1 coJJyMAN 2012/05/19 (土) 01:57:05 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
こんばんは。(金環食の時の天気が気になりますが。。)

これは新規の独自理論ではありません。

最近読んだ本で、興味深い記述があったので紹介します。

作用反作用の法則は、運動量保存則、角運動量保存則などを
説明する以上に広い範囲で成り立つそうです。

簡単に例えてみますと、
 いま、シーソー(テコでもいいですが)があって、
 支点をC、力点をA、作用点をBすると、
 Aに力 $F_A$ をかけた時に、Bにある物体に作用した「その作用の量」は、
 物体Bにかかる力とその速度の積( $=F_Bv_B$ )の値を持ち、
 その時力点で「シーソーから受ける反作用」は必ず、
  $F_A'v_A'=-F_Bv_B$ となる。
という様な話なのです。

つまり、作用とは $P=Fv$ で、反作用との関係は $P'=-P$ なのだから、
一例として、「2物体がくっついたまま( $v'=v$ )のときならば、
そのときは $F'=-F$ ですね。」というニュアンスを感じさせます。

元ネタの記述をブログにアップしました。
興味のある方は御覧ください。
http://cojjy.wordpress.com/2012/05/18/5-96/
2 hirota 2012/05/19 (土) 11:36:43 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
力(運動量変化率)に対する普通の作用反作用の法則は運動量保存則ですが、Fvはエネルギー変化率ですからエネルギー保存則の方ですね。
3 coJJyMAN 2012/05/19 (土) 14:21:11 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
そうですね。

なので、エネルギー保存則が成り立つ系では、
その系の中では作用反作用の法則は必ず成り立っていて、
その作用の量は今で言うエネルギー変化率で表されると。
 
この意味では、何かが質量を持った物体に作用して
その運動エネルギーを増やしたなら、その時同時に
元のもののエネルギーがその分だけ減っている。
もちろん慣性系で見た場合ですけど。

ニュートンは運動の法則として述べた3つの法則に
「公理」の位置づけをしています。

第3法則が $F'=-F$ の意味だけならば、
第2法則と一つにまとめた形のほうが、
「公理系」として調っている気がします。

第2法則で述べた「力」とは、違う次元の物理量
に関する基本法則を述べるために、あえて
「力」とは違う言葉を使ったのだと思っています。

学生時代に授業で初めてこの法則を聞いた時には、
「なんで『作用』なんて違う言葉にしてるんだろう?変なの〜!」
と、ニュートンの美的感覚を疑ったものですが、
今は、「なかなか上手く書いたもんだ」と感心させられます。
4 coJJyMAN 2012/05/21 (月) 11:10:25 ID:JYV.OZw18Y 修正アリ: 12:10 [修正] [削除]
「運動する物体の電気力学」といえば、
アインシュタインの特殊相対性理論ですね。

電磁気的が力が働いている系の、例えば物理量の保存則を考察する場合には、
結局、相対輪的力学で考えなくてはいけないのではないかと思います。

そこで、ニュートンの第2法則と第3法則を
ベクトルをばらして記述すると
<tex>& \frac{d}{dt}p_x=F_x \\& \frac{d}{dt}p_y=F_y \\& \frac{d}{dt}p_z=F_z \\& F_x'=-F_x \\& F_y'=-F_y \\& F_z'=-F_z</tex>
となるわけですが、
これにプリンキピアの注解の内容から
<tex>& \frac{d}{dt}E=\Vec{F}\cdot\Vec{v} \\& \Vec{F'}\cdot\Vec{v'}=-\Vec{F}\cdot\Vec{v}</tex>
を付け足せば、少しいじって順番を並べ替えれば
<tex>& \frac{d}{dt}p_x=F_x \\& \frac{d}{dt}p_y=F_y \\& \frac{d}{dt}p_z=F_z \\& \frac{d}{dt}\left(\frac{E}{c}\right)=\Vec{F}\cdot\frac{\Vec{v}}{c} \\& F_x'=-F_x \\& F_y'=-F_y \\& F_z'=-F_z \\& \Vec{F'}\cdot\frac{\Vec{v'}}{c}=-\Vec{F}\cdot\frac{\Vec{v}}{c}</tex>
あとはこれらの式をローレンツ共変な形にすれば、
<tex>& \frac{d}{d\tau}p_i=F_i \\& F_i'=-F_i \\& (i=0,1,2,3)</tex>
と簡潔にまとまってしまいます。

力を4元ベクトルをすれば、
作用反作用の法則は $F'=-F$ の一言でおしまいです。

5 coJJyMAN 2012/06/04 (月) 08:55:04 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
§電磁力の作用反作用

電池と抵抗だけの単純な電気回路が、外部磁場の中に置かれているとします。

<pic>(200,100)(-20,0)\put(0,0){\line(0,1){45}}\put(0,55){\line(0,1){45}}\put(0,100){\line(1,0){150}}\put(150,100){\line(0,-1){40}}\put(150,40){\line(0,-1){40}}\put(150,0){\line(-1,0){150}}\put(-5,45){\framebox(10, 0)}\put(-10,55){\line(1,0){20}}\put(-10,60){$E$}\put(145,40){\framebox(10, 20)[c]{$R$}}\put(20,20){\vector(0,1){60}}\put(20,80){\vector(1,0){110}}\put(130,80){\vector(0,-1){60}}\put(130,20){\vector(-1,0){110}}\put(20,50){$I$}\put(125,50){$I$}\put(75,22){$I$}\put(75,72){$I$}</pic>

矩形の4つの辺にかかる力、すなわちアンペールの力

 $d\Vec{F}=Id\Vec{s}\times\Vec{B}$ 

は、外部磁場が一様な場合は直観的に

<pic>(200,100)(-20,-20)\put(20,20){\vector(0,1){60}}\put(20,80){\vector(1,0){110}}\put(130,80){\vector(0,-1){60}}\put(130,20){\vector(-1,0){110}}\put(20,50){$I$}\put(125,50){$I$}\put(75,22){$I$}\put(75,72){$I$}\put(20,50){\vector(-1,0){20}}\put(0,55){$-F_x$}\put(130,50){\vector(1,0){20}}\put(135,55){$F_x$}\put(75,20){\vector(0,-1){40}}\put(75,0){$-F_y$}\put(75,80){\vector(0,1){40}}\put(75,100){$F_y$}\put(75,50){$\otimes B$}</pic>

と、右側の抵抗にかかる力と左側の電源にかかる力が、向きが反対で大きさが等しいことが分かる。

磁場が一様でない一般の場合は、アンペールの力を回路にそって周回積分した値がゼロになることで確認できる。
(回路の一部分にかかる力と、残りの部分に掛かる力の和がゼロ)

<tex>\oint_C d\Vec{F}=0</tex>

であるためには、あらゆる方向の単位ベクトルとの内積がゼロであることを示せばよい。

<tex>\oint_C \Vec{e_x}\cdot d\Vec{F}=0 ,\oint_C \Vec{e_y}\cdot d\Vec{F}=0 ,\oint_C \Vec{e_z}\cdot d\Vec{F}=0 </tex>

アンペールの力の定義より

<tex>\oint_C \Vec{e_x}\cdot d\Vec{F} &=I \oint_C \Vec{e_x}\cdot (d\Vec{s}\times \Vec{B}) \\&=-I \oint_C \Vec{e_x}\cdot (\Vec{B}\times d \Vec{s}) \\&=-I \oint_C (\Vec{e_x}\times \Vec{B})\cdot d \Vec{s} </tex>

であるが、ストークスの定理より

<tex>\oint_C (\Vec{e_x}\times \Vec{B})\cdot d \Vec{s}&= \int \!\!\! \int_S \left\{\nabla\times(\Vec{e_x}\times\Vec{B})\right\}\cdot\Vec{n}dS \\&= \int \!\!\! \int_S \left\{\Vec{e_x}(\nabla\cdot\Vec{B})-\Vec{B}(\nabla\cdot\Vec{e_x})\right\}\cdot\Vec{n}dS \\&= \int \!\!\! \int_S (\nabla\cdot\Vec{B})(\Vec{e_x}\cdot\Vec{n})dS </tex>

マクスウェルの方程式のひとつ

 $\nabla\cdot\Vec{B}=0$ (単磁極の否存在)

な成り立つならば、上記積分はゼロとなる。 他の方向についても同様だから、以上により証明すべき式が得られた。
6 hirota 2012/06/04 (月) 13:09:53 ID:mxZWPl0EEs [修正] [削除]
外部磁場では閉回路の電流に重心を動かすような力は働かないということになりますが、それでは電磁石の重心を磁石で動かせない事になります。
そんなバカな、と思って式をチェックしてみましたが間違いは発見できませんでした。
どういうことかな〜?
紙面に垂直な磁場が広がりながら紙面を通る場合を考えると、紙面に垂直な力の成分は一定になって積分はゼロじゃないんですがねー。
7 coJJyMAN 2012/06/04 (月) 15:22:08 ID:JYV.OZw18Y 修正アリ: 16:00 [修正] [削除]
どうもです。

回転軸を設ければ、その軸周りにトルクは発生すると思います。
ただ、重心を移動させる力は空間のどの方向にも無かったです。

磁場が変化する場合は計算してませんが。。(^ ^;)

(追記)

電磁石の重心を手で持った磁石でうまく動かすには、
電磁石の姿勢と、磁石の姿勢を一定に保つ必要があると思います。

拘束条件のある系での作用反作用は、
各物体にかかる拘束力まで考えると混乱してしまう(僕が。。)ので、
仮想仕事の原理に $P=Fv$ を使って理解(というか納得)しています。
8 甘泉法師 2012/06/04 (月) 18:46:38 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 22:17 [修正] [削除]
こんにちは。

>>6
回路電流の磁気モーメントMと外部磁場Bの相互作用エネルギーは M・B なので
Mに働く力は ▽(M・B)=(MxBx,x+MyBy,x+MzBz,x)ex + (MxBx,y+MyBy,y+MzBz,y)ey + (MxBx,z+MyBy,z+MzBz,z)ez
ここで  ∂By/∂x=By,x と 記しています。

つまりBが空間で一様な場合は力は働かず一様でない場合はBが大きいほうに力が働くことになり外部の磁石に電磁石がひきつけられることが説明されます。

=甘泉法師=
9 coJJyMAN 2012/06/04 (月) 18:57:09 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
はい。。

>>5の計算、Z方向ゼロにならないんですよね、きっと。。
どこを間違えたか考え中です。(; ;)
10 ASA 2012/06/04 (月) 20:30:06 ID:GcuNYrd8SA [修正] [削除]
単位ベクトルは、ベクトル場ではない(空間依存性がない)のにもかかわらず、経路に沿った線積分を面積積分に置き換えるということをしているからでは?
 図でも、z成分のみのBが、x方向で値が違うとき、即ちBz(x)であるとき、
右側の電流素片dsに働く力Fxと左側の電流素片dsに働く力Fxとは、向きが逆だけど、その大きさは素片の位置にある|Bz|に比例するから、うまくキャンセルしないことが直感的に理解できます。
11 coJJyMAN 2012/06/04 (月) 21:03:53 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
あっ、ASAさん!
ありがとうございます。(; ;)

>単位ベクトルは、ベクトル場ではない(空間依存性がない)のにもかかわらず、経路に沿った線積分を面積積分に置き換えるということをしているからでは?
言われるとおりです。
安直に考えてしまいました。

>>5は恥ずかしいので削除したいですが、戒めのために置いておきます。
みなさん、ありがとうございました。

(出なおしてきます。)
12 coJJyMAN 2012/06/04 (月) 23:24:20 ID:JYV.OZw18Y [修正] [削除]
えっと。。

あの面積分をそのまま実行してもゼロにならないことが解りましたので、報告します。

<tex>\nabla \times \left( \Vec { e_{ z } } \times \Vec { B }  \right) & =\nabla \times \left[ \Vec { e_{ z } } \times \left( B_{ x }\Vec { e_{ x } } +B_{ y }\Vec { e_{ y } } +B_{ z }\Vec { e_{ z } }  \right)  \right]\\ & =-\Vec { e_{ x } } \frac { \partial B_{ x } }{ \partial z } -\Vec { e_{ y } } \frac { \partial B_{ y } }{ \partial z } +\Vec { e_{ z } } \left( \frac { \partial B_{ x } }{ \partial x } +\frac { \partial B_{ y } }{ \partial y }  \right) \\ &=-\Vec { e_{ x } } \frac { \partial B_{ x } }{ \partial z } -\Vec { e_{ y } } \frac { \partial B_{ y } }{ \partial z } -\Vec { e_{ z } }  \frac { \partial B_{ z } }{ \partial z }</tex>

たしかに、ゼロにはならないです。
久しぶりのベクトル解析で大ヤケドをしてしまいました。

ちなみに、アルフケンの物理数学vol.1によると、

<tex> \nabla  \times ( \Vec{A} \times \Vec{B}) =(\Vec{B}\cdot\nabla)\Vec{A}-(\Vec{A}\cdot\nabla)\Vec{B}-\Vec{B}(\nabla\cdot\Vec{A})+\Vec{A}(\nabla\cdot\Vec{B})</tex>

らしいです。 あ〜(; ;)





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