EMANの物理学 過去ログ No.11795 〜

 ● √5−1:2:2√2

  投稿者:タナカ - 2011/12/11(Sun) 12:28  No.11795 
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ここで2つの図形に関する性質を,5つほど箇条書きで示そうと思います.題名である√5−1:2:2√2に近い図形を図A,遠い図形を図Bとします.

・図Aおよび図Bの短辺と長辺の比は√2:1+√5(白銀比×黄金比)
・図Aで最大の黄金長方形と2番目に大きい黄金長方形との短辺および長辺の比は1+√2:1(第2貴金属比)
・2番目に大きい黄金長方形と3番目に大きい黄金長方形との短辺および長辺の比は√2:1(白銀比)
・図Bで最大の白銀長方形の短辺と2番目に大きい白銀長方形の長辺の比は1+√5:2(黄金比)
・最大の白銀長方形と2番目に大きい白銀長方形との短辺および長辺の比は1+√5:√2(白銀比×黄金比)

ところで第2貴金属比である1:1+√2も白銀比と呼ばれますが,私としては1:√2を白銀比と呼ぶにふさわしいと考えるので,1:1+√2については別称である第2貴金属比を使っています.ちなみに黄金比の別称が第1貴金属比です.また図Aでは黄金長方形によって対称の美が生まれ,図Bでは白銀長方形によってらせんの美が形づくられている点も面白いと思います.√2:1+√5の長方形には,なにか面白い性質が秘められているのではないか,そんな直感から試行錯誤を重ねて,まず図Bを,そして図Aを見つけてしまいました.それほど難しい数学の知識を使う必要がなかったので,ひらめくまでが大変で時間がかかりましたが,ひらめいてから完成するまでは簡単だった気がします.ただ果たして発見と呼べるほどの図形なのか不安で,私だけでは判断しづらかったので,投稿しました.もしも図Aや図Bについて感じた意見がありましたら,皆さんに書き込んでもらえるととってもありがたいです!

ひょっとしたらコロンブスの卵なのでは?という思いが私の胸にはあります.第1の項目に挙げている性質ですが,この2つの構造をあわせもっているという点では,√2:1+√5の長方形に特有の性質なのではないかと思います.図Aでは大きさの異なる黄金長方形が2つ生まれ,図Bでは大きさの同じ白銀長方形が2つ生まれ,それが際限なく繰り返される.この現象がまったく同じ形の長方形で起こるということ,私がコロンブスの卵ではと考える要点はそこにあります.それから図Bの白銀長方形を大きさの順にたどっていくと,らせんが形づくられるのですが,最大のらせんと第2のらせんが2つずつ,第3のらせんが4つ,第4のらせんが8つと増えていく点も興味深いです.このらせんが数学的にどれほどの価値を持つのかが,図Bの評価をも大きく左右するのではないかと考えます.