1 kafuka 2012/07/17 (火) 17:24:20 ID:Utjkuz.Osc [修正] [削除]
(t,x,y,z)時空の回転とローレンツ変換の統合を考えます。

空間の回転とローレンツ変換は、行列で書くと回転角θが実数か虚数かの違いだけですから、
回転群において、回転角を複素数とする一般的な「複素回転O(4)」に統合できます。

この複素回転O(4)の表現行列を、4x4行列O(4) とします。
この行列は、運動の方向に1つの座標軸を合わせると、
(t,r)平面に対する2x2の行列 と同等で、t−r平面がローレンツ変換されます。

しかし、当然ながら、t−r平面が回転されることは現実にはあり得ません。
また、r内においては、x−y平面やy−z平面等がローレンツ変換されることも、
現実には、あり得ません。

これが、不思議です。 回転角を複素数とする一般的なO(4)を、考えると、
x−y平面がローレンツ変換されることや、t−x平面が回転されることもあるのが、
本来の姿と思います。
ということは、この宇宙は、「複素回転O(4)」の対称性が破れていると言えます。

理由は、簡単で、速度v=p/m が、実数値しかとらないからです。
pを、運動量の固有値とすると、「物理量はエルミートであるべし」という量子力学の大原則から、
pは、実数です。

mは、例のヒッグス機構から、実数になります(mは、ヒッグス粒子の質量でないことに注意)

ということは、ヒッグス場の真空における「自発的対称性の破れ」が、
他の粒子に 実数の質量を与えることにより、
この宇宙の「複素回転O(4)」の対称性を 破ったと考えます。
2 kafuka 2012/07/18 (水) 23:27:40 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 00:29 [修正] [削除]
この宇宙の「複素回転O(4)」の対称性を破ったのは、
ヒッグス場の真空における「自発的対称性の破れ」が、
他の粒子に与える質量を 実数に「必ず」するからだ と書きましたが、
何故、必ず実数になるかというと、、、

低温でのヒッグス場のラグランジュアンLは、ヒッグス粒子の質量を mH とすると、
L=∂_μφ*∂^μφ + mH^2φ*φ - λ/2(φ*φ)^2
Lのポテンシャル部分をUと置くと、Uの停留点は、
∂U/∂φ* = -mH^2φ + λ(φ*φ)φ から、停留点は、0と±√{mH^2/λ}  ただし任意の位相がつく
つまり、ワインボトルの底の形です。
この時、他の粒子に与える質量は、「自発的対称性の破れ」が起こり、実数になります。

仮に、他の粒子に与える質量を 虚数にしようとすると、Lは、
L=∂_μφ*∂^μφ − mH^2φ*φ - λ/2(φ*φ)^2
となります。
ポテンシャル部分Uの停留点は、0と±i√{mH^2/λ} となり、丸底になります。
ということは、「自発的対称性の破れ」は起こりません。

つまり、ヒッグス機構は、他の粒子に与える質量を実数にするか、質量を与えないかの、
どちらかになります。
3 denpa 2012/07/19 (木) 01:11:54 ID:KRqz3C5VSw [修正] [削除]
発表会場なので誤りも何もないですが、既存理論との一致で、ヒッグス機構は質量項が負のタキオンを考えると運動量の大きさが0付近でのエネルギーが虚数になり、系が不安定になるので(質量が負も不安定)、場を安定な系に再定義することで正質量になる気がしたのですが、負の質量も許すんですか?(自発的対称性の破れが起こる起こらないで、虚数の質量を除外してるわけでもないですね。)
4 あもん 2012/07/19 (木) 17:23:43 ID:uuVTU1fgcY [修正] [削除]
kafukaさん:

4次直交群 O(4) は、計量構造:

<tex>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 + dw^2</tex>

を不変とする変換で、ローレンツ群(4次擬直交群) O(3,1) は、

<tex>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - dw^2</tex>

を不変とする変換です。"複素O(4)" なるものがあるとしたら、それはどんな計量構造を不変とする変換群か、考えてみるとよろしいかと思います。
5 kafuka 2012/07/20 (金) 04:28:04 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 09:14 [修正] [削除]
Resが、前後しますが、、、

あもんさん:
aとbの内積は、計量をgとすると、一般に、
<tex>a \cdot b = g_{ij} a^i b^j</tex>
微小4元ベクトルdsのノルム^2は、
|ds|^2 = ds・ds = gij ds^i ds^j

これが保存する場合において、
g=Diag(++++) なら、特殊実直交群SO(4)
g=Diag(+++-) なら、ロ−レンツ群
ということですね。

ところで、SO(n)とSO(n-1)は、
<tex>\begin{pmatrix} so(n-1) & 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</tex>
という関係があるので、

4次元空間内の回転は、平面をw軸やx軸まわりで回すことなので、
<tex>\begin{pmatrix} cos \alpha & sin \alpha & 0  \\ -sin \alpha & cos \alpha & 0  \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</tex>

<tex>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos \beta & sin \beta   \\ 0 & -sin \beta & cos \beta  \end{pmatrix}</tex>
の2つの積で表すことができます。(もちろん非可換)

で、αやβが、いくら複素数でも上記が、ある場合ローレンツ変換、ある場合は回転になることは、
不可能なので、SO(4)で、ローレンツ群と回転群を統合することは、できませんね。
すみません。

じゃ、SO(5)で考えましょう ^^;
5次元空間内で、4次元空間を回転させることは、可能です。
(この宇宙(x,y,z,ct)において、ct→ iw という変換をすると、単なる4次元空間です)
つまり、x,y,z空間を第5軸のまわりで、t軸と関係なく回せるし、
t軸も、5番目の次元を通って、x,y,z軸の方へ実の角度で回転できます。
(もちろん、普通に 虚の角度でも x,y,z軸の方へ回転できます)
そうであればSO(5)ならO(3,1)とSO(4)を混合する変換が可能と思います。

この宇宙では、ローレンツ群O(3,1)と特殊実直交群SO(3)は、綺麗に分かれますが、
僕は、綺麗に分かれるのは、本来の姿ではなく、
SO(5)の対称性が破れた結果である と思っているわけです。

で、SO(5)の ある回転角が複素数ならば、5元運動量pの
x、y、z成分が、複素数 ということになります。
(質量mを正の実数とすると、v=p/m なので)

Pxが、運動量演算子の固有値(a+bi)とすると、(自由粒子近似)
ψ(x)=A exp{(a+bi)x/ih'} なので、当然、規格化できませんが、
無理やり規格化したら、x≠∞ つまり、通常空間内で、ψ(x)=0 となり、検出されません。
これは、ローレンツ変換に従わない粒子が検出されないことを意味し、
現実と符合します。
6 kafuka 2012/07/20 (金) 06:25:58 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 07:09 [修正] [削除]
denpaさん:

>場を安定な系に再定義することで正質量になる
僕もそう思っています。
負の質量を許すと、書いたつもりはありませんが、、、

ヒッグス場と相互作用する他の粒子の質量mは、虚数になりえません。
それを、証明したつもりです。
(ヒッグス粒子の質量mH と取り違えていませんか?)
7 denpa 2012/07/20 (金) 08:46:08 ID:KRqz3C5VSw 修正アリ: 07/22 (日) 00:49 [修正] [削除]
>>6
kafukaさん
>負の質量を許すと、書いたつもりはありませんが、、、
「実数」とだけあったので何か不安になりました。強く主張しすぎたかもしれず申し訳ありません。
(そもそも物理学全般で負の質量を仮想的に考えてもいいという部分があった気が。。。結局、正/負に関しては曖昧です。)

>(ヒッグス粒子の質量mH と取り違えていませんか?)
ご存知だと思いますが、ここでは詳細は省きますが、ヒッグス場の真空期待値として質量mHが関与し、ゲージ場が質量を獲得した場合、その質量は直接mHに比例するので、mHの性質で述べる事が可能です。mHが虚数だった場合等。
kafukaさんが自発的対称性の破れが起こるか起こらないかのON/OFFで解説されているように思えたため、「不安定系の議論が先ですよね?(タキオン)」と疑問が出てきたので、先のような質問/意見をぶつけました。で、
>僕もそう思っています。
なので、疑問はなくなった気がします。
失礼致しました。

(追記)
ここまで記述して何ですが、
>ゲージ場が質量を獲得した場合
>mHの性質で述べる事が可能です。mHが虚数だった場合等
このゲージ場の質量獲得機構は、安定系の場が前提の時でした。
安定系の場にする前提が、ヒッグス場の質量項<tex>mH^2</tex>が負でない->タキオンではないという事になり、前提条件として、mHが関与するという事でした。
結果としてはmHが質量に組み込まれますが。
そう考えていきますと、取り違える事(ヒッグス場の質量とそれによって質量を得た物質の区別)に意味はあるんでしょうか? (ああ、面倒な発言w)
何か人様のスレをジャックしてる感じなので、疑問が生じたら別スレ立てます。

>>8
>(Z0とW± は、質量が違います)
質量の数としての「大きさの違い」ではなく「性質」(実/虚の違い)を言いたかったのです。元を辿れば真空期待値/エネルギーが虚数になっては困るので、その性質が受け継がれて、ゲージ場まで来てる結果を踏まえて、最初期の出発点であるヒッグス場の質量の性質で述べる事が可能で、そういった意味で区別は関係あるのかという事です。
(共変微分の係数が関与しますが、その係数が虚数でなければヒッグス場の実/虚の性質がまるまる引き継がれる結果となっています。虚数であれば安定な場もない。なので、「性質」を「取り違える」事を考えるのは意味ある事なのでしょうかという事なのですが。なので、粒子の区別といった事は論点がずれてるように思えます。粒子の質量の「質、性質」です。)
8 kafuka 2012/07/20 (金) 11:33:14 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 07/21 (土) 10:19 [修正] [削除]
denpaさん:
誤解が解けて、嬉しいです。

>ヒッグス場の質量とそれによって質量を得た物質の区別)に意味はあるんでしょうか?
ヒッグス場は、1つですが、
それによって質量を得る粒子は、1つとは限らないので、区別しないといけないと思います。
(Z0とW± は、質量が違います)

まとめますと(お笑いになるのを承知で)

宇宙初期(ヒッグス機構で質量を得た時)、粒子の運動量pは複素数であった。
v=p/mなので (x,y,z,ct)時空は、それぞれの方向に 実角度でも虚角度でも回転できていた。
(当初、複素SO(5)対称性があった ということ)
しかし、前述の理由で、事実上O(3,1)になったという理論?
です。

1つ余剰次元が、残りますが、その次元sでは、今でも、
Psが、虚数ibとすると(自由粒子近似)
ψ(s)=A exp{(ib)s/ih'} なので、当然、規格化できませんが、
無理やり規格化したら、x≠∞つまり通常空間内で、ψ(x)=0となり、
検出されません。
つまり、余剰次元があっても、そこに場は存在できない=相互作用が存在しない
ので「見えない(行くことができない」というわけです。
9 kafuka 2012/07/21 (土) 08:57:13 ID:Utjkuz.Osc 修正アリ: 10:39 [修正] [削除]
あもんさん:

Twitterの方で、突っ込まれました。

g=Diag(+++-) の計量テンソルを不変に保つのが相対論の要請というのが本質で、
その帰結で、回転角が虚数になるのであって、
回転角が虚数、実数に 特に意味はない
とのことでした。
それから、SO(5)は、実角度でも虚角度でも回転できる、という対称性ではない
そうです。






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