1 cqf02343 2012/08/21 (火) 18:27:06 ID:RFN52OFMzc [修正] [削除]
投げられた石の軌跡は放物線。
水面の2か所を叩き続けたときの干渉縞は双曲線。
電線が垂れ下がっている曲線は懸垂線。

自然法則により生成される曲線は他にどんな曲線
があるだろうか?

取り敢えず投稿場所を確保しました。
皆さんもご存知の曲線を投稿してみて下さい。

初回、私は静かに流れ落ち水道曲線から始めます。
2 染谷一裕 2012/08/23 (木) 15:21:00 ID:s2w2LgqIQE [修正] [削除]
サイクロイドという曲線もありますね。

茶筒の上の1点に印を付けて平面を転がしたときにその点が描く曲線です。
3 coJJyMAN 2012/08/23 (木) 16:39:31 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
エラスティカ:

棒の下端を垂直に固定し、上端におもりを付けて(上端が)「水平に」なるように曲げた時の棒の形です。
<tex>dy= \frac{x ^{2} dx}{ \sqrt{a ^{4} -x ^{4} } } </tex>
4 cqf02343 2012/08/25 (土) 02:00:17 ID:EXzkncgjcM [修正] [削除]
今晩は。

> dy/dx = x^2/(a^4-x^4)

は積分できて

 y = (1/4a)・[ -2Atan(x/a) + Log{(x+a)/(x-a)}] + const

となります。



ところで

> dy/dx = x^2/(a^4-x^4)

を導く過程を教えてくれませんか。
5 coJJyMAN 2012/08/25 (土) 02:59:10 ID:JYV.OZw18Y 修正アリ: 04:09 [修正] [削除]
こんばんは。
> dy/dx = x^2/(a^4-x^4)
いや、分母のルートが抜けてますよ。
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=x%5E2%2F%28a%5E4-x%5E4%29%5E%281%2F2%29&random=false
となるらしいです。 楕円関数が出てきますね。

>を導く過程を教えてくれませんか。
申し訳ない。今から勉強します。m(_._)m
(追記)
棒が曲がっているとき、ひずみエネルギーの合計が最小になる形状に落ち着くわけですが、棒の各部分のひずみエネルギーは曲げ応力の2乗に比例します。 曲げ応力は曲げモーメントに比例し、曲げモーメントはその部分の曲率k(曲率半径Rの逆数)に比例しますので、結局のところ、ひずみエネルギーの合計は曲率kの2乗を棒に沿って積分したものに比例します。 曲線の形状が問題なので比例定数を無視すれば
<tex>E= \int k ^{2} ds</tex>
を最小にする曲線を変分法で求めることになります。
6 cqf02343 2012/08/26 (日) 09:50:21 ID:EXzkncgjcM [修正] [削除]
> いや、分母のルートが抜けてますよ。

あっ、御免なさい。

>棒が曲がっているとき、ひずみエネルギーの合計が最小になる形状に落ち着くわけですが・・・  その部分の曲率kとし
   E=∫k^2 ds
を最小にする曲線を変分法で求めることになります。


そうですか!
早速やってみます。
7 cqf02343 2012/09/02 (日) 13:03:00 ID:EXzkncgjcM [修正] [削除]
について考える。

 R0:蛇口の断面の円の半径
 V0:蛇口から出る水の流出速度

座標系は蛇口を原点、X軸を鉛直下方にとる。
水は完全流体とみなし、落下時は自由落下とする。

蛇口から下方Xの位置での速度をVとすると
    V^2−V0^2 = 2gX  ---  (1)
である。

一方、位置Xでの断面を想定しその断面の円
の半径をY=Y(X)とする。

単位時間あたりの水の流量はどこでも一定だから
   πR0^2・V0 = πY^2・V  ---  (2)
となる。
(1)からVを代入すると
    R0^2・V0 =  Y^2・√(V0^2+2gX)

∴    R0/(V0^2+2gX)^1/4 = Y  ---  (3)
となる。
大雑把には流水の断面の半径は(cnst+X)^(-1/4)的に減衰していく。
8 cqf02343 2012/09/02 (日) 13:46:41 ID:EXzkncgjcM [修正] [削除]
>エラスティカ:棒の下端を垂直に固定し、上端におもりを付けて
       (上端が)「水平に」なるように曲げた時の棒の形
        です。
            dy/dx = x^2/√(a^4−x^4)



式の形から曲線の概形は、単調増加でy軸に線対称。
x軸に対してy軸を上方に設定したとすれば、原点
をx軸に接しながら通る。x=aが漸近線
        ↓
    重りは?y軸を下方に設定?


恐らく棒の長さが一定という条件付き変分問題かと。

 |k| = |y"|/√(1+y'^2)^3

 k^2 = y"^2/(1+y'^2)^3

a
 ∫√(1+y'^2)dx = const (条件)
 0

 L = y"^2/(1+y'^2)^3 + λ√(1+y'^2) ラグランジュアン

      λ:未定定数

オイラーの方程式は

(d^2/dx^2)・∂L/∂y" − (d/dx)・∂L/∂y' + ∂L/∂y = 0

だと思う・・
9 cqf02343 2012/09/02 (日) 13:56:06 ID:EXzkncgjcM [修正] [削除]
> サイクロイドという曲線もありますね。
  茶筒の上の1点に印を付けて平面を転がしたときに
  その点が描く曲線です。


  そうでしたね。
  ご存知かも知れませんが、物理的には最速降下線らしい。
  原点を通り、y軸に線対称な曲線でかつ
  0≦xで単調増加関数なる曲線。

  曲線上の点(a,y(a))から小さなビー玉を滑らした
  とき最短時間で原点に到着する曲線。摩擦無。
10 coJJyMAN 2012/09/02 (日) 19:17:14 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
cqf02343 さん、こんにちは。

エラスティカは僕もよくわかってないのですが
>L = y"^2/(1+y'^2)^3 + λ(1+y'^2)
のところは、積分定数をdsからdxに変えた事情で
L = y"^2/(1+y'^2)^(5/2) + λ(1+y'^2)
になると思います。
11 cqf02343 2012/09/02 (日) 20:02:23 ID:EXzkncgjcM [修正] [削除]
> ・・積分定数をdsからdxに変え・・


今晩は、正にご指摘の通りです。

戦闘機を追跡する空対空ミサイルの追尾軌道も・・
神社の屋根の独特な曲線は懸垂線らしい。
12 冷蔵庫 2012/09/03 (月) 18:12:16 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
こんにちは。
エラスティカのことはよく知りませんが、Lに、

λ√(1+y'^2)

という項があると、√(1+y'^2) = 0 という拘束条件を付けることになりませんか?
y は実なので、これが満たされることはありませんが。
13 cqf02343 2012/09/04 (火) 21:14:59 ID:EXzkncgjcM [修正] [削除]
> Lに、λ√(1+y'^2)という項があると、
  √(1+y'^2) = 0 という拘束条件を付
  けることになりませんか?y は実なので、
  これが満たされることはありませんが。

拘束条件は曲がった棒(曲線)の長さが一定
  a
 ∫√(1+y'^2) ・dx = 一定
 0

です。
したがってLに被積分関数の実数(未定定数λ)倍を
付け加えればいいことになります。

で未定乗数λが含まれたオイラー方程式が解けたと
して(私はまだ解けてませんが)境界条件でλを決め
ますが、一般解が得られたとしても、図などの状況
が不明なのでλなどが決められません。
14 coJJyMAN 2012/09/05 (水) 00:22:28 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
こんにちは。

エラスティカは、僕も解けてません。m(_._)m
λの値によっていろいろ形が変わるらしく、オイラーの研究が有名だそうです。
初めの例で出した形は簡単に解ける(λはある決まった値)場合らしく、ベルヌーイの発見らしいです。(まだ勉強中。。)
図はこんな感じです。
http://cojjy.files.wordpress.com/2012/09/elastica.jpg
15 冷蔵庫 2012/09/05 (水) 17:48:43 ID:euMO4xGYwk [修正] [削除]
>cqf02343さん

失礼しました。未定乗数λは定数だったのですね。
そもそも、はじめにそう書いてありましたね。
x の関数だと勘違いしていました。すみません。





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