1 甘泉法師 2012/04/15 (日) 20:56:24 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 04/16 (月) 08:07 [修正] [削除]
こんにちは。 
Texの練習のため以前勉強で求めた式を書きます。

-----------------------------
量子力学。原点に対称な全幅w、深さエネルギーDの1次元井戸ポテンシャルでのエネルギー基底状態は

波動関数(座標表示)
<tex>\psi(x)= B e^{\kappa (x + \frac{w}{2})} \theta (-x-\frac{w}{2})+ C cos (kx)\theta (-x+\frac{w}{2})\theta (x+\frac{w}{2}) + B e^{-\kappa (x - \frac{w}{2})}\theta (x-\frac{w}{2})</tex>

波動関数(運動量表示)
<tex>\psi(p) \equiv \frac{1}{\sqrt{h}}\int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x)  e^{\frac{-ipx}{\hbar}} dx= 2cosec\alpha\sqrt{\frac{\frac{w}{2}}{h\alpha (\alpha + cot \alpha)}} \frac { cos(\alpha \rho)-\rho sin(\alpha \rho)}{(1-\rho)(1+\rho)(1+\rho^2 cot^2\alpha)}  </tex>

ここで
 <tex>\theta (x) \equiv \frac {sgn(x) + 1}{2} </tex>. sgnは引数が負なら-1、0なら0、正なら+1を返す符合関数。

正数  $\alpha$ はDから次の式で決まる。<tex>D=\frac{\hbar^2}{2m} (\frac{2}{w})^2 \alpha^2 sec^2 \alpha</tex>

 <tex>C= (\frac{2}{w})^{1/2} (1+\frac{cot\alpha }{\alpha})^{-1/2}</tex>

 <tex>B= (\frac{2}{w})^{1/2} (1+\frac{cot\alpha }{\alpha})^{-1/2} cos\alpha</tex>

 <tex>k=\frac{2}{w} \alpha</tex>

 <tex>\kappa =\frac{2}{w} \alpha tan \alpha</tex>

無次元化した運動量変数

 <tex>\rho \equiv \frac{\frac{w}{2}}{\hbar\alpha}p</tex>   

井戸の底からの基底状態のエネルギーEは

 <tex>E=\frac{\hbar^2}{2m} (\frac{2}{w})^2 \alpha^2 </tex>

------------------------------------------------------- 以上

=甘泉法師=
2 甘泉法師 2015/02/03 (火) 16:47:11 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
あらためて座標波動関数を以下のように左中右にわけて加え合わせた形に書く書く。
 $\psi_L(x), \psi_M(x), \psi_L(x)$ は全実数を定義域とする指数関数、三角関数で、当然 $C^\infty$ 関数。

<tex>\psi(x) ~=~ \Big(1 - \theta(x+w/2) \Big)                       ~+~ \Big(\theta(x+w/2) - \theta(x-w/2)\Big)\psi_M(x)                         ~+~ \theta(x-w/2) \, \psi_R(x) ~,</tex>


微分を計算する。
境界でψとψ’が連続なので、小さい階数では異常はあらわれない。

<tex>\psi^{(1)}(x) ~=~ \Big(1 - \theta(x+w/2) \Big)\psi^{(1)}_L(x)   ~+~ \Big(\theta(x+w/2) - \theta(x-w/2)\Big)\psi^{(1)}_M(x)   ~+~ \theta(x-w/2) \, \psi^{(1)}_R(x) ~.</tex>
,

<tex>\psi^{(2)}(x) ~=~ \Big(1 - \theta(x+w/2) \Big)\psi^{(2)}_L(x)   ~+~ \Big(\theta(x+w/2) - \theta(x-w/2)\Big)\psi^{(2)}_M(x)   ~+~ \theta(x-w/2) \, \psi^{(2)}_R(x) ~.</tex>

高階導関数は、ψ"には境界にギャップが、ψ'''にはδ関数も、という具合に超関数となる。


<tex>\psi^{(3)}(x) ~= \Big(\psi^{(2)}_M(-w/2) -\psi^{(2)}_L(-w/2)\Big) \delta(x+w/2)+\Big(\psi^{(2)}_R(w/2) - \psi^{(2)}_M(w/2) \Big)\delta(x-w/2) \\ +~ \Big(1 - \theta(x+w/2)\Big)\psi^{(3)}_L(x)   ~+~ \Big(\theta(x+w/2)-\theta(x-w/2)\Big)\psi^{(3)}_M(x)   ~+~ \theta(x-w/2) \psi^{(3)}_R(x) </tex>
,

<tex>\psi^{(4)}(x) ~= \Big(\psi^{(2)}_M(-w/2) -\psi^{(2)}_L(-w/2)\Big) \delta^{(1)}(x+w/2)+\Big(\psi^{(2)}_R(w/2) - \psi^{(2)}_M(w/2) \Big)\delta^{(1)}(x-w/2) \\+\Big(\psi^{(3)}_M(-w/2) -\psi^{(3)}_L(-w/2)\Big) \delta(x+w/2)+\Big(\psi^{(3)}_R(w/2) - \psi^{(3)}_M(w/2) \Big)\delta(x-w/2) \\+~ \Big(1 - \theta(x+w/2)\Big)\psi^{(4)}_L(x)   ~+~ \Big(\theta(x+w/2)-\theta(x-w/2)\Big)\psi^{(4)}_M(x)   ~+~ \theta(x-w/2) \psi^{(4)}_R(x)</tex>

,

<tex>\psi^{(5)}(x) ~= \Big(\psi^{(2)}_M(-w/2) -\psi^{(2)}_L(-w/2)\Big) \delta^{(2)}(x+w/2)+\Big(\psi^{(2)}_R(w/2) - \psi^{(2)}_M(w/2) \Big)\delta^{(2)}(x-w/2) \\+\Big(\psi^{(3)}_M(-w/2) -\psi^{(3)}_L(-w/2)\Big) \delta^{(1)}(x+w/2)+\Big(\psi^{(3)}_R(w/2) - \psi^{(3)}_M(w/2) \Big)\delta^{(1)}(x-w/2) \\+\Big(\psi^{(4)}_M(-w/2) -\psi^{(4)}_L(-w/2)\Big) \delta(x+w/2)+\Big(\psi^{(4)}_R(w/2) - \psi^{(4)}_M(w/2) \Big)\delta(x-w/2) \\+~ \Big(1 - \theta(x+w/2)\Big)\psi^{(5)}_L(x)   ~+~ \Big(\theta(x+w/2)-\theta(x-w/2)\Big)\psi^{(5)}_M(x)   ~+~ \theta(x-w/2) \psi^{(5)}_R(x)</tex>

,

<tex>\psi^{(6)}(x) ~= \Big(\psi^{(2)}_M(-w/2) -\psi^{(2)}_L(-w/2)\Big) \delta^{(3)}(x+w/2)+\Big(\psi^{(2)}_R(w/2) - \psi^{(2)}_M(w/2) \Big)\delta^{(3)}(x-w/2) \\+\Big(\psi^{(3)}_M(-w/2) -\psi^{(3)}_L(-w/2)\Big) \delta^{(2)}(x+w/2)+\Big(\psi^{(3)}_R(w/2) - \psi^{(3)}_M(w/2) \Big)\delta^{(2)}(x-w/2) \\+\Big(\psi^{(4)}_M(-w/2) -\psi^{(4)}_L(-w/2)\Big) \delta^{(1)}(x+w/2)+\Big(\psi^{(4)}_R(w/2) - \psi^{(4)}_M(w/2) \Big)\delta^{(1)}(x-w/2) \\+\Big(\psi^{(5)}_M(-w/2) -\psi^{(5)}_L(-w/2)\Big) \delta(x+w/2)+\Big(\psi^{(5)}_R(w/2) - \psi^{(5)}_M(w/2) \Big)\delta(x-w/2) \\+~ \Big(1 - \theta(x+w/2)\Big)\psi^{(6)}_L(x)   ~+~ \Big(\theta(x+w/2)-\theta(x-w/2)\Big)\psi^{(6)}_M(x)  ~+~ \theta(x-w/2) \psi^{(6)}_R(x)</tex>

等々。 容易にわかるようにq階の微分の一般式は,


<tex>\psi^{(q)}(x) ~=\sum^{\{m+n+1=q\}}_{m,n=0\ or\ positive\ integer}\Big(\Big(\psi^{(m)}_M(-w/2) -\psi^{(m)}_L(-w/2)\Big) \delta^{(n)}(x+w/2)+\Big(\psi^{(m)}_R(w/2) - \psi^{(m)}_M(w/2) \Big)\delta^{(n)}(x-w/2) \Big)\\+~ \Big(1 - \theta(x+w/2)\Big)\psi^{(q)}_L(x)   ~+~ \Big(\theta(x+w/2)-\theta(x-w/2)\Big)\psi^{(q)}_M(x)   ~+~ \theta(x-w/2) \psi^{(q)}_R(x) </tex>
3 甘泉法師 2015/02/03 (火) 17:04:21 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
座標波動関数の微分をつかって運動量の6乗期待値を計算する。

<tex>(\psi,P^6\psi) = -\hbar^6  (\psi,\psi^{(6)})=\hbar^6  (\psi^{(3)}, \psi^{(3)})=\hbar^6  ||\psi^{(3)}||^2=\infty</tex>

∞になるのは  $\psi^{(3)}$ の表式がδ関数をもち規格化不能だからだ。 発散は運動量表示の波動関数からも簡単に確かめられる。
4 甘泉法師 2015/02/04 (水) 11:46:06 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
波動関数とその微分に、ギャップ、δ関数とその微分があらわれたのはポテンシャルやその微分
が不連続だったからだ。 離散エネルギー固有状態の運動量のモーメントが発散するような不合理なことが
おこらない"物理的な"ポテンシャルの十分条件として $C^\infty$ 関数でなければならないことがわかる。 

四角い井戸に形が近いものとしてたとえば
<tex>V(x)=\frac{V_0}{2} \Big(tanh(\frac{a-x}{d})+tanh(\frac{x-b}{d})\Big)</tex>
ここで  $0<V_0\ \ \  a<b, \ \ \ 0<d << b-a$ 。
このような $C^\infty$ 関数なら運動量の任意の次数のモーメントが発散することはないはずだ。

不合理な結果が導かれた理由は、ハミルトニアンを適切に選ばなかったことことにある。
ハミルトニアンのモデルを適当に創っても自然がついてきてくれるわけではないらしい。

 = 甘泉法師 = 
5 甘泉法師 2015/02/08 (日) 18:27:45 ID:ctwIRbLQLU [修正] [削除]
>>4 とは別の考えとして、ポテンシャルの完全な矩形(絶壁)は認めて波動関数を修正することを考えてみる。

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http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/150117001b40058b でとりあげたRHSについての論文では

1次元矩形障壁の最大不変部分空間Φについて

>>http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/150117001b40058b スレッド46   最大不変部分空間
<tex>\Phi= \{\phi \in L^2 | \phi \in C^\infty (R), \phi^{(n)}(a)= \phi^{(n)}(b) = 0 ,\ \ n = 0, 1, . . . ,\ \ \ \ \ P^nQ^mH^l\phi(x) \in L^2 , n,m, l = 0, 1, . . \}</tex> , (4.1)

に物理として実現しうる状態があるとしている。エネルギー固有状態は連続エネルギーなので線形汎関数空間Φ’Φ^X のほうにある。 Φはシュワルツ関数と同一で

>>http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/150117001b40058b スレッド85
Φ ≡ S(R- {a, b}) . (4.4)
 R- {a, b} は開集合なので微分がきちんとできて、導関数がaの左と右で値がちがっても問題はない。
 x=a,bではどんな具合でもよく、でその値は(4.1)から
<tex>\phi^{(n)}(a)= \phi^{(n)}(b) = 0 ,\ \ n = 0, 1, . . . ,</tex> と決めるものと理解。

疑問:x={a,b}で関数値を0を与えるのはまあよいとして。孤立した点なのに微分が、しかも無限階、定義できてしか も値が0というのは都合がよすぎないか。
前の発言のつながり具合の心配も無用か。
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これにならい一次元井戸ポテンシャルの最大不変部分空間Φを考える。

一次元井戸ポテンシャルの束縛状態は離散固有値なのでエネルギー固有状態がΦ’やΦ^XでなくΦにあると考えられる。すなわち、 

基底状態の波動関数 >>1 は x=-w/2.+w/2 以外のxについてあてはまり
x=-w/2.+w/2では ψ=0 ψ^(m)=0 m=1,2,3,... 。

この新しい波動関数では >>2 のδ^(n)(-w/2)、 δ^(n)(+w/2)の項は消え >>3 の発散も起きない。 

これと>>4 の計算値の具合が一致する(どちらも未計算)ならば信憑性が生まれそう。

疑問; >>1 の運動量表示の波動関数について 

>>1の運動量表示波動関数と と 上記の座標波動関数からの運動量表示波動関数を、どう違えて書けるのかわからない。 

前者はふつうにフーリエ変換だが、後者はどう違える? 後者は運動量について任意のべきよりはやく減衰して発散はおきない、と期待されるが...。

=甘泉法師=
6 甘泉法師 2015/02/26 (木) 15:26:16 ID:ctwIRbLQLU 修正アリ: 20:20 [修正] [削除]
こんにちは。

>>5 この新しい波動関数では >>2 のδ^(n)(-w/2)、 δ^(n)(+w/2)の項は消え >>3 の発散も起きない。 

これは物理とかけ離れているように思い直しました。 説明しますと

シュレジンガー方程式によるとψ^(2)は境界周辺の短区間dで 2m/hbar^2 V_0 ψだけ変化する。dは井戸ポテンシャルに似せた物理的に実現可能なポテンシャルでのポテンシャル勾配のある区間長
よって、ψ^(3)は境界付近でピークをもつ 区間dでならすと 2m/hbar^2 V_0 ψ/d くらい。 よって
||ψ^(3)|| 〜 1/√d  なのでd→0で発散するのが、正しい。境界でδ関数様なのは正しい。異常なポテンシャルでは物理量が異常なふるまいをすることが物理的に正しい。 異常なポテンシャル下で正常なふるまいをする「新しい波動関数」を、たとえ数学的に正しくつくれたとしても、物理と対応するとはみなせない。
「新しい波動関数」の運動量表示波動関数との対応の心配も無用。

実験で井戸に近いポテンシャルをつくり勾配区間の長さdを小さくしていくと、pの計測からもとまる<p^2>,<p^4>は一定値に近づくが、<p^6>,<p^8>,... は大きくなっていくという具合と理解しました。


=甘泉法師=





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