1 TED 2012/09/06 (木) 22:08:19 ID:kakGNlja5M [修正] [削除]
「趣味で相対論」を読ませて頂いてます。
反変、共変ベクトルの定義ですが、前提としての座標変換は線型変換と理解して宜しいでしょうか?
2 EMAN 2012/09/07 (金) 09:34:54 ID:UKC.BNkKEk [修正] [削除]
いえ、極座標変換などの場合にも使う話なので、
線形変換に限ったものではありませんよ。
3 TED 2012/09/07 (金) 20:53:50 ID:kakGNlja5M [修正] [削除]
ご回答、有難うございます。
ただ以下の疑問があります。

線型でない一般の座標変換を、例えば x'=q1(x,y), y'=q2(x,y)としたとき、速度ベクトルは反変ベクトルの変換則を満たしますが、速度ベクトルを時間微分した加速度ベクトルは、q1,q2のx,yに関する2階の偏微分項が出るため、反変ベクトルの変換則を満たしません。

一方、数学でのテンソルは線型変換の枠組みでの理論と理解しているのですが間違いでしょうか?
4 hirota 2012/09/08 (土) 01:41:22 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
ベクトルとして変換されないものはベクトルではない。
つまり、単なる2階の時間微分はベクトルではない。
たとえば極座標で r 一定の等速円運動は2階の時間微分0だが加速度がある。
5 EMAN 2012/09/08 (土) 13:03:08 ID:UKC.BNkKEk [修正] [削除]
こういう話をどっかに書いた気がすると思って、調べてみました。

「反変ベクトル・共変ベクトル」のところで、ちょろっとだけ書いてますね。
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/variant.html

> つまり上のような線形変換に限っては、座標変換自体が反変ベクトルのルールそのものだということになる。
> ローレンツ変換もこの場合に当てはまる。

> しかし極座標や他の曲線座標などへの変換ではこの話は成り立たないので、
> この場合には座標ベクトルは反変ベクトルではない。
> ただ初めに説明したように、「座標の微小変化」ならば
> 極座標への変換でも反変ベクトルの条件を満たしている。

 色んな物理量が、色んな座標変換に対して
ベクトルとしての条件を満たしていたり、いなかったりするわけです。

 これを何とかしようとして、クリストッフェル記号やら、共変微分やらの話が出てくるのです。
 どうぞ先へお進み下さい。

 一般相対論は線形変換に限らず、一般の座標変換で成り立つ理論です。
6 TED 2012/09/08 (土) 17:30:42 ID:kakGNlja5M [修正] [削除]
ご教示有難うございました。
現在、リーマン幾何学の章を読んでいますが、まさにこの議論がなされていて理解が深まりました。
7 じん 2014/02/07 (金) 23:37:58 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
すいません。趣味で量子論はいつ出るのでしょうか?すんごい待ち望んでるんですけど。
8 宇宙な人 2014/09/19 (金) 17:46:24 ID:KliASJ/1Ww [修正] [削除]
趣味で相対論の初版186ページの
5・6のリーマン曲率について質問です。

地球の表面でのベクトルの平行移動の説明はとてもわかりやすいです。

赤道で北を向いたベクトルA。
Aを赤道に沿って平行移動して地球の反対側に移動した北向きのベクトルB。
ベクトルAとベクトルBを北極に向けて平行移動したら、
北極点では確かに正反対を向いたベクトルになります。

しかしこれは北極点では緯度線が消失していることによるものではないでしょうか?

赤道をX軸、東経ゼロの線をY軸とします。
つまり経度の変化をX、緯度の変化をYで表すと、
北極点ではXの概念がなくなってしまっています。

よって例えば北極点を中心にして半径1メートルの円を考えます。
これを円Cとします。
ベクトルAは北極点まで平行移動せず、北極点近くの円Cまで移動したとします。
ベクトルBは地球の反対側に行った後、北極点近くまで平行移動しますが、ここで円Cまで移動して止まったとします。
ここでベクトルBはCの円上を平行移動して、地球の反対まで移動したとします。

そうするとベクトルBはベクトルAと重なってしまいます。

地球という曲がった面を平行移動したにも関わらず、緯度線がなくならない限り、重なってしまうのです。

北極点と南極点以外の地球上のどこをどの様に平行移動させようと、
1周して戻ってくると元のベクトルに重なります。

つまりベクトルの方向がずれるのは、北極点と南極点で緯度線がなくなる、
つまりX成分が消失することによってベクトルの方向がずれるのではないでしょうか?

少なくとも地球上の面では、リーマン曲率は平面の歪みを表してないと思うのですが、どうでしょうか?
9 不識庵 2014/09/19 (金) 20:19:47 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>8


>そうするとベクトルBはベクトルAと重なってしまいます。

重ならないと思います。
10 宇宙な人 2014/09/20 (土) 17:34:14 ID:KliASJ/1Ww [修正] [削除]
>>9
ご回答ありがとうございます。

>>8でのBが円Cの円周上を移動する場合ですが、
ベクトルAは当然真北を向いています。
ベクトルBも常に真北を向いています。
ベクトルAとベクトルBの始点がC上で重なります。
よって重なると思いますが。

不識庵さんの考えは恐らく、ベクトルBの最後の移動
つまり円C上の移動で南を向いてしまうということでしょうか?

そうするとここでの平行移動の意味が不明になります。

1、ここでの平行移動の意味は地球の球面の緯度・経度線に沿った平行移動という意味ではないのでしょうか?

2、それとも宇宙空間に正規直行3次元座標(ここで時間は無視する。)が存在し、
その中に地球が存在し、この正規直行座標に従って平行移動するという意味でしょうか?

もしBの最後の移動で南を向いてしまうなら、
Bが北上する時に1での移動を行い、BのC上の移動で上記2の移動を行うことになります。

例えば真北に向く長さ1メートルのベクトルの成分を(0,1)すると、
経度線と緯度線に沿って平行移動する場合
常に成分は(0,1)ですから、
ベクトルBが円Cを移動する場合、ベクトルの終点を北極点に固定して、
始点が180度円を描いてベクトルAと重なるはずですが。

もし2の移動で考えるなら、
本の北極点への移動の場合、
A・Bとも北極星の方向、つまり北極点で地面に対し垂直に立った状態になりますが。


地球の緯度線と経度線に沿った平行移動が、正規直行座標での平行移動と比較して
どのくらいベクトルの方向と大きさがずれるかということが、座標の歪みに相当すると思います。

しかし緯度線と経度線に沿って平行移動して地球上で一周して戻って来た場合、
北極と南極を通らない場合は元のベクトルと同じになると思うのですが。
つまりリーマン曲率はゼロになると思うのですが。
11 不識庵 2014/09/20 (土) 22:13:49 ID:Zwp4rt4wek 修正アリ: 09/21 (日) 07:35 [修正] [削除]
>>10 宇宙な人 さん

>>8でのBが円Cの円周上を移動する場合ですが、
ベクトルAは当然真北を向いています。
ベクトルBも常に真北を向いています。

これが違っていると思います。

この場合の平行移動の意味は、>10の1.と2.のいずれとも異なり、次のような意味になると思います。

(1) 球面の外側にこれを含むような直交3次元座標系を設定する。(ここは>10の2.と同じです。)
(2) 円Cに沿ってベクトルBを、円C上の一点C1 から微小量だけ離れたC2まで、(1)の直交3次元座標系に対して平行に平行移動させる。
  (ここも>10の2.と同じです。)
(3) 上記平行移動させたベクトルをC2における接平面上に投影する。
  (ここが>10の2.と異なっています。)
(4) 上記の(2)、(3)の手続きを所定の移動量になるまで繰り返す。

円C上のある点で真北を向いていたベクトルBも、円C上を平行移動している間に、真北でない方向を向くようになると思います。
円C上で接平面は殆ど変りませんから、最終的にはベクトルBは殆ど真南を向くのではないでしょうか?

12 大学生A 2014/09/21 (日) 09:52:27 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
うわっ!ムズい!
球面上を測地線に沿って移動するなら、ベクトルの平行移動を直観的にイメージできるけど、
測地線から逸れる経路を辿られると、途端にイメージし難くなる。
このケースで小円C上をC1点からC2点までの辿る場合のベクトルの向きは、C1点からC2点への測地線移動の場合と、
大円直角移動(一回直角に折れて二つの大円上を伝って辿る経路)の場合との、中間くらいになるのか?
13 不識庵 2014/09/21 (日) 13:19:40 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>12

参考になるか全く分かりませんが、球面上のベクトルの平行移動について、私の持っているイメージを申し上げたいと思います。
(あくまでも、イメージです。どの程度正確かは自信がありません。)

(1) 地球儀と透明な下敷きを用意します。
(2) 下敷きに矢印を書きます。また、地球儀上に平行移動させたい経路を書きます。
(3) 下敷きの矢印の始点を、地球儀上の経路の始点に接触させます。
(4) 地球儀上の所定の経路に沿って、下敷きを移動させます。
  この時、地球儀と下敷きを互いに滑らさないようにします。
  下敷きの方を固定して、所定の経路上の点で地球儀と下敷きが常に接触するするようにして、地球儀の方を転がすイメージの方がイメージし易いかもしれません。
(5) 経路の終点まで下敷きを移動させた時に、下敷き上に書かれている矢印の向きが平行移動したベクトルの向きに対応している。

直観的には間違っている感じはしていないのですが、正しい事の証明は出来ておりません。

どなたか、正しいとか、間違っているとか、コメントを頂ければ幸いです。
14 大学生A 2014/09/21 (日) 14:17:07 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
なるほど。
そのイメージだと、測地線に沿う場合は、下敷きに「直線」の経路軌跡が描かれますね。
道理でイメージし易いわけだ。

いいこと教わりました。m(_ _)m
15 hsaito 2014/09/21 (日) 18:24:02 ID:cWwuvO7Rq6 [修正] [削除]
>13
>この時、地球儀と下敷きを互いに滑らさないようにします。

この「滑らさないように」すると言うのは、「接平面を球面上で移動する際に、接平面の運動が並進運動のみで、フリスビーもどき(※)の自転運動成分は含まないようにする」と言う意味に解釈して良いのでしょうか?
それがYESなら、接平面がフリスビーもどきの自転をしないように移動さぜるためには、曲面上の接続についての情報が必要になるように私には思えます。


「もどき」と言うのは、本来のフリスビーと違って、曲面に沿って移動する際に、回転軸の方向が曲面の湾曲に沿って(おじぎをするように)変わるからです。
16 大学生A 2014/09/21 (日) 18:55:58 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
動摩擦力が生じないようにってことでわ?
17 hsaito 2014/09/21 (日) 19:28:20 ID:cWwuvO7Rq6 [修正] [削除]
「下敷きに接しながら転がす」と述べておられるから、おっしゃる通りですね。
私の誤読でした。
18 宇宙な人 2014/09/22 (月) 21:03:38 ID:KliASJ/1Ww [修正] [削除]
>>11
不識庵さん丁寧なご説明ありがとうございます。

私はベクトルが1メートルくらいの、その長さによる曲がりが無視出来るくらいの短いベクトルを考えていましたが、
地球上に5000キロメートルくらいの長いベクトルを貼付けると、確かにベクトル自体が既に地球の表面で曲がりますね。
だから接平面という概念が出てくるのだと思います。

>>円C上で接平面は殆ど変りませんから、最終的にはベクトルBは殆ど真南を向くのではないでしょうか?

ここで整理しますと、座標の曲がり具合は、同一ベクトルをある座標で平行移動させた時、
別の座標ではそのベクトル成分がどのように変化するかということが座標の歪みを表現していると思います。
つまり例えば正規直行座標と比較して、地球平面の歪みを考える場合には、
地球平行上に座標を決定しないといけないと思います。

不識庵さんの地球平面上の座標と、私の地球平面上の座標は、異なっている様に感じます。

私は地球の平面上の座標は、例えば赤道がX軸、例えば東経ゼロ度の線がY軸の座標になっている緯度線と経度線に従った座標を考えたのですが。
つまりBベクトルの円C上の移動はベクトルBの始点のX軸方向への(つまりベクトル始点の位置のXの値だけ変化し、Yの値は変化しない。)
単純な移動なので最終的に北向きとなって、BはAに重なると考えたのですが。

この様な経線も緯度線を無視して、地球をただの球体として考えるということでしょうか?

座標の格子を地球に書く場合はどうでしょうか。
例えば緯度線は赤道X軸に平行な輪なのでそのままにして、
南北方向も緯度線と同様に、平行な輪を描く線を引いて格子を書く場合です。
この場合例えば北極点と南極点を通る輪をY軸としますと、
(地球の経線は正規直行座標から見ると、平行ではなく、北極点・南極点に行くにしたがって幅が狭くなります。)
この場合は北極点・南極点近くの座標格子が地球の経線緯度線で囲まれる様な、ほぼ三角形とはならず、
地球上のX・Yの値が少ない所は座標格子がほぼ四角形、値が大きくとなる座標格子が長細い四角形の様な格子座標となります。
(この地球上のほぼ四角の様な格子で埋める座標を考えた場合、赤道より上の位置の値をプラス、下の値をマイナスとし、
例えば東経ゼロの線より向かって右をプラス、左をマイナスとした場合でも、特定の(X、Y)の値が存在しても、この値は地球上の1点ではなく2点を示してしまいます。
この様なことがあって、緯度線はただの平行な輪切りの線に対して、経度線はスイカの輪切りの様な線になったのだと思いますが。)

この地球の全面で四角形の様になる格子の座標の場合は不識庵さんのおっしゃる通り、
円Cでの移動はほぼ南向きになるかもしれません。
(この場合北極周囲の周回で反対側までは行かないとする。)

また地球の半径をどこも同一として地球の中心(マントル)を原点にして、
極座標のような座標を考えれば一番すっきりするかもしれません。
地球の中心から赤道の東経ゼロへの方向を角度ゼロとしてθをゼロから2πまでにします。
そして地球の中心から南極の方向を角度ゼロとしてφを南極から北極まで角度がゼロからπまでにします。
この様な極座標ならすっきりとした座標が求まります。

極座標を使った場合、ベクトルAは赤道で真北に向いているので、その成分は(0.φ)とすると
この座標で北極点付近まで北上しても(0.φ)です。
またBの経路でもこの座標で成分(0.φ)のまま移動すると、Bベクトルは最終的にAベクトルと重なると思うのですが。

つまりその座標においてベクトルの成分が変わらない移動こそが平行移動だと思うのですが。
勿論この移動を正規直行座標から見れば当然ベクトル成分は変わっていきます。

とにかく座標を決めないと曲率は求まらないと思いますが。

平面上の曲率はゼロではありません。
平面上にぐにゃぐにゃと曲がった座標を描けば、正規直行座標と比較して曲率も変わってくると思います。
球面でも座標を決めない限り、曲率の決めようがないと思いますが。
球面上の測地線に沿う線の曲率のことを言われているのでしょうか?


>>(3) 上記平行移動させたベクトルをC2における接平面上に投影する。

ここが良く分かりません。
投影するのは、正規直行座標ではないでしょうか?

>>13
下敷きを地面に固定して地球儀を経路に沿って転がすイメージだと思います。
この場合滑らせない限り、転がった瞬間に、下敷きのベクトルの始点と地球上の経路は離れてしまうと思いますが。
19 宇宙な人 2014/09/22 (月) 21:22:34 ID:c26iN0a2eY [修正] [削除]
>>13
失礼しました。
早合点していました。
この場合下敷きのベクトルの始点が、経路を離れても良いわけですね。

この場合下敷きを固定すると地球儀が半回転して重なりませんか?
20 宇宙な人 2014/09/22 (月) 22:06:30 ID:KliASJ/1Ww [修正] [削除]
>>19の訂正
この場合、良く考えると地球儀は半回転しない様に思います。
よって重ならないと思います。

ただ>>18で説明した通り、座標の決め方によって重なると思うのですが。
21 不識庵 2014/09/22 (月) 22:44:24 ID:Zwp4rt4wek 修正アリ: 09/23 (火) 17:44 [修正] [削除]
>>14 大学生A さん、

私の方こそ、下敷きの方に残る軌跡については考えた事がありませんでした。
新しい着眼点を頂いたような気がします。
有難うございます。


>>15 hsaito さん、

コメントを頂き、有難うございます。
仰る通り、接点における法線の周りに、地球儀と下敷きが互いに回転する自由度があります。
これが気にはなっておりました。互いに回転すると、ベクトルの向きが滅茶苦茶になってしまうからです。
「滑らさない」とか「転がす」という表現で、法線周りには回転させない、という気持ちを込めたのですが、くみ取って頂けたようです。
どうも間違っていないらしい、という事が分かってうれしく思っております。


>>18 宇宙な人 さん、

不勉強のため、仰る意味が十分には理解出来ておりませんが、理解できた範囲で回答させて頂きます。

>この様な経線も緯度線を無視して、地球をただの球体として考えるということでしょうか?

リーマン曲率を定義する時のベクトルの平行移動という概念は、球面上にどのような座標系を設定するか、という事に無関係な概念です。
ですからリーマン曲率を考える上では、ただの球体と考えるのが正しいと思います。


>とにかく座標を決めないと曲率は求まらないと思いますが。

仰る通り、具体的計算を行う場合は、座標系の設定が必要と思います。
しかし、本来座標系とは無関係の量を、計算に都合の良い座標系を使って計算する、という事ではないかと思っております。


>つまりその座標においてベクトルの成分が変わらない移動こそが平行移動だと思うのですが。
>勿論この移動を正規直行座標から見れば当然ベクトル成分は変わっていきます。

正直なところ、何が平行移動の正しい定義か、私にはよく分かりません。
リーマン曲率を定義する時に使う平行移動と、宇宙な人さんが考えておられる平行移動では、定義が異なっているという事ではないかと思います。
22 大学生A 2014/09/23 (火) 06:31:08 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
>座標の決め方によって重なると思うのですが。

最初に定めた地上観測者の座標(接平面上の直交2直線とその法線)が、
球面上を移動していく過程で、どの様に移り変わっていくかを、
宇宙観測者からはどう見えるのか?というのがテーマですね。
実際、接平面上の直交2直線は、小円C上を移動する過程で、
赤道上移動するような移り変わり方をしないのです。
宇宙な人さんのイメージでは、小円Cを一周すれば、直交2直線は重なるはずですね?
でも、その経路軌跡は下敷き上では、円錐体の側面図のように扇形に描かれますので、
一周すれば、ズレてしまいます。
接平面上の直交2直線の移り変わり方は、方位磁石のようにはならない。
ということでしょう。
23 hsaito 2014/09/23 (火) 10:04:46 ID:cWwuvO7Rq6 [修正] [削除]
不識庵さんの>13の「考え方は、以下が定理として成立すると言う主張と同じに思えてきました:

平坦な3次元空間中に埋め込まれた2次元曲面上には、特に接続を定義しなうても、題意から一義的に決まるある「自然な接続」が存在している。
そして、この2次元曲面に1点で接する平面(平面上に直交座標格子が描かれているものとする)を考えた場合、この平面を曲面との接触を保ちながら、平面の法線方向の角度を変えて、接点位置を移動させた場合、接点における接平面の座標格子の向きは、接点がどの位置にあっても、この「自然な接続」に関して、常に互いに並行である。
24 不識庵 2014/09/23 (火) 11:22:10 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>23 hsaito さん、

コメント有難うございます。

ただ仰る定理は、私にはいささか難し過ぎるようです。
ですので、平行移動の定義と下敷きのイメージに関しまして、次のように考えてみました。

(1) 球面上に点C1と、これから微小量だけ離れた点C2を考えます。
(2) 点C1を接点とする接平面を考え、接平面上に一つのベクトルBを考えます。
(3) 平行移動の定義によれば、平行移動されたベクトルと言いますのは、上記ベクトルBを点C2における接平面に投影したベクトルになります。
(4) 次に、点C1での接平面上に、点C2を投影します。これを点C2’とします。
(5) 点C1での接平面上で点C1と点C2’を結び、この方向をx軸とし、これに垂直な方向にy軸を取ります。
(6) y軸の周りに微小角度回転させた結果が、下敷きをC2まで移動させた結果になると思います。
  回転角は、点C1と点C2における法線のなす角です。
(7) ベクトルBを点C2における接平面に投影したベクトルと、y軸の周りに回転して出来たベクトルが一致するかが問題です。
(8) 点C2での接平面上に、点C1を投影して点C1’とします。
(9) 点C2での接平面上で点C2と点C1’を結んで、この方向をx’軸とし、これに垂直な方向にy’軸を取ります。
(10) 投影されたベクトルと、回転して出来たベクトルは、y’軸方向成分は一致すると思います。
(11) 回転角が微小ですので、x’軸方向成分も一致すると思います。
   (差が2次の微小量となるためです。)

上記により、下敷きに書かれたベクトルの向きと、平行移動したベクトルの向きは一致するような気がします。
如何でしょう?
25 hsaito 2014/09/23 (火) 12:12:50 ID:cWwuvO7Rq6 [修正] [削除]
>上記により、下敷きに書かれたベクトルの向きと、平行移動したベクトルの向きは一致するような気がします。

私も一致すると思います。
そして不識庵さんが>24の(3)や(7)で述べておられる「投影」が、私が言うところの「自然な接続」になっているものと思います。

蛇足:
背景空間としての3次元空間上のユークリッド計量から、そこに埋め込まれた2次元曲面上の誘導計量が決まり、この誘導計量から、2次元曲面上のレビ・チビタ接続が決まりますが、この意味のレビ・チビタ接続が、私が上記で言うところの「自然な接続」であろうと考えています。
26 不識庵 2014/09/23 (火) 17:41:28 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>25 hsaito さん

仰る「自然な接続」が、恐らくレビ・チビタ接続という奴ではではないかと、私も思っておりました。
もう少し勉強してみたいと思います。
27 宇宙な人 2014/09/23 (火) 18:19:04 ID:ht1U8HNfDc [修正] [削除]
不識庵さん 大学生Aさん hsaitoさん
皆さんありがとうございます。

皆さんの説明で少しづつ分かってきました。

地球の経線や緯度線を使った球面座標や、地球の中心(マントル部分)を原点にした極座標を使うのではなく、
球体の一部分に、正規直行2次元座標の接平面を宛てがうということですね。
つまり球全体に正規直行2次元座標を宛てがうわけにはいかないので、
球面の一部のごく微小領域に正規直行2次元平面を用いるということでよろしいでしょうか。
例えば球面の一部なら近似的に正方形のタイルを貼付けることができます。
球面上に居る人は、ベクトル棒の始点を円上で移動させる場合、
次の円上の移動位置にベクトル棒の始点を持って行く場合に、
このタイルを基準にして、X成分とY成分が変わらない様に、
ベクトル棒の方向を決めていくということですね。

そしてこのタイルは接平面によって少しづつ変化していくということですね。

この方法だと北極点の微小な円上を、角度にして180度移動させても、ベクトル棒の方向は、
殆ど変わらなくなります。
つまり真北を向いていたベクトルBは180度円上を移動した場合も殆ど真南を向くと思います。
つまりAベクトルとBベクトルはほぼ反対方向を向くことになります。

>>24
不識庵さん
詳しい説明をありがとうございます。

初歩的なことを伺いますが、これは球面上の人の立場にたった移動ということですね。
そしてベクトルの長さは球面上と平面上で同じくらいになる様に短いベクトルを想定しているということですね。
またこの移動ではベクトルの始点はC1からC2に移し変えるということですね。
接平面への投射は移動した点におけるベクトル成分を決める為ですね。

場所によって半径の変わらない球面上の移動では、最終的な移動先に移動した場合、
最初と最後でベクトルの長さが変わらないことが、条件だと思います。

この場合Y成分は変わらないと思います。
X成分は微小な回転なら変わらないと思いますが、これが繰り返されたらどうかという点が不明です。

移動前のベクトルと最終的に移動した先のベクトルの正規直行3次元座標での成分の違いが、
球面の歪みを表しているということですね。

この考え方は知りませんでしたが、不識庵さんが考えたのでしょうか?

とても参考になります。
正しいかどうかは、まだ考え中ですが、とても素晴らしいアイデアだと思います。
28 不識庵 2014/09/24 (水) 21:15:08 ID:Zwp4rt4wek [修正] [削除]
>>27 宇宙な人 さん

概ね仰る通りと思います。
ただ、何分不勉強な私の言う事ですので、話半分に受け取って頂いた方が良いかもしれません。

何点か気づいた点があり、申し上げさせて下さい。

>移動前のベクトルと最終的に移動した先のベクトルの正規直行3次元座標での成分の違いが、
>球面の歪みを表しているということですね。

球面の場合はそう言っても良いような気もしますが、他の曲面も想定すると、歪みを表しているのは、やはり異なる経路で平行移動した結果の差になるのではないかと思います。
でも、円筒面等を考えると、見た目には明らかに曲がっているのに、ベクトルの平行移動を考えてみるとリーマン曲率はゼロになりそうで、「何だかなあ。」という気もしております。
いろいろ言っておきながら、私自身、まだまだ勉強が必要のようです。

>この考え方は知りませんでしたが、不識庵さんが考えたのでしょうか?

この考え方と言いますのは、曲面を含むような直交座標系を想定して、直交座標系に対して微小量だけ平行移動し、移動先の接平面に投影する、という考え方の事でしょうか?
私も素晴らしいアイデアと思いますが、恐らくこれは「レビ・チビタ接続」というものだと思います。
恐らくレビ・チビタさんという人が100年以上も前に考えた内容と思います。

これも勉強し直そうと思っているところです。

29 宇宙な人 2014/09/26 (金) 13:57:46 ID:KliASJ/1Ww [修正] [削除]
>>28
不識庵さん、ご回答ありがとうございます。

>>この考え方と言いますのは、曲面を含むような直交座標系を想定して、
直交座標系に対して微小量だけ平行移動し、移動先の接平面に投影する、という考え方の事でしょうか?

そうです。
不識庵さんに>>24で教えて頂いた考え方です。
私もレビ・チビタ接続について勉強してみようと思います。
ありがとうございました。


30 coJJyMAN 2016/06/30 (木) 21:31:20 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
この場をお借りして..
(祝)「趣味で相対論」電子書籍(Amazon-Kindle)版が発売されました!
早速,入手いたしましたです〜.
31 駒込ピペット 2016/08/23 (火) 01:44:37 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
相対性理論の「同時であるとはどういうことか」の「同時の対称性」の節に関して質問があります。(趣味で相対論のp16)

宇宙船に乗っている人から見ても、B地点から両方向に発射された光は同じ速度で宇宙船から遠ざかっていく。

とあるのですが、なぜそうなるのでしょうか。たとえば、B地点から、A地点とC地点に向かって時速100kmで光が進み、宇宙船は時速10kmでC地点に進んでいるとします。すると宇宙船からみたら、光は、時速90kmでC地点に進み、時速110kmでA地点に進んでいることになると思うのですが。

愚問かとは思いますがなにとぞよろしくお願い致します。
32 甘泉法師 2016/08/23 (火) 08:37:22 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

なぜかということはおいて、どうであるかをいうと

光の速さは 299792458 m/s(≒30万キロメートル毎秒)という定数c
で速さの上限値になっています。 

上限ですからそれをこえた 30万10km/hという速さにはなれません。
では下回った 29万9890 km/h はありうるかというと、不思議にも
やはりcになっていて それまでの常識に反します。

不思議ですが、そういうものだとして理論をつくります。もっと不思議なことにそうやってつくった理論は実験結果と合っています。

33 駒込ピペット 2016/08/23 (火) 23:54:16 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>32 甘泉法師さん

解答ありがとうございます。自分的には
 宇宙船の速さ<<<光の速さ  なので、
宇宙船がどのように動いていても光の速さはcで一定に感じるのだと解釈しているのですが、これでよろしいでしょうか?
34 駒込ピペット 2016/08/24 (水) 00:09:37 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
「相対性理論」の「ローレンツ変換の求め方」のページで質問があります。(趣味ではp19)

しかしまだおかしい点が残っている。 例えば y′=a5x+a6y+a7z という形のままだとy軸が傾いていることになる。z軸も同様だ。各係数 ai は相対速度の関数なので、相対速度に応じてyz面が傾くという意味になるわけだ。x軸を中心にyz面内でねじれるという傾き方なら、ひょっとしてそんなこともあるかも知れないが、x軸の方へ傾くとなればいよいよおかしい。空間はどの方向でも同じ性質を持つと考えられるので、yz面がどれかの方向を勝手に選んで傾いて行く理由は見出せないからだ。それで結局、 y′=a6y、z′=a11z
という形でなければならない。

とあるのですが、ここにかかれていることが全く理解できません。まず、なぜy軸が傾くことになってしまうのですか?
理解力のない自分にもわかるように丁寧に教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いいたします。
35 甘泉法師 2016/08/24 (水) 00:48:54 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

宇宙船の速度の大小は関係しません。 それに一体なにに対する速度をとったらいいかも悩みどころです。
36 駒込ピペット 2016/09/01 (木) 03:17:19 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>35 甘泉法師さん
おかげさまで解決することができました。解答いただき誠にありがとうございました。非常に助かりました。
お時間あれば34の質問にも答えていただけるとありがたいです。
37 甘泉法師 2016/09/01 (木) 16:47:16 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。


a5,a7がゼロでないということはy’軸はx軸、z軸と直交ではない。もちろんy軸はこれらと直交。

y軸とy’軸は原点は一致するが違う軸になる。両軸は角度をなす。

係数aを行列とみると回転行列の成分がある


それでは具合が悪いので両軸は重なり、違いはせいぜい目盛ぐらいだろう
(実は目盛も同じ)

という趣旨と存じます。
38 駒込ピペット 2016/09/17 (土) 18:30:45 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>37 甘泉法師さん
もし仮に y′=a5x+a6y+a7z という式が成り立つとすると、y軸は何に対して傾いていて、何に対して直交しているのでしょうか?6本も軸があり、いまいち状況がつかめてないです。
39 甘泉法師 2016/09/18 (日) 09:45:18 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>y′=a5x+a6y+a7z 

x、y、zを極座標表示

 $x=r sin\theta cos\phi$ 
 $y=r sin\theta sin\phi$ 
 $z=r cos\theta$ 

して式に代入すると

 $\frac{y'}{r}=a_5 sin\theta cos\phi+ a_6 sin\theta sin\phi+ a_7cos\theta $ 

rをy'軸と重ねてとり、縮尺はβ違うとすると

 $\beta=a_5 sin\theta cos\phi+ a_6 sin\theta sin\phi+ a_7cos\theta $ 

これを満足するように β、θ、φがきまる。つまり 縮尺、y’軸のxyz座標での傾きをあらわす二つの角度がわかると存じます。
40 絵柾 2016/09/19 (月) 15:18:05 ID:uM4ZNJ.Fkc [修正] [削除]
「相対性理論」の「ローレンツ変換の求め方」のページで質問がありますK系からK′系への変換を求めるときなぜx´=a1x+a2y+a3z+a4tのようにy´やz´求めるのですか?
41 駒込ピペット 2016/09/20 (火) 20:42:50 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>39 甘泉法師さん

すいません確認なのですが、>37でおしゃってる
原点が一致する
というのは、t=0の瞬間の話ですよね?
42 駒込ピペット 2016/09/25 (日) 02:44:48 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
相対性理論の固有時の意味のページで質問があります。

この(dτ)2という量は、微小時間dwの間に微小距離dx、dy、dzだけ移動した場合の、4 次元空間内での移動距離の 2 乗を表している。

とあるのですがなぜそうなるのでしょうか?
dwに虚数時間を導入しても全体をマイナスでくくると、(dτ)^2は移動距離の2乗のマイナス符号としたものを表すと思うのですが。

よろしくお願い致します。
43 駒込ピペット 2017/02/20 (月) 03:55:11 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
相対性理論の反変ベクトル・共変ベクトルのページで質問があります。

例えば位置の微小変化を表すベクトル(dx,dy,dz)を考える。
dx′=(∂x′/∂x)dx+(∂x′/∂y)dy+(∂x′/∂z)dz
dy′=…
dz′=…
これと同じ変換規則を持つものは全て「反変ベクトル」と呼んでやろうというわけだ。
例えば次のような形式で書ける座標変換を行う場合には、座標ベクトルそのものが反変ベクトルになっている。
x′=Ax+By+Cz
y′=Dx+Ey+Fz
z′=Gx+Hy+Iz
ここでもし∂x′/∂xを計算すれば係数Aが出てくるだろう。∂x′/∂yを計算すれば係数Bだ。つまり上のような線形変換に限っては、座標変換自体が反変ベクトルのルールそのものだということになる。

とあるのですが、なぜ後者で∂x′/∂xなどを計算したのでしょうか?前者で∂x′/∂xを計算したのは(dx,dy,dz)の変換を考えているからですよね?だとしたら後者の例で∂x′/∂xを計算する意味が分かりません。そもそも反変ベクトルのルールとはどういった内容を指しているのでしょうか?

分からず、前に進めなくて困っています。よろしくお願いします。
44 hirota 2017/02/20 (月) 13:47:37 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
∂x′/∂xを計算した理由は∂x′/∂xとの関係が反変ベクトルの定義だから。
反変ベクトルのルールは∂x′/∂xの分母と∂x′/∂xを掛ける成分が対応すること。
(∂x′/∂x)dx+(∂x′/∂y)dyとかAx+By=(∂x′/∂x)x+(∂x′/∂y)yとかの分母∂xにはdxやxがついてるでしょ。これが分子と対応して(∂x′/∂x)a′になったらaは共変ベクトル。
45 駒込ピペット 2017/02/21 (火) 08:53:22 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
なるほど!とってもよくわかりました。
ということは、

〜。つまり上のような線形変換に限っては、座標変換自体が反変ベクトルのルールそのものだということになる。ローレンツ変換もこの場合に当てはまる。しかし極座標や他の曲線座標などへの変換ではこの話は成り立たないので、この場合には座標ベクトルは反変ベクトルではない。ただ初めに説明したように、「座標の微小変化」ならば極座標への変換でも反変ベクトルの条件を満たしている。

とあるのですが、これはつまり、「一般的にはどのような座標変換を行うかを決めて初めて、変換前のベクトルが反変か共変か決まる」という認識であっていますでしょうか?
例えば、(x,y,z)→(x',y',z')のローレンツ変換では位置ベクトル(x,y,z)は反変ベクトルであるが、(x,y,z)→極座標(r,θ,φ)の変換では位置ベクトル(x,y,z)は共変ベクトルになるということでしょうか?
46 hirota 2017/02/21 (火) 11:42:18 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
反変ベクトル共変ベクトルとは言ってるがベクトル自体が反変共変ではない。
ベクトルの成分を反変成分で表わすか共変成分で表わすかの違い。
同じベクトルを反変成分で表わす事も共変成分で表わす事もできる。
反変共変は任意の座標変換に対する性質なので、先に座標変換を決める必要は無い。
47 生徒0 2017/02/23 (木) 13:45:18 ID:P.EECpOh2I [修正] [削除]
「水星の近日点移動」のページで質問があります。

(4)式にuを代入した結果の式がなぜあのようになるのかわかりません。
自分なりに計算してみたのですが辿りつけませんでした。
特に最後の項2kBcosφがどこから出てきたのかわかりません。

おそらく基本的な数学なのでしょうが私にはちんぷんかんぷんで。
ぜひご指導をよろしくお願いいたします。
48 甘泉法師 2017/02/25 (土) 09:09:28 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 13:17 [修正] [削除]
こんにちは。 

>特に最後の項2kBcosφがどこから出てきたのかわかりません。

EMANさん のεの1次までの解の式

<tex>u(\phi) \ =\ A + B \cos[ (1+ \varepsilon k) \phi ] + \varepsilon u\sub{1}(\phi) + \cdots</tex>

から

<tex>u''(\phi) \ = -(1+ \varepsilon k)^2B \cos[ (1+ \varepsilon k) \phi ] + \varepsilon u''\sub{1}(\phi) + \cdots</tex>

εの2次はすてて

<tex>u''(\phi) \ = -(1+ 2\varepsilon k)B \cos\phi + \varepsilon u''_{1}(\phi) + \cdots</tex>

で説明されます。
49 hirota 2017/02/25 (土) 12:35:12 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
 $u''(\phi)$ でしょ。
50 甘泉法師 2017/02/25 (土) 14:23:47 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

ご指摘ありがとうございます。 修正しました。
51 生徒0 2017/02/25 (土) 19:31:38 ID:P.EECpOh2I [修正] [削除]
こんにちは!
みなさまのご指導のおかげで結果にたどり着くことができました。ありがとうございました。

その項は微分で出てきたんですね。
また、テーラー展開についても理解不足でした。テーラー展開したcos[(1+εk)φ]にε掛けると2項目以降εの2乗以上になるのですね。(ということでいいんですよね?)
全く持って理解不足の上勉強不足でした。
52 hirota 2017/02/25 (土) 23:36:34 ID:mxZWPl0EEs 修正アリ: 03/02 (木) 18:21 [修正] [削除]
水星の近日点移動・別計算

http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/150531002be60340/res68
の運動方程式
<tex>\ddot{\Vec{r}}=\!\left(\!\!-\Vec{r}\biggl(\!\frac{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}{(1+\frac{GM}{2\,c^2r})^6}+\frac{|\dot{\Vec{r}}|^2}{c^2}\biggr)\!+\dot{\Vec{r}}\frac{2{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}}{c^2}\biggl(\!1+\frac{1}{1-\frac{GM}{2\,c^2r}}\biggr)\!\!\right)\!\!\frac{GM/r^3}{1+\frac{GM}{2\,c^2r}}</tex>  ( ${}^{T\!}\!\Vec{r}$ は $\Vec{r}$ の転置 )
を近似して
<tex>\ddot{\Vec{r}}=-\frac{GM}{r^3}\Vec{r}+\frac{GM}{c^2r^3}\!\!\left(\!\Vec{r}\Bigl(\frac{4GM}{r}-|\dot{\Vec{r}}|^2\Bigr)\!+4\dot{\Vec{r}}{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}\!\right)</tex>
とする。
右辺第一項はNewton重力で、これだけならKepler法則通りの楕円軌道になるが第二項によってKepler運動からずれることになる。
離心率ベクトル $\Vec{e}$ (ベクトルの大きさが楕円の離心率でベクトル方向が近日点のベクトル)と $\Vec{r},\dot{\Vec{r}}$ の関係は
<tex>\Vec{e}=\frac{\dot{\Vec{r}}\times(\Vec{r}\times\dot{\Vec{r}})}{GM}-\frac{\Vec{r}}{r}=\frac{\Vec{r}|\dot{\Vec{r}}|^2-\dot{\Vec{r}}{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}}{GM}-\frac{\Vec{r}}{r}</tex>
だから、 $\dot{\Vec{r}}$ がKepler運動からずらす加速度
<tex>\Delta\ddot{\Vec{r}}=\frac{GM}{c^2r^3}\!\!\left(\!\Vec{r}\Bigl(\frac{4GM}{r}-|\dot{\Vec{r}}|^2\Bigr)\!+4\dot{\Vec{r}}{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}\!\right)</tex>
で変化すると $\Vec{e}$ の変化率は
<tex>\dot{\Vec{e}}=\frac{2\Vec{r}{}^{T\!\!}\dot{\Vec{r}}-{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}-\dot{\Vec{r}}{}^{T\!}\!\Vec{r}}{GM}\Delta\ddot{\Vec{r}}</tex>
となる。
ここから急に雑になるけど、離心率ベクトル方向をx軸にして $\Vec{r},\dot{\Vec{r}}$ を $e$ の一次近似で表わすと
<tex>\Vec{r}&=a\!\!\begin{pmatrix}\cos2\pi t/P-(e/2)(3-\cos4\pi t/P)\\\sin2\pi t/P+(e/2)\sin4\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!,\,\dot{\Vec{r}}=\!\frac{2\pi a}{P}\!\!\begin{pmatrix}-\sin2\pi t/P-e\sin4\pi t/P\\\cos2\pi t/P+e\cos4\pi t/P\\0\end{pmatrix}\\r&=a(1-e\cos2\pi t/P),\,|\dot{\Vec{r}}|^2=\frac{4\pi^2a^2}{P^2}(1+2e\cos2\pi t/P),\,{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}=\frac{2\pi a^2e}{P}\sin2\pi t/P</tex>
ただし、 $a$ は楕円の長半径, $P$ は公転周期
 $a$ と $P$ には
<tex>\frac{2\pi}{P}=\sqrt{\frac{GM}{a^3}}</tex>
の関係があるので、これで $GM$ を消去すると $e$ の一次近似で永年変化(周期変動を除いた変化)は
<tex>\dot{\Vec{e}}=\frac{24\pi^3a^2e}{c^2P^3}\!\!\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}</tex>
となる。つまり
<tex>\dot{\theta}=\frac{24\pi^3a^2}{c^2P^3}</tex>
が近日点方向の変化率である。
<tex>a=57910000\rm{km},\,P=0.24085\rm{year},\,c=300000\rm{km/s}</tex>
で計算すると
<tex>\frac{24\pi^3a^2}{c^2P^3}=0.41''/\rm{year}</tex>
となる。 $e$ の一次近似じゃ一桁しか合わんな。

http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/170227001f20b104/res4
で $e$ の3次近似の $\Vec{r}$ を求めたので
<tex>&\Vec{r}=a\biggl(\!\!\begin{pmatrix}\cos2\pi t/P\\\sin2\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e}{2}\!\!\begin{pmatrix}3-\cos4\pi t/P\\-\sin4\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e^2}{8}\!\!\begin{pmatrix}3\cos2\pi t/P\!-3\cos6\pi t/P\\5\sin2\pi t/P\!-3\sin6\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e^3}{12}\!\!\begin{pmatrix}4\cos4\pi t/P\!-4\cos8\pi t/P\\5\sin4\pi t/P\!-4\sin8\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!\biggr)\\&\dot{\Vec{r}}=\!\frac{2\pi a}{P}\!\biggl(\!\!\begin{pmatrix}-\sin2\pi t/P\\\cos2\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!+e\!\!\begin{pmatrix}-\sin4\pi t/P\\\cos4\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e^2}{8}\!\!\begin{pmatrix}-3 \sin2\pi t/P\!+9\sin6\pi t/P\\5\cos2\pi t/P\!-9\cos6\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!-\!\frac{e^3}{6}\!\!\begin{pmatrix}-4\sin4\pi t/P\!+8\sin8\pi t/P\\5\cos4\pi t/P\!-8\cos8\pi t/P\\0\end{pmatrix}\!\!\biggr)\\&r=a\Bigl(1-e\cos2\pi t/P\!+\frac{1}{2}e^2(1\!-\cos4\pi t/P)+\frac{3}{8}e^3(\cos2\pi t/P\!-\cos6\pi t/P)\Bigr)\\&|\dot{\Vec{r}}|^2=\frac{4\pi^2a^2}{P^2}\Bigl(1+2e\cos2\pi t/P\!+2e^2\cos4\pi t/P\!-\frac{1}{4}e^3(\cos2\pi t/P\!-9\cos6\pi t/P)\Bigr)\\&{}^{T\!}\!\Vec{r}\dot{\Vec{r}}=\frac{\pi a^2e}{P}\Bigl(2\sin2\pi t/P\!+e\sin4\pi t/P\!-\frac{1}{4}e^2(\sin2\pi t/P\!-3\sin6\pi t/P)\Bigr)</tex>
として近日点方向の変化率を求めると
<tex>\dot{\theta}=\frac{24\pi^3a^2}{c^2P^3}(1+e^2)</tex>
となる。 $e=0.2$ を追加して計算すると
<tex>\frac{24\pi^3a^2}{c^2P^3}(1+e^2)=0.428''/\rm{year}</tex>
となる。これで観測精度内だ。
53 生徒0 2017/02/26 (日) 13:17:52 ID:P.EECpOh2I [修正] [削除]
勉強させていただきます。
ありがとうございます。
54 駒込ピペット 2017/02/26 (日) 22:12:57 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>46

それでは、反変か共変かは何によって決まるのでしょうか?
都合により使い分けるということですか?
55 kafuka 2017/02/27 (月) 20:43:51 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 22:41 [修正] [削除]
>>46 は、斜交座標系(含む直交座標系)での一般的な話と思います。
(上付か下付どちらかの計量テンソルを掛ければ、反変←→共変 どちらにもできる)

一方、直交座標に限定して、座標系のスケール変換や座標回転を考えると
http://eman-physics.net/relativity/variant.html 
そのベクトルが
座標変換の方向と反対に変換されるもの(位置ベクトルや古典的な運動量ベクトルなど)

座標変換の方向と同様に変換されるもの(∇など)
があります。
でも、一般的には、反変←→共変 どちらにもできるので、
>どの物理量が共変だとか反変だとかいうのは実は本質的ではない
です。

僕もわからないので、ついでにお訊きしますが、

直交座標系での古典的な運動量ベクトル= $m \vec{v}$ と
∇に $-i \hbar$ を掛けた 量子力学の運動量ベクトルは、
座標系のスケール変換や座標回転に対しての変換性が逆になりますが、
教科書で、これをどう辻褄を合わせるか?(計量テンソルを掛ける必要があるはず)
書いてあるものが見当たらないです。

つまり、量子力学の運動量の固有値を  $-i\hbar\nabla\psi(x,y,z)=\vec{P}\psi(x,y,z)$ で表すと、
運動量の測定値 $\vec{P}$ の変換性は ∇と同じはずで、古典的な運動量ベクトルと合わない
と思うのです。
どう考えれば良いでしょうか?
56 hirota 2017/02/27 (月) 22:57:47 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
量子力学では一般相対論のような一般共変性は成り立たず、共変反変の意味は違う。
同じ言葉が出て来ても確認せずに同じ意味と思ってはならない。
57 甘泉法師 2017/02/28 (火) 09:23:52 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>55 >>56

<tex>mu^i,mu_i</tex>

<tex>-i\hbar\frac{\partial}{\partial x^i},-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_i}</tex>

それぞれあるのでないでしょうか。 特殊相対論的量子力学に詳しい方に正していただければ幸いです。
58 サンマヤ 2017/02/28 (火) 10:26:59 ID:hvMAiAvx6w [修正] [削除]
>>55
量子力学の運動量演算子は、解析力学の一般化運動量に対応するので、
定義は、
<tex> P_{i} = \frac{\partial L}{\partial x^{i}} </tex>
なので、変換性は座標と逆です。
したがって、量子力学と古典力学の齟齬はありません。

ちなみに、共変と反変は、厳密に言えば、
接空間で定義されるものと余接空間で定義されるもので、
どちらの物理量がどちらに属するべきかというのは決まっていますし、
たとえば相空間とか不確定性原理で対になるのは、
それぞれに属する物理量どうしじゃないといけない(双対性)、
などありますが、最初はあまり気にしないでいいと思います。
進んで学んでみたければ、位相微分幾何とか微分形式の本を読んでみるといいでしょう。
ただ、具体的なものの理解が十分でないと、ただの抽象論のようにみえて、
その意味(あるいは意図)するところが分からないと思います。
59 駒込ピペット 2017/02/28 (火) 15:20:38 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
それでは学部3年のレベルではあまり深く考えすぎず、反変と共変二つの表示の仕方があるっていう程度でいいですね。
60 kafuka 2017/03/04 (土) 10:24:41 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 11:18 [修正] [削除]
サンマヤさん
ありがとうございます。(亀レスですみません)

一般化運動量の理解に時間がかかりました。

運動エネルギーは
 $p^2/2m=1/2m \  g_{\mu\nu}p^{\mu}p^{\nu}$ 
 $= 1/2m \ p_{\mu}p^{\nu}$ 
で良いでしょうか(μ=νかな)

ディラック方程式ですが、運動量が反変のものもある
ことになるのですか?
 $E/c\ \psi= \alpha(-i \hbar)\partial_{\mu} \psi + \beta mc \psi$ 

 $E/c\ \psi= \alpha g^{\mu\mu}(-i \hbar)\partial_{\mu} \psi + \beta mc \psi$ 
 $\ \ = \alpha (-i \hbar)\partial^{\mu} \psi + \beta mc \psi$ 
61 サンマヤ 2017/03/06 (月) 00:30:25 ID:hvMAiAvx6w [修正] [削除]
>>60
ディラック方程式は、ラグランジアンでもハミルトニアンでもないので、
そのままシュレディンガー方程式といっしょにはできません。
ラグランジアンはスカラーでないといけないので、
共役なディラック場との積の形になります。
詳しくは相対論的量子力学か場の量子論の本をみてください。
それによってディラック場の運動量は共役なディラック場を使った式になります。
「共役」ということは積をつくってスカラーになるので、反変と共変のような対の関係になることが分かると思います。
62 甘泉法師 2017/03/06 (月) 12:26:45 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

 $p^0,p_0$ がエネルギー、 $p^\mu p_\mu=m^2$  西海岸式で。 

ディラック方程式はΨがspinorなのでもうひとひねり。

だろう、と知ったかぶりです。
63 駒込ピペット 2017/03/06 (月) 14:04:42 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
お世話になっております。
相対性理論の反変ベクトル共変ベクトルのページで質問があります。

ax′bx′+ay′by′
=…
={(∂x′/∂x)(∂x/∂x′)+(∂y′/∂x)(∂x/∂y′)}axbx
+…
=(∂x/∂x)axbx +…

ここの式変形がさっぱりわかりません。
なぜこのようになるのでしょうか?
64 甘泉法師 2017/03/06 (月) 16:30:39 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

<tex> dx=\frac{\partial x}{\partial x'}|_{y'}dx' +\frac{\partial x}{\partial y'}|_{x'} dy'</tex>

両辺をy=const.の条件下で xで偏微分すると

<tex> \frac{\partial x}{\partial x}|_y=\frac{\partial x}{\partial x'}|_{y'}\frac{\partial x'}{\partial x}|_y +\frac{\partial x}{\partial y'}|_{x'} \frac{\partial y'}{\partial x}|_y</tex>

左辺は明らかに1

などと存じます。
65 駒込ピペット 2017/03/06 (月) 19:39:32 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>64

なぜxで偏微分するときに(∂x/∂x′)の項を通り抜けるのですか?
66 甘泉法師 2017/03/06 (月) 20:41:16 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

dxは微小量なので、先の「xで偏微分する」は正確なものいいでなく、同じ「微小量dxで割る」ことです。

補足  dx は 線 y=const.上になってます。

微小量で割って意味があるのは微小量だけで、係数 ∂x/∂x′|y' は定数と扱えます。

補足 その場所(x,y) 、別表記だと(x',y')、付近で線 y'=const上を動いたときの凾/凾’の比という場所によりきまる定数です。
67 駒込ピペット 2017/03/06 (月) 22:39:31 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
細かいことはあまりよくわかりませんが、両辺をdxで割ればよいということには納得です!
ありがとうございました。また機会があればよろしくお願いします。

どうも物理の勉強が進んでくると微積などの数学を誤魔化せなければいけなくなることが多くなってきたのですが、(昔は誤魔化してどうにかなってきましたが、進んでくると誤魔化せなくなってきました。)微積などの解析学をしっかり勉強した方がいいのでしょうか?
68 kafuka 2017/03/07 (火) 09:03:48 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 22:08 [修正] [削除]
>>61 >>62
物理量自体が 共変・反変と単純に考えてはダメで
それが成す「数学的な空間?」によるということでしょうか。

ディラック場=spinor場が K−G場=スカラー場 の√になっているのは、わかります。
K−G方程式は、ハミルトニアンのように見えますが、、、
69 甘泉法師 2017/03/07 (火) 12:00:51 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

ランダウリフシッツ 相対論的量子力学
https://archive.org/stream/RelativisticQuantumTheoryPart1/LandauLifshitz-RelativisticQuantumTheoryPart1#page/n79/mode/2up

ボソン スピン1     §14
フェルミオン スピン1/2 §20 21   spinor形式 bispinor形式

で運動方程式をみることができます。 
難しいので日本語でも英語でも拙理解の程度はそうかわりません。
70 駒込ピペット 2017/03/09 (木) 22:18:56 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
いつも大変お世話になっております。
「計量とは何か」のページなのですが

よって行列g(下)ijの逆行列g(上)ijを両辺に掛けてやれば次の式を得るだろう。

とあるのですが、なぜgij(下)の逆行列がgij(上)になるのでしょうか?

なにとぞよろしくお願い致します。

71 甘泉法師 2017/03/09 (木) 22:50:55 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 03/11 (土) 16:58 [修正] [削除]
こんにちは。

<tex>A_\mu=g_{\mu \nu}A^\nu</tex>  について

<tex>A^\mu=g^{\mu \nu}A_\nu=g^{\mu \nu}g_{\nu \rho}A^\rho</tex> が任意のAについて成り立つので

<tex>g^{\mu \nu}g_{\nu \rho}=g^\mu_\rho=\delta^\mu_\rho</tex> です。


追記 もうひととおり

EMAN さんの式 <tex>A_i=g_{ij}A^j</tex>

テンソルの積を行列計算とみなす。両辺左にgの「逆行列」  $g^{ki}$  を かけると

<tex>g^{ki}A_i=g^{ki}g_{ij}A^j=\delta^k_jA^j=A^k</tex>  単位行列をあらわすδはk=jなら1 それ以外はゼロ。

あらためて最左辺と最右辺のkをjに記しなおすと

EMAN さんの式 <tex>g^{ji}A_i=A^j</tex>


72 hirota 2017/03/09 (木) 23:00:17 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>70
定義だから。
73 駒込ピペット 2017/03/11 (土) 16:18:43 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>72
何がどのように定義されているのでしょうか?
74 hirota 2017/03/12 (日) 00:52:36 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
 $g_{ij}$ を要素とする行列 $(g_{ij})$ の逆行列を $(g^{ij})$ と定義されている。
75 kafuka 2017/03/12 (日) 09:53:55 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 22:48 [修正] [削除]
>>71 と同じことですが、縮約を考えないと、、、

計量テンソル $g$ が、ベクトルの反変と共変を入れ替える(添字の上下を入れ替える)ならば、
 $q_{i}=g_{ij}q^{j}$ 
 $q^{j}=g^{ji}q_{i}$ 
この2つをつなげると
 $g^{ji}q_{i}=g^{ji}g_{ij}q^{j}$ 
 $=q^{j}$ 

∴  $g^{ji}g_{ij}=g_{ij}g^{ji}$ =単位行列
逆行列になっていなければならない!
//

上記の書き方は間違いなので、以下に書き直します。
 $q_{i}$ や $q^{i}$ を、 $q^{'}$ 、 $q^{''}$ と書き、
添字を上にする $g^{ij}$ を $g^{''}$ 、添字を下にするのを $g^{'}$ 書くと、
 $q^{'}=g^{'}q^{''}$ 
 $q^{''}=g^{''}q^{'}$ 
この2つをつなげると
 $g^{''}q^{'}=g^{''}g^{'}q^{''}$ 
 $=q^{''}$ 
同様に、
 $q^{'}=g^{'}g^{''}q^{'}$ 

∴  $g^{''}g^{'}=g^{'}g^{''}$ =単位行列
//
76 甘泉法師 2017/03/12 (日) 10:34:51 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 21:04 [修正] [削除]
こんにちは。

>  $g^{ji}q_{i}=g^{ji}g_{ij}q^{j}$ 

残る添え字にも和をとるダミー添え字にも同じjをつかうのは具合がよくないと存じます。 実際

>∴   $g^{ji}g_{ij}=g_{ij}g^{ji}=1$ 

の右辺は数の1で単位行列Eでないし、左辺をそのとおり計算すると  $g^{ji}g_{ij}=g^j_j=4$  になってしまいます。
77 kafuka 2017/03/12 (日) 20:02:49 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 22:49 [修正] [削除]
すいません。全然 気がつきませんでした。

ありがとうございます。勉強になります。
>>75 を書き直しました。
78 駒込ピペット 2017/03/16 (木) 01:58:00 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>71,>>74,>>75
みなさま解答ありがとうございました。
どうにか先に進めそうです。

みなさまのおかげで相対論を独学することができております。
本当にありがとうございます。
79 駒込ピペット 2017/03/23 (木) 19:56:35 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
「運動方程式の変更」http://eman-physics.net/relativity/4force.html
の「4元力の意味」の下の方に

さらに、分母にある固有時が 0 に近付くため、4 元力はそれ以上に大きくなる。

とあるのですが、なぜ相対論的な極限では固有時が0になるのでしょうか?
80 hirota 2017/03/23 (木) 22:28:12 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
図で分かるように光速に近づけば時間はいくらでも引き延ばされる。
http://bbs8.fc2.com//bbs/img/_760500/760479/full/760479_1488364988.gif
つまり光速で時間は止まる。
81 駒込ピペット 2017/03/23 (木) 22:38:38 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
申し訳ないです。理解できないです…
82 甘泉法師 2017/03/24 (金) 10:41:32 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

ニュートン力学の運動量P、力F、時間t

相対論的な運動量p、力f、固有時間τ

として

<tex>p=\gamma P</tex>
<tex>\tau=\frac{1}{\gamma} t</tex> ----*

なので

<tex>f:=\frac{dp}{d \tau}=\gamma^2 \frac{dP}{dt}:=\gamma^2 F</tex>

ニュートン力学の力Fより相対論的な力fは $\gamma^2$ 倍大きい

>なぜ相対論的な極限では固有時が0になるのでしょうか?

*式から

<tex>\frac{\tau}{t}=\frac{1}{\gamma} \rightarrow 0,v\rightarrow c</tex>

この比のことをさしている、と読みました。

(物体の運動速度が光速に近づく)相対論的な極限では(物体の)固有時(間隔と観測系の時間間隔の比)が0になる

と()を補えばより適切と存じます。

83 coJJyMAN 2017/03/25 (土) 04:29:52 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
>なぜ相対論的な極限では固有時が0になるのでしょうか?
固有時 $\tau$ の定義が
 $c^2\tau^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2$ 
なので、
 $\tau=t\sqrt{1-v^2/c^2}$ 
だから。
84 駒込ピペット 2017/03/26 (日) 03:36:24 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>83 回答ありがうございます。

趣味で相対論の本には、固有時の定義は

(dτ)^2=(dw)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2

とあるのですが、単純にdを省いても

τ^2=(c^2)(t^2)-x^2-y^2-z^2

となり、御教授頂いた一本目の式と矛盾してしまうのですがどこがおかしいでしょうか?


85 駒込ピペット 2017/03/26 (日) 03:44:13 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>82

(*)の式はどこからきましたか?
86 甘泉法師 2017/03/26 (日) 05:07:43 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 13:10 [修正] [削除]
こんにちは。

そこより前のEMANさんの記事 http://eman-physics.net/relativity/proper.html

でいかがでしょう。



> τ^2=(c^2)(t^2)-x^2-y^2-z^2

から

<tex>\frac{\tau}{ct}=\sqrt{1-\frac{v^2_x}{c^2}-\frac{v^2_y}{c^2}-\frac{v^2_z}{c^2}}:=\frac{1}{\gamma}</tex>

左辺の分母にcがあるのは、EMANさんは固有時を時間の次元でなく長さの次元の量と定義しているためです。
87 駒込ピペット 2017/03/28 (火) 17:34:54 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>86
なるほど。
ということは、甘泉法師さんの回答では固有時を時間の次元の量と定義しているわけですか?
固有時を時間の次元の量として定義する場合は、どのような定義になるのでしょうか?
88 甘泉法師 2017/03/28 (火) 22:09:44 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

EMANさんの定義と係数c違うだけです。 >>83 と同じです。

89 駒込ピペット 2017/04/02 (日) 07:41:46 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>80,>>83,>>88
回答ありがとうございました。
おかげ様で解決することができました。
90 駒込ピペット 2017/04/28 (金) 18:57:46 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
「相対性理論」の「重力場の方程式の展開」のページで質問があります。
http://eman-physics.net/relativity/ext_g.html
上から3本目の式にリッチスカラーの定義式があると思います。
その式の右側のイコールがなぜそうなるかわからないです。(テンソルが使われているところです。)
よろしくお願いします。
91 甘泉法師 2017/04/28 (金) 22:54:46 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

<tex>R\ \equiv\ R^\mu_{\ \mu}\ =\ g_{\mu\nu} R^{\mu\nu}</tex>

でしょうか。縮約 contraction ですね。

ベクトルの内積をとるのと同じです。 とはしょってしまったのでイメージがわかないときは遠慮なくおしらせください。
92 駒込ピペット 2017/04/28 (金) 23:23:29 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
その式です。右側のイコールが成り立つ式変形(?)の仕方がわからないんです。νでをとるとμが残るのは理解しています。
93 甘泉法師 2017/04/29 (土) 09:03:13 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。
2階反変tensorから混合tensorをつくる
<tex>R^\alpha_{\ \beta}=g_{\beta\nu}R^{\alpha\nu}</tex>
αとβを縮約します。縮約のダミー添字がμです。
94 駒込ピペット 2017/04/29 (土) 22:22:49 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
示して頂いた式だと、左辺の添え字のつき方について、「αが左上、βが右下」となっておりますが、「βが左下、αが右上」とはならないのですか?
95 甘泉法師 2017/04/29 (土) 23:23:24 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

<tex>R_{\beta}^{\ \alpha}=g_{\beta\nu}R^{\nu\alpha}</tex> です。 

なお 対称tensor <tex>g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu},R^{\mu\nu}=R^{\nu\mu}</tex> なので <tex>R_{\ \mu}^{\nu}=R_{\mu}^{\ \nu}\equiv R_{\mu}^{\nu} </tex> です。
96 hirota 2017/04/30 (日) 00:53:08 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>94
 $g_{\beta\nu}R^{\alpha\nu}$ は $R^{\alpha\nu}$ の $\nu$ を $g_{\beta\nu}$ で下げて $\nu$ を $\beta$ に書き換えた物です。
97 駒込ピペット 2017/04/30 (日) 03:15:58 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>95 甘泉法師さん

雰囲気わかりました。
>>93の式と>>95の式を見比べて、なぜそのような違いが生まれるのかいまいちピンときません。右辺Rのαとνの順番を変えてなぜ左辺の添え字のつき方に違いがうまれるのでしょうか?
98 甘泉法師 2017/04/30 (日) 10:16:21 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 16:55 [修正] [削除]
こんにちは。

<tex>R^\alpha_{\ \beta}=g_{\beta\nu}R^{\alpha\nu}</tex>
<tex>R_{\beta}^{\ \alpha}=g_{\beta\nu}R^{\nu\alpha}</tex>

この2階テンソルが1階テンソル(ベクトル)の積である
<tex>R^{\alpha\beta}=E^{\alpha}F^{\beta}</tex>
場合をみる。第一の添え字がEの成分を、第二の添え字がFの成分をあらわす。

>右辺Rのαとνの順番を変えてなぜ左辺の添え字のつき方に違いがうまれるのでしょうか?

EとFのどちらの添え字を下げるのかの違いがうまれます。

<tex>E^{\alpha}F_{\beta}=g_{\beta\nu}E^{\alpha}F^{\nu}</tex>
<tex>E_{\beta} F^{\alpha}=g_{\beta\nu}E^{\nu} F^{\alpha}</tex>

あるいはEの添え字をα、Fの添え字をβと固定するほうがわかりやすければ対は

<tex>E^\alpha F_{\beta}=g_{\beta\nu}E^{\alpha} F^{\nu}</tex>
<tex>E_{\alpha} F^{\beta}=g_{\alpha\nu}E^{\nu} F^{\beta}</tex>
99 駒込ピペット 2017/05/01 (月) 03:05:44 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>98 納得いきました。ありがとうございました。

>>96 hirotaさんもわかりやすい解答ありがとうございました。

助かりました。これで先に進めます。本当にありがとうございました。
100 駒込ピペット 2017/05/15 (月) 01:59:24 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
いつもお世話になっております。
「重力場の方程式の展開」のページで質問があります。
http://eman-physics.net/relativity/ext_g.html

リーマンテンソルの定義式で、テンソルの部分にカンマが打たれていると思うのですが、なぜλとμの間にカンマが打たれているのですか?カンマの有無で何がかわるのでしょうか?

よろしくお願いします。
101 EMAN 2017/05/15 (月) 12:19:25 ID:UKC.BNkKEk [修正] [削除]
定義をじっくり見ていただきますと、

<tex>R^{\kappa}_{\ \lambda, \mu \nu}\ \equiv\ \partial_\mu \Gamma^{\kappa}_{\lambda \nu}\ -\ \partial_\nu \Gamma^{\kappa}_{\lambda \mu}\ +\ \Gamma^{\tau}_{\lambda \nu} \Gamma^{\kappa}_{\tau \mu}\ -\ \Gamma^{\tau}_{\lambda \mu} \Gamma^{\kappa}_{\tau \nu}</tex>

となっていまして、 $\mu$ と $\nu$ が対等な立場にあり対を成していますが、
他の二つはそれぞれ独自の位置を占めていることがお分かりになるかと思います。
そのような役割分担が存在しているという気持ちを軽く表現したものです。
102 hirota 2017/05/15 (月) 12:52:25 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
<tex>R_{pnkj}=g_{pi}{R^i}_{nkj}=\frac{1}{2}\!\left(\!\frac{\partial^2g_{pj}}{\partial x^k\partial x^n}+\frac{\partial^2g_{nk}}{\partial x^j\partial x^p}-\frac{\partial^2g_{nj}}{\partial x^k\partial x^p}-\frac{\partial^2g_{pk}}{\partial x^j\partial x^n}\!\right)\!+g_{mi}({\Gamma^m}_{nk}{\Gamma^i}_{pj}-{\Gamma^m}_{nj}{\Gamma^i}_{pk})</tex>
と書けば全部対等。
103 甘泉法師 2017/05/15 (月) 13:21:25 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。 

「,」を微分の意味に使う本もあります。

例 Dirac "General Theory of Relativity" PDF http://www.geocities.jp/nomonomo2007/ReadingPhysics/Dirac/Dirac_GeneralTheoryRelativity.pdf

P.6 §3
A downstairs suffix preceded by a comma will always denote a derivative in this way.

P.17 §10
The sign : before a lower suffix will always denote a covariant derivative, just as the comma denotes an ordinary derivative.

慣れると便利です。
104 甘泉法師 2017/05/15 (月) 16:19:21 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

>>102 全部対等。

4つの添え字が完全反対称、ということなら独立成分はひとつ  $R_{0123}$  になってしまいませんか。

「要するに、前 2 つの添え字だけ、あるいは後ろ 2 つの添え字だけを入れ替えると符号が変わり、前 2 つのペアと後ろ 2 つのペアをごそっと入れ替えたものは同じ値になるということだ。」
http://eman-physics.net/relativity/riemann.html
105 駒込ピペット 2017/05/16 (火) 00:12:44 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>101 EMANさん、>>102 hirotaさん、>>103,104 甘泉法師さん

わかりました。解答ありがとうございました。
いつもありがとうございます。
106 駒込ピペット 2017/06/18 (日) 00:48:08 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
お世話になっております。

「アインシュタインの解決法」の一番下の「一般相対性原理」の下の方で質問があります。
http://eman-physics.net/relativity/einsolution.html

『そこで、特殊相対論でも登場した座標変換しても形式の変わらない「エネルギー運動量テンソル」をエネルギーの代わりに使うことにしたのである。』

と書いてあるのですが、なぜエネルギー運動量テンソルは座標変換しても形式が変わらないのですか?
(これより前のページにはこんなこと書かれていなかったような気がします…。書かれていたらすいません、その箇所を教えてください。)

107 hirota 2017/06/18 (日) 01:14:22 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
そもそもテンソルというものが座標変換に対する変換規則に従うものなんです。
第2部 テンソル解析 あたりの説明。
108 甘泉法師 2017/06/18 (日) 11:43:19 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 06/19 (月) 23:10 [修正] [削除]
こんにちは。


特殊相対論のエネルギー運動量(密度)tensorは http://eman-physics.net/relativity/ep_tensor.html と http://eman-physics.net/relativity/stress_tensor.html に説明されています。


 なぜニュートンの法則の質量がtensorにかわるのかEMANさんにinspireされて説明に以下トライしてみます。

 ニュートンの万有引力の法則を、クーロンの法則をマクスウェル方程式の第一の式に書き換えた要領で、書き換えると

 <tex>div\ \mathbf{a}=-4\pi G\rho</tex>      ρは質量密度

 電磁場で電荷の運動が磁場を生むように、質量の運動(=運動量)も場に関係しそう。 マクスウェル方程式があと三つあるようにもっと式はふえそう(=tensorの式になる)。

特殊相対論では質量はエネルギー、運動量の関係式であらわせる。

だからテンソルの式になって右辺はエネルギー運動量密度tensorになるのでなかろうか。

<tex>[-div\ \mathbf{a}]=\frac{4\pi G}{c^2}\rho c^2 u^\mu u^{\nu}</tex>  uは4元速度 式は16個 対称なのを引くと 10個。

光のようにρがゼロでもエネルギー、運動量をもつものがあるのでもっと広くは

<tex>[-div\ \mathbf{a}]=\frac{4\pi G}{c^2} T^{\mu\nu}</tex>

<tex>\frac{2}{c^2}[-div\ \mathbf{a}]=\frac{8\pi G}{c^4} T^{\mu\nu}</tex> 両辺の次元は $L^{-2}$ .


とあたりをつけて考察していくと、時空の微分から定義されて左辺に相当するアインシュタインtensor G がみつかり重力の式は

<tex>G^{\mu\nu}=\kappa T^{\mu\nu}</tex>
<tex>\kappa=\frac{8\pi G}{c^4}</tex> アインシュタインの重力定数

追記 6/19 係数を修正
109 KM 2017/06/18 (日) 17:32:26 ID:W0I1QmWnLw [修正] [削除]
>>106 はじめまして。ボケのKMです。
>座標変換
私は反対に考えることにしました。つまり『世界時間の2乗』を不変にするために『ローレンツ変換式(座標変換)』が立てられた・・・と同様に『エネルギー・運動量テンソル』を成り立たせるために『ローレンツ変換式』が立てられた。

>「エネルギー運動量テンソル」をエネルギーの代わりに使うことにしたのである。つまり、ローレンツ変換をずらす原因は「エネルギー運動量テンソル」であると!
これは『等価原理』『リーマン幾何学』『測地線』に関係あるんじゃないかと思いますが・・・。
もし、駒込ピペットさんが書籍『趣味で相対論』をお持ちではないなら、当該ページを私の「FTPサーバー」にアップロードして置きましたのでご参考下さい(趣味で相対論。P.180〜182)。←すなわち、サイト( http://eman-physics.net/relativity/einsolution.html )と書籍は内容が違う(書籍の方が詳しい)

http://koshiro56.la.coocan.jp/files/General_theory_of_relativity_1.jpg ただし、2.4MB
http://koshiro56.la.coocan.jp/files/General_theory_of_relativity_2.jpg ただし、1.8MB
110 駒込ピペット 2017/06/19 (月) 02:40:38 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>107 hirota さん

「座標変換に対する変換規則に従う」ということは「座標変換しても形式の変わらない」ということになるのですか?いまいちつながりません…。
111 駒込ピペット 2017/06/19 (月) 03:34:11 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>108 甘泉法師さん

提示して頂いたURLの記事、目を通しましたが、「エネルギー運動量テンソルは座標変換しても形式が変わらない」という旨のことは読み取れませんでした…。(もちろん書籍を持っておりますのでそちらでも確認済みです。)
112 甘泉法師 2017/06/19 (月) 07:35:13 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

エネルギー運動量密度tensorは http://eman-physics.net/relativity/stress_tensor.html の(1)式でわかるように
4元速度でできていて、4元速度は

4元速度 http://eman-physics.net/relativity/4velocity.html
「今は 4 元速度を作ったが、同じように 4 元運動量も作れるし、4 元加速度も作れるし、4 元力も作れる。みんな不変量に出来る。では、不変量同士を組み合わせて何か意味のある公式を作ってやったらどうだろうか?それはローレンツ変換しても変わらない公式になる!つまり、宇宙のどこででも使える法則を作ることが出来るのだ。」

よって(1)式は「ローレンツ変換しても変わらない公式」につかえるものになります。
113 hirota 2017/06/19 (月) 12:56:08 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
>>110
ベクトルやテンソルで書いた式は各項が同じ座標変換に従うなら形式は変わりません。
114 KM 2017/06/19 (月) 13:38:43 ID:W0I1QmWnLw [修正] [削除]
>>111 
>もちろん書籍を持っておりますのでそちらでも確認済みです
私も随分昔に『趣味で相対論』を読んだので内容を忘れました・・・もう1度読まなければならない

EMAN さんの本に
「飛び降り=座標変換」ではない
(中略)
先ほど接続係数を0にできるのは1点のみだという話をしたが、この場合、接続係数を線に沿ってずっと0にすることのできる座標系をうまく見出したことになるのであろうか(181ページ下から10行目)」
と書いてあります。ここではローレンツ変換による座標変換ではなくて『一般座標変換に対して不変な共変形式』を意識しなければならないのではないでしょうか。ただし、私、接続係数0の意味を忘れてしまいました(汗;;

【一応参考として】
「ベクトルの平行移動
特殊相対論でローレンツ変換に対して不変な方程式の形式を「共変形式」とよんだが、同様に一般座標変換に対して不変な形式も共変形式と呼ぶことにする。
(中略。ココで大幅に省略しますので分かりにくいと思います)
空間がユークリッド空間であるときには平行移動は厳密に定義されており、比例係数  $\mathit{\Gamma} ^k\ _ij(x)$  は用いた曲線座標系から決まる量である。そしてその曲線座標系から直線座標系である  $x'$  系に座標変換すれば、その座標系では当然この比例係数はゼロのはずである。

 $\mathit{\Gamma'} \ ^k\ _ij(x') = 0 $ 

(相対性理論 (岩波基礎物理シリーズ (9)) 佐藤勝彦著 71、73ページより)

【以下 私の下手な作文です。無視されて構いません】

私も自由落下の思考実験を致しました(以下科学的意味を為せばいいですが・・・)。私は高さ1万メートルのビルから飛び降ります。私は空中で私の時計を懐から取り出し私の前に《浮かべます》。私と私の時計は地球の中心に向かって落っこちているので両者は互いに次第に接近しつつあるのか(?)。そして、ふと見ると、重さ1000トンの物体が私と私の時計の『間』をゆっくりと横切って行きます。私と私の時計はその物体の引力によって引き寄せられ瞬時にその物体と合体するのか(?)あるいは私と私の時計はゆっくりとその物体に引き寄せられるのか(?)。先ほど私は私と私の時計は地球の中心に向かって落っこちているので両者は互いに引き寄せられているのかも知れないと書きましたが、いまはこの重さ1000トンの物体の出現によって(さらに)私と私の時計は互いに引き寄せられることを付け加えなければならないのか(?)。ところで私は私の前に《浮いている》時計の文字盤を読むことが出来ます。したがってその時計が発する光を私の視覚は捉えることが出来ます。光は球面波なので速度  $c$  で私に近づき私の視覚に捉えられます。しかし地上から観測している人はこの時計から発せられた光に、光のドップラー効果を観測するのか(?)。以上簡単化された自由落下の様子を思い浮かべただけでも時空がくねくねしていることが分かります。それはまるで糸こんにゃくの様にぐにゃぐにゃした座標軸からなる4次元時空です(ただし座標軸は互いに交わらない)。そのように、ぐにゃぐにゃした座標。それを記述するのを得意とする数学がリーマン幾何学であることを、私は『中村純著 物理とテンソル』を読んで知りました。また計量については『ダニエル・フライシュ著 物理のためのベクトルとテンソル』には次のような記述があります:「計量が与えられた空間のことをリーマン空間と呼びます(同書 P.160 より」
115 駒込ピペット 2017/06/19 (月) 18:03:07 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>109 KMさん
ご丁寧にありがとうございます。そういうとらえ方もあるんですね!示して頂いたページは前からコツコツと読み進めて参ります。
116 駒込ピペット 2017/06/19 (月) 21:13:18 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>113 hirotaさん 
なんとなくですが理解できました。
ありがとうございます。
117 駒込ピペット 2017/06/19 (月) 22:29:10 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>112 甘泉法師さん

「だからと言って、ただ単純に不変量を組み合わせただけでローレンツ不変の公式になると考えてはならない。」
と書いてあるのですが。いかがでしょうか?
118 甘泉法師 2017/06/19 (月) 22:47:46 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

「その議論は後からするつもりだ。」との後の議論が

テンソル解析 http://eman-physics.net/relativity/tensor.html

です。 「このように、テンソル量というのはベクトルを組み合わせて簡単に作ることが出来て、意外に身近なものであることが分かるだろう。しかしテンソル量が全てベクトルの組み合わせで出来ているものだと思ってはいけない。」

4元速度の「積」の組み合わせが2階テンソル(エネルギー運動量密度テンソル)であることが説明されています。
119 駒込ピペット 2017/06/20 (火) 01:00:31 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>118 甘泉法師さん

テンソルだから座標変換しても形式がかわらないということでしょうか?
120 甘泉法師 2017/06/20 (火) 17:41:27 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

座標変換によるtensorの変換の具合はその章に説明あるとおりです。

>>108 2 に書いたように 座標変換で変わらないでほしいのは法則の式で、式がかわらないためにはテンソルでの記述を探ろう というのがEMANさんの趣旨と解釈しています。



> そこで、特殊相対論でも登場した座標変換しても形式の変わらない「エネルギー運動量テンソル」をエネルギーの代わりに使うことにしたのである。

(解釈)そこで、特殊相対論でも登場した「エネルギー運動量テンソル」をエネルギーの代わりに使い、法則の式を座標変換しても形式の変わらないようにすることにしたのである。
121 KM 2017/06/21 (水) 01:14:31 ID:W0I1QmWnLw 修正アリ: 12:31 [修正] [削除]
話は変わりますが、
ミンコフスキー時空において、
縦軸を $ct$ とすると横軸は $x$  ( $ct$ と $x$ の次元は長さ)その場合、
(c× 固有時間)の二乗= $(\D c\tau )^2 = (\D ct)^2-(\D x^2 + \D y^2 + \D z^2)$ 
縦軸を $t$ とすると横軸は <tex>x / c</tex><tex>t</tex><tex>x / c</tex>の次元は時間)その場合、
(固有時間)の二乗= $=(\D \tau )^2 = (\D t)^2-(1/c^2) (\D x^2 + \D y^2 + \D z^2)$ になるんじゃないかと思うんですが、ここまでは間違いないでしょうか?

したがって、4元速度の成分は、

<tex>u^0=\frac{\D ct}{\D \tau}=\frac{c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\u^1=\frac{\D x}{\D \tau}=\frac{\D x}{\D t} \frac{\D t}{\D \tau}=\frac{v_x}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\u^2=\frac{v_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\u^3=\frac{v_z}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\</tex>

<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma c,\ \gamma v_x,\ \gamma v_y,\  \gamma v_z)</tex>

になるんじゃないかと思うんですが、ここまでは間違いないでしょうか?

そうすると「エネルギー運動量テンソル」は、

 $T^{\mu \nu} = \rho c^2 \left(\begin{array}{cccc}u^0u^0 & u^0u^1 & u^0u^2 & u^0u^3\\u^1u^0 & u^1u^1 & u^1u^2 & u^1u^3\\u^2u^0 & u^2u^1 & u^2u^2 & u^2u^3\\u^3u^0 & u^3u^1 & u^3u^2 & u^3u^3\end{array}\right)$ 

ではなくて、

 $T^{\mu \nu} = \rho c \left(\begin{array}{cccc}u^0u^0 & u^0u^1 & u^0u^2 & u^0u^3\\u^1u^0 & u^1u^1 & u^1u^2 & u^1u^3\\u^2u^0 & u^2u^1 & u^2u^2 & u^2u^3\\u^3u^0 & u^3u^1 & u^3u^2 & u^3u^3\end{array}\right)$ 

になるんじゃないかと思うのですが、いかがでしょうか?

【追加】

分かりにくかったかと思うので追加します。EMAN さんの流儀は、
<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma,\ \gamma \frac{v_x}{c},\ \gamma \frac{v_y}{c},\ \gamma \frac{v_z}{c})</tex>
(趣味で相対論 P.35)

私が見た教科書『中野薫夫著 相対性理論 P.131』は、
<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma c,\ \gamma v_x,\ \gamma v_y,\  \gamma v_z)</tex>
要は、その違いにこだわったということだけです。
122 甘泉法師 2017/06/21 (水) 17:01:49 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

ならば

<tex>T^{\mu \nu} = \rho \left(\begin{array}{cccc}u^0u^0 & u^0u^1 & u^0u^2 & u^0u^3\\u^1u^0 & u^1u^1 & u^1u^2 & u^1u^3\\u^2u^0 & u^2u^1 & u^2u^2 & u^2u^3\\u^3u^0 & u^3u^1 & u^3u^2 & u^3u^3\end{array}\right)</tex>

でしょう。 uの積なので。
123 KM 2017/06/21 (水) 19:59:49 ID:W0I1QmWnLw [修正] [削除]
>>122 あっそうか。では検算させて頂きます。

<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma c,\ \gamma v_x,\ \gamma v_y,\  \gamma v_z)</tex>

エネルギー密度:<tex>\varepsilon = \gamma^2 \rho c^2 = u^0 u^0 \rho</tex>
運動量密度  :<tex>\pi_x = \gamma^2 \rho v_x = u^0 u^1 \rho/c</tex>
       :<tex>\pi_y = \gamma^2 \rho v_y = u^0 u^2 \rho/c</tex>
       :<tex>\pi_z = \gamma^2 \rho v_z = u^0 u^3 \rho/c</tex> 

<tex>T^{\mu \nu} = \rho \left(\begin{array}{cccc}u^0u^0 & u^0u^1 & u^0u^2 & u^0u^3\\u^1u^0 & u^1u^1 & u^1u^2 & u^1u^3\\u^2u^0 & u^2u^1 & u^2u^2 & u^2u^3\\u^3u^0 & u^3u^1 & u^3u^2 & u^3u^3\end{array}\right)</tex> 

なんだか変になりましたが間違いないですか?
・・・というか、面白くないお話ですね、これは。
124 KM 2017/06/21 (水) 22:02:56 ID:W0I1QmWnLw [修正] [削除]
>>123 しつこいですが自問自答。使い道が一つありました。
>「エネルギー運動量テンソル」
なぜ  $E=mc^2$ になるのと聞かれればこれを説明すればいい。
125 駒込ピペット 2017/06/22 (木) 00:31:45 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>120 甘泉法師さん
なんとなくですがようやく理解にたどりつきました。ありがとうございました。
126 駒込ピペット 2017/06/23 (金) 00:18:16 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
「質量は錯覚だ」
http://eman-physics.net/relativity/illusion.html
の最初の「重力の理由」のところに
「相対性理論では重力によって運動が変化する仕組みを説明するのに、二つの物体の間で「運動量の交換」が行われるといった概念を使っていないわけだ。相対性理論と量子力学を統一する上で面倒なことになっている原因の一つはここにある。 」
とあるのですが全く意味がわかりません。「運動量の交換」ってなんですか?具体例とか入れて説明して頂けるとありがたいです。
127 甘泉法師 2017/06/23 (金) 08:52:46 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

EMANさん http://eman-physics.net/ 上部にあるサイトのWeb検索で 運動量の交換 を探すと関連記事で勉強できると存じます。
128 KM 2017/06/24 (土) 01:34:34 ID:W0I1QmWnLw [修正] [削除]
<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma,\ \gamma \frac{v_x}{c},\ \gamma \frac{v_y}{c},\ \gamma \frac{v_z}{c})</tex>の場合は $T^{\mu \nu} = \rho c^2 \left(\begin{array}{cccc}u^0u^0 & u^0u^1 & u^0u^2 & u^0u^3\\u^1u^0 & u^1u^1 & u^1u^2 & u^1u^3\\u^2u^0 & u^2u^1 & u^2u^2 & u^2u^3\\u^3u^0 & u^3u^1 & u^3u^2 & u^3u^3\end{array}\right)$ 

<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma c,\ \gamma v_x,\ \gamma v_y,\ \gamma v_z)</tex> の場合は<tex>T^{\mu \nu} = \rho \left(\begin{array}{cccc}u^0u^0 & u^0u^1 & u^0u^2 & u^0u^3\\u^1u^0 & u^1u^1 & u^1u^2 & u^1u^3\\u^2u^0 & u^2u^1 & u^2u^2 & u^2u^3\\u^3u^0 & u^3u^1 & u^3u^2 & u^3u^3\end{array}\right)</tex>として。

>>124 やっぱり「エネルギー運動量テンソル」は気楽なもんじゃなかった(以下計算メモより)

<tex>\left\{ \begin{array}{cl}u^0 = \gamma \\[12pt]u^1 = \gamma \displaystyle \frac{v_x}{c}\end{array}\right.</tex> の場合 (1)

<tex>u^0 u^0 \rho c^2 = \gamma^2 \rho c^2 = \varepsilon\\u^0 u^1 \rho c^2 = \gamma^2 \frac{v_x}{c} \rho c^2=\gamma^2 \rho v_x c=c \pi_x</tex> ← よく見ると $\pi_x$  じゃないし・・・

<tex>\left\{ \begin{array}{cl}u^0 = \gamma c\\[12pt]u^1 = \gamma v_x\end{array}\right.</tex> の場合(2)

<tex>u^0 u^0 \rho= \gamma^2 \rho c^2 = \varepsilon\\u^0 u^1 \rho = \gamma^2 c v_x \rho = \gamma^2 \rho v_x c = c \pi_x</tex>← 同上。

<tex>u^1 = \gamma \displaystyle \frac{v_x}{c}</tex> の場合(1)'
<tex>\rho c^2 u^1 u^1 = \rho c^2 \gamma^2 \left( \frac{v_x}{c} \right)^2 = \rho \gamma^2 (v_x)^2</tex> ←せっかく $c^2$ があったのに $c^2$ が消えてまう・・・何故(?)

<tex>u^1 = \gamma v_x</tex> の場合(2)'
<tex>\rho u^1 u^1 = \rho \gamma^2 (v_x)^2</tex> ←同上。

以上、計算間違いがないなら、いままでの考察( >>121 以降)、 および、(1), (1)', (2), (2)' から <tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma,\ \gamma \frac{v_x}{c},\ \gamma \frac{v_y}{c},\ \gamma \frac{v_z}{c})</tex> であっても<tex>(u^0,\ u^1,\ u^2,\ u^3)=(\gamma c,\ \gamma v_x,\ \gamma v_y,\ \gamma v_z)</tex> であっても下記「エネルギー運動量テンソル」が導かれると思う(ただし、なんとなく(汗;;

 $T^{\mu \nu} = \left(\begin{array}{cccc}\varepsilon & c\pi_x \ & c\pi_{y} & c\pi_{z}\\c\pi_x & \rho c^2 u^1u^1 & \rho c^2 u^1u^2 & \rho c^2 u^1u^3\\c\pi_{y} & \rho c^2 u^2u^1 & \rho c^2 u^2u^2 & \rho c^2 u^2u^3\\c\pi_{z} & \rho c^2 u^3u^1 & \rho c^2 u^3u^2 & \rho c^2 u^3u^3\end{array}\right)$ 

要点は、

1. 右下の9成分が応力テンソルであることを、いずれ、アインシュタイン方程式の右辺を理解する時に思い出さなければならないだろうこと。

2. 「エネルギー運動量テンソル」の第0、1行目が、応力テンソル(9成分)と絡みながら、 $\partial_{\nu} T^{\mu \nu}=0$  すなわちエネルギーおよび運動量の保存を担保している意味をもアインシュタイン方程式の右辺を理解する時、必ず思い出しその意味を理解しなければならないということだと思います。「エネルギー運動量テンソル」は(EMAN さんのいう情報量すかすかのメモ帳とはいえ)深くて面白く巧妙なテンソルだと思いました(汗;;
長文失礼しました。あ〜疲れた。
129 駒込ピペット 2017/06/24 (土) 05:14:25 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>127 甘泉法師さん
ありがとうございます。
解決できました。
130 駒込ピペット 2017/06/26 (月) 20:18:11 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
「質量は錯覚だ」
http://eman-physics.net/relativity/illusion.html
の一番最後に「では一般相対性理論でいうところの質量とは何かといえば、単に物体が静止しているときのエネルギーを表すだけの数値に過ぎないことになる。」とあるのですが、
E=mc^2
ではないのですか?c^2はどこいったのですか?
131 甘泉法師 2017/06/26 (月) 22:40:20 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

「では一般相対性理論でいうところの質量とは何かといえば、単に物体が静止しているときのエネルギー【を定数c^2で割った値】を表すだけの数値に過ぎないことになる。」

と【 】を補って理解してはどうでしょう。
132 hirota 2017/06/26 (月) 23:49:49 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
cは時間と距離の単位を別々に定義したために生じた換算定数に過ぎないから
c=1としても差し支えない。
133 駒込ピペット 2017/06/27 (火) 05:02:02 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>131 甘泉法師さん
勝ってに【 】を補ってしまっていいのでしょうか?
134 駒込ピペット 2017/06/27 (火) 05:03:43 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>132 hirotaさん
その話もう少し補足して頂けますでしょうか?
135 不識庵 2017/06/27 (火) 07:48:11 ID:Zwp4rt4wek 修正アリ: 20:37 [修正] [削除]
>>130

物理量Eが、既知の定数c^2を比例係数として、物理量mに比例する事が分かっているのでしたら、mがEを表していると言っても良いような気はします。
(換算は簡単に出来るため。)

以下、蛇足ながら、
抵抗が同じなら、「流れる電流は印加された電圧を表す」と言って良い気もします。
(電圧計の動作原理)

時間が同じなら、「進んだ距離は速さを表す」と言って良い気もします。
(1秒間に3億m進む光は、同じ1秒間に340m進む音より速い。)

針の動きが重さに比例する事が分かっているのであれば、「針の動きは重さを表す」と言って良い気もします。
136 甘泉法師 2017/06/27 (火) 07:51:12 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 13:58 [修正] [削除]
こんにちは。

こういうたとえはどうでしょう。

昔はカセットテープがよく録音につかわれていて 「60分テープ」「120分テープ」など呼びれるものがありました。
テープという物質を時間で規定しているのはおかしいのですが
【決まった一定の送り速度で】120分【の時間録音できるだけの長さの】テープ
と補って理解していました。

ほかには「30ミリの雨」とか。もっといくらでもありそうです。 
換算の具合の約束が共有されていればこういうヘンな単位も使うことが許される。

のでないでしょうか。

追記 ヘンな単位の符丁の例追加

長さ1年 = 9 460 730 472 580 800 m (一光年)
時間30cm = 1 nS ナノ秒
エネルギー 1mg = 90 G Joule ギガジュール  1GWの発電所が90秒間に放出する電気エネルギー
137 ひゃま 2017/06/27 (火) 08:51:52 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 22:49 [修正] [削除]
>「質量は錯覚だ」

たぶん、EMANさんは相対論を勉強する上で割り切れっていう意味でその表現を使ったんでしょう。

この質量(質点)っていうのは場分けしたエネルギーの運動方程式を成立させる相補的な役割があるので、隠れた変数を提示しないでそこまで言いきるのは、言いすぎなような気がします。

光速度基準に変更しても、プランク定数h/光速度cが不変ならば、長さλを質量mに換算してもいい。

むしろ相対論は光速という波を基準にして、量子論的な相対性原理を取らないで古典スタートからなのか?
の理由として、ひゃまはプランクが自ら提唱した定数を古典に帰着させたかったから、としか考えられません。
それを100年以上も経過してるのに相対論なら相対論に限定した話をしろって未だになぜいうのかが、解りません・・・

ってお話から入らないと、幾ら勉強しても紫外発散のような問題に最後行き詰るみたいな、納得させる説明にならないのではないでしょうか?

体系的に勉強していくのは大切ですが、なぜその体系をとるのかはもっと重要な気がします。
138 ひゃま 2017/06/29 (木) 11:15:39 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 23:58 [修正] [削除]
あまり関係ないかもしれないけど、

ブランクの実在論、決定論と物理学的世界像(二)
http://shark.lib.kagawa-u.ac.jp/kuir/detail/371720120327035236

なんでプランクが自ら提唱した定数を、時空の連続性に結び付けないで、極限で古典に戻そうしたのか疑問だったんですけど、やっぱアインシュタインとプランクは決定論で結びついてたんだなあというのがよく分かりました。

でもニュートン力学も決定論的だっていうのは後付けでいってることで、決定論でもないんですよね。
そっか相対論は一貫して決定論だから座標ありきで、密度とか波動性を点粒子とか粒子性につなげる質量も錯覚なんですね。

そうすると相対論的場の量子論ってなにやってるんだろう、決定論的場の量子論? そりゃ合う訳ないよね。
だからミクロとかマクロ、古典力学とか量子力学っていう分類は後付けでいってることで、決定論か非決定論なのかっていう物理学的世界像の違いなんでしょう。
139 駒込ピペット 2017/06/30 (金) 22:56:06 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>135 不識庵さん
納得いきました。わかりやすい具体例ありがとうございます。
140 駒込ピペット 2017/06/30 (金) 23:03:10 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>136 甘泉法師さん

確かに…。共有されていれば省略がされることはよくあるし、身近ということですね。納得です。解答ありがとうございました。
141 駒込ピペット 2017/06/30 (金) 23:25:32 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>137,138 ひゃまさん
ううむ…。難しく、奥が深いですね。
歴史的な発展を考察することも非常に勉強になりそうですね。
精進致します。
142 ひゃま 2017/07/01 (土) 05:43:35 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 08:23 [修正] [削除]
ちょっときになったところがあったんですが、

しかし残念ながらそのような表現は正確ではない。運動エネルギーを含む全エネルギーを質量に換算した値は「相対論的質量」と呼ばれ、かつては広く用いられていた概念であった。
http://eman-physics.net/relativity/illusion.html

たしかに相対論的質量と等価原理は相容れなさそうに考えられてきたけど、

一般相対性理論成立の歴史上、等価原理 (equivalence principle) はスタートポイントとして考えられたが、数学的に重要であるのは、一般相対性原理(一般共変性の仮定と局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定)である。
・・・
非相対論的極限でニュートンの重力理論に収束することから、右辺の比例係数 κ (アインシュタインの定数)は、
{\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}} \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}
となる。G は万有引力定数、 c は光速である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96

だから質量は錯覚というより、静止スケールでニュートン力学に収束するって表現が正しいかも
143 KM 2017/07/02 (日) 02:15:48 ID:W0I1QmWnLw [修正] [削除]
寂しがり屋のKMです
これは以前から思っていたのですが、現在の理論物理学が抱えている「宇宙の謎」や「素粒子の謎」を解決する発想やアイデアは、必ずしもアカデミー(大学等の研究機関)に属する人だけではなく、このサイトに集うみなさんのような若い人、ユニークな考えを持つ人が、それらの謎を解き明かしてくれるのではないかと期待しています。僭越ながら、私、皆さんを応援致しております。そして成功をお祈りしています。be ambitious!

P. S. ところで地震怖い!
144 ひゃま 2017/07/03 (月) 05:00:56 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 07:12 [修正] [削除]
あと、量子論的にいえば慣性質量と長さの不確定性関係があるから

h/c=mI・λ(古典から光量子の運動量は、p=h・f/c=mI・f・λ)

量子の質量と運動は一体化して、エネルギーの閉じ込めやローレンツ収縮するので、KG方程式のように決定論的に静止質量があって運動するという風に先に2項に分けれないと考えられるのね。

湯川の中間子論もKG方程式かエネルギーと時間の不確定性関係からかって議論はあるのだけど同じことで必然性はなく、閉じ込めが先か繰り込みが先かっていえば、エネルギーの閉じ込めが先にあるべきなの

湯川は実際には、中間子論第1論文の3章 (12) 式の上にある「運動量とエネルギーの量子力学的表現」をクライン・ゴルドン方程式 (3) へ代入するという方法を使っています。
http://wiki.yukawa100.org/index.php?%C3%E6%B4%D6%BB%D2%BC%C1%CE%CC%A4%CE%BF%E4%C4%EA#a59d7600

だからニュートン力学の静止座標や質量により決定論的に扱えるというのと、先になにがなんでも決定論っていうのは別ですね。
145 ひゃま 2017/07/03 (月) 08:55:45 ID:3lIzcPo45k 修正アリ: 14:58 [修正] [削除]
>必ずしもアカデミー(大学等の研究機関)に属する人だけではなく、このサイトに集うみなさんのような若い人、ユニークな考えを持つ人が、それらの謎を解き明かしてくれるのではないかと期待しています。

そうですよね、都議会といっしょで政治はプロに任せとけっていうのは、流行らないですよね、趣味で物理やってる人たちだってしがらみがない分、バランスが取れているかチェックする能力も権利もあるはず

趣味で物理ファーストの会員よりw

ところでアインシュタインの決定論にはプランクの影響がかなりあったのでしょうか? ジーニアスってドラマみてるとかなり攣るんでいたようにみえたので
146 駒込ピペット 2017/07/22 (土) 11:00:34 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
お世話になっております。
ここのhttp://eman-physics.net/relativity/co_dif.html
「共変微分」の真ん中ら辺の式変形で、2行目から3行目に変形するとき
なぜ第2項目の
(∂X/∂x)(∂A/∂x)
がなくなっているのでしょうか?
自分的には0にならなないと思うのですが。
147 hirota 2017/07/22 (土) 11:36:13 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
Aが全空間で一定としてるから。
148 駒込ピペット 2017/07/30 (日) 22:39:47 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>147 hirotaさん
そんな簡単なことにも気がつきませんでした…。
愚問への対応本当にありがとうございました。
149 駒込ピペット 2017/07/31 (月) 01:53:37 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
http://eman-physics.net/relativity/co_dif.html
の「共変微分の別定義」の項の(1)式の真上の
計量の変換式はどこから出てきましたか?
定義式ですか?

何卒宜しくお願い致します。
150 hirota 2017/07/31 (月) 03:09:13 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
「テンソル解析」の所で説明されてる座標変換の規則。
151 駒込ピペット 2017/08/04 (金) 01:35:11 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>150 hirotaさん
デカルト座標系の計量が、gにバーがついたものになっているのはこのようにこの本では定義したってことでしょうか?(それが物理学の慣習なのでしょうか?)
152 駒込ピペット 2017/08/12 (土) 13:06:27 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
いつも大変お世話になっております。
http://eman-physics.net/relativity/co_dif.html
の「クリストッフェル記号の性質」の項で ”ミンコフスキー座標”
という言葉が出てきているのですが定義がわからず困っております。
他の書籍やネットで調べてもわかりませんでした。
どなたか教えて頂けると助かります。よろしくお願い致します。
153 甘泉法師 2017/08/12 (土) 13:49:57 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

http://eman-physics.net/relativity/stress_tensor.html のミンコフスキー計量をつかって
<tex>ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu</tex>
が不変であるような  $dx^\mu=(cdt,dx,dy,dz)$  
特殊相対論の一様運動なら
dを除けて原点あわせをすれば
  $x^\mu=(ct,x,y,z),x_\mu=(-ct,x,y,z) $  のことでしょう。ローレンツ変換でほかの系にうつれば
  $x'^\mu=(ct',x',y',z'),x_\mu=(-ct',x',y',z') $ 
さらに4元速度や4元運動量などローレンツ変換に従う特殊相対論の4元vector全般に広げて考えられます。
154 kafuka 2017/08/12 (土) 22:49:06 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 08/13 (日) 09:54 [修正] [削除]
<tex>ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu</tex>
において、
 $\eta_{\mu\nu}=Diag(1,1,1,1)$ が、ユークリッド計量テンソルで
その空間が、4次元ユークリッド空間

 $\eta_{\mu\nu}=Diag(-1,1,1,1)$ が、ミンコフスキー計量テンソルで
その空間が、ミンコフスキー空間

なんですが、内積には常に、計量テンソルが掛かると考えた方が
一般性があってよいと思います。
つまり、 $ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ を「内積」と考えれば、
ユークリッド空間は、普通の回転に対し標準内積が保存され、
ミンコフスキー空間は、虚数角度の回転に対しミンコフスキー内積が保存され、
計量テンソルを添え字の上げ下げだけでなく「複素共役にもする」と仮定すると
ヒルベルト空間は、ユニタリー変換に対しエルミート内積が保存され 
って具合です。
155 駒込ピペット 2017/08/16 (水) 17:09:33 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>153 甘泉法師さん
レスポンスありがとうございます。

「が不変であるような」とあるのですが、それは"座標変換に対して不変”ということではなく、"常にds^2が不変である"ような4次元空間dx^μが「ミンコフスキー座標」ということでしょうか?
156 甘泉法師 2017/08/17 (木) 22:34:23 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
こんにちは。

座標変換に対し不変であるよう、座標変換のかたち(=ローレンツ変換)がきまります。

ds^2はローレンツ変換で不変です。 

わたしにはdx^μを「ミンコフスキー座標」と呼ぶのはなじみがありませんが、文脈からEMANさんの指しているもの(に属する)と思量します。

157 駒込ピペット 2017/08/20 (日) 23:49:07 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>156 甘泉法師さん
それでは>>153の「不変である」は”ローレンツ変換に対して不変”という解釈でよろしいでしょうか?ローレンツ変換以外の変換は考慮していないということですか?
158 甘泉法師 2017/08/21 (月) 00:05:33 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 08/22 (火) 01:57 [修正] [削除]
こんにちは。

そうですね。 一般相対性理論で扱うような計量が定数ではない場合はあてはまりません。 ローレンツ群、大域慣性系の座標が対象です。
159 駒込ピペット 2017/08/21 (月) 21:16:44 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>158 甘泉法師さん
解答ありがとうございました。理解できました。修正までして頂き恐縮です。


>>154 kafukaさん
解答ありがとうございました。後半部分は私の学力では理解できませんでしたが、前半部分はとてもすっきりして、新たな理解も得られました。またもし機会があれば何卒よろしくお願い致します。
160 駒込ピペット 2017/09/13 (水) 06:55:04 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
http://eman-physics.net/relativity/co_dif.html
の「クリストッフェル記号の性質」のところで
Xに関してはi,j,kを入れ替えると同時にl,m,nを入れ替えていますが、
Yの部分ではなぜi,j,kしか入れ替えないのでしょうか?
何卒よろしくお願い致します。
161 selpo 2017/09/13 (水) 11:41:39 ID:97TqmlNuts [修正] [削除]
>>160
 $X$ では $l,m,n$ について,  $Y$ では $m,n$ について縮約をとっているので, 入れ替えても入れ替えなくても大丈夫です.
計算の都合で好きにしてよいです.
また,  $Y$ の方では $g_{mn}$ の形で現れていますが, 計量は対称テンソルなので, 入れ替えても何も起こりません.
162 駒込ピペット 2017/09/14 (木) 06:10:40 ID:uTQPuSA6Vc [修正] [削除]
>>161 selpoさん
なるほど!
非常にわかりやすく簡潔な説明ありがとうございました。
助かります。





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