  dr/ds|s1 ・ {r(s1(t))−r(s2(t))} +

 ds2(t)/dt  dr/ds|s2 ・ {r(s2(t))−r(s1(t))} = 0

運動エネルギーは保存

 (ds1(t)/dt)^2 + (ds2(t)/dt)^2 = 初期値


rはベクトルと見てください。Texだとわかりやすいところ面倒で使わずすみません。

>>46 冷蔵庫さん コメントありがとうございます。 力をいただきました。
48 冷蔵庫 2013/04/13 (土) 22:29:34 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>>22 で指摘しましたが、スルーされているようなのでもう一度書いておきます。
(細かいことで、あまり議論の核心部分とは関係がありませんが)
>>17 で大学生Aさんが、[直線-円弧]の例で θ<<1 のときの db/da を求めていますが、

>ℓ^2 ≒ b^2 + 2bRθ = b^2 + 2ab

では近似が粗いため、db/da = -1 + … 以上のことは言えないです。

>>47 甘泉法師さん

なるほど。あとは運動方程式などの条件から、

「棒でつながれている」→「棒はネットで仕事をしない」→「運動エネルギーは保存」

を示せば良いということですね。
49 coJJyMAN 2013/04/13 (土) 22:42:23 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>エネルギーが散逸するとのお考えですが
おっと、言葉足りませんでした。
折れ線軌道の角部で先行物体が擊力を受けて運動量ベクトルが変化するときに、
それ単体の運動エネルギーが変わらないことは自明ではないということです。

軌道からの物体への力の掛かり方次第できまることのはずなので、慎重に考えるところだと思います。
50 甘泉法師 2013/04/13 (土) 23:22:58 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 23:55 [修正] [削除]
こんにちは。

Re:>>47 >>48

物体の自由度はsひとつだけで、sに効く力は棒からの力の軌道接線方向成分だけです。

棒はネットで仕事をしない
 ds1(t)/dt  dr/ds|s1 ・ {r(s1(t))−r(s2(t))} +

 ds2(t)/dt  dr/ds|s2 ・ {r(s2(t))−r(s1(t))} = 0

の内積のところがそれに相当するから運動方程式より加速度になり 

 ds1(t)/dt  ds1^2(t)/dt^2 +

 ds2(t)/dt  ds2^2(t)/dt^2 = 0、

 d/dt[(ds1(t)/dt)^2 + (ds2(t)/dt)^2]= 0 つまり

運動エネルギーは保存

 (ds1(t)/dt)^2 + (ds2(t)/dt)^2 = 初期値

と同じで、どちらかひとつでよかったことになります。 トータルな仕事がゼロならエネルギーは保存されるのは当然ですね。 「仕事をしない」のほうからは物体1と物体2の速度の比もわかり計算に便利です。

問題を解くのに力Fの具体的形を求めるのは面倒で避けたいところです。力学の問題で運動方程式から積分して証明しなくても、エネルギー保存を最初から使って許されるのではないでしょうか。

一般的に上の式の解析的な解を求めることは期待できませんが、数値積分でs1(t)、s2(t)を求めることはできるでしょう。

S1(t)→棒でつながる条件からS2(t)が決まる。→棒がネットで仕事をしない、運動エネルギー保存から ds1(t)/dtがきまる。→S1(t+Δt)=s1(t)+ds1(t)/dt Δtと値がきまる。
→棒でつながる条件から... という具合です。
51 冷蔵庫 2013/04/13 (土) 23:57:06 ID:euMO4xGYwk 修正アリ: 01:39 [修正] [削除]
>>50 甘泉法師さん

「棒はネットで仕事をしない」→「運動エネルギーは保存」の部分はそれで良いと思います。

棒から物体1,2にはたらく力をF1,2とすると、

F1 = -F2 ∝ r(s1(t))−r(s2(t))

と、運動方程式、

m dr1^2(t)/dt^2 = F1 + N1
m dr2^2(t)/dt^2 = F2 + N2 = -F1 + N2

を用いて示しているということですね。(r1,2 = r(s1,2(t)))
N1,2はレールから受ける力で、 N1・v1 = N2・v2 = 0

「棒でつながれている」→「棒はネットで仕事をしない」の部分はどうでしょう?

>問題を解くのに力Fの具体的形を求めるのは面倒で避けたいところです。力学の問題で運動方程式から積分して証明しなくても、エネルギー保存を最初から使って許されるのではないでしょうか。

Fを求めるのは面倒なのは同意しますが、運動エネルギー保存を証明せずに用いるのはまずいのでは?
52 coJJyMAN 2013/04/14 (日) 07:46:51 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
#31の(1)で「=0」が抜けていたので訂正しました。m(_ _)m
53 甘泉法師 2013/04/14 (日) 10:06:20 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 22:13 [修正] [削除]
こんにちは。

Re: >>49 多角形の頂点の扱いについて

 頂点を小さいRの円弧におきかえてみます。 
 軌道が及ぼす力は円弧をまわる速さを変えない。
 円弧を回る間に棒は片方を加速、他方を減速し(またはエネルギーを片方から他方に橋渡しして)円弧を抜けるときには新しい2辺の間のu,vの正しい関係ができている。
 円弧のRを0にする極限をとる

 と考えてはどうでしょう。
54 甘泉法師 2013/04/14 (日) 10:42:39 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 04/15 (月) 07:55 [修正] [削除]
こんにちは。

Re:>>51 「棒でつながれている」→「棒はネットで仕事をしない」の部分はどうでしょう?

コメントありがとうございます。  

2物体は棒でつながれているので

<tex>l^2=(\Vec{r}(s_2)-\Vec{r}(s_1))\cdot((\Vec{r}(s_2)-\Vec{r}(s_1))=\Vec{r}(s_1)\cdot\Vec{r}(s_1)-2\Vec{r}(s_1)\cdot\Vec{r}(s_2)+\Vec{r}(s_2)\cdot\Vec{r}(s_2)</tex>

式を時間で微分すると

<tex>0=2\Vec{r}(s_1)\cdot\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt}-2\Vec{r}(s_1)\cdot\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2} \frac{ds_2}{dt}-2\Vec{r}(s_2)\cdot\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt}+2\Vec{r}(s_2)\cdot\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2} \frac{ds_2}{dt}</tex>

つまり

<tex>0=(\Vec{r}(s_1)-\Vec{r}(s_2))\cdot(\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt}-\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2} \frac{ds_2}{dt})</tex>

棒が物体に及ぼす力は<tex>\Vec{r}(s_1)-\Vec{r}(s_2)</tex>の向きでそれぞれ正負であること(力学の第三法則)と考えあわせて、棒は正味(ネット)の仕事をしないことが導けます。

PS >>37 の「ふつうでない場合」ですが、カーブによっては周期運動になる場合もあれば行きつ戻りつして複雑に運動しクランクをぬけていくこともありそうです。
55 coJJyMAN 2013/04/14 (日) 19:56:49 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
甘泉法師さん、こんにちは。
>頂点を小さいRの円弧におきかえてみます。 
>軌道が及ぼす力は円弧をまわる速さに関係しない。
似たようなことも、さっき考えていたんですが、なかなか難しそうです。。

プリンキピアとかみると、先に「外周を等速運動する」ことを前提として「多角形を極限操作して円弧に持っていく」議論があって参考になるかなと思ったんですが、これは「向心力」だけが働いている話だったんで。。

あれっ!?いいのかな?もともと「円弧のレール」からは「向心力」しか働いてないんだし。。
もう少し考えます。

気長に行きたいので、>>45の@やCの問題はスレッドを分けてやる予定です。m(__)m
56 甘泉法師 2013/04/16 (火) 15:50:34 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

Re: >>55 >>45 @重力場中の軌道を運動する2物体の連結・非連結の比較問題

これまでに簡単に味付けするだけで考えることができると思います。 すなわち

2物体が棒でつながれている条件

<tex>l^2=(\Vec{r}(s_2)-\Vec{r}(s_1))\cdot((\Vec{r}(s_2)-\Vec{r}(s_1))=\Vec{r}(s_1)\cdot\Vec{r}(s_1)-2\Vec{r}(s_1)\cdot\Vec{r}(s_2)+\Vec{r}(s_2)\cdot\Vec{r}(s_2)</tex>

これを時間で微分した式

<tex>0=(\Vec{r}(s_1)-\Vec{r}(s_2))\cdot(\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt}-\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2} \frac{ds_2}{dt})</tex>

は共通で、エネルギー保存の式は重力を加味し

<tex>\frac{1}{2}[(\frac{ds_1}{dt})^2+(\frac{ds_2}{dt})^2]+g[z(s_1)+z(s_2)]=const</tex> 初期値

こうすれば経時変化がPCで追えます。 
2両連結のジェットコースターは単独車両にくらべ スリルさがよりマイルドになると存じます。
57 coJJyMAN 2013/04/16 (火) 17:28:26 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
僕もそんな気がします。(^ ^)
やはり、「棒が質量を持つ場合」をやるべきですねf^_^;
了解しましたm(_ _)m
58 冷蔵庫 2013/04/16 (火) 21:26:29 ID:euMO4xGYwk 修正アリ: 04/17 (水) 19:29 [修正] [削除]
>>54 甘泉法師さん

見事、運動エネルギー保存則が導けましたね。
ありがとうございました。


以下では、>>13の[直線-直線]の例を途中まで解いてみたので、
その計算を書いておきます。

まず>>15のcoJJyMANさんの図のα、βを用いて、

<tex>a = l\frac{\sin\beta}{\sin\theta} \,, \ \ b = l\frac{\sin\alpha}{\sin\theta}</tex>

と書くことができます。α=θ-βですから、a,bを1変数βで表せたことになります。

これらの式を、運動エネルギー保存則、

<tex>\dot{a}^2 + \dot{b}^2 = \rm{const.}</tex>

に代入すると、

<tex>\frac{l^2\dot{\beta}^2}{\sin^2\theta}\left[1+\cos\theta-2\cos\theta\sin^2\left(\beta-\frac{\theta}{2}\right)\right] = \rm{const.}</tex>

を得ます。したがって、

<tex>\frac{l}{\sin\theta}\sqrt{1+\cos\theta-2\cos\theta\sin^2\left(\beta-\frac{\theta}{2}\right)}d\beta = ({\rm{const.}})dt</tex>

を積分してβを求めればよいということになります。左辺の積分は第二種楕円積分になります。
特に、θ=π/2のときが簡単で、

a = l sin(ωt), b = l cos(ωt)

となります。ωは初期条件で決まる任意の定数です。
59 甘泉法師 2013/04/17 (水) 07:57:07 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 05/03 (金) 20:10 [修正] [削除]
こんにちは。

Re: >>57 >>45 C連結棒を質量のある物体として取り扱う現実的解析

これもエネルギー保存の式に項を加えるだけですみそうです。すなわち

2物体が棒でつながれている条件

<tex>l^2=(\Vec{r}(s_2)-\Vec{r}(s_1))\cdot((\Vec{r}(s_2)-\Vec{r}(s_1))=\Vec{r}(s_1)\cdot\Vec{r}(s_1)-2\Vec{r}(s_1)\cdot\Vec{r}(s_2)+\Vec{r}(s_2)\cdot\Vec{r}(s_2)</tex>

これを時間で微分した式

<tex>0=(\Vec{r}(s_1)-\Vec{r}(s_2))\cdot(\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt}-\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2} \frac{ds_2}{dt})</tex>

エネルギー保存の式は棒(一様密度、物体との質量比μ)の運動エネルギーを加味し

<tex>(\frac{ds_1}{dt})^2+(\frac{ds_2}{dt})^2+ \frac{\mu}{4}(\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt}+\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2} \frac{ds_2}{dt})\cdot(\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt}+\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2} \frac{ds_2}{dt})=const</tex> 初期値

<<訂正(H25.5.3)>>
棒の回転エネルギーも加味する必要があります。 上だと棒の真ん中だけに質量がある場合になってしまいます。 密度一様な棒の重心のまわりの慣性モーメントは <tex>\frac{1}{12}\mu l^2</tex>
角速度は <tex>\frac{\frac{\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt} - \frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2}  \frac{ds_2}{dt}}{2}}{\frac{l}{2}}</tex>
なので回転エネルギーは
<tex>\frac{1}{24}\mu l^2[\frac{\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt} - \frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2}  \frac{ds_2}{dt}}{l}]\cdot[\frac{\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt} - \frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2}  \frac{ds_2}{dt}}{l}]=\frac{\mu}{24} [\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt} - \frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2}  \frac{ds_2}{dt}]\cdot[\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt} - \frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2}  \frac{ds_2}{dt}]</tex> です。 この項に係数2を掛けたものを上のエネルギー保存の式の左辺に加えます。

結果、エネルギー保存の式は、

<tex>(1+\frac{\mu}{3})[(\frac{ds_1}{dt})^2+(\frac{ds_2}{dt})^2]+\frac{\mu}{3}(\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_1} \frac{ds_1}{dt}\cdot\frac{d\Vec{r}}{ds} |_{s=s_2} \frac{ds_2}{dt})]=const</tex>

>>58 冷蔵庫さん 
コメントありがとうございます。 精緻な計算に頭が下がります。 
60 coJJyMAN 2013/04/17 (水) 12:28:54 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
その方針じゃ、解けないですよf^_^;
棒にかかる力は釣り合わないので、運動方程式をきちんと立てなくてはいかんのです。
すいませんが、いま暫くお待ちを。m(_ _)m
61 甘泉法師 2013/04/17 (水) 16:15:04 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 21:49 [修正] [削除]
こんにちは。

そうですか。 前2式は力学でない、エネルギー保存は成り立つだろう、この3式のセットでPCで時間変化も追える...とざっとみたてただけでした。

詳しいご検討に期待します。
62 大学生A 2013/04/18 (木) 18:48:55 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
ちょっと思考実験。

棒とその両端に固定された二物体からなる剛体の総質量を 2M とすると、
質量密度分布が棒の中央に集中するとき、最短時間でカーブを抜ける。
どちらか片端に集中したときは、「棒なし」の条件と同じ時間でカーブを抜ける。
両端に質量 M が分散したときは、最短時間ではカーブを抜けられない。
重心の位置が固定されているとき、質量密度が分散するほど、カーブを抜ける時間が長い。
つまり、重心が中央に近く、慣性モーメントが小さいほどカーブを抜ける時間が短い。

自信はない。w
63 coJJyMAN 2013/05/04 (土) 02:59:04 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
#33の誤植を訂正いたしました。m(_._)m





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