1 x_seek 2013/03/01 (金) 00:43:04 ID:BInjhSf1HQ [修正] [削除]
はじめまして。x_seekと申します。

多世界解釈でボルンの規則を導くアイデアを思いついたので、
そのアイデアを他の方に伝えるため論文の形にしてみました。

量子力学の確率解釈導出
http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.html

基本となるアイデアは、簡単に言えば、
「3個の都市から3個の都市への道は3^2本ある」という考え方です。

論文の体裁として不適切な箇所や説明不足な箇所があると思います。
また論文には多くの問題と課題があり、
論理矛盾や実験との不一致もあるかもしれません。

そのような箇所を明確にし、論文をより良いものにしたいと考えています。
(もちろん結果によってはアイデア自体の誤りが明らかになると思います)

この掲示板にはEMANさんの人柄によるものだと思いますが
優秀な方が多く集まっていらっしゃいます。
そんな皆様のお力をどうかお貸し頂けないでしょうか?
論文についてご意見賜りますようお願いいたします。

私はコペンハーゲン解釈も矛盾のない正しい解釈だと考えています。
これからも実験結果を合理的に説明し続けると思います。

多世界解釈の正否は、最終的には個人の世界観に依存します。
議論を重ねても決して合意に至ることはないでしょう。
そのため多世界解釈の正否は本スレッドの議論対象外とさせてください。

もし多世界解釈の正否を議論対象としたい方がいらっしゃるようでしたら
「多世界解釈の正否」というスレッドを新たに作ります。
そこで議論したいと思います。ご理解のほど、よろしくお願いいたします。
2 ghsobo 2014/10/28 (火) 08:59:59 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
多世界解釈は一番誤解されやすいです。物理を奥深く知らないとこのような議論には立ち入れないと思います。多世界解釈を量子力学というものをより深く理解しようと立場から議論するとけっこう面白いと思います。どうでしょうか
3 takoyaki 2014/10/28 (火) 09:52:36 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
takoyakiと申します。

別のスレッドから飛んできました「素人」です。
x_seekさんの論文を読ませていただきましたので、こちらのスレッドでは、その感想のようなものを書き込みさせて頂きたいと思います。
私の疑問にはすべて答えて頂かなくても結構です。
プロ野球選手じゃないのに、野球を観戦して楽しむファンみたいな立場と思って頂ければと思います。専門家の方から見れば面倒な奴だろうなと、自覚しております・・・


<よくわからなかったところ>
基底問題そのものが、なぜ問題なのか理解できませんでした。(悲しい)
第二波動関数の多様体を導くまでの数学的プロセスが難しくて理解できませんでした。

<わかったこと>
「経路積分の網目構造」は、この論文の真骨頂だと思いました。これは何とも言えない納得感があります。
同様の理論を適用するために、波動関数を多様体として表す必要性があったのだろうと理解しました。読み始めた時は、なんでそんなことするのか理解できませんでしたが、もし網目構造ですべて説明できるならとても強力なツールだと思います。

<素朴な疑問>
@多世界解釈で「速度」は定義できるのか?
 パラメータとしての「時間」を考えた場合、「飛んでいる矢は止まっている」という有名なパラドックスに陥るような気がするのですが・・・。そもそもパラドックスなのかどうかも私はよくわかっていないので、なんとも言えないのですが。

A同じ真空の中にいても、観測者によって感じられる粒子の個数が変わるという定理があったような気がするのですが、それとは無矛盾なんでしょうか?たしか場の量子論の話です。雑誌で読んだ記憶があります。

B宇宙の歴史を「経路固有歴史」と見た場合、その歴史の中に含まれるそれぞれの空間的位置に対して、「同時」という概念を定義できるのでしょうか?というのも、私の苦手な相対性理論によると、観測者にとって「同時」であるものは相対的なものであり、観測者の数だけ異なる「同時」が存在し、その一つ一つが別の歴史に分類されるように思うからです。それとも観測者にとっての「同時」という目で宇宙を輪切りにして観る以前の宇宙の姿について語っているのでしょうか?


<感想>
もし多世界解釈が正しいなら、これが一番スッキリする答えだと私は思います。もしもアインシュタインがアスペの実験の結果を知っていたら、多世界解釈のほうが「まとも」だと言ったんじゃなかろうかと、私は思っています。
でも、私自身はまだ多世界解釈を信じてはいません。
最大の理由は自分が不勉強だからです。何かを判断するにはまず見聞を広めなければ・・・


<思いついたこと>
もし宇宙が有限の素状態と素事象で表現できるなら、たかだか100個の素状態からも宇宙は作れるはず。だとすれば、コンピュータシミュレーションで有効性を検証することも可能なのではないでしょうか?実際に宇宙を作ってみればいいのでは?と思いました。

4 x_seek 2014/10/29 (水) 00:00:18 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
>>2
ghsoboさん、ご提案頂きありがとうございます。

ghsoboさんのご意見に同意します。
ご提案頂いた方針で議論を進めたいと思います。

具体的には、既知の多世界解釈と量子力学を
より深く理解する方向での議論を進めたいと思います。
5 x_seek 2014/10/29 (水) 00:01:26 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、論文を読んでいただき、ありがとうございます。

論文の中心的アイデア「経路積分の網目構造」に感想を
頂けたのは初めてだったので、とても感激しています。

話題は特に私の論文にこだわる必要はありません。
このスレッドでの会話を通じてtakoyakiさんと私が物理に
対する理解を深め、物理の面白さを発見するきっかけに
なればいいなと思っています。

頂いた疑問はどれも私にとって参考になるものばかりです。

論文の著者は、そのテーマに取り組んでいる時間が長いため、
どの部分の記述が不足しているのか、わからなくなっています。
takoyakiさんの疑問点や不明点をきくことで、
論文で記述が不足している部分がよくわかるため、非常に助かります。

頂いた指摘については、適切な順序、適度なペースで
個別に回答させていただきます。
6 x_seek 2014/10/29 (水) 00:04:53 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさんから頂いた疑問の一つに回答します。

>>3
> @多世界解釈で「速度」は定義できるのか?
>  パラメータとしての「時間」を考えた場合、
> 「飛んでいる矢は止まっている」という有名なパラドックスに
> 陥るような気がするのですが・・・。
> そもそもパラドックスなのかどうかも私はよくわかっていないので、
> なんとも言えないのですが。

最初に古典力学で考えます。
時間が連続ならば、時間を止めることはできません。
微小時間においても矢はわずかに動いています。
そのため「飛ぶ矢のパラドックス」は生じません。

しかし、時間が不連続ならば、時間を止めることができます。
その場合、止まっている矢は、進行方向に関する情報を持てません。
したがって、一瞬後の矢はどちらに進めばよいかわかりません。
この結果「飛ぶ矢のパラドックス」が生じます。

次に量子力学で考えます。
時間が連続ならば古典力学同様に問題ありません。

時間が不連続ならば、時間を止めることができます。
その場合でも、止まっている矢は、進行方向に関する情報を持てます。
なぜなら、量子力学では矢は波動関数で表現されるためです。
矢の波動関数の形を次のURLで確認できます。

波動関数の不思議 - 量子論の不思議な世界
http://www.geocities.jp/x_seek/wave.html

らせんの巻き具合が複素数の偏角(位相)です。
このらせんが右巻きか左巻きかで進行方向が決まります。
そのため、静止した波動関数でも進行方法の情報を持てます。
したがって、量子力学では「飛ぶ矢のパラドックス」は生じません。

多世界解釈でも、波動関数は量子力学同様シュレーディンガー方程式に
基づいて時間発展するため「飛ぶ矢のパラドックス」は生じません。
多世界解釈での「速度」は、量子力学での「速度」と同じで、
それは波動関数に基づくものです。

上記のような説明で納得いただけますでしょうか?
7 takoyaki 2014/10/29 (水) 00:54:47 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、ご親切なお返事をいただきありがとうございます。

>話題は特に私の論文にこだわる必要はありません。このスレッドでの会話を通じてtakoyakiさんと私が物理に対する理解を深め、物理の面白さを発見するきっかけになればいいなと思っています。

ありがとうございます。まさか、こんなふうに言って頂けるとは思っていませんでした。私も良い質問者になれるように精進したいと思います。よろしくお願いします。まずは、すでに書き込みをした内容について教えていただき、それまでは散漫な議論にならないように他の質問は控えさせて頂きたいと思います。


「速度」の質問についてですが、大枠について納得しました。

>このらせんが右巻きか左巻きかで進行方向が決まります。

のところだけが難しく感じました。
複素数なので、三次元になるというのは、分かります。
波動関数が中心で大きくなるのは「存在確率」でイメージできます。
でも偏角が何を意味しているのかは、今の私には難解で、螺旋の巻き方向が進行方向を表すというのは、もっと勉強しないとうまくイメージできそうにありません。
しかし、「前か後ろか」という情報が「右巻きか左巻きか」に対応しているという結論さえ受け入れてしまえば、それ以降の話の流れは納得できました。

>時間が不連続ならば、時間を止めることができます。その場合でも、止まっている矢は、進行方向に関する情報を持てます。なぜなら、量子力学では矢は波動関数で表現されるためです。

これで納得しました。
8 x_seek 2014/10/29 (水) 23:15:17 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>7
> でも偏角が何を意味しているのかは、今の私には難解で、
> 螺旋の巻き方向が進行方向を表すというのは、
> もっと勉強しないとうまくイメージできそうにありません。

ここで散髪屋の看板をイメージしてみましょう。こんなのです。

|/|
|/|
|/|
|/|
|/|

上記は右巻きの看板です。時間経過に対し左回転させましょう。
すると、上方向に進むように見えます。

一方、左巻きの場合は下記です。

|\|
|\|
|\|
|\|
|\|

同様に、時間経過に対し左回転させましょう。
すると今度は、下方向に進むように見えます。

このように、時間経過に対する回転方向が同じならば、
右巻きと左巻きで、進行方向が変わります。

複素数はオイラーの公式で次のように表現できます。

<tex>e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)</tex>

この角度  $\theta$  が偏角です。波動関数の場合は位相と呼びます。
波動関数を

<tex>\psi_R (x) = e^{ipx}</tex>

とおけば、 $x$  が増えるにつれて、偏角が右巻で回転します。

<tex>\psi_L (x) = e^{-ipx}</tex>

とおけば、 $x$  が増えるにつれて、偏角は左巻で回転します。

エネルギーが正ならば、時間の増大に対し常に左回転します。

<tex>\psi_R (x,t) = e^{+ipx-iEt}</tex>
<tex>\psi_L (x,t) = e^{-ipx-iEt}</tex>

位相を色相にすると、もっとわかりやすくなります。
次のYouTubeでアニメーションを見ることができます。

水素原子4f軌道波動関数 - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=w42C5ZSDLcs


9 takoyaki 2014/10/30 (木) 10:16:48 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、わかりやすい例をありがとうございます。

螺旋構造がオイラーの公式から導けることを理解しました。
また、右巻きと左巻きが波動関数の複素共役を表しているらしいとわかりました。

http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/7c3c8532b7e96f0529a8f4cbe68e4068
調べたところ、↑こちらのページに似たようなアニメーションを発見しました。
(これに存在確率の減衰を加えたものが電子の波動関数の形かな?)

時間を映画のフィルムのように考えた時に、エネルギーの増大にともなって、最小時間ごとに電子の存在確率の膨らみ部分が進行方向へ回転にともなって、一コマずつ動いていくのがイメージできるようになりました。
朝永振一郎先生が「量子の動きは電光掲示板に似ている」とおっしゃっていたのを思い出しました。そのイメージとも合ってる気がしました。

理解するのに時間がかかりましたが、なんとか追いついたと思います。
ありがとうございます。

ひとつ、基本的なところで確認しておきたいことがあります。
論文の中の最小時間は、素状態から素状態までの間の最小時間ですよね。すると、素状態そのものには時間の厚みはない、0であると考える、ということで本当によろしいのでしょうか?
この質問自体に問う必要性があるのかもわかりませんが、素状態同士が離散的でありさえすれば、素状態がプランク時間よりもっと遥かに短いオーダーで時間の厚みを持っているモデルも考えられるような気がしました。そんな設定をすること自体が無駄だと思う気もしますが、0でなければならない理由って何だろう?と思うと答えられない自分がいました。

>水素原子4f軌道波動関数
電子の波動関数の位相の流れを視覚的に表したものとして理解しました。
10 x_seek 2014/10/31 (金) 01:44:38 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 01:53 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>9
> また、右巻きと左巻きが波動関数の複素共役を表しているらしいとわかりました。

複素共役のことは考えていませんでしたが、そうなりますね。
飲み込みが速いと思います。

> 論文の中の最小時間は、素状態から素状態までの間の最小時間ですよね。
> すると、素状態そのものには時間の厚みはない、0であると考える、
> ということで本当によろしいのでしょうか?

まさか、素状態について語れる日が来ようとは…

さて、本理論は前提として、時空を離散的としています。
そして、波動関数を時間で切り、空間で切り、波動関数の絶対値で切り、
波動関数の位相で切ったものが、素状態です。

そのため、素状態が存在する世界には、もはや時間も空間も、物質すらも
存在しません。素状態は点のようなものですが、離散的な世界であるため、
素状態のすきまには、時間も空間も存在しないのです。

「時間の厚みが0か?」という問いに対しては、
「そもそも、プランク時間よりも短い時間が存在しない」、
という答えになります。時間は最小単位の倍数なのです。
素状態から素状態への遷移が時間の最小単位なのです。

多くの方は、思考の癖として時間の存在を前提にしがちだと思います。
非常に難しいですが、時間の存在しない世界を想像する必要があります。
そこはライプニッツの予定調和の世界です。そこでは何も変化しません。
そう考えると素状態はライプニッツのモナド(単子)に近いのかもしれません。
時間の存在しない世界があり、その世界での素状態間の素経路の存在の
結果として、時間のようなものが現れるのです。

この素状態の正体は何でしょうか?
最初、私は多様体の表面上の点だと解釈しました。

しかし、ファインマンの経路積分を基に考察すると
素状態は、他のすべての素状態とダイレクトに素経路でつながっています。
そのため、有限群の元ではないかと推定しました。
この世界に26個しかない散在型有限単純群が鍵を握っているのではと思ったのです。

素状態は素数ではないかとも考えました。
最近は、もっと単純に自然数ではないかと考えています。
実は自然数を量子化し複素数階微分するとゼータ関数が現れるのです。

実無限と可能無限 - 量子論の不思議な世界
http://www.geocities.jp/x_seek/quantum_number_theory.html

今回はtakoyakiさんが知らない言葉を使ってしまったかもしれません。
いくつかの言葉は、wikipediaに載っていると思います。
最後は引かれそうな話になってしまいましたが、私はこのように考えています。
11 x_seek 2014/10/31 (金) 01:49:20 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさんから頂いた疑問の一つに回答します。

>>3
> 基底問題そのものが、なぜ問題なのか理解できませんでした。(悲しい)

基底問題はkafukaさんの次の投稿記事が参考になると思います。

● 多世界解釈支持の方へ
http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log12214.html

基底問題とは、基底ベクトルの選択により測度が変わるが、
特定の基底ベクトルを選ぶ方法がないという問題です。

例えば2次元空間の基底ベクトルは(x,y)=(1,0),(0,1)です。
でも基底ベクトルは次のように取ることもできます。
(x,y)=(1,1)/√2,(-1,1)/√2
どの基底ベクトルを選ぶかは選択者の自由です。

エベレットの多世界解釈では、スピンがx軸上向きの状態ψ(x↑)に対し
測度m=|ψ(x↑)|^2を与えます。でも、それと同時に、
スピンがy軸上向きの状態ψ(y↑)を考えることもできます。
その測度はm'=|ψ(y↑)|^2となります。

少し難しいのですが、実はψ(x↑)とψ(y↑)は異なる
基底ベクトルで表現された状態となっています。
基底ベクトルとしてx軸の基底ベクトルを選ぶか、
y軸の基底ベクトルを選ぶかに依存して測度が変わってしまいます。
測度が物理的意味を持つ物理量ならば、これは許容できないことです。

そのため測度を計算するには基底を選択する必要があります
しかし、特定の基底を選択する方法は存在しません。

スピンでは選択すべき基底はスピンの測定方法(磁場の向き)で決まります。
測定方法の選択は自由であるため、特定の基底を選択できないのです。
12 takoyaki 2014/10/31 (金) 18:45:17 ID:24fsL7VI/w 修正アリ: 19:33 [修正] [削除]
x_seekさん、ありがとうございます。

>>10

ライプニッツのモナドについて初めて知りました。(ウィキペディアの解説しか読んでませんが)
究極的な「素」を求めるという志向にただならぬ気迫を感じる考え方ですね。

>多くの方は、思考の癖として時間の存在を前提にしがちだと思います。非常に難しいですが、時間の存在しない世界を想像する必要があります。
前回質問した時の私がまさにそうでした。いかに偏見がこびりついているか。長さや厚みといったものがないのだということを、まずは受け入れてみます。
いちおう観念としては理解できますが、やはり具体的にイメージするのは困難さを感じますね。

素状態とモナドの共通点は
・それを究極の「素」と考える。分割不可能である。
・離散的である。それ自身は延長を持たない。
と理解しました。

>波動関数を時間で切り、空間で切り、波動関数の絶対値で切り、波動関数の位相で切ったものが、素状態です。
ここのところが非常に難解です。空間で切る、とありますが、波動関数は空間的に無限に広がっているものとして認識してきました。x_seekさんの論文の中の波動関数は離散的な複素数の点の並びであると捉え直すということでしょうか。波動関数の絶対値や位相も離散的であると考えるということでしょうか。

>しかし、ファインマンの経路積分を基に考察すると素状態は、他のすべての素状態とダイレクトに素経路でつながっています。そのため、有限群の元ではないかと推定しました。
数学の素養がないのでお粗末なレベルでしか語れませんが、
群論→数の対称性によって数の集合を分類整理する学問。
有限群→有限の元しか持たない対称性を持った数の集まり。26種類の部品しかないことが知られている。
という認識です。
離散的な構造の上で経路積分を表現しようとすると、有限群という数学的な対応物が必要になるのかな?と推定しました。

>実は自然数を量子化し複素数階微分するとゼータ関数が現れるのです。
まず量子化の意味がわからなくて戸惑いました。
量子化の定義を本来の「ある物理量を量子の整数倍にすること」と考えると、自然数を物理量と考えて、それはある量子を量子化した結果の生成物として考える、ということになるのかな?でも、そういうことではないような。『減衰振動総和法による自然数の総和のゼータ関数正規化複素数階微分』の論文に定義があるようですが、難解すぎて一行目からついていけない感じです。
複素数階微分について調べたところ、初めてΓ関数の定義を知りました。「ガンマ関数は階乗の定義域を複素平面に拡張したものといえる(ウィキペディアより)」というのが恐らく便利なのかな?と思いました。そして、分数とか複素数といった階微分もあれやこれやすると定義可能だと。数学者の皆さんはホントすごいこと考えますね・・・びっくりです。
しかし、その話がどうやってゼータ関数につながるのか、となるとさすがに分からない。
でもおそらくは最終的に級数の扱いが重要なんだろう、と漠然と思ったりしました。

無限の扱いやイプシロンデルタ論法は『数学ガール』という本で学んだことがあります。なので、ちょっと分かります。でも量子自然数が出てくると全く話についていけなくなってしまいました。

限られた時間で調べたので、色々と取りこぼしてそうですが、一人で悩んでいるより、どんどん書き込んだ方が生産的かなと思い、投稿します。
迷走しているかもしれませんが、よろしくお願いします。
13 takoyaki 2014/10/31 (金) 20:53:11 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>11

引き続き、基底問題についてですが、おおよそのことは納得しました。

コペンハーゲン解釈と違って、多世界解釈だと、どのように基底が選ばれたのかを語らなければ理屈として完全でないというわけですね。

x_seekさんの論文では基底問題を解決しているのでしょうか?
あるいはエヴェレットの考えた測度という物理量を廃止して、代わりに世界の個数を考えることで、基底問題そのものが発生しなくなるように考えた、ということでしょうか?



エヴェレットの測度の定義については、意外とググっても出てこないですね。特に一般向けのものはなさそうです。
x_seekさんの論文に数式による定義が出てましたが、正直よくわかりませんでした。
これは数学用語の「確率測度」と同等のものなのでしょうか。
無限回の測定によって確率と同等になる、というのがヒントですかね。なぜそのような物理量が必要になるのか、まだよくつかめません。でも、世間では測度について否定的な意見がほとんどですね。スルーしていいのでしょうか。

グリーソンの定理というのが、何やらすごいらしい、と気付きました。でも、ノーゴー理論の文脈で出てくることが多いですね。謎は深まります。

一歩踏み込むと、よくわからない用語、定理、数式がたくさん出てきます。
ろくに勉強しないで何でもわかろうとは虫がいいのでしょう。ただ、色々調べて意味不明なものに出会い、なんだか想像力を掻き立てられてわくわくしてるだけですので、私の疑問にすべて答えていただかなくても結構です。正直すべてに付き合っていたらキリがないでしょうから。

x_seekさんの関心の湧いたところだけでもコメントを頂ければ幸いです。
よろしくお願いします。




14 x_seek 2014/10/31 (金) 22:37:14 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>12
> 素状態とモナドの共通点は
> ・それを究極の「素」と考える。分割不可能である。
> ・離散的である。それ自身は延長を持たない。
> と理解しました。

はい。そのようにご理解いただければと思います。

> >波動関数を時間で切り、空間で切り、波動関数の絶対値で切り、
> >波動関数の位相で切ったものが、素状態です。
> ここのところが非常に難解です。

波動関数を離散的な複素数の点の並びと解釈します。そして
波動関数の絶対値や位相も離散的であると解釈します。
点と点を線でつないだ数珠のような物を想像していただければと思います。

論文では、この部分の説明が不足していると認識しました。
(うーん。書き足さないといけないなぁ)

> >しかし、ファインマンの経路積分を基に考察すると素状態は、
> >他のすべての素状態とダイレクトに素経路でつながっています。
> >そのため、有限群の元ではないかと推定しました。
> 離散的な構造の上で経路積分を表現しようとすると、
> 有限群という数学的な対応物が必要になるのかな?と推定しました。

素状態の正体は、まだ、わかっていません。
でも、多分それは「物」ではありません。純粋に数学的な何かです。
例をあげれば、群の元や素数、自然数のようなものです。

> >実は自然数を量子化し複素数階微分するとゼータ関数が現れるのです。
> まず量子化の意味がわからなくて戸惑いました。

説明が難しくなる原因のひとつは、つい、あれもこれもと欲張って、
言い過ぎてしまうことなのですが、この話は、
ここで持ち出すべきではありませんでした。すいません。反省します。
この説明はここでは控えさせていただきます。
また機会があれば、そのときにぜひ……(^ ^;)
15 x_seek 2014/10/31 (金) 22:45:26 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさんの下記コメントが気になったので、少し整理してみました。

>> 9
> また、右巻きと左巻きが波動関数の複素共役を表しているらしいとわかりました。

CPT対称性はご存知だと思います。チャージ反転,パリティ反転,時間反転を順に
作用させると状態が元に戻ります。電子にPTCの順で作用させてみましょう。

 (1) exp(-ipx+iEt):x軸左巻,t軸右巻,進行方向x+,電荷−
  ↓P(x→-x)
 (2) exp(+ipx+iEt):x軸右巻,t軸右巻,進行方向x-,電荷−
  ↓T(t→-t)
 (3) exp(+ipx-iEt):x軸右巻,t軸左巻,進行方向x+,電荷+
  ↓C(p→-p,E→-E)
 (4) exp(+ipx-iEt):x軸左巻,t軸右巻,進行方向x+,電荷−

P反転では、x軸の左巻が右巻になります。進行方向は逆になります。
T反転では、t軸の右巻が左巻になります。進行方向は逆になります。
T反転で電荷が反対になるのが興味深いです。
C反転では、x軸もt軸も入れ替わります。電荷も反転します。
そして、元の状態に戻っています。

確かにCPT対称性が成り立っていますね!
16 x_seek 2014/11/01 (土) 00:21:15 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、コメントを頂きありがとうございます。

> コペンハーゲン解釈と違って、多世界解釈だと、
> どのように基底が選ばれたのかを語らなければ理屈として完全でないというわけですね。

はい。その認識でよいと思います。

> x_seekさんの論文では基底問題を解決しているのでしょうか?

私は、この基底問題を解決できていると考えています。

エベレットの多世界解釈は、世界の粒度が粗すぎると思います。
私の論文では測度は不要です。なぜなら、
確率に必要な場合の数を「経路積分の網目構造」で出すためです。

スピンについても、スピンを表現する新たな多様体を導入することで
対処しています。素状態まで細かい粒度で世界を分解すれば、
前記の問題は生じません。

> これは数学用語の「確率測度」と同等のものなのでしょうか。

エベレットは、測度の物理的意味を述べませんでした。
もし測度が確率測度ならば、測度は世界の個数であるはずです。
しかし測度が世界の個数となる仕組みは、まったくわかりません。
また、前記のとおり基底問題があるため、うまく測度を定義できません。

> 無限回の測定によって確率と同等になる、というのがヒントですかね。

「無限回の測定」での説明は、トートロジーだと私は思います。

> なぜそのような物理量が必要になるのか、まだよくつかめません。

それは、多世界解釈で確率を説明するためです。
測度がないと、説明できません。

> でも、世間では測度について否定的な意見がほとんどですね。スルーしていいのでしょうか。

理由は二つあります。
・基底問題:測度を定義するには特定の基底が必要だが、規定の選択方法がない。
・確率問題:測度が波動関数の二乗であることの妥当な根拠がない。

> グリーソンの定理というのが、何やらすごいらしい、と気付きました。

これは、ピタゴラスの定理のようなものです。
ベクトルu+v=wにおいて、実数f(u)+f(v)=f(w)となる関数を考えると
その関数は二乗しかないというものです。

17 x_seek 2014/11/01 (土) 00:48:23 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさんから頂いた疑問の一つに回答します。

>>3
> B宇宙の歴史を「経路固有歴史」と見た場合、
> その歴史の中に含まれるそれぞれの空間的位置に対して、
> 「同時」という概念を定義できるのでしょうか?

観測者の速度が決まれば、同時線を定義できす。

「経路固有歴史」は「経路固有事象」です。
「経路固有事象」は「位置固有状態」と「位置固有状態」の間の線です。
「位置固有状態」は空間の一点で定義します。
そのため「経路固有歴史」が含む空間的位置は2点だけです。

2点あるので、速度は定義できそうです。
同様に同時線も定義できると思います。

従来の多世界解釈では、同時線の平面を一つの世界としていたと思います。
そのため、それを観測する観測者の数だけ世界が変わってきます。

私の論文では、世界をもっと細かく分解しています。
具体的には位置で分解しています。「位置固有状態」は
空間の一点であるため、それは、どの観測者から見ても同じです。
18 takoyaki 2014/11/01 (土) 01:19:22 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、お返事ありがとうございます。

>>14

>点と点を線でつないだ数珠のような物を想像していただければと思います。
どうやら正解だったようで嬉しいです。数珠というのはわかりやすい例えですね。実はこのイメージにたどりつくまでかなり悩みました。

>素状態の正体は、まだ、わかっていません。
>でも、多分それは「物」ではありません。純粋に数学的な何かです。
>例をあげれば、群の元や素数、自然数のようなものです。
素状態の正体を示さなければ、論文を見た多くの人は未完成な理論だという印象が強くなるのではないでしょうか・・・。「純粋に数学的な何か」の候補がいくつか挙っていますが、どれが正解か判別する方法はないのですか?きっと難しいのでしょうね。


>>15

>確かにCPT対称性が成り立っていますね!
実際にノートに書いてみましたが、なるほど数学上はこうなるのかと納得しつつも、現実の世界がこの通りになっていると思うと、神秘的な、あるいは自分だけ神様に騙されているような不思議な気持ちになりました。
物理学者はいつもこんなことやってるんですね。面白いです。


>>16

>私は、この基底問題を解決できていると考えています。
おお。すごいですね。すると、あとは素状態の正体を解き明かすだけということでしょうか。でも、論文には「今後の課題」というのがいくつもありますね。論文を書くというのはきっと大変なんだろうなあ、と思いました。

>これは、ピタゴラスの定理のようなものです。
>ベクトルu+v=wにおいて、実数f(u)+f(v)=f(w)となる関数を考えると
>その関数は二乗しかないというものです。

そういうものだったんですね。初耳でした。

今回もたくさんのことに答えて頂きありがとうございました。

あと、関係ありませんが初音ミクの激唱を久しぶりに聞いて、あれ、こんないい曲だったっけかな、と懐かしくなりました。↓
http://www.geocities.jp/x_seek/event_theory.html
19 ghsobo 2014/11/01 (土) 07:49:42 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
>>11
 私が遠くへ言っている間に話が進んでいるようです。引き返すようですいません。勉強の意味で参加することをお許し下さい。自分は幾何学的というか地上に降りた話をしますのでこれもお許し下さい。
まず測度とは確率分布のことですね。ビームの進行方向はZですね。
 ビームの進行方向に対して垂直面がXY面になります。スピン1/2で磁場の向きがX軸と平行なSG装置なら上向きと下向きが何らかの確率の割合で観測されます。磁場の向きがX軸と90度傾けたすなわちY軸と平行なSG装置でもその装置内の上向きと下向きが何らかの確率の割合で観測されます。SG装置の傾は10度でも12度でも無数に取れます。任意に選択できます。これが世に言う自由意思?スピン1/2の場合は基底は(|↑>、|↓>)のふたつだけです。問題は異なる角度での確率振幅をどのような変換行列で結ぶかと思っています。
相対論で例えるなら異なる慣性系同士の変換行列はローレンツ変換ですね、これが重要です。
>測度が物理的意味を持つ物理量ならば
その測定装置を持っている観測者のみが物理的意味を持つのではと思います。
>これは許容できないことです。
許容できない意味が分からないです。
20 x_seek 2014/11/01 (土) 20:57:22 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ghsoboさん、コメントを頂き、ありがとうございます。

>>19
> >測度が物理的意味を持つ物理量ならば
> その測定装置を持っている観測者のみが物理的意味を持つのではと思います。
> >これは許容できないことです。
> 許容できない意味が分からないです。

多世界解釈には、さまざまなバージョンがあるのですが、
ありがたいことに、エイドリアン・ケントが1997年に、
それらのバージョンをまとめ、それぞれの問題点を指摘しています。

Against Many-Worlds Interpretations
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9703089

著者は論文の10頁でエベレットの測度には基底の問題があると指摘しています。
例えば、次の波動関数|φ>を考えます。

|φ>=a|x↑>|Φ0>+b|x↓>|Φ1>

|x↑>と|x↓>はスピンの状態です。|Φ0>と|Φ1>は測定装置の状態です。
この場合、測度はそれぞれ次のようになります。

m(x↑)=|a|^2
m(x↓)=|b|^2

しかし、このスピンの状態は、x軸ではなくy軸を基底に
選んで表現することもできます。

|φ>=c|y↑>|Ψ0>+d|y↓>|Ψ1>

この場合、測度はそれぞれ次のようになります。
m(y↑)=|c|^2
m(y↓)=|d|^2

著者の指摘は、エベレットの測度が物理的意味を持つ物理量ならば、
基底の選択によって異なるのはおかしいだろうというものです。

これは正確に言えば、「エイドリアン・ケントが解釈するところの
エベレットの測度」に対する指摘です。

というのも、エベレット自身は測度について多くを語らなかったため、
その解釈には任意性が残っているからです。

したがって、「ghsoboさんが解釈するところのエベレットの測度」が
「その測定装置を持っている観測者にとってのみ物理的意味を持つもの」
であれば、ghsoboさんのおっしゃるとおりだと思います。

ただ、エイドリアン・ケントの論文は引用件数も120件と多いため、
議論を建設的なものにするためには、
エイドリアン・ケントの解釈をベースとするのがよいと考えます。

そうしないと「いや、エベレットの測度とはこういうものだ」
というような議論となり、収束しなくなるためです。
21 x_seek 2014/11/01 (土) 20:59:34 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 11/02 (日) 09:12 [修正] [削除]
takoyakiさん、コメントを頂きありがとうございます。

>>18
> 素状態の正体を示さなければ、論文を見た多くの人は未完成な
> 理論だという印象が強くなるのではないでしょうか・・・。

そうですね。実際、これは未完成な理論です。
論文は、多様体の議論と素状態の議論から成るのですが、
多様体の議論には、素状態がまったく現れません。
これでは「素状態は本当にあるのか」という印象を与えると思います。

また肝心の「素状態を導く方程式」が、わかっていません。
それが正しい現状認識であり、この理論の重要な課題です。

> 「純粋に数学的な何か」の候補がいくつか挙っていますが、
> どれが正解か判別する方法はないのですか?きっと難しいのでしょうね。

「素状態を導く方程式」を発見し、そこからシュレーディンガー方程式を
導出すればよいのですが、非常に困難な道のりになると考えています。

> >確かにCPT対称性が成り立っていますね!
> 実際にノートに書いてみましたが、なるほど数学上はこうなるのかと
> 納得しつつも、現実の世界がこの通りになっていると思うと、
> 神秘的な、あるいは自分だけ神様に騙されているような
> 不思議な気持ちになりました。

ヒッグス機構も厳密ではないですが、説明できます。

 (1) exp(-ipx+iEt):x軸左巻,t軸右巻,進行方向x+,電荷−
  ↓P(x→-x)
 (2) exp(+ipx+iEt):x軸右巻,t軸右巻,進行方向x-,電荷−
  ↓T(t→-t)
 (3) exp(+ipx-iEt):x軸右巻,t軸左巻,進行方向x+,電荷+
  ↓C(p→-p,E→-E)
 (4) exp(+ipx-iEt):x軸左巻,t軸右巻,進行方向x+,電荷−

真空に(2)(3)が凝縮しているとしましょう。
そこへ(1)が飛んできて、(3)と対消滅し(2)が残ります。
(2)は進行方向が反対なので、元と逆方向に進みます。
そこにはまた別の反粒子・粒子が凝縮していて、
同様に反応し、進行方向が元に戻ります。

平均すると電子は遅くなり質量を持ったように見えます。
このようにしてヒッグス機構を理解できます。

ちなみに真空に凝縮した反粒子・粒子対から質量を得るという考え方は
東島先生の次の記事にも載っています。

質量の起源
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~higashij/kiji/mass.pdf

> >私は、この基底問題を解決できていると考えています。
> おお。すごいですね。すると、あとは素状態の正体を
> 解き明かすだけということでしょうか。

私は「ボルンの規則」が原理とはどうしても信じられませんでした。
原理にしては、あまりにも複雑であるように感じたからです。

「ボルンの規則」を説明するために素状態を導入しましたが、
素状態の正体がわからないので、結果的に謎が増えてしまいました。
一歩進んで100歩下がったような状態です。まぁ気長にがんばります。

> あと、関係ありませんが初音ミクの激唱を久しぶりに聞いて、
> あれ、こんないい曲だったっけかな、と懐かしくなりました。↓

2010年の曲なので、もう4年前なのですね。
私は歌詞に共感し、私のサイトで引用させてもらいました。
とてもいい曲だと思います。
22 takoyaki 2014/11/01 (土) 23:48:19 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>17 について

x_seekさん、お返事ありがとうございます。

・速度が定義できれば、同時も定義できるということ。
(時刻は最小時間の倍数だから、1t、2t、3t・・・と数えられる。ある速度を与えれば1t、2t、3t・・・後の世界に対応したすべての点の位置を定義できる)

・2点から速度は定義可能だということ。
(時間と距離が誕生するから)

たぶん、わかったような気がします。

>従来の多世界解釈では、同時線の平面を一つの世界としていたと思います。
>そのため、それを観測する観測者の数だけ世界が変わってきます。

>私の論文では、世界をもっと細かく分解しています。
>具体的には位置で分解しています。「位置固有状態」は
>空間の一点であるため、それは、どの観測者から見ても同じです。

難しいですねえ。元の質問の文脈では、
「観測者」は相対論における異なる慣性系(でいいんでしたっけ?)にあり、それぞれの世界の「同時」は別物じゃないか、というものだったかと思います。

「位置固有状態」が空間の一点(数学的な意味)であると断言しているところが、x_seekさんの捉え方の肝かと感じましたが、これは一種の「逆転の発想」でしょうか?
つまり、あらゆる観測者から見た場合の世界すらも、それぞれ離散的な点(位置固有状態)であると考えればいいのでしょうか?

いや、違うかな。
より細かく、というのは世界の分割方法が徹底してあらゆる方法で分割するという意味なのか、素状態の定義上の小ささがこれまでの常識を超えて小さいという意味なのか。

とりあえず究極の細かい世界で同時を定義できるとして、そこからどうやって日常的な相対性理論に結びつくのかイメージができません。
そもそも私が相対論をよくわかっていないのがいけないのもあると思いますが。

すみません、ここが私の限界でした・・・

今日の投稿はここまでにさせて頂きます。


23 takoyaki 2014/11/02 (日) 00:24:43 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
ニュースです。

http://irorio.jp/sakiyama/20141101/174642/

多世界解釈は検証可能だという論文が発表されたもようです。
どうなんでしょう?
24 甘泉法師 2014/11/02 (日) 08:49:30 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 11:33 [修正] [削除]
こんにちは。

他世界解釈にご興味のあるかたが御集りのようですので、本筋を離れて恐縮ですが教えていただきたいことがあります。

多世界解釈を勉強された方に基本的なことをおききしたいのですが
世界の数と確率は比例するのでしょうか。

たとえばニ択の結果の観測でわたしの得た結果の場合を1として、他の結果の相対的確率をαと量子力学が教える場合に

α=1 なら他の結果の世界がひとつある。
α=2 なら他の結果の世界がふたつある。
α=1.5 ならわたしは同じふたつの世界のどちらかにいる。他の結果の世界がみっつある。
α= $\sqrt{2}$ なら???

という具合に確率と等重率に基づく世界の数の統計が対応している
と考えて良いのでしょうか?



25 甘泉法師 2014/11/02 (日) 12:03:32 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

世界の総数を見積もってみます。 ごくごく控えめに
宇宙では等しい確率での二択の観測が毎秒1回行われてきたとすると
これまでの観測回数は 4x $10^{17}$  くらいなので
最初の宇宙がひとつの世界とすると現在の宇宙の数は
 $2^{4\cdot 10^{17}}$  個くらい

かなり控えめな見積もりですがそれでも相当な数ですね。

とりとめない感想でおじゃましました。
26 x_seek 2014/11/02 (日) 20:05:30 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
甘泉法師さん、ご質問を頂きありがとうございます。

>>24
> 多世界解釈を勉強された方に基本的なことをおききしたいのですが
> 世界の数と確率は比例するのでしょうか。

一般的な多世界解釈では、世界の個数を数える方法は明確ではありません。
世界の個数を数えるには「一個の世界とは何か」を深く考察する必要があります。

普通に考えると、私たちが認識するこの世界を一個の世界と
考えたくなります。実際、私たちは常に一個の世界にいると感じています。

でもそれでは、世界の粒度が粗いのです。
多世界解釈という考え方の適用が中途半端なのです。
世界をもっと細かく分ける必要があるのです。

そうしないと、相対論を考えた場合、慣性系の選択によって、
世界を数える単位が変わり、非常に困ります。

また、スピンを考えた場合にも、観測装置の磁場方向の選択によって、
世界を数える単位が変わり、非常に困ります。

私の論文では、次のような世界の個数の数え方を提案しています。
少し長いのですが、言葉を定義しないと世界の個数を説明できないのです。
どうか、お許しください。では説明を始めます。


最初に、閉じた空間一次元の宇宙に一個の電子があるとします。
その波動関数をψ(x)とします。ここで波動関数の絶対値を
表面積Sとする新しい内部空間を考えます。この空間を円環空間と呼びます。
ドーナッツのようなものを思い浮かべていただければと思います。

ここで論理をひっくり返します。
円環空間の表面積で波動関数の絶対値を定義します。

 |ψ|=S

計算を簡単にするため、
波動関数は宇宙空間に均等に分布していると仮定します。
私の論文では時空と波動関数の絶対値を離散的としています。
時空と波動関数の絶対値を最小距離で
薄くスライスし、細かくみじん切りした領域を素領域と呼びます。
ようかんのようなものを思い浮かべて頂ければと思います。

素領域には素状態が一個だけ含まれます。
それは点のような存在です。
ようかんに小豆が一個入っていると想像頂ければと思います。
素状態は素世界とも呼びます。

ここで論理をひっくり返します。
素領域に素状態があると考えるのではなく、
素状態がある場所の近傍が素領域だと考えるのです。

最小距離をuとして、宇宙の円周長をLとすれば、
世界の個数は次のようになります。

 (素世界の個数)=|ψ|L/u^3

次に、この宇宙にもう一つ電子を入れます。
すると波動関数はψ(x1,x2)と表現できます。

電子1が位置1cmの場所にあるケースにおいて
電子2が位置2cmの場所にある素世界と、
電子2が位置3cmの場所にある素世界は
それぞれ別の素世界になります。

私が横浜にいるとして、友人Aが東京にいる世界と
友人Aが大阪にいる世界は、それぞれ別の世界だからです。

そのため、素粒子が1個から2個に増えるだけで、
素世界の個数は非常に多くなります。

一方、私からみた友人の位置がプランク長ずれだだけでも、
それは別の世界です。
だから、世界の個数を数えるときには位置の最小単位で
割り算する必要があります。
そのため、世界の個数は、次のようになります。

 (素世界の個数)=|ψ|L^2/u^4

n個の場合は次のようになります。

 (素世界の個数)=|ψ|L^n/u^(2+n)

このように、素粒子の個数が増えるだけで
素世界の個数は莫大な個数に増えていきます。

(次の投稿につづく)
27 x_seek 2014/11/02 (日) 20:06:42 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 11/03 (月) 01:41 [修正] [削除]
甘泉法師さんへの回答の続きとなります。(2番目の投稿)

さて、私たちがパソコンの前に座っているとして、
実際に私たちが観測する世界を考えます。

私たちの周りには大量の素粒子が存在します。
それぞれの素粒子の位置はきっかりとは決まっていません。
ハイゼンベルクの不確定性原理に基づいて広がっています。
計算を簡単にするため、その広がりを一律でΔxとします。

原子中の電子はボーア半径程度に広がっています。
自由な電子については波束を想像頂ければと思います。

このような世界を局在状態または局在世界と呼ぶこととします。
素粒子の個数をn個として、
この局在世界が含んでいる素世界の個数は次のようになります。

 (素世界の個数)=|ψ|Δx^n/u^(2+n)

一般的な多世界解釈で、一個としてカウントしていた世界は
私の論文では局在世界であり、素世界の集合となります。

私たちが普段認識している世界は、局在世界であり、
膨大な数の素世界から構成されています。

仮にΔxがボーア半径だとしても、uはプランク長ですし、
nがアボガドロ数程度の大きな数なので、膨大な数です。
|ψ|の大きさはよくわかりませんが、観測にかからないため、
少なくとも原子の表面積よりは小さいと推定します。

この局在状態に含まれる素状態の個数は、
波動関数の絶対値の一乗に比例します。

さて、私たちが観測する事象とは何でしょうか?
ファインマンは事象を始状態と終状態の組として表現しました。
そのため、事象とは状態の組であると推定できます。

局在状態と、それに近いもう一つの局在状態を考え、
それぞれに含まれる素状態を線で結びます。
その線を素事象または素歴史と呼びます。
素歴史の本数は素世界の個数の二乗になります。
これは「ファインマンの経路積分」からの推論です。

このあたりの図を想像いただくのは困難だと思います。
私の論文に絵がありますので、それを見ていただくのがよいと思います。

多世界解釈と確率論によるボルンの規則の導出
http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm

局在世界と局在世界の組を局在歴史と呼びます。
局在歴史に含まれる素歴史の本数は次のようになります。

 (素歴史の本数)=|ψ|^2Δx^(2n)/u^(4+2n)


これで質問に答えるための言葉の定義ができました。

(次の投稿につづく)
28 x_seek 2014/11/02 (日) 20:08:04 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
甘泉法師さんへの回答の続きとなります。(3番目の投稿)

>>24
> たとえばニ択の結果の観測でわたしの得た結果の場合を1として、
> 他の結果の相対的確率をαと量子力学が教える場合に
>

> α=1 なら他の結果の世界がひとつある。
> α=2 なら他の結果の世界がふたつある。
> α=1.5 ならわたしは同じふたつの世界のどちらかにいる。
> 他の結果の世界がみっつある。
> α=  $\sqrt{2}$  なら???

私たちが観測するものは常に事象、歴史であって、状態、世界ではありません。
事象とは状態間の遷移です。
私たちが観測するものは常に局在事象、局在歴史であって、
位置が完全に確定した事象ではありません。
これは、ハイゼンベルクの不確定性原理によります。

観測確率とは、局在事象または局在歴史の発生確率のことなのです。
局在状態、局在世界は、発生するのではなく存在しています。
したがって、存在確率を定義することはできますが、
その存在確率自体を、直接観測することはできません。
なぜなら、それは存在確率であり発生確率ではないためです。
我々は何かが変化しないと、それを観測できないのです。

x軸の電子のスピンを考えた場合において、
x軸上向きを観測した歴史と、x軸下向きを観測した歴史は
それぞれ局在歴史とみなせます。

スピン上向きの局在世界の素世界の個数をN個とすると、
局在歴史にある素歴史の本数はN^2本です。

α=1ならば、
スピン下向きの局在世界の素世界の個数はN個であり、
局在歴史にある素歴史の本数はN^2本です。

α=2ならば、
スピン下向きの局在世界の素世界の個数は N√α 個であり、
局在歴史にある素歴史の本数はα N^2本です。

この論文では時空、波動関数の絶対値を離散的としており、
αはもともと素世界の個数の二乗の比で計算するので、
必ず有理数の二乗になります。
だからαが正確に2となることはありません。

α=1.5ならば、
スピン下向きの局在世界の素世界の個数は N√1.5 個であり、
局在歴史にある素歴史の本数は1.5 N^2本です。

この論文では時空、波動関数の絶対値を離散的としており、
もともとαは、素世界の個数の比の二乗から計算するので
αが無理数になることは決してありません。

(次の投稿につづく)
29 x_seek 2014/11/02 (日) 20:09:40 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
甘泉法師さんへの回答の続きとなります。(4番目の投稿)

>>24
> 多世界解釈を勉強された方に基本的なことをおききしたいのですが
> 世界の数と確率は比例するのでしょうか。

これまでの投稿で定義した言葉を使うと次の回答となります。

我々が一般に「確率」という言葉を使うとき、
それは、ある局在歴史を観測する確率を意味します。

我々が一般に「世界」という言葉を使うとき、
それは局在世界を意味します。

我々が一般に「世界の数」という言葉を使うとき、
それは局在世界が含む素世界の個数を意味します。

ある局在世界が含む素世界の個数をN個とします。
局在歴史とは局在世界の組です。したがって、
ある局在歴史が含む素歴史の本数はN^2本です。

世界の数が、局在世界を構成する素世界の数という意味ならば、
世界の数は、局在歴史の観測確率に比例しません。

ある局在歴史を観測する確率は、
その局在歴史が含む素歴史の本数に比例します。

普通に考えると、確率は世界の個数に比例する気がします。
しかし、それは実は正しくないのです。
本当は、歴史の数に比例するのです。
30 x_seek 2014/11/02 (日) 20:12:34 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、情報ありがとうございます。

>>23
> 多世界解釈は検証可能だという論文が発表されたもようです。

多世界解釈の論文がフィジカルレビューに載ったことはすばらしいことです。

「パラレルワールドは存在する」:物理学者らが提唱
http://irorio.jp/sakiyama/20141101/174642/

Griffith scientists propose existence and interaction of parallel worlds
http://www.eurekalert.org/pub_releases/2014-10/gu-gsp102914.php

Quantum Phenomena Modeled by Interactions between Many Classical Worlds
https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.4.041013#s1

論文主題は「多古典世界間の相互作用による量子現象模型」、
Many Interacting Worlds (MWI) approach は、
「多相互作用世界漸近法」といったところでしょうか。

K個の粒子に対する配位空間に「世界粒子」をN個おいて、
ドブロイ・ボーム解釈で時間発展させているようです。

下記記述は注目したいと思います。
・観測者が、自分がどの世界にいるかわからないときに確率が生じる。
・ラプラスの確率論で、各世界に同じ重みを与える。
・確率は、各クラスで分類された世界の個数に比例する。

天下りに下記式(2)を与えているところは、残念です。

P_t(q)=|Ψ_t(q)|^2 (2)

なぜ、波動関数の絶対値の二乗が世界の個数を与えるのでしょうか?

また、論文は「スピンがない」粒子を対象としています。
この「スピンがない」と言っているところが注目すべきポイントだと思います。
著者は論文で「スピンがある」場合をうまく説明できなかったと推測します。
実際、著者は論文で、スピンは今後の課題だと述べています。

多世界解釈でスピンを扱うのは非常に困難です。
なぜなら、基底の選び方で世界の個数が変わるためです。

最初にN個の世界粒子で始めると、時間発展に対し、軌道を与えます。
軌道の本数は時間発展に対し不変なので、分岐も合流もできません。
私もかつて同様のモデルを考えましたが、次の理由で棄却しました。

・ある個人がある軌道に乗っていると、未来が確定する。しかし
 それは、ベルの定理、アスペの実験に反する。

この問題の対応は難しいと思います。
31 x_seek 2014/11/02 (日) 20:28:21 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 11/03 (月) 01:22 [修正] [削除]
甘泉法師さん、こんにちは。

>>25
> 最初の宇宙がひとつの世界とすると現在の宇宙の数は
>  $2^{4\cdot 10^{17}}$  個くらい

水素原子にある電子を基に、素世界の個数を数えてみます。

ボーア半径は0.5*10^(-10) [m]
水素原子の体積は約 10^(-10*3) [m^3]。
プランク長は、10^(-35) [m]
素領域の体積は約10^(-35*3) [m^3]

水素原子の体積を素領域で割れば素世界の個数がわかります。
素世界の個数は、たった一個の水素原子を基に考えても、
10^(25*3)個あります。

宇宙内の原子の個数を10^100個とすれば、
素世界は(10^(25*3))^10^100個あります。

しかも、この見積もりには、波動関数の絶対値が入っていません。
宇宙の素世界の個数は、もっと多いということになります。
32 x_seek 2014/11/02 (日) 22:40:34 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>22
> とりあえず究極の細かい世界で同時を定義できるとして、
> そこからどうやって日常的な相対性理論に結びつくのか
> イメージができません。

私が
>>8
で、空間的な分布により速度が決まると伝えましたが、
空間的に広がっていないと速度が決まりません。
同時線も定義できません。

もし、孤立した位置固有状態の粒子が存在したら、
ハイゼンベルクの不確定性原理により
運動量の不確定性が非常に大きくなってしまいます。

しかし、現実の粒子は、少しだけ広がり局在しているので、
そのようなことは起こりません。

速度と同時線を適切に定義するには局在状態が必要です。
33 takoyaki 2014/11/03 (月) 00:06:31 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、お忙しい中私の書き込みにも応じて下さりありがとうございます。

甘泉法師さんへのコメントの中にあった、
>一般的な多世界解釈で、一個としてカウントしていた世界は
>私の論文では局在世界であり、素世界の集合となります。
を読んで、なんとなくイメージが湧いてきました。

>空間的に広がっていないと速度が決まりません。
>同時線も定義できません。
はっきりとは理解していませんが、局在状態を考えることで、既存の物理法則への橋渡しが可能になるという意味かな?と思うようになりました。もともと物理の知識が不足しているので、あいまいなイメージしか持てないのが悲しいところです。私以外の方にも是非x_seekさんの論文に挑戦して頂きたいですね。

幸い、近頃他の皆様もx_seekさんに質問されているので、予備知識のない私のほうは置いといて、是非有意義な議論を優先して頂いて結構ですので、どうぞそちらを頑張ってください。私はまだヒッグス機構の書き込みをよく読み込んでなくて、あれをノートに書いて調べてみたいと思っています。それが終わったら、またお返事を書きます。よろしくお願いします。

>>21
>「ボルンの規則」を説明するために素状態を導入しましたが、
>素状態の正体がわからないので、結果的に謎が増えてしまいました。
>一歩進んで100歩下がったような状態です。まぁ気長にがんばります。
そんなことはないはずです。謎は増えても、大きな目で見れば絶対に前へ進んでいるはずです。私はそう思います!

>>30
論文の内容を教えて下さりありがとうございます。
普段なら雑誌の記事なるまで知ることができないような内容を、わずか一日で教えて頂けて大興奮です。わくわくしながら読ませて頂きました。
>観測者が、自分がどの世界にいるかわからないときに確率が生じる。
このアイデアが面白いですね。私は納得感がありそうな気がします。何か匂います。
それ以外のところはx_seekさんの鋭い指摘があるので、イマイチだったのかなあ、と思いました。

多世界解釈には色々なものがある、という意見をこの掲示板で複数回目にしましたが、本当にそうなんだなあ、と思いました。
34 甘泉法師 2014/11/03 (月) 00:18:18 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。 

x_seekさん たくさん御説明をいただきました。

勉強が足りず理解できないところばかりです。 ありがとうございました。
35 x_seek 2014/11/03 (月) 11:19:40 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
甘泉法師さん、こんにちは。

>>34
甘泉法師さんにご理解いただけないのは、
私の説明方法に問題があるためだと思います。

私は、誰もが理解できるような説明にしたいと思っています。
しかし、どのように改善すればよいのか、よくわからないのです。

もし甘泉法師さんにご理解いただけないのであれば、
きっと、他の誰にも理解できないと思います。

私の説明を改善するためのヒントとしたいので、
もし、よろしければ、甘泉法師さんが、理解できないなと、
お感じになられた所を、一箇所でも構いませんので、
教えていただけないでしょうか?

きっと、下記のような所だと思うのですが、いかがでしょうか?

(1) 波動関数の絶対値を多様体の表面積と解釈すること。
(2) 波動関数の多様体をみじん切りにして素状態を作ること。
(3) 素状態をつなげて素事象をつくること。
(4) 確率が世界の個数ではなく素事象の本数に比例すること。

どうか、よろしくお願いします。
36 x_seek 2014/11/03 (月) 21:12:26 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさんから頂いた疑問に回答します。

>>3
> A同じ真空の中にいても、観測者によって感じられる粒子の個数が変わるという
> 定理があったような気がするのですが、それとは無矛盾なんでしょうか?

> B宇宙の歴史を「経路固有歴史」と見た場合、
>  その歴史の中に含まれるそれぞれの空間的位置に対して、
>  「同時」という概念を定義できるのでしょうか?

論文では、次の多変数関数を使っています。

ψ(r1,r2,r3,...,rn)

しかし指摘Aの観点では、粒子の個数が変わるため使えません。
また指摘Bの観点でも、同時の選択により関数が変わるため使えません。
本来は、次の汎関数を使う必要があります。

Ψ[ψ(x)]

汎関数とは、ある関数を引数にすると、一つの値が決まる関数のことです。
例えば、f(x)を引数とする汎関数を F[f(x)] と書きます。

ただ、あまりにも見通しが悪いので、もう少し考え直してみたいと思います。
汎関数は、次の指摘にも関係しています。

> 第二波動関数の多様体を導くまでの数学的プロセスが難しくて理解できませんでした。

この汎関数を第二波動関数と呼んでいます。
この内容も、説明が不十分であるため、見直そうと思います。
37 x_seek 2014/11/03 (月) 21:13:57 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさんから頂いた意見にコメントします。

>>3
> もしもアインシュタインがアスペの実験の結果を知っていたら、
> 多世界解釈のほうが「まとも」だと言ったんじゃなかろうかと、私は思っています。

私も、そう思います。

相対論では、ある人の過去は、ある人の未来です。
ある人の過去は、しっかりと存在しています。
だから、ある人の未来が存在しないなんて、私には考えられません。
しかし、アスペの実験によると、未来は不確定です。
まとめると下記です。

・命題1:未来は存在する。
・命題2:未来は不確定。

上記二つの命題を同時に満たすには、
次のように考えるしかないと私は思います。

・未来はたくさん存在する。

> でも、私自身はまだ多世界解釈を信じてはいません。

それでよいと思います。多世界解釈は、積極的に選ぶものではなく、
消去法の結果、やむを得ず選ぶものだと思います。
38 x_seek 2014/11/03 (月) 21:15:19 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさんから頂いたアイデアにコメントします。

>>3
> もし宇宙が有限の素状態と素事象で表現できるなら、
> たかだか100個の素状態からも宇宙は作れるはず。
> だとすれば、コンピュータシミュレーションで有効性を
> 検証することも可能なのではないでしょうか?

これは、そのとおりだと思います。考えてみようと思います。

ただ、論理のステップがかなり跳びますが、
次のゼータ関数のマンデルブロ集合は、そのような
宇宙のトイモデルになっていると考えています。

ゼータ関数のマンデルブロ集合
http://www.geocities.jp/x_seek/mandel.html

マンデルブロ集合は一種の力学系なのです。

一般のマンデルブロ集合は人工的ですが、
このマンデルブロ集合はとても自然です。

トンネルの左と右から穴を掘っているように、
そのうち、つながるのではないかと推測しています。
39 takoyaki 2014/11/03 (月) 22:55:07 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、たくさんのコメントありがとうございます。
こんなに丁寧にお返事がもらえて大変光栄です。
ようやっと>>3への回答が出揃いましたね。
今日は仕事で疲れていて私はあまり頭が回っていないのですが、一つだけわかったことがあります。
x_seekさんは、私の知らないことをたくさん知っているすごい人です。
一方で私は知らないことが多すぎて、x_seekさんの話に追いつけず、素人の疑問をひっきりなしにぶつけるのはただの迷惑なのではないかと思う気持ちもありました。
しかし、x_seekさんがもし「一般人へも分かりやすい説明」を求めておられるなら、少しは私もお役に立てるかもしれません。なんせ、何が分からないのかなら私はよくわかっているわけですからw
そんなわけで、明日なら時間があるので、現時点でわかったことと、わからなかったことをちょっとまとめてみようかな、なんて思っています。

>>37
アインシュタインがどう思っていたかなんて結局はわかりませんけど、x_seekさんにも同意していただけたのは嬉しかったです。ときには、こういうことをフランクに考えてみるのも楽しいですね。
>多世界解釈は、積極的に選ぶものではなく、
>消去法の結果、やむを得ず選ぶものだと思います。
このような考え方は好きです。「消去法」さえ正しければ、いかに結論がとんでもないものであっても、それは「科学的」だと思います。
現に今の素粒子物理学の一般向けの解説なんて、「インテリがグルになって、無教養な人々を騙しているんじゃないか」と思いたくなるほどぶっ飛んだ内容です。でも、誠意を持って耳を傾けると、消去法によって非常識な世界観へと追い込まれていく科学の歴史を知ることができます。結局は受け入れるしかないのだと考えるようになります。ただ、そのレベルが得られた知識によって変わってくるという話だと思います。私は素人なので、本場の科学者よりもずっとラフに現実を捉えています。そういう人々にとって知ることは恐ろしくもあり、同時にエキサイティングでもあります。

>>38
コンピュータシミュレーションのアイデアは、私がかなり調子に乗って書いた内容でしたが、「その通りだと思います」とのコメントを頂いて、逆にそわそわしてしまいました。
私ごときがなんだか偉そうなことを言ってすみませんでした・・・。でも、ちょっぴり嬉しいです。もし素人の思いつきでも、何かのヒントになったのであれば幸いです。

>ただ、論理のステップがかなり跳びますが、
>次のゼータ関数のマンデルブロ集合は、そのような
>宇宙のトイモデルになっていると考えています。
おそらく直観的なレベルの話をされているのだと思います。しかし正直、私の数学的なセンスでは関連性を見いだすことができません。
マンデルブロ集合はフラクタルな図形として有名ですよね。どんなに拡大しても、際限なく同じ複雑さの絵が現れます。
一方でx_seekさんの主張は、拡大していくと離散的かつ有限な個数の「素」から世界は構成されている、というものと捉えています。
二つのイメージは私の頭の中では相容れません。 why? と、思うわけです。

>トンネルの左と右から穴を掘っているように、
>そのうち、つながるのではないかと推測しています。
いずれつながる、というのを私なりに想像してみると、まるで「0は無限である」みたいな飛躍があるような話に感じてしまいます。
しかし、x_seekさんが、ゼータ関数、自然数、マンデルブロ集合などに興味を持たれているのにはきっと何か理由があるのでしょうね。そういった高尚な数学世界に触れることができるのを羨ましく感じます。私にはまだわかりません。


40 takoyaki 2014/11/04 (火) 21:03:05 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>21
ヒッグス機構について教えて頂き、ありがとうございました。
対消滅の連鎖反応が、あたかも一つの粒子が進んでいるように見えるのは面白い仕組みだなと思いました。場の量子論の雰囲気がちょっと伝わってくる感じがして、ろくに量子力学を理解してない私がズルをして先にゴール付近まで来てしまったような可笑しさを感じました。すごく面白かったです。
東島先生の『質量の起源』も読みました。
現代物理学のエッセンスを凝縮してあるように感じました。正直、途中から数式が難しすぎて理解できませんでしたが「ヘリシティ」というのが面白いですね。
質量が0だと光速なので、誰から見ても回転の向き(粒子の進行方向)は変わらない。
質量が生まれると、自分より速い人からは逆回転に見える。(負の方向が生まれる)
ディラック方程式では、質量は右巻きと左巻きの ヘリシティの混じり具合を表している。
質量のないワイル方程式(美しい対称性を持つ)と質量のあるディラック方程式の比較から、「対称性の破れ」こそが質量の起源であるという仕組みが見えてくる。
なんとなく大雑把にそんなストーリーを読んだつもりになってます。

ふと思ったのですが、素人には理解できない数式の含まれる読み物でも、ストーリーがあると面白く読めるんですね。
41 x_seek 2014/11/05 (水) 23:27:14 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
甘泉法師さん、こんにちは。

下記質問は、自分勝手な質問でしたので、取り下げます。
申し訳ありません。

>>35
> 私の説明を改善するためのヒントとしたいので、
> もし、よろしければ、甘泉法師さんが、理解できないなと、
> お感じになられた所を、一箇所でも構いませんので、
> 教えていただけないでしょうか?

世界の個数に関する私見を長く説明してしまいましたが、
それもすべて忘れ、改めて簡潔に回答したいと思います。

>>24
> 世界の数と確率は比例するのでしょうか。

はい。世界の数と確率は比例すると思います。

> たとえばニ択の結果の観測でわたしの得た結果の場合を1として、
> 他の結果の相対的確率をαと量子力学が教える場合に
> α=1 なら他の結果の世界がひとつある。
> α=2 なら他の結果の世界がふたつある。
> α=1.5 ならわたしは同じふたつの世界のどちらかにいる。他の結果の世界がみっつある。

甘泉法師さんの、推測のとおりと思います。

> α=  $\sqrt{2}$  なら???

Nを大きな数とすると他の結果の世界の個数との比はN:N $\sqrt{2}$ となります。

> という具合に確率と等重率に基づく世界の数の統計が対応している
> と考えて良いのでしょうか?

はい。等重率に基づく世界の数の統計が対応していると思います。

甘泉法師さんや、他の方にも、ぜひ考えてみてほしい問題があります。
次のスピンの波動関数を考えます。

 |ψ>=|↑>+2|↓>

この場合、スピン上向きの世界は1個、下向きの世界は4個になりますが、
どのような仕組みで係数の2が、4個の世界になっていると思いますか?
42 x_seek 2014/11/05 (水) 23:29:20 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは!

> ようやっと>>3への回答が出揃いましたね。

頂いた疑問のA粒子数とB同時線は、回答が難しくて後回しにしてました。

粒子数と同時線の問題はセットの問題で、
私にとっては解決の目処すら立たないとても難しい問題でした。

2年前に、ようやく「場の量子論の汎関数を使えば解けそうだ」
という所まで来ました。
でも、あまりに見通しが悪いので、実際に解いてはいません。
だから、この疑問は、まさに急所だったのです。

したがって、takoyakiさんは、いきなり私の論文の急所を
突いたということになります。少し痛かったですが…(笑)

> 今日は仕事で疲れていて私はあまり頭が回っていないのですが、
> 一つだけわかったことがあります。
> x_seekさんは、私の知らないことをたくさん知っているすごい人です。

ありがとうございます。
私もtakoyakiさんとの会話で一つわかったことがあります。
それは「答え」よりも「問い」の方が大切だということです。

実は、問いに答えるよりも、問いを立てる方が難しいのです。
何が何だがよくわからない問題は、良い問いを立てることができれば、
もう9割がた解けたようなものなのです。

昔は問うことが多かったのですが、最近はめっきり問うことがなくなっていました。
昔は「自分は何も知らない」という意識が強かったのですが、
最近は、その意識が薄れてきていたようです。これは反省要ですね。(^^;)
私には、まだまだ、たくさん知らないことがあるのです。

> 一方で私は知らないことが多すぎて、x_seekさんの話に追いつけず、
> 素人の疑問をひっきりなしにぶつけるのはただの迷惑なのではないかと
> 思う気持ちもありました。

というわけで、とても、ありがたかったのです。おかげで、
1年半もの間、ほったからしにしていた最初の論文を久しぶりに考えることができました。
問われることは、考えることでもあるのです。考えたことによって、
論文に不十分な箇所が多いことを認識することができました。

> 現に今の素粒子物理学の一般向けの解説なんて、
> 「インテリがグルになって、無教養な人々を騙しているんじゃないか」と
> 思いたくなるほどぶっ飛んだ内容です。

そうですね。(笑) 大栗先生も超弦理論入門で、
「空間は幻想である」「時間は幻想か」と書かれています。
一般の方は「なに言ってんだろう」って思うんじゃないでしょうか。
でも私は、大栗先生の言葉は正しいと思うのです。

> マンデルブロ集合はフラクタルな図形として有名ですよね。
> どんなに拡大しても、際限なく同じ複雑さの絵が現れます。
> 一方でx_seekさんの主張は、拡大していくと離散的かつ有限な
> 個数の「素」から世界は構成されている、というものと捉えています。
> 二つのイメージは私の頭の中では相容れません。 why? と、思うわけです。

そうそう。いい感じです。私も、まさにそのように思ってました。
普通のマンデルブロ集合は複素数で描かれますが、本物(?)の
マンデルブロ集合はモンスター群で描かれるんじゃないかと思ってます。

モンスター群というのは変換の種類が10^54個もある、でっかい群です。
物理学者のダイソンも次のように言ってます。

  私はひそかなる期待を持っている。その期待を裏付けるいかなる事実も、
  ましてや、いかなる証拠もない。しかし私は、期待しているのだ。
  21世紀のある日、物理学者たちが、思いも寄らない方法で宇宙の構造に
  組み込まれている、モンスター群に遭遇することを。

> いずれつながる、というのを私なりに想像してみると、
> まるで「0は無限である」みたいな飛躍があるような話に感じてしまいます。

私の多世界解釈の論文が、ゼータ関数といつかつながるという根拠は何もありません。
でも、ゼータ関数には、宇宙の秘密が隠されているような気がするのです。
たとえば、ゼータ関数の次の式などは、超弦理論で現れたりします。

 ζ(-1) = "1+2+3+..." = -1/12

とても不思議な式ですよね。

私は不思議なものが好きですが、
不思議なものを不思議なまま置いておくのは好きではありません。
不思議なものを自分が納得するまで理解することが好きなのです。
43 takoyaki 2014/11/05 (水) 23:42:14 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
-1/12
については別のスレッドで、かなり深い議論をされていましたね。
くりこみがどうだとか・・・
私には全くついていけない内容でしたが、数学の議論をするのに物理を例に出すのが、なんとも不思議な光景に感じました。
ペリルマンがポアンカレ予想を解いたときも、物理用語を使っていたというのを何かで見た気がします。
自然は数学によって成り立っているから、自然から数学を学ぼうみたいな発想なんでしょうか?
44 takoyaki 2014/11/06 (木) 21:32:09 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>42のお返事と、論文についてまた感想があります。

>したがって、takoyakiさんは、いきなり私の論文の急所を
>突いたということになります。少し痛かったですが…(笑)
まさかそんなふうに感じておられたとは夢にも思っていませんでした。
x_seekさんの急所に当たったのは、きっと偶然です。改めて論文を読んでみましたが、波動関数がなぜ二次元トーラスの置き換えられるのか、未だにさっぱりわかりません。つまり、私は半分以上、いやそれ以上、理解していないのです。だから、偶然ですよ(笑

>私もtakoyakiさんとの会話で一つわかったことがあります。
>それは「答え」よりも「問い」の方が大切だということです。
そんなふうに受け取って頂けるのは本当に有り難いです。
最近ますます自分が数学を知らないことを自覚するようになって、へこみ気味です。しかし、諦めずに問い続ける意志を大切にしようと思います。
x_seekさんも悩んだり、わからないことがあるのだと知り、親近感が湧きました。

>私の多世界解釈の論文が、ゼータ関数といつかつながるという根拠は何もありません。
別のスレッドで、私が天才について尋ねると、EMANさんは「天才の発想は、説明のつかない奇怪な信仰、筋道の通らない独善的な信条、理由のない信念、強迫観念に似た地道な努力、突如下る啓示の類が源泉だったりします。彼らがどうしてそのアイデアに辿り着いたのか、説明できないことが多いです」と、仰っていました。なかなか、いい感じではないですか。(すみません、偉そうな口を聞いて。ジョークだと思ってください)


さて、論文の内容を改めて読んで、前よりちょっぴりわかったような気がします。そこで、思ったことをご報告したいと思います。
<わかったかも?しれないこと>
@多世界解釈の問題点はボルンの規則の導出に尽きる。
 基底問題はエヴェレットの解釈が内包する問題であって、汎関数を使えば解消できそう。
Aホイーラーとデウィットは世界を一つの「宇宙波動関数」で考えた。
Bx_seek式多世界解釈では、「宇宙波動関数」を素状態に見立てたような汎関数、
 第二波動関数を考える。これにより、基底問題、観測者の問題は解消できると考える。
 なぜなら、観測されうるすべての事象が、それに含まれるからである。
Cx_seek式多世界解釈では、波動関数を有限の離散的な素状態の並びで考える。
D確率は素事象の個数に比例し、素事象の個数は素状態の個数の2乗となる。
E電子の二重スリット実験をx_seek式多世界解釈で考えてみる。
 電子の到達する範囲が「局在状態」と思われる。
 電子がスクリーンのある点に現れる確率の大きさが「位置固有状態」と思われる。
 その点に電子が現れた世界の個数=素状態の個数と思われる。
 素状態の個数の二乗が確率になるのは、経路積分の網目構造で説明できる。
F図3.7に網目構造が描かれている。もし、この図にt‘+2tpやt‘+3tpを描き足していくと
 経路の数は指数関数的に増えていくだろう。
 これによって、時間の矢が説明できるものと思われる。


こんな感じです。間違っているかもしれません。たぶん、間違っているのでしょう。
それから、x_seekさんのこれまでの書き込みを見ると・・・

>素状態の正体は、まだ、わかっていません。

>論文は、多様体の議論と素状態の議論から成るのですが、
>多様体の議論には、素状態がまったく現れません。

>「素状態を導く方程式」を発見し、そこからシュレーディンガー方程式を
>導出すればよいのですが、非常に困難な道のりになると考えています。

>私の多世界解釈の論文が、ゼータ関数といつかつながるという根拠は何もありません。

と、痛いところばかり取り出して申し訳ないのですが、今のところこれらの問題には答えられないとわかったことも、重要な知識です。
論文を初めて見たときには、そのような問題点があることに気付きませんでした。

長文になってしまいまして申し訳ありません。いかがでしょうか?
お暇な時にコメントを頂ければ結構です。
よろしくお願いします。
45 x_seek 2014/11/07 (金) 00:53:40 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 01:25 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>44
ありがとうございます!
すぐにでも回答したいコメントもあるのですが、
後日、順にコメントしていきたいと思います。

>>33
> はっきりとは理解していませんが、局在状態を考えることで、
> 既存の物理法則への橋渡しが可能になるという意味かな?と思うようになりました。

1999年の時点では、局在状態という概念に気づいていませんでした。
「経路積分の網目構造」をまじめに電子に適用してしまうと、
目の前の電子が、一瞬で遠くまで飛ぶような現象が起きてしまうので、
とても悩んでいました。

ファインマンの経路積分については、次のページがわかりやすいと思います。

経路積分とは何か?(Applet同梱版)その3
http://homepage3.nifty.com/iromono/movingtext/pathintegral3.html
昔niftyサイエンスフォーラム(FSCI)にいらした前野昌弘先生のページです。

時間が離散的である場合、
この経路積分の考え方を、空間の一点に存在する粒子に適用すると、
プランク秒後に、ずっと遠くまで飛んでいってしまいます。
困ったことに、これを禁止する理由が何もないんですね。

経路積分の教科書では、出発地点と到着地点を、それぞれ一点で固定します。
そして、わずかに異なる経路を考えて、打消しの効果を議論するのです。

しかし、時間が離散的である場合、最小時間があるため、
出発地点と、最小時間後の到着地点をそれぞれ一点で固定してしまうと、
わずかに異なる経路を取れないのです。そのため打ち消しが起こりません。
これでは、電子が、一瞬で遠くまで飛んでいってしまいます。

この話は、粒子がディラックのデルタ関数のように、
空間の一点に存在するケースと同じです。
ディラックのデルタ関数をフーリエ展開すると、あらゆる波長の波を
含んでいるから、あらゆる運動量の粒子の重ね合わせになっています。
そのため一瞬後には、すごく遠くまで飛んでいきます。これと同じ原理です。

これについて、ずっと悩んでいたのですが、2年前に、
「そもそも空間の一点だけに存在する粒子って本当にあるんだっけ?」
と思いました。

よく考えると、電子の位置を測定する場合、少し幅があります。
例えば、電子をスクリーンで検出する場合、
原子の大きさよりも高い精度では電子の位置を測れません。
つまり、少なくとも原子の大きさ程度には電子は広がっているのです。

それで、少し広がっていると、何が起きるかというと、
経路積分で、非常に遠くに飛んでいくケースで、
到着地点において打消しが起きます。
それは、電子の出発地点がガウス分布で広がっているからです。

つまり、遠くに飛んでいってしまう確率は
存在するんだけど、遠くのある到着地点で見れば、
出発地点が広がっているがゆえに打ち消しあって、
実際に飛んでいく確率は非常に小さくなるということです。

さっきのディラックのデルタ関数で考えると、実際には
粒子はデルタ関数のような状態で存在するのではなく、ガウス分布しています。
ガウス分布をフーリエ展開しても、波長分布はやはりガウス分布になります。
そのため、いきなり遠くへ飛んでいく確率は非常に低いのです。

標語的に書けば、
「少し広がっているから、遠くへ飛んでいかない」
となります。

つまり、我々の世界が安定して存在し続けることができるのは、
我々の世界と、粒子の位置が少し異なる世界が大量に存在するからなのです。


この新たに気づいた概念に名前をつける必要がありました。
かなり悩んだのですが、似た概念として「アンダーソン局在」という
物理用語があったので、それに合わせて「局在状態」という名前をつけました。

上記の説明が「局在状態による長距離遷移の抑止」というものです。
この説明で、イメージがつかめるでしょうか?

本当は、こういった考え方も論文に丁寧に書かねばならないのですが、
書けてないですね。(^^;)
46 takoyaki 2014/11/08 (土) 01:41:49 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>45
しばし長考させて下さい。
考えがまとまったら、お返事を書かせて頂きます。
よろしくお願いします。
47 x_seek 2014/11/08 (土) 14:17:55 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>46
経路積分で説明するのは、あまりにも無茶振りだったかもしれません。
ごめんなさい。

次のような光の回折を考えてみてはいただけないでしょうか?


――――――― スクリーン


――― ――― スリット

___↑光


スリットを光の波長より狭くすると、光の到着地点が横に広がります。
光を広がらせないためには、スリットにある程度の広さが必要です。

このことが
>>45
> 「少し広がっているから、遠くへ飛んでいかない」
の意味となります。
48 x_seek 2014/11/08 (土) 14:35:51 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>33
> >観測者が、自分がどの世界にいるかわからないときに確率が生じる。
> このアイデアが面白いですね。私は納得感がありそうな気がします。
> 何か匂います。

はい。これは多世界解釈で確率を考える上で重要な概念です。
多世界解釈を考察してきた自分にとっては、当然の概念なのですが、
よく考えると、一般的には非常に理解困難な概念ですね。(^^;)

自分がどの世界にいるのか、わからないのであれば、
それら全部の世界に、自分がいると解釈できます。

逆に言えば、自分が認識するこの世界と、ほぼ同じ世界が、
大量に存在するということです。


> それ以外のところはx_seekさんの鋭い指摘があるので、
> イマイチだったのかなあ、と思いました。

私は、とても価値ある前進だと思っています。

ラプラスの確率論で、各世界に同じ重みを与えるという認識を
持ったことは、非常に注目すべきです。というのも、
多世界解釈の支持者には、各世界に異なる確率の重みを
与える人が実際に存在するからです。

確率が世界の個数に比例するという認識を持った人は
波動関数から世界の個数を導く仕組みを考え始めるはずです。
なぜなら、波動関数と世界の個数は、一方は複素数、
一方は自然数であり、一見、まったく結びつかないためです。

  なぜ波動関数が世界の個数と関係するのか?

この問いの答えを人々が真剣に考え始める時が、きっと来ると思います。
49 takoyaki 2014/11/08 (土) 20:37:16 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、>>45>>47長考しましたが、まだよくわからないです。

前野先生のページで経路積分のイメージは分かりました。
位相のズレがない経路が結果的に残る、というイメージはOKです。
(前野先生のページは面白いですね)

離散的な世界では粒子が遠くへ飛んでいってしまうというのも何となく分かります。
というより、そういう粒子を「ほぼ完全に消す」ことができないということが問題ですね。

「ディラックのδ関数をフーリエ展開」は数学的すぎて、今の私には無理です。
しかし、これはあくまで例示なので、深くこだわらないことに。(すみません)

>それで、少し広がっていると、何が起きるかというと、
>経路積分で、非常に遠くに飛んでいくケースで、
>到着地点において打消しが起きます。
>それは、電子の出発地点がガウス分布で広がっているからです。
ここが、わからない。と悩みました。
(遠い経路で打ち消しが起こってくれれば都合がいい、というのはわかる。
問題は、「生き残る経路」と「消えてしまう経路」で、「何が違うのか」ということだ。
非常に遠くに飛んでいく到着地点でのみ、打ち消しが起きる理由は何だろう?
出発地点がガウス分布であることは、近くに飛ぶ経路の到着地点でも同様なはずだ。)

光のスリットの例が新たに例示される。
>スリットを光の波長より狭くすると、光の到着地点が横に広がります。
>光を広がらせないためには、スリットにある程度の広さが必要です。

(回折が問題と深く関わっているらしい。
回折の仕組みがわかれば、前進しそうだ)

(そもそも、なんで回折って起きるんだ?)
(経路積分は出発地点を点で考えているのに、ガウス分布で考えていいのだろうか?)
(いったいどういう仕組みで到着地点の打ち消しが起きるのだろう?)

答えを見つけるとっかかりを探すも、探しあぐねてタイムオーバー。
(とりあえず、「わかりません」と打ち明けてしまおう)

現在。

こんな感じです。
せっかくヒントを頂いたのに、私はまだ修行が足りないようです。
しかし、雰囲気は伝わってきました。
「納得」はしていないけど「そういうこともあるかも」みたいな気持ちにはなっています。
とりあえず、ご報告までに。

50 takoyaki 2014/11/08 (土) 20:46:36 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>48

>ラプラスの確率論で、各世界に同じ重みを与えるという認識を
>持ったことは、非常に注目すべきです。というのも、
>多世界解釈の支持者には、各世界に異なる確率の重みを
>与える人が実際に存在するからです。

これを読んで、やっとエヴェレットの解釈とx_seekさんの解釈の根本的な違いが分かった気がしました。
エヴェレットの「測度」という概念は、「各世界に異なる確率の重みを与える」というアイデアだったのではないでしょうか?やっと日本語で説明できた気がします。

>なぜ波動関数が世界の個数と関係するのか?
それが不思議です。なぜ波動関数なんでしょう?
51 x_seek 2014/11/09 (日) 21:03:00 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 2015/01/11 (日) 08:02 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>49
> x_seekさん、>>45>>47長考しましたが、まだよくわからないです。

真剣に考えてもらって、とてもありがたいと思っています。

私の説明は、文を短くするために、論理をとばしてるところもあるので、
もっと、気楽に「わからない」といってもらったほうが、いいかもしれません。
あまり無理しないようにしてください。楽しく気楽にいきましょう。(^^)

> 前野先生のページで経路積分のイメージは分かりました。

すばらしい!
厳密にではなくイメージをつかめばよいと思います。
少し、経路積分について概略を解説したいと思います。

私の投稿(>>8)で波動関数を次のように表現しました。
<tex>\psi(x) = \exp(ipx)</tex>

この式はプランク定数 $\hbar$ (エイチバー)を省略していました。
本当は次のように書きます。
<tex>\psi(x) = \exp(\frac{i}{\hbar}px)</tex>

粒子の質量を $m$ 、速度を $v$ とすると運動量は下記です。
<tex>p=mv</tex>

これを代入すると下記です。
<tex>\psi(x)=\exp(\frac{i}{\hbar} mvx)</tex>

経路積分では、粒子がストップウォッチを持っていて、それがぐるぐる回るのです。
ストップウォッチが回る速度は、粒子が走る速度 $v$ に比例します。
ストップウォッチが回る角度は、粒子が走る距離 $x$ に比例します。

プランク秒を $t_P$ とすると、速度 $v$ は次のように書けます。
<tex>v=\frac{x}{t_P}</tex>

前の式に代入すると次のようになります。
<tex>\psi(x)=\exp(\frac{i}{\hbar t_P}mx^2)</tex>

> 離散的な世界では粒子が遠くへ飛んでいってしまうというのも何となく分かります。

何となくでもわかってもらってよかったです。
一瞬で遠くまで飛んでいくのは、ファインマンの経路積分の不思議なところです。
でも、普段は打ち消しあって、遠くまで飛んでいかないのです。

> というより、そういう粒子を「ほぼ完全に消す」ことができないということが問題ですね。

鋭いですね。そうです。完全に消えないことは問題なんです。

私も最初、このことに気づいたとき、致命的な問題だと思い、かなり悩みました。
それで、長距離の移動を完全に消す理屈を考えてみたのですが、うまくいきませんでした。

ここで私は、私の理論では、確率が出発点の状態数と、到着点の状態数の積になることを思い出しました。

出発点Aの状態数が千個。Aと近い場所Bの状態数が千個。遠くの状態数Cが10個とします。
次の記号で表現しましょう。
|A|=1,000
|B|=1,000
|C|=10

AからBへの事象数は次のとおりです。
M(A,B)=|A||B|=1,000×1,000=1,000,000
AからCへの事象数次のとおりです。
M(A,C)=|A||C|=1,000×10=10,000

事象M(A,C)が発生する確率は次のように約1%です。
 P=M(A,C)/M(A,B)=1%

そのため、遠くに飛ぶ事象の発生確率は低くなるのです。
一般的な世界数は10^10^100個(1グーゴルプレックス個)ぐらいなので、
発生確率はもっと低くなるのです。

このように、理論を詰めると解決困難な問題が生じ、よく考えると
それが理論の枠内で解決できるということが何度もありました。

> ディラックのδ関数をフーリエ展開」は数学的すぎて、今の私には無理です。
> しかし、これはあくまで例示なので、深くこだわらないことに。(すみません)

フーリエ展開は数学的に難しい内容でした。すいません。
数学的な内容は置いておいて、お話として聞いていただければと思います。

1822年にフーリエは「全ての関数はsinとcosで書ける」と言ったのです。
あまりにも直感に反する主張だったので当時の人は信じませんでした。

ディラックのデルタ関数は、摩天楼みたいに細くて高い関数なのですが、
これをsinとcosで表現すると、非常に短い波長から非常に長い波長までの
すべてのsinとcosが必要となるのです。

>>それで、少し広がっていると、何が起きるかというと、
>>経路積分で、非常に遠くに飛んでいくケースで、
>>到着地点において打消しが起きます。
>>それは、電子の出発地点がガウス分布で広がっているからです。
> ここが、わからない。と悩みました。
>(遠い経路で打ち消しが起こってくれれば都合がいい、というのはわかる。
> 問題は、「生き残る経路」と「消えてしまう経路」で、「何が違うのか」ということだ。
> 非常に遠くに飛んでいく到着地点でのみ、打ち消しが起きる理由は何だろう?
> 出発地点がガウス分布であることは、近くに飛ぶ経路の到着地点でも同様なはずだ。)

もっともな指摘です。鋭いです。よく考えてらっしゃいます。
私が、説明をとばしているためです。ごめんなさい。
さきほど、導いた経路積分の式を見てみます。
<tex>\psi(x)=\exp(\frac{i}{\hbar t_P}mx^2)</tex>

次のURLのページに、次の式を入力すれば、どんなグラフか確認できます。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=exp%28i%20x%5e2%29
exp(i x^2)

式をよく見ると、 $x$ が二乗で入っています。そのため、
 $x$ が大きいと、波長が非常に短くなるのです。また、
 $x$ が0に近いと、ほとんど変化しないのです。

 $x$ が大きいと、波長が非常に短いので、 $x$ を少し動かして合計すると、打ち消しあいます。
一方、 $x$ が0に近いと、波長が非常に長いので、
 $x$ を少し動かして合計しても、打ち消しあわないのです。

次のURLに次の式を入力すれば、打ち消すケースを確認できます。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%20exp%28i%20%28100%2bx%29%5e2%29%20exp%28%2dx%5e2%29%20dx%20from%20x%3d%2d10%20to%2010
integrate exp(i (100+x)^2) exp(-x^2) dx from x=-10 to 10

次のURLに次の式を入力すれば、打ち消さないケースを確認できます。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%20exp%28i%20x%5e2%29%20exp%28%2dx%5e2%29%20dx%20from%20x%3d%2d10%20to%2010
integrate exp(i x^2) exp(-x^2) dx from x=-10 to 10

>>スリットを光の波長より狭くすると、光の到着地点が横に広がります。
>>光を広がらせないためには、スリットにある程度の広さが必要です。
> ↓
> (回折が問題と深く関わっているらしい。
> 回折の仕組みがわかれば、前進しそうだ)
> ↓
> (そもそも、なんで回折って起きるんだ?)

そうですね。よく考えると不思議です。量子力学的な現象のようです。
不確定性原理と関係しています。

> (経路積分は出発地点を点で考えているのに、ガウス分布で考えていいのだろうか?)

経路積分は、到着地点を点にして、複数の出発地点からの異なる経路の和を取るのです。
だから、到着地点は点ですが、出発地点は複数あってよいのです。

> (いったいどういう仕組みで到着地点の打ち消しが起きるのだろう?)

前記の説明と同じ仕組みで打消しが起きます。

> 答えを見つけるとっかかりを探すも、探しあぐねてタイムオーバー。
> (とりあえず、「わかりません」と打ち明けてしまおう)

もっと、気楽に「わからない」と言ってもいいです。(^^)
なぜなら、説明を、とばしているところがあるからです。

ゆっくり、ていねいに時間をかけて、説明すれば、
大学レベルの知識を持つ方ならば誰でも理解できると思います。
(ただし、こんなのありえないと心の扉を閉ざされたら駄目ですが…)

> 「納得」はしていないけど「そういうこともあるかも」みたいな気持ちにはなっています。

「なんとなく納得できないなぁ」と思うところがあれば、
どうか遠慮せずに「わからない」と言ってください。

すいませんが、もう少しおつき合い願います。
こうして、自分が説明し、takoyakiさんに「わからない」といわれることで、
自分が「うまくいきそうだ」と計算をサボっているところを、
きっちり詰めれているからです。

今回も、次の疑問はすばらしい疑問でした。

> 非常に遠くに飛んでいく到着地点でのみ、打ち消しが起きる理由は何だろう?

私は定性的に理解していましたが、今回、定量的に計算し確認できました。

楽しく、気楽に、ゆっくりと進めたいと思います。よろしくお願いします。
52 takoyaki 2014/11/09 (日) 22:48:36 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、ありがとうございます。

今回は非常にわかりやすかったです。

>出発点Aの状態数が千個。Aと近い場所Bの状態数が千個。遠くの状態数Cが10個とします。
これと似たようなことを一番はじめに考えたのですよ。そして、分かった気になったのです。
ところが、光のスリットの話が出てきて、あれ、勘違いだったかなと思い、悩み始めました。
「状態数の数が違う」とはじめに考えたことも書いておけば良かったと思いました。
おかげさまで、だいぶスッキリしました。
自分でも同じような計算をしてみれば良かったと反省しています。
逆に光の回折が謎として残った感じです。
なぜ二つが同じ仕組みだと言えるのかが、私にはまだわかりません。


δ関数はざっくりと知っていたのです。でも、普通の関数と同じ扱いをしてはいけないと、ウィキペディアか何かに書いてあった気がして、下手に知ってるふりをしちゃいけないな、と思っていました。
フーリエ展開も解説本で読んだことがあります。関数の直交の概念が重要だということくらいは学びましたが、軽く目を通すくらいでちゃんとは理解していませんでした。私は「ちゃんと」読まずに、とにかく色んな本に目を通すタイプなんです。先にイメージを学んで、細かいところは後でいい、みたいな性格なんですね。
>sinとcosで表現すると、非常に短い波長から非常に長い波長までの
>すべてのsinとcosが必要となるのです。
そうなんですね。初めて知りました。

ちなみに私は大学で学んでいないので、数学はほとんど独学です。インターネットや本で物理の解説などに目を通しているうちに、なんとなく関連する用語を覚えてしまったみたいな人です。
初めは数学なんてやらずに、答えだけ知りたいと思っていましたが、なぜか気がつくと数学の本も読み始めるようになるんですね。

http://www.wolframalpha.com/
このページは便利ですね。
残念ながら
integrate exp(i (100+x)^2) exp(-x^2) dx from x=-10 to 10
integrate exp(i x^2) exp(-x^2) dx from x=-10 to 10
この二つは私のパソコンでは表示できませんでした。ブラウザの問題でしょうか?
MACの「safari」なんですけれど。

exp(ipx)
と、省略表記して頂けたのは有り難かったです。
もし初めからエイチバーやmが入っていたら、混乱していたと思います。
素人は変数の数が増えると、急に頭が痛くなるんです。
でも物理を理解するには式変形をしながら意味を追っていく根気が大切だとも思います。
これからは、なるべく追いつけるように頑張ります。

>楽しく、気楽に、ゆっくりと進めたいと思います。よろしくお願いします。
ありがとうございます。
そう言って頂けるとほっとします。
よろしくお願いします。
53 x_seek 2014/11/09 (日) 23:18:34 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
>>52
> exp(ipx)
> と、省略表記して頂けたのは有り難かったです。
> もし初めからエイチバーやmが入っていたら、混乱していたと思います。
> 素人は変数の数が増えると、急に頭が痛くなるんです。

私も変数の数が多いと理解できません。(笑)
数学書を読むと、いきなり変数がn個もあって、とても苦しみます。
(正直、変数は1個から始めてほしい)

複雑な式は、まず限界まで単純な式にして、
そこから少しずつ複雑にすることで理解するようにしています。
54 takoyaki 2014/11/10 (月) 00:25:09 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
フォン・ノイマンの言葉に
In mathematics you don't understand things. You just get used to them.
__________Johann von Neumann

「数学は慣れだよ」
というのがあるそうですね。

「いつまで経っても慣れそうな気がしないんですけど」
とノイマンに伝えたいです(笑)

でも、やっぱり使わないと身に付かないものなんだなとは思っています。
最近はちょっとだけモチベーションが上がってきました。
55 x_seek 2014/11/10 (月) 00:48:25 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
>>54

ありがとうございます。
でも研究者になれなかった私には、天才の言葉は参考にならないかな。(^^)

私は次の言葉を参考にしたいと思っています。

●グラショウ
 物理の勉強について触れて
 「物理は 〜よい音楽のように〜 くり返すほどよくなるのである」

引用元:量子力学の歴史 名言集 - 物理・光学の小部屋
http://homepage3.nifty.com/oya2/physics/qed/qed_f1.htm
56 takoyaki 2014/11/10 (月) 03:07:49 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
音楽に喩えるのはオシャレですね。
引用元の・・・
-------------------------------------------------------------------
ウィルソン(ロバート・R)[15]
 フェルミ研のシンクロトロンの予算折衝において、バスター上院議員に「我が国の
安全に役立つのか?」と問われて、
「全く何もありません。加速器はわが国の防衛には、なんの関わりを持ちませんが、
 我が国を守るだけの価値のあるものにするという点では関係があります」
-------------------------------------------------------------------
かっこいいですね。
57 x_seek 2014/11/10 (月) 23:58:00 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>44
> 改めて論文を読んでみましたが、波動関数がなぜ二次元トーラスに
> 置き換えられるのか、未だにさっぱりわかりません。

波動関数を二次元トーラスと解釈した理由を論理的に説明しようと
考えているのですが、難しいですね。こんな説明はどうでしょうか?

アインシュタインは重量場を時空の多様体として表現しました。
多様体とは、ビーチボールのような、形のあるものです。

アインシュタインの重力方程式は、次の形をしています。

(時空の多様体の曲がり具合)=(物質のエネルギーと運動量の関数)

右辺は正確にはテンソル関数ですが、説明を簡単にするため関数としています。
テンソルというのは行列のようなものです。

方程式の左辺は多様体、右辺は関数ですので、異質なものを等式で結んでいます。
アインシュタインは、左辺を大理石作り、右辺を粗末な木造と評しました。
対称性の観点からは、物質も大理石作り、すなわち多様体で表現したいのです。

物質の関数は、量子力学では波動関数です。
そのため、波動関数を多様体と解釈するのは自然な発想だと思うのです。

ここまでの説明で、納得できないところはありますか?
なければ、この物質の多様体に、どうすれば波動関数みたいな性質を
持たせられるかについて説明したいと思います。
58 takoyaki 2014/11/11 (火) 00:10:49 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、ありがとうございます。

大枠から解説して頂き、有り難いです。
アインシュタインがなぜ

多様体→大理石
テンソル関数→粗末な木造

と呼んだのかわからず、気になりました。
理論の構造がしっかりしているかどうか、のような解釈でいいのでしょうか?
気になったのは、そこだけです。
よろしくお願いします。
59 x_seek 2014/11/11 (火) 21:31:45 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 22:18 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>58
> アインシュタインがなぜ
>

> 多様体→大理石
> テンソル関数→粗末な木造
>

> と呼んだのかわからず、気になりました。
> 理論の構造がしっかりしているかどうか、のような解釈でいいのでしょうか?

予想外の質問だったのですが、私の盲点だったかもしれません。
この記述を本で読んだ時、私はすぐに納得したのです。
しかし改めて問われ、よく考えてみると、論理的に説明するのが難しいことに気づきました。

そこで最初に、私が推測するところの、アインシュタインがそのように呼んだ理由を説明します。
そして次に、私自身の言葉で波動関数を多様体と解釈する理由を説明したいと思います。

1.なぜ多様体を大理石、エネルギー運動量テンソルを木造と呼んだか?
重力方程式を、不正確ですが極限まで単純化すると次のように書けます。
<tex>\frac{d^2\phi}{dx^2}=\rho(x)</tex>

ここで $\phi$ は重力ポテンシャル、 $\rho$ は質量分布です。

左辺が多様体、右辺が関数です。左辺は二階微分なので、曲がり具合です。
左辺は幾何学的な構造で、正体のわからないものは何もありません。
一見、重力ポテンシャルの正体がわからないように見えますが、
実は重力ポテンシャルは空間的、幾何学的な存在なのです。

一方、右辺には正体のわからない質量があります。
アインシュタインはこのような状況を見て、左辺は大理石、右辺は木造と呼んだのだと思います。
ただ、あまり説得力がないので、次の説明を用意しました。


2.なぜ波動関数を多様体と解釈するか?
宇宙ステーションから見た地球を思い浮かべてください。地球はマクロには単純な球面です。
次に地上に降り立ちましょう。そこでは美しい山や険しい谷を見ることができます。
地球はミクロには複雑な構造を持っています。

したがって、地球を正確に表現するには次のような関数が必要です。
<tex>R(\theta,\phi)</tex>

ここで、 $R$ は地球中心から地表までの距離、 $\theta$ は緯度、 $\phi$ は経度です。

このような、形状を持つものは多様体です。
地球を多様体として表現すると、豊かな情報を持てます。
その情報から、山や谷の場所を読み取れます。

一方、この地球を表面積で表現すると、どうなるでしょうか?
地球は、たった一つの数字だけで表現されます。
その数字からは、山や谷の場所は読み取れません。

私は、波動関数を、このようなものではないかと考えているのです。
そこには本来、我々の知らない複雑な構造を持つ多様体が存在するのです。
その情報をそぎ落とし、表面積の情報だけにしたものが波動関数なのです。
波動関数を多様体で表現しなければ、波動関数の背後にある真の姿を表現できないのです。

次のような解釈です。
・本当に存在しているのは、表面がでこぼこした複雑な形状を持つ多様体である。
・その複雑な多様体を表面積だけの情報にして無個性化したのが、波動関数である。

言い換えれば、宇宙人が地球を遠くから観測していて、表面積しかわからない状況という意味です。
でも宇宙人が地球までやってくれば、そこでいろいろなものを見ることができるでしょう。

波動関数では、情報が少なすぎて、本当の姿が良くわからないのです。

このような説明で、波動関数を多様体と解釈する理由を納得できないでしょうか?
60 ghsobo 2014/11/11 (火) 22:46:11 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
>>59
左辺を大理石と表し右辺は何となく粘性のある流体の様な複雑でエネルギーや運動量の局所的密度ところといぐらいはわかります。
多様体というと接平面とか局所的にフラットな時空を定義できるとかつながりあるとかしかわかりません。波動関数は場ではないので‥‥途中で失礼しました。
61 takoyaki 2014/11/11 (火) 23:08:16 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、ありがとうございます。
ghsoboさんもご覧になってるんですね。

私はなまじ知識がないだけに、ざっくりとイメージだけ理解したつもりです。
多様体って何だろう?と思っていたのが、
<tex>R \left( \theta , \phi \right) </tex>
で、スッキリしました。
本当はもしかしたらもっと厳密なルールがあるのかもしれませんが、このシンプルな多様体なら私にもわかりやすいです。

波動関数と表面積がなぜイコールで結べるのかは、ちょっとイメージがわかないですけど。
波動関数→曲線(一次元)
表面積 →二次元
というヴィジュアル的なイメージが邪魔しているのかもしれません。
波動関数→ベクトル
表面積 →ベクトル
と理解すればいいのでしょうか?
表面積はスカラーだと私は思っていますが・・・うーん・・・わかりません。

あとはそこさえ納得できればいけそうです。
地球の喩えはとてもわかりやすいと思います。
62 takoyaki 2014/11/11 (火) 23:15:14 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
あ、波動関数は一次元だなんて言ってませんでしたね。
一次元の波動関数を数珠のように考えるというイメージがこびりついてました。

でも、それでもやっぱりわかりません・・・
63 x_seek 2014/11/11 (火) 23:25:02 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ghsoboさん、こんにちは。

>>60
ご説明いただきありがとうございます。
「粘性のある流体」という表現で、
重力方程式の右辺に対するイメージを深めることができました。
64 takoyaki 2014/11/11 (火) 23:46:18 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
何度も投稿してすみません。
もしかしたら行き違いになってしまうかもしれませんが、私の疑問をもう少し正しく言葉にしたいと思いました。

波動関数は一つの値で表現できるものではなく、いくつもの値の集合だと思います。
ψの中には複素数の点が無数にあるイメージです。
一方で、表面積は「1」とか「25」とか「100」とか、ただ一つの値しか持ちません。

そこで、波動関数を表面積のように情報を削ぎ落してしまったもの、というイメージに結びつきません。
私にとっては、波動関数にはたくさんの情報が含まれており、多様体と同等かそれ以上の情報を持っているような感じがしてしまいます。
65 x_seek 2014/11/11 (火) 23:55:01 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>61
> 波動関数と表面積がなぜイコールで結べるのかは、ちょっとイメージがわかないですけど。

波動関数は複素数です。複素数は複素平面で次のように表現できます。
<tex>w=r\cos(\theta)+ir\sin(\theta)</tex>

この $r$ が複素数 $w$ の絶対値 $|w|$ です。角度 $\theta$ が偏角です。波動関数では位相と呼びます。
波動関数の絶対値を、多様体の表面積と解釈します。
そのため、波動関数の位相が残っています。次はこれについて説明したいと思います。

> 波動関数→曲線(一次元)
> 表面積 →二次元
> というヴィジュアル的なイメージが邪魔しているのかもしれません。

波動関数の絶対値は実数です。表面積も実数ですね。
この二つをイコールで結んでしまおうということです。

> 波動関数→ベクトル
> 表面積 →ベクトル
> と理解すればいいのでしょうか?

波動関数として、ビジュアル的にどのような形を想像するかは難しいところです。

一番単純なイメージは、複素平面のベクトルでしょうか?
ベクトルの長さが波動関数の絶対値で、角度が位相です。

多様体として想像するのは、最初は球、次に浮き輪。それから次の論文
・多世界解釈と確率論によるボルンの規則の導出
 http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.htm

図4.6 スピン1の粒子の波動関数

を想像頂く事になります。
ちなみに、くびれてるところも、本当はくびれてません。
そのことは、次の論文で説明しています。

・3次元球面の回転によるスピン1/2の二価性と角運動量の導出
 http://www.geocities.jp/x_seek/Spin.htm

この論文までたどり着けるかどうかは、ちょっとわかりませんが…

> 表面積はスカラーだと私は思っていますが・・・うーん・・・わかりません。

はい。表面積はスカラーです。

> 波動関数は一つの値で表現できるものではなく、いくつもの値の集合だと思います。
> ψの中には複素数の点が無数にあるイメージです。

簡単な例から始めましょう。
実数の値を取る関数 $f(x)$ は、実数 $x$ が一つ決まれば、関数の値は一つの実数に決まります。
複素数の値を取る関数 $g(x)$ は、実数 $x$ が一つ決まれば、関数の値は一つの複素数に決まります。
波動関数は、複素数の値を取る関数以外の何者でもないのです。
波動関数自体は、純粋に数学的な関数として表現できるのです。

だから、通常の3次元空間の一点では、一つの複素数値を取るのです。
<tex>\psi(x,y,z)</tex>

(座標x,y,zで表現される通常の3次元空間を通常空間と呼ぶことにします)

波動関数は、通常空間の一点では、複素数の値を一つだけ持ちます。

> 一方で、表面積は「1」とか「25」とか「100」とか、ただ一つの値しか持ちません。

はい、そうです。

> 私にとっては、波動関数にはたくさんの情報が含まれており、
> 多様体と同等かそれ以上の情報を持っているような感じがしてしまいます。

波動関数は、通常空間の一点では、たった一つだけの複素数値を持つのです。
一つの複素数値だけを持つので、その複素数の絶対値の二乗で確率を計算できるのです。
66 takoyaki 2014/11/12 (水) 00:33:09 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、ありがとうございます。

二回読んで理解しました。
>波動関数は、通常空間の一点では、たった一つだけの複素数値を持つのです。
これで表面積との対応を考えてみます。
関数とは何か、いまさらながら理解しました。もう大丈夫です。

次は「位相」の情報がどういう扱いになるのか気になります。

よろしくお願いします。
67 x_seek 2014/11/12 (水) 00:42:09 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>66
> 関数とは何か、いまさらながら理解しました。もう大丈夫です。

よかったです。(^^)

> 私にとっては、波動関数にはたくさんの情報が含まれており、
> 多様体と同等かそれ以上の情報を持っているような感じがしてしまいます。

上記の文を何度も読んで、どんな言葉で説明すればよいか考えました。

波動関数に対し神秘的な感じを持っているかもしれません。
あるいは、とても難しいもの、あるいは多重露光的なものと
感じているのかもしれません。

ですが、真実はもっと単純で簡単なのです。
波動関数は、普通の「関数」なのです。 $f(x)$ と書いてよいのです。
一つの引数で一つの値が決まる一価関数なのです。
連続で微分可能な性質の良い関数なのです。
68 takoyaki 2014/11/12 (水) 08:27:04 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>67
x_seekさん、ありがとうございます。

>波動関数に対し神秘的な感じを持っているかもしれません。
>あるいは、とても難しいもの、あるいは多重露光的なものと
>感じているのかもしれません。
まさにその通りでした。
神秘的で謎の詰まった対象というイメージです。「ゴーストウェーブ」と呼ぶ人もいたりしますし、「図示できない」ことを強調する人もいるし、なにやら私もそんな雰囲気に飲まれていました。

>波動関数は、普通の「関数」なのです。  $f(x)$  と書いてよいのです。
>一つの引数で一つの値が決まる一価関数なのです。
>連続で微分可能な性質の良い関数なのです。
これでスッキリします。このような説明は素人向けの本に是非ほしいと思うところです。数学になじみのない人は「ψ」と書いたとたん、未知の世界にすっ飛ばされたような気がしてしまいます。これまでと全く異質なものだと感じてしまうのです。
勉強になりました。
69 hirota 2014/11/12 (水) 13:03:03 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
「波動関数は、状態ベクトルを集めたヒルベルト空間をたまたま関数空間で表わしたら、状態ベクトルが関数で表わされたにすぎない」なんて言うとますます混乱しそうですね。
(つい誘惑に勝てなくて…)
70 takoyaki 2014/11/12 (水) 14:10:09 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>69
hirotaさん、はじめまして。takoyakiです、こんにちは。

お望み通り、私は混乱しましたよ(笑
しかし、「この文章に込められた暗号を解読せよ」という知的な挑戦として、私は受け取りました。勝手ながら・・・

現時点での私の考えを書いておこうと思います。間違っているかもしれませんが。

波動関数は一つの引数で一つの値が決まる一価関数である。
ただし、位置xに対して、一つの「複素数」を返す関数である。
複素数は(a+bi)あるいは(rcosθ+irsinθ)のような内部に二つの成分を持つ値である。
つまり、
波動関数は一つの引数で(a,b)が決まる関数である。

ベクトルは成分の集合である。
(a,b)は成分なので、ベクトルと見なすことができる。
言い換えると・・・
波動関数は一つの引数に対して、一つのベクトルを返す関数である。

ベクトルはたぶん「線形代数」の技法が適用できる便利な対象である。
ヒルベルト空間はたぶん、あらゆるベクトルの一切合切を表現できるように作られた便利な数学的空間である。
ヒルベルト空間の観点から、改めて波動関数をとらえると、実は関数としての見通しが良くなることがわかった。

おそらく、こんな感じの内容だろうと想像しています。
しかし、なにぶん「線形代数」を理解していないので、最後らへんは自分でも何を言ってるのかわからない・・・
いま、EMANさんの物理数学のページで「余因子展開」のあたりをうろついています。
先は長いなあ・・・たぶん

71 takoyaki 2014/11/12 (水) 14:37:04 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
あ、ベクトルって色々な意味があるから気をつけないといけませんでした。

@幾何ベクトル
A数ベクトル
B線形代数におけるベクトル
Cベクトル解析におけるベクトル

と、四つの分類があるので・・・

もしかしてhirotaさんの「状態ベクトル」ってCの意味だったのかなあ・・・
AとBの違いもまだよくわかってないんですよね。
うーん・・・
72 ghsobo 2014/11/12 (水) 19:49:59 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
波動関数は一般的な状態ベクトルを位置の固有ベクトル、位置ケットともいいます。記号は|x'>、で展開したときの展開係数に当たります。
ヒルベルト空間は位置とか運動量のように連続した固有値の場合です。空間一つ一つの位置に固有ベクトルがくくりつけられたというか、それらが連続して張り付いているワケです。当然無限次元連続固有値となります。そのようなイメージです。
>>71
線形性は全部に掛かります。@は力の方向と大きさ。高校数学などで。Cは主に電磁気学とか流体力学によく出てきます。状態ベクトルはAにあたると思います。
73 x_seek 2014/11/12 (水) 21:13:55 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>66
> 関数とは何か、いまさらながら理解しました。もう大丈夫です。

私の説明の不備に気づきました。ごめんなさい。takoyakiさんは
元々正しく理解されていたのです。その理由を説明します。

関数を見る視点には次の二つがあります。
 @一つの定数 $a$ での値 $f(a)$ を見る視点。
 A全ての変数 $x$ での値 $f(x)$ を見る視点。

それぞれの視点を次のように呼びたいと思います。
・要素視点
・集合視点

私は要素視点で「波動関数は多様体と解釈できる」と言いました。
一方takoyakiさんは集合視点で「波動関数は多様体と解釈できない」と
言われたのです。私は要素視点であることを明示していませんでした。
このため、認識の齟齬が生じたのです。例で説明します。

●例1
関数の値を次のように定義します。
<tex>g(k)=f(k)</tex>
 要素視点: $g(k)$ は関数のある一点での値。
 集合視点: $g(k)$ は関数。

●例2
ベクトルの成分を次のように定義します。
<tex>v_k=f(k)</tex>
 要素視点: $v_k$ はベクトルの成分。
 集合視点: $v_k$ はベクトル。

●例3
集合の要素を次のように定義します。
<tex>b_k=f(k)</tex>
 要素視点: $b_k$ は集合の要素。
 集合視点: $b_k$ は集合。

私は「波動関数のある一点での値は多様体と解釈できる」と
言うべきだったのです。
74 x_seek 2014/11/12 (水) 21:15:06 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
hirotaさん、お久しぶりです。

自然数の総和のスレッドでは大変お世話になりました。

>>69
> 「波動関数は、状態ベクトルを集めたヒルベルト空間を
> たまたま関数空間で表わしたら、状態ベクトルが関数で
> 表わされたにすぎない」なんて言うとますます混乱しそうですね。

ヒルベルト空間には、とても悩みました。

波動関数で次のブラケットを定義します。
<tex><x|\psi>=\psi(x)</tex>

このケットベクトル $|\psi>$ の物理的意味は何だろうと
とても悩んだことを思い出しました。
75 x_seek 2014/11/12 (水) 21:16:32 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 23:48 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>66
> 次は「位相」の情報がどういう扱いになるのか気になります。

興味を持っていただきありがとうございます。takoyakiさんは、わからないところをわからないと教えてくれるので、とても助かっています。

どのような順序で説明すれば、分かりやすいか考えてみました。次の順序でゆっくりと説明したいと思います。

@波動関数の重ね合わせ
A球座標での表面積の計算
B立体角の導入
C立体角での表面積の計算

D負の表面積
E多様体の重ね合わせ
F円環の導入
G多様体での位相の実現

@波動関数の重ね合わせ
波動関数は重ね合わせが可能です。
<tex>\psi(x)=\exp(ipx)+\exp(-ipx)</tex>

波動関数の位相が $\pi$ 違うと弱めあいます。位相が $2\pi$ 違うと強めあいます。この位相の多様体での実現方法を説明することが目標です。

A球座標での表面積の計算
地球の表面積を球座標で計算します。日本からアメリカへの角度を $\phi$ 、北極から南極までの角度を $\theta$ とします。半径を次のように表現します。
 $R(\phi,\theta)$ 

球面の輪切りを考えると、表面積 $S$ は次のように計算できます。
<tex>S=\int_0^{2\pi} R(\phi,\theta)\sin(\theta) d\phi \int_0^{\pi} R(\phi,\theta)d\theta</tex>
<tex>S=\int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin(\theta) (R(\phi,\theta))^2</tex>

上記の $\sin(\theta)$ は、北極または南極に近づくほど、輪の半径が小さくなるため、つけています。半径を一定とすると、 $R^2$ は積分の外に出ます。
<tex>S=R^2\int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin(\theta)</tex>

 $\phi$ で積分すると、 $2\pi$ が出ます。
<tex>S = 2 \pi R^2 \int_0^{\pi}d \theta \sin(\theta) </tex>

 $\sin(\theta)$ の積分は $-\cos(\theta)$ なので次のようになります。
<tex>S = 2 \pi R^2 \left( (-\cos(\pi))-(-\cos(0)) \right) = 4 \pi R^2</tex>

期待通り球の表面積になりました。しかし $\sin(\theta)$ に注意する必要があるのが面倒です。そこで、 $\sin(\theta)$ が出てこないように立体角を導入します。

B立体角の導入
立体角は四角錐のようなイメージです。小さな立体角 $\delta \omega$ を次のように定義します。
<tex>\delta \omega = \sin(\theta)\delta\phi \delta\theta</tex>

 $\delta \omega$ は、小さな立体角なのですが、さしあたり0.01ぐらいを想像してください。全立体角は $4\pi$ になります。

C立体角での表面積の計算
表面積 $S$ は次のように計算できます。
<tex>S=\int (R(\omega))^2 d\omega</tex>

これは、球中心を頂点とする四角錐の底面積の合計で球の表面積を計算しています。次の新しい関数を定義します。
<tex>h(\omega)=(R(\omega))^2</tex>

地球の中心に立ち、ある小さな立体角で、地表を見上げます。
そのときの、小さな立体角に含まれる表面積が、 $h(\omega)\delta \omega$ です。表面積 $S$ は次のように表現できます。
<tex>S=\int h(\omega) d\omega</tex>

積分だとイメージしにくいので $\delta \omega$ を使って、和にします。
<tex>S=\sum h(\omega) \delta\omega </tex>

 $\delta \omega$ を0.01とし、半径を $R$ とすれば、 $h(\omega) \delta\omega$ の値は、 $0.01 R^2$ です。四角錐は、全部で $400\pi$ 個あるので、合計は  $4 \pi R^2$  です。期待通り球の表面積になりました。

今日はここまでにしたいと思います。
もしわからないところがあれば、どうか遠慮せずに教えてください。よろしくお願いします。
76 takoyaki 2014/11/12 (水) 21:29:17 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>72
ghsoboさん、こんにちは。
ヒントをありがとうございます。

最初に読んだとき、文章の意味がまったくわかりませんでした。
しかし、EMANさんの量子力学のページの「完全規格直交関数系」の説明を読んで、ビビビっときました。この発明はすごい!と思いました。(まだ完全には理解できていませんが・・・)

波動関数はフーリエ展開した直交関数の和であり、各関数の係数がわかれば再現できる。

波動関数は無限次元の「数ベクトル」と等価だ。→「状態ベクトル」と呼び名を変えよう。

直交関数系は自分自身以外と積分すると0になってしまう性質を持つ。
また自分自身との積分は1になるように規格化する。
(これは存在確率1にも対応しているのだと思う)

波動関数と、直交関数系の中のある関数を積分をすると、その直交関数の係数を求めることができる。積分するといらないものが全部消えて、スカラーの複素数値が残る。これがすごい。
(これは、たぶん固有値(固有エネルギー)と固有関数を求める計算と繋がっているのだと予想します。)

やっとエルミート共役の意味や、線形代数との繋がりが多少見えてきました。
飛ばし飛ばしでやってるので、間が色々抜け落ちていそうですが、少しずつ感触をつかんできました・・・

まだこの先は読んでないけど、たぶんブラとケットで挟むと、その位置の物理量が出てくるとか、そんな話になりそうな予感がします。


<x_seekさんへ>
すみません、投稿が行き違いになってしまいました。x_seekさんの今日の書き込みをまだ読んでいない時点での投稿内容ですので、ご了承くださいませ。
これからじっくり読ませて頂きます・・・。
77 x_seek 2014/11/13 (木) 00:04:56 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>50
> これを読んで、やっとエヴェレットの解釈とx_seekさんの解釈の
> 根本的な違いが分かった気がしました。
> エヴェレットの「測度」という概念は、「各世界に異なる確率の重みを与える」という
> アイデアだったのではないでしょうか?やっと日本語で説明できた気がします。

エヴェレットは、測度の物理的意味を述べなかったので、
次のいずれかの見解だったかははっきりしていません。

@各世界に異なる確率の重みを与える。
A各世界に等しい確率の重みを与える。

エベレットは論文で、測度に「確率保存則」を要求しています。
そのため、@のような気もします。

でも、多世界解釈を論理的に考えれば、@はありえないと私は思うのです。
多世界解釈的に二つの世界があって、ある個人がどちらの世界を体験するかの
確率が異なるなんてことは、ラプラスの確率論的におかしいと、私は思います。

結論として、エヴェレットがどちらの見解を持っていたのかは、わかりません。
仮にAだとすると、測度がなぜ世界の個数となるかを説明する必要があります。
しかし、エヴェレットはそれについて何も説明していません。

> >なぜ波動関数が世界の個数と関係するのか?
> それが不思議です。なぜ波動関数なんでしょう?

そうですね。
もう少し具体的な問いにすれば次のようになります。

・なぜ、世界の個数が波動関数の絶対値の二乗に比例するのか?

これは、とても不思議なことだと思います。
78 x_seek 2014/11/13 (木) 01:14:44 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 01:20 [修正] [削除]
takoyakiさん、他の人から指摘が入りそうなので、少し。(^^)
(別スレッドの発言ですが、こちらのスレッドで指摘するほうが
よさそうなのでこちらで指摘します)

> 物理学では、文脈によってその関数のどこに着目するかが
> 暗黙のうちに決まり、素人がそこを読み取り間違えると
> 勘違いを起こすというケースがあるので報告したいと思います。

物理に限らず教科書は、誰が読んでも同じ結論に至るように
注意深く書かれています。
意味が文脈で決まったり、暗黙のうちに決まるケースはほとんどありません。
関数の見方は、大部分のケースではAです。
時々@の場合がありますが、その場合には、
読者が決して誤解しないように注意深く@のケースであることを明示します。

そのため、読者が勘違いを起こすような心配は必要ありません。

今回のケースでは、私が@のケースであることをしっかり明示しなければ
ならなかったのです。私が「波動関数」と「波動関数の値」という言葉を
正しく使い分けねばならなかったのです。あまりお気にされないよう…
79 takoyaki 2014/11/13 (木) 01:16:47 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>75

x_seekさん、解説ありがとうございます。

途中経過を報告します。
今のところ、次のような予測を立てております。

波動関数は絶対値と位相を持つ。
多様体は表面積と方位角を持つ。

絶対値→表面積
位相→方位角

と、対応させれば数学的に同じ物と見なせそうである。

実関数の場合、多様体は球の形になる。
複素関数の場合、多様体はトーラスの形になる。

波動関数は重ね合わせの原理が成立するので、位相によって強め合ったり弱め合ったりして表面積が変わらなければならない。

<tex>\psi(x)=\exp(ipx)+\exp(-ipx)</tex>

の場合、位相が  $\pi$  違うと弱めあい、位相が  $2\pi$  違うと強めあう。
トーラスは $\pi$  で絞られ、 $2\pi$ で膨らむだろう。


などというイメージを抱きつつ、なぜトーラスになるのか、なぜ絶対値が面積なのか、まだよくわかっていなかったりします。
そこで、これから多様体の面積の求め方を理解しようと取り組むつもりですが、積分が二つ並んだものを扱うのは初めてで、数式を見て少々戸惑っております。
なんとなく、緯度で積分して経度で積分すれば球全体になる、みたいな意味合いだろうと思っておりますが、積分の計算方法をまず学ぶ必要がありそうです。
もしかしたら解読に時間がかかるかもしれません・・・。
ぼんやりとした理解のままで大丈夫なら、このまま解説を続けていただくのもありかと思います。
私としてはいい機会なので、ちょっと数学の積分を学んで使えるようになりたいな、という想いもあります。
同時並行でもかまいません。
とりあえず、状況報告だけしておこうと思い、書き込みました。
引き続きよろしくお願いします。
80 takoyaki 2014/11/13 (木) 01:19:36 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>78
失礼しました。
修正を入れておきます。

また不備がありましたら、ご指摘下さい。
81 x_seek 2014/11/13 (木) 01:31:07 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>79
もしBの立体角が理解できるならば、Aはとばしても大丈夫です。
実際、論文ではいきなりBから始まってます。
BよりAが既知だろうと思って、Aから説明したのですが、
もしもAが既知でなければ、いきなりBに進んだほうがよいと思います。
Bのほうが概念的には難しいですが、技術的には簡単だからです。

もしAをやるのであれば、「球座標系の面積積分」で検索してください。
計算方法が図入りで出てきます。それを眺めるだけで十分です。
82 takoyaki 2014/11/13 (木) 02:19:06 ID:24fsL7VI/w 修正アリ: 12:21 [修正] [削除]
>>81

では積分法の詳しい学習は個人的に進めさせて頂きます。
同時並行でx_seekさんの講義の続きを受けたいです。

・立体角ωの全体角は4πである。
・h(ω)は球中心を頂点とする四角錐の底面積である。
・h(ω)を全体角で積分すると多様体の全表面積を求められる。

以上のことを理解したつもりです。
これでよろしいでしょうか?

<追記>
もしかして、気づかない間に「トポロジー」の話になってたりしますか?
球やトーラスが、なんだかそれっぽいのですが・・・
83 takoyaki 2014/11/13 (木) 20:52:58 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

昨日は自分が考えることで頭が一杯になっていて、ちゃんとお礼を言ってなかったな、と反省しております。改めまして、昨日はありがとうございました。
テックスで数式入力するのも結構大変だし、私のためにたくさんのテキストを準備して下さって大変だったんじゃなかろうかと思っております。感謝しております。

>>77
エヴェレットについてのより詳しい解説もありがとうございました。
エヴェレットは測度の意味をはっきりと述べなかった点、理解しました。
そして、私も各世界に異なる重みを与える考え方は、なんだか変だという気がします。

積分の勉強はあまり進んでません。ゆっくりでいい、という言葉にしばらく甘えようかなと。
焦って疲れてリタイアするより、マイペースに持続するほうがたぶんはかどる気がします。
それでは、失礼します。

84 x_seek 2014/11/14 (金) 01:15:09 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>79
> 波動関数は絶対値と位相を持つ。
> 多様体は表面積と方位角を持つ。

はい。takoyakiさんの予測のとおりです。
「方位角」は多様体の自転角として説明予定です。

> 実関数の場合、多様体は球の形になる。

実関数のことは考えてませんでした。
うーん。考えてみましたが、すべての実関数は、
複素関数の重ね合わせで、表現されると思います。

> 複素関数の場合、多様体はトーラスの形になる。

二次元トーラスで説明しようと思ったのですが、
論理的に問題があることに気づいたので、方針を変更します。
スピンの論文をベースに3次元球面で説明する予定です。

・3次元球面の回転によるスピン1/2の二価性と角運動量の導出
 http://www.geocities.jp/x_seek/Spin.htm

方針変更に伴い、説明内容を見直しています。
そのため、今日の解説はありません。
ちょっと時間がかかるかもしれませんが、
まぁ、ゆっくり楽しくいきましょう。(^^)

> 波動関数は重ね合わせの原理が成立するので、
> 位相によって強め合ったり弱め合ったりして
> 表面積が変わらなければならない。

はい、そうです。

> 同時並行でx_seekさんの講義の続きを受けたいです。

講義と呼んで頂けてとてもうれしいです。
でも、これは講義のような立派なものではありません。
私は、かなり間違った論理の階段を登って、小さな山の頂に到達しました。
ここでは、takoyakiさんの助けを借りて、本来あるべき
正しい登山道を探していると思っています。

> ・立体角ωの全体角は4πである。
> ・h(ω)は球中心を頂点とする四角錐の底面積である。
> ・h(ω)を全体角で積分すると多様体の全表面積を求められる。
>

> 以上のことを理解したつもりです。
> これでよろしいでしょうか?

はい。大丈夫です。

> もしかして、気づかない間に「トポロジー」の話になってたりしますか?
> 球やトーラスが、なんだかそれっぽいのですが・・・

トポロジー的な内容も含みますが、前提知識不要で説明する予定です。

> 昨日は自分が考えることで頭が一杯になっていて、
> ちゃんとお礼を言ってなかったな、と反省しております。
> 改めまして、昨日はありがとうございました。

いえいえ、こちらこそ。
どのように説明すれば、takoyakiさんに納得してもらえるか
という観点で考えているのですが、その過程で
論文の論理的な誤りに気づくことができました。
だから、takoyakiさんにはとても感謝しています。

引き続き、よろしくおねがいします。
85 takoyaki 2014/11/14 (金) 17:57:46 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>84

x_seekさん、こんにちは。

>二次元トーラスで説明しようと思ったのですが、
>論理的に問題があることに気づいたので、方針を変更します。
>スピンの論文をベースに3次元球面で説明する予定です。
上記の件、了解しました。

>ちょっと時間がかかるかもしれませんが、
>まぁ、ゆっくり楽しくいきましょう。(^^)
はい。ゆっくりでお願いします。
私も物理学のことばかりやっているわけにもいかず、色々なことを同時進行でやっておりますので、ちょっとずつかじっていくと言いますか、無理をせず続けたいと思っております。
よろしくお願いします。
86 x_seek 2014/11/14 (金) 20:46:14 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>85
> 私も物理学のことばかりやっているわけにもいかず、
> 色々なことを同時進行でやっておりますので、
> ちょっとずつかじっていくと言いますか、無理をせず続けたいと思っております。

そうですね。(^^)
無理せず楽しく続けるのが一番です。

>>二次元トーラスで説明しようと思ったのですが、
>>論理的に問題があることに気づいたので、方針を変更します。
>>スピンの論文をベースに3次元球面で説明する予定です。
>上記の件、了解しました。

登山コースには次の2種類があることがわかりました。
・Aコース:間違った論理だが単純
・Bコース:正しい論理だが複雑

Aコースは、論理的に問題があることに気づいたので、
Bコースにしようと判断しました。しかしBコースはかなり複雑でした。
そのため、とても迷ったのですが、次の方針で行こうと思います。

(1) 最初はAコースで登頂する。
(2) 納得できない所は、しっかり認識してそのまま進み、最後まで登頂する。
(3) 次にBコースで登頂し、納得できなかった所がどうなるか確認する。

この通りにうまくいくかどうか、わかりませんが、引き続きよろしくお願いします。
87 x_seek 2014/11/14 (金) 20:48:13 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

次のDを解説したいと思います。

 @波動関数の重ね合わせ
 A球座標での表面積の計算
 B立体角の導入
 C立体角での表面積の計算

 D負の表面積
 E多様体の重ね合わせ
 F円環の導入
 G多様体での位相の実現

D負の面積
 前回のCの最後に次の式を導きました。
<tex>S=\int h(\omega) d\omega</tex>

多様体の表面積 $S$ の一部を取り出して次のように表現します。
<tex>\delta s(\omega)=h(\omega) \delta \omega</tex>

この $\delta s(\omega)$ を面素と呼びます。
十分小さい立体角 $\delta \omega$ に含まれる多様体の表面は平面とみなせます。
立体角に含まれる表面の面積が決まれば、球体の中心からの距離が決まります。
そのため、面素 $\delta s(\omega)$ から多様体を再現できます。

面素 $\delta s(\omega)$ は、要素視点では四角錐です。
一方、集合視点では多様体とみなせます。

面素 $\delta s(\omega)$ から関数 $h(\omega)$ を決定できます。
したがって、関数 $h(\omega)$ からも多様体を再現できます。
ここでは、この関数 $h(\omega)$ を調和関数と呼ぶこととします。

では、次の調和関数が、どのような多様体を表現しているか考えてみましょう。

 $h(\omega)=1$ 
これは、半径が1の球面です。

 $h(\omega)=2$ 
これは、半径が $\sqrt{2}$ の球面です。

 $h(\omega)=0.01$ 
これは、半径が $0.1$ の球面です。

 $h(\omega)=0$ 
これは、半径が $0$ の球面です。

 $h(\omega)=-1$ 
これは、どんな球面だと思いますか?解釈が難しいですね。
本論文は、このケースを、表と裏が入れ替わった多様体と解釈します。
この球面の表面積は次のようになります。

<tex>S=\int h(\omega) d\omega=-4\pi </tex>

例えば、最初に球面の表に青、裏に赤など塗っておくのです。
そして、それが裏返ったら、球面の表が赤、裏が青になりますね。
青を $+1$ と呼んでも良いし、青を $-1$ と呼んでも構いません。
これは、決めの問題です。
例えば、青を $+1$ に決めれば、赤は $-1$ に決まります。
青を $-1$ に決めれば、赤は $+1$ に決まります。
ただし、一度決めたら、途中で変えることはできません。

最後のケースが、表面積が負のケースとなります。

今日の解説でつかんでほしいポイントは次のとおりです。

・面素で多様体が表現できる。
・調和関数で多様体が表現できる。
・調和関数が負の場合は、表と裏が入れ替わった多様体と解釈できる。

今日の解説は、これで終わりたいと思います。
わからないところがあれば、どんなささいなことでも構いませんので、
教えてください。(なんで $h$ という文字か、とかでもいいです)
よろしくお願いします。
88 takoyaki 2014/11/14 (金) 23:09:42 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>(1) 最初はAコースで登頂する。
>(2) 納得できない所は、しっかり認識してそのまま進み、最後まで登頂する。
>(3) 次にBコースで登頂し、納得できなかった所がどうなるか確認する。
上記の件、了解しました。
トーラスの謎が気になっていたので、Aコースの話も聞けて私は嬉しいです。

>>87
いつも丁寧な解説ありがとうございます。
私の感じた疑問点をまとめたいと思います。どんなささいなことでもOKということなので、今回はちょっと細かいところも書いてみようかなと思いました。

1)>>59に多様体について次のような説明があります。
>地球を正確に表現するには次のような関数が必要です。
<tex>R(\theta,\phi)</tex>
>ここで、  $R$  は地球中心から地表までの距離、  $\theta$  は緯度、  $\phi$  は経度です。
>このような、形状を持つものは多様体です。
>地球を多様体として表現すると、豊かな情報を持てます。
>その情報から、山や谷の場所を読み取れます。

つまり多様体には凸凹がある、というのが私のイメージでした。

>立体角に含まれる表面の面積が決まれば、球体の中心からの距離が決まります。
なので、この一文に私は違和感を覚えてしまいました。
円で考えると、「中心角」と「円弧」の値が決まれば「半径」も一意に決まるでしょう。これを球で考えた場合、円と同様に「立体角」と「表面積」から球の「半径」が求められるでしょう。
しかし、それは完全なつるつるの球体の場合に限られると思います。
このようなモデルで凸凹の多様体を扱えるのだろうか?
というのが、一番はじめに感じた疑問でした。

2)凸凹で気になる点がもう一つあります。「立体角」は緯度と経度を区別せずに混ぜ込んでしまっていますが、それって大丈夫なのかな?と不安になるのです。
完全球体なら緯度も経度も回転対称性から同じ扱いで問題無しだと思いますが、
地球では凸凹があるので、インドから北へ角度を変えるとヒマラヤ山脈へ来て半径が増えるのに対し、東へ角度を変えるとインド洋に出て半径が減ってしまいます。
このような区別を無視していいのだろうか?という疑問です。

3)面素についての疑問です。
>多様体の表面積  $S$  の一部を取り出して次のように表現します。
<tex>\delta s(\omega)=h(\omega) \delta \omega</tex>
>この  $\delta s(\omega)$  を面素と呼びます。
結局のところ、面素とはh(ω)は何が違うのだろう?と、思いました。
h(ω)を積分すれば多様体の表面積が求められることはすでに述べられているのに、新しく面素という名前が出てくることの目的は何だろう?と疑問に思いました。

4)同じく面素についてですが、
>面素  $\delta s(\omega)$  は、要素視点では四角錐です。
これは次のうちどの文脈で捉えるべきか、読んでいる時に迷いました。
@「面素」は表面積の一部であり、かつ四角錐でもあるという認識をこれから持つべし。
A「面素」は表面積の一部であると言ったが、これからは四角錐として認識すべし。
B「面素」はh(ω)の要素視点で見た時に四角錐と見なすことができる。(補足的な情報)

5)「調和関数」について、なんでこのネーミングなんだろう?と気になりました。
 なぜ名前を付けたんだろう?という疑問も含みます。

6)hという文字について特に気にしていませんでしたが、逆に気になってしまいました(笑
 何か意味はあるのですか?


以上です。
最後に、疑問点を書いている間に思ったことですが、微細な立体角に対する表面積は完全球体の一部と見なすことができるので、凸凹のある多様体にも適用できるのかな?と思いました。
数学に慣れていない素人の視点では少し不安を感じる考え方ですが・・・

半径マイナスの意味は数学的で面白いです。特に疑問もありません。
3Dモデリングのソフトをいじったことがあるので、わりと馴染みのある発想でもあります。
高校生の時に初めてアルバイトをして買ったのが3Dアニメーションのソフトでした。とてもわくわくしたのを覚えています。
関係のない話をしてしまいました。

長くなってしまいましたが、x_seekさんの望む指摘がこの中に含まれていれば幸いです。
よろしくお願いします。
89 x_seek 2014/11/15 (土) 09:16:15 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 11:08 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

次の式は今後の議論を進める上で、とても役に立つ概念なので、
時間をかけてしっかりと理解を深めたいと思います。

<tex>\delta s(\omega)=h(\omega) \delta \omega</tex>

>>88
> どんなささいなことでもOKということなので、
> 今回はちょっと細かいところも書いてみようかなと思いました。

はいはい。大歓迎ですよ。(^^)/

> 1)>>59に多様体について次のような説明があります。
<中略>
> しかし、それは完全なつるつるの球体の場合に限られると思います。
> このようなモデルで凸凹の多様体を扱えるのだろうか?

takoyakiさんの、その疑問は、ポイントを突いています。
正確には、多様体は滑らかである必要があります。
また、調和関数は立体角 $\omega$ に対し一価で連続かつ滑らかとします。

でこぼこはあってよいのですが、十分に拡大すれば、平面である必要があります。
実際、地球は十分に拡大すれば、平面に見えますよね。

微分の思想は「あらゆる滑らかな曲線は十分に拡大すれば直線に見える」というものです。
あらゆる滑らかな曲面は、十分に拡大すれば平面に見えるのです。

> 2)凸凹で気になる点がもう一つあります。
> 「立体角」は緯度と経度を区別せずに混ぜ込んでしまっていますが、
> それって大丈夫なのかな?と不安になるのです。

地球の中心に半径1の球面があると想像してください。
半径1の球面は単位球面と呼ばれています。

その単位球面は蜂の巣のようになっていて、
北極から見ても、赤道から見ても同じに見えます。
この単位球面のハニカムの枠から、光を照射して
地球表面を突き抜けるというイメージです。

そのため、北極付近も赤道付近も同じ立体角で区切られます。

> 完全球体なら緯度も経度も回転対称性から同じ扱いで問題無しだと思いますが、
> 地球では凸凹があるので、インドから北へ角度を変えると
> ヒマラヤ山脈へ来て半径が増えるのに対し、
> 東へ角度を変えるとインド洋に出て半径が減ってしまいます。
> このような区別を無視していいのだろうか?という疑問です。

その「標高によって半径の変わるところ」がミソです。

十分小さな立体角で見上げれば、
半径が大きいところは、その立体角に含まれる表面積も大きいです。一方、
半径の小さいところは、その立体角に含まれる表面積も小さいです。

このように、十分小さな立体角を使えば、
その立体角に含まれる表面積で半径の情報をひろえるのです。

例えば、太陽と月は同じ立体角であるため、見かけ上の大きさは同じです。
しかし太陽は遠いため、実際の大きさは月よりもずっと大きいです。
この論理をひっくりかえし、実際の大きさから距離を決めるのです。

> 3)面素についての疑問です。
> >多様体の表面積  $S$  の一部を取り出して次のように表現します。
> ><tex>\delta s(\omega)=h(\omega) \delta \omega</tex>
> >この  $\delta s(\omega)$  を面素と呼びます。
> 結局のところ、面素とはh(ω)は何が違うのだろう?と、思いました。

「十分小さな立体角」と表現していましたが、この立体角の大きさを
どのぐらいに取るかは自由です。0.01でもよいですし、0.001でもよいです。
面素の大きさは、この「十分小さな立体角」の大きさの取り方で変わってきます。
一方、調和関数は「十分小さな立体角」の大きさに依存しない量になっています。

> h(ω)を積分すれば多様体の表面積が求められることはすでに述べられているのに、
> 新しく面素という名前が出てくることの目的は何だろう?と疑問に思いました。

表面積の微小面積は一般的に面素と呼ばれています。

調和関数は、極限値のような量で、直観的には、それ自体をそのまま表面積の一部と解釈できません。
面素はそのまま表面積の一部と解釈できるので、直観的に理解しやすい量になっています。
そのため、理解のしやすさを考慮して導入しました。

> 4)同じく面素についてですが、
> >面素  $\delta s(\omega)$  は、要素視点では四角錐です。
> これは次のうちどの文脈で捉えるべきか、読んでいる時に迷いました。
> @「面素」は表面積の一部であり、かつ四角錐でもあるという認識をこれから持つべし。
> A「面素」は表面積の一部であると言ったが、これからは四角錐として認識すべし。
> B「面素」はh(ω)の要素視点で見た時に四角錐と見なすことができる。(補足的な情報)

Bです。面素を集合視点で多様体と解釈するには、
要素視点では四角錐と解釈する必要があると考え、そのように記載しました。

> 5)「調和関数」について、なんでこのネーミングなんだろう?と気になりました。

一般的な調和関数の定義を満たすからです。
調和関数の定義というのは、ラプラス方程式を満たすことです。
しかし、このようにいっても、イメージをつかめないかもしれません。
不正確にざっくり言えば、波打つ球面のイメージです。

一次元では、三角関数で任意の関数が表現できました。
球面では、球面調和関数で任意の球面上の関数を表現できます。

球面調和関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2%E8%AA%BF%E5%92%8C%E9%96%A2%E6%95%B0

調和関数は、球面調和関数の重ね合わせで表現できるのです。

>  なぜ名前を付けたんだろう?という疑問も含みます。

対象に適切な名前を付けたほうが理解しやすいためです。
aに2を代入するというよりも、拡大率を2倍にすると言ったほうがわかりやすいと思います。

学問は、良い名前を付ければ、格段にわかりやすくなります。
例えば、エルミート行列という名称をきいて、
それがどんな性質を持つ行列か直観的に理解できるでしょうか?

また、概念「素状態」は名前を付けるまでは、名前がなかったのです。
名前をつけることによって初めて、考察の対象となるのです。
名前をつける前は、概念と概念の境界があいまいな状態であり、
対象をはっきり認識できないため、その考察は非常に困難です。

名前については、次のページで語っています。
もしご興味があれば、読んでみてください。

・虚数は存在するか?
 http://www.geocities.jp/x_seek/imaginary_number.html

> 6)hという文字について特に気にしていませんでしたが、逆に気になってしまいました(笑
>  何か意味はあるのですか?

調和関数は英語で Harmonic Function といいます。その頭文字を取りました。

> 最後に、疑問点を書いている間に思ったことですが、微細な立体角に対する
> 表面積は完全球体の一部と見なすことができるので、
> 凸凹のある多様体にも適用できるのかな?と思いました。
> 数学に慣れていない素人の視点では少し不安を感じる考え方ですが・・・

なめらかならば正しいです。
十分微細な立体角を取れば、あらゆる曲面は平面とみなせるのです。

> 半径マイナスの意味は数学的で面白いです。特に疑問もありません。

ここが、一番の難関かと思っていたのですが、よかったです。
(ちなみに、半径ではなく面積がマイナスになっています)

次の記述はとても大切なことを言っています。

> 青を  $+1$  と呼んでも良いし、青を  $-1$  と呼んでも構いません。

これは調和関数の $+1$ と $-1$ に対して、対称性があるということです。
足し算はするが、掛け算はしないということを意味します。

足し算では、 $+1$ と $-1$ を入れ替えてもその演算規則の構造は変わりません。
しかし掛け算では、 $+1$ と $-1$ を入れ替えると、演算規則の構造が変わります。
掛け算では、 $+1$ と $-1$ の間に対称性はありません。

> 3Dモデリングのソフトをいじったことがあるので、わりと馴染みのある発想でもあります。

半径マイナスって、3Dモデリングででてくるのでしょうか?
つながりがよくわかりませんでした。

> 高校生の時に初めてアルバイトをして買ったのが3Dアニメーションのソフトでした。
> とてもわくわくしたのを覚えています。
> 関係のない話をしてしまいました。

いえいえ、こういった話もきけると、takoyakiさんが、
どんなことに興味を持っているかがよくわかるので、とても親近感がわきます。

> 長くなってしまいましたが、x_seekさんの望む指摘がこの中に含まれていれば幸いです。
> よろしくお願いします。

ありがとうございます。
下記の疑問点などから、新しい概念をうのみにせず、
しっかり考えてから自分のものにしようとしているように感じました。

> このようなモデルで凸凹の多様体を扱えるのだろうか?

とても、楽しく返事が書けました。引き続き、よろしくお願いします。
90 takoyaki 2014/11/15 (土) 20:50:40 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

だんだんわかってきました。
面素が連続かつ滑らかに変化していくことで、ジャガイモのような多様体(起伏はあるが表面はすべてなめらかな曲面)が数学的に扱えるようになるわけですね。
そのための道具立てを揃えていたというわけだ、と思うようになってきました。
(ちょっと生意気な口調で申し訳ありません。でも、人の内面を正直に描くとこうなってしまうので、ご容赦下さい)

微積分を三次元で扱うのは初めてですが、理屈としては納得できます。
要するに、私はまだこの考え方に慣れていないのです。初心者だから。慣れてくれば、いけそうです。

緯度経度は片方にsinθが入るので、どうにも決まりの悪い感じがしていましたが、ハニカム構造は気に入りました。
>その単位球面は蜂の巣のようになっていて、
>北極から見ても、赤道から見ても同じに見えます。
>そのため、北極付近も赤道付近も同じ立体角で区切られます。
そうそう、このイメージのほうがしっくりくる、と思いました。(生意気ですみません)

つまり、立体角ωの面素(四角錐)が連続して、滑らかに並んでいるわけですね。単位球面のハニカム構造から突き出すように。
前回投稿した時には、半径が連続してなめらかに変化していくということに思いが至りませんでした。
このイメージはもう掴めたと思います。

立体角ωは気持ちがいい。
しかし、一方で失ってしまった情報もあるように私には思えます。
単位球面の一点を基準とした場合に、緯度経度なら北へ2度、東へ3度といった具合に明確に位置を指定できます。読み取り方は一つしか無い、という意味で。
しかし、同じ点からωで三度移動したと書いても、それが単位球面上のどの位置なのかはっきりしないと思います。ハニカムの並び方に番号を振るとして、その割り振り方は無数に存在すると思うからです。
このような状況で「調和関数」としての役割をしっかりと担えるのか、疑問に感じました。
(「調和関数」とは何かもまだよくわかっていません)

>調和関数は、極限値のような量で、直観的には、それ自体をそのまま表面積の一部と解釈できません。
この意味がちょっと難解です。

<tex>\delta s(\omega)=h(\omega) \delta \omega</tex>

この数式を日本語に翻訳することってできますか?
数式の表現に慣れていなくて、自信がありません。
「面素とは、ラプラス方程式の三次元解であるような多様体(?)の表面積を立体角ωについて微分したものである」
ということかな・・・?

もしそうだとして、面素を連続してなめらかに並べていき、じゃがいも型多様体を作ったとき、個々の面素に対してそれぞれ異なる「調和関数」が割り振られている。
・・・とイメージすればいいのでしょうか?


「半径マイナス」は忘れて下さい。適当に言ってました。
3Dモデリングでは拡大率にマイナスを代入できたと思います。その場合も、裏表が裏返るわけではなかったかもしれません。専門的なことは忘れてしまいました。
ただ、ポリゴンの裏と表の区別は外積の法線ベクトルで規定されていて、演算処理をするうえで重要だったという曖昧な記憶があるだけです。
今説明しようと思っても、できませんね・・・困ったことに。
昔は色々やったんですよ。

ただ、ヴィジュアル的な意味で親しみがある、程度のものだと思って下さい。
我ながらちゃんと説明できないのは情けないです。

>これは調和関数の  $+1$  と  $-1$  に対して、対称性があるということです。
>足し算はするが、掛け算はしないということを意味します。
>足し算では、  $+1$  と  $-1$  を入れ替えてもその演算規則の構造は変わりません。
>しかし掛け算では、  $+1$  と  $-1$  を入れ替えると、演算規則の構造が変わります。
>掛け算では、  $+1$  と  $-1$  の間に対称性はありません。
なんとなくは、わかります。
もし掛け算にも対称性があるなら-1×-1は-1にならないといけない。でも、実際には1になりますから。

ただ、もっと大雑把に「調和関数」とは何か?
というのが、うまく掴めないでいます。

「調和関数」って何なんでしょう???

よ、よろしくお願いします。
91 x_seek 2014/11/16 (日) 09:54:43 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、ありがとうございます。

>>90
> だんだんわかってきました。

takoyakiさんにとっては、なにげない一言だと思いますが、
私は、その一言に、とても救われています。

これまで、この掲示板では誰からも論文に対する意見を頂けませんでした。
その理由は、私の論文に多くの間違いがあり、
しかも、その文章が非常にわかりにくいためだと考えています。

今回、takoyakiさんとの対話を通して、間違いを明確化でき、
文章を改善するための多くのヒントを頂きました。
だから私は、takoyakiさんにとても感謝しています。

takoyakiさんから頂いたご意見には、時間をかけ、よく考えてから、
回答したいと思っています。

すでにAコースの原稿はすべてできていますが、
もう少し時間がたってから、投稿する予定です。
調和関数が登頂のための重要な武器になるため、
もっと研ぎ澄ましてから、アタックした方が良いと考えているためです。

そのため少し時間がかかりますが、どうか、よろしくお願いします。
92 takoyaki 2014/11/16 (日) 20:06:07 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>91了解しました。
次を楽しみにお待ちしております。
こちらこそ、よろしくお願いします。
93 x_seek 2014/11/20 (木) 22:30:13 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

私は今、takoyakiさんの>>90の疑問への答えを考えています。
takoyakiさんの疑問がきっかけとなって、
とても面白いアイデアをいくつか思いつきました。
それをどのように説明したら楽しく簡単に理解頂けるか思案中です。
なので、もう少し待っていてください。(^^)

さて、takoyakiさんは無限に興味を持っていらっしゃるようですね。
私の説明は、ときどき定まった範囲を超えてしまうので、
このスレッドでコメントしたいと思います。


私は無限に対して、とらえがたい、難しいものという
印象を持っていました。無限の果てでは人知を超えた不思議なことが
起こるのではないかと思っていたのです。

ですが、イプシロン-デルタ論法を学んだとき、次のことに気づきました。
・無限をまったく考えなくても、数学ができる。
・常に、ある固定の有限値だけを考えて、数学ができる。

有限値とは、100や0.01のことです。
無限大や無限小は、目でしっかりと、とらえることができません。
しかし、100や0.01は目でしっかりと、とらえることができます。
この視点は、私に大きな安心感を与えてくれました。

例で説明しましょう。

ここに「有限の国」があったとします。
その国では今年「測定誤差ε=0.1を許容する」という法律が施行されました。
実はεとは、誤差(Error)の頭文字からきているのです。

そこで、その国の大工たちは距離δ=0.01の精度で寸法を測ることにしました。
実はδとは距離(Distance)の頭文字からきているのです。

設計図では、ある柱の長さは10となっていました。
大工たちは精度0.01で柱を切りました。
そのため、柱の長さは10.01になりました。

設計図に対する測定誤差は、|10.01-10|=0.01 です。
これは許容誤差0.1未満なので法律をクリアしています。
これが、イプシロン-デルタ論法の真の意味なのです。

無限大や無限小などの不思議な、とらえどころのないものを相手にせず、
100や0.01だけを相手にすれば、豊かな数学を楽しめるのです。


takoyakiさんが「わからない」と感じることの多くは、
かつて私自身が「わからない」と感じていたことと同じです。
だから、私はtakoyakiさんが「わからない」と感じているその気持ちが
なんとなくわかるのです。
私は、その「わからない」という疑問を、長い間持ち続けてきました。
そして何度も何度も勉強を繰り返すことで理解を深め、
やっと少しだけ「わかる」ようになってきたのです。

takoyakiさんが、何かに迷ったときは
ぜひ気軽にここに書き込んでください。
私の言葉で、takoyakiさんが「わかった」状態に
なるかどうかはわかりません。
ですが、同じ疑問を共有し共に悩むことならできると思います。


あと、リーマン球についても面白いアイデアがあります。
通常、複素関数からリーマン球を構築します。
このため、無限遠点に不思議な感じがします。

この論理をひっくり返すのです。

元々、リーマン球という多様体が存在するのです。
そのリーマン球を、無限に広い平面に
近似的に映し出しているのが複素関数なのです。
いわば、複素関数とは多様体の影なのです。

このように考えれば、無限遠点に関する疑問が
解消すると思うのですが、いかがでしょうか?
94 takoyaki 2014/11/20 (木) 23:20:13 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>93
x_seekさん、こんにちは。

いつもありがとうございます。
こんなにわかりやすいイプシロンデルタ論法の解説は初めて聞きました。
イメージがしやすくて助かります。
もやもやしていたのがスッキリしました。

この論法も、無限小の排除や、数式のみで定義を作ること、応用範囲の広さなど、かなりの試行錯誤があって、生まれたみたいですね。ウィキペディアで見たら、成立までは色々あったみたいなことが書かれていました。

リーマン球についてですが、私もさっき頭の中でx_seekさんと同じようなことを考えていました。立体を平面に押し潰す(?)ようなアイデアというのは、実は今回が初めてではありませんでした。
昔、オイラーの多面体定理というのに興味を持って、その証明を一通りノートに書き写したことがあるのです。その時に出てきた「グラフ理論」では、三次元の図形が二次元に押し潰されます。距離の正確さは失われますが、頂点と辺の繋がりの関係は維持されるんですね。それが四次元以上の多面体の成立条件に繋がっていくのです。そのときのアイデアの斬新さには本当に驚いたのを覚えています。
例えば立方体をグラフ理論に適用すると、立方体の上面の内側の領域は床に投影された立方体のグラフ図の輪郭の外側に無限に広がる領域に対応しています。
これって、リーマン球と似てますね。
距離や領域の概念は犠牲になるけれど、「関係性」は維持される。

ただ、どんな「関係性」が維持されているのかを注意深く判断する必要があるように思います。厳密な話になると、多様体と複素関数の関係について、やっぱり私は分かっていないのかもしれません。


>とても面白いアイデアをいくつか思いつきました。
どんなアイデアか楽しみです。

>takoyakiさんが、何かに迷ったときは
>ぜひ気軽にここに書き込んでください。
ありがとうございます。
次に何か思いついたら、こちらで質問させていただきます。
95 x_seek 2014/11/21 (金) 00:30:53 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>94
> こんなにわかりやすいイプシロンデルタ論法の解説は初めて聞きました。

そのように言っていただけると、とてもうれしいです。

この解説は、本から得たものではありません。
私が、ついさっき作ったばかりの解説です。
だから、初めて聞く内容だと思います。

「有限の国」の話には続きがあって、
来年は「測定誤差ε=0.01を許容する」という法律が施行されるのです。
そのため、その国の大工たちは、ため息をつきながら、
距離δ=0.001の精度で寸法を測る技術を磨くことになるのです。(笑)


> この論法も、無限小の排除や、数式のみで定義を作ること、
> 応用範囲の広さなど、かなりの試行錯誤があって、生まれたみたいですね。

私が初めて大学でイプシロン-デルタ論法に出会ったとき、
なぜ、この論法が必要なのか、まったくわかりませんでした。
わたしは、limだけで十分満足していたからです。

数学の歴史においては、イプシロン-デルタ論法を使わないと、
正しい答えが得られないような問題がいっぱいあり、
非常に困った結果、苦心の末にこの論法を編み出したのでした。

教科書では、いきなりイプシロン-デルタを説明するのではなく、
「ほら、こんな場合limでは困るでしょ」
「でも、イプシロン-デルタを使えば、はい、このとおり」
などと、説明すれば、
「そうか、この先の世界はlimだけでは戦えないのか」
と学生は、もっと納得すると思います。


リーマン球で、速やかに「グラフ理論」を連想するのは
さすがですね。アイデアの応用力がすばらしいです。

言い忘れていましたが、下記もすばらしい応用力だと思います。

>>84
> 実関数の場合、多様体は球の形になる。

実関数の多様体には慎重に考察すべき難しい問題があるのです。
その内容は、説明のための言葉が揃った時に改めて説明したいと思います。


> 厳密な話になると、多様体と複素関数の関係について、
> やっぱり私は分かっていないのかもしれません。

私も、そこが注意すべきポイントだと思います。
それは、私が>>90の回答で苦慮していた内容に近いと思います。
うまく、説明できればいいのですが…

> 次に何か思いついたら、こちらで質問させていただきます。

はい。お待ちしてます。(^^)
96 takoyaki 2014/11/21 (金) 07:14:01 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>96
x_seekさん、こんにちは。

イプシロンデルタ論法のわかりにくさについて、私の場合の躓きのポイントは、
大工に渡された設計図の柱の長さが、どんな大きな値でもかまわない、
というところでした。

無限小の領域についての考察なのに、なんで「どんな大きい値でも」みたいな
条件が出てくるのか?と面食らってしまったのです。
ですが、大工の例え話だと、そりゃそうだな、とすんなり納得できます。
柱の長さが何であろうと、この話で重要なのは誤差の部分だからです。
ただし、柱の長さは少なくともイプシロンよりは大きくないといけない。
そうしないと誤差の話ができなくなってしまうから。

つまり「どんな大きな値でも」という文言は、柱の長さが備えておくべき
最低条件のことだったわけです。

これを納得できて、もやもやが解消されました。
εとδの由来も初めて知りました。

私は本でイプシロンデルタ論法を知ったので、片側だけ連続な関数などの極限は、この論法を使わないと厳密に定義できないということで納得したような覚えがあります。

> 実関数の場合、多様体は球の形になる。
この予想ですが、実はそれほど深い洞察があって書いた言葉ではないのです。
というのも・・・
実関数は一つの引数に対し、一つの成分を持つ。
複素関数は一つの引数に対し、二つの成分を持つ。

多様体の図を見ると・・・
原点から任意の長いベクトルを伸ばしていったとき
球は一回だけ表面とぶつかる。
トーラスは一回、もしくは二回だけぶつかる。

みたいなところからの単純な類推です。
でも、トーラスの場合、まったくぶつからない経路も考えられるし、そこら辺は深く考えていないのです。

もう一つは「円の自由度」(←独自用語)みたいなイメージから
(もしかしたトポロジー的な概念かも?)
球面の場合、任意の一点を通る円を考えた場合、その円はずらしていくとすべて重ね合わせることができるので、「円の自由度」を1とします。
トーラスの場合、任意の一点を通る円を考えた場合、原点を中心にした円と、輪っかの芯の部分を中心に持つ円は、重ね合わせることができないので、「円の自由度」を2と考えました。
これが何か関係しているのかな?と。

しかし、よく考えてみると、もしかしたらトーラスにはもう一つ円があるかもしれない。トーラスを斜めに切ったときにできるような円が。ん?
あるのかなあ?
ちょっとわからなくなったので、考えてみます・・・

とにかく、そういうあたりからの直観的な予想でした。
97 takoyaki 2014/11/21 (金) 19:31:41 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
トーラスの疑問についての続きです。すみません・・・

三次元のぐにゃぐにゃした紐を考えるのはとても難しいということがわかりました。
暫定ですが、おそらくトーラスの「円の自由度」は2どころか、5であると思われます。
なので、複素数とは全く関係ないですね。
しかし、トポロジーの面白いところに気づいたので良しとします。
紐はたぶん、どう足掻いても筒状の穴を越えられないのです。内向きの穴であれ、外向きの穴であれ。
トーラス面上を自由に伸び縮みする輪っかの紐は、互いに異なる穴を内側に含む場合、交差することはあっても、どんなに頑張っても重なり合わないと予想。
「円(というより輪っかの紐)の自由度5」の内訳は、トーラスの持つ中心の穴をA、輪っかの内部をBとした場合、
@AもBも含まない
AAのみを含む
BBのみを含む
CABを含む
DBAを含む

以上の5つだろうと考えました。
CとDの区別は怪しいところですが、二つ以上の穴をまたぐ場合は方向の違いによって
重ね合わせが不可能になるような気がします。

などなど、本来の主旨からまったく横道に逸れたことを考えてしまいました。
でも、何でも質問していいということであれば、質問してみたいです。
x_seekさんは、どう思われますか?
ちょっと聞いてみたいです。
98 takoyaki 2014/11/21 (金) 19:43:51 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
何度もすみません。
トーラスについて。

トーラスを作成しようとした場合、円の軌道上にもう一つの円を動かした軌跡を考えればいいので、そういう意味ではやはり、二つの円成分を持つ、と考えることができそうです。
つまり、二つの円の半径が決まれば、一意に一つのトーラスの形状を決められるわけです。

そういう意味で、複素数と何か関係があるのでは?というのが、初めの直感でした。
そのあと、なぜか、トーラス面上の輪っかのことを考え始めて、別のところへ疑問が移ってしまいました。

途中でトーラスに対する疑問点が変わってしまっていることに自分で気づいていませんでした。
そこだけちょっと補足しておきたいと思いました。
99 x_seek 2014/11/21 (金) 20:00:18 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>96
> イプシロンデルタ論法のわかりにくさについて、私の場合の躓きのポイントは、
> 大工に渡された設計図の柱の長さが、どんな大きな値でもかまわない、
> というところでした。

実際には、誤差εは、どんな大きな値でもかまいません。
私もそのことが、どうしても納得できませんでした。(^^;)

当時、私は次の疑問を持ちました。
・もしεが100だったら、極限を定義できないのでは?

この疑問の答えは次のとおりです。

・εは任意だから、小さな値も大きな値も両方取る。
 εが小さいときには、極限を定義できる。
 一方、εが100のときは極限を定義できない。
 しかし、そのときも
 命題「|10+δ-10|<εとなるδが存在する」は
 十分な余裕をもって成立している。
 命題が常に成立してさえいれば、何も問題はない。

数学では不要な記述をなくすという思想があります。
「小さな」などの文言は、実は不要だったのです。しかし、
私は「小さな」という言葉を補って説明したほうが、
わかりやすいと思いました。

下記記事でも、ε-δ論法について説明してます。
もし、よろしければ、ご参照ください。

・実無限と可能無限
 http://www.geocities.jp/x_seek/quantum_number_theory.html

トーラスの所は別にコメントします。(^^)
100 takoyaki 2014/11/22 (土) 08:32:48 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

いつもありがとうございます。

量子力学に関連する用語の意味をあれこれ理解しようと思い、あがいております。
「規格化」と「作用素」の意味が、よくわかりません。
なんとなくはわかるような気もしつつ…もやもやとしています。

自分で勉強して、そのうち理解できるようになるかな、と思っておりますが
もし何かヒントがあれば教えて頂けたら嬉しいです。
よろしくお願いします。
101 x_seek 2014/11/22 (土) 10:10:31 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 11/23 (日) 10:30 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>100
私も「規格化」「作用素」の本質的な意味がわからず、とても悩みました。
順番にいきましょう。まずは「規格化」から。

「規格化」の本質的な意味を理解することはとても難しいです。
なぜなら、一見まったく異なる対象への、一見まったく異なる操作が
すべてひとくくりに「規格化」と呼ばれるからです。

そのため、その意味を理解するには、各具体例から、
その共通概念を洞察する必要があります。

さて、「規格化」という操作の対象として下記があります。
@ベクトル
A関数
B多様体

順に見ていきましょう。

@ベクトル
実数ベクトルv=(v1,v2,v3)の絶対値の2乗A^2を次のように定義します。
  A^2 = |v|^2 = v1^2+v2^2+v3^2

新しいベクトルu=(u1,u2,u3)を
  u = v/A
と定義すれば、次のようになります。
  |u|^2 = |v/A|^2 = |v|^2/A^2 = 1

このように絶対値の2乗が1になるように、元のベクトルの長さを縮め、
新しいベクトルを作る操作を「規格化」といいます。

A関数
実数関数f(x)の絶対値の2乗の積分A^2を次のように定義します。
  A^2 = ∫|f(x)|^2 dx
座標を間隔δxで離散化してみましょう。
  x → x1,x2,...,xn
すると、次のようになります。
  A^2 = Σ|f(xk)|^2 δx

ここで、新しい記号を定義します。
  f1 = f(x1)
  f2 = f(x2)
  ...
上記をまとめて次のように書きます。
  f = (f1,f2,...,fn)
これを使うとA^2を簡潔に書けます。
  A^2 = Σ|fk|^2 δx

さらに次の新しい記号を導入します。
  |f|^2 = Σ|fk|^2 δx
すると次のようにさらに簡潔に書けます。
  A^2 = |f|^2

関数の絶対値の2乗の和A^2は下記です。
  A^2 = |f|^2 = (f1^2+f2^2+...+fn^2)δx

新しい関数g=(g1,g2,...,gn)を
  g=f/A
と定義すれば、次のように書けます。
  |g|^2=|f/A|^2=|f|^2/A^2=1

このように絶対値の2乗の和が1になるように、元の関数の高さを縮め、
新しい関数を作る操作を「規格化」といいます。

B多様体
一般的な話ではありませんが、多様体の規格化も考えることができます。

2次元多様体の表面積をAとして、立体角ωを使い次のように書けます。
  A=∫|h(ω)dω|

面素をδS(ω)とすれば、下記です。
  δS(ω)=h(ω)δω

関数h(ω)は多様体です。新しい多様体g(ω)を作ります。
  g(ω) = h(ω)/A

新しい多様体g(ω)の表面積は下記です。
  |g| = |h/A| = ∫|h(ω)dω|/A = 1

このように表面積が1になるように、元の多様体を縮め、
新しい多様体を作る操作を「規格化」といいます。

Aは状態数であり、状態の存在確率です。
A^2は事象数であり、事象の発生確率です。

このように、多様体ならば規格化を幾何学的に理解できます。
102 x_seek 2014/11/22 (土) 11:39:18 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 11/23 (日) 10:01 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>100
次に「作用素」を説明します。

作用素とは、ある対象を別の対象へ変化させる操作を意味します。
その操作のみかけは、対象によって大きく異なります。

その意味を理解するために、各具体例を鳥瞰し
その共通概念の洞察を試みてみましょう。

さて、作用素の対象として下記があります。
@ベクトル
A関数
B多様体

順に見ていきましょう。

@ベクトル
実数ベクトルv=(v1,v2,v3)から
実数ベクトルu=(u1,u2,u3)へ変化させる作用素Fを次のように定義します。
  u=F[v]

ベクトルでは作用素Fは変換行列Mとみなせます。
  u=Mv

変換とは、回転、拡大、縮小、変形です。
ユニタリ作用素は、絶対値の2乗を変えない変換です。

A関数
実数関数f(x)から実数関数g(x)へ変化させる作用素Fを次のように定義します。
  g=F[f]
関数では作用素Fは汎関数Fとみなせます。

汎関数の例を2-1〜2-4で説明します。

2-1 実数倍
関数の高さを変えるだけでも作用素です。
  F=a
  f(x)=x^2
  g(x)=ax^2
  g=F[f]

2-2 関数倍
関数をかけるだけでも作用素です。
  F=h(x)=x
  f(x)=x^2
  g(x)=x^3
  g=F[f]

2-3 微分
微分も作用素です。微分演算子と呼ばれます。
  F=d/dx
  f(x)=x^2
  g(x)=2x
  g=F[f]

例えば、ラプラス方程式は作用素で次のようにかけます。
  F=d^2/dx^2
  F[f]=0

2-4 積分
積分も作用素です。
  F=∫dx
  f(x)=x^2
  g(x)=x^3/3
  g=F[f]

フーリエ変換も作用素です。

ユニタリ作用素は、関数の絶対値の2乗の全空間での和を変えない変換です。

B多様体
一般的な話ではありませんが、多様体の作用素も考えることができます。

多様体h(ω)から多様体g(ω)へ変化させる作用素Fを
次のように定義します。
  g=F[h]

多様体での作用素は、回転、拡大、縮小、変形などです。

ユニタリ作用素は、多様体の表面積を変えない操作です。
そのため、ユニタリ作用素は回転と、
ゴムボールを押しつぶすような変形です。
拡大、縮小は、表面積が変わるのでユニタリ作用素ではありません。


こうして、規格化やユニタリ作用素を考えると、
波動関数の多様体解釈の自然さが際立つと思います。
また、多様体の視点でベクトルと関数を見ると、
さらに深くベクトルと関数を理解できると思います。


規格化も作用素も、ものすごくポイントを突いた良い質問でした。
なので、とても楽しく回答できました。ありがとうございます。

なにか、あれば、またどうぞ。(^^)
103 x_seek 2014/11/23 (日) 23:48:07 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>97
> x_seekさんは、どう思われますか?
> ちょっと聞いてみたいです。

最初読んだ時、その物理的、数学的な意味を読み取ることができませんでした。
しかし、なにか、ひっかかるものがありました。

そこで、翌日もう一度、繰り返し読んで、じっくり考えました。
すると、その物理的、数学的な意味が、少しずつわかってきました。


> 原点から任意の長いベクトルを伸ばしていったとき
> 球は一回だけ表面とぶつかる。
> トーラスは一回、もしくは二回だけぶつかる。

これは、多変数の楕円関数と直線の交点の数に関する考察のようです。


> 球面の場合、任意の一点を通る円を考えた場合、その円はずらしていくと
> すべて重ね合わせることができるので、「円の自由度」を1とします。

これは、閉曲面上の閉曲線の連続変形のトポロジー的考察のようです。


> トーラスの場合、任意の一点を通る円を考えた場合、
> 原点を中心にした円と、輪っかの芯の部分を中心に持つ円は、
> 重ね合わせることができないので、「円の自由度」を2と考えました。

これは、トポロジー的観点で、物理的自由度の数を考察されてますね。
弦理論におけるトポロジーの利用を連想しました。


ただ、これは私の推測であり、確証があるわけではありません。
というのも、私は楕円関数もトポロジーも弦理論も、理解できていないからです。
(理解することを、あきらめてはいません。いつか、きっと理解したいと思っています)

残念なことに、私には、物理的、数学的な才能があまりないようなのです。
実際、私は成績が悪かったので、素粒子理論に進めませんでした。
私の専攻は素粒子実験だったのです。
でも、素粒子実験に進んだことは、結果として非常に良かったと思っています。
私にとって素粒子が、数式ではなく、とてもリアルな存在になったからです。


> 紐はたぶん、どう足掻いても筒状の穴を越えられないのです。内向きの穴であれ、
> 外向きの穴であれ。
> トーラス面上を自由に伸び縮みする輪っかの紐は、互いに異なる穴を内側に含む場合、
> 交差することはあっても、どんなに頑張っても重なり合わないと予想。
> 「円(というより輪っかの紐)の自由度5」の内訳は、
> トーラスの持つ中心の穴をA、輪っかの内部をBとした場合、
> @AもBも含まない
> AAのみを含む
> BBのみを含む
> CABを含む
> DBAを含む
>

> 以上の5つだろうと考えました。
> CとDの区別は怪しいところですが、二つ以上の穴をまたぐ場合は方向の違いによって
> 重ね合わせが不可能になるような気がします。

なるほど!これは、よく理解できます。とても価値ある考察だと思います。
例えば、ある多様体の穴の数で電子の世代数が決まるという話があります。
また、私が現在構想中の新しい論文では、トーラス面上の閉曲線が
重要な役割を果たします。将来それとも関連すると思います。

CとDは、トポロジー的には区別がつかないと思います。
でも、物理的な観点で、考えてみる価値はあると思います。



takoyakiさんには、物理的、数学的な才能があるのだと、私は思います。
なぜなら、takoyakiさんの疑問は、どれも本質を突いていたからです。

そういえば、takoyakiさんが、速やかにヘリシティの概念を理解したときは、
とても驚きました。というのも、私が大学の授業で、ヘリシティを学んだとき、
その物理的意味を理解するのに、とても長い時間がかかったからです。


本来、理解とは0か1かという離散的なものではなく、
どれだけ深いかという連続的なものだと私は考えています。
そして人により「納得した」と感じる理解の深さが異なります。
ここでは、それを「納得深度」と呼ぶことにします。

takoyakiさんの、納得深度は普通の人よりもかなり深いようです。
なぜなら、普通の人は「規格化」に疑問を持つことはないからです。

納得深度が深い人は、納得するまでに時間がかかりますが、
普通の人よりも、はるかに深い理解に達することができます。



もし、疑問に思うことがあれば、どんなささいなことでも構わないので、
ぜひ、教えてください。

今回、takoyakiさんが考察されたことは、図形に深く関係していますが、
位置関係を文章で説明することに、とても苦労されたと推測します。
もし絵じゃないと説明しにくいことがあれば、
次のE-Mailアドレスに送って頂いても構いません。

sugiyama_xs[at]yahoo.co.jp ([at]は@にしてください)

私に可能な範囲で、
takoyakiさんが理解を深めるためのヒントを提供したいと思います。
ただ、その疑問に思う内容が、
私の理解可能な範囲をすぐにも超えそうで、若干怖いですが…(^^;)
104 takoyaki 2014/11/24 (月) 11:28:30 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
なにやらKDDIの通信施設で停電が起きているみたいで、PCからネットに接続できない状況です。
仕方がないので、スマホから書き込んでいますが、ネットが復旧するまで長文の書き込みは、できそうにありません。
残念です。
インターネットって、滅多なことでは障害なんて起きないと思っていたのですが。
105 takoyaki 2014/11/24 (月) 16:17:39 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
お、復旧しました・・・

書き込もうと思ったら、突然繋がらなくなってびっくりしてしまいました。
こういうこともあるんですね。
インターネットって、中継局が一つ壊れても別ルートで通信できるために米軍が発明したシステムだと思っていたのですが、「ダメじゃん」って思ってしまいました。
インフラが停止すると怖いな、とちょっと思いました。

すみません、本題に戻ります。



x_seekさん、こんにちは。

>>103
x_seekさんが、私を良い方向にイメージして下さって光栄です。でも、数学の才能があるなんて学校で褒められたことは一度もないので、びっくりです。私からすれば、素粒子に関わる実験をされている時点で、x_seekさんは自分なんかより遥かに雲の上のお方なんですが・・・

ヘリシティについては、以前、竹内薫さんの本でそれっぽい内容を読んだことがあるような気がしたので、興味を持ったのです。ただ、一般人向けの本だったので「ヘリシティ」という言葉は使っていなかったと思います。たぶん、これのことだろうな、と読んだ時に思ったので、そういう予備知識もふくめて書き込みました。

私は数学をほとんど言葉と図形で理解しています。そして、数式と計算が苦手です。EMANさんのページもほとんど数式を読み飛ばして、文章からイメージを得ています。たぶん、こういうやり方では大学では通用しないでしょうね。

高校生の時に、私は自分の数学の才能を計るために、一度も触れたことのない四次元の幾何学に挑んだことがあります。そして、四次元直方体の、頂点、辺、面の数の予想をしました。
誰でも高校生くらいの頃は自分の考え方こそが最も正しいと、うぬぼれて信じている時期があると思います。
私は、一次元→二次元→三次元と次元が増えるに従って、どのように頂点、辺、面の数が変化していくかを考察しました。そして、「これだけの情報で規則を見出すにはあまりに情報が少な過ぎる」という結論に達しました。一応それでも、勘で数列を生み出して「予想」を行いましたが、数学の本に書いてあるものとは数が全く異なっていました。つまり不正解だったのです。
そのときに「数学は信用ならない」と思ったのでした。四次元の定義なんて人の数だけあるはずなのに、たった一つの四次元直方体を持ち出して、それが四次元直方体だと言い切ってしまうのは独善的だ。こんな数学は信用ならない。
そもそも負の数の定義だって気に入らない。負×負が正になると決めたのは人間だ。負×負が負になる世界だってあるかもしれないのに、なんで無視するんだ。
と、このようなことを考えていたのです。
物理学も究極の方程式ばっかり追っているのが気に入りませんでした。当時はクオリアという言葉はまだ知らなかったのですが、それと同じものを頭の中に思い描き、クオリアの性質は数学で表現することは不可能だと決め込み、物理学はやり方が違うと考えました。
そして、数学や物理学とは関係のない方向へ人生を歩み始めたのです。

ところが、大人になって精神年齢が一つ上のステップに移ると、自分の浅はかな傲慢さに気づくようになりました。
きっかけはやはり四次元直方体でした。ある日突然、三次元のどの方向でもない方向に直方体を平行移動したものが四次元直方体ではないかと、幾何学的に閃いたのでした。それまで忘れていた数学に久しぶりに興味が湧いて、自分で頂点、辺、面の数を計算しました。すると、今度は正解でした。
ああ、やってしまった!と後悔しました。
負の数も複素平面の解説をネットで見た時に、マイナスの記号が「180度の回転」を意味していることを理解し、疑問が氷解しました。だから、負×負は正だったのか、と。
さらに数学の公理という言葉の意味を初めて知りました。
公理について知れば、負×負が負になる数学も、数学だと言えるのです。しかし、これらの内容はどれも、高校生までの教科書に出てこないのです。

クオリアの問題も、脳の働きと強い結びつきがあることがわかり、脳は物理的な対象でもあることから、物理学は無視できない対象になりました。
ペンローズ博士の「心は量子で語れるか」は、とても興味深い本です。あの方は、私にとってのヒーローです。
また数学とは関係がないと思える芸術の分野でも、絵の構図、形の機能性と美しさの関係、音楽の調和、文章の構造、あらゆるところに数学が潜んでいることに気づきました。

回り道をして、やっぱり数学も物理も大切なんだ。そして、自分なんかより遥かに、それらについて突き詰めて考えてきた天才・偉人が山のようにいるのだと、認識したのでした。
以来、目の前の仕事に追われつつも、科学系の本や雑誌を読み漁るようになり、現在に至るわけです。

私が高校生の時にインターネットがもっと普及していて、EMAN物理学のようなページがあれば人生が変わっていたかもしれませんね。

ちなみに高校時代の物理・数学の成績はひどいものでした。
ほとんど落ちこぼれですね。
今も、理解できないことがたくさんあって、もがいています・・・
次の投稿で質問させて頂きます。
106 takoyaki 2014/11/24 (月) 16:58:53 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、質問をさせて頂きます。

>>101について
規格化についての、たくさんの例示ありがとうございました。
まさに私が求めていた解説でした。
概念を理解するには、具体例を見るのが一番手っ取り早いですね。
規格化という言葉の持つ基本的な性格は理解したつもりです。

細かいところですが、
x_seekさんがベクトルと関数の例を出すのに、なぜ実数にこだわるのかが気になりました。
複素数ベクトルや複素関数だと、何か都合の悪い点があるのでしょうか?
あまり深く詮索するつもりはないので、イエスかノーでお答え頂ければ十分です。
よろしくお願いします。

>A関数
>実数関数f(x)の絶対値の2乗の積分A^2を次のように定義します。
>  A^2 = ∫|f(x)|^2 dx
>座標を間隔δxで離散化してみましょう。
>  x → x1,x2,...,xn
>すると、次のようになります。
>  A^2 = Σ|f(xk)|^2 δx

これは私にとって目新しい概念です。
ちょうどEMANさんのページでも
http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/zahyo.html
δ関数が出てきます。

関数を離散化する理由はどこにあるのか、なぜδ関数を使うのか、まだうまく飲み込めていません。

また、それと関係するのかわかりませんが、有限のヒルベルト空間と無限のヒルベルト空間をなぜ区別する必要があるのかも、よく飲み込めていません。
もし、何かヒントを頂けたら嬉しいです。


それから面素の定義式の意味がやっぱりわかりません。
δS(ω)=h(ω)δω
について。
δS(ω)とh(ω)はどちらも面積を表していて、次元は同じですね。
h(ω)に微小な立体角δωを掛けると次元が変わってしまうような気がします。
つまり、数式の中のδωが何を意味しているのかがわからないのです。
これはどちらかといえば国語の問題のような気がします。


>>102
についても一つだけ質問があります。
ラプラス方程式はまだよく知らない分野ですが、微分を二回行うということで、とりあえずの理解をしています。

>例えば、ラプラス方程式は作用素で次のようにかけます。
>  F=d^2/dx^2
>  F[f]=0

f(x)について、特に記載がなかったので、これまでの通例にならい
f(x)=x^2
とした場合を考えてみました。
一回目の微分で2x
二回目の微分で2
になるので、
F[f]=2
ではないかと思ったのですが、どうでしょうか?
あ、やっぱり0でした。
傾きは変化しない、つまり0ですね。そっかー。
失礼しました。
微分が一回までだとイメージしやすいのですが、二回目になるとなぜか難しい・・のです。

以上です。
いろいろと込み入ったところにも質問が及び、申し訳ありません。
よろしくお願いします。
107 x_seek 2014/11/25 (火) 23:15:29 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>105
takoyakiさんが、これまでどんなことを経験し、
どんなことを感じてこられたか、よくわかりました。

たくさん、コメントしたいことがあるのですが、
少しずつ分けて投稿していきたいと思います。
また、>>106で頂いた質問についても後日回答させていただきます。


高校の時には四次元の幾何学に挑んだそうですね。
自分の力で挑戦しようとしたことに、大きな価値があると思います。

直方体を新しい方向へ平行移動するというアイデアを閃いたとのことですが、
すばらしいアイデアですね。3次元立方体を少し離して描き、
その二つの立方体が平行線でつながっていると考えれば計算できると。

そのアイデアを使うことで、4次元立方体の
頂点、辺、面、胞の数を計算できました。

その考え方は、リーマンの考え方に近いと思います。
リーマンは「幾何学の基礎をなす仮説について」という講演で
「n重に広がったもの」という概念を導入しました。
彼は「点を新しい方向へ広げること」を何度も繰り返すことで、
n次元空間について説明しました。

takoyakiさんのアイデアは筋がよいと思います。(^^)
108 サンマヤ 2014/11/26 (水) 01:51:22 ID:p9sSs48hHk [修正] [削除]
進行が速いので、コメントを考えているとすぐ流れてしまいます・・・w
ざっくりコメントします。

>93
無限を有限とのアナロジーで考えるのは、
入り口で「拒否感」をなくすには有効ですが、
そのうち行き詰まります。
たとえば、稠密とか完備、連続性をその延長で説明できるでしょうか。
無限と有限の本質的な差に、ヒルベルト空間などの概念の必要性があったのだと思います。
20世紀初頭前後の数学者たちが頭を悩ませたぐらいですから、
無理に理解したつもりにならずに、
やはり難しいものは難しいと思って括弧にくくっておくのもありです。

>リーマン球
リーマン球のアイディアは、
閉空間を一般化した「コンパクト性」にあります。
つまり、無限大を扱いやすくするというか、
連続な関数がかならず有界(最大・最小が存在する)になる、
というメリットがあります。

複素平面をどう「縫い合わせるか」で、
球になったり、トーラスになったり、クラインの坪になったり、
いろいろな空間になります。

>トーラス
自由度2つというのが、トポロジーでは正解ですね。
「ホモトピー」という名前がついています。

それぞれいろいろといい本が出ていますから、
入り口はすんなりいけそうな気がします。
志賀浩二の「○○の30講」シリーズが分かりやすいでしょうか。

109 x_seek 2014/11/26 (水) 06:50:04 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
サンマヤさん、こんにちは。

無限には実無限と可能無限がありますが、
サンマヤさんの立場は、実無限という理解でよろしいでしょうか?

数学における私の立場は、可能無限です。
なぜなら、可能無限は有限量のεδ論法で定義可能だからです。

>>108
>そのうち行き詰まります。

私は、多くの数学的概念をεδ論法で定義可能と考えています。
もしよろしければ、εδ論法で行き詰まる具体例を教えて頂けますか?


>たとえば、稠密とか完備、連続性をその延長で説明できるでしょうか。

少なくとも、稠密、完備、連続は
次のようにεδ論法で定義可能であり、問題ないと考えています。

定義(ただし、akはコーシー列):

・順序集合Iが稠密:
 ∀y∈I,∃z∈I s.t. ∀x∈I,x<y ⇒ (x<z かつ z<y)

・順序集合Iが完備:
 ∀ak,∀ε>0,∀n∈N,∃x∈I s.t. ∀k>n ⇒ |ak-x|<ε

・関数f(x)がx0で連続:
 ∀ε>0,∃δ>0 s.t. ∀x,|x-x0|<δ ⇒ |f(x)-f(x0)|<ε



恐らく、サンマヤさんは「εδ論法で証明不可能な命題が存在すること」を
「行き詰まる」という言葉で表現されていると推測します。

例えば、可能無限の数学では選択公理を認めないため対角線論法が使えず、
非可算濃度を持つ集合の存在を証明できません。
バナッハ=タルスキーのパラドックスも証明できません。

それは、やむをえないことと考えています。

私は、実無限の数学を否定する気は、まったくありません。
実無限と可能無限の数学は、それぞれ独立に発展すればよいと考えます。


あと、本件とは関係ありませんが、
サンマヤさんは水素原子の電子雲の動画を作ってらっしゃいますね。
私も水素原子の電子雲の動画を作ってみたのですが、
もしよかったらご意見をいただけないでしょうか?

水素原子4f軌道波動関数
https://www.youtube.com/watch?v=w42C5ZSDLcs

以上、よろしくお願いします。
110 x_seek 2014/11/26 (水) 07:13:00 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>96
念のため無限について補足します。
無限には可能無限と実無限があります。

有限の国とは別に、可能無限の国と実無限の国があるのです。
違いは次のとおりです。

有限の国:法律改正は固定の有限回数可能。
可能無限の国:法律改正は任意の有限回数可能。
実無限の国:法律改正は無限回数完了した。

無限回数完了できるかについては、若干、疑問がありますが…
111 サンマヤ 2014/11/26 (水) 14:04:47 ID:p9sSs48hHk [修正] [削除]
>109
x_seekさんがきちんとその辺の限界を認識してらっしゃることは、
なんとなくこれまでの書き込みから分かっていたのですが、
「説明されない領域」があるということを、
きちんと頭の片隅においておいた方がいいと思ったのです。
分からないことだらけだとやる気をなくしてしまいますが、
逆に「これはまだ分からないなあ」というのが、
さらなる学習への意欲につながるとも思うからです。

ただ1点、完備性は非可算無限でないと実現できないので、
おそらく「可能無限」の世界では説明できないのではないでしょうか。
稠密の方は大丈夫そうですが。

>水素原子4f軌道波動関数
拝見しました。
自分のより濃くて見やすいかもしれません。

ついでといっちゃなんですが、
http://sammaya.garyoutensei.com/math_phys/phys_sym/monte_hydrogen.html
で、実行ファイルも公開しているのですが、
自分の環境以外できちんと動くか反応がないのです。
もし、DirectX10以降の動くマシンをお持ちでしたら、
試してみてください。
マウスで視点を変えたり、ズームしたりできるようになっているはずです。

112 takoyaki 2014/11/26 (水) 15:45:53 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
無限の問題について
x_seekさん、サンマヤさん、お二人の意見を読み、私の立場を考えてみましたが、

さしあたってε-δ論法の応用範囲だけでも十分に学ぶべき領域が広大にあるような印象を受けます。
x_seekさんが、いける、やれる、というところまでまずついていこう、と思いました。
もし、あるときそれでは超えられないと自分が感じる壁にぶつかったら、サンマヤさんの言葉を思い出して、実無限のことも取り入れて考えてみたいと思います。

「法律改正が無限回数完了した」世界を考えるのは不気味ではあります。
でも、面白そうだなという好奇心もあります。
正直にいえば、私はそこまでネガティブに無限の問題を考えてはいません。
試しにぶっ飛んだアイデアを持ち込んで考えてみるのも面白いと思うのです。

ただし、もし自分が誰かに無限が関係する問題を説明しようとした時は、
できうるかぎり可能無限の説明で済ませようと思うだろうし
そうでなくては自信をもって答えられないだろうなと思います。
自分が納得していなければ、人には教えられませんから。

などと、思った次第であります。
113 不識庵 2014/11/26 (水) 17:35:37 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
可能無限と実無限。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11105486921

私としては、上記の「ベストアンサーに選ばれた回答」の中の末尾、「基本この区別は今は必要ないと考えていいと思います。」という意見に同意したいと思います。
114 x_seek 2014/11/27 (木) 06:49:53 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
サンマヤさん、こんにちは。

>>111
> 「説明されない領域」があるということを、
> きちんと頭の片隅においておいた方がいいと思ったのです。
> 分からないことだらけだとやる気をなくしてしまいますが、
> 逆に「これはまだ分からないなあ」というのが、
> さらなる学習への意欲につながるとも思うからです。

ご心配いただき、ありがとうございます。(^^)
サンマヤさんのおっしゃるとおりだと思います。
心から同意いたします。

私は、今まさに、わからないことがたくさん出てきて困っています。
また、今後わからないことが、もっともっと増えると思います。
だから、近似的には「まったくわかってない」といえると思います。

でも私はわからないことを理解することが、とても好きなのです。
理解するための武器として、εδ論法を駆使したいと思っています。

私は計算が苦手で、長い数式や難しい変数は理解できません。
私が理解できるのは、1や2や3、10や0.1などの具体的な数字だけです。
私は具体的な数字が好きなのです。具体的な数字でない∞は苦手です。

また、普通の人は数式→言葉→図形の順序で考えると思いますが、
私は図形→言葉→数式の順序で考えることが多いです。
その際、無限は図形で想像することが、とても苦しいのです。
(描画処理が追いつかない感じです)

現代数学で実無限が主流であることは知っています。
でも私は、可能無限で、行ける所まで行ってみたいと思っているのです。
115 x_seek 2014/11/27 (木) 06:53:55 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 07:10 [修正] [削除]
サンマヤさん、こんにちは。

>>111
> 拝見しました。
> 自分のより濃くて見やすいかもしれません。

サンマヤさんの動画と比較する気はないのですが、
見やすいですよね。いやぁ、うれしいなぁ。(^^)
サンマヤさんなら、きっとわかってくれると思っていたのです。

> もし、DirectX10以降の動くマシンをお持ちでしたら、
> 試してみてください。

うちはWin7ですがDirectX 11をインストールしたら、動きました。

> マウスで視点を変えたり、ズームしたりできるようになっているはずです。

すごくいいですね。とても美しいです。それに、ぐりぐり動きます。
まるで原子を手で触っているようです。学習の教材にぴったりだと思います。

私も、こんな感じのを作りたいんですよね。
自分のはJavaScriptの二次元描画機能で、だましだまし作っているので。
いつか、挑戦しようと思っています。

ちなみに、JavaScript版は次のページで公開しています。
・量子力学の波動関数
 http://www.geocities.jp/x_seek/atom.html
116 x_seek 2014/11/27 (木) 06:55:26 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
不識庵さん、こんにちは。(^^)

>113
>「基本この区別は今は必要ないと考えていいと思います。」
> という意見に同意したいと思います。

そうですね。基本的に区別は不要だと思います。
でも次の例はどうでしょうか?

ある人が自宅から1km離れた知人の家まで歩いて訪問するとします。
 自宅から1/2 kmの地点で手帳に1と書きます。
 そこから1/4 kmの地点で手帳に2と書きます。
 そこから1/8 kmの地点で手帳に3と書きます。
 これを続けます。

さて、その人は知人の家に到着できるでしょうか?
なお、到着した場合、知人は手帳に書いた最後の数字を質問します。

ぜひ他の方にも、この質問の答えを考えてみてほしいと思います。










歩いた距離は等比級数なので、次のように計算できます。
 1/2+1/4+1/8+...=1

したがって、その人は知人の家に到着できるはずです。
しかし、知人の質問の答えは実無限、可能無限、有限で異なります。
そのため、区別が必要となるのです。

ちなみに私は、数学では可能無限派ですが、物理では有限派です。
ご参考として、私のサイトの記事を紹介したいと思います。

・実無限と可能無限
 http://www.geocities.jp/x_seek/quantum_number_theory.html
117 x_seek 2014/11/27 (木) 06:56:30 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>112
> x_seekさんが、いける、やれる、というところまでまずついていこう、
> と思いました。

今、なんか、サラっと、とてもうれしいことを言われた気がします。(^^)


> もし、あるときそれでは超えられないと自分が感じる壁にぶつかったら、
> サンマヤさんの言葉を思い出して、実無限のことも取り入れて
> 考えてみたいと思います。

それでいいと思います。


> 「法律改正が無限回数完了した」世界を考えるのは不気味ではあります。

その感覚は、私の感覚に近いです。


> でも、面白そうだなという好奇心もあります。
> 正直にいえば、私はそこまでネガティブに無限の問題を考えてはいません。
> 試しにぶっ飛んだアイデアを持ち込んで考えてみるのも面白いと思うのです。

さすが、takoyakiさんですね。
数学の本質はその自由性にあるといえますし、
限界を超えた先に新たな発見があるかもしれないので、
とてもよい考えだと思います。
118 x_seek 2014/11/27 (木) 07:03:14 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
サンマヤさん、こんにちは。

>>109
>・順序集合Iが完備:
> ∀ak,∀ε>0,∀n∈N,∃x∈I s.t. ∀k>n ⇒ |ak-x|<ε

よく考えると上記は間違ってますね。(^^;)
次のようにnの∀を∃に訂正します。申し訳ございません。

・順序集合Iが完備:(akはコーシー列)
 ∀ak,∀ε>0,∃n∈N,∃x∈I s.t. ∀k>n ⇒ |ak-x|<ε


>>111
>ただ1点、完備性は非可算無限でないと実現できないので、
>おそらく「可能無限」の世界では説明できないのではないでしょうか。

説明を試みたいと思います。
すいませんが、どうか、もう少しおつきあいを願います。


(自然数)
実無限の自然数集合Nの要素の個数は実無限個です。
一方、可能無限の自然数集合`N`の要素の個数は可能無限個です。
両者を記号的に区別するため、後者に一重引用符``を付加しました。

(実数)
実無限の実数体Rの要素の個数は実無限個です。
すべての実数rの桁数は無限です。例えばπは無限桁確定しています。

一方、可能無限の実数体`R`の要素の個数は可能無限個です。
任意の実数`r`の桁数は有限です。桁数は許容誤差εで決定します。
例えば`π`は有限桁確定しています。

この時、次のことが言えます。

 ・Iを有理数体`Q`としakをk桁のπとすれば、Iは完備ではありません。
 ・Iを`R`としakをk桁のπとすれば、Iは完備です。(コーシー列の定義そのものです)
 ・Iを`R`から`N`を除いた集合`R-N`としakを1+1/kとすれば、Iは完備ではありません。

上記のように可能無限でも集合の完備性を説明できると考えます。
119 ひゃま 2014/11/27 (木) 07:35:31 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 08:07 [修正] [削除]
>>116
じゃあひゃまも、挑戦します。
挑戦する前に到着が曖昧なので、1を超えるのか超えないのかを明確にしてください。
1を超えるのであれば、鼻から無理なので方法を変えてください。
たとえば時速なんkmで歩き、到着する間に書き込む時間はいくらだから何回書き込めるとか
越えないのであれば、誤差を教えてください。
たとえばプランク距離までとかw

以上は、物理とか数学とかの区別なんでしょうか?
結論に対しての手段の選び方のような
120 takoyaki 2014/11/27 (木) 12:15:10 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>119
面白いですね。
プランク距離を導入するなら、数学の話が一気に実際的な物理の話に感じられます。
その場合、数学モデルは「可能無限」のほうが相性がいいように思えます。

しかし、純粋に観念の問題として考えるなら、「実無限」もありだという気がします。

これは宇宙の濃度がどちらに該当するかという問題のような気がします。

121 サンマヤ 2014/11/27 (木) 14:57:46 ID:p9sSs48hHk [修正] [削除]
>115
検証ありがとうございます。
自分の環境以外での実績がさっぱり分からないので・・・

これで気をよくして、カラーアニメーション版も公開の準備をする気になってきましたw
122 不識庵 2014/11/27 (木) 21:29:24 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>116 x_seek さん、

さて、到着できるかどうかは、何をもって到着と判断するかによって変わるような気がします。

これを物理の問題と考えれば、>>119 ひゃまさんご指摘のように、移動誤差や測定誤差、位置を測定するのに要する時間、手帳に数字を書き込む時間等の仮定が必要と思います。

数学の問題と考えた場合には、その判断基準が、「実無限」と「可能無限」で違うという事でしょうか?

不勉強な私としては、「有限の回数では到着しない。」程度の事しか言えないような気がしておりますが・・・。

>歩いた距離は等比級数なので、次のように計算できます。
> 1/2+1/4+1/8+...=1
>

>したがって、その人は知人の家に到着できるはずです。

私としては、この主張には「無条件では」同意致しかねます。
(不勉強なくせに生意気で済みません。)
これも、何をもって到着と判断するかに依存するのではないでしょうか?
感覚的には、「いつまで経っても到着しない。」か、「ある程度近づいたら、到着した事にしようや。」のどちらかかと思いますが・・・。
123 kafuka 2014/11/27 (木) 22:57:47 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>物理の問題と考えれば
情報の消去には、どんな方法であっても、1bitにつき 最低kTLn2のエネルギーが必要です
(数理科学2012年3月号「悪魔が操る情報の物理」より)
したがって「数える」には、これと同じかそれ以上のエネルギーが必要です。
とはいうものの、
面積1の円に、1/2の所に切れ目を入れる、
残りの半分(=1/4)の所に切れ目を入れる、 (計は 1/2+1/4)
さらに残りの半分(=1/8)の所に切れ目を入れる、 (計は 1/2+1/4+1/8)
、、、
これを何回繰り替えそうが、全面積が1であるということは、変わりません。
つまり、
1/2+1/4+1/8+...=1
の右辺と左辺は、表現が違うだけで、同じことを意味していると思います。
124 ひゃま 2014/11/28 (金) 01:31:35 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 06:41 [修正] [削除]
>>122

そう、結果が曖昧なのに手段にそれを求めてしまうと、デジタルとアナログの境に無限とか時間がどう関係するのかという命題になろうかと・・・

それかkafukaさんがおっしゃるとおり、数学的なn→∞みたいな関数使う限り不問とするかじゃないでしょうか?
不思議なのは、数字→∞という行為はなにかを0もしくは1にする行為になっているところで、そこに本質が潜んでいるような気がします。

宇宙論的には、時間n→∞は距離が0とか、距離n→∞は時間が0とか、takoyakiさんいう濃度かもしれません。次元関係?・・・
量子論的なら収束する距離?
多世界的に見るとそこらへんがいたるところで小宇宙があるのかもしれませんね
125 x_seek 2014/11/28 (金) 06:58:38 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、takoyakiさん、不識庵さん、kafukaさん、こんにちは。

この問題の出題意図は、数学と物理の両方で実無限、可能無限、有限の
すべてについて、深く考えて頂くことです。
最初は、数学の実無限から考えてみてください。

「知人の家に到着」とは「歩いた距離が1km」になることです。
ぴったり1kmです。移動誤差も測定誤差もありません。
話を簡単にするため「位置を測定するのに要する時間」は0とします。

歩く速度は時速4kmです。理論上の到着予想時刻は15分後です。
「手帳に数字を書き込む時間」については、あえて申し上げません。
この時間について深く考えていただくことが目的の一つだからです。






この問題は次のゼノンのパラドックスと同じ構造をしています。

●アキレスと亀のパラドックス
アキレスの前方0.5 kmの位置に亀がいます。
アキレスの速度を時速4kmとします。亀の速度を時速2kmとします。
今、アキレスと亀は同時に歩き始めます。

 最初に亀がいた位置にアキレスが到着するまでに歩く距離は1/2 kmです。
 つぎに亀がいた位置にアキレスが到着するまでに歩く距離は1/4 kmです。
 つぎに亀がいた位置にアキレスが到着するまでに歩く距離は1/8 kmです。
 このプロセスを繰り返します。

さて、アキレスは亀に追い着くことができるでしょうか?
なお、追い着いた場合、亀はアキレスに前記プロセスの回数を質問します。






歩いた距離は等比級数なので、次のように計算できます。
 1/2+1/4+1/8+...=1

アキレスが亀に追い着くはずの距離は1kmです。
理論上の到着予想時刻は15分後です。

実無限では、アキレスは亀に追い着くことができるとされています。
なぜなら、実無限では空間を実無限回、分割可能であり、
全プロセスの回数は実無限回にできるからです。
実無限では、各プロセスを1/∞秒で終えることができます。
でも、アキレスは亀の質問にどう答えたのでしょうね。

一方、可能無限では、アキレスは亀に追い着くことができません。
なぜなら、可能無限では空間を任意の有限回、分割可能であり、
全プロセスの回数は任意の有限回だからです。
可能無限では、各プロセスを終えるのに任意の有限時間がかかります。
アキレスは亀に限りなく近づきますが、決して到達できないのです。






現実の世界では、どうなると思いますか?
もし空間に最小距離があったら、どうなるでしょうか?

上記について、ぜひ、深く深く考えてみて欲しいと思います。
126 x_seek 2014/11/28 (金) 07:01:23 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 19:46 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>90
> 面素が連続かつ滑らかに変化していくことで、ジャガイモのような多様体
> (起伏はあるが表面はすべてなめらかな曲面)が数学的に扱えるようになるわけですね。

この文面を見たとき、私は、とてもうれしかったのです。
なぜなら、私はずっと頭の中でジャガイモを思い浮かべていたからです。

私は、とても長い間、次の問題を考えていました。

 一個のジャガイモと一個のジャガイモを足すにはどうすればいいだろうか?

これは、私にとって、とても難しい問題でした。
なぜなら、私はずっと、ジャガイモの表面の位置ごとに、
ジャガイモの半径を足すと考えていたからです。

ジャガイモの大きさが変わったら、片方のジャガイモの位置が余ってしまいます。
そもそも、形の異なる二個のジャガイモの位置は、どのように対応付けるのでしょうか?
どこから手をつければよいか、さっぱりわかりません。
そもそも問題設定が正しいかすらわかりません。

とても長い間、悩み続けていたのですが、ある日、突然、閃きました。
立体角ごとに表面積を足せばいいのではないかと。

思いついてしまえば、なぜ、思いつかなかったのか不思議なぐらい単純なアイデアです。
こうすれば、大きさと形の異なる2個のジャガイモを安心して足すことができます。

早速、数学を調べた所、微分形式が使えそうでした。
無限小の法線ベクトルdAを微分形式と呼びます。
しかし、私の論文では、空間に最小距離が存在するため、
有限小の法線ベクトルδAを差分形式として導入しました。それが次の式です。

 δA(ω)=δA1(ω)+δA2(ω)

上記の式は、多様体Aが、多様体A1と多様体A2の和であると解釈できます。
127 x_seek 2014/11/28 (金) 07:03:03 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>124
> 不思議なのは、数字→∞という行為はなにかを0もしくは1にする行為に
> なっているところで、そこに本質が潜んでいるような気がします。

とても鋭い指摘です。

> 多世界的に見るとそこらへんがいたるところで小宇宙があるのかもしれませんね

すばらしい洞察力だと思います。
ひゃまさんは、奇抜な発想が得意なのかもしれませんね。
128 ひゃま 2014/11/28 (金) 07:36:01 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 08:03 [修正] [削除]
>>125

数学の実無限、超える(以上)という条件了解しました。
が、そのまえに亀やウサギがあるという存在の定義を数学的にお願いします。
競馬とかでは決勝ラインは最小は鼻差、それでも区別つかなければ同着にします。
ご存知の通り質点はものの大きさではありません、だから先端があるにも条件があります。
量子論てきにも「月は見ないとないのか?」っていう決定論があります。
ひゃま論的には重心の移動速度と波動速度を分けているくらいです。
だからそのn→∞でも重心は超えなくても、物質(先端)のあるは超えるはずです。
だからあるという存在も0か1に収束することを無条件に受け入れるしかないのではないでしょうか?
129 takoyaki 2014/11/28 (金) 07:54:32 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>125

メモ帳記入問題について。私はこう考えました。

数学の場合
実無限 →ゴールに到達する。
     渡されたメモ帳は無限ページあるあるので、最後のメモは確認不可能。
可能無限→ゴールに到達する。
     渡されたメモ帳は有限ページだと主張する。
     しかし、メモ帳はあまりに膨大で、それを確認するまでに無限の時間を必要とする。
     よって確認は不可能のまま決着はつかない。
つまり、二つに違いはない。

物理学の場合。(プランク距離を前提)
実無限ではないのに、実無限の数学モデルを適用すると、メモ帳がページ数無限になるという
矛盾が発生する。したがって、あまり意味がない。
可能無限モデルの場合、メモ帳は膨大になるものの、最後のメモを確認できる。

したがって、可能無限モデルによって最後のメモを確認できるかどうかという物理実験
を行うことができれば、メモの回数に応じて分割の可能限界を知ることができる。
あるいは可能無限ではゴールに到達しないはずなのに、「無限のメモ帳」を持って
到達してしまったら世界は実無限の濃度だったことの証明になる。
しかしながら、今のところそのような可能無限モデルの物理実験は不可能に思える。

前回と同じことしか言ってませんが、少し詳しく書いてみました。
130 不識庵 2014/11/28 (金) 21:11:22 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>125 x_seek さん、

丁寧に説明して頂き有難うございます。
ただ、正直、何を仰りたいかよく分かりませんでした。

(1) >可能無限では、各プロセスを終えるのに任意の有限時間がかかります。

  これは何故でしょうか?

  >話を簡単にするため「位置を測定するのに要する時間」は0とします。

  こちらは0と仮定できるのに、他のプロセスで0と仮定出来ない理由があるのでしょうか?
  0は任意の有限時間に入らないのでしょうか?

(2) >でも、アキレスは亀の質問にどう答えたのでしょうね。

  申し訳ありませんが、想像もつきません。
  「正しい(もしくは正しそうな)答えが思い浮かばない。」というが正直な所です。
  しかし、>>129のtakoyakiさんの投稿を拝見させて頂くと、「どう答えたか分からない。」というのが正しい答えのようにも思えて来ております。  

(3) >一方、可能無限では、アキレスは亀に追い着くことができません。

  時速4qで1kmを進む限り、15分後には1q進むと思います。
  可能無限を想定すると、時速4qで進めなくなるという事でしょうか?
  (恐らく上記(1)と関連していると思いますが・・・。)
  手帳に数字を書き込む間、その人は立ち止まっているのでしょうか?、歩きながら書着込んでいるのでしょうか?
  (歩きながら書き込んでいるとしたら、書き込んでいる間に着いちゃいました、なんて事もあり得ますが、これが答えではないですよね?)

「x_seekさんが問題を出して、他の人がそれを考える。」というコミュニケーションの方法は、時間ばかりかかって効率が悪いように思います。

円滑なコミュニケーションのため、可能無限と実無限で何が違うか、解説をお願い出来ないでしょうか?
 (例え話には曖昧さが紛れ込むので、曖昧さが紛れ込まないように、∀やら∃を使った解説の解説等をつけて頂けると、さらに良いコミュニケーションになると思います。)
131 x_seek 2014/11/29 (土) 07:31:48 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
不識庵さん、こんにちは。

従来のゼノンのパラドックスと区別するため、
この問題を「記録型ゼノンのパラドックス」と呼ぶこととします。
記録型では、残距離が半分になると手帳に数字を記録します。


>>130
> ∀やら∃を使った解説の解説等をつけて頂けると、
> さらに良いコミュニケーションになると思います。

ご提案ありがとうございます。εδ論法で説明するため、
記録型ゼノンのパラドックスを次の命題に言い換えてみましょう。

●命題
 手帳に数字nを記録した時の残距離をanとする。anは次のとおり。
 a1=1/2
 a2=1/4
 a3=1/8
 ...
 an=1/2^n

 残距離anは0に収束する。つまり、「到着」する。


可能無限はこの命題をεδ論法で次のように定義します。

●命題
 ∀ε>0,∃N>0 s.t. ∀n>N ⇒ |an-0|<ε


言葉で書くと、次のようになります。

●命題
 任意の許容誤差ε>0を決めたとき、ある数字Nを決めれば、
 そのNより大きな任意の数字nを手帳に書き込む時、
 その誤差の範囲で知人宅に到着している。


δではなくNを使っていますが、これもεδ論法です。
εδ論法は有限量だけを使います。



> (1) >可能無限では、各プロセスを終えるのに任意の有限時間がかかります。
>   これは何故でしょうか?

記録型では到着までの時間Tは決まっています。今回は15分です。
手帳に記録した数字nは有限量です。
したがって、手帳に書き込む時間tはT/n>0であり有限量です。

許容誤差ε>0が任意のためNも任意の値となり
結果として、t=T/N>0も任意の有限時間となります。
132 x_seek 2014/11/29 (土) 07:33:10 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
不識庵さん、こんにちは。

>>130
> >話を簡単にするため「位置を測定するのに要する時間」は0とします。
> こちらは0と仮定できるのに、他のプロセスで0と仮定出来ない理由があるのでしょうか?

手帳への記録が同様の役割を果たしており、話を簡単にするため0としました。

測定した位置を「記録」するならば記録時間を0にはできません。
もし記録時間0で記録できるならば、有限時間で無限個の数字を記録できてしまいます。



> 0は任意の有限時間に入らないのでしょうか?

おっしゃるとおりですね。うっかりしていました。ごめんなさい。
条件は0より大とします。

εδ論法はε>0が前提です。しかし今回はε=0なので前提を満たしません。
したがって、誤差0の場合、可能無限では知人宅に到着できません。



> (2) >でも、アキレスは亀の質問にどう答えたのでしょうね。
>   申し訳ありませんが、想像もつきません。

従来のゼノンのパラドックスは、実無限で説明可能とされてきました。
しかし記録型ゼノンのパラドックスは、
これまで覆い隠されてきたその矛盾点をあぶりだしたと考えています。

訪問者は知人の質問に答えることができません。
ならば知人はきくでしょう。

「本当に最後まで記録したのですか?
 最後まで記録したならば、その証拠として最後の数字を見せてください」

証拠が示せないならば、本当に最後の数字を記録したといえるのでしょうか?

有限時間に無限個の数字を記録するには、記録時間0で記録する必要があります。
もし記録時間0で記録できるならば、有限時間で無限個の数字を記録できます。
そのことは、次の命題で表現できます。

・「終わりのない数字」を終わりまで書いた。

上記の命題は矛盾しています。

無矛盾は存在の基盤、矛盾は非存在の証です。
この矛盾は実無限の非存在を示しています。



> (3) >一方、可能無限では、アキレスは亀に追い着くことができません。
>  時速4qで1kmを進む限り、15分後には1q進むと思います。
>  可能無限を想定すると、時速4qで進めなくなるという事でしょうか?

距離1kmを時速4qで進み続けるのですから、15分で着くのは確実です。
記録時間が有限のため、記録が間に合わなくなるのです。

> (歩きながら書き込んでいるとしたら、書き込んでいる間に着いちゃいました、
> なんて事もあり得ますが、これが答えではないですよね?)

可能無限では、これが一番真実に近いと思います。
133 x_seek 2014/11/29 (土) 07:38:44 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
不識庵さん、こんにちは。

>>130
> 「x_seekさんが問題を出して、他の人がそれを考える。」という
> コミュニケーションの方法は、時間ばかりかかって効率が悪いように思います。

数学は本来効率が悪いものと考えています。
なぜなら、数学とは、教科書を読んで暗記することではなく、
過去の偉人の発見を、個人が繰り返すことだからです。
(偉そうなことを言って申し訳ありません)

それは、とても効率が悪い作業ですが、大切な作業だと私は考えています。

物理学で例えれば、慣性の法則は、個人が再発見しなければ
本当に理解したとは言えないと思います。
生物学の言葉で言えば、個体発生は系統発生を繰り返すのです。

ここで言っている偉人の例はアリストテレスです。
彼は、可能性としての無限しか認めず、現実的な無限を認めませんでした。
それは、彼が自分の頭で考えて得た、主張する価値のある重要な結果なのです。

過去の偉人の発見を個人が繰り返すには、
自分の頭で、相当長い時間をかけて深く深く考える必要があります。
134 x_seek 2014/11/29 (土) 08:00:19 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、問題について考えていただきありがとうございます。

>>129
> つまり、二つに違いはない。

不識庵さんに回答したメールを参考にして、
もう一度考えて直してみて、もらえないでしょうか?

私は、次のように考えています。

・実無限は到達できるが矛盾する。
・可能無限は無矛盾だが到達できない。

したがって、第3の道が必要なのです。
それを考えてみてほしかったのです。

私は、それを有限だと考えています。
永遠の世界は存在しないのです。




takoyakiさんは、自分の頭で考え、答えを得ました。
それは、とても価値あるすばらしいことです。

私はtakoyakiさんとの対話を通し、自分の間違いをいくつか発見しました。
そして、それらの間違いには価値がないと思いました。
しかし、私は、必ずしもそうではないことに気づきました。

間違いは次の条件を満たすとき、正解以上の価値を持つのです。
・自分の頭で考えて得たこと。
・その間違いを認め正すこと。

135 x_seek 2014/11/29 (土) 08:17:15 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>128
> が、そのまえに亀やウサギがあるという存在の定義を数学的にお願いします。

ひゃまさんは、物理的観点で考えていらっしゃいますが、
その前に、数学的観点で、しっかり考えてみませんか?
なぜなら、数学は物理学の基盤だからです。

数学的に矛盾するものは、物理的にも矛盾します。
無矛盾は存在の基盤、矛盾は非存在の証です。

実無限は数学的に存在すると思いますか?
誤差0の可能無限で到達できると思いますか?

物理学における「存在」は非常に難しい問題です。
この問題と戦うには、研ぎ澄まされた武器が必要です。
その武器の一つがεδ論法です。εδ論法は
>>93 で解説しています。よろしければ、ご参照ください。
136 ひゃま 2014/11/29 (土) 08:40:09 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 09:54 [修正] [削除]
x_seekさん、おはようございます。

>>135
いやあ、前から不思議なんです。 数学や算数といいながら
決まってミカン、りんごや有形物が登場して、その性質は述べない
たとえば、うさきや亀じゃなくても、そんなことを問わないなら
がんばれとファイトが競争しましたでもよいのでは?
これをそうだって言い切っちゃ得れるなら、それはそれで時間と空間を超越できるかもしれません。
137 takoyaki 2014/11/29 (土) 10:02:07 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
ひゃまさん、おはようございます。

>>136
もしかしたら、私の意見は間違っているかもしれませんが、私の考え方を言葉にしてみたい
と思います。

今回の「記録型ゼノンのパラドックス」で重要なのは、メモの最後の数値がいくらであるか
ではなく、有限の数値を答えられるか否か。また、答えられないのに到着したと考えて良いのか、
という争点だと思います。
ここで、亀やうさぎの持つパラメータが何であれ、亀が先行しているという事実と、
ウサギのほうが速いという事実さえあれば、議論は可能であるように思えます。
x_seekさんの真意は、結論に影響を及ぼさないと考えられるパラメータは先に取り除いて
思考のコスト削減をはかりましょう、ということだと思います。

一方で、ひゃまさんは、「結論に影響を及ぼさない」という判断を疑われていると思います。
その設定いかんによっては、争点が変わってしまう可能性すらあるかもしれません。
ただ、パラメータを与えるにしても、そこには最終的に「任意性」が絡んでしまうように
思えます。
だったら、初めから出題者が「任意」に与えた情報のみで議論をするのも一つの手ではないかと。
どこかで線引きをしないと・・・と思うのです。
x_seekさんの与える情報に、明らかな不備があるなら、それを指摘するのは重要だと思います。

などと、偉そうなことを言ってすみません。
私は間違っているかもしれません。

x_seekさんの新しいコメントについてもさっそく私も色々考えたのですが、どうやらそれを書き込む時間はなさそうです。
今晩にでも、この議論に再び参加したいと思いますので、よろしくお願いします。

138 ひゃま 2014/11/29 (土) 10:21:53 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
takoyakiさん、おはようございます。

ひゃまも突き詰めて勉強しているわけではないので良くわかってなく
自分の考えをぶつけてみてるだけですが、
1か0に収束することを無条件に受け入れてからどのように解釈するのかと?
いや無条件じゃないんだという主張なら、解釈ではなくこうなんだといってもらわないと解らないというのが本音です。
139 takoyaki 2014/11/29 (土) 10:28:04 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
それについては、今晩、私の考えを発表したいと思います。
未熟な意見かもしれませんが・・・
140 x_seek 2014/11/29 (土) 10:48:22 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>136
> たとえば、うさきや亀じゃなくても、そんなことを問わないなら
> がんばれとファイトが競争しましたでもよいのでは?

ひゃまさんの発想はポイントを突いていると思います。
なぜなら、同じ発想に基づいてヒルベルトが次のように言ったからです。

・点、直線、平面は、テーブル、椅子、ビールジョッキと呼んでもよい。

ひゃまさんの発想に似てますよね。(^^)



でも私は、そのようには思いません。
なぜなら、私は、数学とは現実の世界を表現するものだと考えているからです。
数学は物理の基盤であり、物理は数学の証なのです。
だから、数学と物理の両方を考える必要があります。

決して、物理について考えないと言っているのではありません。
しっかり数学を固めてから、物理を考えましょうと言っています。
難しい問題を理解する方法は、単純なものを徐々に複雑にしてくことです。
この問題に関して言えば、物理は数学より複雑です。
なぜなら、物理では、量子力学や場の量子論で考える必要があるからです。



現代数学では抽象化が高度に進んでいます。
でも私は、現実世界との対応を見失ってはならないと考えています。

はるかな昔、人類は、羊の頭数を数え、牛の頭数を数えました。
ある一人の偉人が3匹の羊と3匹の牛の共通概念を考えた時、
それが人類の数学の始まりだと考えています。

ときどき、「数なんて存在しない」という方がいらっしゃいます。
でも私は「数の対応物が現実世界に確かに存在する」と考えているのです。
141 ひゃま 2014/11/29 (土) 11:24:16 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

ひゃまは、物理も数学もツールとしてしか意識してなくて
論理的にどうなのかだけ意識しています。
だからこのパラドクスは無形でも成り立つのか意味あるのかだけです。
有形であれば、光速度が有限なのでプランク距離でBH形成されそれを在るとかで解決したいと考えます。

だから、x_seekさんが何を解決されたいかで考え方が変わるような気がします。
もし無限小〜数〜無限大の現実的な意味論であれば、難しくて今のひゃまでは分かりません。
142 takoyaki 2014/11/30 (日) 00:31:23 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

今日はやっぱりあまり時間がなくて、これまでの議論を消化しきれていません。
とりあえず、書けるところまで書いておこうと思います。

>>132
>「終わりのない数字」を終わりまで書いた。
>上記の命題は矛盾しています。
>無矛盾は存在の基盤、矛盾は非存在の証です。
>この矛盾は実無限の非存在を示しています。

x_seekさんの、この発言にはびびびっと来るものがありました。
ようやく真意が見えてきたような気がします。

私の意見はまだ確定していませんが、少なくとも無限についての最初のイメージは
私とx_seekさんでは、違っていたようです。
すでに書いた通りですが、私は可算無限でも実無限と同じように到着すると考えたのです。
それはなぜか?

無限は私にとっては、すでに実在しているものだったからです。
√2は小数点以下、無限に続きます。それでいて、数直線の中にしっかりと位置を持っています。それは1と2の間にある数だとはっきりと言えます。
幾何学的にも、正方形の対角線として、目に見える存在です。
円周率πも、超越数ですが、数直線上に表すことができます。
これらの数は数学的に実在します。
すると、実数濃度の数直線を考えなくてはなりません。
小数点以下が無限に続くような数が、実数濃度で詰まっている状況は事実として受け入れ
なくてはなりません。
これはイメージできるかどうかの問題ではなく、「数学的事実」というのが私の当初の立場です。

「到着できるか?」の問いについても、方法が説明できないことは不可能の条件ではないと
考えました。
人間がどんな考え方をしようとも、15分後に到着するのはすでに起きている「事実」です。
これから先どうなるかという話なら、「わからない」と答えるしかないでしょう。
しかし、「すでに到着している」ところから逆に考えたらどうでしょうか?
方法は分からなくとも、この事実は変えられない。
説明できないのは、人間の認知メカニズムに問題があるからです。
可算無限では到着しないという主張は「気のせい」と言えるのではないか?

数学的事実として、私たちは1kmの線分を描くことができます。
あるいはkafukaさんがすでに仰ったように、すでに面積の分かっている円をいくら分割しても
もはや面積が変わることはない。

それが私の考えの根底にありました。

しかし、よく考えてみると、「無限」という言葉を魔法か何かのように都合良く使っていた
かもしれない。
「記録型ゼノンのパラドックス」
は、少なくとも「到着するか」という事に関して、実無限と可算無限の違いを判別できる
可能性があるかもしれない。
そして、そこから無限の性質について一歩斬り込んだ議論ができるかもしれない。

しかし、x_seekさんの、物理は有限だ、という結論はまだ納得できる状況ではありません。

ここから先は明日以降とさせて頂きます。


143 不識庵 2014/11/30 (日) 03:11:06 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>131->>134、x_seek さん、

丁寧な解説を有難うございます。

詰まる所、x_seekの仰りたいのは次の点かと思われます。

>・実無限は到達できるが矛盾する。
>・可能無限は無矛盾だが到達できない。

しかし、私としては同意出来ないように思っております。
理由は次の通りです。

(1) >手帳に数字nを記録した時の残距離をanとする。anは次のとおり。
  >a1=1/2
  >a2=1/4
  >a3=1/8
  >...
  >an=1/2^n
  >
  >残距離anは0に収束する。つまり、「到着」する。

  この観点では、収束と到着は意味が違うと思います。
  この点列の到着と、経過時間tの関数としての移動距離x(t)の観点での到着が混同されているように思われます。
  (「x(15)=1なので、15分後には到着する。」という観点。)

(2) >εδ論法はε>0が前提です。しかし今回はε=0なので前提を満たしません。
  >したがって、誤差0の場合、可能無限では知人宅に到着できません。

  >有限時間に無限個の数字を記録するには、記録時間0で記録する必要があります。
  >もし記録時間0で記録できるならば、有限時間で無限個の数字を記録できます。

  純然に数学の問題であるにも関わらず、可能無限の場合に記録時間を0に出来ない理由が理解できません。
  実無限の場合には、1/∞とできるにも関わらずです。(>>125)
  欲しい結論が出るよう、条件を恣意的に決めているようにも見えます。

(3) > 「本当に最後まで記録したのですか?
  > 最後まで記録したならば、その証拠として最後の数字を見せてください」

  最後の数字がある事が暗に仮定されているように思います。
  数字が無限にあるのだとしたら、単に最後の数字が無いだけだと思います。

  可能無限:任意の自然数Nに対して、それよりも大きい自然数があるのだから、最後の数字は無い。
         http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11105486921
  実無限 :数字は無限にあるのだから、最後の数字は無い。

  可能無限と実無限で違いは無いように思われます。

  最後の数字が無いかもしれない事から、上記の問いは、次のように書き換える方が適切のようにも思えます。
  「本当に全て記録したのですが?
   全て記録したならば、その証拠として全ての数字を見せてください。」

  可能無限:任意の数字を見せる事ができ、これよりも大きい数字が存在する。
  実無限 :全ての数字を見せる事ができる。

  それでも両者に実質的な違いは無いように思います。


私としては、仰る実無限と可能無限は、

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11105486921

で説明されている、実無限、可能無限と違うような気がしています。
(何が違うかまでは説明できませんが・・・。)

ともあれ、私はx_seekさんの投稿を見るまで、無限に実無限と可能無限の区別がある事を知りませんでした。
ご教示有難うございました。


144 takoyaki 2014/11/30 (日) 06:51:38 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
不識庵さん、おはようございます。

>純然に数学の問題であるにも関わらず、可能無限の場合に記録時間を0に出来ない理由が理解できません。

これについては、x_seekさんはしっかりとした理由をお持ちだと思います。
横槍を入れて申し訳ありません。しかし、説明不足だったと思われます。
なぜなら、肝心の部分がスレッド内で語られていないからです。

x_seekのウェブサイトから抜粋させていただきます。(要約してすみません)
---------------------------------------------------------------------------
0.999999999・・・=1
これは正しい等式です。
数字の 9 が無限に並んだ状態を「実無限」と呼びます。
(しかし)数字の 9 が無限に並んだ状態を想像することは非常に困難です。 もっと簡単に、この等式を理解できないでしょうか?
そこで、極限という概念を導入します。ここで次の数列を考えてみましょう。

a1 = 0.9
a2 = 0.99
a3 = 0.999
an = 0.999 · · · 9
その数列は限りなく値 1 に近づきます。しかし、決して値 1 には到達しません。

an < 1
この決して到達しない値 1 を数列 an の「極限値」と呼びます。 極限値とは、決して到達しない値なのです。
---------------------------------------------------------------------------

可算無限では、0.999999…と、その「極限値」は区別されています。
0.999…は、0.9+0.09+0.009…
であり、任意の回数繰り返しても、必ず最後には9で止まるように定義されています。
したがって、0にはならないと断言できます。

0になるのは、それが極限値になった場合ですが、極限値と「=」で結ぶのは、「=」という
記号の拡張であり、我々が便利だからそうしているだけで、本来は成立しません。

x_seekさんは、現在の数学が習慣として受け入れているこの「=」の用法を、もう一度考え直す立場を取っていらっしゃることを、前提に話をしなければならないように思います。

x_seekさん、もし、私の説明に間違いがありましたら、ご指摘下さい。
よろしくお願いします。
145 ひゃま 2014/11/30 (日) 08:01:53 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
ひゃまも、自分の考えがまとまったので可能無限と実無限が何か調べてみました。 知らなかったのかよw

また、『数学』の世界では、「その値が無限に大きくなる」無限大と「その値が無限に小さくなる」無限小があります。したがっって、 『数学』の世界では、『実無限』としての無限大、無限小、『可能無限』としての無限大、無限小が概念として存在しています。
http://homepage3.nifty.com/nanamas/nana25a202.html

自然の無限大と無限小のクロスが数になると考えると、上の説明は逆説的ですね。
だからメートルとか秒とか単位を持ち込んだ段階ですべての物理量が相関しますので、クロスポイントの意味が物理的になろうかと?
146 takoyaki 2014/11/30 (日) 16:16:21 ID:24fsL7VI/w 修正アリ: 12/01 (月) 14:38 [修正] [削除]
「記録型ゼノンのパラドックス」に対する答えとして、実無限を否定するなら
微分に対しても同じことが言えると思う。
微分は有限の幅を持たなければ、本来成立しない。
微分は物理学に対して有効に働いている。
自然は可算無限かもしれない。(←可能無限でした。失礼しました)

ただ、本当にこの考え方で矛盾なくすべてを説明できるのだろうか・・・?

などと思案中です。
147 takoyaki 2014/11/30 (日) 17:06:47 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさんのロジックに矛盾を発見しました。
ラーメンを食べている間にむくむくと疑問が湧き上がり、閃きました。

可算無限ではゴールに「到着できない」とする。
すると、同様の理屈によって1/2地点までの距離であっても「到着できない」ことになる。
以下、1/4でも、1/8でも、1/16でも…「到着できない」
結果として、一歩も前に進めないことになる。
これはすなわち、記録をメモにつけることも不可能であることを意味する。

したがって、可算無限では「到着できない」と証明することは不可能である。

148 x_seek 2014/12/01 (月) 07:16:18 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 2015/01/05 (月) 16:09 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>144
> なぜなら、肝心の部分がスレッド内で語られていないからです。

説明いただき、ありがとうございます。takoyakiさんの認識どおりです。

> a1 = 0.9
> a2 = 0.99
> a3 = 0.999
> an = 0.999...9
> その数列は限りなく値 1 に近づきます。しかし、決して値 1 には到達しません。
>

> an < 1
> この決して到達しない値 1 を数列 an の「極限値」と呼びます。
> 極限値とは、決して到達しない値なのです。

上記の考え方で、可能無限では到着できないと判断しました。
(サイトの記事は、可能無限に関する記述を一部訂正しています)


>>146
> 微分は有限の幅を持たなければ、本来成立しない。

私はtakoyakiさんの見解に全面的に同意します。
(しかし実際の所、同意してくれない人が多いかもしれません)

> 自然は可算無限かもしれない。

可算無限ではなく可能無限です。可算無限は実無限の一種です。
でも私は、自然は可能無限ではなく有限だと考えています。
この世界には、最小距離があるのです。


>>147
> x_seekさんのロジックに矛盾を発見しました。

takoyakiさんのおっしゃるとおり、私のロジックには矛盾がありますね。(^^;)

> 結果として、一歩も前に進めないことになる。

そうです。可能無限では一歩も進めません。

> したがって、可算無限では「到着できない」と証明することは不可能である。

「可能無限で一歩も進めない」ことの証明になっていませんか?
「可能無限で一歩も進めない」ならば「到着できない」と考えます。
149 x_seek 2014/12/01 (月) 07:17:59 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
不識庵さん、こんにちは。

>>143
>(1)
> この観点では、収束と到着は意味が違うと思います。
> この点列の到着と、経過時間tの関数としての移動距離x(t)の観点での到着が
> 混同されているように思われます。
> (「x(15)=1なので、15分後には到着する。」という観点。)

こちらの記述の意図がよくつかめませんでした。申し訳ありません。
到着は、x(t)の観点で判断すべきであり、
anの観点で判断すべきではないということでしょうか?

歩行距離の情報は、x(t)とanの両方から得られるため、
到着有無はx(t)の観点とanの観点の両方で判断可能と考えます。

>(2)
> 純然に数学の問題であるにも関わらず、可能無限の場合に
> 記録時間を0に出来ない理由が理解できません。

念のため「可能無限」の定義を確認したいと思います。

可能無限とは、
1,2,3のような加算する数における任意の有限量nのことです。
任意の有限量nに対し常に下記が成立します。

1/n > 0

nは任意の有限量なので、決して下記は成立しません。

1/n = 0

この1/nを残距離とすれば、残距離は常に0より大きいです。
そのため、有限のnに対して、到着することはありません。

可能無限には、無限量は現れません。
もしnが無限になったら、それは可能無限ではなく実無限となるからです。
可能無限では到達しないという状況は改善されません。

また、記録時間と申しましたが、正確には記録の時間間隔でした。申し訳ありません。
記録の時間間隔をtとし、x(t)の観点での到着時間をTとすれば、

t>T/2^n>0

であり、0より大きいです。
x(t)の観点では到着するのに、anの観点で到着しないのは、
これがパラドックスだからです。
x(t)の観点では到着するのだから、anの観点でも到着するはずという推測は
妥当ですが、それを矛盾のない論理で説明する必要があります。

(3)
> 最後の数字が無いかもしれない事から、上記の問いは、
> 次のように書き換える方が適切のようにも思えます。
>   「本当に全て記録したのですが?
>    全て記録したならば、その証拠として全ての数字を見せてください。」
>  可能無限:任意の数字を見せる事ができ、これよりも大きい数字が存在する。
>  実無限 :全ての数字を見せる事ができる。

(2)で説明したとおり、可能無限は有限のnに対して、到達することはありません。
またnを無限にすると、それは可能無限ではなく実無限になってしまいます。
150 x_seek 2014/12/01 (月) 07:19:13 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>106
> x_seekさんがベクトルと関数の例を出すのに、
> なぜ実数にこだわるのかが気になりました。

私は複雑な数式を理解するのが苦手です。
だから、できるだけ単純な数式から始め
それを徐々に複雑な数式に変えていくようにしています。
実数が最も単純だったため、実数としました。

> 複素数ベクトルや複素関数だと、何か都合の悪い点があるのでしょうか?

複素数でも都合の悪い点はありません。実数で概念の本質を理解してから、
複素数で同じことを慎重に繰り返せばよいと考えています。
複素数の場合は、二乗の際に絶対値を取る必要があります。


> 関数を離散化する理由はどこにあるのか、
> なぜδ関数を使うのか、まだうまく飲み込めていません。

私は、ベクトルと関数で規格化の方法がまったく異なるのに
なぜ同じ言葉を使うのかとても不思議に思いました。

ベクトル:A^2 = |v|^2 = v1^2+v2^2+v3^2
関数:  A^2 = ∫|f(x)|^2 dx

でも差分δxを使えば、ベクトルと関数を似た形に書けます。

ベクトル:A^2 = |v|^2 = v1^2+v2^2+v3^2
関数:  A^2 = |f|^2 = (f1^2+f2^2+...+fn^2)δx

こうすることによって、ベクトルと関数で同じ「規格化」という
言葉を使う理由が、解りやすくなると思います。


あと、形が似ていて紛らわしいのですが、
差分δxとディラックのデルタ関数δ(x)は異なるものです。
δ(x)の定義は次のとおりです。

 f(0)=∫f(x)δ(x)dx

差分δxとは、上記の式の無限小dxを有限の大きさにしたものです。


> また、それと関係するのかわかりませんが、
> 有限のヒルベルト空間と無限のヒルベルト空間を
> なぜ区別する必要があるのかも、よく飲み込めていません。
> もし、何かヒントを頂けたら嬉しいです。

私は区別不要と考えてます。
ただ、状況に依存するかもしれないので、もしよかったら、
区別が必要と言われた具体的な状況を教えてください。


> それから面素の定義式の意味がやっぱりわかりません。
> δS(ω)=h(ω)δω
> について。
> δS(ω)とh(ω)はどちらも面積を表していて、次元は同じですね。
> h(ω)に微小な立体角δωを掛けると次元が変わってしまうような気がします。
> つまり、数式の中のδωが何を意味しているのかがわからないのです。

微分形式dxに倣って、δωを差分形式と呼ぶことにします。
差分形式δωは、単位球面の面素の法線ベクトルです。
単位は立体角です。さしあたり0.1 [rad](ラジアン)ぐらいと考えればよいです。
単位球面の全表面積は4π〜12なので、120面体の一面に相当します。

仮に半径を2mとしましょう。球の表面積は4*2^2*π〜48 [m^2]です。
面素δS(ω)の単位は面積m^2です。
すると面素δSは、半径2mの120面体の一面に相当します。
δS(ω)=h(ω)δω=2^2*0.1=0.4 [m^2]です。

球面調和関数h(ω)はの単位はm^2/radです。
半径が2mだと、2^2=4 [m^2/rad] です。
これは単位立体角あたりの面積と解釈できます。


>>例えば、ラプラス方程式は作用素で次のようにかけます。
>>  F=d^2/dx^2
>>  F[f]=0

一次元のラプラス方程式 F[f]=0 を満たす関数は、
直線 f(x)=ax です。以下プライム記号で微分を表現します。
 f(x)=ax
 f'(x)=a
 f''(x)=0

となり、一次元のラプラス方程式を満たします。これは地表付近の重力ポテンシャル
 φ(h)=gh
に相当します。

曲線 f(x)=ax^2 は一次元のラプラス方程式を満たしません。
 f(x)=ax^2
 f'(x)=2ax
 f''(x)=2a

でF[f] ≠ 0です。
151 x_seek 2014/12/01 (月) 07:22:26 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>90
> <tex>\delta s(\omega)=h(\omega) \delta \omega</tex>
>

> この数式を日本語に翻訳することってできますか?

立体角の差分形式δωは、半径1の単位球面の面素の法線ベクトルです。
次の式が成立します。

 Σδω=0

この立体角の差分形式により、次の式に到達しました。

 δA(ω)=h(ω)δω

この式の解釈ですが、前記の単位球面で考えることができます。
単位球面の地表を区画します。
関数h(ω)が大きな区画は単位球面の外側へ膨らんでいると解釈します。

これが一番、普通の解釈です。
しかし普通でない解釈も可能です。

単位球面の地表を閉じた部屋に分けます。
ある部屋に入ると、ドラえもんの4次元ポケットのように、
部屋の中が外見よりも広くなっていると考えてみましょう。
この場合、この単位球面は通常空間の方向には膨らんでいません。
別次元の方向へ膨らんでいます。
152 ひゃま 2014/12/01 (月) 07:49:05 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
ちょっと言い足りない、独り言を・・・

単位を持ち込んだ時点でといいましたが、単位を持ち込まなくても
数値自体が比較なので、1を設定した時点で比較になります。
無限大と無限小のクロスが数だといいましたが
数があること自体、その時点で結果であり、すべての物理現象が相関すると考えます。

153 takoyaki 2014/12/01 (月) 08:19:10 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

コメントの数が増えてx_seekさんも大変ですね(^^;)
もしかしたら「記録型ゼノンのパラドックス」は、新しいスレッドを立てたほうが
良いのではないかと、私は思ったのですが、いかがでしょうか?
154 x_seek 2014/12/01 (月) 08:29:10 ID:wS4opo7Qwk [修正] [削除]
一点訂正します。
可能無限は数ではありません。
可能無限とは、任意の数をさらに加算し新しい数を得ることができる「可能性」が存在するという命題のことです。
155 ひゃま 2014/12/01 (月) 10:05:13 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
x_seekさん、おはようございます。

要は、実無限と可能無限は点間のデジタルとアナログの違いでしょうか?
でも点間の点は点で置けたのに、点間のデジタルとアナログの違いが
物理的じゃない意味はどこにあるのでしょうか?
156 x_seek 2014/12/01 (月) 12:30:26 ID:wS4opo7Qwk 修正アリ: 12/04 (木) 06:20 [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。
可能無限と実無限の公理を検討中です。
素案は下記です。

<自然数>
@1の存在
 ∃1
A加算値の存在
 ∀n,∃m=n+1

<可能無限>
B1は最小値、循環しない
 ¬∃a s.t. b=a+1⇒b=1
C実無限の非存在
 ¬∃z s.t. y=z+1⇒y=z
D大小関係
 ∀n,m=n+1⇒m>n

<実無限>
B1は最小値、循環しない
 ¬∃a s.t. b=a+1⇒b=1
C実無限の存在
 ∃z s.t. y=z+1⇒y=z
D大小関係
 ∀n≠z,m=n+1⇒m>n

<有限>
B1は最小値、循環する
 ¬∃a<1 s.t. b=a+1⇒b=1
  ∃a≧1 s.t. b=a+1⇒b=1
C実無限の非存在
 ¬∃z s.t. y=z+1⇒y=z
D大小関係
 ∀n≠a,m=n+1⇒m>n
157 ひゃま 2014/12/01 (月) 13:27:20 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>156

x-seedさん、ちょっと話がずれるかも知れませんが、
無限と自然数の関係性において
自然数1の公理ってあるのでしょうか?
158 takoyaki 2014/12/01 (月) 15:05:54 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
ひゃまさん、自然数1の公理は私も興味あります。
どうやるんでしょうねえ。

x_seekさん、私の質問に答えて下さりありがとうございます。
また「可能無限」を「可算無限」と誤表記した件、大変失礼致しました。
>>146に誤表記であることを書き入れておきました。

それ以外の点について、お返事はしばらくお待ち下さい。
特に「有限」の意味を分かりかねております。
じっくり考えてみたいと思います。

ものわかりの悪い相手に教えるのも大変かとは思いますが、ひとつよろしくお願いします。
159 x_seek 2014/12/01 (月) 18:31:54 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>153
> コメントの数が増えてx_seekさんも大変ですね(^^;)

そうですね。(^^;)
実は、実無限と可能無限と有限の違いが
少しわからなくなってきているところです。
それで、公理について勉強中です。

> もしかしたら「記録型ゼノンのパラドックス」は、新しいスレッドを立てたほうが
> 良いのではないかと、私は思ったのですが、いかがでしょうか?

ご提案ありがとうございます。そうですね。
新しいスレッドを立ててみようと思います。(^^)
ひゃまさんやtakoyakiさんから頂いている質問についても
そちらのスレッドで回答しようと思います。
160 x_seek 2014/12/01 (月) 21:02:44 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>90
>「調和関数」って何なんでしょう???

関数h(ω)は調和関数ではなく、球面調和関数でした。すいません。
球面調和関数とは、調和関数の球座標の角度成分の関数です。

調和関数について説明します。

コンサートホールにピアノの旋律が鳴り響いているところを
想像してみてください。この旋律は位置x,y,zごとの
気体分子密度の関数f(x,y,z)で表現できます。

この関数は、なだらかな波の形をしており
ラプラス演算子Δで次のように表現できます。

 Δf=0

ラプラス演算子とは、次のような線形の微分演算子です。
 Δ = d^2/dx^2 + d^2/dy^2 + d^2/dz^2

この演算子の物理的意味は次のように表現できます。

・ある位置の密度は、その位置を囲む球面での密度の平均に等しい。

このラプラス方程式を満たす関数が調和関数です。
調和関数とは音楽を表現する関数のことだったのです。
161 x_seek 2014/12/05 (金) 01:07:34 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

スレッド「ゼノンのパラドックス」の>>37
了解です。数式を使いすぎました。(^^;)

takoyakiさんは、図形を想像することに長けているので、
数式を使わずに図形で非可換性について説明してみようと思います。

地球の赤道上空にある宇宙ステーションから見た地球を想像してみましょう。

この地球の北極を宇宙ステーションの方向へ、90度倒して、回転させます。
今、北極は正面に見えています。
次に地球を、天頂からみて反時計まわりに90度回転します。
すると、北極は宇宙ステーションから見て、右側にあります。

さて、最初の状態に戻り、回転操作の順序を入れ替えます。

この地球を天頂からみて反時計まわりに90度回転します。
今、北極の位置は変わらず上に見えています。
次に、この地球の北極を宇宙ステーションの方向へ、90度倒します。
すると、北極は宇宙ステーションから見て、正面にあります。

地球では回転操作の順序を入れ替えたら、結果が一致しません。
このように回転操作の順序交換で結果が変わる性質を非可換性といいます。

非可換性の本質は、地表の二次元的な曲がりにあります。
実際、一次元的な曲がりでは、非可換性は現れません。

例えば、複素数は、輪の回転および拡大とみなせます。
この場合、回転操作の順序を入れ替えても、結果は変わりません。
この性質を可換性といいます。
162 ひゃま 2014/12/05 (金) 07:57:46 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
x-seekさん、おはようございます。

無限とか引っ張り出して結局なにがいいたいのって思ってましたが、

この論文で、ボルンは散乱問題についてのシュレーディンガー方程式を解き、光電効果についてのアインシュタインの業績からヒントを得て[3]、ボルンの規則が解の解釈として唯一の可能性のあるものであると脚注で結論している。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A6%8F%E5%89%87

解釈が仮説になるかどうかは別として、この線は基本かもしれませんね。
163 x_seek 2014/12/05 (金) 21:14:59 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>162
> 無限とか引っ張り出して結局なにがいいたいのって思ってましたが、

私がゼノンのパラドックスを提示した狙いの一つは、
空間に最小距離があることを示すことでした。

私はこのスレッドで、ボルンの規則を導出したと主張していますが、
その導出で用いた仮定の一つが、最小距離の存在だったからです。


> 解釈が仮説になるかどうかは別として、この線は基本かもしれませんね。

ひゃまさんは、ボルンの規則を、他の原理からは導くことができない
基本的な原理だと、お考えですか?
164 ひゃま 2014/12/06 (土) 06:37:02 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
x_seekさん、おはようございます。

>>163

>空間に最小距離があることを示すことでした。

これは重力の量子化を意味しますか?

>ボルンの規則を、他の原理からは導くことができない基本的な原理だと、お考えですか?

散乱問題がありボルンの規則が量子力学の法則になってるんだあっていうくらいですね。
それがわかったら、論文だして世に問うでしょうにw
165 takoyaki 2014/12/06 (土) 20:26:32 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>161
x_seekさん、こんにちは。

わかりやすい解説ありがとうございます。
同じことを別の言い方にしているだけかもしれませんが、私は二次元→三次元の回転になると、右手系と左手系の二種類の系が誕生し、この二つが同時に成立しないことが本質のような気がします。

非可換とは何か、だんだんわかってきました。
それが「数学」にとってどういう意味を持っているのか。

いずれ、発表しますので、楽しみにしてて下さい。まあ、単に私が赤っ恥をかくだけかもしれませんがね。(苦笑い)
その時は、その時です。
166 hirota 2014/12/06 (土) 21:46:28 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>右手系と左手系
二次元でもx軸とy軸を入れ替えた座標は二次元回転で一致しません。
でも三次元で回転すれば一致します。
三次元の右手系と左手系も四次元で回転すれば一致します。
本質とは言えませんね。
167 takoyaki 2014/12/06 (土) 22:56:22 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>166
hirotaさん、お教え頂きありがとうございます。

発言された内容はすべて仰る通りだと思いました。
特に四次元の回転について私は考えたことがなかったので、目から鱗でした。

ただ、「本質」という言葉は私が恣意的に使った言葉で、本来ならちゃんと説明しなくてはならない部分でした。
申し訳ありません。

私がいま注目しているのは「三次元なら」とか「四次元なら」という可能操作の定義域を扱う問題なのです。
その回転操作が果たして可能なのかどうかということが、数学的にどのような意味を持っているのかという問題について、いま私は考えを進めています。だいぶ抽象的な話なのですが・・
そういう視点から見ると、「右手系」と「左手系」の二つが数学的に平等に存在すると言うことが重要な意味を帯びてきます。
ですから、少なくとも私にとっては「本質」と思える、ということでした。
これ以上のことを説明するには、かなりの長文になってしまうので、のちほど「研究発表」の場で順を追って説明したいと思います。
ただいま、その準備をしている最中です。
まだ25パーセントくらいしか進んでいませんが・・・
168 x_seek 2014/12/07 (日) 11:18:12 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>164
>>空間に最小距離があることを示すことでした。
>

>これは重力の量子化を意味しますか?

ひゃまさんは難しいところを突いてきますね。(^^;)
答えはNoです。空間の離散化は「重力場」の量子化を意味しません。

ちなみに、私は「量子化」という用語をそろそろ見直す時期と考えています。
なぜなら、本来、量子化の意味は離散化に近い意味だからです。
古典力学における粒子を、空間的に広がった波に変換する操作を
量子化と呼ぶことは、一般の方にとっては直感に反するでしょう。

歴史的には、光のエネルギーが連続量ではなく、
量子化されていることから命名されたと考えています。

個人的には「波動化」がいいかなと考えています。
つまり「粒子を波動化すると波動関数になる」ということです。
文章的にも自然だと思いませんか?


>>ボルンの規則を、他の原理からは導くことができない基本的な原理だと、お考えですか?
>

>散乱問題がありボルンの規則が量子力学の法則になってるんだあっていうくらいですね。

「ボルンの規則は量子力学の法則である」と認識されているということですね。
お考えを教えていただき、ありがとうございます。とても参考になりました。
169 x_seek 2014/12/07 (日) 11:28:01 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>165
>いずれ、発表しますので、楽しみにしてて下さい。

はい。楽しみにしています。(^^)
私はtakoyakiさんが書いている科学史も、とても楽しみしていますよ。
なぜなら、科学史における人間としてのドラマが感じられるからです。
170 ひゃま 2014/12/07 (日) 14:19:07 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>168
x-seedさん、こんにちは

弦理論みたいなものですか?
超弦理論とボルンの確率規則の関係もよく解ってないのに聞いてるんですがw

171 x_seek 2014/12/09 (火) 23:56:43 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>170
>弦理論みたいなものですか?

ひゃまさんの質問が、どんどん難しくなってきている気がします。(^^;)
もしかして、わざとやってます?(笑)

波動関数を多様体と解釈するアイデアは、弦理論に似ていると思います。
なぜなら、弦理論は粒子を多様体の一種である弦とみなす理論だからです。

#ただ私は弦理論のことが、よくわかっていません。



ひゃまさんは、類似点があると判断したから質問されたのですよね。
#でなければ「猫みたいなものですか?」という質問でもよかったはずです。

できれば、次回質問される際は、どのような観点で類似すると
思ったのかについても、合わせて書いていただけると助かります。
質問意図がわからない状態での回答は、とても難しいためです。

どうか、よろしくお願いします。m(_ _)m
172 ひゃま 2014/12/10 (水) 04:59:44 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 12:38 [修正] [削除]
>>171
x_seedさん、おはようございます。
>#ただ私は弦理論のことが、よくわかっていません。
同じです^^;
>ひゃまさんは、類似点があると判断したから質問されたのですよね。
そう、オイラーの公式とか使っていませんでしたか?
https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww#t=122
超弦理論と何が違うのかなあという、単純な疑問です。
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/75dfba6307d01a5d522d174ea3e13863
173 x_seek 2014/12/11 (木) 20:33:11 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>172
>そう、オイラーの公式とか使っていませんでしたか?

あぁ、そういう意図での質問でしたか。
私の回答は、的外れでしたね。(^^;)

私の理論は、今のところ、オイラーの公式と関係ありません。
ですが、トンネルの左と右から穴を掘っているように、
いつか、つながってくると予想しています。

下記ページは、オイラーの公式を簡単に説明できていると思います。
もしよろしければ、ご参照ください。

・ゼータ関数とベルヌーイ数
 http://www.geocities.jp/x_seek/zeta.html
 ・なぜゼータ関数 ζ (−1) = “1+2+3+4+...” は無限大に発散しないのか?
  http://www.geocities.jp/x_seek/Euler.htm

174 ひゃま 2014/12/11 (木) 20:48:42 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
x_seekさん、こんばんわ

>いつか、つながってくると予想しています。

あーx_seekさんほど、理解している訳でもありませんが
ひゃまもそう考えていて、ひゃまの理論でも減衰の時間差の合成を光の時空の呼吸なんじゃないかとイメージしている段階です。
っていっても突っ込まれても、説明できるほどわかりません。

リンクはまた検討するときの参考にさせていただきます。
175 takoyaki 2014/12/16 (火) 23:22:57 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

長らくこちらのスレッドでの議論を放置していて申し訳ありませんでした。
色々と教えて頂いたのにちゃんと返事を書いていないことが山積しており心苦しく思っております。

一つずつ消化していきたいと思いますが、順番は興味の深いものから、という我が侭を許されるなら、調和関数についてまず教えて頂きたいです。
相変わらず多様体との繋がりが掴めていません・・・

>コンサートホールにピアノの旋律が鳴り響いているところを
>想像してみてください。この旋律は位置x,y,zごとの
>気体分子密度の関数f(x,y,z)で表現できます。
ここまではOKです。とても分かりやすいと思いました。

>この関数は、なだらかな波の形をしており
>ラプラス演算子Δで次のように表現できます。
ここでいきなり演算子が出てくるのが、追いつけませんでした。
空気の密度はまず一様である姿をイメージし、それにラプラス演算子を与えると、空気中を伝わる三次元の波を表現できるということでしょうか?

> Δf=0

>ラプラス演算子とは、次のような線形の微分演算子です。
> Δ = d^2/dx^2 + d^2/dy^2 + d^2/dz^2

>この演算子の物理的意味は次のように表現できます。

>・ある位置の密度は、その位置を囲む球面での密度の平均に等しい。

何を二階微分したのか、なぜ波になるのか、まだうまく飲み込めません。
位置を囲む球面から情報を手に入れて、それが次の状態を決定するなら、次々と連鎖反応が起きて連続した波になるだろうという漠然としたイメージは湧きます、
しかし、二階微分がその位置を囲む密度の平均になる、というのがまだわかりません。
微分は微小な変化量ですよね・・・
それをまた微分する・・・
難しいです。

基礎的なことを理解していなくて申し訳ないです。
ヒントを頂けると助かります。


176 x_seek 2014/12/17 (水) 23:00:26 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>175
>長らくこちらのスレッドでの議論を放置していて申し訳ありませんでした。
>色々と教えて頂いたのにちゃんと返事を書いていないことが山積しており
>心苦しく思っております。

おつきあいいただき、ありがとうございます。
あせらずゆっくり進めたいと思ってますので、大丈夫ですよ。
どうか、お気になさらず。(^^)

今、takoyakiさんとの対話をきっかけに得たアイデアをベースに論文を執筆中です。
完成したらtakoyakiさんにはぜひ読んでもらいたいと思っています。
そのときには、どうか、よろしくお願いします。

> 一つずつ消化していきたいと思いますが、順番は興味の深いものから、
> という我が侭を許されるなら、調和関数についてまず教えて頂きたいです。

もちろんです。興味の深いものから進めていきましょう。

> >ラプラス演算子Δで次のように表現できます。
> ここでいきなり演算子が出てくるのが、追いつけませんでした。
> 空気の密度はまず一様である姿をイメージし、それにラプラス演算子を与えると、
> 空気中を伝わる三次元の波を表現できるということでしょうか?

話をわかりやすくするため、1次元で考えたいと思います。
次のようなバネでつながれた玉を考えます。玉が上下に微小震動します。

f(x)

|w●w●w●w
+―――――――→x
__x-1_x_x+1_

右の玉が中央の玉を上向きに引っ張る力を $F_R$ とします。
左の玉が中央の玉を上向きに引っ張る力を $F_L$ とします。
バネ係数を1とすれば、それぞれ次の差分で表現できます。

<tex>F_R=f(x+1)-f(x)</tex>
<tex>F_L=f(x-1)-f(x)</tex>

系が安定状態ならば、この二つの力の合力は0です。
そのとき、次の式が成立します。

<tex>F_R+F_L=0</tex>

代入すると下記です。

<tex>f(x+1)-f(x)+f(x-1)-f(x)=0</tex>

<tex>f(x+1)+f(x-1)=2f(x)</tex>
<tex>f(x)=\frac{f(x+1)+f(x-1)}{2}</tex>

このように、中央の玉の位置は左右の玉の位置の平均となります。

ここで差1を微小量hで置き換えます。

<tex>F_R=f(x+h)-f(x)</tex>
<tex>F_L=f(x-h)-f(x)</tex>

それぞれ両辺をhで割ります。

<tex>\frac{F_R}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</tex>
<tex>\frac{F_L}{h}=\frac{f(x-h)-f(x)}{h}</tex>

すると、それぞれ微分で次のように書けます。

<tex>\frac{F_R}{h}=f'(x)</tex>
<tex>\frac{F_L}{h}=-f'(x-h)</tex>

あとのために、hを残しています。
この二つの力の合力が0ならば、次の式が成立します。
<tex>\frac{F_R}{h}+\frac{F_L}{h}=0</tex>

代入すると下記です。
<tex>f'(x)-f'(x-h)=0</tex>

ここで両辺をhで割ります。

<tex>\frac{f'(x)-f'(x-h)}{h}=0</tex>

すると、微分で次のように書けます。

<tex>f''(x-h)=0</tex>

hは、もう使わないので0にします。

<tex>f''(x)=0</tex>

これがラプラス方程式の物理的意味なのです。
あとは、これを高次元化すればよいのです。

ここまでで、わからないことがあれば、教えてください。
どんなささいなことでもかまいません。ゆっくりいきましょう。

あと、ゲーデルの不完全性定理で全域を定義しましたが、
あの説明でわからなかったところがあれば、質問いただいてもかまいませんよ。

それでは、また。
177 x_seek 2014/12/18 (木) 20:27:13 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>176
><tex>F_R=f(x+1)-f(x)</tex>

上記の式を補足しておこうと思います。

<pic>(80,80)\put( 0, 0){\line(1,0){60}}\put(60, 0){\line(0,1){10}}\put( 0, 0){\line(6,1){60}}\put( 0, 0){\circle*{5}}\put(60,10){\circle*{5}}\put(65,5){y}\put(30,-10){1}\put(30,10){r}</pic>

上記の図で、二つの玉を斜めにバネが結んでいるとしましょう。
このバネの長さをrとします。

するとピタゴラスの定理により次の式が成り立ちます。
<tex>1^2+y^2=r^2</tex>

これは、次のように計算できます。
<tex>r=\sqrt{1+y^2}=1+\frac{y^2}{2}+\cdots \sim 1</tex>

つまり、yが微小距離ならばバネの長さは変わりません。
しかし、方向は変わります。バネの張力をTとすると
横方向の力と縦方向の力は次のとおりです。。

<tex>F_x=T \cos(y)\sim T</tex>
<tex>F_y=T \sin(y)\sim Ty</tex>

角度がyなのは、yが微小距離ならば半径1の円とみなせるからです。

二つ目の式より下記となります。
<tex>\frac{F_y}{T}= y</tex>

ここで、
<tex>y = f(x+1)-f(x)</tex>
<tex>F_R = \frac{F_y}{T}</tex>

としたのが、最初の式となります。

また>>176では次の記号を使っています。

<tex>f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</tex>

 $x$ を $x-h$ に置きかえれば次の式になります。

<tex>f'(x-h)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}</tex>
178 takoyaki 2014/12/18 (木) 21:09:15 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

詳しく教えて下さりありがとうございます。
先にお礼だけでも伝えておこうと思いまして。

x_seekさんの論文楽しみにしています。
こんな私でも何かの役に立ったのであれば幸いです。

全域の話ですが、ただいま関係しそうな用語などをリサーチ中で、まだろくに質問すらできないレベルです。
「公理」「命題」「数理論理学」「集合論」「ZFC」「ゲーデル」「三値理論」「ファジー理論」などで、ウィキペディアに載っているようなことを大雑把に目を通しています。
知りたいことは色々ありますが、
例えば数学のパラドックスと呼ばれるものの共通項は何だろう?とか・・・
でも、議論をする前にまず論理記号の読解ができないと話になりません。

もしx_seekさんさえよければ、初心者向けの演習問題など5問程度だして頂けると嬉しいです。
すっごい我が侭ですよねえ・・・
甘えるな!と言われれば、はい、と答えます。

調和関数については、いましばらくお待ち下さい。次の投稿でお返事を書きます。
(バネのイメージ、分かりやすかったです。図を作るスキルがすごいですね!)

179 takoyaki 2014/12/18 (木) 23:09:53 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

調和関数について投稿します。

まず全体の感想ですが、微分の応用範囲の広さには驚きました。
物理学では方程式をhで割って、人工的に(?)に微分形式を作るのはそれほど珍しいことでもないのかもしれませんが、素人目線では「よく思いつくなあ」と感心します。
hは一番最後の段階で消してもいいというのは「ゼノンのパラドックス」スレッドでさんざん考えたおかげで、今なら納得できます。あのときじっくり考えて良かったなあ、と思いました。

バネ係数を初めに1として頂いたのは分かりやすくて助かりました。
あとで、バネ係数がkの場合も考えてみましたが、

<tex>F_R+F_L=0</tex>

の段階で係数は消えるので、さほど重要じゃないと気づきました。


さて、ちょっと疑問が残った部分もあるので、それについてここから書きたいと思います。

@「系が安定状態ならば」とはどういう意味だろう?と思いました。

<tex>f''(x)=0</tex>

を導くまでの計算過程に疑問はありません。
形式的に解いていけば、確かにこの形になるということを驚きつつも納得をしました。
しかし、この式が表している意味は
<tex>f''(x)=0</tex>ならば、xは動かない。
ということに思えます。
まだそれ以上のことも、それ以下のことも言っていない気がするのですが、なぜこの式が「波」を表しているのか、そのイメージにつながりません。
それとも、その答えはこの続きの部分に残されているのでしょうか?

Aちょっと恣意的に思える部分が・・・
<tex>F_R = \frac{F_y}{T}</tex>
という形を出してきたい意図は理解できるのです。
しかしr=1のままと言いつつ、張力Tの縦方向の成分の変化は認める、というのは恣意的に感じられたのですが、こういうのはアリなのでしょうか?それとも私がまだ何か重要なことに気づいていないということでしょうか?

Bルートの外し方がわからない・・・
<tex>r=\sqrt{1+y^2}=1+\frac{y^2}{2}+\cdots \sim 1</tex>
この式がわかりませんでした。
もしかして、すごく初歩的な式の展開なのかもしれませんが、なにぶん高校以来数学をやっていなかったもので、こんな方法あったっけな?と戸惑ってしまいました。
<tex> \frac{y ^{2} }{2} </tex>
はどこから出てきたのだろう?と首を傾げてしまいました・・・

以上です。
高次元の場合についてはどうなるのだろう?と疑問に思いましたが、それはまだ次のステップの話かと思いますので、まだ質問はしません。

よろしくお願いします。

180 x_seek 2014/12/20 (土) 00:32:20 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 01:09 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>178
>例えば数学のパラドックスと呼ばれるものの共通項は何だろう?とか・・・

難しいですね…
基本的にはA∧¬Aだと思いますが、他のパターンもあるかもしれません。
考えてみようと思います。

> もしx_seekさんさえよければ、初心者向けの演習問題など
> 5問程度だして頂けると嬉しいです。

もちろん、構いませんよ。(^^)
では、初心者向けの演習問題を出そうと思います。
(他の方も解いて頂いて構いません)

■問題1
命題A: 今、太陽が空にある。
命題B: 鳥に翼がある。

命題C: A⇒B

ある論理学者が、昼と夜に命題Cを述べたとします。
昼における、命題Cの真偽はどうなりますか?
夜における、命題Cの真偽はどうなりますか?
その論理学者は常に正直者ですか?

■問題2
命題A: 今、太陽が空にある。
命題B: 豚に翼がある。

命題C: A⇒B

ある論理学者が、昼と夜に命題Cを述べたとします。
昼における、命題Cの真偽はどうなりますか?
夜における、命題Cの真偽はどうなりますか?
その論理学者は常に正直者ですか?

■問題3
命題A: 鳥に翼がある。
命題B: 今、太陽が空にある。

命題C: A⇒B

ある論理学者が、昼と夜に命題Cを述べたとします。
昼における、命題Cの真偽はどうなりますか?
夜における、命題Cの真偽はどうなりますか?
その論理学者は常に正直者ですか?

■問題4
命題A: 豚に翼がある。
命題B: 今、太陽が空にある。

命題C: A⇒B

ある論理学者が、昼と夜に命題Cを述べたとします。
昼における、命題Cの真偽はどうなりますか?
夜における、命題Cの真偽はどうなりますか?
その論理学者は常に正直者ですか?
181 x_seek 2014/12/20 (土) 00:40:32 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>179
>物理学では方程式をhで割って、人工的に(?)に微分形式を作るのは
>それほど珍しいことでもないのかもしれませんが、
>素人目線では「よく思いつくなあ」と感心します。

教科書では普通、差分ではなく微分から始めます。
そのため、珍しい方法かもしれません。

> あとで、バネ係数がkの場合も考えてみましたが、

さすがですね。そのような地道な確認がとても大切です。

> @「系が安定状態ならば」とはどういう意味だろう?と思いました。

良い指摘だと思います。
系が安定状態じゃないと合力が0になりません。
この結果、ニュートンの運動方程式により加速度が生じます。
つまり次のようになります。

<tex>F_R+F_L=m\ddot{f}(x)</tex>

fの頭にある二つの点は、時間に関する二階微分を意味します。
mは質量です。この結果、波打つのです。

>Aちょっと恣意的に思える部分が・・・

私も恣意的かなと少し思いました。なので良い指摘だと思います。
少し物理的な話になります。

計算で微小量hを無視したのですが、本当のhは有限なのです。
したがって、本当は一項たりとも無視してはならないのです。
今回は、式を簡単にするために、近似しているのです。
hによる小さな効果を測定する場合は、hを残して計算しなおすのです。

> しかしr=1のままと言いつつ、張力Tの縦方向の成分の変化は認める、
> というのは恣意的に感じられたのですが、こういうのはアリなのでしょうか?

アリではありません。rは本当は1ではありません。式を簡単にするための近似です。
この近似が妥当なことはεδ論法が保証してくれます。
hが0.01のような微小量ならば、h^2は0.0001のようなもっと小さい微小量となり
最終的な計算結果では、目標誤差の範囲に収まるのです。


> Bルートの外し方がわからない・・・

すいません。説明不足でした。簡単に説明すると次のような考え方です。
<tex>(1+x)^1=1+1x</tex>
<tex>(1+x)^2=1+2x+x^2</tex>
<tex>(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3</tex>
<tex>(1+x)^n=1+nx+\cdots</tex>

今回の場合は、n=1/2のため、上記と少し違います。
そこでテイラー展開を使います。

<tex>f(x)=\frac{f(0)}{0!}x^0+\frac{f'(0)}{1!}x^1+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots</tex>

テイラー展開する関数が
<tex>f(x)=(1+x)^{1/2}</tex>

の場合は、

<tex>f(x)=\frac{1}{0!}x^0+\frac{1/2}{1!}x^1+\frac{-1/4}{2!}x^2+\cdots</tex>
<tex>f(x)=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\cdots</tex>

となります。

takoyakiさんが疑問に思うことは、かつて私が疑問に思ったことと同じです。
なので、自信を持ってよいと思います。
#いや、この論法はおかしいのかな?(笑)
182 hirota 2014/12/20 (土) 13:49:03 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
2項展開の一般式は
 $(1+x)^a=\underset{r=0}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{x^r}{r!}\underset{k=0}{\overset{r-1}{\prod}}(a-k)$ 
で、aが自然数なら有限項となって上にある2項展開です。
もちろんテイラー展開と一致しますから、無限項なら収束半径は1です。
183 x_seek 2014/12/20 (土) 14:54:00 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 16:20 [修正] [削除]
hirotaさん、こんにちは。

>>182
教えていただき、ありがとうございます。
2項展開の一般式はこんなにコンパクトに表現できるんですね。
知りませんでした。

aが自然数の場合に有限項となるのは不思議な感じがします。
184 denpa 2014/12/20 (土) 17:10:46 ID:DP0g64pPQU [修正] [削除]
>aが自然数の場合に有限項となるのは不思議な感じがします。
これは、数の呼び方を復習した方がいいのではと思います。
(分数,無理数,自然数...等の呼び方を確認)

これは失礼でした。無限和が「不思議」に思えた。という事ですね。
185 x_seek 2014/12/20 (土) 17:43:35 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
denpaさん、こんにちは。

>>184
私の意図をご理解いただきありがとうございます。(^^)

一応、私はaが自然数の場合に有限項となる仕組みを理解した上で、
「不思議な感じがする」と、感想を述べています。

aが自然数の場合の単純な2項展開の背後には、
無限和の世界が広がっているのだなぁという感慨を持ちました。
186 takoyaki 2014/12/20 (土) 20:01:00 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>180
問いの答え方がこれでいいのか分からないので、まず一問だけ答えてみます。

>■問題1
>命題A: 今、太陽が空にある。
>命題B: 鳥に翼がある。

>命題C: A⇒B

>ある論理学者が、昼と夜に命題Cを述べたとします。
>昼における、命題Cの真偽はどうなりますか?
>夜における、命題Cの真偽はどうなりますか?
>その論理学者は常に正直者ですか?

<私の回答>

昼の場合
命題A:今、太陽が空にあるので、真である。
命題B:鳥には翼があるので、真である。
命題C:AもBも真なので、真である。

夜の場合
命題A:今、太陽は空にないので、偽である。
命題B:鳥には翼があるので、真である。
命題C:Aが偽、Bが真なので、真である。

論理学者は、昼も夜も命題Cを述べ、ともに命題Cは真であったので、正直者である。

以上です。

いかがでしょうか?
187 x_seek 2014/12/20 (土) 22:20:46 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>186
はい。正解です。(^^)

以下の形式でもよいです。
昼:今、太陽が空にあるならば鳥に翼がある。(真)
夜:今、太陽が空にあるならば鳥に翼がある。(真)
論理学者は常に正直者。

出題のねらいは「⇒」に慣れることですので。
188 ダークサイド 2014/12/20 (土) 22:43:40 ID:iVA.oIm2m2 [修正] [削除]
問題2
今、太陽が空にあるならば豚に翼がある。
昼:偽
夜:真
論理学者は常に正直者なわけではない

問題3
鳥に翼があるならば今、太陽が空にある。
昼:真
夜:偽
論理学者は常に正直者なわけではない

問題4
豚に翼があるならば今、太陽が空にある。
昼:真
夜:真
論理学者は常に正直者である

やってみました。
189 x_seek 2014/12/20 (土) 22:48:51 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ダークサイドさん、参加いただきありがとうございます。

>>188
正解です。(^^)

「豚に翼がある」なんていいながら、
正しいことを言っているケースがあるという事実に
慣れて頂ければ、出題のねらいを達成できたことになります。
190 takoyaki 2014/12/20 (土) 23:33:00 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>188

私もダークサイドさんと同じ答えになりました。

x_seekさん、出題ありがとうございました。
>「豚に翼がある」なんていいながら、
>正しいことを言っているケースがある
私もこれが感覚的に掴めるようになってきました。

191 x_seek 2014/12/21 (日) 10:50:29 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>190
もちろん、正解です。(^^)

>>「豚に翼がある」なんていいながら、
>>正しいことを言っているケースがある
>私もこれが感覚的に掴めるようになってきました。

はい。それが出題のねらいでした。

命題を
 命題A: 今、太陽が空にある。
 命題B: 鳥に翼がある。
 命題C: A⇒B
とすると、次のようになると思います。

命題A:命題変項(偶然的真理)
命題B:命題定項(必然的真理)
命題C:命題定項(論理的真)

命題の真偽をbitとする整数を命題整数と呼ぶこととします。
次の命題整数をつかって命題Cを計算してみましょう。

A:0b0011 (A) 3
B:0b1111 (B) -1
C:0b1111 (A⇒B) -1=3⇒-1

命題定項は0と-1であるため、命題Cは命題定項です。
192 takoyaki 2014/12/22 (月) 00:42:47 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>191

命題整数は面白い概念ですね。
193 takoyaki 2014/12/22 (月) 01:04:09 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
ペアノの公理を勉強していて思ったのですが、自然数を定義する方法って果たして一つだけなのだろうか?と。

命題整数で数を作れるなら、工夫次第ではペアノの公理とは違う方法で自然数を作れないかなあ、などと妄想しました。
194 hirota 2014/12/22 (月) 01:31:31 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
ブルバキ以後は集合論から自然数を構成する方が普通じゃないですかね。
195 takoyaki 2014/12/22 (月) 01:39:13 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>194

不勉強なもので・・・
普通じゃない方法があるのか、ということを素朴な疑問として思ったのです。

公理の独立性というものは究極的に素数のように独立した分解不可能な素があるのか、それとも別の公理といくらでも置き換えてしまうことが可能な性質のものなのか、といったところをまだ掴めずにいます。

そこでペアノの公理とは別の方法で自然数を生み出せるか、という疑問を抱きました。
196 hirota 2014/12/22 (月) 03:52:02 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
公理はいくらでも置き換え可能です。
ブルバキは全数学を集合論から構成する方針でしたからペアノの公理に依存しません。
(下のpdfの4ページと10ページ)
http://pauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/tmp/kikaku03.pdf
もちろん圏論のように集合論以外から数学を構成する方式もあります。
数学は極めて自由なものですよ。
197 takoyaki 2014/12/23 (火) 08:20:36 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>196
公理はいくらでも置き換え可能であることの説明は、

全数学は公理的集合論で定義可能

集合論の分出公理により、公理の組み合わせを変えても等価な公理系を作り出せる
(あるいは置換公理?)

という意味でしょうか?
まだ公理的集合論の内容を飲み込めていなくて、自分がとんでもない誤解をしていそうで怖いです。

ペアノの公理とは別にZFCから自然数を導けるという話と、
「逆数学」なる研究分野がある、ということはとても興味深く拝読させて頂きました。
198 hirota 2014/12/23 (火) 12:54:03 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
公理が置き換え可能であることは集合論と関係ない話ですから、当然ながら集合論の公理と関係ありません。
http://ja.wikipedia.org/wiki/形式主義_(数学) より
「数学は決められたルール(公理と推論法則)に従って行われるゲームであり、ルールを取り替えることによってできる異なるゲームは、それぞれ同等である。」
199 takoyaki 2014/12/25 (木) 10:55:09 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>198

hirotaさん、ありがとうございます。
形式主義について少しずつわかり始めてきました。

>圏論のように集合論以外から数学を構成する方式
というのがまだよくわからず、気になっています。
図書館に行っても、タイトルに「圏論」という言葉のはいった本が一冊もないという。
大学などの図書館に行かないと、そういう本って手に入らないのかな・・・
200 takoyaki 2014/12/25 (木) 11:13:52 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>181

x_seekさん、こんにちは。
遅くなりましたが、お返事を書かせて頂きます。

>系が安定状態じゃないと合力が0になりません。
>この結果、ニュートンの運動方程式により加速度が生じます。
>つまり次のようになります。

<tex>F_R+F_L=m\ddot{f}(x)</tex>

>fの頭にある二つの点は、時間に関する二階微分を意味します。
>mは質量です。この結果、波打つのです。

なるほどです。
ここでニュートン力学の加速度が出てくるんですね。「二階微分」という単語がなぜ物理学の本によく出てくるのか、少し納得した気分です。しかし、具体的な数値を入れてみないと、どうにもわかった気持ちになれません。私はまだ理解半分といった状態です。すみません。

>アリではありません。rは本当は1ではありません。式を簡単にするための近似です。
>この近似が妥当なことはεδ論法が保証してくれます。
>hが0.01のような微小量ならば、h^2は0.0001のようなもっと小さい微小量となり
>最終的な計算結果では、目標誤差の範囲に収まるのです。
これもなるほどと思いました。近似の発想は数学にもあるとは思いますが、それでもこの考え方は物理の発想だな、と思いました。

>そこでテイラー展開を使います。
テイラー展開、ついに出てきてしましましたね・・・。
ざっくりとは知っているのですが、まだちゃんと勉強したことはないのです。
@結論だけ受け入れて、先へ進む。
Aテイラー展開は重要なので、ちゃんと理解するまで先へ進むな。
どちらの態度が今の私にふさわしいでしょうか?
私としては@の方針をとりたいのですが・・・

201 takoyaki 2014/12/25 (木) 11:42:13 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
私は自分の研究発表で「全域」という概念を勝手に作ってしまいましたが、数学者がすでに同じような概念を考えていなかったとは思えません。むしろ私よりずっと深く鋭く考えていたはずです。
ウィキペディアを色々と渡り歩いていたら「グロダンディーク宇宙」という用語が出てきました。
詳しいことは理解できませんでしたが、何やら近しいものであるような臭いを感じとりました。
それとも私の気のせいでしょうか?
202 hirota 2014/12/25 (木) 13:14:05 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>圏論
圏論は数学をするための「高級言語」http://www.is.s.u-tokyo.ac.jp/isnavi/logic06.html

哲学者のための圏論入門 http://choreographlife.jp/pdf/intro.pdf
「internal な視点…集合論的な数学観…中身が何か
externalなやり方…圏の世界…他の対象たちとどのように関係しているか」

圏論による論理学―高階論理とトポス http://www.amazon.co.jp/dp/4130120573
203 x_seek 2014/12/26 (金) 07:51:56 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 12/27 (土) 08:25 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>200
>しかし、具体的な数値を入れてみないと、どうにもわかった気持ちになれません。
>私はまだ理解半分といった状態です。すみません。

では、もっと簡単な例で考えてみましょうか。(^^)
次の単振動を考えます。

|/\/\/\/●
----------------------------> $f(t)$ 

ニュートンの運動方程式は下記です。
<tex>F=m\ddot{f}(t)</tex>

バネの力 $F$ はつぎのように書けます。
<tex>F=-kf(t)</tex>

したがって、次の式が成立します。
<tex>m\ddot{f}(t)=-kf(t)</tex>

ここで計算を簡単にするため、質量とバネ係数を1にします。
<tex>\ddot{f}(t)=-f(t)</tex>

天下りですが、2回微分してマイナスが出る関数は下記です。
<tex>f(t)=e^{it}</tex>

オイラーの公式より下記のようにできます。
<tex>f(t)=\cos(t)+i\sin(t)</tex>

この式から単振動することがわかります。


>>そこでテイラー展開を使います。
>テイラー展開、ついに出てきてしましましたね・・・。
>ざっくりとは知っているのですが、まだちゃんと勉強したことはないのです。
>@結論だけ受け入れて、先へ進む。
>Aテイラー展開は重要なので、ちゃんと理解するまで先へ進むな。
>どちらの態度が今の私にふさわしいでしょうか?
>私としては@の方針をとりたいのですが・・・

では、次のBとCの方針で行ってみましょう。

B回避する。
C少しだけ理解する。

B回避する。
理解したい式は下記でした。
<tex>f(h)=\sqrt{1+h} \sim 1+\frac{h}{2}</tex>

微分の式を書いてみましょう。
<tex>f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</tex>

両辺にhをかけます。
<tex>f'(x)h=f(x+h)-f(x)</tex>

移項します。
<tex>f(x+h)=f(x)+f'(x)h</tex>

 $x$ に0を代入します。
<tex>f(h)=f(0)+f'(0)h</tex>

元の式だと下記のようになります。
<tex>f(0)=1</tex>

<tex>f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}</tex>

<tex>f'(0)=\frac{1}{2}</tex>

従って次のようになります。
<tex>f(h)=1+\frac{1}{2}h</tex>

目的の式が得られました。


C少しだけ理解する。
例として次の指数関数を考えます。
<tex>f(x)=e^x</tex>

この指数関数が次のように書けると仮定しましょう。
<tex>f(x)=a+bx+cx^2+\cdots</tex>

係数 $a$ は次のように求められます。
<tex>f(0)=a</tex>

係数 $b$ は次のように求められます。
<tex>f'(x)=b+2cx+\cdots</tex>

<tex>f'(0)=b</tex>

係数 $c$ は次のように求められます。
<tex>f''(x)=2c+\cdots</tex>

<tex>f''(0)=2c</tex>

したがって、係数は次のとおりです。
<tex>a=f(0)</tex>

<tex>b=f'(0)</tex>

<tex>c=\frac{f''(0)}{2}</tex>

元の式に代入すると次のとおりです。
<tex>f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\cdots</tex>

上記がテイラー展開です。
ここまで理解できたら、この勢いで次のEMANさんのページも読んでみてください。

・テイラー展開
 http://homepage2.nifty.com/eman/math/taylor.html

理解が深まると思います。
204 takoyaki 2014/12/26 (金) 21:40:27 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>203

x_seekさん、こんにちは。

丁寧に教えて下さりありがとうございます。
ニュートンの運動方程式とフックの法則がイコールで結びついたり、-f(t)からオイラーの公式が飛び出てきたり、さらっとすごいことがシンプルに書かれていて、正直ビビりました。
物理学ってすごいですねえ。
私はとんでもない数式の曲芸を見た気がするのですが、気のせいでしょうか。

単振動についてはおかげさまでイメージが掴めたような気がします。

次の投稿ではテイラー展開についてコメントさせて頂きます。
(実はまだ手をつけていないのです・・・これから頑張ります。)
よろしくお願いします。
205 takoyaki 2014/12/27 (土) 22:59:10 ID:24fsL7VI/w 修正アリ: 12/30 (火) 07:24 [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

テイラー展開について、およそわかったような気がしてきました。

前に「takoyaki が科学史を勉強しようず」のスレッドで、そろばんの起源を調べたことがあるのですが、実はその時にテイラー展開の出てくるエピソードを本で読んで、気になっていたので、それについて自分の理解の程度を検証してみました。

次のようなものです。

ある日、リオデジャネイロのレストランにそろばん売りの売り子が訪ねて来た。ウェイターは相手をするのが面倒で、
「店のお客より速く計算できるところを見せてみろ」
と言った。
そのお客というのが、たまたまそこで食事をしていたファインマンだった。
そろばん売りはファインマンと計算の速さで勝負した。
当然のことながら、そろばん売りは足し算でも掛け算でもファインマンに勝った。
しかし、そろばん売りはどうもすっきりせず、ファインマンに続けて勝負を挑まずにはいられなかった。
というのも、奇妙なことに難しい問題になるほど両者の差は縮まっていくからだ。
そんなはずはない。ありえないことだ。
とにかくそろばん売りは圧勝できないのが不満でしょうがなかった。
そこで、ファインマンに切り札で勝負を挑んだ。
「次は立方根で勝負しましょう」
「好きな数字を選んでくれ」
ファインマンの言葉にウェイターは次のように応えた。
「1729.03」
これが、そろばん売りとの最後の勝負となった。

しばらくしてファインマンは「12.002」と答えた。
その後、そろばん売りは「まず12だ」と答え、それから数分後に「12.0だ」と言った。
しかし、その頃にはファインマンはずっとあとの桁まで計算し終えていた。
人々はファインマンがどうやって計算したのかわからず呆れかえってしまった、というエピソードです。

元ネタは
『世界を変えた24の方程式』 ディナ・マッケンジー 著
という本です。


私もどうやってファインマンが近似を求めたのか分からず不思議でした。
しかし、本には「どうやらテイラー展開を使ったようだ」と書いてあったので、今日それを私も試してみることにしました。

まず立方根は

<tex>f \left(x\right) =x ^{ \frac{1}{3} } </tex>

と表せます。
12×12×12=1728
なので、
x=1729.03
a=1728
と設定します。

f(x)の近似値はテイラー展開を使って次のように表せそうです。(訂正:12の三乗根ではなく1728の三乗根でした。記載ミスです)

<tex>f \left(1729.03\right)  \sim 12+ \frac{1}{3} 12 ^{ \frac{1}{3} -1}  \left(1729.03-1728\right) </tex>

これを計算します。

<tex>12+ \frac{1}{3}  \times 12 \times  \frac{1}{1728}  \times 1.03</tex>

これをさらに計算します。すると、

約12.002

という答えが出てきました。
これでファインマンと一致したので、たぶん合っているのだろうと自分で判断しました。

しかし、これより先の正確な数値を求めるには、どこかでテイラー展開の三つ目の項も足す必要が出てきて大変そうだなと、思いました、

ファインマンは暗算で下十桁以上まで計算したそうです。
恐るべしです。

いちおうここまで勉強はしてみましたが、これで大丈夫でしょうか?

ちなみに昨日<tex>e ^{ix} </tex>の微分について、たまたま調べていたら、面白いサイトを見つけました。

http://d.hatena.ne.jp/rikunora/20101018/p1
(小人さんの妄想)

なんだか偶然にも次に勉強するテイラー展開みたいな話だなあ、と思って読んでいたら、そのままズバリで、思わず笑ってしまいました。内容的にもとても面白いものでした。ネイピア数と三角関数と円周率と純虚数は「循環」というイメージで繋がっているようなイメージを感じました。

EMANさんのページの収束半径の話などは難解そうなので、まだ手をつけていません。
でも、調和級数が発散するという話は面白かったです。
自然数の和が-1/12になるという話も、級数の話でしたね。
まだまだ私の知らない級数の奥深い話がありそうだと感じました。
206 x_seek 2014/12/28 (日) 17:51:37 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>201
>ウィキペディアを色々と渡り歩いていたら「グロダンディーク宇宙」と
>いう用語が出てきました。
>詳しいことは理解できませんでしたが、何やら近しいものであるような
>臭いを感じとりました。

グロダンディーク宇宙については残念ながら、よくわかりません。
ただ、もっと広い、汎用的な概念だと思います。

>>204
>私はとんでもない数式の曲芸を見た気がするのですが、
>気のせいでしょうか。

いえいえ、通常運転です。(^^)
単振動は古典力学のとてもよい演習問題だと思います。

>>205
テイラー展開からファインマンの計算競争を思い出すとは、さすがですね。
連想範囲が広いです。

EMANさんのページは、より進んだ内容も含んでいるため、
収束半径などの話は、現時点では
「こんな話もあるのだなぁ」というぐらいでよいと思います。


> 自然数の和が-1/12になるという話も、級数の話でしたね。

その話は、次のページで一般の方向けに説明しています。

・なぜゼータ関数 ζ (-1) = “1+2+3+4+...” は無限大に発散しないのか?
 http://www.geocities.jp/x_seek/Euler.htm

普通の自然数和は-1/12になりません。無限大に発散します。
-1/12になるのは、特別な自然数和です。
それは、「反収縮」した自然数和なのです。
#ほらほら、トンネルがつながってきましたよ。
207 coJJyMAN 2014/12/28 (日) 20:11:26 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
ちょっとおじゃまします。
>>205
takoyaiさん、こんばんは。
テイラー展開の話ですが、
<tex>f \left(1729.03\right)  \sim 12+ \frac{1}{3} 12 ^{ \frac{1}{3} -1}  \left(1729.03-1728\right) </tex>
は違いますよ。 これを言うなら
<tex>f \left(1729.03\right)  \sim 12+ \frac{1}{3} 1728 ^{ \frac{1}{3} -1}  \left(1729.03-1728\right) </tex>
です。 訂正が必要。

 $x^(1/2)$ や $x^(1/3)$ の近似にテイラー展開を使うのはどうかな?
 $(1+A)^2=1+2A+A^2$ より、 $A=x/2$ とおけば $(1+x/2)^2=1+x+x^2/4=1+x(1+x/4)\kinji 1+x$ (ただし $1+x/4\kinji 1$ とできるとき)
この両辺の平方根をとって $(1+x)^\frac{1}{2}=1+x/2$ 
同様に $(1+A)^3=1+3A+3A^2+A^3=$ で $A=x/3$ とおけば $(1+x/3)^3=1+x+x^2/3+x^3/27=1+x(1+x/3+x^2/27) \kinji 1+x$ ただし $1+x/3+x^2/27 \kinji 1$ とできるとき)
この両辺の立方根をとって $(1+x)^\frac{1}{3}=1+x/3$ 
まず以上のことを理解したほうがよろしいかと。
208 takoyaki 2014/12/30 (火) 07:42:11 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>207

coJJyMANさん、ご指摘ありがとうございます。

>>205に訂正を入れておきました。

また、coJJyMANさんの近似の取り方もノートに書き写して勉強させて頂きました。
教えて頂きありがとうございます。
いちおう数式は理解できたかと思います。いつ、どういうときに使うのか、という判断にはまだ自信がありませんが・・・
209 takoyaki 2014/12/30 (火) 07:46:53 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>206

x_seekさん、こんにちは。

>いえいえ、通常運転です。(^^)
>単振動は古典力学のとてもよい演習問題だと思います。
これで通常運転ですか。
やっぱり物理学は面白いですね。

>それは、「反収縮」した自然数和なのです。
>#ほらほら、トンネルがつながってきましたよ。
なにやら意味深ですね。
どんなふうにトンネルがつながるのか楽しみです。

210 Mt.Key 2014/12/30 (火) 19:01:10 ID:RGGXzmvaJY [修正] [削除]
>>201
関係あるかわかりませんが、グロタンディーク宇宙について、最近気になる文章を読んだのですが、参考になるでしょうか。

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20ni%20tsuite%20no%20FAQ.pdf

このpdfはabc予想や宇宙際タイヒミュラー理論で一躍有名になった望月新一先生のページに置かれています。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
211 takoyaki 2014/12/30 (火) 21:00:16 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>210

読んでみましたが、残念なことに私にはさっぱり理解できませんでした。
しかし、望月先生の理論に関わってくるとは、興味深いですね。

宇宙際タイヒミュラー理論の審議がどうなるのか、すごく気になっているのですが、どなたか詳しい方いませんかねえ・・・
212 takoyaki 2014/12/30 (火) 21:33:49 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

次は偏微分あたりを勉強すればいいのでしょうか?
シュレーディンガー方程式も一種の調和関数と呼べるものですか?
空間の各点において確率がバネのように振動しているのかなあ、と漠然としたイメージを抱いているのですが・・・
213 x_seek 2014/12/31 (水) 11:01:44 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 2015/01/13 (火) 00:37 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>212
> 次は偏微分あたりを勉強すればいいのでしょうか?

そうですね。>>176では簡単のため1次元の微分を考えました。
次は2次元の偏微分を考えたいと思います。

> シュレーディンガー方程式も一種の調和関数と呼べるものですか?

調和関数の定義は、ラプラス方程式に従う関数であるため、
厳密に言えば違うのですが、私は調和関数と呼びたいと思います。

> 空間の各点において確率がバネのように振動しているのかなあ、
> と漠然としたイメージを抱いているのですが・・・

確率ではなく確率振幅ですが、イメージとしては正しいと思います。
次のようなバネでつながれた玉を考えます。玉が上下に微小振動します。

 $f(x,y)$ ____ $y$ 
↑______/
|_____/w●w●w●w
|____/_ξ_ξ_ξ_
|___/w●w●w●w
|__/_ξ_ξ_ξ_
|_/w●w●w●w
|/_ξ_ξ_ξ_
+――――――――――――――→ $x$ 
 $O$ 

左の玉が中央の玉を上向きに引っ張る力を  $F_L$  とします。
右の玉が中央の玉を上向きに引っ張る力を  $F_R$  とします。
上の玉が中央の玉を上向きに引っ張る力を  $F_U$  とします。
下の玉が中央の玉を上向きに引っ張る力を  $F_D$  とします。

バネ係数を1とすれば、それぞれ次の差分で表現できます。

<tex>F_R=f(x+1,y)-f(x,y)</tex>
<tex>F_L=f(x-1,y)-f(x,y)</tex>
<tex>F_U=f(x,y+1)-f(x,y)</tex>
<tex>F_D=f(x,y-1)-f(x,y)</tex>

系が安定状態ならば、この四つの力の合力は0です。
そのとき、次の式が成立します。

<tex>F_R+F_L+F_U+F_D=0</tex>

代入すると下記です。

<tex>f(x+1,y)-f(x,y)+</tex>
<tex>f(x-1,y)-f(x,y)+</tex>
<tex>f(x,y+1)-f(x,y)+</tex>
<tex>f(x,y-1)-f(x,y)=0</tex>

<tex>f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)=4f(x,y)</tex>

<tex>f(x,y)=\frac{f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)}{4}</tex>

このように、中央の玉の位置は上下左右の玉の位置の平均となります。
1次元の時と違い、2次元では馬の鞍のような地形が可能となります。

ここで差1を微小量 $h$ で置き換えます。

<tex>F_R=f(x+h,y)-f(x,y)</tex>
<tex>F_L=f(x-h,y)-f(x,y)</tex>
<tex>F_U=f(x,y+h)-f(x,y)</tex>
<tex>F_D=f(x,y-h)-f(x,y)</tex>

それぞれ両辺を $h$ で割ります。

<tex>\frac{F_R}{h}=\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}</tex>
<tex>\frac{F_L}{h}=\frac{f(x-h,y)-f(x,y)}{h}</tex>
<tex>\frac{F_U}{h}=\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}</tex>
<tex>\frac{F_D}{h}=\frac{f(x,y-h)-f(x,y)}{h}</tex>

すると、それぞれ微分で次のように書けます。

<tex>\frac{F_R}{h}=f_x(x,y)</tex>
<tex>\frac{F_L}{h}=-f_x(x-h,y)</tex>
<tex>\frac{F_U}{h}=f_y(x,y)</tex>
<tex>\frac{F_D}{h}=-f_y(x,y-h)</tex>

ここで $f_x$ は $x$ での微分を意味します。
あとのために、 $h$ を残しています。
この二つの力の合力が0ならば、次の式が成立します。
<tex>\frac{F_R}{h}+\frac{F_L}{h}+\frac{F_U}{h}+\frac{F_D}{h}=0</tex>

代入すると下記です。
<tex>f_x(x,y)-f_x(x-h,y)+f_y(x,y)-f_y(x,y-h)=0</tex>

ここで両辺を $h$ で割ります。

<tex>\frac{f_x(x,y)-f_x(x-h,y)}{h}+\frac{f_y(x,y)-f_y(x,y-h)}{h}=0</tex>

すると、微分で次のように書けます。

<tex>f_{xx}(x-h,y)+f_{yy}(x,y-h)=0</tex>

ここで $f_{xx}$ は $x$ での2階微分を意味します。
 $h$ は、もう使わないので0にします。

<tex>f_{xx}(x,y)+f_{yy}(x,y)=0</tex>

これが二次元のラプラス方程式です。

二次元では式が複雑ですが一次元のときのことを思い出して、のりきってください。
三次元では、さらに複雑ですが、考え方は同じです。

ここまでで、もし、わからないことがあれば、教えてください。

それでは、また。
214 x_seek 2014/12/31 (水) 11:44:44 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
Mt.Keyさん、こんにちは。

>>210
情報ありがとうございます。
望月新一先生ご自身の「そっくりハウス」による宇宙際タイヒミュラー理論の説明での「入れ子になっている宇宙の列」がとても興味深いです。

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/sokkuri-hausu-link-japanese%20%28fonto%20umekomi%20ban%29.pdf

次の論文の17頁にある図 Fig. I2.1 で複数のドーナッツを連結しており、これが「入れ子になっている宇宙の列」だと推測します。

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf#17

215 x_seek 2014/12/31 (水) 11:48:59 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>212
>宇宙際タイヒミュラー理論の審議がどうなるのか、
>すごく気になっているのですが、どなたか詳しい方いませんかねえ・・・

詳しいことはわかりませんが、次の2014年12月の望月先生ご自身による報告では著名な研究者が理論の正否を発表する展開は期待できないそうです。そのため、「深い理解に到達する研究者を増やしていく」方針を考えていらっしゃるようです。

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUTeich%20Kenshou%20Houkoku%202014-12.pdf

216 takoyaki 2015/01/02 (金) 08:52:49 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

論文発表お疲れさまでした。
階層宇宙のアイデアはぶっ飛んでますね。
これから改めてじっくり読ませて頂きます。
(新年早々驚きましたよ)

>>215

私もpdf読みました。
宇宙際タイヒミュラー理論が正しいかどうかの議論より、応用面で人々の関心を集められるかどうかが重要であるというイメージを抱きました。
是非若い人に頑張って頂きたいですね。

今年もよろしくお願いします。
217 takoyaki 2015/01/06 (火) 00:08:57 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>213

x_seekさん、こんにちは。
いつも丁寧な解説ありがとうございます。

一つ質問させて下さい。
二次元のラプラス方程式の数式自体は私にも理解可能です。ただ、これが数理モデルとして現実と一致しているとしたら、ちょっとまだ疑問に思うところがあります。
横方向と縦方向のそれぞれの力を考えなくてはならないとき、横方向の作用の影響が縦方向に影響し、それがまた横方向の作用にフィードバックされるようなことはないのでしょうか?
そのあたりのことがうまく掴めず、まだモヤモヤとしております。
よろしくお願いします。
218 x_seek 2015/01/08 (木) 00:09:18 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 23:10 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>217
>ただ、これが数理モデルとして現実と一致しているとしたら、
>ちょっとまだ疑問に思うところがあります。

ラプラス方程式で、さまざまな疑問を解くには、
練習が必要だと思います。そこで次の問題を解いてみませんか?

次の関数がラプラス方程式を満たす時の $a$ の値を求めてください。
@<tex>f(x,y)=ax^2+x+y</tex>
A<tex>f(x,y)=ax^2-y^2</tex>
B<tex>f(x,y)=\exp(ax)\exp(iy)</tex>
また、それが実際にどんな形かイメージしてみてください。


>横方向と縦方向のそれぞれの力を考えなくてはならないとき、
>横方向の作用の影響が縦方向に影響し、それがまた横方向の作用に
>フィードバックされるようなことはないのでしょうか?

問題Aでは、 $x$ 方向の起伏で $y$ 方向の起伏が決まります。
また逆に $y$ 方向の起伏で $x$ 方向の起伏が決まります。
上記のような状況を指してフィードバックと言うのであれば、
答えはYESです。あるいは時間的な意味でのフィードバックでしょうか?
その場合は、時間的に変化する波動方程式で考える必要があります。
219 takoyaki 2015/01/08 (木) 17:04:42 ID:24fsL7VI/w 修正アリ: 17:43 [修正] [削除]
>>218
>ラプラス方程式で、さまざまな疑問を解くには、
>練習が必要だと思います。そこで次の問題を解いてみませんか?
了解です!
ちなみに「ラプラス方程式を満たすとき」とは、どういう意味でしょうか?
x、yについて、それぞれ二階微分する・・・
うーん、とりあえず、やってみます!
220 x_seek 2015/01/08 (木) 23:10:16 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>219
>ちなみに「ラプラス方程式を満たすとき」とは、どういう意味でしょうか?

では、問題@で説明してみようと思います。

二次元のラプラス方程式は次のとおりです。
<tex>f_{xx}(x,y)+f_{yy}(x,y)=0</tex>

一方、問題@の関数は次のとおりです。

<tex>f(x,y)=ax^2+x+y</tex>

関数 $f$ を $x$ で偏微分します。
 $x$ で偏微分するときには、 $y$ を定数とみなします。
<tex>f_x(x,y)=2ax+1</tex>

もう一度 $x$ で偏微分します。
<tex>f_{xx}(x,y)=2a</tex>

次に関数 $f$ を $y$ で偏微分します。
 $y$ で偏微分するときには、 $x$ を定数とみなします。
<tex>f_y(x,y)=1</tex>

もう一度 $y$ で偏微分します。
<tex>f_{yy}(x,y)=0</tex>

上記の結果をラプラス方程式に代入します。
<tex>f_{xx}(x,y)+f_{yy}(x,y)=0</tex>
<tex>2a+0=0</tex>
<tex>a=0</tex>

 $a=0$ ですので、問題@の関数 $f$ は次のようになります。

<tex>f(x,y)=x+y</tex>

上記のような時「この関数はラプラス方程式を満たしている」と言います。
「条件を満たす関数」と言い換えた方が、わかりやすいかもしれません。

この結果から、 $y$ 方向に山がない場合には、 $x$ 方向にも山がないことがわかります。
221 takoyaki 2015/01/10 (土) 14:19:13 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>220

x_seekさん、こんにちは。
遅くなりまして、申し訳ありません。
だんだん難しくなってきましたね・・・。
自信はありませんが、私の回答を示します。


Aの回答

<tex>f \left(x,y\right) =ax ^{2} -y ^{2} </tex>
<tex>f _{x}  \left(x,y\right) =2ax</tex>
<tex>f _{xx}  \left(x,y\right) =2a</tex>
<tex>f _{y}  \left(x,y\right) =-2y</tex>
<tex>f _{yy}  \left(x,y\right) =-2</tex>
ラプラス方程式に代入
<tex>2a-1=0</tex>
<tex>a=1</tex>

以上のことから何が言えるか?
うーん・・・おそらくですが、xとyについて対称でなければならないということでしょうか?
(xとyを互いに置き換えても同様に成立するような形である必要があるという意味です。)

もしその対称性が失われると、不連続な断絶、不自然な歪み、みたいなものが生まれてしまうのかな・・・?
イメージが難しいです。


Bの回答
計算はしてみましたが、自分が何を求めているのかよくわからない感じがしました。
とにかく計算結果は次のようになりました。

<tex>f \left(x,y\right) =e ^{ax} e ^{iy} </tex>
<tex>f _{x}  \left(x,y\right) =ae ^{ax} e ^{iy} </tex>
<tex>f _{xx}  \left(x,y\right) =a ^{2} e ^{ax} e ^{iy} </tex>
<tex>f _{y}  \left(x,y\right) =ie ^{ax} e ^{iy} </tex>
<tex>f _{yy}  \left(x,y\right) =-e ^{ax} e ^{iy} </tex>
ラプラス方程式に代入
<tex>a ^{2} e ^{ax} e ^{iy} -e ^{ax} e ^{iy} =0</tex>
<tex>a ^{2} e ^{ax} -e ^{ax} =0</tex>
<tex>a=1</tex>

以上のことから何が言えるか?
うーん・・・これもやはりxとyについて対称性がなくてはならないという結果を示しているように思えます。しかし、虚数iが絡んでくるので、うまくイメージはできません。
x方向に山があるならば、y方向にも山があり、しかもその山の大きさ(高さ)は同じでなければならない、ということかな?と思いました。

ご確認よろしくお願いします。
222 takoyaki 2015/01/10 (土) 14:31:50 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>218
>問題Aでは、  $x$  方向の起伏で  $y$  方向の起伏が決まります。
>また逆に  $y$  方向の起伏で  $x$  方向の起伏が決まります。
>上記のような状況を指してフィードバックと言うのであれば、
>答えはYESです。あるいは時間的な意味でのフィードバックでしょうか?
>その場合は、時間的に変化する波動方程式で考える必要があります。

音には縦波と横波があるそうですね。
『知って納得!機械のしくみ』日本機械学会 編 森下信 著
という本の「スピーカーのしくみ」の解説に載っていました。
どうも、その両方を合わせて「粗密波」と呼んでいるようでした。
この本は一般人向けなので、数式は使わずに、そういう概念がある、と言葉で説明してあるだけでした。

ここからは私の推論ですが、
もしx方向に対してy方向が決まるフィードバックを横波と考えるなら、
時間によるフィードバックは縦波、みたいな感じなのでしょうか?
正直、粗密波というもの自体がまだうまく頭の中でイメージできていないのですが・・・

f(x、y)
に対応する数式とは、結局なんなのでしょうか?スピーカーの振動でしょうか・・・
223 coJJyMAN 2015/01/10 (土) 14:44:54 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
takoyaki さん、こんにちは。
>音には縦波と横波があるそうですね。
いや。音は縦波です。その本にそんな記述があるとしたら問題です。

イメージがつかみにくいなら、地震の時の揺れ方を想像するのがいいと思います。
震源地に向かって前後方向に揺れるのが縦波、上下&左右に振れるのが横波です。
参考:http://www.max.hi-ho.ne.jp/lylle/jishin1.html
224 takoyaki 2015/01/10 (土) 15:32:40 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>223

coJJyMANさん、ご指摘ありがとうございます。

>音は縦波です。
それなら、私もイメージがしやすくて助かります。

しかし、本には確かに横波の説明が書いてあったんですがね・・・。私が何か勘違いをしているかもしれないので、あとでもう一度確認してみます。
日本機械学会が内容をチェックしている本が明らかな嘘を書くことも考えにくいでしょうから、私の勘違いをまず疑ってみます。
225 hirota 2015/01/10 (土) 16:48:04 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
音の定義次第ですね。
弾性体の振動で可聴周波数に入ってるもの全部なら縦波に限りませんが、空気中を伝わってくる振動だけなら縦波です。
薄板を端から振動させる場合だと、板は横波なのに空中に放射されるのは縦波ということになります。
226 coJJyMAN 2015/01/10 (土) 22:44:31 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>音の定義次第ですね。
定義次第というより、辞書どおりの定義で記述するのが適当と考えます。
ですので、糸電話などで音を聞く場合などは例外と考えます。(←この一文は余計な気がしてます。。)
スピーカの場合では
@スピーカーの振動板が振動する。(これは横波)
A空中を音が伝わる。(疎密波。これは縦波)
B聞き手の耳の鼓膜が振動する。(これは横波と言っていいと思う。)
また、水中で伝わる音も縦波ですので、媒質を伝わる疎密波を音としましょう。
密度を $\rho$ として、関数 $\rho(x,y,z,t)$ ですね。
227 ghsobo 2015/01/10 (土) 23:16:15 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
表題とはズレているようですけど
格子だと縦波も横波も両方あります。格子振動が連なっていれば音波(フォノン)と呼べるようです。

波の伝わる進行方向に対して平行に変位するのが縦波。
進行方向に対して垂直面に変位するのが横波。
液体や気体は縦波、電磁波は横波だけ。

場と波は違うのか?場も時間変化するので広い意味で波とは言えなくもない。
弾性的変化つまりフックの法則に従えば波です。

量子的波はいずれにも属さない確率の波です。
228 coJJyMAN 2015/01/11 (日) 01:13:03 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
表題からずれてて申し訳ないですが。。
ghsoboさん、フォノンは音波とは言わないのでは?ww
229 EMAN 2015/01/11 (日) 01:17:39 ID:UKC.BNkKEk [修正] [削除]
>>227
一箇所の変位が他の場所へと伝わっていく現象を広く波と呼んでます。
フックの法則に従わなくても非線形になるだけで、波は波です。
電磁波は電磁場に弾性的な性質があるから波打つわけではありません。
230 x_seek 2015/01/11 (日) 07:41:06 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 09:30 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>221
>だんだん難しくなってきましたね・・・。

偏微分は、一変数の微分と比べ、概念的に難しいと思います。

元々の目的は「調和関数を理解すること」でしたので、
数式での理解が難しい場合には、図形で理解するとよいかもしれません。
まぁ、無理せず気楽にいきましょう。(^^)

問題Aの関数は下記でした。
<tex>f \left(x,y\right) =x ^{2} -y ^{2} </tex>

次のような形です。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5e2%2dy%5e2
x^2-y^2

針金に張ったシャボン玉の膜を想像してみましょう。
針金の形が決まれば、全体の形が完全に決まります。
この針金の形のことを境界条件といいます。

 $x$ 方向が山ならば $y$ 方向は谷になります。
馬の鞍のような地形です。調和関数とは馬の鞍なのです。

とりあえず、このことさえ理解できれば、
当初の目的は達成できたことになると思います。


> うーん・・・おそらくですが、xとyについて対称で
> なければならないということでしょうか?
> (xとyを互いに置き換えても同様に成立するような
> 形である必要があるという意味です。)

 $x$ と $y$ を置き換えても成立しますが、 $x$ 方向と $y$ 方向は対称ではありません。
 $x$ 方向は山で、 $y$ 方向は谷です。


> もしその対称性が失われると、不連続な断絶、
> 不自然な歪み、みたいなものが生まれてしまうのかな・・・?

針金に張ったシャボン玉の膜を想像してみてください。
 $x$ 方向が山で、 $y$ 方向が平坦ならば、
 $x$ 方向は平坦に変化しようとします。

でも今は、簡単のため、変化しないラプラス方程式を考えています。
変化する場合は、波動方程式を使います。

念のためですが、Bは下記のとおりです。
<tex>a^2 e^{ax}e ^{iy} -e^{ax}e ^{iy} =0</tex>

<tex>(a^2 -1)e^{ax}e ^{iy} =0</tex>

任意の $x$ , $y$ で上記の式が成立するならば、次の等式が成り立ちます。
<tex>a^2 -1=0</tex>

したがって、次のようになります。
<tex>a=\pm 1</tex>

仮に $a=1$ ならば問題Bの関数は下記です。
<tex>f(x,y)=e^x e ^{iy}</tex>

次のような形です。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=exp%28x%29%2aexp%28iy%29
exp(x)*exp(iy)
同様に、 $x$ 方向が山ならば $y$ 方向は谷になります。


>>222
>もしx方向に対してy方向が決まるフィードバックを横波と考えるなら、
>時間によるフィードバックは縦波、みたいな感じなのでしょうか?

ここでの「x方向,y方向」という話は、横波、縦波とは異なる話です。

横波では「何か」の振動方向が進行方向と垂直で、
縦波では「何か」の振動方向が進行方向と平行です。
前記の文の「x方向、y方向」という話は、「何か」の振動方向ではなくて、
山の起伏が「x方向、y方向」でどのように変化しているかという話です。

>f(x、y)
>に対応する数式とは、結局なんなのでしょうか?スピーカーの振動でしょうか・・・

スピーカーの振動でも構いませんが、
針金に張ったシャボン玉の膜の振動をイメージすればよいと思います。
231 ghsobo 2015/01/11 (日) 08:47:18 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
>>228
ういきでは音子、音響量子、音量子という聞き慣れない言葉です。
音波は格子内を走る量子化する前の波。フォノンはそれを量子化の手続きを経て特定振動k別に
とった物ですね。これは電磁波と似ている印象です。場の量子論勉強していないのでそれ以上は言
及できないです。
>>229
>一箇所の変位が他の場所へと伝わっていく現象を広く波と呼んでます。
そのように頭の中を入れ替えます。非線形波動というのもありました。衝撃波とか。
静電場、静磁場もありました。
ありがとうございます。
232 聖白馬ホーリーウマゴン 2015/01/11 (日) 09:46:53 ID:WTcxHMNgQk 修正アリ: 10:02 [修正] [削除]
>>226
>定義次第というより、辞書どおりの定義で記述するのが適当と考えます。

Wikipediaには一応
>媒質が流体(気体または液体)の場合はずれ応力を保持できないため縦波しか伝播できないが、固体中では縦波・横波・曲げ波・ねじり波などとして伝播できる。それら縦波以外の波も広義の音波に含む場合がある。
とあります。
hirotaさんのおっしゃる定義次第というのはこういうことだと思います。なのでtakoyakiさんの本の中で横波も含めて音波と呼んでいてもおかしくないと思います。(特に機械の本という事ですので物理の分野とは違う流儀がある可能性もあります)
>どうも、その両方を合わせて「粗密波」と呼んでいるようでした。
これはどうなのでしょうか?横波は粗密波ではないと思うので
233 takoyaki 2015/01/11 (日) 09:58:41 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>232

皆様、「音」について、たくさんのコメントを下さりありがとうございます。
問題のテキスト『知って納得!機械のしくみ』ですが、今手元にありませんので、正確にどのような記述であったのか再現できません。次に図書館に出向いたときに調べて参ります。分かり次第、報告させて頂きます。
234 takoyaki 2015/01/12 (月) 23:55:02 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>230
>針金に張ったシャボン玉の膜を想像してみてください。
これについて考えています。
今しばらく時間をください。
針金という境界条件によって「どのように」膜の形が決まるのか、まだうまく飲み込めません・・・。
そもそも音の調和関数における境界条件とは何か、針金は何を表しているのか、音を考える時の針金の喩えとの対応関係は何なのかがわからないです。
何か正しい理解に至るために必要な前提が、根本的にイメージできていないと思うのですが、それが何なのかうまく言語化することができません・・・。
まいったなあ・・・
どこで躓いているんだろう?うーん・・・
235 x_seek 2015/01/13 (火) 00:27:57 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんばんは。

>>234
いったん音のことは忘れ、静止したシャボン玉の膜だけを考えてみることを提案します。

難しいことを理解する方法は、できるだけ単純なケースから始め、少しずつ複雑にしていくことです。時間的に変化しない2次元の膜は、時間的に変化する3次元の音よりも単純だと思います。

元々、私が例として音を提示したのですが、あまり適切ではありませんでした。申し訳ないです。

膜の形が決まる基本的な仕組みは>>213の絵に尽きます。
丸い針金では膜は平面です。
でもその丸い針金を湾曲させたら、どうなるでしょうか?
236 takoyaki 2015/01/13 (火) 00:42:55 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>235

>丸い針金を湾曲させたら、どうなるでしょうか?
湾曲の具合によって、一意に膜の形が決まるような気はします。
しかし、自由に湾曲させて良いなら、その中には
<tex>f \left(x,y\right) =2x ^{2} -y ^{2} </tex>
のような形も含まれるような気がします。
237 takoyaki 2015/01/13 (火) 01:54:32 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
調和関数を満たす=周囲の平均値との差が0である=変な出っ張りがない。
というところまでは、なんとなくイメージできました。
できるだけ平坦になろうとした結果として表れてくる形、というのでしょうか・・・。
238 x_seek 2015/01/13 (火) 21:04:41 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>236
>湾曲の具合によって、一意に膜の形が決まるような気はします。

はい。その推測で正しいです。

> しかし、自由に湾曲させて良いなら、その中には
> <tex>f \left(x,y\right) =2x ^{2} -y ^{2} </tex>
> のような形も含まれるような気がします。

なるほど。確かにそんな気もしますね。
イメージだけでは難しいところです。
そこは数式の助けを借りる必要があります。

数式によれば、ラプラス方程式を満たす必要があります。
実際に実験してみても良いかもしれません。
両手の人差し指と親指で、せっけんの膜を作ってみるのです。

>>237
>調和関数を満たす=周囲の平均値との差が0である=変な出っ張りがない。
>というところまでは、なんとなくイメージできました。

はい。そのイメージで正しいです。

>できるだけ平坦になろうとした結果として表れてくる形、
>というのでしょうか・・・。

うまい文章表現ですね。(^^)
剛性といったところでしょうか。その理解で正しいと思います。
239 takoyaki 2015/01/17 (土) 22:49:05 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

ラプラス方程式について思ったことを、イメージで語らせて頂きます。

ラプラス方程式を満たしている=できるだけ平坦になろうとした形がそれである。
おそらく、波を生み出すような最初の一撃をその形に加えると、その波はラプラス方程式が0になる形を基準に揺れる。
これは、例えば静止しているバネで考えると、何も力を加えず止まっている状態がラプラス方程式が0の状態。
バネに吊るした重りをちょっと引っ張ると、重りは上下に振動するが、その振動の中心は0の静止状態である。そこを基準に上下に揺れている。
波は0の静止状態に戻ろうとする運動が連続して起きる場の運動であると見なすこともできる。
だから、二次元や三次元で広がる波を考えるときには、まず基準となるラプラス方程式が0になる状態を知らなければならない。

言葉で説明するのは難しいですが、そんなふうなことだろうかと考えました。
いかがでしょうか?
240 x_seek 2015/01/19 (月) 22:28:32 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>239

あってると思います。言葉での説明が上手ですね。
私には、ここまでわかりやすく言葉で表現できません。(^^)
241 takoyaki 2015/01/20 (火) 02:29:03 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>240

x_seekさん、こんにちは。

あっているようで、良かったです。
私はどうしても数式だけでなく、言葉でも物理のイメージを表現したいという衝動があります。
数式は形式的に正しく、日常語は厳密さに問題があります。
それでも、ある数式から人間がどんな意味を取り出すか、という営みは、それなりに価値のある文化的行動だと思うのです。
同じ数式を見ても、そこから何を読み取るかは読み手によって違うはずです。
その違いを確かめるための言葉は、たとえ不完全であっても、努力をすればそれなりに伝わるし、議論の役に立つのではないかと。


ところで、二次元の次は三次元ですか?
今度は図示が困難になるので、いよいよ数式のみで考える感じでしょうか?
242 x_seek 2015/01/25 (日) 14:19:39 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>241
>その違いを確かめるための言葉は、たとえ不完全であっても、
>努力をすればそれなりに伝わるし、議論の役に立つのではないかと。

takoyakiさんの意見に同意します。
言葉は数式に基づく必要がありますが、意思疎通において重要な役割を果たすと思います。


> ところで、二次元の次は三次元ですか?
> 今度は図示が困難になるので、いよいよ数式のみで考える感じでしょうか?

2次元は前後左右の四方向の平均でした。
3次元は前後左右上下の六方向の平均になります。

3次元の方程式の作り方は2次元の方程式と同じです。
そのため、2次元の方程式が理解できれば3次元の方程式も同じ方法で理解できると思います。

今すぐでなくても構いませんので、練習として挑戦してみてください。(^^)
243 takoyaki 2015/01/26 (月) 22:36:28 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>242

x_seekさん、こんにちは。

>takoyakiさんの意見に同意します。
>言葉は数式に基づく必要がありますが、意思疎通において重要な役割を果たすと思います。
ありがとうございます。
x_seekさんにそう言って頂けると心強いです。

>3次元の方程式の作り方は2次元の方程式と同じです。
>そのため、2次元の方程式が理解できれば3次元の方程式も同じ方法で理解できると思います。

>今すぐでなくても構いませんので、練習として挑戦してみてください。(^^)
了解です。
今まで学んだことのおさらいも兼ねて、後ほど取り組んでみたいと思います。
微分や偏微分の計算は慣れていないので、よい練習になるかもしれません。
手を動かして直に数式を扱わないと、なかなか自分で使えるようにはならないですよね・・・
244 ghsobo 2015/01/27 (火) 09:01:40 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
x_seekさん
素朴な疑問ですけど、多世界では|x>など連続固有状態はだいじょうぶなんですか?
測定後は互いの世界は不干渉ですけど、どこまでも隙が無く稠密だと、そのへんが素朴な疑問です。
簡単にお答え下さればけっこうです。
245 x_seek 2015/01/27 (火) 22:00:17 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 00:44 [修正] [削除]
ghsoboさん、こんにちは。

>>244
>素朴な疑問ですけど、多世界では|x>など連続固有状態は
>だいじょうぶなんですか?
>測定後は互いの世界は不干渉ですけど、
>どこまでも隙が無く稠密だと、そのへんが素朴な疑問です。

なんとなくエヴェレットの多世界解釈に対する誤解があるように思います。

エヴェレットの多世界解釈は、測度を除けば通常の量子力学とまったく同じ数学形式を持ちます。そのため、測度を除けば、「量子力学」が問題ない限り、「エヴェレットの多世界解釈」も問題ありません。逆に、量子力学に問題があれば、「エヴェレットの多世界解釈」にも問題が生じます。

ただ、測度の導入にはかなりの無理があると私は思います。実際、測度に問題があることは >>20 で説明したとおりです。


エヴェレットの多世界解釈では波動関数は一つしかありません。その中に、観測者や観測装置がすべて入っているのです。「観測した」という事象すらもシュレーディンガー方程式に基づく変化の一つなのです。

EMANさんのページから該当の解説文を引用させていただきます。

>世界のあらゆる状況を記述できる十分に大きな波動関数が
>初めからたった一つだけあって、その形が変化していくのを
>ただただ神の視点で見ているようなイメージである。

・多世界解釈 - EMANの物理学・量子力学
 http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/many.html


上記の「十分に大きな波動関数」の近似的な具体例は次のページにある「多粒子の波動関数」です。

・量子力学の確率解釈導出 - 量子論の不思議な世界
 http://www.geocities.jp/x_seek/Quantum_Probability.html


宇宙にn個の粒子が存在するとし、3n次元空間に存在する波動関数を考えます。3n次元空間の波動関数は、「世界のあらゆる状況」を記述できます。

上記の単純な例としてニュートン力学を考えます。ニュートン力学では、宇宙にある全粒子の位置を決めれば、ある特定の宇宙を構成できます。

1番目の粒子をここにおいて、
2番目の粒子をここにおいて、
...
という作業を、すべての粒子に対し繰り返せば、ある瞬間の宇宙を手作りできるという意味です。(運動量の指定も必要ですが略してます)


この考え方の延長に「3n次元空間の波動関数」ならば「世界のあらゆる状況」を記述できるという考え方が存在します。

1番目の粒子がここで、2番目の粒子がここにある時の波動関数の値、
1番目の粒子がそこで、2番目の粒子がそこにある時の波動関数の値、
...
という作業を延々と繰り返して多粒子の波動関数を作るのです。
粒子の位置の違いが多世界における世界の違いとなるのです。

個人的には、時空は離散的と考えています。私の理論も離散的です。そのため、連続固有状態は出てきません。
246 ghsobo 2015/01/28 (水) 08:34:30 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
ていねいなご説明ありがとうございます。
量子力学もよく分かっておらず、根本的なところも説明できないところもあります。
・1個の状態を多粒子で表すことは等価なのか、
・任意の波動関数というか任意の状態ケットを作れるのかと
・観測装置さらに観測者まで含めることすら疑問も
 |φ>=a|x↑>|Φ0>+b|x↓>|Φ1> はa|x↑>⊗|Φ0>+b|x↓>⊗|Φ1>
ですね?
このあたりは今更聞けない質問だと思っています。
私がもう少し勉強して、ここの議論に参加したいと思っています。その時はまたよろしくお願いします。

247 x_seek 2015/01/30 (金) 00:45:22 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ghsoboさん、こんにちは。

>>246
>・1個の状態を多粒子で表すことは等価なのか、

等価ではなく近似です。正確には場の量子論が必要です。
でも3n次元の波動関数の方がイメージしやすいと思います。

>・任意の波動関数というか任意の状態ケットを作れるのかと

それは「任意のベクトル空間は基底を持つか?」という問いと
同値だと思います。有限次元ならば可能です。
無限次元でも、選択公理を仮定すれば可能らしいです。

>・観測装置さらに観測者まで含めることすら疑問も

まぁ、そこは多世界解釈の大前提ですので…(^^;)

>|φ>=a|x↑>|Φ0>+b|x↓>|Φ1> はa|x↑>⊗|Φ0>+b|x↓>⊗|Φ1>
>ですね?

近似的に正しいと思います。例えば二粒子波動関数ψ(x1,x2)を
一粒子波動関数の積φ(x1)Φ(x2)と表現するのは近似ですので。

>その時はまたよろしくお願いします。

こちらこそ、よろしくお願いします。
248 takoyaki 2015/02/03 (火) 00:39:31 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

遅くなってしまいましたが、これから三次元のラプラス方程式の導出を行ってみたいと思います。
つい最近まで物理とは無縁の生活をしていた私ですが、仕事が終わって飯を食って、ああ今日も疲れたなあと寝る前に、ちょっと三次元ラプラス方程式と向き合う、というのも何だか新鮮なものです。独りぼっちだったら、絶対にやらなかっただろうなぁ。

三次元なので
<tex>f \left(x,y,z\right) </tex>
について考えます。

三次元空間の任意の点で、<tex> \pm x, \pm y, \pm z</tex>方向から受ける作用の平均が0のとき、この点は安定状態にあると考えられます。そこで、この6方向の力の合力を次のように表すことにします。

<tex>F _{1} +F _{2} +F _{3} +F _{4} +F _{5} +F _{6} =0</tex>

ここで本来ならまず差分を考えますが、表記が似ている上、説明が長くなってしまいますので、いきなり<tex>h</tex>を使うことをお許し頂きたいと思います。
上の合力は次のように表すことができます。

<tex>f \left(x+h,y,z\right) -f \left(x,y,z\right) +</tex>
<tex>f \left(x-h,y,z\right) -f \left(x,y,z\right) +</tex>
<tex>f \left(x,y+h,z\right) -f \left(x,y,z\right) +</tex>
<tex>f \left(x,y-h,z\right) -f \left(x,y,z\right) +</tex>
<tex>f \left(x,y,z+h\right) -f \left(x,y,z\right) +</tex>
<tex>f \left(x,y,z-h\right) -f \left(x,y,z\right) =0</tex>

<tex>f \left(x,y,z\right) </tex>は6方向の力の作用の平均に等しいことが分かります。

<tex>f \left(x,y,z\right) = \frac{f \left(x+h,y,z\right) +f \left(x-h,y,z\right) +f \left(x,y+h,z\right) +f \left(x,y-h,z\right) +f \left(x,y,z+h\right) +f \left(x,y,z-h\right) }{6} </tex>

ここで、6方向の力の作用を、それぞれ<tex>h</tex>で割ってみます。

<tex> \frac{F _{1} }{h} = \frac{f \left(x+h,y,z\right) -f \left(x,y,z\right) }{h} </tex>

<tex> \frac{F _{2} }{h} = \frac{f \left(x-h,y,z\right) -f \left(x,y,z\right) }{h} </tex>

<tex> \frac{F _{3} }{h} = \frac{f \left(x,y+h,z\right) -f \left(x,y,z\right) }{h} </tex>

<tex> \frac{F _{4} }{h} = \frac{f \left(x,y-h,z\right) -f \left(x,y,z\right) }{h} </tex>

<tex> \frac{F _{5} }{h} = \frac{f \left(x,y,z+h\right) -f \left(x,y,z\right) }{h} </tex>

<tex> \frac{F _{6} }{h} = \frac{f \left(x,y,z-h\right) -f \left(x,y,z\right) }{h} </tex>

これらは微分を使って次のように表せます。

<tex> \frac{F _{1} }{h} =f _{x}  \left(x,y,z\right) </tex>

<tex> \frac{F _{2} }{h} =-f _{x}  \left(x-h,y,z\right) </tex>

<tex> \frac{F _{3} }{h} =f _{y}  \left(x,y,z\right) </tex>

<tex> \frac{F _{4} }{h} =-f _{y}  \left(x,y-h,z\right) </tex>

<tex> \frac{F _{5} }{h} =f _{z}  \left(x,y,z\right) </tex>

<tex> \frac{F _{6} }{h} =-f _{z}  \left(x,y,z-h\right) </tex>

-------------------------------------------------------------------------
<補足>
<tex>F _{2} ,F _{4} ,F _{6} </tex>については、次のように一般の微分形式のxにx−hを代入した形として導くことができます。

<tex>f' \left(x\right) = \frac{f \left(x+h\right) -f \left(x\right) }{h} </tex>

<tex>f' \left(x-h\right) = \frac{f \left(x\right) -f \left(x-h\right) }{h} </tex>

<補足終わり>
-------------------------------------------------------------------------

したがって、

<tex> \frac{F _{1} }{h} + \frac{F _{2} }{h} + \frac{F _{3} }{h} + \frac{F _{4} }{h} + \frac{F _{5} }{h} + \frac{F _{6} }{h} =0</tex>

より、

<tex>f _{x}  \left(x,y,z\right) -f _{x}  \left(x-h,y,z\right) +f _{y}  \left(x,y,z\right) -f _{y}  \left(x,y-h,z\right) +f _{z}  \left(x,y,x\right) -f _{z}  \left(x,y,z-h\right) =0</tex>

という式が成立することが分かります。
ここで、両辺をさらに<tex>h</tex>で割ってやり、二階微分形式を導きます。

<tex> \frac{f _{x}  \left(x,y,z\right) -f _{x}  \left(x-h,y,z\right) }{h} + \frac{f _{y}  \left(x,y,z\right) -f _{y}  \left(x,y-h,z\right) }{h} + \frac{f _{z}  \left(x,y,z\right) -f _{z}  \left(x,y,z-h\right) }{h} =0</tex>

<tex>f _{xx}  \left(x-h,y,z\right) +f _{yy}  \left(x,y-h,z\right) +f _{zz}  \left(x,y,z-h\right) =0</tex>

もう<tex>h</tex>は使わないので、0にします。
すると三次元ラプラス方程式の完成です。(たぶん)

<tex>f _{xx}  \left(x,y,z\right) +f _{yy}  \left(x,y,z\right) +f _{zz}  \left(x,y,z\right) =0</tex>


さて、最後にこの方程式の意味ですが、この方程式を満たす数式は三次元空間の安定状態を表していると考えられます。
例えば、音は三次元の空間の各点における流体の密度の変化が伝播していく粗密波であると考えられますが、任意の点における密度の安定状態は、三次元のラプラス方程式を満たしていると考えられます。
この安定状態は静止した状態であり、時間の変化に対して不変です。
逆に言えば、時間の変化に対して不変な安定状態を基準にして、波の変化は伝わっていくものと考えられます。

以上です。
249 x_seek 2015/02/03 (火) 23:53:23 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 02/07 (土) 10:36 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>248

三次元のラプラス方程式の導出お疲れ様です。(^^)
式が長くなるので大変だったのではないでしょうか?
実際に自分で式を作ってみると良く理解できると思います。

調和方程式の例として音をあげたのですが、
ラプラス方程式を満たす関数は時間的に変化しないため
良い例ではありませんでした。すいません。

ラプラス方程式の場合は、
シャボン玉の膜や弦のような張力を持つ物体を
想像したほうが理解しやすいと思います。

音のような、時間的に変化する波は波動方程式で表現します。

<tex>\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2}</tex>

この方程式の解の一つは次の関数です。

<tex>f(x,t)=\sin(t-x)</tex>

この関数は $x$ 方向に進行する波を表現しています。

お時間のあるときにでも、上記の関数が実際に
波動方程式を満たすことを確認してみてください。
250 takoyaki 2015/02/05 (木) 09:51:23 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>249

x_seekさん、こんにちは。
>式が長くなるので大変だったのではないでしょうか?
はい、大変でした!でも充実した時間でした。
私はこれまできっちり数式と向き合うなんてことしたことありませんでしたので。
好きでやるなら何でも楽しいもんですね・・・。

ラプラス方程式を「張力」のある膜のイメージで捉えるのはわかりやすい説明ですね。
いちおう自分の理屈でも、それと同等のイメージにたどり着けたと思うので良かったです。

さて、波動方程式がついに出てきましたね。
「波動方程式」なるものがなくてはならない、と思ってはいたのです。
しかし、なぜ

<tex>\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2}</tex>

この形になるのでしょうか・・・。
時間で二階偏微分した形と、位置で二階偏微分したものが同じである、ということは、同じ形が時間に沿って並進移動しているものが波動である、というイメージで読み取ればいいのかな?でもどうして二階微分になるのだろう?

<tex>f(x,t)=\sin(t-x)</tex>

この関数は  $x$  方向に進行する波だというのは、見るからにそんな感じがしますね。

では、解いてみたいと思います・・・。
少しお時間を下さい。
251 takoyaki 2015/02/05 (木) 10:02:15 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
そうか、「変化していく様子」そのものは時間方向に対しても、位置方向に対しても同じように対称的で不変なのか!だから、アインシュタインの四次元時空の考えに至るわけですね。
なんだか今までより深いレベルでわかったような気がします・・・。
(でも、まだ誤解をしているかもしれないので、わかったつもりにならず慎重に勉強を続けたたいと思います・・・)
252 ひゃま 2015/02/05 (木) 13:09:45 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 14:58 [修正] [削除]
>>251
不変なのはそうなのでしょうが、宇宙の階層構造のどこかを運動するわけだから位置が違えば対称的とはいえないのではないでしょうか?
物理的作用と数学的作用は違うんですね。その証拠として、
2台のロケット間の距離は縮むか?専門家なのに、なぜこのようなワナに陥るのでしょうか。それは一つには、彼らが式だけに頼って、図とか直感的に考えることをしていないからです。
http://djweb.jp/power/physics/physics_05.html

このまえのkafukaさんの質問のように教科書が教えてくれない物理とか、シリーズにしたら面白いですねw
253 takoyaki 2015/02/06 (金) 00:21:51 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>252を読んで、わからなくなった・・・。
でも、へたに分かったつもりになるよりはいいかもしれない。

私の>>251の直観は、ローレンツ収縮のことを全く考えずに、波とは数学的にどう表されるかという観点のみから得たものでした。

焦らず勉強を続けたいと思います・・・
254 takoyaki 2015/02/06 (金) 03:09:25 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
遅くなりましたが、>>250の出題に対する私の回答を投稿します。
よろしくお願いします。

<tex>f (x,t) = \sin  \left(t-x\right) = \sin t \cos x- \cos t \sin x</tex>

<tex>f _{t} = \cos t \cos x+ \sin t \sin x</tex>

<tex>f _{tt} =- \sin t \cos x+ \cos t \sin x</tex>

<tex>f _{x} =- \sin t \sin x- \cos t \cos x</tex>

<tex>f _{xx} =- \sin t \cos x+ \cos t \sin x</tex>

よって、

<tex>f _{tt} =f _{xx} </tex>

したがって、<tex>f \left(x,t\right) </tex>は波動方程式を満たす。
で、よろしいでしょうか・・・?
255 ghsobo 2015/02/06 (金) 08:31:31 ID:o31aFqxxYw [修正] [削除]
>>247
>多世界解釈の大前提ですので…
観測者はマクロに属するので、どだい重ね合わせなどムリと思います。
電子と人間が量子的にシームレスにつながっていることは認めますが、論理的に突き詰めるとそう
なるんですか。
256 x_seek 2015/02/07 (土) 10:22:50 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 02/08 (日) 22:51 [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>254
正解です。(^^)
ご参考として、合成関数の微分を使った別解を紹介します。

微分する関数は下記です。
<tex>y=f(x,t)=\sin(t-x)</tex>

次の置き換えをします。
<tex>y=\sin(u)</tex>

<tex>u=t-x</tex>

変数 $x$ での合成関数の微分は次のとおりです。
<tex>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}</tex>

変数 $u$ での微分は次のとおりです。
<tex>y=\sin(u)</tex>

<tex>\frac{dy}{du}=\cos(u)</tex>

変数 $u$ の中身の微分は次のとおりです。
<tex>u=t-x</tex>

<tex>\frac{du}{dx}=-1</tex>

したがって、全体の微分は次のとおりです。
<tex>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\cos(u)(-1)=-\cos(t-x)</tex>

もう一度合成関数の微分を使うと次のようになります。
<tex>\frac{d^2y}{dx^2}=-\sin(t-x)</tex>

変数 $t$ での合成関数の微分は変数 $x$ での方法と同じです。
結果は次のとおりです。
<tex>\frac{d^2y}{dt^2}=-\sin(t-x)</tex>

従って、関数 $\sin(t-x)$ は次の方程式を満たします。
<tex>\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2}</tex>

合成関数の微分に慣れたら、微分が簡単になります。
ぜひ $t$ での合成関数の微分で練習してみてください。
257 x_seek 2015/02/07 (土) 11:44:28 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ghsoboさん、こんにちは。

>>255
>電子と人間が量子的にシームレスにつながっていることは認めますが、
>論理的に突き詰めるとそうなるんですか。

最終的には、その人が持つ世界観に依存すると思います。
例えばホーキングは多世界解釈派ですが、ペンローズは違います。

1個の電子は量子的。
n個の電子の系が量子的ならば、そこに1個の電子を加えても量子的。
数学的帰納法が使えるならば、どこまでいっても量子的です。
コペンハーゲン解釈が正しいならば、どこかに限界があるはずです。
ペンローズは、それを探っています。

一ついえることは、コペンハーゲン解釈には問題がありませんが、
多世界解釈には問題があるということです。

もし多世界解釈に問題がなかったならば、
どちらの立場を取っても構わないと思います。
逆説的ですが、多世界解釈は、問題があるからこそ、
その可能性を検討する価値があると考えています。
なぜなら、理論における問題は前進のヒントだからです。
258 kafuka 2015/02/07 (土) 15:11:14 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 16:20 [修正] [削除]
>多世界解釈は、問題があるからこそ、その可能性を検討する価値がある
なるほどです。
及ばずながら、僕も考えてみます。

参考までに:
http://mhotta.hatenablog.com/entry/2015/02/04/074443
>客観的にはドイッチュ自身の多世界解釈こそ科学の範疇から踏む出したトンデモと言える
>多世界解釈の先へと更に踏み混んだのがペンローズ・ハメロフ。
とのことです。
259 kafuka 2015/02/08 (日) 20:38:49 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
x-seekさん
本題の「多世界解釈によるボルンの規則の導出」ですが、
ちょっと教えてください。
「シュレーディンガの猫」で考えます。系の状態を|A>とすると、
|生きている>の確率=<生きている|A>は、
t→∞で0、
一方、|死んだ>の確率=<死んだ|A>は、
t→∞で1
でないといけないです。

しかし、多世界解釈においては、
|生きている>という個々の世界は、系の中の「生きている」という状態だけの部分系なので、
<生きている|この世界の状態>は、tが いつであっても(t→∞でも)
=<生きている|生きている>
=1
と思います。
多世界解釈では、生きている確率が、
t→∞で0 という帰結を、
どうやって導くのでしょう?
260 takoyaki 2015/02/09 (月) 04:48:52 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

合成関数の微分がなぜ成立するのか調べて、やっと理解できました。
こんなに凄い方法を思いついたのは一体誰なんでしょう?

<tex> \frac{dy}{dx} = \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{f \left(g \left(x+h\right) -f \left(g \left(x\right) \right) \right) }{h} </tex>

<tex> \frac{dy}{dx} = \lim_{h \rightarrow 0}  \left( \frac{f \left(g \left(x+h\right) \right) -f \left(g \left(x\right) \right) }{g \left(x+h\right) -g \left(x\right) }  \frac{g \left(x+h\right) -g \left(x\right) }{h} \right) </tex>

ここで、<tex>g \left(x+h\right) -g \left(x\right) =j</tex>とおくと、
<tex>g \left(x+h\right) =g \left(x\right) +j=u+j</tex>となる。よって、

<tex> \frac{dy}{dx} = \lim_{h \rightarrow 0}  \left( \frac{f \left(u+j\right) -f \left(u\right) }{j}  \frac{g \left(x+h\right) -g \left(x\right) }{h} \right) </tex>

<tex>h \rightarrow 0</tex>ならば <tex>j \rightarrow 0</tex>となる。よって、

<tex> \frac{dy}{dx} = \lim_{j \rightarrow 0}  \left( \frac{f \left(u+j\right) -f \left(u\right) }{j} \right)  \lim_{h \rightarrow 0}  \left( \frac{g \left(x+h\right) -g \left(x\right) }{h} \right) </tex>

<tex> \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}  \frac{du}{dx} </tex>


なんかこう、美しいですねえ。
こういう方法を自力で発見しようと思ったら、そうとうな体力がいるでしょう。
脱帽です。
261 takoyaki 2015/02/09 (月) 05:08:27 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>256の出題に対する私の回答です。

<tex>z=- \cos  \left(t-x\right) </tex>
<tex>u=t-x</tex>

とする。

<tex> \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{du}  \frac{du}{dx} </tex>

<tex> \frac{dz}{du} = \sin u</tex>

<tex> \frac{du}{dx} =-1</tex>

より

<tex> \frac{dz}{dx} =- \sin  \left(t-x\right) </tex>

以上です。
262 x_seek 2015/02/10 (火) 20:56:52 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 21:13 [修正] [削除]
kafukaさん、こんにちは。

>>259
> しかし、多世界解釈においては、
> |生きている>という個々の世界は、
> 系の中の「生きている」という状態だけの部分系なので、
> <生きている|この世界の状態>は、tが いつであっても(t→∞でも)
> =<生きている|生きている>
> =1
> と思います。

上記の記述の意味がよくわかりませんでした。ごめんなさい。
どうして「生きている」状態だけで確率を計算するのでしょうか?

また、下記内容について同意頂けますでしょうか?

・シュレーディンガーの猫のパラドックスは、アルファ崩壊に帰着できる。
・アルファ崩壊はトンネル効果で説明できる。
・トンネル効果はアルファ粒子の位置の波動関数で説明できる。
・トンネル効果によれば、単位時間あたりの崩壊確率は一定である。

トンネル効果におけるアルファ粒子の波動関数の時間発展は
コペンハーゲン解釈でも多世界解釈でも同じです。

多世界解釈において、アルファ崩壊しない世界の個数が、
完全にゼロにならないことを疑問を感じていらっしゃるのでしょうか?

コペンハーゲン解釈においても、崩壊現象は確率現象ですので、
崩壊しない確率も存在します。もちろん、その確率は非常に小さいです。
263 x_seek 2015/02/10 (火) 21:04:53 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>261
正解です。(^^)

>>260
>こんなに凄い方法を思いついたのは一体誰なんでしょう?

多分、ニュートンとライプニッツでしょう。

>なんかこう、美しいですねえ。

そう言われると確かに美しいですね。すっかり、そういう感覚を忘れていました。

>こういう方法を自力で発見しようと思ったら、そうとうな体力がいるでしょう。

山の斜面を考えれば理解しやすいと思います。
微分では「滑らかな曲線は十分に拡大すれば直線になる」と考えます。
なので、直線の斜面で考えます。

水平方向の移動速度 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ を秒速4mとします。
山の斜面を水平方向  $\Delta x=$ 10mに対し、垂直方向  $\Delta y=$ 1mとします。
一秒あたりの垂直方向の上昇速度 $u=\frac{\Delta y}{\Delta t}$ を次のように計算します。

<tex>u = \frac{\Delta y}{\Delta x}v </tex>
<tex>\frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \frac{\Delta x}{\Delta t} </tex>

これは、まさに合成関数の微分です。答えは秒速0.4mになります。
264 takoyaki 2015/02/11 (水) 08:27:59 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>263

なるほどです。
この説明は直観的で、理解しやすいですね。
教えて頂き、ありがとうございます。

それと、もしご存知でしたら教えて頂きたいことがあります。
三角関数の公式集にでてくるhとは何か?という質問です。

『数学大全1 微分積分 ドナルド・A・マックォーリ』
という本の最後に数学でよく使う公式集がまとめてあり、予習のつもりで書き写していたのですが・・・例えば以下のようなものです。

<tex> \cos h ^{2} x- \sin h ^{2} x=1</tex>

<tex> \sin hix=i \sin x</tex>

<tex> \cos hix= \cos x</tex>

波の位相に複素数を導入するのにhが必要なのかな?と思ったり・・・
よくわからず疑問に思ったので、x_seekさんに質問してみようと思いました。
265 JK 2015/02/11 (水) 08:57:06 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>264
横からですが、双曲線関数です。
hは「hyperbolic」の略です。
266 JK 2015/02/11 (水) 09:09:17 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>259
>>262の回答があるので横からかつ蛇足ですが、コペンハーゲン解釈では、

生きている確率:|<生|ψ>|^2=exp(−λt)
死んでいる確率:|<死|ψ>|^2=1−exp(−λt)

と理解するように、多世界解釈では、

生きている世界の割合:|<生|ψ>|^2=exp(−λt)
死んでいる世界の割合:|<死|ψ>|^2=1−exp(−λt)

と理解するはずです。
x_seekさんも書かれているように、どちらの解釈でも観測される現象は変わりません。
267 JK 2015/02/11 (水) 10:03:29 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>259
○○解釈にはバリエーションが付き物ですが、現代のコペンハーゲン解釈は初期の多世界解釈と変わらないでしょう。
測定器の状態を陽に表した「射影測定」のままで、「波束の収縮」のタイミングには恣意性を残しているはずなので。

・この現象では「波束の収縮」が起こったようなので、「波束の収縮」が起こったのだろう。

という自己言及的な側面が、物理学にはどうしても残ってしまいますよね。
268 kafuka 2015/02/11 (水) 16:22:27 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 17:33 [修正] [削除]
JKさん 回答ありがとうございます。
>>266
>生きている世界の割合:|<生|ψ>|^2=exp(−λt)
>死んでいる世界の割合:|<死|ψ>|^2=1−exp(−λt)
この式については:
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B4%A9%E5%A3%8A%E5%AE%9A%E6%95%B0
に説明があります。

それで、僕は多世界解釈での「観測者」がわからないのです。
コペンハーゲン解釈では、系の外に観測者がいて、
|全状態>=f(t)|生> + g(t)|死>
を射影測定すれば、|生>か|死>のどちらかが消滅し(状態の収縮)
測定結果は、|生>か|死>のどちらかです。

多世界解釈では、状態の収縮を忌避するというのが大前提で、
http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/many.html
によると、
>A という状態を観測した人間と、 B という状態を観測した人間とが
>重なり合って存在している状態を表す波動関数があるだけ
とのことなので、
僕が観測者とすると、
僕の分身は、それぞれ |生>か|死>の世界に属します。
(両方 観測できるとすると大前提に反する)
|僕>=|生を観測している分身>+|死を観測している分身>
ということです。

|僕>にとっては、当然、
>生きている世界の割合:|<生|ψ>|^2=exp(−λt)
ですが
|生>しか観測してない分身には、系の全状態ψは、|生>だけなので、
<生|ψ>=<生|生>
=1 が |生>が突然終わる時点まで続き、その時点で =0
と同時に、この分身も消滅(そして|死を観測している分身>が生成)

それで、この分身が、多少量子力学を知っているとすると、
生が突然終わる時点まで続く <生|ψ>=1 は、おかしいと思うでしょう。
それと、
|僕> の方は、
>安定した意識を保持する人間はただ1つの事象をそれぞれの時刻に生々しく体験しており、
>多くの異なる体験や記憶の確率的分布や重ね合わせを感じない。
です。( http://mhotta.hatenablog.com/entry/2015/02/04/074443 より)

どうも、多世界解釈での「観測者」がよくわかりません。
269 ひゃま 2015/02/11 (水) 17:02:10 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 17:38 [修正] [削除]
割り込み失礼します。
量子論の観測問題は観測とは何か良くわからんってとこから始まってるので、
それをはっきりさせない限り解釈のとり方の議論は意味ないんですよね。
「コペンハーゲン解釈を観測者(人間)にもちゃんと適用して、
 論理的に考えたら、多世界という存在が導き出せたよ〜」
http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/doc/tasekai2.html

だからどうせなら観測とは何かをスレを変えてでも議論していただきたい。
270 takoyaki 2015/02/11 (水) 17:27:44 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>265
JKさん、ありがとうございます。

hは「hyperbolic」のことでしたかあ。なるほど〜。
・・・でも双曲線と三角関数の関係が全然わからない・・・。
ま、まあ、勉強を続けていればそのうちわかるかな。
急いでいるわけはないので、とりあえず納得です。
271 JK 2015/02/11 (水) 18:51:54 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>268
kafukaさん
>僕は多世界解釈での「観測者」がわからないのです。

観測とは、被観測者と観測者の相互作用であり、その結果としての「量子もつれ」の一種です。
相互作用である以上、どちらが観測者ということも本来はありません。
言うなれば、観測者の相対性ですね。
ただ、経験上、

・ミクロ(所謂、被観測者)側の基底は「重ね合わせ」としても観測できる。
・マクロ(所謂、観測者)側の基底は「重ね合わせ」としては観測できない。

という違いは確かにあります。
物理学は、この問題に第一原理からは答えられていません。
幾つかの仮説があるだけです。

>この分身が、多少量子力学を知っているとすると、
>生が突然終わる時点まで続く <生|ψ>=1 は、おかしいと思うでしょう。

おかしいと思うでしょうね。
何故でしょうか?
僕や僕の世界でも過去に半減期を調べたことがあり、状態としての|僕>や|僕の世界>にも情報が残されているからです。
|僕>や|僕の世界>が、

>ただ1つの事象をそれぞれの時刻に生々しく体験

するだけの情報量を持ちうるということです。
そして、ある情報を持つ|僕>や|僕の世界>は、異なる情報を持つ|僕’>や|僕の世界’>と直交するというわけです。
そう考えてみれば、その後の|僕>の時間発展に、コペンハーゲン解釈も多世界解釈もありません。
あまりの確率の低さに、鳥肌が立つことでしょう。
272 ひゃま 2015/02/11 (水) 19:05:47 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 19:57 [修正] [削除]
じゃあ観測とは?問題に関して証拠が多世界では裁判になりませんのでw
観測とは観測事実に対しての時間発展の共有化ではいかがでしょう?

生命の主体性に基づく生命系の時間発展の理論 −化学進化,生物進化,文化・文明の発展を生命現象としてみる−
http://www.origin-life.gr.jp/3301/3301001.html
273 x_seek 2015/02/11 (水) 20:37:30 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
JKさん、はじめまして。(^^)

>>266
ご説明ありがとうございます。説明頂いた内容に同意します。

>>267
>現代のコペンハーゲン解釈は初期の多世界解釈と変わらないでしょう。

そうですね。ご意見に同意します。

エベレットの多世界解釈は、コペンハーゲン解釈と同じ数学形式を持ち
新しい実験結果を予言しないため、実験的に検証不可能とされています。

実際、エベレットの多世界解釈は、ボルンの規則を理論の枠内で導出できません。
測度という形で仮定しています。そのことを複数の研究者が問題視しています。
274 x_seek 2015/02/11 (水) 20:38:54 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
kafukaさん、こんにちは。

>>268

私は>>262で次のように述べました。
>・トンネル効果によれば、単位時間あたりの崩壊確率は一定である。

単位時間あたりの崩壊確率が一定のため、
崩壊現象は単位時間毎の量子的なコイントスで説明できます。
表を1,裏を0とすると3回のコイントスで観測者は8種類に分岐します。

 |ψ>→|000>+|001>+|010>+|011>+|100>+|101>+|110>+|111>

例えば|011>は「1回目が裏、2回目が表、3回目が表」を意味します。
仮にコイントスで0が出たら、猫は死ぬとしましょう。

多世界解釈の量子コイントスでは全ケースが漏れなく起こります。
これは1が出続ける世界が必ず存在することを意味します。
そして、その世界は稀ですが普通の世界です。
なぜなら、|101>の世界も|111>の世界も同等だからです。


> |生>しか観測してない分身には、系の全状態ψは、|生>だけなので、

kafukaさんの疑問は次のような内容でしょうか?

・最後まで|生>しか観測しなかった分身にとっては、
 |生>を観測する確率は100%となる。

それは、普通の現象だと思います。理由は前記のとおりです。


> =1 が |生>が突然終わる時点まで続き、その時点で =0

多世界解釈では、|生>の世界の割合は0になりません。
コペンハーゲン解釈でも確率は0になりません。

> 生が突然終わる時点まで続く <生|ψ>=1 は、おかしいと思うでしょう。

kafukaさんは、猫の立場で考えていらっしゃるのでしょうか?
猫の立場で考えると猫は常に生きています。
猫は1が連続で出続ける様子を観測します。

きっと猫はおかしいと思うでしょう。しかし多世界解釈では普通の現象です。
コペンハーゲン解釈でも、その現象は稀ですが物理的に禁止されません。
275 kafuka 2015/02/11 (水) 22:07:43 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
ひゃまさん
>>271
>観測とは、被観測者と観測者の相互作用であり、その結果としての「量子もつれ」の一種です。
>|僕>の時間発展に、コペンハーゲン解釈も多世界解釈もありません。
僕もそう理解してます。それに関しては、どちらの解釈でも疑問はありません。
僕は多世界解釈での「観測者の分身から見て」がわからなかったのです。

JKさん
>マクロ(所謂、観測者)側の基底は「重ね合わせ」としては観測できない
ですが、マクロ側は混合状態と思ってよいでしょうか?
混合状態でしたら、ヒルベルト空間を大きくとると、
(測定による混合の場合なら、測定しない/測定結果がa/b/c/、、、 という基底にする)
混合状態でも、形式上 重ね合わせになります。

>この分身が、多少量子力学を知っているとすると、
>生が突然終わる時点まで続く <生|ψ>=1 は、おかしい
と思っていましたが、今は思っていませんw

|僕>全体では、<生|ψ>=exp(−λt) ですが、たくさんの分身の1つが見る状態φは、
始めは|生>で、生が突然終わる時点まで 
<生|φ>=1
でよいと思います。
逆に、たった1つを見ていただけの分身が exp(−λt) を観測する
というのは、おかしいです。
何故なら、α崩壊する原子核の内部の観測は無意味です(破壊検査になるから)
始めは|生>であり、以降 何の情報も得なければ、状態は変わりませんから。

つまり、「波動関数や状態ベクトルは、情報論的存在である」 と考えれば、
何の矛盾もないことがわかりました。
276 x_seek 2015/02/11 (水) 22:45:47 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>272
> じゃあ観測とは?

観測については、JKさんと同意見です。
観測は、被観測者と観測者の相互作用による量子相関と考えます。
多世界解釈では観測後、被観測者だけでなく、観測者も重ね合わせ状態となります。
277 ひゃま 2015/02/11 (水) 22:51:21 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 02/12 (木) 14:46 [修正] [削除]
>>276 x_seekさん、こんばんわ
x_seedさんには、階層宇宙の云々のスレで多世界解釈とは違う、時空については考えるという言葉をいただいておりますので、違和感はないのですが、
ちょっとだけ、観測と観測者は同じですか?
ひゃまの感覚だと観測者は相互作用の当事者だから被観測者と優越はないのですけど、観測は必ずしも相互作用の当事者でなくて理論も含めた主体性が優先されると思うのですけど

様子を見て推しはかる http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A6%B3%E6%B8%AC
こういうのって証拠としてDNA鑑定するように科学的な行為そのものですよね?
278 JK 2015/02/12 (木) 09:29:35 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>275
kafukaさん
>マクロ側は混合状態と思ってよいでしょうか?

それは分かりません。
まったく皮肉のつもりはないのですが、混合状態というのは「思考停止装置」だと思います。
情報が不十分な状況下でのアプローチとして考え出された、便宜的な計算手続き以上のものではないでしょう。
279 kafuka 2015/02/12 (木) 21:25:55 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>>274
>> =1 が |生>が突然終わる時点まで続き、その時点で =0
>多世界解釈では、|生>の世界の割合は0になりません。
>コペンハーゲン解釈でも確率は0になりません。
?です。
コペンハーゲン解釈には、普通 射影仮説が入ります。
射影測定すれば、結果は |α崩壊した>か |してない> のいずれかになり、
|α崩壊した>であれば、|生>の確率は 0 でしょう。

JKさんの言われるように、
>この現象では「波束の収縮」が起こったようなので、「波束の収縮」が起こったのだろう。
という悩ましい点は、ありますが、、、
280 x_seek 2015/02/13 (金) 01:15:14 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
kafukaさん、こんにちは。

>>279
> コペンハーゲン解釈には、普通 射影仮説が入ります。
> 射影測定すれば、結果は |α崩壊した>か |してない> のいずれかになり、
> |α崩壊した>であれば、|生>の確率は 0 でしょう。

では、次のような説明ではいかがでしょうか?

JKさんに>>266で次の式を書いていただきました。
> 生きている確率:|<生|ψ>|^2=exp(−λt)

ここで、次の問いを考えてみたいと思います。

問い:
シュレーディンガーの猫をt秒後に観測する場合において、
生きている猫を観測する確率P(t)を計算せよ。なお、
毒ガス噴射の契機となるアルファ崩壊の崩壊定数はλとする。


私は次のように確率P(t)を計算します。

 P(t)=|<生|ψ>|^2=exp(−λt)

100秒後に観測しても、確率は0になりませんよね。
281 x_seek 2015/02/13 (金) 01:16:15 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>277
> 観測は必ずしも相互作用の当事者でなくて
> 理論も含めた主体性が優先されると思うのですけど

ひゃまさんは、相互作用の可能性なしで
観測できると考えていらっしゃるのでしょうか?


> 様子を見て推しはかる http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A6%B3%E6%B8%AC
> こういうのって証拠としてDNA鑑定するように科学的な行為そのものですよね?

「様子を見て推しはかる」は、量子力学における「素粒子の観測」ではなく
政治経済学における「世界情勢の観測」に相当すると思います。
282 x_seek 2015/02/13 (金) 01:17:33 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>270
> ・・・でも双曲線と三角関数の関係が全然わからない・・・。

私も、双曲線関数と三角関数の関係がわからず、
とても不思議に思っていました。

イタリアの数学者ヴィンチェンツォ・リッカチ
(Vincenzo Riccati)が1760年代にCh,Shという記号を
導入したのが始まりのようです。

彼はなぜ三角関数と似た記号を採用したのでしょうか?

例えば、オイラーの公式を考えてみましょう。
 exp(ix)=cos(x)+i sin(x)

変数xに-iyを代入すると、次の式を導出できます。
 exp(y)=cosh(y)+sinh(y)

このように、双曲線関数は複素数を通じて三角関数とつながっているのです。
283 ひゃま 2015/02/13 (金) 02:06:43 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 02:22 [修正] [削除]
>>281 x_seekさん
>ひゃまさんは、相互作用の可能性なしで観測できると考えていらっしゃるのでしょうか?

相互作用の可能性なしで観測は、x_seekさんが階層宇宙云々でおっしゃられたような時空を取り除いた論理的考察なのではないでしょうか
たとえば測定データの事後の分析発見とか、太陽から見てとかは直接的でない観測に相当します。
その一環として無限遠にみた慣性系を基準に共有する時間で物事を判断するとかがあります。

だから「様子を見て推しはかる」は基準を決めて認識する生命を育んできた活動そのものではないでしょうか?
284 ひゃま 2015/02/13 (金) 02:14:32 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
この問題を蒸し返して解釈問題になってるだけではないでしょうか?

「アインシュタインさん、あなたは私の量子論がおかしいと言っておられる。そのために私の量子論がおかしいと思えるような仮説を持ち出す。しかし私の量子論はあなたがおかしいとかおかしくないとかいった基準そのものを破壊してしまったので、あなたが私にいくらおかしいと言っても、実はおかしいとかおかしくないとか言うことを判断していたあるものーーつまりはカント的なものですねーーこれを破壊してしまったのですよ」
http://yamadahifumi.blog27.fc2.com/blog-date-201007.html

はたして多世界解釈ならアインシュタインは満足したでしょうか?
285 Mt.Key 2015/02/13 (金) 12:25:24 ID:al3TAypLVU [修正] [削除]
>>270>>282
スレ違いかもしれないので深く追及するつもりはないですが、この辺の歴史的背景は楕円関数論の世界が広がってると想像します。
286 hirota 2015/02/13 (金) 12:28:32 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
双曲線関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/双曲線関数
287 JK 2015/02/13 (金) 16:16:03 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
「肯定型の測定」か「否定型の測定」か、という分類もありますね。
前者は「測定器が感知した事象」に、後者は「測定器が感知しなかった事象」に対応します。
具体的には、「二重スリットの一方に置かれたセンサー」を想像すれば良いでしょう。

コペンハーゲン解釈的な表現では、「否定型の測定」における「波束の収縮」にとって、
相互作用が必要ないかのようにも見えてしまいます(もちろん、まったくの誤解ですが)。
多世界解釈的な表現なら、

U|ψ>=α|φ1>|感知した>+β|φ2>|感知しなかった>

のような測定器を置いた場合の時間発展と(これも、相互作用の表現の1つですね)、

U|ψ>=α|φ1>exp(iθ1)+β|φ2>exp(iθ2)

のような位相板を置いた場合の時間発展に、統一感も見られます。
288 ひゃま 2015/02/13 (金) 16:26:21 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 22:20 [修正] [削除]
>>279 kafukaさん

射影仮説っていうのは、放射原子の崩壊過程は量子力学に従うのだけど、放射原子の状態は古典ビットと同じ1/0っていうのを、道中波動関数だけで〜最後波動の収縮で帳尻合わせするための仮説でありコペンハーゲン解釈では、それらがパックで無矛盾であるということでしょうか?
もしそうなら、多世界はここらのつじつま合わせはどうしているのでしょうか?
それとも放射原子が崩壊過程のみで状態変化するというのが相互作用の観測を踏まえないと論理的に成り立たないといってるのでしょうか?
そもそもが確率的解釈自体が相互作用のない経験則、つまり相互作用のない観測に基づいているのではないでしょうか?
もしそうならこの論理ループの遮断が必要になります、それが射影仮説ですか?
289 kafuka 2015/02/13 (金) 18:15:22 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
x-seekさん
>私は次のように確率P(t)を計算します。
> P(t)=|<生|ψ>|^2=exp(−λt)
>100秒後に観測しても、確率は0になりませんよね。
(コペンハーゲン解釈の)量子力学の時間発展には、ユニタリー発展と
射影仮説による非ユニタリー発展が あります。

この計算は、ユニタリー発展の方のもので、
測定の結果に対応する計算は、
射影仮説の方を使い、これは突然、確率0になることがあります。
290 JK 2015/02/13 (金) 20:49:19 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>289
kafukaさん
横からですが、x_seekさんの主張は次のようなものだと思います。

実験開始時刻をt=t0とすると、時刻t=t1(>t0)まで生き残れた僕の解釈は…。

@コペンハーゲン解釈
運良く生き残れているが、1−exp{−λ(t1−t0)}の確率で死んでいてもおかしくはなかった。
時刻t=t2(>t1)まで生き残れる確率は、exp{−λ(t2−t1)}になるだろう。

A多世界解釈
実験開始時刻には、W(t0)個の世界があったと仮定しよう。
僕自身は運良く生き残れているが、W(t0)−W(t1)=[1−exp{−λ(t1−t0)}]W(t0)個の世界にいた僕の分身達は死んでしまった。
時刻t=t2(>t1)まで僕自身が生き残れる確率は、W(t2)/W(t1)=exp{−λ(t2−t1)}になるだろう。

多分、多世界解釈における世界の数W(t)は数えられるようなものではないでしょうが、イメージとしては伝わったでしょうか?
291 kafuka 2015/02/13 (金) 22:05:58 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
JKさん
アドバイス、ありがとうございます。
全世界についての計算なら、わかりますし、もちろん同意です。

僕の論点は、個々の世界(分身が見る世界)が なんか変だということです。
個々の世界には、|生>しかないはずです。
(|死>もあったとしたら、測定した結果が「生きてる」なら、|死>が消える=状態が収縮する必要がある)

それで、|生>しかない世界(=|死>がない)では、|生>の確率は100% としかならないし、
|死>があってはならないのだから、|生>から|死>には変わるには、一瞬で変わるしかない
(時間発展で、徐々に変わるわけにはいかない)
ということです。

また、全世界について|生>の世界の「数」が、どんどん減って行くので、
いくつかの分身が見る|生>の世界は、そのうちには必ず消滅しないといけない
(瞬間で|死>に変わってもよいが)

以上、個々の世界が分身にどう見えるか についての僕の推論です。
ある瞬間「世界の消滅」かそうでなければ、瞬間で|死>に変わる「世界の切りかえ」が
起きると思います。

皆さんは、どう思われますか。

ひゃまさん、ちょっとまって下さい。これからResします。
292 JK 2015/02/14 (土) 10:27:14 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>291
kafukaさん
この思考実験では、1個のラジウム(で良かったかな?)が崩壊した時点で僕は死んでしまいます。
これではあんまりなので(そういう問題か?)、3個のラジウムが崩壊した時点で死ぬように設定を変えましょう。
そうするだけで、ラジウムの時間発展(つまり、1個、2個と崩壊する様子)を実感できるようになります。
つまり、突然死んだように思えたのは、「生か死か、何れかの状態しかない」という古典力学的な思い込みによるものなのです。
コペンハーゲン解釈における確率的な選択(多世界解釈における全世界の存在)を無視したからに他ならないのです。
293 甘泉法師 2015/02/14 (土) 10:38:16 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>292 これではあんまりなので(そういう問題か?)

猫とJKさんの命を大切にする Wignerの友人 http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/wigner.html という実験もあります。 ご安心を。
294 kafuka 2015/02/14 (土) 11:39:25 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
ひゃまさん
射影仮説を含む量子力学(=コペンハーゲン解釈)が「無矛盾か否か」ってことについては:

一般に物理理論は、無定義で用いる用語が多いというか、どれが無定義用語か
定義された用語かが、判然としないし、
直交しない原理がいろいろあり、原理=公理ともいえないです。
例えば、古典力学のF=ma にしたって、定義か原理=公理か という議論も
あります。
なので、数学的に無矛盾か否かは、証明不可能と思います。
清水博士の「新版 量子論の基礎」は:
「量子力学は、何故か驚異的にうまくいっている理論体系」であり、
「その驚異的にうまくいっている量子論は、こういう理論体系です」
と紹介する形式で書かれています。

>多世界はここらのつじつま合わせはどうしているのでしょうか?
そこです! 僕もそれを よく知りたいのです。
1つは:
「個々の世界は、他の世界知り得ないし干渉も受けないのに、
何故、全世界を無視したらいけない」のか疑問です。
(詳しくは、JKさんへのResに書きます)
295 x_seek 2015/02/14 (土) 12:18:36 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
JKさん、こんにちは。

>>290
わかりやすくご説明いただき、ありがとうございます。
とても助かっております。(^^)


>>271
> 観測とは、被観測者と観測者の相互作用であり、
> その結果としての「量子もつれ」の一種です。

簡にして要を得た説明ですね。同意いたします。


>>287
> 「肯定型の測定」か「否定型の測定」か、という分類もありますね。

そうですね。相互作用の可能性だけで観測できます。

ご存知とは思いますが、爆弾検査問題では、
相互作用の可能性だけで爆弾を検査できます。

・爆弾検査問題
http://www005.upp.so-net.ne.jp/yoshida_n/qa_a97.htm

多世界解釈ならば、この不思議な現象を自然に理解できます。
一方コペンハーゲン解釈では理解困難だと思うのですが…
296 x_seek 2015/02/14 (土) 12:25:14 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
JKさん、こんにちは。

>>292
多くの人にとって、多世界を理解することは困難なようです。
ラプラスとエベレットを対比し、その原因を考察しました。

19世紀にラプラスが世界を運動方程式で記述できると言った時
多くの人は理解できなかったと推測します。
なぜならば多粒子の運動方程式に関する知識が必要だからです。

20世紀にエベレットが世界を波動方程式で記述できると言った時
多くの人は理解できなかったと推測します。
なぜならば多粒子の波動方程式に関する知識が必要だからです。

多粒子の運動方程式なしでラプラスを理解できないように
多粒子の波動方程式なしでエベレットは理解できないと、私は思います。
297 JK 2015/02/14 (土) 13:00:15 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。
お役に立てたようで何よりです。
どちらか一方を信じてるわけでもないのですが、多世界解釈的な表現のほうが便利だなと思ってます。
運良く、多世界解釈論者である和田さんの副読本、

・和田純夫「なっとくする量子力学の疑問55」講談社

が近所の図書館にもあって(現在、Kindle版しか流通してません)、考え方の参考にしてます。
入手しやすい解釈問題の決定版みたいな教科書があれば良いのですが。
298 ひゃま 2015/02/14 (土) 13:20:44 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 22:28 [修正] [削除]
kafukaさん
清水先生はこうもいってるんです。

しかし、この公理は、無くてもいいようなものではなく、量子論の理論としての整合性を保つために絶対に必要なので、量子論の建設者達 が、気持ち悪いとは思いながら、論理の必然として導入したものである。それなのにほとんど使われないのは、この「気持ちの悪い」公理を一切使わなくても、 過去1世紀の間、充分に面白い研究ができた研究分野が多かったからである。
しかし…である。今後もこれで良いのだろうか?
http://as2.c.u-tokyo.ac.jp/~shmz/zakkifiles/01-11-07.html

だからうまくいってきたからいいというものでもないような?
これじゃあまるで経路秘孔をケンシロウに突かれた放射原子、お前はすでに死んでいるじゃないですかw
299 x_seek 2015/02/14 (土) 14:19:57 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 21:56 [修正] [削除]
JKさん、こんにちは。

>>297
>どちらか一方を信じてるわけでもないのですが、
>多世界解釈的な表現のほうが便利だなと思ってます。

そうですね。多世界解釈は信じるものというよりも
消去法の結果、やむを得ず選ぶものだと思います。

>入手しやすい解釈問題の決定版みたいな教科書があれば良いのですが。

解釈問題の決定版みたいな教科書については、よくわかりませんが、
ファインマン物理学の量子力学がとても参考になりました。
教科書の文章には、著者の哲学がにじみでる気がします。

EMANさんが執筆されている『趣味で量子力学』も楽しみです。
#何月に出版されるのかな?
300 ひゃま 2015/02/14 (土) 15:40:53 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 21:46 [修正] [削除]
こうみてきても、観測基準を置いて相互作用してみるという古典的なやり方こそが本来の観測の意味であって、どれを信じる信じないじゃない合理的な科学的手法(すべての法則は仮定だみたいな)のような気がします。

なにかニュートン→相対論のときもそうですが、この観測基準に対して絶対的なものを求めるから他のやり方ってなるのだけど、結局基準を排除しても基準的なことがカント的には必要になる(再現性を求める科学の宿命)ってことでしょうねw

だから同じ生命として進化してきた一般人に対してコペンハーゲンや多世界がわからないからと言うのは科学者のおごり、よく言えばチャレンジであって、温故知新、昔ながらのやり方の改造で進むのが正しいような気がします。
いやそうじゃないんだ、君が知らないだけっていうことがあれば、ご意見お持ちしております^^;
301 TMO 2015/02/14 (土) 23:54:48 ID:s8BM.pqBMU [修正] [削除]
私は多世界解釈、というより「エヴェレット解釈」は、
アインシュタインの提唱したいわゆる隠れた変数理論に近いもので、
コペンハーゲン解釈、あるいは確率解釈とは本質的に相容れないもの
だと認識しています。
;アインシュタインが量子力学、というよりは確率解釈に激しく抵抗したように。

以前はそのことがウィキペディアの記事に書かれてましたが、
今見ると記事がずいぶんと簡略化されていました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%AC%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E5%A4%9A%E4%B8%96%E7%95%8C%E8%A7%A3%E9%87%88

個人のサイトのようですが、
http://homepage2.nifty.com/qm/brain.html
↑ここの説明が多世界解釈、あるいはエヴェレット解釈の説明として詳しいと思います。
302 ひゃま 2015/02/15 (日) 00:13:33 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 01:45 [修正] [削除]
コペンハーゲン解釈と多世界解釈の議論も、ボーアとアインシュタインの論争と同じで結局、粒子のマクロ性を認めて階層構造に複合量子にみれるか?
っていう問題に集約するんですよね。

量子力学が正当な理論としての地位を勝ち得たからといって、論争もアインシュタインの敗北、ボーア陣営の勝利に終わった見なすべきではないのだ。
http://www005.upp.so-net.ne.jp/yoshida_n/kasetsu/subject/sub07.htm

そもそも最初から量子仮説と相対論はきびしく矛盾するんですね。
むしろ、そのままでは光量子は相対論ときびしく矛盾するものであった。
http://www10.ocn.ne.jp/~shima/dualism.html
303 ひゃま 2015/02/15 (日) 00:40:53 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
だからそういう複合量子において粒子と波動の二重性を定式化してない段階では、測定系も含めた観測視点をシュレ猫の箱におくのか、放射原子におくのかは違い、清水先生のおっしゃるとおり「ここで重要なのは、単純 に射影仮説を使うのではなく、その正しい使い方を見極めて理論を展開しないと、決して実験と合わないことである。」って話になるのでしょう。

こういうことを書くと、「射影仮説を使って、何か実験結果に現れる事を主張できるのかい?」という質問が返ってきそうである。もちろん、でき る。例えば、量子光学という分野では、昔から、射影仮説を適切に使わないと、実験結果が説明できないことが分かっている。ここで重要なのは、単純 に射影仮説を使うのではなく、その正しい使い方を見極めて理論を展開しないと、決して実験と合わないことである。(他の分野でそういう考察が必要なかった のは、量子光学ほどコヒーレンスの良い量子状態をなかなか作れないために、そういう違いを見いだすような実験ができなかったのだ。)射影仮説を使う分野名 をもう一つ挙げると、近年盛んになりつつある、量子情報という分野がある。情報理論の中心的な仕事は、ものごとの限界に線を引いていく事にあるから、測定 後の状態がどうなるかは本質的に重要で、従って射影仮説は頻繁に使われる。実際には、射影仮説を拡張したPOVM測定というのを現象論的に導入する事が行 われているが、これは、測定器の一部を含む系に射影仮説を適用すれば得られるものであり、やはり基本公理は射影仮説なのである。
http://as2.c.u-tokyo.ac.jp/~shmz/zakkifiles/01-11-07.html
304 JK 2015/02/15 (日) 11:04:38 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>294
kafukaさん
お気付きかも知れませんが、多世界解釈でも全宇宙の状態を「あからさまに」表すわけではありません。
例えば、「シュレーディンガーの猫」は|ラジウム>|カウンター>|毒ガス装置>|猫>という直積状態を使って、

|ψ>=α|未崩壊>|未検知>|未噴射>|生>+β|崩壊>|検知>|噴射>|死>

のように表されます。
もっと簡略的に|ラジウム>|猫>という直積状態を使って、

|ψ>=α|未崩壊>|生>+β|崩壊>|死>

のように表すほうが一般的でしょうか?
両者とも|箱の外の宇宙>を省略してますよね。
もっと言えば、|「シュレーディンガーの猫」をしてない宇宙>も省略されてます。
「全宇宙の各要素の状態を、十分な精度で規格化直交系とみなせる」と仮定してるからですね。
「分岐仮説」とでも呼びましょうか。
そう、「射影仮説」とまったく同じものですよね。

・多世界解釈では「直交」するから干渉しない。
・コペンハーゲン解釈では「収縮」するから干渉しない。

つまり、背後にある「実在」を求めない限りは、

・量子力学の基本構造であるユニタリ変換のみで記述する。
・非ユニタリ変換を一部で追加する。

という表現の違いに過ぎないのです。
多世界解釈にのみアレルギー反応を示すのは、その辺りの認識が原因ではないでしょうか?
305 ひゃま 2015/02/15 (日) 11:48:47 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 12:30 [修正] [削除]
たぶん代理戦争なんですね。
ひゃまが宇宙の階層構造の中で太陽から見て地球の公転速度って言うのは違和感がないが地球から見た太陽の公転速度って言った場合、それ相対的じゃないだろって違和感を覚えるのと同じなんでしょうね。
kafukaさんや実際に物理をやってる科学者の拒否反応は、、
本来階層構造にみないといけないのを、エヴェレット解釈(多世界解釈)も相対論と同じに観測者も非観測者も相対にみるっていう違和感では?
観測者を特別視せず、観測者も記述の中に含めようという考え方から生まれた解釈である。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%8C%AB

たしかに相間にはなりたくないが、多世界には拒否感を覚えるっていうのは、ひゃまは違和感があります。量子力学は相対論の子だっていう本もあります、コペンハーゲン派からしたら俺らが物理を守ってるって言う「自負でしょうし、多世界解釈派からしたら、同じ兄弟でしょ?っていうことですねw
306 JK 2015/02/15 (日) 14:41:06 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
kafukaさん
射影測定は、「(完全に量子力学の対象である)被観測者の状態|○>が、

|ψ>=培φi><φi|ψ>=把i|φi>

のようなスペクトル分解を持つとき、(完全には量子力学の対象ではない)観測者の状態|〜○>との複合系に対するユニタリ変換が存在し、

U|ψ>|〜0>=把i|φi>|〜φi>

のような時間発展をする」ことを仮定しています。
つまり、コペンハーゲン解釈であっても、「波束の収縮」直前の瞬間的な「量子もつれ」までは否定してないので、

・コペンハーゲン解釈では、「干渉しない宇宙は消える」と考える。
・多世界解釈では、「干渉しない宇宙も残る」と考える。

と言いかえても良いのかも知れません。
307 kafuka 2015/02/15 (日) 18:08:10 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 19:00 [修正] [削除]
>多世界解釈にのみアレルギー反応を示す
わけではありあませんw

筒井泉博士の文献 :
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/182062/1/bussei_el_031209.pdf
に、PBR定理の説明があるのですが この定理は、
「波動関数は主観的な情報を表すものか、客観的な実在を反映したものかという問いに対する答」
「PBR定理は、前者が量子力学の結果と矛盾するというno-go定理」
とのことで、
コペンハーゲン解釈の量子情報論では、波動関数を認識論的≒主観的に扱います。
(例えば、古典通信で情報を取得したら波動関数が収縮するとか)
一方、多世界解釈では、波動関数は、個々の世界には1つしかなく、実在と言えそうです。
(ドイッチュの本には「実在」と書いてあるようです)

ということは、PBR定理から言えば、多世界解釈の勝ちです。
308 ひゃま 2015/02/15 (日) 19:52:01 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>307 kafukaさん

アレルギーでないなら、何が問題なのか明確にいってください。
ってx_seekさんの研究発表スレなのですが、x_seekさん迷惑じゃないですか?
309 kafuka 2015/02/15 (日) 20:03:55 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
それは、そうですね。すいませんでした。

僕としては、多世界解釈をよく知りたいので、あえて疑問を呈したのです。
x-seekさんは、詳しいと思いここに書きました。

皆様に、答えて頂いたので、ここで引きます。
ありがとうございました。
310 JK 2015/02/15 (日) 20:12:11 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>309
kafukaさん
こちらこそ、すみませんでした。
x_seekさんにも失礼なことをしました。
311 x_seek 2015/02/15 (日) 21:00:03 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
kafukaさん、こんにちは。

>>309

私は、まったく迷惑と思っていません。
むしろ、kafukaさんに、とても感謝しています。

私は多世界解釈のことをずっと考察してきたので、
多くの方が多世界解釈を理解できない理由が、よくわからなくなっています。

そのような状況で、kafukaさんは多世界解釈に対する素朴な疑問を
書き込んでくれました。私はkafukaさんとの議論を通じて、
多世界解釈の理解が困難な原因がどこにあるのか考えるヒントを頂きました。

私は、ぜんぜん迷惑に思っていないので、
疑問に思っていることを気軽に書き込んで頂ければと思います。
私は一生懸命、納得いただけるような説明を考えます。

よろしくお願いします。
312 x_seek 2015/02/15 (日) 21:12:13 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
JKさん、こんにちは。

>>310

JKさんは、私が言いたいことを次々とわかりやすく説明頂いたので、
とてもうれしく思っておりました。

また、私がうまくkafukaさんに説明できないことを
JKさんに助けていただいたので、とても感謝しています。
失礼だなんてぜんぜん思っていません。

どうか、ひきつづき、よろしくお願いします。m(_ _)m
313 kafuka 2015/02/15 (日) 22:39:28 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
こちらこそ、失礼しました。
迷惑でなくて、よかったです。

JKさんの
>>304
>>306
とてもよくわかります。
むしろ、コペンハーゲン解釈でも、観測者を観測する外部観測者を考えると、
対象系と観測者の状態の間に 量子もつれ が生じること(それだけで)「観測した」
としてよいと思います。
314 ひゃま 2015/02/15 (日) 23:49:22 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 00:57 [修正] [削除]
では、x_seekさんも迷惑でないとおっしゃってくれましたので、ひゃまにはいってくれてないかw

>>292 JKさんがおっしゃいました、>つまり、突然死んだように思えたのは、「生か死か、何れかの状態しかない」という古典力学的な思い込みによるものなのです。
古典力学的な思い込みってなんでしょうか?何の思い込みしてたのかついて詳しく説明お願いします。普通の古典的なメモリでも1/0の情報が物理的に不確定になるっていうのは意識してますが?

>>304 JKさんがおっしゃいました、>つまり、背後にある「実在」を求めない限りは、
背後にある実在を求めるとはどういうことですか?

それと、多世界とコペンハーゲン解釈はどちらを信じる信じないっていうものなのですか?それともどちらの手段を選んでもってことですか?信じる/手段によって得られる結果が違うのですか?
315 JK 2015/02/16 (月) 09:54:41 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>312
x_seekさん、こんにちは。
そう言ってもらえると、助かります。
こちらこそ、よろしくお願いします。
レスポンスが遅くなりがちですが、気を悪くしないで下さい。
316 JK 2015/02/16 (月) 10:10:49 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>314
ひゃまさん
全体的に、過去レスを読んでもらったほうが速いと思います。

>古典力学的な思い込みってなんでしょうか?
>何の思い込みしてたのかついて詳しく説明お願いします。

>>292のコメントはkafukaさんへのものです。
量子力学を勉強しているkafukaさんは、「重ね合わせ」や「量子もつれ」も知っています。
ただ、分かってはいないと感じているようです。
そこで、「分かったつもり」になっているJKなりに、お節介を焼くことにしました。
「分かったつもり」を伝えようとした前文を読めば、「思い込み」が解消されるのではないかという文脈です。

>普通の古典的なメモリでも1/0の情報が物理的に不確定になるっていうのは意識してますが?

古典的なメモリの不確定性は「重ね合わせ」によるものではありません。
0と1の閾値付近で制御するという意味ではないのです。

>背後にある実在を求めるとはどういうことですか?

多世界が「あるか、ないか」を議論するということです。

>多世界とコペンハーゲン解釈はどちらを信じる信じないっていうものなのですか?
>それともどちらの手段を選んでもってことですか?
>信じる/手段によって得られる結果が違うのですか?

その2つの解釈に限れば、「信じる、信じない」で良いと思います。
正しく適用すれば、同じ結果になる筈だからです。
いや、「同じ結果にならないなら、誤って適用された」と判断すべきだと思います。
物理学に試行錯誤は付き物だからです。
実際、「信じる、信じない」が行き過ぎると、(専門家でも)誤って適用することがあります。
317 kafuka 2015/02/16 (月) 12:06:11 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 17:07 [修正] [削除]
JKさん
>>292 は、ずっと考えていました。
>「生か死か、何れかの状態しかない」という古典力学的な思い込みによるもの
僕は、1個の原子での実験結果が、実際そうなっていると言いたいだけで、
a|生>+b|死>を射影測定すれば、どちらかしかないという意味です。

重ね合わせ状態と混合状態が違うことは、わかっています(別の基底で測定したら差が出る)
混合状態は「わからないだけで、既に どれかに決まっている」状態と思います。

>3個のラジウムが崩壊した時点で死ぬよう設定を変えましょう。
>そうするだけで、ラジウムいの時間発展(つまり、1個、2個と崩壊する様子)を
>実感できるようになります
それは、わかりますが、次の疑問があります。

仮に2個とし、十分離れていて、区別(A、B)がつくとすると、
|系全体>=a|2個とも生>+b|Aは生、Bは死>+c|Aは死、Bは生>+d|2個とも死>
です。
多世界解釈では、個々の固有状態が1つ1つの世界(Branch)と思います。
それで、あるBranchから、他のBranchは(存在が)見えないのでは、ありませんか?
実際の観測者が、例えば |2個とも生>→|Aは生、Bは死>→|2個とも死>を観測したとすると、
(1) 他のBranchの(存在が)見えないことと矛盾

(2) この実際の観測者は、多世界解釈では、どこに位置付けられるのでしょう?
Branchではないと思いますが、|系全体>が見える「神」とも考えにくいです。
「神」の立場は、|2個とも生>→|Aは生、Bは死>→|2個とも死>だけでなく、
アンサンブル全体が見える立場と思いますから。
318 ひゃま 2015/02/16 (月) 12:49:42 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 13:41 [修正] [削除]
>>316 JKさん
全体的にいいたいのは論理的(リレーショナル)なことと物理的(階層性)なことが混合して良くわからないとこをちょっと無理に掻い摘んだ感で矢継ぎ早に質問して失礼しました。

メモリのことは誤解を与えますが、古典的な思い込みじゃなく、以下の田崎先生が言うような「普遍性 (universality)」じゃないでしょうか?

これこそが,(私見では)物理学を支える最も重要な概念である「普遍性 (universality)」の一つの現れなのである.
http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/u.htm
319 JK 2015/02/16 (月) 17:42:19 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>317
kafukaさん
この思考実験では、イベント(Aが壊れるか、Bが壊れるか)が起こるたびに世界が分岐してゆきます。
イベントが起こった世界と起こらなかった世界にです。
ある時刻t=Tまでに、Aが壊れた時刻ta∈[0,T]とBが壊れた時刻tb∈[0,T]の組(ta,tb)で特徴付けられる世界の集合が作られます。
ta=TはAが壊れなかった世界、tb=TはBが壊れなかった世界に対応します。

>あるBranchから、他のBranchは(存在が)見えないのでは、ありませんか?

はい。
一度、どちらかの世界のイベントによって分岐してしまえば、たとえ壊れる順番が同じであっても干渉しませんし、見ることもできません。

>この実際の観測者は、多世界解釈では、どこに位置付けられるのでしょう?

それぞれの世界に「1人ずつ」います。
それぞれの観測者は分岐中も通して、1つの世界と1人の自分しか認識しないという意味においての「1人ずつ」ですが。
320 JK 2015/02/16 (月) 22:14:13 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>319に追記します。
ある時刻T∈[0,∞)における具体的な状態は、

|ψ(T)>={∫[0,T)dta|ta>√λa・exp(−λa・ta/2)+|T>exp(−λa・T/2)}×{∫[0,T)dtb|tb>√λb・exp(−λb・tb/2)+|T>exp(−λb・T/2)}

その離散的な近似式は、

|ψ(T)>≒把i|ta(i)>・播j|tb(j)>+把i|ta(i)>・e|T>+e|T>・播j|tb(j)>+e|T>・e|T>

ここで、各項の係数が「世界の割合」に相当します。
それぞれの世界には「1人ずつ」しか観測者がいないのですが、「世界の割合」に応じて存在するようなイメージです。
321 ひゃま 2015/02/16 (月) 23:29:26 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
家にいながらこんな文書を発見し読めるからインターネットはすごいよね

2.1 万能の呪文(ほぼ「統計学≈量子言語」と思え)
統一理論の方向は発展途上で、いろいろな考えが量子物理学を発展させるであろう。しかし、「量子力学には、もう本当の問題はない」という立場も有力で、これは量子言語の方向の発展を促し、この方向は、量子言語が最終到達点で、しかもこれが「いわゆるコペンハーゲン解釈」の真の姿である。
http://www.math.keio.ac.jp/~ishikawa/QLmaster/02.pdf

本筋は量子論と一般相対論の統一で〜ってひゃまの考えと同じでいいこと書いてるなあ
kafukaさんの多世界に対するもやもや感も集約してると感じるな
322 x_seek 2015/02/17 (火) 01:51:51 ID:bbAkqee4TY 修正アリ: 02:45 [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>314

お気遣いいただきありがとうございます。
もちろん、ひゃまさんのことも迷惑と思っていませんよ。(^^)

ひゃまさんの興味の対象は私の興味の対象と、とてもよく似ているように思います。
例えば、ひゃまさんは >>252 で2台のロケットの話を引用されてました。

私もそれに関する記事を書いています。

・ローレンツ収縮のパラドックス
 http://www.geocities.jp/x_seek/rel_ant.html

ひゃまさんは、2匹のアリの間の距離が変わらないのに、
糸が切れることを不思議に思いませんか?
323 ひゃま 2015/02/17 (火) 03:17:55 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 09:39 [修正] [削除]
>>322 x_seekさん、迷惑がられてなくてよかったです。
x_seekさんは特に多世界にも拘ってなくて量子論を発展させたいという気概を感じております。
ローレンツ変換は、ひゃまの見解は松田先生と同じで実際ローレンツ収縮しないにつきます。
ただ相対論は、f=1/Tの関係における光速度(c=d/t)と波動速度(w=fλ)の区別がなく語弊がでるので持論で説明します。
静止系Aでみると、1と2という物体が速度vの違う慣性系になっても粒子と波動の二重性から、c^2=v^2+w1^2、c^2=v^2+w2^2、その間の距離はd=ct
次に1や2の静止系Bでみると、c=w1'=w1/√(1−v^2/c^2)、c=w2'=w2/√(1−v^2/c^2)、dは同じ光速度cでみますからdのままです。
別例として太陽からみてvで公転する地球という複合量子内の波動速度wは、c^2=v^2+w^2ですが、
地表からみる光量子の波動速度は、c=w'=w/√(1−v^2/c^2)、いわゆるMM実験です。

周波数・波長・周期・振幅とはなにか
http://www.geocities.jp/hiroyuki0620785/k3dennjiha/friquency.htm

ローレンツ変換は、マイケルソン・モーリーの実験結果を矛盾なく説明する手段として提案された。ローレンツは、時間の流れや光速度はすべての基準座標系において同一と考えたため、「大きな速度で動く座標系では、2 点間の距離(物体の長さ)は縮む」というローレンツ収縮を結論した。しかし、ローレンツ収縮は実験結果と矛盾した。後に、アインシュタインは、光速度の不変性と物理法則の相対性(「物理法則はあらゆる慣性系間で同一である」)の 2 つを原理として、特殊相対性理論を築いた。そこでは、ローレンツ変換から帰結される事実として、時間の進み方が観測者によって異なることを結論した。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E5%A4%89%E6%8F%9B
324 JK 2015/02/17 (火) 10:22:35 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>318
ひゃまさん
>全体的にいいたいのは論理的(リレーショナル)なことと物理的(階層性)なことが混合して良くわからないとこをちょっと無理に掻い摘んだ感で矢継ぎ早に質問して失礼しました。

古典力学のごく一部分だけを抽出したのが「古典ビット」、量子力学のごく一部分だけを抽出したのが「量子ビット(2準位系)」です。
古典ビットがとれる状態は「0か1」、量子ビットがとれる状態は「任意の2×1複素行列」になります。
無限に存在する2×1複素行列(c1,c2)の中で、古典ビットがとれるのは(1,0)と(0,1)だけといえば分かるでしょうか?

>メモリのことは誤解を与えますが、古典的な思い込みじゃなく、以下の田崎先生が言うような「普遍性 (universality)」じゃないでしょうか?

まったく違います。
「普遍性(universality)」は結果論です。
普遍性がみられた現象を要素とする集合の条件式であり、この集合は「普遍集合(universe)」ではありません。
325 kafuka 2015/02/17 (火) 14:38:42 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
JKさん
計算頂き、ありがとうございます。
Branchの意味、よくわかりました。

全宇宙を静的なものと考えると、このケースの場合、
分岐点Tnは、連続無限ですが、便宜上、T1, T2、、、と書くと:

|全宇宙>=|Branch0>+|Branch(T1)> + |Branch(T2)> + 、、、

と思ってよいでしょうか?
326 ひゃま 2015/02/17 (火) 16:00:40 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 16:35 [修正] [削除]
>>324 JKさん

現在のコンピュータ(以下、古典コンピュータ)と全く異なる原理で動く量子コンピュータは、古典コンピュータの不可能を可能にすることができます。その不可能を可能とする源が、量子重ね合わせ状態とエンタングルメント(量子もつれ)です。古典コンピュータは、2進数の0または1のどちらかの状態しか利用しません。
http://www.jst.go.jp/pr/announce/20110120/

原理(手段)はどうであれ論理的な意味でユーザにとっては0/1だけだから設計者は0/1しか利用しないことを前提にしたきただけで、思い込みではないのでは?ってことです。
またその前提が思い込みであってもよいが、間違ってたら変える修正してきたのが科学ではないでしょうか?
327 JK 2015/02/17 (火) 16:15:21 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>325
kafukaさん
そうです、そうです。
ただ、マクロ系との相互作用でないと完全な分岐にはならない、という仮定はあるようですね。
この辺りについては、コペンハーゲン解釈の「波束の収縮」とまったく同じです。
328 ひゃま 2015/02/17 (火) 16:44:44 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 22:54 [修正] [削除]
ひゃまのイメージでは、コペンハーゲン解釈はマニュアル車、多世界解釈はオートマ車を目指しているのだけど、時間のパラドックスをアインシュタインが提示したように完全な対称性はないっていうところでしょうか?
そんでもってコペン派は結局マニュアルなんだよといい、多世界派はあんただって不完全なんだからセミオートのほうがいいじゃんという。
>>323
ああ、それでx_seekさんはローレンツ収縮をひゃまにぶつけてきたんでしょうか?
じゃあもう少し、なぜ時空図だけではうまくいかないのでしょうか?
なぜ同じd=ctなの?は、光速度も1秒の価値も同じでローレンツ収縮もしないので、d=ct x 1=ct x fT
相対的に見て、ドップラー効果によりfが変わるだけでτなんてないってことですね。
ひゃまからしたら、粒子と波動の二重性の定式化(量子化)をしっかりして量子論に突入すれば解釈問題にはならないのではと考えます。
329 JK 2015/02/17 (火) 17:11:22 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>326
ひゃまさん
リンク先の記事はプレス向けなので、かなり説明を端折っています。
ユーザーは「量子ビット」の向きを自由に選べます。
すべての向きに0と1の2つの状態があるので、無限個の状態が存在することになります(それらの状態は、互いに無関係ではありませんが)。
つまり、ユーザーが無限個の状態を利用することを、設計者は前提にしているのです。
330 ひゃま 2015/02/17 (火) 17:29:59 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>329 JKさん
>つまり、ユーザーが無限個の状態を利用することを、設計者は前提にしているのです。

この表現であればひゃまてきにはOKです。
解説ありがとうございました。

あとはどのような量子コンピュータを実用化できるかです^^;
331 kafuka 2015/02/17 (火) 19:44:26 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 22:05 [修正] [削除]
>>306
>・コペンハーゲン解釈では、「干渉しない宇宙は消える」と考える。
>・多世界解釈では、「干渉しない宇宙も残る」と考える。
ですが、射影仮説の働きを、
他の固有状態を消すのではなく「他の宇宙(Branch)に移動させ影響を無くする」
という公理とすると、統一して考えられますね。
(それがユニタリ変換であればよい)

これまでの議論を総合すると、堀田先生の:
http://mhotta.hatenablog.com/entry/2015/02/04/074443
にある、
>安定した意識を保持する人間はただ1つの事象をそれぞれの時刻に生々しく体験しており、
>多くの異なる体験や記憶の確率的分布や重ね合わせを感じない。
>、、、、多世界解釈における観測問題の本質的困難
というのは、堀田先生の誤解に思えます。

つまり、|Branch(Tn)>に対応する|観測者n>において、
|観測者>=Σ|観測者n> とすると、上記公理により
観測者は「異なる体験や記憶の確率的分布や重ね合わせを感じない」
これは、射影仮説で考えても同じです。

「実際の観測者」は、Σ|観測者n> のことではない。
上記公理により Branchを1つ1つを辿って行くのが実際の観測者
ということ。
332 ひゃま 2015/02/17 (火) 20:02:19 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 23:14 [修正] [削除]
>>328
まあ太陽から見て地表を伝播する見えない波動を、太陽に飛んでくる光量子(箱を開けて猫の生死を確認できた)と相対に扱う変な思い込みと同じってとこでしょうかw
変な思い込みの前に最初からきちんとブランチできていたら、もしくはブランチ手法が確立(田崎先生の言う普遍性)していたらって問題のような気がします。
地表からみて天動説で太陽の公転速度などいわないってことです。
量子仮説と相対論、光速度不変と相対性原理、それぞれに相容れないってことを認めるか認めないかではないでしょうか?
以上のような変な思い込みが先だと思ったので、以下のHPをみてコメントしたら哲学的なことは他で聞いてくれってことになったような、あれ?コメントがすべて消えてる(いつ誰が何を言ったくらいは残してくださいよ)w
http://mhotta.hatenablog.com/entry/2014/04/05/094917
333 ひゃま 2015/02/17 (火) 21:09:43 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 23:25 [修正] [削除]
ってことで、現代版シュレディンガーの猫の実験です。
アルファー粒子を検知したら、M2M(問題が起きる前に予知を知らせるシステム)でワイヤレスでメールが来ますとしたら、どうなるでしょうか?
メールを確認して箱を開けたのとメールをみないで箱を開けたのと何が違うのでしょうか?

あとメールで頼んでおいたのに、あっメール見てないからやってないよって言う人をどう思いますか?
334 x_seek 2015/02/17 (火) 23:55:34 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>323
> ローレンツ変換は、ひゃまの見解は松田先生と同じで
> 実際ローレンツ収縮しないにつきます。

ひゃまさんの理論では、ローレンツ収縮しないんですか?

ひゃまさんの理論で次の問題の答えがどうなるか教えて頂けないでしょうか?
この答えを教えて頂ければ、ひゃまさんの理論の一端を理解できる気がするからです。
#他の方が解いて頂いても構いません。

以下、光速が30mm/sの世界とします。また加速時間は静止系Sで測るものとします。

●問題1
静止系Sで全長30mmの幼虫が10秒間加速し速度24mm/sになりました。
静止系Sで幼虫の全長は次のどれになるでしょうか?

 @18mm
 A30mm
 B50mm

●問題2
静止系Sで全長30mmの幼虫が10秒間加速し速度24mm/sになりました。
運動系S'(幼虫の静止系)で幼虫の全長は次のどれになるでしょうか?

 @18mm
 A30mm
 B50mm

●問題3
静止系Sで30mm離れた二匹の蟻が10秒間加速し速度24mm/sになりました。
静止系Sで二匹の蟻の間隔は次のどれになるでしょうか?

 @18mm
 A30mm
 B50mm

●問題4
静止系Sで30mm離れた二匹の蟻が10秒間加速し速度24mm/sになりました。
運動系S'(蟻の静止系)で二匹の蟻の間隔は次のどれになるでしょうか?

 @18mm
 A30mm
 B50mm

●問題5
静止系Sで30mm離れた二匹の蟻を、ひっぱると簡単に切れる糸でつなぎました。
二匹の蟻が10秒間加速し速度24mm/sになった時、糸は切れているでしょうか?

 @切れている。
 A切れていない。
 Bどちらともいえない。

次のページはご参考です。
・ローレンツ収縮のパラドックス
 http://www.geocities.jp/x_seek/rel_ant.html
335 ひゃま 2015/02/18 (水) 00:21:37 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>334 x_seekさん、こんばんわ

●問題1 A30mm、●問題2 A30mm、●問題3 A30mm、●問題4 A30mm、●問題5 A切れていない。
です、極端にいえば、長さとか時間とかという表記は光速度で規定されていますので変化しません。
変わるのは光の縦ドップラー効果で相対的に見え方と横ドップラー効果で加速した方の変化のスピードが変わるだけです。
光速度というのは、慣性系で電磁波を伝播したときの距離時間相関の定義値です。
絶対座標系はなくても観測座標系はどこを基準にしても成り立ちます。

なにか不明な点や問題があれば、x-seekさん以外の方でもコメントください。
336 takoyaki 2015/02/18 (水) 00:37:39 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、ホームページのコンテンツを更新されたんですね。お疲れさまです。
ローレンツ変換は私にはまだ理解できませんが、面白い内容ですね。
337 x_seek 2015/02/18 (水) 00:42:24 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>335
> ●問題1 A30mm、●問題2 A30mm、●問題3 A30mm、
> ●問題4 A30mm、●問題5 A切れていない。

教えて頂きありがとうございます。
おかげで、ひゃまさんの理論の一端を理解することができました。

> 極端にいえば、長さとか時間とかという表記は光速度で
> 規定されていますので変化しません。

なるほど。ということは、
時間がゆっくり進むようなこともないのでしょうか?

> 変わるのは光のドップラー効果で相対的に見え方が変わるだけです。

うーん。短く見えたり、遅く見えたりするだけという意味でしょうか?
338 ひゃま 2015/02/18 (水) 01:03:24 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 01:44 [修正] [削除]
>なるほど。ということは、時間がゆっくり進むようなこともないのでしょうか?

>>328 にもチラッと書かせていただきましたけど、ある静止系で光速度c=波動速度wで、加速した物体の粒子速度がvになると、c^2=v^2+w^2になります。
その物体を静止基準とするということは粒子速度v=0にするってことですから、c=w'=w/√(1−v^2/c^2)になります。
これは何をやってるのですか?、波動速度をローレンツ変換して変えてるだけ、すなわち変化スピード変えてるだけ(光速度不変)で、光速度c=距離d/時間tというパッキングされた物理量は変化しません。
そもそも時間はそれぞれの慣性系でセシウムの周波数で規定されているのではないでしょうか?
ですから以上のような慣性系の切り替えができたら、ある観測静止系から見て、これだけのスピードで変化してるねって以外で問題がありますでしょうか?
339 x_seek 2015/02/18 (水) 01:13:43 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
takoyakiさん、こんにちは。

>>336
> ローレンツ変換は私にはまだ理解できませんが、面白い内容ですね。

ありがとうございます。(^^)

光速の異常な速さが、相対論を難しくする要因だと私は考えています。
仮想現実で光速30mm/sの世界を体験すれば、
ローレンツ変換を知らずとも感覚的に相対論を理解できると思います。

その世界では、鉛筆を振ると、短くなったり長くなったりするのです。


話は変わりますが、takoyakiさんは、重力による空間の加速膨張に
興味を持たれていましたね。

私は等価原理を「空間の加速的な吸い込み」と解釈しています。
加速する自動車の車内で後方に押し付けられるように、
私たちは地面に押し付けられているのです。

・重力の原因と等価原理
 http://www.geocities.jp/x_seek/gravity.html
340 x_seek 2015/02/18 (水) 01:20:10 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
Mt.Keyさん、はじめまして。

>>285
> スレ違いかもしれないので深く追及するつもりはないですが、
> この辺の歴史的背景は楕円関数論の世界が広がってると想像します。

そうですね。私もMt.Keyさんのご意見に同意します。
#ある特定の母数の楕円関数が三角関数や双曲線関数と解釈できる
#という意味ですよね。
341 x_seek 2015/02/18 (水) 01:51:51 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>338
> そもそも時間はそれぞれの慣性系でセシウムの周波数で
> 規定されているのではないでしょうか?

そうですね。静止系の観測者は、
運動系のセシウムの周波数を低く観測します。

> ですからある観測静止系から見て、これだけのスピードで
> 変化してるねって以外で問題がありますでしょうか?

特に問題ないと思います。
後は運動系から見たときにどう見えるかだと思います。
342 takoyaki 2015/02/18 (水) 01:57:22 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
x_seekさん、こんにちは。

>>339
たしかに光速度を身近なスケールで考えられるようにすると、理解が進みそうな気がします。
以前、似たような試みでプランク定数がもっと大きかったなら、という想定で不確定性原理について考える話を本で読んだ記憶がありますが、それを思い出しました。
分かりやすい形に翻訳することは大切なんですね。

加速膨張についてですが、「膨張」と「吸い込み」がごっちゃになって、ただいま混乱中です。(楽しい意味で)
重力というものをどう解釈すればいいのか、これはエキサイティングなテーマだと思うようになりました。

「重力の原因と等価原理」の記事を読んで、以前に「階層宇宙による観測問題の解決」スレッドでx_seekさんが仰っていた、「物質と空間の区別はなくなった」という主張と何か関係がありそうだと感じました。

>>340
双曲線関数もちょっと面白そうですねえ。あれもこれもと手を出しているとキリがないですけど、興味を惹かれます。
<tex>x ^{2} -y ^{2} =1</tex>
は円関数と形がよく似ていますね。符号がマイナスになっているところから複素数が関係してきそうな気もします。
343 ひゃま 2015/02/18 (水) 02:09:42 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 16:16 [修正] [削除]
>>341 x_seekさん
>特に問題ないと思います。
ありがとうございます、万有時間で見かけと実体を見極めるのでガレージのようなパラドクス(入るのも正解、入らないのも正解みたいな)は考える必要がありません。
結局、時間という単位は再現性の共有化という意味です。
>後は運動系から見たときにどう見えるかだと思います。
以下、万有時間の光波のドップラー効果でまとめていました。
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n313341
wikiのローレンツ変換の説明って、ローレンツ収縮はしないとしながらも、時間が変化するので何回読んでもよくわからないですよね?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E5%A4%89%E6%8F%9B
344 JK 2015/02/18 (水) 09:07:45 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>331
kafukaさん
>他の固有状態を消すのではなく「他の宇宙(Branch)に移動させ影響を無くする」

そうですね。
「決定論的でない多世界解釈」とも言えるのかも知れません。
量子力学への理解がさらに深まると、自然と1つの解釈に統合されるでしょうね。

>堀田先生の誤解に思えます。

そうかも知れません。
普通の教科書には載ってないので、物理学者でも誤解することはあるでしょう。
例えば、「混合状態」はノイマンの発明であって、コペンハーゲン解釈とは直接関係がありません。
量子力学では、本来、「1粒子の純粋状態」か「多粒子の純粋状態(量子もつれ状態)」しか存在しませんので。
つまり、「測定すると混合状態になる」というのは都市伝説です。
ただ、多数回の測定に対する統計学的な実用性はあるので、量子情報等では威力を発揮するのでしょう。

>上記公理により Branchを1つ1つを辿って行くのが実際の観測者

そう考えれば、量子力学とも無矛盾になりますね。
345 JK 2015/02/18 (水) 10:34:29 ID:.hRjTKzdvg 修正アリ: 12:18 [修正] [削除]
>>333
ひゃまさん
>アルファー粒子を検知したら、M2M(問題が起きる前に予知を知らせるシステム)でワイヤレスでメールが来ますとしたら、どうなるでしょうか?
>メールを確認して箱を開けたのとメールをみないで箱を開けたのと何が違うのでしょうか?

それぞれの解釈にもバリエーションがあるので、一概には言えないと思います。
以下のような解釈のしかたに異議のある人もいるでしょうが、

@「狭義の」コペンハーゲン解釈
アルファ粒子を検知した時に量子力学的な過程は終わる。
(アルファ粒子の状態が「収縮」する)
メールの内容を確認したならその時に、確認しなかったなら箱を開けた時に「分かるだけ」。

A「緩い」コペンハーゲン解釈
メールの内容を確認したならその時に、確認しなかったなら箱を開けた時に「決まる」。
(箱の中にとっては観測者の状態が、観測者にとっては箱の中の状態が「収縮」する)

B「決定論的な」多世界解釈
アルファ粒子を検知した時に量子力学的な過程は終わる。
(アルファ粒子の状態によって決まる世界が「分岐」する)
メールの内容を確認したならその時に、確認しなかったなら箱を開けた時に「分かるだけ」。

C「非決定論的な」多世界解釈
メールの内容を確認したならその時に、確認しなかったなら箱を開けた時に「決まる」。
(箱の中にとっては観測者の状態によって決まる世界が、観測者にとっては箱の中の状態によって決まる世界が「分岐」する)
346 JK 2015/02/18 (水) 11:31:09 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>345に追記します。
特に、Aへの異議が多いのではないでしょうか?

誤:(箱の中にとっては観測者の状態が、観測者にとっては箱の中の状態が「収縮」する)
正:(観測者にとっては箱の中の状態が「収縮」する)

じゃないか、ということですね。
ネタバレすると、AとCが「まったく同じである」ことを強調するために、>>345のような表現にしました。
段階的な「波束の収縮」なんて、多世界の存在なくして成立しませんからね。
347 ひゃま 2015/02/18 (水) 13:06:22 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 13:38 [修正] [削除]
JKさん、こんにちは
>>345>>346

箱の意味がブラックボックスでなくなり、どちらの解釈もアルファ崩壊をメールで知るか猫で知るか2通りの方法で知ることができるようになったということですね?
完全なブラックボックスはブラックホールなのでしょうが、この完全なブラックボックスのときと、情報漏えいしている場合と量子言語による違いはどうなりますでしょうか?
また、情報漏えいしている場合その情報の有用性は観測者とどう絡むんでしょうか?

348 JK 2015/02/18 (水) 17:16:06 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>347
ひゃまさん、こんにちは。
@とBは客観的・物理学的な解釈、A=Cは主観的・哲学的な解釈です。
個人的には、@とBを拡大解釈しているだけなので、A=Cは「言葉遊び」に過ぎないと思っています。

>どちらの解釈もアルファ崩壊をメールで知るか猫で知るか2通りの方法で知ることができるようになったということですね?

何が言いたいのか、よく分かりません。
それだけのことなら、古典物理学でも変わりませんよね?
量子力学的な過程が何時起こるのか、それが「シュレーディンガーの猫」の争点の1つです。

・@とBの解釈は、「分かるだけ」と書いてあるように、観測者自身が量子力学的な過程に関与しない。
・A=Cの解釈は、「決まる」と書いてあるように、観測者自身が量子力学的な過程に関与する。

という違いがあります。
ただ、どちらの解釈であっても、情報(検知したか、検知しなかったか)の選択権はありません。
観測者は、得られた情報(検知したか、検知しなかったか)を事実として受け入れることしかできません。

>完全なブラックボックスはブラックホールなのでしょうが、この完全なブラックボックスのときと、情報漏えいしている場合と量子言語による違いはどうなりますでしょうか?

寡聞にして、「量子言語(quantum language)」なるものを知りません。
取り敢えずは検索してみましたが、まともなサイトは見付かりませんでした。

>また、情報漏えいしている場合その情報の有用性は観測者とどう絡むんでしょうか?

まったく絡みません。
観測者は、得られた情報を事実として受け入れることしかできませんので。
349 Mt.Key 2015/02/18 (水) 19:27:38 ID:r5iP8bowRI [修正] [削除]
>>340
ですです。
そういうことを戸田盛和『楕円関数入門』(日本評論社)なんかで勉強したいなぁなんて思ったりしてるんですが、なかなか身が入らないんですよね。著者の戸田先生は戸田格子の名でも知られる物理学者ですし、物理学の中での楕円関数の意味合いなんかも理解できたらすごく楽しそうな気がするんですが…やる気出さないとなぁって感じです。
350 ひゃま 2015/02/18 (水) 20:23:52 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 21:51 [修正] [削除]
>>348 JKさん
>それだけのことなら、古典物理学でも変わりませんよね?
そうですね、(古典的な場面設定)→(@B重ね合わせ→収縮/分岐)→(AC拡大解釈)→(古典的な結果)ってとこでしょうか?

>>完全なブラックボックスはブラックホールなのでしょうが、
ブラックホールに入る情報パラドックスは知ってるのですが、ブラックホールの中の情報や出てくる情報の取り扱いを整理したかっただけです。

量子言語は以下とかで見たんですね、そんなに変な表現には見えませんけど、一般に使われてないんでしょうか?
http://www.math.keio.ac.jp/~ishikawa/QLmaster/02.pdf
351 x_seek 2015/02/19 (木) 00:22:56 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
TMOさん、はじめまして。

>>301
> http://homepage2.nifty.com/qm/brain.html
> ↑ここの説明が多世界解釈、あるいはエヴェレット解釈の説明として
> 詳しいと思います。

紹介頂いたサイトでは、脳のコピーを例に説明されています。
それと関連する質問をしてみたいのですが、よろしいでしょうか?

もし、ある人間の完全なコピーを作り、同時にその人間を物理的に消去したら、
その人間の主観的な意識は連続すると思いますか?

<ご参考>
・精神転送
 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B2%BE%E7%A5%9E%E8%BB%A2%E9%80%81
352 x_seek 2015/02/19 (木) 00:31:12 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
kafukaさん、こんにちは。

>>331
多世界解釈は世界を波動関数で表現します。
世界はn個の粒子から構成されています。
しかし、いきなりn個は多いので2個から考えてみませんか?

簡単のため一次元の井戸型ポテンシャルを考えます。
例えば、陽子の位置を $x$ 、電子の位置を $y$ とします。
そのとき、陽子と電子の波動関数は  $\psi(x,y)$  で表現できます。

一次元の空間を考えていたのに、二個の粒子を対象としたら、
二次元の空間の波動関数になってしまいました。



陽子の視点で見れば、陽子自身は常にある一箇所に存在します。
また、陽子から電子を見れば、電子は広がっているように見えます。
逆に電子から見れば、電子自身は常にある一箇所に存在します。
また、電子から陽子を見れば、陽子は広がっているように見えます。

陽子が位置x1にあり、電子が位置y1にある状態と、
陽子が位置x2にあり、電子が位置y2にある状態は、干渉しません。
なぜなら、位置(x1,y1)は位置(x2,y2)と異なる位置だからです。
干渉は、同じ位置でのみ起こります。



ここに、電子や陽子を足していけば、どんどん次元が増えていきます。
世界の波動関数とは、このような多変数の波動関数なのです。

異なる世界が干渉しないのは、多変数の波動関数の
位置(x1,y1,z1,...,w1)が異なるからなのです。
距離が非常に離れているから、近似的に干渉しないのです。

・多粒子系の量子力学
 http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/boson_fermion.html
353 x_seek 2015/02/19 (木) 00:35:00 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>343
> wikiのローレンツ変換の説明って、ローレンツ収縮はしないとしながらも、
> 時間が変化するので何回読んでもよくわからないですよね?

ローレンツ収縮はしますよ。実験結果とも矛盾しません。

しかも、収縮するように見えるのではありません。本当に物理的に収縮します。
だから糸は、物理的に切れるのです。

次のサイトより該当箇所を引用します。

・専門家も惑わす相対性理論のワナ 松田卓也先生
 http://djweb.jp/power/physics/physics_05.html

(引用開始)
従って紐は切れる。
<中略>
しかし、ロケットの長さ自体はローレンツ収縮します。
(引用終了)
354 x_seek 2015/02/19 (木) 00:38:39 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
Mt.Keyさん、こんにちは。

>>349
> 著者の戸田先生は戸田格子の名でも知られる物理学者ですし、
> 物理学の中での楕円関数の意味合いなんかも理解できたら
> すごく楽しそうな気がするんですが…やる気出さないとなぁって感じです。

数学者が書く数学書と、物理学者が書く数学書はスタイルが違う気がします。
前者は証明がメインで、後者は計算がメインのような。

もちろん私は後者のスタイルを好みます。(^^)
既にご存知かも知れませんが、次の記事が面白かったです。

・格子ソリトンの発見 戸田盛和
 http://www.jps.or.jp/books/50thkinen/50th_03/004.html

楕円関数、非線形格子、リーマンの多変数テータ関数…
いつか、離散空間の研究に使えるかもしれないなぁ。(遠い目)
355 ひゃま 2015/02/19 (木) 02:35:58 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 04:26 [修正] [削除]
>>353 x_seekさん 
>しかも、収縮するように見えるのではありません。本当に物理的に収縮します。
なにか話が食い違うと思ってました^^;。ローレンツ収縮するっていうのは、物理的にあってもよいのですが(そういえばよく調べてない)、x_seekさんのおっしゃってることは何論のお話でしょうか? 相間のひゃまが相対論についていうのもなんですが特殊相対論については以下の認識で、さらに実際に収縮しないなら見掛けだけなので時間を変える必要はないと割り切って持論展開しています。

ローレンツ電子論 p.214。ローレンツとポアンカレの理論によれば物体が縮むのはエーテルの影響である。そのため、エーテルの存在を捨てた特殊相対性理論においては当然運動する物体が実際に収縮するということはない。特殊相対性理論においては運動する物体が現実に収縮するのではなく、運動している座標系における同時の状態を静止している座標系では同時の状態として観測できず、同時からずれた状態を観測することに起因する。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96#cite_note-18

それにしても収縮という言葉は波動関数にしてもローレンツにしても問題を生む用語ですねえw
356 JK 2015/02/19 (木) 09:53:32 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>350
ひゃまさん、こんにちは。
>(古典的な場面設定)→(@B重ね合わせ→収縮/分岐)→(AC拡大解釈)→(古典的な結果)ってとこでしょうか?

@とBが「干渉性の喪失」を議論しているのに、AとCがその論点をスルーしているのが問題ですね。
ところで、何のための思考実験だったのですか?

>そんなに変な表現には見えませんけど、一般に使われてないんでしょうか?

量子力学フレーバーの言語学を目指しているのでしょうか?
量子現象を記述しようという動機がなく、量子力学にはまったく関係ないものです。
全体的に量子力学と統計力学を混同しているようで、物理学発展の図式(C)からも統計力学が抜け落ちていますね。
357 ひゃま 2015/02/19 (木) 10:43:03 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 11:21 [修正] [削除]
>>356 JKさん、こんにちは
>@とBが「干渉性の喪失」を議論しているのに、AとCがその論点をスルーしているのが問題ですね。
以下の古典的な場面設定の逆シーケンスは以下で@Bと同じなのですが、
猫の生死分かる→箱開ける→(猫死ぬ→青酸ガス→検知→アルファ崩壊)→放射原子
AとCは以下の()のイベントとの関係がギャグシーケンスだねってことでしょうか?
猫の生死決まる→箱開ける→(猫死ぬ→青酸ガス→検知→アルファ崩壊)→放射原子
>ところで、何のための思考実験だったのですか?
んー箱のブラックボックス性とイベント分岐になったらどうなるかだったのですが、あまり影響はないようですね。
>量子力学フレーバーの言語学を目指しているのでしょうか?
特に目的は決まってないのですが、量子プログラム言語的なことなのかなと・・・AとCって量子コンピュータでプログラミングできるんですかね?
358 ひゃま 2015/02/19 (木) 21:20:43 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 22:15 [修正] [削除]
>>355 に関連してアインシュタインが一般相対論の構築のきっかけにもなったと言われている「このとき、特殊相対論には、のちにエーレンフェストのパラドックスと呼ばれるようになる問題があることを悟った。」
http://d.hatena.ne.jp/cool-hira/20111220/1324328691

非慣性系においてもローレンツ収縮?って言うのは見掛けでありシャピロ遅延のように単に開いた波の光子の伸び縮みではないでしょうか? 閉じた波の量子(回転する円盤でも空間膨張でも)の場合は量子効果により振動数は変えても元の大きさを維持します。

>重力による時間の遅れについての質問ですが、振動数が減少して波長が伸びるという説明の式を立てましたがあっているのか分かりません。教えていただきたいです。 それと、光が重力場を振り切ってくるためにエネルギーを失うのはなぜかと聞かれた場合、どう答えたらいいのですか?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E8%B5%A4%E6%96%B9%E5%81%8F%E7%A7%BB
359 JK 2015/02/19 (木) 21:48:30 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>357
ひゃまさん、こんばんは。
>AとCは以下の()のイベントとの関係がギャグシーケンスだねってことでしょうか?

そうではなくて、ミクロ系の干渉性は一度失われても戻せます。
「マクロ系の干渉性が永久に失われること」に焦点を合わせようという提案ですね。

>量子プログラム言語的なことなのかなと・・・

リンク先の記事は「量子プログラミング言語」とは関係がありません。

>AとCって量子コンピュータでプログラミングできるんですかね?

解釈というのは物理現象あってのものなので、「量子コンピュータ」の動作には影響しません。

名前に騙されるかも知れませんが、古典コンピュータと古典力学がほぼ独立であるのと異なり、量子コンピュータは量子力学に完全に含まれています。
俳句や短歌を詠むのに日本語以外の言語を必要としないように、量子コンピュータを設計するのに量子力学以外の言語は必要ありません。
360 ひゃま 2015/02/19 (木) 22:00:34 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>359 JKさん こんばんわ
>そうではなくて、ミクロ系の干渉性は一度失われても戻せます。「マクロ系の干渉性が永久に失われること」に焦点を合わせようという提案ですね。
そうして頂けるとありがたいです、お手数おかけします。 ミクロ系:波動、マクロ系:粒子という認識でよろしいでしょうか?

>量子コンピュータを設計するのに量子力学以外の言語は必要ありません。
んーこの文章を略したら量子言語じゃだめなんですか?
361 JK 2015/02/19 (木) 22:15:31 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>360
ひゃまさん
>ミクロ系:波動、マクロ系:粒子という認識でよろしいでしょうか?

いえ、量子論で十分に記述できるならミクロ、古典論で十分に記述できるならマクロになります。
実際、ミクロとマクロの違いなんて、現象から判断するしかないでしょうね。

>んーこの文章を略したら量子言語じゃだめなんですか?

量子力学をかなり簡略化したものが、量子ビット(2準位系)のユニタリ変換になります。
注目している物理量(スピンや偏光など)が、その他の物理量とは独立になるような状況を作れれば、簡単な行列の計算に落とし込めるのです。
それが、Wikipediaにも載っている「量子ゲート」です。
362 ひゃま 2015/02/19 (木) 22:43:47 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 02/20 (金) 06:10 [修正] [削除]
>>361 JKさん
>実際、ミクロとマクロの違いなんて、現象から判断するしかないでしょうね。
ミクロ系の干渉性のゴールってなんでしょうか?
メールの内容を確認したならその時に、確認しなかったなら箱を開けた時にゴール。
(箱の中にとっては観測者の状態によって、観測者にとっては箱の中の状態によってゴールする)では駄目でしょうか?
猫の生死を知る=ゴールなら、メールの場合も状況証拠は得られますが確証は箱を開けて確認するところまでで、ゴールが何かだけ決まればコペンハーゲン/多世界、分かる/決まるっていうのは言語の違いだけではないでしょうか?

>量子力学をかなり簡略化したものが、量子ビット(2準位系)のユニタリ変換になります。
量子言語は一般的じゃないのはわかりました、量子プログラム言語は一般的でしょうか?
363 JK 2015/02/20 (金) 08:44:10 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>362
ひゃまさん、こんにちは。
>ミクロ系の干渉性のゴールってなんでしょうか?

自己言及的ですが、ミクロ系(被観測者)とマクロ系(観測者)の複合系であるマクロ系(被観測者+観測者)の干渉性が失われることです。
干渉性が失われるまでの時間、デコヒーレンス時間を実験で検証する試みはあります。
その成果を一般的に還元できれば、量子力学の発展につながるでしょう。

>ゴールが何かだけ決まればコペンハーゲン/多世界、分かる/決まるっていうのは言語の違いだけではないでしょうか?

それでは、「マクロ系の干渉性が失われること」をゴールに設定しましょうか?
その立場なら、「分かる」派の争点である「多世界があるか、ないか」は物理学ではありませんし、「決まる」派はまったく物理学にはなりません。
自己言及的ですが、マクロ系の干渉性が失われるときマクロ系の干渉性が失われる、が結論になります。

>量子プログラム言語は一般的でしょうか?

あまり一般的ではありませんし、まったく不要かも知れません。
量子ビット(2準位系)のユニタリ変換だけで、簡にして要を得ています。
364 ひゃま 2015/02/20 (金) 10:35:39 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>363 JKさん、こんにちは
>>いえ、量子論で十分に記述できるならミクロ、古典論で十分に記述できるならマクロになります。

この定義でいう複合系を

>自己言及的ですが、ミクロ系(被観測者)とマクロ系(観測者)の複合系であるマクロ系(被観測者+観測者)の干渉性が失われることです。

複合系をブラックボックスに見る箱の中や外の観測者ならわかるのですが、マクロ系が観測者っていうのがもう一つわかりません。
観測者をどこに置くかでゴールが違うような?、それとも最下位層の観測者限定という意味でしょうか?
365 JK 2015/02/20 (金) 12:33:09 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>364
ひゃまさん
>観測者をどこに置くかでゴールが違うような?

物理学は、(最終的には)実験や観測で検証されなくてはいけないので、

@被観測者がミクロ、観測者がミクロなら、干渉性を失っても戻せる。→量子力学
A被観測者がミクロ、観測者がマクロなら、干渉性を失ったら戻せない。→量子力学(「収縮か分岐」が必要)
B被観測者がマクロ、観測者がマクロなら、干渉性はもともと見られない。→古典力学

という結果がある以上、Aの段階で「収縮か分岐」を仮定するのが自然です。
「悪魔の証明」ではないので、主観的・哲学的な「決まる」派は、

A’被観測者がミクロ、観測者がマクロなのに、干渉性を失っても戻せる。
B’被観測者がマクロ、観測者がマクロなのに、干渉性が見られる。

という反例を示せば良いのです。
366 ひゃま 2015/02/20 (金) 18:52:51 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>365 JKさん
>物理学は、(最終的には)実験や観測で検証されなくてはいけないので、

科学は、(最終的には)再現性が求められるのでシュレ猫では、
アルファ崩壊(ミクロ)→箱の中の猫(マクロ)→第三者観測者(マクロ)
アルファ崩壊(ミクロ)→M2Mメール(マクロ)→第三者観測者(マクロ)
なら納得するのですが観測問題ってそもそもなんでしょうか?
367 JK 2015/02/20 (金) 20:40:37 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>366
ひゃまさん、こんばんは。
>科学は、(最終的には)再現性が求められるので

実験や観測とは、再現性の確認作業のことです。
>>365に挙げた内容は、ひゃまさんの挙げた内容よりも、強い条件下での確認作業になります。

>アルファ崩壊(ミクロ)→箱の中の猫(マクロ)→第三者観測者(マクロ)
>アルファ崩壊(ミクロ)→M2Mメール(マクロ)→第三者観測者(マクロ)

マクロからマクロへの過程は、「波束の収縮」とは関係なく確認できます。
ひゃまさんは、装置の動作確認がしたいのでしょうか?
第三者が観測する前に、

・アルファ崩壊しなかったので、猫が生きている(M2Mが届いていない)。
・アルファ崩壊したので、猫が死んでいる(M2Mが届いている)。

が「重ね合わせ」になっていたことを証明しなければ、ひゃまさんの主張は通りません。

>観測問題ってそもそもなんでしょうか?

今更ですか?
無視しても良いですよね?
368 ひゃま 2015/02/20 (金) 21:55:23 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>367 JKさん、こんにちは
>実験や観測とは、再現性の確認作業のことです。
JKさんがおっしゃるミクロとマクロの複合系は、アルファ崩壊(ミクロ)→箱の中の猫(マクロ)や、アルファ崩壊(ミクロ)→M2Mメール(マクロ)で
古典的なマクロ→マクロは以下で再現してますし、箱の中の猫(マクロ)→第三者観測者(マクロ)、メールなら同報メールで複数人にメールしても再現性ですよね?、あれ?再現性ってなんだ?(機械単位、人単位)、M2Mメール(マクロ)→第三者観測者(マクロ)

>今更ですか?
はいw、観測とはなにかはっきりしてないっていうのが量子力学の観測問題かと?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A6%B3%E6%B8%AC%E5%95%8F%E9%A1%8C

JKさんが解決しているのであれば、是非ご紹介ください。
369 ひゃま 2015/02/20 (金) 22:25:02 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>368 に関連して再現性について考えてみました。
@ Aのやり方で、Aがやって、Aが確認した
A Aのやり方で、Aがやって、Bが確認した
B Aのやり方で、Aがやって、誰もが確認した
C Aのやり方で、Bがやって、Bが確認した
D Aのやり方で、Bがやって、Cが確認した
E Aのやり方で、Bがやって、誰もが確認した
F Aのやり方で、誰がやっても、その誰かが確認した
G Aのやり方で、誰がやっても、誰もが確認した
再現性はどの段階で再現性があるといえるでしょうか?、また、その段階の再現者が人工知能でも再現性はなりたつでしょうか?、あれ今度は再現性と再現の違いが分からなくなったw
370 x_seek 2015/02/20 (金) 23:59:50 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>366
>観測問題ってそもそもなんでしょうか?

この段階で、その発言はJKさんに対して失礼だと思います。
私はひゃまさんのことを迷惑と思っていませんが、>>366の発言は迷惑です。
私のスレッドで、そのような発言はやめてください。
どうか、お願いします。m(_ _)m
371 ひゃま 2015/02/21 (土) 01:15:27 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 04:32 [修正] [削除]
>>370 x_seekさん、こんばんわ
びっくりです、失礼かどうかわからない位、量子力学において観測とは何かというのが定義できてないていうのが最初からありますので、共通の認識と思ってました。
>観測問題の根本には、「観測」が何を指すのかさえ明確に定義できないという困難がある。この問題について説明を与えようとする様々な解釈がある。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A6%B3%E6%B8%AC%E5%95%8F%E9%A1%8C
っていうような話をしてたような?、なにかひゃままちがってることいってます?、もしかしてひゃまはKY(量子力学をやってる人に決して言ってはいけない禁句だったのか)? ご迷惑であれば、他で探求してまいりますが、冥土の土産に量子力学の観測の定義をお教えくださいませんか?
ひゃま的には例の堀田先生の考察の★観測者ごとに違うだろっていうのはウンルー効果にも似た観測問題に対して本質的な切り込み★(ひゃまが相対論的考察のところが気に入らないのは当然)だなと実は思っていまして、問題があるとすれば多世界解釈へ矛先を向けているところと思っております。
http://mhotta.hatenablog.com/entry/2014/04/05/094917
372 x_seek 2015/02/21 (土) 17:45:12 ID:bbAkqee4TY [修正] [削除]
ひゃまさん、こんにちは。

>>371
>失礼かどうかわからない位、量子力学において観測とは何かというのが
>定義できてないていうのが最初からありますので、共通の認識と思ってました。

ひゃまさんは「観測問題を問うことについて失礼と言われた」と
考えていらっしゃるのでしょう。だから「共通の認識と思ってました」と
おっしゃっているのだと思います。

そうではありません。
質問の内容ではなく、段階が問題なのです。あまりにも今更でした。

たとえば、ひゃまさんが、持論を2週間にわたってある相手に説明し、
30通ぐらいメール交換をしたとしましょう。
そのやりとりの中で、相対論の内容と矛盾点を何回も丁寧に説明します。

そうしたやりとりの後で

 「相対論ってそもそもなんでしょうか?」

と問われたら、ひゃまさんはどのように感じますか?

もし、なんとも感じないのであれば、私にはこれ以上の説明はできません。
ごめんなさい。


>量子力学の観測の定義をお教えくださいませんか?

量子力学の観測の定義は>>276で説明しています。

よろしくお願いします。
373 ひゃま 2015/02/21 (土) 17:49:18 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>372 x_seekさん

ちがうでしょ、観測問題をやってるのに、観測という言葉で最終的に結論したから、観測って言葉についてきいたんでしょが
374 takoyaki 2015/02/21 (土) 21:48:16 ID:24fsL7VI/w [修正] [削除]
>>339

x_seekさん、こんにちは。
あっという間にスレッドが伸びていきますね。339がまるで遥か昔のことのようです・・。

さて、私のほうは相変わらず素人レベルの質問をさせて頂きます。
アインシュタインはエレベーターの例え話を使って、重力加速度とエレベーターの加速度が局所的に(?)区別できないことを説明しました。
(なぜ「局所的に」という文言が必要なのか、残念ながら私はまだ理解していません・・)

人が地上に立っていて、ずっと下向きの力を感じるということは、地球が外向きに加速膨張しているのに対して、人間の体が元の空間の位置に留まろうとして働く慣性力として捉えることもできそうです。
ここで「地球が加速膨張している」を「地球の質量が周囲の空間を加速度的に吸い込んでいる」と言い換えることもできそうです。数学的に同じことなら、両者の違いはただの言葉の綾かもしれません。
私が気になったのは、x_seekさんが、なぜ「吸い込み」という表現のほうを選んだのか、ということなのですが、そこには何か理由があるのでしょうか?
もしかしたら本筋とは関係のない的外れな質問かもしれないのですが、ちょっと気になったので、聞いてみたかったのです。教えて頂けると嬉しいです。
375 JK 2015/02/22 (日) 10:05:46 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
タイミング悪く、ドクター・ノートンに捕まってました。

>>370>>372
x_seekさん
お気遣い感謝します。
怒ったわけではなくて、面倒だなと思っただけです。

>>368>>371>>373
ひゃまさん
個人的な観測の定義は、>>271のコメントで既に示しています。
グーグル先生に質問するのは構いませんが、相手のコメントも読まなければ議論にはなりません。
そんなことでは、「チューリング・テスト」にすら落ちてしまうでしょう。
「2045年問題」も他人事ではありませんね。
さて、観測者と被観測者の相互作用の結果であることは間違いないのですが、両者ともにミクロ系の場合とは異なり、

・マクロ系(観測者)の状態が、ミクロ系(被観測者)の状態との関係性によって定義される、あくまで形式的なものである。

という大きな問題があります。
ミクロ系の情報を表現するだけの機能しか持たせていないので、マクロ系(観測者)によるマクロ系(被観測者)の観測(相互作用)すら一意に決まりません。
別途、定義する必要があります。
そのあたりの事情が、>>304などのコメントでJKも使っている、

|ψ>=(|壊れていない>|生きている>+|壊れている>|死んでいる>)|僕>←決まる派
=|壊れていない>|生きている>|僕>+|壊れている>|死んでいる>|僕>←分かる派

のような|核>|猫>|僕>の直積状態からなる多世界解釈的な表現にも、「決まるか、分かるか」という解釈の余地を残しているのです。
数式上は等価ですからね。
マクロ系の状態を第一原理から定義できれば、「決まるか、分かるか」は決着するのかも知れません。
解釈問題が解決していない理由は、「観測とは何かが分からないから」ではなく、「観測によって何が起こるかが分からないから」です。
376 ひゃま 2015/02/22 (日) 10:51:16 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>375 JKさん
>怒ったわけではなくて、面倒だなと思っただけです。
んー、面倒であればお気遣いなく、どちらにしても新しいスレを立てますので
面倒でなければよろしく。
>解釈問題が解決していない理由は、「観測とは何かが分からないから」ではなく、「観測によって何が起こるかが分からないから」です。
何が起こるかはゴールが起きるのではないでしょうか?
アルファ崩壊を認識するミッションに対して誰がやっても確認できる
人間が認識できる形をゴールにしてしておいて何が起きるかわからないのは、虎穴に入らずんば虎子を得ずな話ですねw 英語と日本語並びが違うかといって翻訳すればいい話しで言語にこだわる必要はないと思います。

377 JK 2015/02/22 (日) 14:05:45 ID:.hRjTKzdvg [修正] [削除]
>>376
ひゃまさん
>面倒でなければよろしく。

>>375にも書きましたが、相手のコメントを読まなければ議論にはなりません。
たとえ読んでいたとしても、理解できていなければ同じです。

>何が起こるかはゴールが起きるのではないでしょうか?【原文ママ】

「既に起きたこと」をそのまま記述するだけなら、何の予言もできません。
よって、あえて真偽を問うような命題にはなりません。

>アルファ崩壊を認識するミッションに対して誰がやっても確認できる【原文ママ】
>人間が認識できる形をゴールにしてしておいて何が起きるかわからないのは、虎穴に入らずんば虎子を得ずな話ですねw【原文ママ】

まったく的外れです。
計器で測定することによって、人間が認識できるようになった結果(ゴール)には、少なくとも、

@ある状態が観測されること
A@とは異なる状態が観測されること
B@とAの「重ね合わせ」の状態が観測されること

があります。
実際に、「重ね合わせ」の状態(B)を認識できる測定、「重ね合わせ」ではない状態(@かA)を認識できる測定があるのです。
その違いは、認識することになる人間の状態ではなく、測定することになる計器の状態をコントロールすることによって生じています。
378 ひゃま 2015/02/22 (日) 14:40:24 ID:3lIzcPo45k [修正] [削除]
>>377 JKさん、こんにちは

あれから再現性とかかんがえていたのですが、いやーおかげでだいぶんすっきりしてきたので、観測問題ってスレつくりました。
よろしければそちらで
ひゃまなりにちゃんとよんでますよ^^;





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