EMANの物理学 過去ログ No.11593 〜

 ● 無限深さ井戸中の波動関数

  投稿者:冷蔵庫 - 2011/11/18(Fri) 02:05  No.11593 
>ASAさん No.11554

>冷蔵庫 さん No.11538
 このスレが込み入ってきたので、新たなスレを建て、そこで回答をお願いします(新スレの題名は、お任せします)。

にお答えして新スレを立てます。
流れとしては、前スレ『箱の中(運動量のパラドックス)について』のNo.11466で、ASAさんが

>無限の井戸の場合、右と左の極限値が一致するので、全領域でψ''=-k^2ψが成立し特に問題ありません(2nの高次微分の場合でも一般化できる)。

と主張されたことに対し、

私がその理由を伺っているといったところです。

タイトルは『無限深さ井戸中の波動関数』としましたが、ひょっとするとASAさんの認識とは異なるかもしれません。

さて、まずは

>ASAさん No.11543

>(前にも参照テキストを指定しましたが無視されたのは何故ですか?
これへの回答が最優先です。議論はその後です。TOSHIさんのように興味がわかないからというのはありですけど、それでは疑問は晴れないと思いますし、それまでです。)

にお答えしましょう。
これについては、特に意識的に無視するつもりはなく、単に忘れていただけです。
すみませんでした。
一応気をつけるつもりですが、今後このようなことがあった場合はご指摘お願いします。

TOSHIさんの記事は読みましたが、かなり謎ロジックを多用されているので、私にはよくわかりませんでした。

問題にしていた、
>何故『V→∞でもψ(L)V=0が成立してる』とみなせるのでしょうか?
という私の問いに関係していそうなのは、

TOSHIさんのブログの
>したがって,V(x)=∞で,かつψ(x)=0 ですから一般にはV(x)ψ(x)の値は不定で全く評価不可能なのですが,今の場合は物理的に考えて,これをゼロと考えるのが妥当であると思われます。

でしょうか?
ここでは、ψ(L)V=0になる理由が『物理的に考えて』と説明されていますが、その意味するところがわかりません。

  投稿者:ASA - 2011/11/18(Fri) 06:30  No.11596 
>単に忘れていただけです。
 そういう人とは、会話する気すら失せますね。

>かなり謎ロジックを多用されているので、私にはよくわかりませんでした。
 具体的にどのロジックが謎なのでしょうか?
 "かなり"と"多用"と形容されてますが、有限個ですよね。具体的にいくつなのでしょうか?

>ψ(L)V=0になる理由が『物理的に考えて』と説明されていますが、その意味するところがわかりません。
冷蔵庫 さんの主張としては、物理的に考えるとψ(L)V=0以外の値をとりえるという主張でしょうか?
 『物理的に考えて』というのがわからないということでしょうか?
 (数式をこねくり回したいのなら、Vが有限である時のψをベースにして、ψ(L)V=0となるようなV→∞となる極限操作をすればいいだけですが、こういうのは、瑣末事項と考えてますので説明する気はありません。ご自分で確認してください。)

 まずは、なぜ謎なロジックなのかをちゃんと説明することですね。

  投稿者:冷蔵庫 - 2011/11/19(Sat) 16:50  No.11612 
スレが変わったので、TOSHIさんのブログのurlをもう一度貼っておきます。

TOSHIさんの記事を別の方がTeXでまとめられたページが、
http://d.hatena.ne.jp/iwata1sei/20080912
で、オリジナルは、
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/09/post-aff4.html
です。

>ASAさん No.11596

>そういう人とは、会話する気すら失せますね。

厳しいですね。

>具体的にどのロジックが謎なのでしょうか?
>"かなり"と"多用"と形容されてますが、有限個ですよね。具体的にいくつなのでしょうか?

数え方にも依りますが、5〜10個ぐらいですかね。
特に後半の、時間依存性をどうのこうの言い出したあたりがひどいです。
まあそれより、まずは「無限深さの井戸で『全領域でψ''=-k^2ψが成立』する理由」を教えてください。

>>ψ(L)V=0になる理由が『物理的に考えて』と説明されていますが、その意味するところがわかりません。
>冷蔵庫 さんの主張としては、物理的に考えるとψ(L)V=0以外の値をとりえるという主張でしょうか?

いいえ。

>『物理的に考えて』というのがわからないということでしょうか?

そうです。
ψ(L)V=0になる理由が『物理的に考えて』と説明されていますが、『物理的に考えて』の意味するところがわかりません。

  投稿者:ASA - 2011/11/19(Sat) 17:35  No.11613 
>まあそれより、まずは「無限深さの井戸で『全領域でψ''=-k^2ψが成立』する理由」を教えてください。
既に、答えました。人の話をちゃんと聞いてないと判断します(本当に相手する気が失せました。)
このように話がループするのも、冷蔵庫さんの特徴ですね。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/19(Sat) 19:59  No.11616 
こんにちは。

冷蔵庫さんが貼られたTOSHIさんのブログの記事 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/09/post-aff4.html を読まれた方が多いと思います。

>そこで,物理的にも,数学的に考えても,V(x)=∞なる領域:¬x∈[0,a]においては,確率振幅を示す波動関数の値はゼロ:ψ(x)=<x|ψ>=0 であると考えざるを得ません。

niftyのあもんさんからのコメントにあったように、またわたしの批判にあるように、オブザーバブルでないハミルトニアンを設定したことがボタンのかけ違いと思います。 これまでお話してきたつもりですがわたしの説明が粗野でご理解いただけていません。

http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/11/post-a3b8.html
>この問題に関連した話ですが,甘泉法師さんのときどき口にする疑問?:"ハミルトニアンの固有値,つまりエネルギーが無限大じゃなぜ悪いのか?"とか言うようなことについては私もついていけない話ですからこれはここでは考えません。
>こういうのは,あもんさんの得意な言葉である「ピグマリオン症」ではないけれど物理学以前の話ですね。

今一度説明を試みます。 
・有限深さ井戸または有限高さ障壁のハミルトニアンは束縛状態と非束縛状態の固有状態をもちこれらは完全系をなす(オブザーバブル)。
・無限深さ井戸または無限高さ障壁のハミルトニアンは深さまたは高さを∞にした極限である。
・極限をとる過程で、束縛状態だけを残し非束縛状態を捨てるのは乱暴です。丁寧に考えてハミルトニアンをオブザーバブルに保たないと、異なる複数の固有状態への遷移(例 運動量の測定による運動量固有状態への収縮)を正しく扱えません。

説明参考図: http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247319_3_1321311246.jpg の右図が参考図です。

 したがって

>ψ(x)=<x|ψ>=0 であると考えざるを得ません。

 障壁外でψ(x)=<x|ψ>≠0 となる例は、非束縛のエネルギー固有状態です。 

 非束縛状態の存在が明らかな深い井戸で説明しましたが、これと定数(V→∞)しか違わない高い障壁でもなんら事情はかわりません。

=甘泉法師=

PS TOSHIさん ブログでの発言についてここでコメントするのが不適当でしたらお詫びいたします。 すぐに削除しますのでコメントください。

  ピグマリオンとはミュージカル「マイフェアレディ」の原作ですね。イライザがレディになったように粗野な私に紳士たれ、ということか...と反省
♪ All at once am I, several stories high, knowing I'm on the street where you live ♪

  投稿者:ASA - 2011/11/20(Sun) 06:14  No.11620 
>オブザーバブルでないハミルトニアンを設定したことがボタンのかけ違い
 間違い。オブザーバブルであることが前提です。この前提に基づいて、pやらV等の作用素とその作用対象を規定するψへの境界条件が定まります。
 
 他にも間違いが多々あるので、指摘しきれません。
>有限深さ井戸または有限高さ障壁のハミルトニアンは束縛状態と非束縛状態の固有状態をもちこれらは完全系をなす
間違い。井戸又は障壁内部で基底状態の波数より小さい波数のものを固有状態の足し合わせで作ることはできません。なので全空間領域での状態関数に対して完全系をなしません。
(内部と外の波数にギャップがあるのに、全空間で同一の波数をもつ状態を構成できるわけが無い)

>(オブザーバブル)
 オブザーバブルの意味を履き違えている気がします。完全系をなすというのは要件でありません。要件として考えらるのは自己共役であること、つまり、関数ドメインの一致等があげられます。
>無限深さ井戸または無限高さ障壁のハミルトニアンは深さまたは高さを∞にした極限である。
間違い。ちなみに、無限深さ井戸の基底状態の波数kを記述してください(記述でき無いはず)。
>極限をとる過程で、
 極限をとらなくてもかまいません(一致する極限操作は可能です)。なので、批判として間違っている。

 ということで、
>障壁外でψ(x)=<x|ψ>≠0 となる例は、非束縛のエネルギー固有状態です。 
 これも間違い。
説明図にも間違いがあると思われますが、ここでは省略します。

>非束縛状態の存在が明らかな深い井戸で説明しましたが
 逆に束縛状態の存在が明らかでないですよ。

>定数(V→∞)しか違わない高い障壁でもなんら事情はかわりません。
事情がかわらないのなら、高い障壁で説明すべきです。勝手に前提であるモデルを変えることは許されません。
 (頂上が同じなら、そこに到るルートの状態も同じであるという類の間違いを犯しています。砂利道のルートもあれば、舗装済のルートもあるかもしれません。頂上が同じなので、でこぼこであるという砂利道の性質が滑らかな舗装済のルートに備わっているはずとした類の間違いです。)

  投稿者:サンマヤ - 2011/11/20(Sun) 09:34  No.11623 
話の論点がいまいち見えないので黙っていましたが、
甘泉法師さんに確認したいことがあります。
ASAさんが言われていることとほとんど同じことなのですが。

(1)有限深さ井戸の内部における非束縛状態の波動関数が書けますか?

(2)有限深さ井戸へ外から入射する自由粒子(E>0)の反射率が計算できますか?
これは量子力学固有の現象で古典的には反射はおきません。

(3)これらをポテンシャルV→無限大の極限にしたときどうなりますか?

これらをきちんと考えれば、有限深さ井戸と有限高さ障壁が同等でも、
無限深さ井戸と無限高さ障壁は同等に扱えないことがわかると思います。
というか、「無限深さ(ポテンシャルが-無限大)の内部」というのがそもそも無理な設定ではないでしょうか。
>定数(V→∞)しか違わない高い障壁でもなんら事情はかわりません。
定数が有限ならその通りです。
ですが、無限大が入ってきた時点でこれは成り立ちません。

  投稿者:TOSHI - 2011/11/20(Sun) 11:14  No.11624 
 TOSHIです。すこしだけ発言します。

 無限井戸でなく無限障壁ですが,設定は(p^2/(2m)+V)Ψ=EΨで[0,L]ではV=0,それ以外ではV=∞というのでいいですか?
(ちなみに剛体壁の容器の中の粒子ならx=L(あるいはL〜L+ΔL)のところだけでV=∞で外ではまたV=0という普通のトンネルトンネル効果のV無限大の極限ですから少し違います。)

 いずれにしろ,解はV=0の箱の中ではΨ=Aexp(±i√Ex),ゼロではない大きい正のVがありE<VならΨ=Bexp(±√(V−E)x)です。

 これはトンネル効果なら無限遠で有限なものx>0ではΨ=Bexp(−√(V−E)x),x<0ならΨ=Bexp(√(V−E)x)だけとって,もう片方の成分は無視します。

 今の場合は,Ψ=Bexp(±√(V−E)x)両方でxが無限大じゃなくてもV→∞ですから例えばx>0ならV→∞でΨ→0,∞ですから「物理的」に考えてx>0ではΨ=Bexp(−√(V−E)x)→0の解を採用します。

  ここまで詳しく書けばV=∞でΨ=0でVΨ=BVexp(−√(V−E)x)→0ですから「物理的」にVΨ=0と述べた意味わかるでしょう。

 ちなみにx表示でΨ(x)=<x|Ψ>,V(x)Ψ(x)=<x|V|Ψ>です。

 以下,またまた沈黙。。。。   TOSHI

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/20(Sun) 21:42  No.11626 
こんにちは。サンマヤさん

>(1)有限深さ井戸の内部における非束縛状態の波動関数が書けますか?

 はい。 井戸外での波数がk 井戸内での波数が√(k^2 + 2mV/h'^2)で、境界でψとψ’が連続な状態です。

 そうして求めた式については、琉球大学理学部前野先生の講義録
 http://homepage3.nifty.com/iromono/kougi/qm/qm2_9.html 3.5 井戸型ポテンシャル:束縛されていない状態
 偶関数と奇関数、それらを組み合わせた散乱解が記されています。

>(2)有限深さ井戸へ外から入射する自由粒子(E>0)の反射率が計算できますか?

 はい。 表式はたとえばwiki 井戸型ポテンシャルの
------------------------------------
 解釈(透過率と反射率)
このときの
<tex> |t|^2=\frac{16k'^2k^2}{2\left(k'^4+6k'^2k^2+k^4\right)-\left(k'^2-k^2\right)^2\left(e^{4m}+e^{-4m}\right)} </tex>   (18)
を透過率と呼び、
<tex> |r|^2=\frac{\left(k'^2-k^2\right)^2\left(2-\left(e^{4m}+e^{-4m}\right)\right)}{2\left(k'^4+6k'^2k^2+k^4\right)-\left(k'^2-k^2\right)^2\left(e^{4m}+e^{-4m}\right)} </tex>  (19)
を反射率と呼ぶ。
------------------------------------
 ですね。

>(3)これらをポテンシャルV→無限大の極限にしたときどうなりますか?

 透過率→0 反射率→1 でしょうか。

>これらをきちんと考えれば、有限深さ井戸と有限高さ障壁が同等でも、
>無限深さ井戸と無限高さ障壁は同等に扱えないことがわかると思います。

 前野先生、wiki での設定は 有限高さ障壁(井戸底がゼロ)にあたりますが、サンマヤさんのみたてでは有限深さ井戸(外がゼロ)だと違う透過率、反射率になるのでしょうか。そして深さか高さかで∞にしたさいのふるまいが違ってくるのでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/20(Sun) 23:02  No.11627 
 TOSHIさん こんにちは。

> 無限井戸でなく無限障壁ですが,設定は(p^2/(2m)+V)Ψ=EΨで[0,L]ではV=0,それ以外ではV=∞というのでいいですか?

 「V=∞」について
 物理として意味があるのは「Vがおおきいときにどういうふるまいになるか」ということです。有限障壁Vで諸量をもとめその表式中でV→∞とすることは意味があると思います。 もしV→∞と「V=∞」で諸量が食ひ違うなら、後者のやりかたは数学的遊びで物理的意味をもたないものと思います。

> ここまで詳しく書けばV=∞でΨ=0でVΨ=BVexp(−√(V−E)x)→0ですから「物理的」にVΨ=0と述べた意味わかるでしょう。

有限井戸の基底状態の場合、ポテンシャルの深さDと規格化された波動関数の井戸境界での値Bの関係は角θ
 D = D(θ)= hbar^2 / (2m) * (2/w)^2 * θ^2 (1 + (tanθ)^2 )
 B^-2 = B(θ)^-2 = (C cosθ)^-2 = w/2 ( 1 + 1 / (θtanθ) ) ) *(cosθ)^-2
でむすびついています。 wは井戸の幅 θ→π/2ー0 で無限井戸。  B〜D^-1/2 の具合で井戸が深いほど小さい。境界では
 Vψ=DB 〜 D^1/2 → ∞ です。 

=甘泉法師=

PS 昔の計算 http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail_target&commu_id=290&topic_id=14&com_range=82 を引き出してきたのでまちがってたらご指摘ください。

  投稿者:サンマヤ - 2011/11/21(Mon) 04:11  No.11629 
こんばんは。

1.波動関数の問題
V→無限大では、まず中での波動関数の波数が発散してしまいます。これにきちんとした意味を付与することはできないと思います。

2.透過率の問題
また、おっしゃる通り、
>透過率→0 反射率→1 でしょうか。
ですから、無限に深い井戸は、外界から入ることができないということになります。
(これは量子力学の面白い帰結だと個人的には思います)
一方、もともと中にあった波動が外へ出ていく透過率・反射率を計算すると、これも0と1になり、中にあった波動は外へ出られません。
つまり、V→無限大の極限では、全区間にわたる波動というのが存在しえず、
井戸の中と外は完全に隔離されるわけです。
(井戸の上を通過する非束縛状態というのが存在不可能になる。
内部の波動が出ていけないということは、すべて束縛状態へ移行することを意味します。)
これは無限ポテンシャルというのが、そもそもそういう理想化のものですから当然の帰結ではありますが。

以上の2点から、無限に高いポテンシャルの「内部」を扱う際には、
内部のポテンシャルを有限、外部を無限大にしたモデルで扱わなければならないと思います。

  投稿者:ひゃま - 2011/11/21(Mon) 05:15  No.11630 
そもそも無限深さ井戸中の波動関数って、たとえば現実どのような物理的状況を想定しているのですか?

  投稿者:ASA - 2011/11/21(Mon) 07:03  No.11631 
>Vψ=DB 〜 D^1/2 → ∞ です。

上記の式があっているかどうかは別として、
仮にあっていたとしても、そういう類の極限操作を採用しないだけですな。

例えばδ関数の積分表示∫exp(-ikx)dxがありますが、exp(-ikL)[L→∞]で値不定とするようなものです。

 よくみたら、左側(障壁内)からの極限操作ですね。右側極限(∞遠方から)だと、0になる模様。
 もともと、障壁内ではVが0ですから、物理的に不適切な極限計算を採用して、発散するとか主張しているわけです。
 甘利法師さんの主張は、こういったのが多いです。
 このことは、以前に指摘したことを思い出しました。以前の指摘を全く無視しています。

ps.
 甘利法師さんの計算では、一回微分が連続であることを前提にしています(つまり、左側(障壁内)からの極限操作)。前提としている系では、一回微分が内側と外側で連続ではありません。つまり、極限操作として違った場所にいき着くルートを選択していることに気づいていません(無限深さの井戸での束縛状態と同様の間違いです)。
 過去ログには、スレ主の以下の発言が見られます。

>No.4711< ここから
一方甘泉法師さんはポテンシャルの原点を井戸口にしているので、束縛状態と非束縛状態を両方相手にしています。また、井戸口からn番目の束縛状態と言った時に、Vを変えていくと下から数えた励起数が変わってしまいます。つまり「井戸口からn番目の束縛状態の波動関数」の極限がうまく定義されません。

有限のVのときは波動関数とその1階微分は連続です。私の考えではV極限をとると、波動関数は連続で井戸の外でゼロ。1階微分は井戸の壁で不連続になります。つまりもともとの連続性条件が、極限のもとで固定端境界条件になるということです。そしてこれは『完全に閉じ込められた粒子』の波動関数と一致します。
>No.4711< ここまで

また、No.4960から始まる運動量測定の話題も興味深いです。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/21(Mon) 08:42  No.11632 
こんにちは。サンマヤさん

>また、おっしゃる通り、
>>透過率→0 反射率→1 でしょうか。
>ですから、無限に深い井戸は、外界から入ることができないということになります。

共鳴散乱の扱いが気になっています。 kL=nπ/2の具合で波数が井戸の長さの逆数の整数倍だと100%透過しますが、V→∞によってk→∞だと共鳴の具合がよくわからなくなります。

で、たしかめます。 |t|^‐2 = 1 + R sin ^2 Θ とおいて |t|^2 をΘ[0、π/2]の積分 2/π ∫dΘ でならせば

|t|^2 = 1/√(R+1)→ 0 

共鳴散乱を考慮しても結果はかわらないようです。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/21(Mon) 09:14  No.11633 
>共鳴散乱をどう扱われましたか。
 共鳴散乱の存在は、束縛状態がスプリットされるという本論とは関係ありません。
 内側の波動関数の存在確率が、極限で0になることは変わりません。
イメージで説明すると、ワープしている(井戸の内部を無限大の速度で通過する)ので、井戸内部で観測する割合が、ほとんど0になってるわけです(振幅比を計算すればわかることですけど)

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/21(Mon) 12:55  No.11636 
こんにちは。サンマヤさん

>井戸の中と外は完全に隔離されるわけです。
>(井戸の上を通過する非束縛状態というのが存在不可能になる。

 面白いです。考えさせられました。 

 井戸の深さをDとして散乱状態の波動関数の井戸内での振幅  〜 1/√D は 束縛状態の波動関数の境界での値 〜1/√D と似ています。外から内部への「染み込み」です。
 染み出しは井戸外で指数関数で減衰しますが、染み込みは井戸内の振幅は一定で(井戸の長さは有限だからそれでもいいのでしょう。)おっしゃるように振動は激しい(波数が大きい)ですね。 
 波数が大きいのは井戸口に近いエネルギーレベルの束縛状態にも共通します。

>V→無限大では、まず中での波動関数の波数が発散してしまいます。これにきちんとした意味を付与することはできないと思います。
   
 波数の発散はたしかに気味が悪いですが、運動エネルギー T=E-V=p^2/2m=h'^2/2m k^2 との対応という「きちんとした意味」は持っています。 束縛状態の減衰係数κが無限大に発散するのも指数が実数か虚数かの違いで同様のカラクリですが極限ではψ’が不連続になってしまい気味が悪いといえば悪いでしょう。

 差T=E-Vはエネルギーレベル0の設定によらないことから井戸(外でV=0)か障壁(内でV=0)かの違いはないことがわかります。

>一方、もともと中にあった波動が外へ出ていく透過率・反射率を計算すると、これも0と1になり、中にあった波動は外へ出られません。

  先に計算した散乱解は外からの入射波に対する反射波と透過波でしたが、「もともと中にあった波動が外へ出ていく透過率・反射率を計算する」のはどういう具合にするのでしょうか…。
 それはともかく束縛状態は定常状態ですから時間がたっても外に逃げていきませんね。

>つまり、V→無限大の極限では、全区間にわたる波動というのが存在しえず、
>井戸の中と外は完全に隔離されるわけです。

 隔離はともかく、エネルギー固有状態が、井戸区間内で粗である非束縛状態と井戸区間外で粗である束縛状態に分類されるとは存じます。

>内部の波動が出ていけないということは、すべて束縛状態へ移行することを意味します。)

 その理屈を内外逆に適用すると 「外部の波動がはいっていけないということは、すべて非束縛状態へ移行することを意味します」とも言えてしまいませんか…。 

 どちらか片方へよせてしまうのでなく、ふたつ(束縛状態と非束縛状態)とも存在するようV→∞を考えるべきでしょう。 さもないとハミルトニアンがオブザーバブルでなくなることはこれまで何回か記しました。

 説明図をhttp://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247789_1_1321866996.jpgに描きました。ご参考まで。

=甘泉法師=


  投稿者:ASA - 2011/11/21(Mon) 14:39  No.11637 
>さもないとハミルトニアンがオブザーバブルでなくなることはこれまで何回か記しました。
 これが間違いであることは、これまで何回か述べました。

>E=0の少し上になる非束縛状態から、有限のエネルギーの放出があってE=0の少し下の束縛状態に移るようなふつうの落方をするのはもちろんです。
 これも間違い。E=0の少し下の束縛状態とやらは記述できないです。記述できないものに対しては、なんともいえないはずです。あえて述べるとすれば、「記述できないものは、存在しない」ですね。

 ちなみに、井戸での束縛状態のエネルギーの差(僞=E_n-E_(n-1))は、
 僞∝2n-1です。
井戸が深くなると、n→∞ですから、僞も発散します。普通の極限を考えたのでは、"E=0の少し下の束縛状態"など存在しません。
 ちゃんと計算しないで、場当たり的に考えを述べるから、支離滅裂です。

  投稿者:サンマヤ - 2011/11/22(Tue) 00:28  No.11639 
こんばんは。
ASAさんにほとんど答えられてしまっていますが、
>>内部の波動が出ていけないということは、すべて束縛状態へ移行することを意味します。)
> その理屈を内外逆に適用すると 「外部の波動がはいっていけないということは、すべて非束縛状態へ移行することを意味します」とも言えてしまいませんか…。
非束縛の定常状態というのは、たとえば左から粒子が入射し続けているような状況です。
Vが有限なら、一部は反射し、残りは透過し、また井戸の右端で反射と透過があって、
一部が出ていく。(左端の内部での反射と透過ももちろんあります)
このとき、何かスイッチがあって、入れるとポテンシャルが無限大になるとすると、
スイッチを入れた時に中にあるものは束縛状態へ、外にあるものは非束縛状態へと分離する、ということです。
波動がぶつっと切れてしまうわけです。
>どちらか片方へよせてしまうのでなく、ふたつ(束縛状態と非束縛状態)とも存在するようV→∞を考えるべきでしょう。
>さもないとハミルトニアンがオブザーバブルでなくなることはこれまで何回か記しました。
これへの反論として、搦め手から攻めたつもりだったのですが。
やはり本丸を攻めなければいけませんかw
もう一度ディラックなりアイシャムなりノイマンなりを読み直した上で、
説明をし直してもらえると助かるのですが・・・

PS.
ピグマリオンとは、自分の作らせた女神像に恋をした王様の話ではなかったでしたっけ?
むかーし読んだブルーバックス(「相対性理論のなんとか」)でピグマリオン症って話が出てきたような気がします。
(理論モデルに拘泥しすぎることへの諌めとして)

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/22(Tue) 08:21  No.11641 
 こんにちは サンマヤさん

>このとき、何かスイッチがあって、入れるとポテンシャルが無限大になるとすると、
>スイッチを入れた時に中にあるものは束縛状態へ、外にあるものは非束縛状態へと分離する、ということです。
>波動がぶつっと切れてしまうわけです。

 運動量の固有関数は非束縛の状態なので、束縛状態の運動量観測は、「ぶつっと切れ」た二種の間での状態遷移を問うています。

 ぶつっと切れてもう縁がないという考えからは、『束縛状態の運動量は観測できない』とか、『束縛状態を重ねあわせた新・真運動量固有状態がある』などのエキセントリックな考えが生まれます。

 もうお気づきのとおりわたしは有限井戸での二種の状態の関係は無限井戸でも続くとして、縁(フーリエ変換)をきっていません。 束縛状態のうち一番エネルギーの大きいもの(から下に有限番目のもの)を考えてみてください。波動関数の外への染み出しがあり両者をつないでいるでしょう。

 運動量固有状態は、井戸が有限だろうが無限だろうが、調和振動子ポテンシャルにかわろうが、XXポテンシャルになろうがまったくお構いなく変わらずに存在します。その運動量固有状態のエネルギーが測定できない(オブザーバブルでない)ハミルトニアンは物理的でないでしょう。

>もう一度ディラックなりアイシャムなりノイマンなりを読み直した上で、
>説明をし直してもらえると助かるのですが・・・

 説明をし直すと @有限井戸を考える Aフーリエ変換する B諸量の計算表式を求める。C式中の井戸の深さ→∞にする です。

 ディラックはもっていますので引用いただいて、不明な点やアキレス腱を指摘していただければありがたいです。

=甘泉法師=

Ref. Dirac §10 Observables

Not every real dynamical variables has sufficient eigenstates to form a complete set. Those whose eigenstates do not form complete sets are not quantities that can be measured. We obtain in this way a further condition that a dynamical variable has to satisfy in order that it shall be susceptible to measurement, in addition to the condition that it shall be real. We call a real dynamical variable whose eigenstates form a complete set an observable. Thus any quantity that can be measured is an observable.

... e.g. we shall assume the energy of any dynamical system to be always an observable, even though it is beyond the power of present day mathematical analysis to prove it so except in simple cases.

  投稿者:ASA - 2011/11/22(Tue) 10:27  No.11645 
甘泉法師さんNo.11641
上記は、全く意味不明。

初めからして理解不能です。

>運動量の固有関数は非束縛状態なので、運動量観測は、「ぶつっと切れ」た二種の間での状態遷移を問うています。
1. 運動量の固有関数は非束縛状態とは、どういうこと?
2."非束縛状態なので、運動量観測は、二種の間での状態遷移を問うています"とは、どういうこと?
 運動量観測は、運動量状態関数空間への射影というのがよくある解説です。そして、エネルギー固有状態間遷移は、エネルギー観測に関係するはずです。このエネルギー固有状態間遷移が運動量観測と関係するという論理が飛躍しすぎていて理解できません。
 以降も、いろいろ飛躍していてついていけません。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/22(Tue) 21:41  No.11651 
PS 説明図2種です。ご笑納ください。
固有状態の個数について http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247869_1_1321965333.jpg
∞+1について http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247869_2_1321965333.jpg

途中からごらんになったかたのためTOSHIさんとの議論の発端です。
あなたはどちら派? http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247877_1_1321969389.jpg 大学院の入試問題に出たらどう回答しましょうか。

=甘泉法師=

  投稿者:サンマヤ - 2011/11/23(Wed) 01:15  No.11652 
サンマヤです。
話の問題点を理解しました。

自分はパウリ派です。
箱の中のエネルギー固有値(無限高さ障壁モデルで考えています)が
<tex>E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2} n^2</tex>
と離散化している以上、運動量固有状態も離散化していて
<tex>p_n = \pm \frac{\pi \hbar}{a} n</tex>
であるべきです。なので、波動関数を運動量表示で展開するときは、
この運動量固有関数 $\phi_n(p)$ を用いた離散的な展開、
<tex>\phi(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \exp(-\frac{i}{\hbar}p_k x)</tex>
を用いるべきでしょう。
無限の井戸の上に非束縛状態(不可算無限個)があると考えること自体ナンセンスだと思いますが、
仮にあったとしても、
井戸の中の束縛状態(可算無限個)の展開に非可算無限個の状態関数を持ち込むことはできないと思います。
なぜならば、「表示独立性」により、状態のカウントはx表示、p表示かかわらず、
常に可算無限で同じであるべきだからです。
よって、フーリエ変換(積分)でなく、フーリエ展開を使うべきだと思います。
なるべく甘泉法師さんの言い方に即してみましたが、いかがでしょうか?

  投稿者:kafuka - 2011/11/23(Wed) 02:50  No.11654 
サンマヤさん

無限井戸の場合は、おっしゃる通りと思います。
無限箱の方についてですが、、、

>フーリエ変換(積分)でなく、フーリエ展開を使うべき
どちらを使っても、pが離散なら、ψ(p)=Σf(j)δ(p-Pj) になります。  f(j)は定数
(No.11601 で証明したつもりです)

甘泉法師さんの主張は、「pは連続固有値である」と僕は理解しています。
僕が思う、大きな理由は、
xのある部分で、p=±P0  別の部分で、0 というのは、
xとpは交換しないので、ナンセンス と思うからです。

>(E)が離散化している以上、運動量固有状態も離散化していて、、、
水素原子や調和振動子では、pは連続固有値ではないでしょうか?

無限箱のψ(x)は、無限に続くcosカーブの定義域を
−L/2〜+L/2 としたもの。(つまり、cosカーブと「台」の積ではない)
と言われるかとも思いますが、
「定義域をきって外を対象としない」とすると、x空間の等方性・一様性がなくなるわけで、
当然、xp−px=ih' も 意味がなくなります。
例えば、等方性・一様性がない半直線では、量子力学は成り立ちません。 
(以前、あさん が言っていたと記憶しています)
もちろん、極座標では、反対側に回り込めますから、量子力学は成り立ちます。

近似解を求めるなら「定義域をきって外を対象としない」でいいと思いますが、
厳密解の議論では、これは不適当と思います。

  投稿者:サンマヤ - 2011/11/23(Wed) 03:28  No.11655 
kafukaさん

一つだけ補足しておきます。
自分が箱の中をわざわざ障壁と断ったのは、ハミルトニアンが、
<tex> \hat{H} = \frac{1}{2m} \hat{p}^2</tex>
であり、エネルギーと運動量の同時固有状態になっているからです。
そのことを前提としてすっとばしてしまいました。

ここに一般の相互作用Vが入ってくると話は変わってきますね。
Vが0でないときは位置によって運動エネルギー、したがって運動量も異なりますから、
ハミルトニアンと運動量の同時固有状態というのはなくなります。

後半についてはよくわからないのですが、
そもそも完全に孤立して限定された空間という設定が、
量子力学の対象として不適当、ということでしょうか?

  投稿者:kafuka - 2011/11/23(Wed) 04:07  No.11656  <Home>
サンマヤさん
>前提としてすっとばしてしまいました
すいません。これは僕の方が気づくべきでした。

Hとxは交換しないですから、
ここのHは、これこれで、別の所では、これこれ というのは、マズイのでは?
(もちろん、Vとxは交換します)
また、xのある部分で、p=±P0  別の部分で、0 であるが、(もちろん、これ自体はいい)
xとpは交換しないので、これを「±P0の離散値だけ」というはおかしい。

>そもそも完全に孤立して限定された空間という設定が、
>量子力学の対象として不適当、ということ
そういう意味では、ありません。
V=∞ によって、孤立させるのは何ら問題ないです。

xp−pxの関係は、空間の等方性・一様性を前提に、ウイグナーの定理、ストーンの定理から
導出されます。 (他の方法もありますが)
C.J.アイシャム「量子論」 7.2.2観測器の変位と正準交換関係
    (http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/55883912.html
「xの定義域をきって外を対象としない」 ということは、
x空間の等方性・一様性がなくなるわけで、
当然、xp−px=ih' も 意味がなくなります。

つまり、箱のψ(x) の場合で言えば、
箱の外に はみ出した部分を、「定義域外」とした解はダメで、
cos(kx)に「台」を掛けたものを解とするのは、よい
ということです。

追伸:
ハイゼンベルグ描像では、Hとxは交換しません。
で、フォンノイマンの一意性定理により、ハイゼンベルグ描像と
シュレーディンガ描像は、同じ結果を与える と言えますから、
シュレーディンガ描像でも、Hとxは交換しないことになります。

  投稿者:ASA - 2011/11/23(Wed) 06:39  No.11657 
kafuka さん
>つまり、箱のψ(x) の場合で言えば、
箱の外に はみ出した部分を、「定義域外」とした解はダメで、
cos(kx)に「台」を掛けたものを解とするのは、よい
ということです。

これの意味がわかりません。
論理飛躍しているように見えます。
>「定義域外」とした解はダメで、
1. 駄目な理由を述べて下さい。
>cos(kx)に「台」を掛けたものを解とするのは、よい
2. よい理由を述べて下さい。


サンマヤ さん

>ここに一般の相互作用Vが入ってくると話は変わってきますね。

V=Constなど特殊な場合(Vとpとが交換)は、成立しますね。
今のケースに関係する興味深いケースが、有限な障壁の場合であります。
これを、仮に、x>0でV0のポテンシャル障壁としてV=V0θ(x):{θ(x)はステップ関数}とします。
 形式的には∂xV=V0δ(x)となり0ではないので、交換してないです。
しかし、状態ψがψ(x)=0を満足している場合、全域で[p,V]ψ=0となり交換していると看做せます。
このとき、Enが離散化していれば、同様にPnも離散化していることになります。
 この性質が、V0→∞極限でも成立しているなら、Pnは離散化していることになります。
 (物理的に考えて成立していると看做し、それが成立する条件やら極限操作を選択するわけですけど)
ちなみに、有限障壁の非束縛状態(ψ(x=境界)=0)に対して、フーリエ連続変換で求めたものでpの高次モーメントを計算すると、ψで求めたものと一致せず、しかも発散します(観測量が発散という物理的にありえないことが発生)。

  投稿者:不識庵 - 2011/11/23(Wed) 09:43  No.11658 
各位

甘泉法師さんの投稿No.11651を拝見させて頂き、ようやく論点が理解できた気がして来ました。
(気がして来ただけかもしれません。)

余りに難しい問題にて、直接的には私に出る幕は無さそうです。

無限に深い井戸は、計算を簡単にするため、もしくは理解を容易にするために、極限的な状況を作っているのだと思います。
私としては、この問題自身を深く考察する事には余り興味が湧きません。
(というか、手も足も出ない難問です。)

ただ、パウリ派とランダウ・リフシッツ派に関して言うと、同じ考え方に基づけば、有限の深さの井戸に対しても、両者の考え方で確率密度について差が出て来るように思います。
(有限の深さでも、比較的深い井戸で、低い方の準位なら、(近似的に)無限に深い井戸に近くなると思いますので・・・。)

量子井戸の吸収スペクトル等から、どちらが正しいのか、実験的に決める事は出来ないのでしょうか?

また大学院の入試に出た時は、「パウリの本にはこう書いてあって、ランダウ・リフシッツの本にはこう書いてあって、私の考えは××です。」とか書く事になるでしょうか?
(近々、大学院の入試を受ける事になりそうなので・・・。)

ちなみに、私は直感的にはランダウ・リフシッツ派です。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/23(Wed) 10:20  No.11659 
こんにちは。サンマヤさん

>この運動量固有関数  $\phi_n(p)$  を用いた離散的な展開、
><tex>\phi(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \exp(-\frac{i}{\hbar}p_k x)</tex>

この「運動量固有関数」  $\phi_n(p)$  はすべては(nが偶数のものと奇数のものは)直交しません。簡単な計算ですのでお確かめください。

この「運動量固有関数」  $\phi_n(p)$  は固有関数なのでΔp=0でない筈がないですね(本当?)。 …とするとΔxは有限なので不確定関係 ΔxΔp>h’/2を満足できません。

それでも使いますか?

>自分が箱の中をわざわざ障壁と断ったのは、ハミルトニアンが、
><tex> \hat{H} = \frac{1}{2m} \hat{p}^2</tex>
>であり、エネルギーと運動量の同時固有状態になっているからです。

 H=T+V(x) とおいて

 [H,p]=[V,p]= h'/i ( V d/dx - d/dx V ) = ih'V'

 障壁のV'(x)はどう評価しますか?  

ちなみに有限井戸(障壁)では

 [H,p] = ih'V' = ih'D(-δ(x+L/2)+δ(x-L/2)) D:深さ

 Dが有限な有限井戸でさえHとpは非可換なのにましてD→∞では....

> なるべく甘泉法師さんの言い方に即してみましたが、いかがでしょうか? 

ありがとうございました。 賛否はおいてご主張内容はよくわかりました。 

 こちらはいかがでしょうか?

 理解に資するため説明図をかきました。ご覧ください。

http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247938_1_1322033611.jpg
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247938_2_1322033611.jpg
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247938_3_1322033611.jpg

 =甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/23(Wed) 10:57  No.11660 
不識庵さん
 はじめまして。
>両者の考え方で確率密度について差が出て来るように思います。
 はい。違いがでます(No.11657 参照)
>実験的に決める事は出来ないのでしょうか?
 実験するまでもなく、観測量が発散するのは物理的に間違いです。
>とか書く事になるでしょうか?
 知識を問う問題ではないと思います。論証問題ですね。観測問題になりますから、量子力学体系の前提条件と観測事実との整合性をどのように考えるかということだと思います(物理的に考えられるかどうかを問う問題)。


甘泉法師 さん 相変らず間違ってます。
>直交しません。
 直交します(往復運動しているので、倍の距離2L走って元の状態に戻る。境界条件はφ(x)=φ(x+2L)。直交チェックは、周期的境界条件を与えた距離で積分します。)。
 (測定用の運動量空間と、測定対象の状態空間は別。イメージ的には、全長1メートルの物差しで、1cmの測定対象の長さを測るようなもの。物差しの長さと測定対象の長さを一致させる必要は無い。物差し上の長さの刻みは、整数倍でないといけないけども)
>不確定関係 ΔxΔp>h’/2を満足しません。
 満たしていますよ。
 しかし、満足しなくても測定対象の状態ではないですから問題ありません。観測器の状態と考えるなら、適当な周期境界条件を設けて離散化できますから、当然満足しますね。

  投稿者:kafuka - 2011/11/23(Wed) 13:28  No.11661 
ASAさん
すいません。
>cos(kx)に「台」を掛けたものを解とするのは、よい
というのは、このコメントだけの議論では「よい」という意味で、
他の条件を考えると不適当かも知れません。
他の解として、cos(kx)−H(x-L/2)cos(kx)−H(-x-L/2)cos(kx)
    ただし、H(x)はヘビサイド関数
もいいと思っています。

どこかの区間を「定義域外」とした解はダメな理由:
正準交換関係を導く http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/55883912.html において
1.二つの観測器o1,o2によって系を考察する。o1とo2は aだけ離れているとする。
  o1をa変位させてo2に一致させても、可観測量は同じ状況のはずである。
  したがって、o1,o2によって特定される状態ベクトルを|ψ>、|ψa>、
  観測後の状態ベクトルを|φ>とすると、
         |<φ|ψ>|=|<φ|ψa>|  
  でなければ、ならない。
2.1において、ウイグナーの定理(朝倉書店「現代数学ハンドブック」18.16ウイグナーの定理)
  から、ユニタリーまたは反ユニタリーな演算子D^(a)が存在して、
         |ψa>=D^ (a)|ψ>
  を満たすことができる。
3.さらに、第三の観測器o3を、aからの距離bにおくと、その状態ベクトル|ψb+a>は、
  o1が直接o3の位置に変位しても、o1がo2の位置に変位してから、o3の位置に変位しても、
  同じはずである。つまり、
         |ψb+a>=D^ (b+a)|ψ>=D^ (b)|ψa>=D^ (b)D^ (a)|ψ>
  であるから、
         D^ (b+a)=D^ (b)D^ (a)
  と言える。
4.特別な値、a=b=r/2 を考えると、D^ (r)=D^ (r/2)D^ (r/2)=D^ (r/2)^2
  D^ (r/2)^2 は、D^ (r/2)がユニタリー演算子か反ユニタリーに関係なくユニタリーである。
  したがって、D^ (r)は、ユニタリー演算子である。
    :
    :
と続くわけですが、
二つの観測器o1,o2 が、任意の点に置けること、
観測器o3を、a点からの任意の距離bにおけること、
最低、この2つの条件を、満たす必要があります。
x座標に「定義域外」の区間があるということは、そこには置けないとするか、
または、置いても、論理の一貫性から言って、
その結果を使っては、いけないはずです。
(もちろん、V=∞でも置けると考えています)
したがって、この証明のaやbが「定義域外」にあれば、上記の証明は意味をもたない 
と思います。

  投稿者:ASA - 2011/11/23(Wed) 14:50  No.11662 
kafukaさん

>二つの観測器o1,o2 が、任意の点に置けること、
 おけることは自体はOKですが。
>o2によって特定される状態ベクトルを|ψa>、
 離れすぎると測定不能になることが考えられますよね。
(実際、何百億光年離れた惑星の大きさなど測定できませんね)
なので、o2によって特定される状態ベクトル|ψa>というのが成立しない。
例えば、ψa=0であるとき、D^(a)なるものは意味を持たない。
>上記の証明は意味をもたない と思います。
はいそうですね。
>解はダメな理由
正準交換関係がうまく設定できないだけで、駄目なわけではありませんね。
ψ=0に対して、明らかに正準交換関係は成立してません([p,x]ψ=0)。
座標の定義域外でψ=0なら問題ないです。

>cos(kx)に「台」を掛けたものを解とするのは、よい
そもそも、"「台」を掛けたものを解とするのは、よい"というのがわからないのです。座標空間が連続でも、状態空間は分離していると考えているからですけど。

  投稿者:サンマヤ - 2011/11/23(Wed) 17:46  No.11663 
サンマヤです。

> kafukaさん、
「定義域外」でなく、V=∞の区間でψ=0、という条件を付けているにすぎません。
結局、積分の範囲を-∞から∞にとっても、
ψが0でない範囲は-LからLまでですから、どちらでも同じでは?

> ASAさん、
有限井戸の場合、考えようとしたのですが、話がそれるかと思って放置しました。
あとで計算をしっかりやってみようかと思います。

> 甘泉法師さん、
直交性についてはASAさんのおっしゃる通りだと思いますが、
不確定性原理について補足するならば、
運動量 $p_n$ と $-p_n$ の確率が半々なので、
 $<p>=0$ ですが、 $<p^2>=p_n^2$ であり、不確定性は0ではありません。
井戸の幅を乗じれば $h$ より大きくなります。
ちなみに、運動量 $p_n$ と $-p_n$ の二つの状態が同じエネルギーに縮退しているわけじゃありません。
この二つは観測しない限り区別つかない一つの状態です。
観測をいれると、壁を可動にしないといけないので、話が変わってきます。
壁の反射がつづくわけですから、これに周期的境界条件を加えて無限に続く形に広げた方が適切なモデルのような気がします。

自分としては、話の整理がかなりついてきた気がしています。
結局、境界条件についての考え方と、
それに起因する、内積計算の違いということになるでしょうか。

PS.
統計力学で周期的境界条件にするのは、こういっためんどくさい話を避けるためというのがよくわかりましたw

  投稿者:不識庵 - 2011/11/23(Wed) 17:54  No.11664 
ASAさん

ご教示有難うございます。

一点教えて下さい。

>実験するまでもなく、観測量が発散するのは物理的に間違いです。

運動量の確率密度ですが、パウリ流の、

W(pn)=W(-pn)=1/2

は発散しておりませんし、ランダウ・リフシッツ流の難しい数式の方も、分母の(p^2・a^2-π^2・h'^2)^2がゼロになる時は、cos2{(pa)/(2h')}もゼロになるので、発散はしないように思います。

私の勉強不足でしょうか?

出来ますれば、どのように発散が起きるのかご教示をお願い出来ないでしょうか?

よろしくお願い致します。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/23(Wed) 17:56  No.11665 
こんにちは。

kafkaさんのお考えのことに役立てられないかと思いマンガを描きました。ご笑納ください。

http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247948_1_1322038331.jpg
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247948_2_1322038331.jpg

ずれていればご容赦ください。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/23(Wed) 18:26  No.11666 
不識庵 さん
無限障壁の場合<p^2n>,n>2の計算で食い違いが生じます。
確認してみてください(分母がp^(4)で、これに、p^2n,n>2を掛けるわけです)。

サンマヤさん
>観測をいれると、壁を可動にしないといけないので、話が変わってきます。
壁を壊さなくても運動量測定は可能と考えてます(というか、壁を壊さない測定を前提に話をしてます)。以前の議論では、量子井戸に閉じ込められたエキシトンの例がだされました。ここでは、無限障壁に閉じ込められた粒子があり、これに、反粒子をぶつけ、対消滅により発生する光の波長を観測することで、対消滅時の粒子の運動量を得るという測定を想定します(非破壊でなく完全破壊検査。反粒子の運動量は精密に測定済み)。いわゆる理想測定(波束の収縮とか収束)とは、真逆の測定方法です。

>結局、境界条件についての考え方と、それに起因する、内積計算の違いということになるでしょうか。
 そうです。
境界条件というものは、物理的背景をもつためきちんと考えると奥が深いです。
>統計力学で周期的境界条件にするのは、こういっためんどくさい話を避けるためというのがよくわかりましたw
 閉じ込め問題をまともに考えると面倒です。物性では長波長領域はあんまり扱わないし、量子統計での状態の数という視点からもでも、Lと2Lの違いは、たかだか状態数1しか変らないので、無視できるわけですね。


  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/23(Wed) 18:50  No.11667 
こんにちは。

不識庵 さん
>出来ますれば、どのように発散が起きるのかご教示をお願い出来ないでしょうか?

わたしからご説明します。ランダウの|a(p)|^2 の式をみると分母はp^4ですから、p^4をかけて積分する、つまり<p^4>を計算すると発散します。<p^6>、<p^8>、…はなおさらです。これは非常識でないか?<p^4>=<p^2>^2になるパウリ派が正しいのではないか?という主張があります。

さて自家薬籠中の有限井戸について同様の計算をすると、やはり<p^6>以上が発散してしまいます。子細にみましょう。<p^6>を計算してみます。シュレジンガー描像で p=h'/i d/dx という微分演算子として考えます。部分積分で <p^6> = ∫ ψ* p^6 ψ dx = || p^3 ψ||^2 つまり波動関数を3階微分したものの大きさの2乗です。h’は省略しています。
波動関数を3階微分したものはどうなるでしょう。 井戸の境界のところで、ψ、ψ’は連続ですがψ" で左右がずれ不連続になってしまい。 3階微分ではδ関数になります。 これが積分が無限大になる具合です。
説明図 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_246594_1_1320545797.jpg
これと整合して有限井戸の|a(p)|^2 〜p^-6であることは 
http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail_target&commu_id=290&topic_id=14&com_range=82
の計算で確かめています。

このように波動関数をn回微分したものに不連続点があらわれると<p^2(n+1)>以上のモーメントが発散することがわかります。
この規則を無限井戸にあてはめると波動関数の不連続は1階微分 n=1 から始まるので<p^4>から発散することになり、|a(p)|^2での計算と一致します。
説明図 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_246562_1_1320513262.jpg

でははぜ エネルギー固有関数ψがC∞関数でなくある階数以上の微分で不連続になるのか? それは井戸ポテンシャルが数学的取り扱いの簡単さを優先し不連続だからです。厳密に不連続なポテンシャルというのは自然界にはありえませんね。(「自然界のポテンシャルV(x)はC∞関数、エネルギー固有関数もC∞」と予想します。)

さて冒頭の主張については、わたしは逆に井戸ポテンシャルなのに発散が起きないことがパウリ派の弱点と考えています。

ちなみにランダウ派でも、古典的極限では 壁内の往復運動の描像、 <p^2n>=<p^2>^n、が成り立ちます。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/23(Wed) 19:09  No.11668 
>実際のポテンシャルV(x)はC∞関数なので発散が起きないと考えています。
 これも間違い。
 一例として
 V=x^2 x<=0,V=0 0<x<L,V=(x-L)^2 L<=x
 という連続なポテンシャル(C∞関数)で計算すると、方程式を満足する定常状態のψは、C∞関数ではありません。
 (Lを調整すると、0<x<Lでcos(kx)というのとsin(kx)という2つのタイプが存在します。)
 これも、たぶん、甘泉法師さんに対して指摘済みです。
 各領域での解の形がexp(ikx)とHn*exp(-αx^2)と関数の形が違うので、当然境界での高次微分が違ってきます(一致するのは、精々2次微分まで。もし、全ての次数で微係数が一致するなら、同じ関数となる)。

  投稿者:kafuka - 2011/11/23(Wed) 19:18  No.11669 
ASAさん

>ψ=0に対して、明らかに正準交換関係は成立してません
ψ=0 に対する物理量は、固有値が定義できませんから観測できません、
物理量が観測できない場合は、量子力学の範囲外です、
したがって、成立しなくて、いいと思います。

解:
ψ(x)=cos(Kn x)    -L/2<x<L/2
ψ(x)=0       xが上記以外
は、共通認識と思っています。
  
解が、
ψ(x)=cos(Kn x)    xは-L/2<x<L/2で、xが上記以外は、ψ(x)の定義域外とする
定義域外は、議論しないから、p=±P0 である
というのは、ダメというのが、僕の主張です。

ご主張を、前後から考えますと、
ψ(x)=cos(Kn x)    xは-L/2<x<L/2で、xが上記以外は、ψ(x)の定義域外とする
定義域外は、V=∞なので、ψ(x)=0
ψ(x)=0の領域は、pの固有値に影響を及ぼさないから(関係ないから)
p=±P0 である
と理解しています。
(誤解だったら、以降はスルーして下さい)

僕は、一旦、ある領域を定義域外とした以上、そこの領域の性質や帰結を用いるのは、
「数学的手続きは一貫性が必要」ということから、
おかしい と思います。
 
>cos(kx)に「台」を掛けたものを解とするのは、よい(他の条件を考えなければ)
というのは、上記の解に一致し、定義域外とするxの領域がないからです。

  投稿者:kafuka - 2011/11/23(Wed) 19:23  No.11670 
サンマヤさん、ASAさん

>「定義域外」でなく、V=∞の区間でψ=0、という条件を付けているにすぎません。
そうとも言えますね。だったら、話は簡単です。

おっしゃるように、pの固有値が連続固有値でなく、±P0 だったら、そのψ(p)は、
フーリエ級数で求めても、
ψ(p)=δ(p−P0)+δ(p+P0)
フーリエ級数は、
ときわ台学によると、http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/14bibnh/201fur.html
「周期2πをもつ関数 f(x) に対して定義される級数」ですから、
このψ(p)を満足するψ(x)は、
何も条件がつかない cos(K0x)
つまり、箱の外にも「繰り返し」があるものです。
これは、元のψ(x)と矛盾

∴ pの固有値を±P0 としたのが誤り

「やっぱり、定義域外とする」のなら、、、

ψ(x)=cos(Kn x)    xは-L/2<x<L/2で、xが上記以外は、ψ(x)の定義域外とする
定義域外は、V=∞なので、ψ(x)=0
ψ(x)=0の領域は、pの固有値に影響を及ぼさないから(関係ないから)
p=±P0 である
ということになるでしょうか。

しかし、一旦、ある領域を定義域外とした以上、そこの領域の性質や帰結を用いるのは、
「証明は一貫性が必要」ということから、
おかしい と思います。

  投稿者:ASA - 2011/11/23(Wed) 19:56  No.11671 
kafuka さん
>誤解だったら、以降はスルーして下さい
誤解でしょう。
座標エリアによって状態空間が異なると考えます(座標エリアというより粒子の運動状況といった方が適切だけど)。ある状態空間は、ある特定座標エリア内で定義された関数セットで構成されます(方程式の解で境界条件を満たす)。V=∞のエリアは、存在しないという非常に特殊な状態空間に相当すると考えます(というか、数学的に考えると色々面倒だから、単なる条件としてのψ=0でなく、物理的に考えて妥当な、より強い制約Vψ=0を採用します。)。
 異なる状態空間の座標エリアでの接合条件が、連続とか一次微分が連続とかいうものです。これによって、全座標エリアにおける状態ψを表現します(各々の状態空間自体は、座標エリアが重なり合っていても別に構いません。)。

 以降の話は、よく理解できません。
 何ゆえ「数学的手続きの一貫性」が出てくるのか等々

ps.
>つまり、箱の外にも「繰り返し」があるものです。
違います。箱の内部こそが、折り返しなのです。往復運動していることをよく考慮してください(確率波を実体波と混同しているのか?)

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/23(Wed) 21:38  No.11672 
こんにちは サンマヤさん

>直交性についてはASAさんのおっしゃる通りだと思いますが、

わたしの計算は間違ってますか… http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247938_2_1322033611.jpg

TOSHIさんと同じお考えでしょうか。
*****************************************
ref. TOSHIさん http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/
 2008年11月13日 (木) フーリエ級数のフーリエ積分展開(1)

この展開では,完全系をなす直交関数系は三角関数ではなく{exp(ikπx/L)}(k=0,1±1,±2,..)です。

そして,この場合の関数の直交性は∫−L/2L/2exp(ikπx/L)exp(ilπx/L)dx=Lδk,-lです。

必要なら,{φk(x)}(k=0,1±1,±2,..);φk(x)≡L-1/2 exp(ikπx/L)と定義して,直交性を∫−L/2L/2φk*(x)φl(x)=δk,lと書いて正規直交系とすることもできます。
***************************************

なっとくするためどこがおかしいか指摘して引導をわたしてやってください。
 
>不確定性原理について補足するならば、
運動量  $p_n$  と  $-p_n$  の確率が半々なので、
 $<p>=0$  ですが、  $<p^2>=p_n^2$  であり、不確定性は0ではありません。

 |pn>と|ーpn>のペアの重ねあわせでないと不確定関係を満たさない。→単独では取り出せない。→つまり運動量が観測できない?

>この二つは観測しない限り区別つかない一つの状態です。

 おや、観測できる、すると観測後の運動量固有状態は不確定関係を満たさない? と前のコメントの発言の疑問に帰ります。

>観測をいれると、壁を可動にしないといけないので、話が変わってきます。

 運動量の情報はすべて波動関数に集約されていて、壁があるかないか/不動か可動か/なめらかかまさつがあるか等々は一切関係ないですよね。
 実際、pの関数f(p)の期待値の計算 ∫ψ* f(p)ψdx に壁のパラメターは一切顔を出しません。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/23(Wed) 22:08  No.11673 
こんにちは。kafukaさん

追加で「折り返しのアッチの世界」の漫画です。ご笑納ください。

http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247983_1_1322053428.jpg

=甘泉法師=

  投稿者:ひゃま - 2011/11/23(Wed) 22:54  No.11674 
テーマと関係ないかも知れませんが、タイトル汚しを
ひゃまの光の空間力では、存在自体にアイドル電流が掛かったA級アンプみたいな動作点なので、バイアスのないB級アンプみたいなことは考えません。
要は、こっちの世界しかないw
http://www.dynavector.co.jp/lecture/aclass.html

  投稿者:kafuka - 2011/11/23(Wed) 23:48  No.11675 
甘泉法師さん

面白い絵を、ありがとうございます。
大和撫子の絵 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247948_2_1322038331.jpg
が一番、気に入っておりますw

ところで、
ψ(x)が、cos(kx)に「台」を掛けるのではなく、
ψ(x)=cos(kx)−H(x-L/2)cos(kx)−H(-x-L/2)cos(kx)    
     ただし、H(x)はヘビサイド関数
としても、結果は同じです。
この場合、ψ(p)=δ(p-a) + δ(p+a)+1/2 exp(ipb)δ(p-a)+ 1/2 exp(-ipb)δ(p+a)
となり、御説のψ(p)と全く違ったものになります。

1つの問題に解が2つあることになりますが、
どう考えたらよいと思われますか?

  投稿者:サンマヤ - 2011/11/24(Thu) 04:14  No.11676 
こんばんは。

ちょっと考え直してみたのですが、
運動量の固有状態にあるというのは間違いでした。
一つの波動が、反射して右向きと左向きになり、
それの干渉の結果としてsin関数になるわけですから、
折り返されて一つの波と考えなければならないと思います。
そうすると、積分を-L〜Lまででなく、
折り返して積分することで-2L〜2Lまでで考えなければならないのではないかと。

ところで、水素原子の電子状態ならば、
運動量の観測値がいろいろな値を取るのは、
場所によってポテンシャルが異なる→運動エネルギーが異なる→運動量が異なる
と説明できますが、
井戸型ポテンシャルのようなポテンシャル一定の状況で、
エネルギーから計算される運動量と異なる絶対値の運動量が観測されたとするならば、
そこでのエネルギー保存則はどうなるのでしょうか?

  投稿者:ASA - 2011/11/24(Thu) 06:37  No.11677 
kafukaさん
>ψ(p)=δ(p-a) + δ(p+a)+1/2 exp(ipb)δ(p-a)+ 1/2 exp(-ipb)δ(p+a)
 これの絶対値は、
|ψ(p)|=|C|{δ(p-a) + δ(p+a)}
p=aとp=-aにのみ値を持つ分布といえますね。
これならば、pの高次期待値が発散するということはなさそうです。
(δ^2というのをうまく定義できたとして)

>1つの問題に解が2つあることになりますが、どう考えたらよいと思われますか?
 物理的に考えると期待値が発散する解は棄却ですね。

サンマヤ さん
>そこでのエネルギー保存則はどうなるのでしょうか?
 量子測定の問題は、デリケートです。非測定系と測定系との相互作用を通じて測定がなされるという測定モデルだと、非測定系に対して測定系がエネルギーを与えたと解釈できます(保存則は満たされる)。この測定モデルだと、極論すれば測定系の構成とそれがもたらす相互作用如何よってどんな値も可能となります(測定そのものの意義が問われる)。
 なので、先に述べた反粒子による破壊測定という測定モデルを前提にしてます。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/24(Thu) 08:19  No.11679 
こんにちは kafkaさん

>ψ(x)=cos(kx)−H(x-L/2)cos(kx)−H(-x-L/2)cos(kx)   

自分でも確認してみます。 見通しのいいように奇関数である符号関数 sgn(x)= 2(H(x) - 1/2),  H(x)= 1/2sgn(x) + 1/2 であらわすと

ψ(x)
=cos(kx)[ 1 − 1/2sgn(x-L/2) −1/2 - 1/2sgn(-x-L/2) -1/2 ]
=cos(kx)[ - 1/2 sgn(x-L/2)  + 1/2 sgn(x+L/2) ]

やはり、井戸の中でcoskx 外で0であることが確認されます。
フーリエ変換は井戸区間での cos kx e^-ipx/h' の積分です。どこかで計算違いがありませんか。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/24(Thu) 08:27  No.11680 
こんにちは。 サンマヤさん

>そうすると、積分を-L〜Lまででなく、
>折り返して積分することで-2L〜2Lまでで考えなければならないのではないかと。

 拙計算を確認いただきありがとうございます。
 -2L〜2Lだと箱をでてψ=0になりますが… 
 …あるいはサンマヤさんも「折り返したアッチの世界」にいくのですか?
 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247983_1_1322053428.jpg

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/11/24(Thu) 17:10  No.11682 
甘泉法師さん

不思議ですね、、、
cos(kx)でくくると、確かに台になりますね。
ひょっとして、
cos(kx)の -π/2〜+π/2 だけをフーリエ変換したものと、
cos(kx)に台を掛けたもののフーリエ変換は違う?
わかりません、、、

尚、僕の提示したψ(p)は、計算まちがいで、
正しくは
ψ(p)={δ(k-a)+δ(k+a)}−{半分のsin(kx)を左へずらしたもののフーリエ変換}
    +{半分のsin(kx)を右へずらしたもののフーリエ変換} 
={δ(k-a)+δ(k+a)}−i(1/2)exp(ibk){δ(k-a)-δ(k+a)}+i(1/2)exp(-ibk){δ(k-a)-δ(k+a)} 
={δ(k-a)+δ(k+a)}−(1/2)sin(bk){δ(k-a)-δ(k+a)}
のようです。
いずれにせよ、ASAさんの計算どおり、pの高次分散値が発散するということはなさそうです。

  投稿者:kafuka - 2011/11/24(Thu) 22:43  No.11684  <Home>
すいません。k=p/h' ですが、
pの関数ですから、kで書くのはおかしいですね。

ψ(x)=cos(P0x/h')−H(x-L/2)cos(P0x/h')−H(-x-L/2)cos(P0x/h')    
     ただし、H(x)はヘビサイド関数
ですから、
ψ(p)={δ(p-P0)+δ(p+P0)}−{左半分のsin(P0x/h')を-L/2ずらしたもののフーリエ変換}
    +{右半分のsin(P0x/h')を+L/2ずらしたもののフーリエ変換} 
のつもりです。
で、フーリエ変換の中のxが(x−a)なら、フーリエ変換の結果に exp(iak)=exp(iap/h') を、
掛けることになるので、
左半分のsin(P0x/h')や右半分のsin(P0x/h')の計算に帰着させられます。
半分のsin(P0x/h')のフーリエ変換は、(1/2)(1/i){δ(p−p0)- δ(p+P0)}
と思うのですが、、、

  投稿者:ASA - 2011/11/25(Fri) 11:35  No.11687 
kafuka さん No.11684
極限操作に関係しますね。
問題は、∫(0,∞)sin(kx)dx=I(k)の評価と考えます。
まず、∫(0,∞)cos(kx)dx=δ(k)/2として、
今、区間L(0,l)を除く積分 を考えます。
∫[L]sin(kx)dx=∫(-∞,0)sin(kx)dx + ∫(l,∞)sin(kx)dx
=-∫(0,∞)sin(ky)dy +∫(0,∞)sin(k(y+l))dy
=-I+∫(0,∞){sin(ky)cos(kl)+cos(ky)sin(kl)}dy
=(-1+cos(kl))I+sin(kl)δ(k)/2
L→∞で上式が成立するなら、
cos(kl)I+sin(kl)δ(k)/2=0
I=-tan(kl)・δ(k)/2
tan(kl)が確定値(-1)として、l→∞を考えるなら
I=δ(k)/2という分布が成立しているとみなせる。
(kl=π(1/2+n)を除く)
つまり、
∫(0,∞)sin(kx)dx=∫(0,∞)cos(kx)dx
原点をπ/2移動しても、積分結果は変らないと結論付けできます。
しかし、k=0のときsin(kx)=0なので、不整合が生じます。
tan(kl)をどうみるかで結論が変わります。
tan(kl)の平均をとると、0なので、
I=0とみなせますね(I(k=0)=0なので矛盾しない)。
こちらの方が適切でしょう。

ちなみにダンプファクタexp(-εx)を掛けて
∫(0,∞)exp(ikx-εx)dx=1/(ik-ε)
ε→0の極限で
∫(0,∞)exp(ikx)dx=1/ikとなります。
この極限操作だと、∫(0,∞)sin(kx)dx=-1/kですが、
∫(0,∞)cos(kx)dx=0
となってしまい、
∫(0,∞)cos(kx)dx=δ(k)/2
が導けないので採用できないです。
∫(0,∞)cos(kx)dx=δ(k)/2というのが成立する極限操作を採用するなら、
前述のロジックによりI(k)=∫(0,∞)sin(kx)dx=0が適切です。

  投稿者:kafuka - 2011/11/25(Fri) 16:49  No.11688 
ASAさん、手助け、ありがとうございます。

∫(0,∞)cos(kx)dx=(1/2)∫(0,∞){exp(ikx)+exp(-ikx)}dx
=(1/2)∫(0,∞){exp(ikx)dx+∫(0,∞)exp(-ikx)}dx
=(1/2)∫(-∞.0) exp(-ikx)dx+∫(0,∞)exp(-ikx)dx
=(1/2)∫(-∞.+∞) exp(-ikx)dx
=δ(k)/2
ですね。

∫(0,+∞)dx sin (x)
は、Limα→∞∫(0,2πα)dx sin(x) とすると、
打ち消し合って0 のような気がします。
一方、
∫(0,∞)cos(kx)dx=δ(k)/2 は、
打ち消し合わない部分が積み重なって、δ(k)/2 になる
のだと思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/25(Fri) 17:03  No.11689 
 こんにちは。サンマヤさん

>井戸型ポテンシャルのようなポテンシャル一定の状況で、
>エネルギーから計算される運動量と異なる絶対値の運動量が観測されたとするならば、
>そこでのエネルギー保存則はどうなるのでしょうか?

 [H,p]≠0ですから運動量をエネルギー固有状態について観測すると、エネルギー固有状態ではいられなくなります。
ref. http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247938_1_1322033611.jpg
 運動量観測はエネルギーを保存しません。

 運動量測定のひとつの例(電子運動量分光法)。衝突前後で運動量のわかる高エネルギービームをぶつけて井戸内の粒子を励起して自由空間に出しその運動量を測り運動量保存から井戸内でもっていた運動量分布を知る。反復可能性のない第2種測定過程です。

=甘泉法師=

PS 井戸が深いほど大きなビームエネルギーが必要です。 
 このエネルギー障壁はどんなものでもよじ登れないほど高い    盾
 このビームはどんなものでもたたき出すほどエネルギーが大きい  矛
 

  投稿者:ASA - 2011/11/25(Fri) 17:18  No.11690 
kafuka さん
>打ち消し合わない部分が積み重なって、δ(k)/2 になる
振動の足し合わせですから、打消しが基本です。
たまたま、k=0だとcos(kx)=1となって、積分値が0でない値をもちます。

  投稿者:ASA - 2011/11/25(Fri) 17:48  No.11691 
甘泉法師さん
 矛盾は、ないです。そういった類の観測ができないだけですね。

 全く、甘泉法師さんの考えが判らないのです。
 甘泉法師さんのいうフーリエ変換から求めた運動量の観測確率というのは、矛盾しているものであるという主張でしょうか?

  投稿者:ASA - 2011/11/25(Fri) 18:41  No.11693 
甘泉法師 さん

人に提案する前に、まず、あなたが
∫(0,+∞)dx cos (kx) = [ sin kx / k ](0,+∞) を評価すべきでしょう。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/25(Fri) 20:19  No.11694 
こんにちは。kakukaさん 


√h ψ(p)= ∫(-L/2,+L/2) cos πx/L exp(-ipx/h') dx  これを素直に計算すれば

= 1/2  ∫(-L/2,+L/2) expi(πx/L-px/h') + expi(-πx/L - px/h') dx
 
=  [ - expi(πx/L - px/h')/ i(p/h' - π/L) + expi(-πx/L - px/h') / i(p/h' + π/L) ](-L/2,+L/2)

=  sin(pL/2h' - π/2)/ (p/h' - π/L) - sin(pL/2h' + π/2)/ (p/h' + π/L)

= -  cos(pL/2h' )/ (p/h' - π/L) + cos(pL/2h' )/ (p/h' + π/L)



あえて御説のように差し引きの形にみて
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_248179_1_1322264998.jpg
√h ψ(p)

= ∫(-∞,+∞)dx cos πx/L exp(-ipx/h')  - ∫(-∞,-L/2) dx cos πx/L exp(-ipx/h')  - ∫(L/2,+∞) dx cos πx/L exp(-ipx/h')

積分区間を0からに直して

= ∫(-∞,+∞)dx cos πx/L exp(-ipx/h')  - exp(ipL/2h')∫(-∞,0) dx sin πx/L exp(-ipx/h')  + exp(-ipL/2h')∫(0,+∞) dx sin πx/L exp(-ipx/h')

積分区間をくっつけられるものと半無限区間のものに分けて

= ∫(-∞,+∞)dx cos πx/L exp(-ipx/h')  - i sin(pL/2h')∫(-∞,+∞) dx sin πx/L exp(-ipx/h')  + cos(pL/2h')∫(0,+∞) dx sin πx/L cos px/h'

= ∫(-∞,+∞)dx cos πx/L exp(-ipx/h')  - i sin(pL/2h')∫(-∞,+∞) dx sin πx/L exp(-ipx/h')  +  cos(pL/2h')∫(0,+∞) dx { sin (πx/L + px/h') + sin (πx/L - px/h') }

第1、2項はδ関数の式 ∫e^ikx dx = 2πδ(k) をつかって 第3項は積分をして 

= πδ(π/L‐p/h') + πδ(π/L+p/h') -  πδ(π/L‐p/h') - πδ(π/L+p/h') + cos(pL/2h')〔 - cos (πx/L + px/h') / (π/L+p/h') + cos (px/h' - πx/L ) / (p/h' - π/L) ](∞,0)

= cos(pL/2h')〔 - cos (πx/L + px/h') / (π/L+p/h') + cos (px/h' - πx/L ) / (p/h' - π/L) ](∞,0)

= cos(pL/2h')〔 - cos (πx/L + px/h') / (π/L+p/h') + cos (px/h' - πx/L ) / (p/h' - π/L) ](∞,0)

 x=∞で cos {(π/L + p/h')∞}= cos {(p/h' - π/L )∞}= 0 と振動の平均で評価。
 特に分子→0の場合を吟味する。 分子をεとおくと 1、2項とも
 limε→0 lim x→∞ ±cos(εL/2±π/2) (- cos εx)/ ε =  limε→0 lim x→∞ sin (εL/2) cos εx / ε = L/2 limε→0 lim x→∞ cos εx = 0 とやはり振動の平均で評価。

= cos(pL/2h') 〔  1 / (π/L+p/h') - 1 / (p/h' - π/L) ]


と一致します。 ふ〜。

PS
>いずれにせよ、ASAさんの計算どおり、pの高次分散値が発散するということはなさそうです。

 kafkaさんも.....そう思われますか....発散は異端でせうか....○| ̄|_   

=甘泉法師=

(小さい声でつぶやき)「...それでも<p^4>は発散している。」


  投稿者:kafuka - 2011/11/25(Fri) 23:23  No.11696 
甘泉法師さん

No.11692 やってみました。

k+p をkと置きなおして、
∫(0,+∞)dx sin(kx)=∫(-π/2k,0)dx cos(kx)+∫(0,+∞)dx cos(kx)
右辺第2項は、No.11688より、
=1/k + δ(k)/2
したがって、
=1/(k+p) + δ(k+p)/2

おっしゃる通りです。
大変な計算、申し訳ありませんでした。

  投稿者:ASA - 2011/11/26(Sat) 07:00  No.11697 
kafuka さん
∫(0,+∞)dx sin(kx)=1/k + δ(k)/2
これだとまずいですよ。
k=0のとき0で無いですから、
k=0のときsin(kx)=0です。
0を積分して足し合わせても結果は0にしかなりません。
なので、このような計算をするとまずいです。

  投稿者:不識庵 - 2011/11/26(Sat) 10:05  No.11699 
ASAさん、 甘泉法師さん、

返事が遅くなりました。
ご教示有難うございます。

私としては、運動量の確率密度のみに注意が向いておりました。
<p^4>等、運動量のべき乗の期待値には注意が及んでおりませんでした。
何を今さら、という感もおありかと思いますが、理解に時間のかかる性質でありまして、ご容赦下さい。

さて、皆様のご厚意に甘えて、もう一つ愚問を申し上げたくお願い致します。

どうも、<p^4>等、運動量のべき乗の期待値が発散する事が問題のようです。
私としては、どうしてこれが問題なのか、理解できておりません。

もちろん有限になるべき量が発散するのは問題ですが、それがもし発散すべき量なのであれば、発散するのが正しいという事になると思います。

例えば、井戸型ポテンシャルでなく、力の作用しない自由粒子を考えます。
位置が特定できていたとすると、波動関数はデルタ関数のような関数になり、全ての運動量は等しい確率で現れる事になります。
この場合、<p^2>、<p^4>、<p^6>等、nを自然数として<p^2n>は全て発散すると思います。
自由粒子の場合でも、<p^2n>が発散しない波動関数のみが許されるという事になるのでしょうか?

例えば、<p^100>とか、もっと極端に<p^1000000>も発散しちゃいけない、とか言い出すと、本当にそんな波動関数があるのかという気もして来ます。
(さらに極端に<exp(p^2)>も発散しちゃいけない?)

無限深さの井戸の<p^2n>が有限でなければいけないのは、どのような理由によるのでしょうか?
実験的根拠があるのでしょうか?

ご教示をお願い致します。

  投稿者:ASA - 2011/11/26(Sat) 10:15  No.11700 
不識庵さん
>もちろん有限になるべき量が発散するのは問題ですが
そういうことです。
>自由粒子の場合でも、<p^2n>が発散しない波動関数のみが許されるという事になるのでしょうか?
 エネルギー固有状態で<p^2>が有限なのに<p^2n>(n>1)が発散したら変です。
>どのような理由によるのでしょうか?
 エネルギー固有状態だから
>実験的根拠があるのでしょうか?
 無限深さの井戸は、実現不能だから実験的根拠は無いのでは?
 ちなみに、有限井戸の非束縛状態でも発散します。
 これは、物性における伝導電子モデルに該当しますが、伝導電子の運動量の高次<p^2n>の値が発散しているということはありません。

  投稿者:不識庵 - 2011/11/26(Sat) 13:25  No.11702 
ASAさん、

早速のご教示、ご教示有難うございます。

幾つか愚問を繰り返します事、ご容赦下さい。

>>自由粒子の場合でも、<p^2n>が発散しない波動関数のみが許されるという事になるのでしょうか?
> エネルギー固有状態で<p^2>が有限なのに<p^2n>(n>1)が発散したら変です。
>>どのような理由によるのでしょうか?
> エネルギー固有状態だから

これは何故でしょうか?
何故、エネルギーの固有状態で<p^2>が有限の場合に、<p^2n>(n>1)が発散したら変なのでしょうか?

実験的にそうだと言われればその通りと思うのですが、ASAさんの仰る通り、実現不能の系で実験的根拠があるはずもありません。
ご教示よろしくお願い致します。

さらにもう一つ。

>ちなみに、有限井戸の非束縛状態でも発散します。
>これは、物性における伝導電子モデルに該当しますが、伝導電子の運動量の高次<p^2n>の値が発散しているということはありません。

結局、発散するという事でしょうか?、しないというという事でしょうか?

合わせてご教示お願い致します。

  投稿者:ASA - 2011/11/26(Sat) 14:34  No.11703 
不識庵 さん
>何故、エネルギーの固有状態で<p^2>が有限の場合に、<p^2n>(n>1)が発散したら変なのでしょうか?
p^2観測値が発散しているから

>結局、発散するという事でしょうか?、しないというという事でしょうか?
観測値が、発散するわけがないです。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/26(Sat) 14:46  No.11704 
こんにちは 不識庵さん。

問 井戸の古典的極限はボールの壁間の往復運動である。この古典的運動で運動量は pとーpであり、(±p)^2nは有限値である。
量子力学の計算で<p^2n>が発散するならば、古典力学と矛盾するのでその計算法はまちがっている。

答 <p^4>は発散する。ほかにも量子力学でn次モーメントが発散する例は不識庵さんのお話のとおり。
なお古典的極限( h'→0 n→∞)では<p^4>=<p^2>^2になるので古典力学とは矛盾しない。より詳しくは Re: 箱の中(運動量のパラドックス)について 甘泉法師 - 2011/11/04(Fri) 00:11 No.11412  補足2

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/11/26(Sat) 14:53  No.11705 
>ASAさん

僕の計算、設定がおかしいですね。
k→0 で、sinの積分の始点が、−∞ になりますから。
cos積分の始点を、原点の右にずらしても、1/k の項がでますから、
結局、∫(0,+∞)dx sin(kx) の積分範囲を、2つに分ける設定は、
ダメと思います。
尚、広義積分では、
∫[0,+∞] cos(kx)dx の場合、
=lim[X→∞]∫[0,X]cos(kx)dx
=lim[X→∞] -sin(kX) - 0
X→∞ とすると値は振動して収束しません.
よって,積分は収束ないことになり、
正しい答え:δ(k)/2 になりません。


>有限井戸の非束縛状態でも発散します。
>観測値が、発散するわけがないです。
測定器の許容限度いっぱいの値が得られ、
測定器の許容限度を、もっと大きくすると、いくらでも大きな値が得られる
ってことでは、ないですか?

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/26(Sat) 15:24  No.11706 
 こんにちは kafukaさん

>測定器の許容限度いっぱいの値が得られ、
>測定器の許容限度を、もっと大きくすると、いくらでも大きな値が得られる
>ってことでは、ないですか?

 そう思います。 で、観測できたデータの頻度をpに対してプロットすると|a(p)|^2〜1/p^4になっている。

=甘泉法師=

PS
>結局、∫(0,+∞)dx sin(kx) の積分範囲を、2つに分ける設定は、
>ダメと思います。

 ∫をそのままにして楽しんでおられますが、sinの積分は-cosとさっさと積分するのが早いです。
 - cos(k∞)/k + 1/k

 前の計算で吟味の荒さを修正しました。


 

  投稿者:ASA - 2011/11/26(Sat) 16:01  No.11707 
>∫をそのままにして楽しんでおられますが、sinの積分は-cosとさっさと積分するのが早いです。
 - cos(k∞)/k + 1/k

以前の議論をふまえて、k=0以外でcos(k∞)=1と看做すわけですね。
ちなみに、∫(0,+∞)dx cos(kx)では、k=0以外でsin(k∞)=0 と看做します。これは、tan(kL)=0でL→∞の極限操作に該当します。

余談
>古典的極限( h'→0 n→∞)
これも間違い。
さらにNo.11412の計算も間違い。
よって
><p^4>=<p^2>^2になる
も間違い。
間違いに間違いを重ねているから、丁寧なコメントができません。

  投稿者:kafuka - 2011/11/26(Sat) 21:56  No.11708 
ASAさん

僕は、k=0以外でsin(k∞)=cos(k∞)=0 と思います。
したがって、
−cos(k∞)/k + 1/k=1/k

理由は、、、
No.11696を、ちょっと変えて、cos積分の始点を、原点の右にずらした場合、
∫(0,+∞)dx sin(kx)=∫(0,π/2k)dx sin(kx)+∫(π/2k,+∞)dx sin(kx)
=1/k+δ(k)
ですが、k≠0 では、
右辺第二項は、δ(k)=0 なので、
=1/k
で、話が合います。

問題は、k=0 ですが、
∫(0,+∞)dx sin(0)=∫(0,∞)dx sin(0)+∫(+∞,+∞)dx cos(kx)
であり、右辺第二項は、0と考えれば、
これは、1/k じゃなく 0 になります。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/26(Sat) 22:35  No.11709 
 こんにちは。kafkaさん  

>−cos(k∞)/k + 1/k=1/k

 左辺第1項の評価を補ってみます。

  評価すべきは  lim x→∞  cos(pL/2h')〔 - cos (πx/L + px/h') / (π/L+p/h') + cos (px/h' - πx/L ) / (p/h' - π/L) ]

 分子が0でない場合、振動の平均をとり cos {(π/L + p/h')∞}= cos {(p/h' - π/L )∞}= 0。

 分子→0の場合を吟味する。 分子をεとおくと1、2項とも係数cos(pL/2h')も含めて考えると

 limε→0 lim x→∞ ±cos(εL/2±π/2) (- cos εx)/ ε =  limε→0 lim x→∞ sin (εL/2) cos εx / ε = L/2 limε→0 lim x→∞ cos εx = 0 とやはり振動の平均で評価。

=甘泉法師=

  投稿者:冷蔵庫 - 2011/11/27(Sun) 01:14  No.11710 
冷蔵庫です。相変わらずレス遅れがちですみません。

>ASAさん No.11613

>>まあそれより、まずは「無限深さの井戸で『全領域でψ''=-k^2ψが成立』する理由」を教えてください。
>既に、答えました。人の話をちゃんと聞いてないと判断します(本当に相手する気が失せました。)
>このように話がループするのも、冷蔵庫さんの特徴ですね。

えーと今回私は基本的にはずっと1つの同じ質問「『ψ''=-k^2ψが成立』するのは何故か」をずっと伺っています。
それに対するASAさんの返答が、少なくとも私のNo.11472のコメントの時点では、答えになっているとは思えないのですよ。
これまでのやり取りをまとめておくと、

 ψ''=-k^2ψが成立するというのは何故?
→Hψ=Eψで、V→∞でもψ(L)V=0が成立してると看做すから

 『V→∞でもψ(L)V=0が成立してる』とみなせるのは何故?
→TOSHIさんのブログの議論で尽きている

 ブログには「物理的に考えて」と書かれているけどどういう意味?


といった感じですかね。
細かいところ端折ったので、正確ではないところもあると思いますが。
疑問点に対して答えを用意してくれているんだけど、
その答えっていうのがもう少し説明してくれないとわからないような答えなのですよ。
繰り返しになりますが、これは「『ψ''=-k^2ψが成立』するのは何故か」という質問の延長です。
そしてASAさんから最終的な答えは頂いていなかったと認識しています。
少し後に、TOSHIさんから「物理的に考えて」の説明がありましたが。
これに対してはまた後日コメントしたいと思います。

ここまで言えばわざわざ説明するようなことではないと思いますが、私の

>まあそれより、まずは「無限深さの井戸で『全領域でψ''=-k^2ψが成立』する理由」を教えてください。

というコメントは、

>まあそれより、まずは
(TOSHIさんのブログのよくわからない箇所の話をする前に)
「無限深さの井戸で『全領域でψ''=-k^2ψが成立』する理由」
(に関する質問の答え)
を教えてください。

程度に言葉を補って読んでください。
「話がループする」、というのは、
始めにしていた話から、どんどん別の話に移っていって、また始めの話に戻る、
といった場合に使う言葉だと思います。
今の場合私は「『ψ''=-k^2ψが成立』するのは何故か」という質問をずっとしているので、
ループとは言わないと思います。

  投稿者:kafuka - 2011/11/27(Sun) 02:13  No.11711 
冷蔵庫さん

無限壁の箱で『全領域でψ''=-k^2ψが成立』する理由」ならわかります。

実は、ある先生に、無限壁の箱について御意見をお伺いしたのですが、、、
(私信なので、概略だけ書きます)
まず、
無限壁の箱の波動関数は壁で値が消える条件を課されますが、
その関数を集めて作る状態べクトル空間を考えます。
この空間の元は、壁で波動関数が消える関数だけからなります。

微分∂x を作用させた新しい関数は、壁で消えません。
したがって、
この場合の p=-ih' ∂x は状態ベクトル空間の元を、
その空間に含まれなくしてしまいます。

つまり、pは状態空間の作用素になっていません。
(パウリ解のψ(p)もランダウ解のψ(p)も無意味ということになると思います)

しかし、この場合のハミルトニアンHはpの2乗に比例するため、
それぞれの関数にHが作用しても、壁で値が消える条件を満たします。
そのためHは、この状態ベクトル空間の演算子になっています。
したがって、
Hψ(x)=(1/2m)P^2ψ(x)が成立します。  (Pは固有値)

とのことです。

  投稿者:ASA - 2011/11/27(Sun) 06:34  No.11712 
冷蔵庫 さんNo.11710
>ASAさんから最終的な答えは頂いていなかったと認識しています。
 回答はしました(以前のものが最終的なものです)。
>ブログには「物理的に考えて」と書かれているけどどういう意味?
 わからないなら、それまでです。

  投稿者:ASA - 2011/11/27(Sun) 06:51  No.11713 
kafuka さん No.11708

>No.11696を、ちょっと変えて、cos積分の始点を、原点の右にずらした場合、
∫(0,+∞)dx sin(kx)=∫(0,π/2k)dx sin(kx)+∫(π/2k,+∞)dx sin(kx)
=1/k+δ(k)
ですが、k≠0 では、
右辺第二項は、δ(k)=0 なので、
=1/k
で、話が合います。

 同様にcos積分の始点を変えるとどうなりますか?
 特に
>問題は、k=0 ですが、
 でどうなりますか?

 sinとcos積分評価において、始点は同じでないといけません。
 そこで、tan(kL)が意味を持ちます。原点を始点にするならtan(kL)=0です。 cos(k∞)の評価を平均を取るとかいうのは、適切でありません。

余談
∫(0,+∞)dx sin(kx)=I(k) k=0以外とする
両辺をkで不定積分
∫(0,+∞)dx(-cos(kx)/x)=∫dk I(k)
y=kxと置換
∫(0,+∞)(dy/k)(-cos(y)k/y)=∫dk I(k)
∫(0,+∞)dy(-cos(y)/y)=∫dk I(k)
左辺は、kの値にかかわらず一定
右辺が、kの値に依存した関数だと矛盾

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/27(Sun) 08:38  No.11714 
こんにちは。

kafkaさん

>無限壁の箱の波動関数は壁で値が消える条件を課されますが、
>その関数を集めて作る状態べクトル空間を考えます。
>この空間の元は、壁で波動関数が消える関数だけからなります。

>微分∂x を作用させた新しい関数は、壁で消えません。
>したがって、
>この場合の p=-ih' ∂x は状態ベクトル空間の元を、
>その空間に含まれなくしてしまいます。

>つまり、pは状態空間の作用素になっていません。
>(パウリ解のψ(p)もランダウ解のψ(p)も無意味ということになると思います)

まず言ってしまうと無限井戸は実在しません。実在しないものについて説をだしても実験で確かめようがないので物理の話にはなりません。
無限井戸の議論はよくいえば数学、さもないと「何人の天使が針のまわりを踊れるか」のような無駄話に堕してしまいます。

物理として無限井戸を俎上に乗せる以上、実在のものと関係しそれを理解するのに役立たない限りは意味がありません。それが物理の議論をはじめるにあたっての共通理解と存じます。このためランダウたちは「実在する有限井戸がどんどん深くなっていくとどういう傾向にあるか」をみています。
@有限井戸を考える Aフーリエ変換をする B物理の諸量を求める Cその式中の井戸の深さDを大きくして具合を見る。
p=-ih' ∂x は状態ベクトル空間の元をその空間に含んでおりフーリエ変換が使えます。境界での波動関数〜D^-1/2 (Dは井戸の深さ)です。

=甘泉法師=

cf http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/ 2008年9月10日 (水)箱の中の粒子の運動量について(決着版) へのコメント
*******************************
TOSHIさん フォロミーでの裁定ありがとうございました。裁定を受けての私の理解で
有限井戸、”パウリ井戸”、”ランダウ井戸” 3つの整理図を書いてみました。
ご笑納ください。

ふるまい(イメージ)
○↑
○|○○○○○○○★ パウリ井戸 
○|○○○○○○○○(無限障壁,無限深さ井戸,
○|○○○○○○○○  完全に閉じ込められた粒子) 
○|○○○○○○○○ 運動量表示φ(p)離散スペクトル 
==========
○|○○○○○○○○
○|○○○○○○○☆ ランダウ井戸
○|○○○○○○●○ φ(p)連続スペクトル 
○|○○○○○●○○ フーリエ変換適用
○|○○○○●○○○ 
○|○○○●○○○○
○|○○●○○○○○
○|○●○○○○○○
○|●有限深さ井戸○
○●−−−−−−−△−θ 無次元パラメター
○0○○○○○○π/2
○0○○○○○○+∞ D 井戸の深さ 

D=∞      パウリ井戸  
有限井戸でD→∞ ランダウ井戸 
*******************************以上

 物理的でない「パウリ井戸」で物理を追求すると既述のとおり矛盾が生じます。
〇ハミルトニアンがオブザーバブルでない ∵井戸の外があらわせない
〇運動量を測定できない  ∵運動量固有状態は井戸の外にひろがる
〇井戸のなかで閉じた離散運動量固有状態は導入できない。
  ∵状態が直交しない。苦肉の「繰り返し」や「折り返し」も無理。
   不確定関係を満たさない。Δp=0を求めてもΔxは有限なので。


  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/27(Sun) 09:03  No.11715 
 こんにちは。 kafkaさん

>つまり、pは状態空間の作用素になっていません。
>(パウリ解のψ(p)もランダウ解のψ(p)も無意味ということになると思い
>ます)
>しかし、この場合のハミルトニアンHはpの2乗に比例するため、
>それぞれの関数にHが作用しても、壁で値が消える条件を満たします。
>そのためHは、この状態ベクトル空間の演算子になっています。
>したがって、
>Hψ(x)=(1/2m)P^2ψ(x)が成立します。  (Pは固有値)
>とのことです。

 前発言のように物理と関係ない議論と理解しますが不思議に思う点をひとつ。 pが状態空間の作用素でないのにp^2はおとがめなしに使えるのかな?

=甘泉法師=


  投稿者:ASA - 2011/11/27(Sun) 11:55  No.11716 
>〇ハミルトニアンがオブザーバブルでない ∵井戸の外があらわせない
間違い。 井戸の外とオブザーバブルは、関係ありません。
>〇運動量を測定できない  ∵運動量固有状態は井戸の外にひろがる
矛盾。 ランダウ井戸(?)でも"運動量固有状態は井戸の外にひろがる"
から運動量測定できないとなります。それなのに、フーリエ連続変換から運動量測定確率が得られるとしています。
(測定できる仕掛けを考えれば、済む話と思いますが)
>〇井戸のなかで閉じた離散運動量固有状態は導入できない。
>  ∵状態が直交しない。苦肉の「繰り返し」や「折り返し」も無理。
>   不確定関係を満たさない。Δp=0を求めてもΔxは有限なので。
これも間違い。
甘泉法師さんとしては、円環上での周期的境界条件も無理ということですね。
(周期的境界条件の設定は一般的ですけど)

>前発言のように物理と関係ない議論と理解しますが不思議に思う点をひとつ。
 物理に関係した議論ですよ。演算子pが自己共役でなくなるので、観測不能とかいう議論につながります。 

  投稿者:kafuka - 2011/11/27(Sun) 12:09  No.11717 
ASAさん

僕の結論は、∫(0,+∞)dx sin(kx)=
1/k      (k≠0)
0       (k=0)
なのですが、、、
>cos積分の始点を変えるとどうなりますか?
確かに おかしいですね。
∫(0,+∞)dx cos(kx)=∫(0,π/2k)dx cos(kx)+∫(π/2k,+∞)dx cos(kx)
=1/k - ∫(0,+∞)dx sin(kx)
=1/k - 1/k
=0
≠δ(k)/2

ということは、
積分範囲を2つに分けるのは、積分の始点が変わるのでダメということ。
また、 sin(k∞)≠cos(k∞) ですね。
お教え頂き、ありがとうございました。

>演算子pが自己共役でなくなるので、観測不能とかいう議論につながります。 
無限井戸の運動量は、正確には定義されないだけで、
近似的には観測可能な量だと思います。
とはいうももの、無限井戸自体、現実には存在しないわけですが、、、

  投稿者:kafuka - 2011/11/27(Sun) 18:57  No.11718 
甘泉法師さん

>pが状態空間の作用素でないのにp^2はおとがめなしに使えるのかな?
無限壁の箱の場合、「壁で値が消える条件の波動関数からなる状態ベクトル空間」を考えると、
この場合のハミルトニアンHは、pの2乗に比例するため、
それぞれの関数にHが作用しても、壁で値が消える条件を満たします。
そのためHは、この状態ベクトル空間の演算子になってますから、
OKということだと思います。

先生は、無限井戸は現実には存在しない。有限井戸の深い場合しか現実には存在ないことにも言及されています。
有限井戸では、必ず波動関数は井戸の外にも染みだし、波動関数の定義域を無限直線上と考えることができ、したがって、運動量演算子は定義できる
ということで、
無限井戸という現実に存在しないものになったとたん、状況が一変する
と僕は考えます。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/27(Sun) 19:56  No.11719 
 こんにちは。 kafkaさん

>無限壁の箱の場合、「壁で値が消える条件の波動関数からなる状態ベクトル空間」を考えると、
>この場合のハミルトニアンHは、pの2乗に比例するため、
>それぞれの関数にHが作用しても、壁で値が消える条件を満たします。

 d/dx cos(πx/L) =  - π/L sin(πx/L) は壁x=-L/2 で π/L とゼロでないけれども

 (d/dx)^2 cos(πx/L) =  - (π/L)^2 cos(πx/L) は壁x=-L/2 で ゼロになる ということですね。

 だからpの固有状態は存在しないけれど(この点、パウリとも違う)、p^2の固有状態は存在する。  運動量の大きさは決まっているけれど向きについては半半ともなんともいえない。 おもしろいですね。

 ただしHの固有関数は「壁で値が消える条件の波動関数からなる状態ベクトル空間」に限られオブザーバブルでなく、物理の議論でありません、 念のため。

>先生は、無限井戸は現実には存在しない。有限井戸の深い場合しか現実には存在ないことにも言及されてます。

 わたしもそう思います。ランダウは有限井戸の深い場合を扱っています。

>無限井戸という現実に存在しないものになったとたん、状況が一変すると僕は考えます。

 無限井戸は現実には存在しません。 存在しないが有限井戸からの極限は現実の物理を考えるのにたいへん有用なイデア(アイディア)であることも事実です。
 たとえは適切ではないかもしれませんが理想気体の状態方程式の場合はどうでしょう。 理想気体は現実には存在しませんがたいへん式が有用なのはご存知のとおりです。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/11/27(Sun) 22:55  No.11720 
甘泉法師さん

>pの固有状態は存在しないけれど(この点、パウリとも違う)、、、
先生のご意見は、
この場合、pは自己共役演算子にならない ということです。

僕は、そのため、ユニタリー変換で対角化できない、すなわち、
離散固有値も連続固有値も持たない。
ということは、固有値=測定値 ですから、
運動量を測定した値については、何も言えない
と思っています。(パウリともランダウとも違う)

>Hは、、、、に限られオブザーバブルでなく
Hは自己共役演算子であり、その上 Hψ=λψも成り立つのだからオブザーバブルでしょう。
一般には、xとHは交換しないので、どこそこのHが云々と言うのは、無意味です。
ただし、無限箱の場合、[H x]ψを計算すると、これは、
Hxの計算に帰着され、xが壁の中とすると、(1/2m)p^2 x + Vx=0+∞
で、≠0
箱の中では =0  (xが箱の中は、たまたま交換するので、Hは云々できる)
つまり、xが壁の中では、一般の場合と同じで、Hを云々するのは無意味です。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/28(Mon) 07:47  No.11722 
こんにちは。 kafukaさん

>この場合、pは自己共役演算子にならない ということです。
 
 なるほど。pが物理量ではないということですからわやですね。

>つまり、xが壁の中では、一般の場合と同じで、Hを云々するのは無意味です。

 「箱の中では」そうかもしれません。箱の外についてなにもいえない(∵「壁で値が消える条件の波動関数からなる状態ベクトル空間」という部分空間しか考えていない)ことをオブザーバブルでないといいました。もっともオブザーバブルであるかないかを論じられるほどに物理ではない問題なのでしょうが。






 まとめておきます。http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_248596_1_1322790531.jpg

=甘泉法師=

  投稿者:ひゃま - 2011/11/28(Mon) 08:02  No.11723 
無限でも有効(他の方法に比べて)ならば使えば良いし、
有効でなければ、どこかで割り切りが必要と思います。

ひゃまは、どうせ究極は解らないので、
無は解らない、有は解るで、有無を分けています。

  投稿者:冷蔵庫 - 2011/12/04(Sun) 00:20  No.11756 
>TOSHIさん No.11624

冷蔵庫です。
「物理的」に関して説明を頂き、ありがとうございます。
遅くなりましたが、コメントさせていただきます。

>無限井戸でなく無限障壁ですが,設定は(p^2/(2m)+V)Ψ=EΨで[0,L]ではV=0,それ以外ではV=∞というのでいいですか?

呼び方は無限井戸でも無限障壁でも、個人的にはどっちでもいいと思います。
設定は一応そのつもりです。

>いずれにしろ,解はV=0の箱の中ではΨ=Aexp(±i√Ex),ゼロではない大きい正のVがありE<VならΨ=Bexp(±√(V−E)x)です。

> これはトンネル効果なら無限遠で有限なものx>0ではΨ=Bexp(−√(V−E)x),x<0ならΨ=Bexp(√(V−E)x)だけとって,もう片方の成分は無視します。

はい。0<x<LでΨ=Aexp(±i√Ex)(の線形結合),それ以外でΨ=Bexp(±√(V−E)x)ですね。
書き間違いと思いますが、Ψ=Bexp(−√(V−E)x)なのは、x>0ではなく、x>Lですよね?
それから、束縛状態はx=L/2に関する反転 x-L/2→-(x-L/2)に関して対称か反対称なので、
x>LでΨ= B'exp(−√(V−E)(x-L))
x<0でΨ=±B'exp(√(V−E)x)
0<x<LでΨ= (A'/2)(exp(i√E(x-L/2))±exp(-i√E(x-L/2)))
とすべきではないでしょうか?
('はTOSHIさんの用いている記号と区別するためにつけています)

> 今の場合は,Ψ=Bexp(±√(V−E)x)両方でxが無限大じゃなくてもV→∞ですから例えばx>0ならV→∞でΨ→0,∞ですから「物理的」に考えてx>0ではΨ=Bexp(−√(V−E)x)→0の解を採用します。

落ち着いてください。
なんか、日本語がぐちゃぐちゃで良く分からなくなっていますよ。

>  ここまで詳しく書けばV=∞でΨ=0でVΨ=BVexp(−√(V−E)x)→0ですから「物理的」にVΨ=0と述べた意味わかるでしょう。

申し訳ないですが、結局いまだによく分からないので、いくつか質問させてください。

(1)まず1つ目は質問というか確認なのですが、有限のVを与えたときにx=0,Lでの境界条件はどうしているのでしょう?
普通は波動関数ψ(x)とその一階微分の連続性を要請すると思います。
TOSHIさんのコメントではそのことが触れられていませんが、単にそれについて書くのを省略しているだけなのでしょうか。
この条件から、A',B'やEの満たすべき条件が与えられ、これらの定数はVの値にも依るはずです。
(それと、ψ(x)の絶対値を1にとる規格化で、ψ(x)の正数倍の不定性は取り除かれます。
位相の不定性は残りますが)

(2)最後の、

>V=∞でΨ=0でVΨ=BVexp(−√(V−E)x)→0

(正しくはΨ=-0でVΨ=BVexp(+√(V−E)x)→0でしょうか?)
がよくわからないのですが、
これが成り立つ理由をもう少し詳しく言ってもらえないでしょうか?
(1)にも書きましたが、定数BやEというのはVに依存しているので、
どのように依存しているかがわからないと、この極限って分からないと思うのです。
(まあ、EがVに依らない定数に収束していくだろうというのは当たり前ですが。)

  投稿者:ASA - 2011/12/04(Sun) 06:54  No.11757 
>どのように依存しているかがわからないと、この極限って分からないと思うのです。
 規格化条件を加味して、Bのオーダー評価。

  投稿者:不識庵 - 2011/12/04(Sun) 08:47  No.11759 
甘泉法師 さん、

ご教示(No.11704)有難うござます。
返事が遅くなってしまいました。

お考えに同意致します。

  投稿者:TOSHI - 2011/12/04(Sun) 19:37  No.11764 
 どもTOSHIです。

 2mが1であるような単位になってるので定性的な意味だけ考えてて,既に定量的にはかなりいい加減ですが。。。

 lim(y→+∞)[y^2exp(−ay)]=lim(y→+∞)[y^2/exp(ay)]
 ですね。

 a>0でy→+∞のときには,exp(ay)はyのどんなベキより,はるかに高次無限大なので説明は不要と思いましたが。。

 大学受験問題のように説明するなら, 
 ay>0 ならexp(ay)>1+ay+(ay)^2/2+(ay)^3/6です。

つまり,exp(ay)>(ay)^3/6 なのでa>0なら
 0<y^2/exp(ay)<y^2/{(ay)^3/6}=6a^(-3)/y→0 
 as y→+∞

 以上からa>0ならlim(y→+∞)[y^2exp(−ay)]=0です。

 上の式でyに√Vをaにxを代入します。

 するとx>0なら
 lim(V→+∞)[Vexp(−√Vx)]=0 です。

 また,いいかげんにexp(−√(V−E)xをexp(−√Vxと近似しました。
 
 まあいいでしょう。   ではではまた引っ込みます。

                        TOSHI

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/04(Sun) 21:22  No.11765 
冷蔵庫さん TOSHIさん

有限井戸(障壁)ポテンシャルの
波動関数の式 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_248777_1_1323001022.jpg 
ψとVψの図 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_248777_2_1323001022.jpg
Hψ=Tψ+Vψの図 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_248790_1_1323003680.jpg

ご議論の参考になれば幸いです。

=甘泉法師=

  投稿者:冷蔵庫 - 2011/12/10(Sat) 00:52  No.11789 
>kafukaさん No.11711

コメントありがとうございます。

>つまり、pは状態空間の作用素になっていません。
(パウリ解のψ(p)もランダウ解のψ(p)も無意味ということになると思います)

これ以前の段落については理解できるのですが、ψ(p)が無意味というのはどのような意味なのでしょうか?

>しかし、この場合のハミルトニアンHはpの2乗に比例するため、

今考えているハミルトニアンにはpの2乗に比例する運動エネルギー項だけではなく、ポテンシャルVも入っています。

  投稿者:kafuka - 2011/12/11(Sun) 00:31  No.11791 
>冷蔵庫さん

pは、自己共役作用素とも言えないので、
その固有関数、つまり、
-ih'∂xφ(x)=λφ(x)
や、
pφ(p)=λφ(p)

のφ(x)やφ(p)は物理的意味を持たない(固有値が測定値になる保証がない)
ことになり、
固有関数の総和であるψ(x)やψ(p)も物理的意味を持たない
と思います。

>今考えているハミルトニアンにはpの2乗に比例する運動エネルギー項だけではなく、
>ポテンシャルVも入っています
箱のψ(x)は、3つの部分に分かれます(左壁より左側、箱の中、右壁より右側)
箱の中以外では、ψ(x)=0なので、固有値も固有関数も定義できないです。
ハミルトニアンの固有値、固有関数が議論できるのは、箱の中だけ
と思いますが、、、

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/11(Sun) 12:20  No.11794 
こんにちは。kafukaさん

>箱のψ(x)は、3つの部分に分かれます(左壁より左側、箱の中、右壁より右側)
>箱の中以外では、ψ(x)=0なので、固有値も固有関数も定義できないです。
>ハミルトニアンの固有値、固有関数が議論できるのは、箱の中だけ
と思いますが、、、

>投稿者:kafuka - 2011/11/27(Sun) 02:13 No.11711
> まず、
> 無限壁の箱の波動関数は壁で値が消える条件を課されますが、
> その関数を集めて作る状態べクトル空間を考えます。
> この空間の元は、壁で波動関数が消える関数だけからなります。

 その余の元、つまり壁やそのむこうで0でない波動関数の解を排除するか容認するかが対立のコアと存じます。

★常識派: kafuka さん(上記) TOSHI さん(下記)
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/11/post-a3b8.html
>この問題に関連した話ですが,甘泉法師さんのときどき口にする疑問?:"ハミルトニアンの固有値,つまりエネルギーが無限大じゃなぜ悪いのか?"とか言うようなことについては私もついていけない話ですからこれはここでは考えません。
>こういうのは,あもんさんの得意な言葉である「ピグマリオン症」ではないけれど物理学以前の話ですね。

               vs

☆「ピグマリオン症」患者: 甘泉法師
xもpもごくあたりまえに定義できている。なのに、ひとつの演算子Hの束縛状態(E<0 遠方を0として)のしかも基底状態から有限番の一部の状態に元を限定する理由はない。
 症状からの譫言「実在しない無限について議論しても実験はできない。物理学なら無限ではないが深い井戸でどうなるかを考えましょう。」

参考図 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247869_2_1321965333.jpg

有限井戸 ・ 極限井戸(D→∞) ・ 無限井戸(D=∞) 比較の図
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249283_1_1323609880.jpg

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/12/11(Sun) 12:51  No.11796 
>つまり壁やそのむこうで0でない波動関数の解を排除するか容認するかが議論の核と存じます。
 違います。あなたの単なる勘違いです。

>ならば無限でないが深い井戸ではどうなるかで考えましょう」
 そこでも、高次運動量期待値の発散等の矛盾は解決してません。
 前にも指摘しましたが、異なるモデルを無闇に持ち出してはいけません。
(このような考えでは、いつまでたっても埒が明かないです)

  投稿者:kafuka - 2011/12/12(Mon) 10:48  No.11804 
甘泉法師さん

>常識派: kafuka
じゃないですよw

パウリ本で、運動量が、±P0 になるというのも誤りと思うので、
僕は「無限壁の箱の中の粒子の場合、運動量に言及してある教科書は、全て訂正が必要」
と思っています。
理由:
この場合の運動量演算子p^は、自己共役作用素とも言えないので、
その固有関数、つまり、
-ih'∂xφ(x)=λφ(x)
や、
p^φ(p)=λφ(p)
のφ(x)やφ(p)は、量子力学では無意味となり、
Eψ(x)=Hψ(x) から求めたψ(x)を 運動量の固有関数φ(x)で、スペクトル展開できない
からです。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/13(Tue) 08:25  No.11808 
こんにちは。 kafukaさん 

失礼しました。

状態をある部分空間(壁の外でψ=0)に制限する「お約束」では、運動量の固有関数や位置の固有関数(のうち値は壁の外のもの)はその部分空間の元では展開できませんね。 その「お約束」の起源はどこでしょうか。

=甘泉法師=


  投稿者:kafuka - 2011/12/13(Tue) 19:25  No.11812 
甘泉法師さん

おっしゃりたいことは、超準解析風に書けば、
Lim V→∞ つまり、|ψ(x)|=ε
と、V=∞ つまり、|ψ(x)|=0 は、違うってことで、
|ψ(x)|=ε なら、p^は、状態べクトル空間の作用素であり、意味を持つ
ということでしょうか。

僕は、|ψ(x)|=ε でも、箱の中のψ(x)と1次微分が一致しないといけないので、
壁からεだけ奥へ入れば、|ψ(x)|=0 が成り立つ
と思っています。
結局、p^が、状態空間の作用素にならなくなる位置が、εずれるだけだと思います。
理由:
箱の中のψ(x)が、cos(k0x) なら、cos(k0{x+ε}) は、cos(k0x) に収束
つまり、壁からεだけ奥で、「消える」
p^cos(k0{x+ε}) は、−sin(k0x) に収束
つまり、壁からεだけ奥で、「消えない」

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/13(Tue) 19:56  No.11813 
こんにちは。 kafukaさん。

>おっしゃりたいことは、超準解析風に書けば、

いえいえそのような難しいことではなくてそもそも

1 全状態空間を二つ、すなわち「壁とその外でψ=0」という部分空間とその余空間、に分けること、
2 そして前者の部分空間だけを考えること

はどういう理由・根拠に基づくのだろう、という議論の過程の検討吟味です。 

>壁からεだけ奥へ入れば、|ψ(x)|=0 が成り立つ

この推論はある自明の前提によると存じますが、それを表に出したいのです。 そのための青臭い質問「壁からいくら奥へ入っても|ψ(x)|≠0だと具合の悪い点はなにでしょう。」 kafukaさんにとってはあたりまえのことでしょうが議論のためあえて説明していただければ有難く。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/12/13(Tue) 21:45  No.11816 
甘泉法師さん

とりあえず、、、
>壁からεだけ奥へ入れば、|ψ(x)|=0 が成り立つ
理由は、このψ(x)は、Aexp(-ax) の形になり、急速に減少します。
A{1-ax+(ax)^2/2!-(ax)^3/3!+、、、}
壁にΔxだけ入った所、つまりx=Δx で、
A{1-aΔx+、、、}です。
Δxが 1/a 以上の所で、{1-aΔx+、、、}はε

壁のところで、Aですが、これが、そもそもεなので、εxεとなり、
「壁から1/a 以上奥へ入れば、|ψ(x)|=0 が成り立つ」

箱の中のψ(x)と1次微分が一致しないといけないので、
壁からεだけ奥へ入れば、|ψ(x)|=ε  (前言訂正)
ですが、
「壁から 有限値 奥へ入れば、|ψ(x)|=0 が成り立つ」

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/14(Wed) 00:00  No.11817 
こんにちは。kafukaさん

>理由は、このψ(x)は、Aexp(-ax) の形になり、急速に減少します。

なぜAexp(-ax) の形になり、急速に減少するのですか。 ψ(x)はなにを満たすのですか。

(問題意識の噛み合わせのため苛立たせるような質問が続きすみません。)

=甘泉法師=



  投稿者:kafuka - 2011/12/14(Wed) 08:29  No.11821 
甘泉法師さん
苛立だったりしませんよw
こういう、計算が僕でもできる質問は嬉しいです。

話を簡単にするために、x=x0 で上への段差がある「階段型ポテンシャル」を考えましょう。
(階段型ですから、てっぺんは V0一定です)
この場合、シュレーディンガeqの一般解は、
ψ(x)=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx) で、
x<x0 の場合:
ψ1(x)=Aexp(iK0{x-x0})+Bexp(-iK0{x-x0})    入射波と反射波
     K0=1/h' √{2mE}
x>x0 の場合:
ψ2(x)=A’exp(iK1{x-x0})+B’exp(-iK1{x-x0})   
     K1=1/h' √{2m(E-V0)}
で、V0→∞ を考える以前に、V0>Eなら、
     K2=1/h' √{2m(V0-E)} とおくと、
ψ2(x)=A’exp(-K2{x-x0})+B’exp(K2{x-x0})
B’の項は、x→∞で発散するので、捨てて、
ψ2(x)=A’exp(-K2{x-x0})
//

もし、B’の項を捨てるのがイヤでも、規格化すれば、
x→∞で、|ψ(x)|=1
xが有限値で、0 なので、無いのと同じ

追伸:
箱の無限壁の中で、ψ2(x)=ε exp(iK1{x-x0})+ε exp(-iK1{x-x0})
を、お考えでしょうか?
これは、V0→∞、E=有限値  したがって、V0>E なので、ありえません。
(V0>Eなら、|ψ(x)|は、eの冪乗で小さくなります)
前述の超準解析もどきの結論と合わせると、
箱の無限壁の中では、xが壁からεの所を別にして、有限値なら、|ψ(x)|=0
で、いいと思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/14(Wed) 22:40  No.11823 
kafukaさん アプローチを変えてみます。
大学院入試想定問 求む解答

***********************************************************************************************

波動関数 ψ(x)=√(2/L) cos xπ/L for -L/2 < x < L/2 otherwise 0 の状態の運動量の考察について正しいものを選べ。

1. フーリエ変換ψ(p)を求める。

2. x=±L/2のところで左微分と右微分が異なるので運動量が定義できない。つまりこの波動関数は運動量の固有関数での展開(=フーリエ変換)ができない。
  「1階微分可能な関数でないのでフーリエ変換(=運動量表示)ができない。」

3. 自由空間なら回答1。しかし無限深さ障壁の系 V=0 for -L/2 < x < L/2 otherwise ∞ ならフーリエ級数で、調和振動子ポテンシャルの系ならまた別。
  「運動量は波動関数だけでなくポテンシャルが与えられないと考察できない。」

4.  無限深さ障壁の系 V=0 for -L/2 < x < L/2 otherwise ∞ でなければこの波動関数は存在しえない。よって無限障壁の系であることが明らか。
   H=T+Vの固有状態とその線形結合の状態だけが存在できる。 「ハミルトニアンは状態空間を生成する特別な役割をもつ演算子なのだ。」 HがオブザーバブルならX表示やP表示と同じく全状態空間のE表示を与えるだけでつまらないが、オブザーバブルでないので存在しうる状態を限定し面白いことがおこる。 生成空間に運動量の固有関数は収まらないので運動量の概念はこの系にはない。

5.  ψ(x、t)が与えられないと運動量は考察できない。 無限障壁内のエネルギー固有状態と自由空間でこれから崩れる波束とではψ(x、t=0)が同じでもt=0の運動量は異なる。    

6.  1〜5のいずれも正しくない。正しくは( 記入のこと )。  

***********************************************************************************************

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/12/15(Thu) 01:37  No.11828 
甘泉法師さん
超むつかしすぎて、僕の答えが、どれに当てはまるかわかりません。
(そもそも、院試なんて、どだい無理w)

ψ(x)ないしψ(x、t=固定)で、Vを云々しなくてもpは考察できると思います。
(pとtは交換するから −自信はありません ^^;

で、与式が、p^=ih’∂x の固有関数でスペクトル展開できるか?
と言えば、連続固有値としても、できません。
(sin とcosは、直交するから)
したがって、この場合のp^は、状態ベクトルの作用素になりえません。
故に、ψ(x)においては、運動量は定義できません。

仮に、ψ(x)をフーリエ変換したψ(p)では、運動量が定義できるとすると、
ψ(p)が、pの固有関数(といってもそれ自体だが)でスペクトル展開できることになり、
状態ベクトルの作用素になっていることになりますから、
これは、矛盾です。
したがって、ψ(p)でも、運動量が定義できません。
//

スペクトル展開定理と状態ベクトル|ψ> の作用素Aの関係は、、、
ちょっと待って下さいね(今、「新版 量子論の基礎」を読み直してます ^^;

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/15(Thu) 08:28  No.11832 
こんにちは。

ref.
>故に、ψ(x)においては、運動量は定義できません。

>したがって、ψ(p)でも、運動量が定義できません。

そうでしょうか。

∫ψ(x)|x>dx = ∫dx∫dp ψ(x)|p><p|x> = ∫dp{∫dx ψ(x)<p|x>}|p> = ∫dp ψ(p)|p> が件の波動関数については成り立たないのでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/12/15(Thu) 13:24  No.11835 
甘泉法師さん

> ∫ψ(x)|x>dx = ∫dx∫dp ψ(x)|p><p|x> =、、、、= ∫dp ψ(p)|p>
ですが、∫ψ(x)|x>dx は、
∫dx |x><x|ψ> のことで、これが、|ψ>になることで、最後の式と一致します。

で、運動量が定義できる=運動量演算子が、このψ(x)で自己共役演算子である 
と仮定すると、
ψ(x)についての-ih'∂xの固有関数φ(x)が存在し、
ψ(x)=Σλnφn(x) が成り立つ(積分でもよい)  ・・・(1)
両辺に|x>を掛けて、
ψ(x)|x>=Σλn φn(x)|x>
=|x><x|ψ> 
なので、
∫Σλn φn(x)|x>dx = ∫|x><x|ψ>dx=|ψ>
が言えるが、
sinとcosは直交するので (1)は成り立たない。
(運動量演算子 -ih'∂x が、ψ(x)の自己共役演算子になっていない と言える)

つまり、運動量が定義できると仮定するならば、
ψ(x)を運動量演算子の固有関数φ(x)で展開できることが、
最後の式と一致するための必須条件となりますが
展開不能ですから、提示の式変形は、成り立ちません。

一般に、、、
ψ(x)についての ある物理量qが定義できなければ(qの固有関数φで展開できなければ)
ψ(q)へのフーリエ変換は、意味を持たないことがわかります。
もちろん、連続固有値ででも、固有関数φで展開できれば、OKです。

ついでに、、、
箱の中だけに限定して、フーリエ級数展開でpを求めたとしても、
固有値pの固有関数φ(x)で、ψ(x)を展開できない、つまり、
-ih'∂x が、ψ(x)の自己共役演算子になっていないので、
この場合のpも無意味と思っています。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/15(Thu) 22:47  No.11837 
 こんにちは。kafukaさん。

> ψ(x)についての-ih'∂xの固有関数φ(x)が存在し、

 『ψ(x)についての』とは? 演算子 -ih'∂xの固有関数φk(x)は e^ikx (固有値 k) です。 

>(運動量演算子 -ih'∂x が、ψ(x)の自己共役演算子になっていない と言える)

 『ψ(x)の』とは? -ih'∂x は自己共役演算子です。

>共に間違いで、この場合の演算子-ih' ∂x は、状態空間の作用素になっていない

 『状態空間』はどういうもので、なぜそうなのですか。

=甘泉法師=


  投稿者:kafuka - 2011/12/16(Fri) 11:53  No.11843 
甘泉法師さん
基本的な勘違いをしていると、お思いでしょうが、、、

どうも、-ih'∂x φ(x)= λφ(x) の固有関数 exp(iλx/h')が、常に無条件に存在する
とするのか?
|ψ> に依存した、p^の固有状態(連続固有値でもいいが)で考えないといけないか?
の水掛け論になりそうですね。
僕は、数学でなく、量子力学ですから、|ψ> を離れた議論は、意味を持たない
と考えています。
つまり、
一般の場合、 p^|ψ> = λ|ψ> において、
<x| を両辺に掛けて、
p^ψ(x)=λψ(x)
-ih'∂x φ(x)= λφ(x)
で、固有関数φ(x) は、「おっしゃる通りのもの」で、
何ら異存は、ありません。

>>共に間違いで、この場合の演算子-ih' ∂x は、状態空間の作用素になっていない
>『状態空間』はどういうもので、なぜそうなのですか。
僕の文言は、意味不明ですね。すいませんが、
「共に間違いで、この場合のp^は、状態ベクトルの「量子力学の作用素」になっていない」
に訂正します。
理由:
|ψ> を離れた議論は、意味を持たない と思うので、、、
無限壁の箱の状態ベクトル|ψ> においては、
ψ(x)は、例のcos のものです。

|ψ>=∫|x><x|ψ>dx=∫ψ(x)|x>dx なので、
|x’> を両辺に掛けて、
p^ψ(x’)=p^∫ψ(x)<x’|x>dx=λφ(x’)
p^ψ(x’)=p^∫ψ(x)δ(x-x')dx=λφ(x’)
’を付け直して、
p^ψ(x)=p^ψ(x)=λφ(x)
が成り立つφ(x) が、無限壁の箱の|ψ> に対応するp^の固有状態に対応する固有関数
と僕は考えます。

以下、早とちりを訂正しました。
この場合、ψ(x)は、例のcos のものなので、
p^ψ(x)は、壁の所で崖となり、ψ(x)は、壁の所で0なので、
ψ(x)を、p^の固有関数φ(x)で展開しようとしても、ψ(x)の境界条件を満たさない
=p^は、この場合のψ(x)の、物理量演算子になっていない
ということです。

  投稿者:kafuka - 2011/12/16(Fri) 12:01  No.11845 
ASAさん
以下の僕の考え、おかしいでしょうか。
恐縮ですが、コメント頂ければ、助かります。

-ih'∂x φ(x)= λφ(x) から、常に無条件に、exp(iλx/h') が存在する
という立場
|ψ> に依存した、p^の固有状態(連続固有値でもいいが)で考えないといけない
という立場
について、
僕は、数学でなく、量子力学ですから、|ψ> を離れた議論は、意味を持たない
と考えるので、後者の立場です。

後者の立場でも、通常の場合は、 p^|ψ> = λ|ψ> において、
<x| を両辺に掛けて、
p^ψ(x)=λψ(x)
-ih'∂x φ(x)= λφ(x)
で、固有関数φ(x) は、「上記のもの」になり、
両者の立場は、一致します。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/16(Fri) 13:11  No.11846 
こんにちは kafukaさん 

>|ψ> に依存した、
>|ψ> を離れた議論は、意味を持たない と思うので、、、
>無限壁の箱の状態ベクトル|ψ>
>無限壁の箱の|ψ> に対応するp^の固有状態に対応する固有関数

『|ψ>』『無限壁の箱の状態ベクトル|ψ>』『無限壁の箱の|ψ>』とはどういうもので、なぜそうなのですか。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/12/16(Fri) 13:59  No.11847 
kafuka さん

 ご指名なので考えを述べます。
>-ih'∂x
 そもそもこの演算子が自己共役であるかどうかは、定義域(関数セット)を規定しないと成立しません。
例えば、L^2関数である 
ψ(x)=L−|x|;|x|<L,ψ(x)=0;その他のx
φ(x)=−|x|/x;0<|x|<L,φ(x)=0;その他のx
に対しては、p=-ih'∂xは、自己共役演算子ではありません。
 (pψ,φ)と(ψ,pφ)は、等しくありません。
>量子力学ですから、|ψ> を離れた議論は、意味を持たない 
 物理的な方程式を満足しない|ψ>は、物理的に意味を持たないですね。
当然|ψ>は、物理的に考えて妥当なものを想定します。

>両者の立場は、一致します。
もとの話では、境界(壁の位置)で微分不能ですね。
なので、上記は微分可能な領域においてという条件がつきますね(あと境界条件との整合性が必要)。
 方程式を満足する|ψ>セットを微分すると境界条件を満足しなくなるから、-ih'∂xは、オブザーバブルでないといえますね(see http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/05/post_a792.html)。
 オブザーバブルでない演算子の固有関数で展開するのは、物理的に無意味です。
 ちなみに、先に挙げたφ,ψをハミルトニアンHの固有関数で展開することは、物理的意味がありますね。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/16(Fri) 15:12  No.11848 
こんにちは。

http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249559_1_1324015888.jpg

  投稿者:kafuka - 2011/12/16(Fri) 15:19  No.11849 
甘泉法師さん
すいません。言葉が足りませんでした。

>(系の状態ベクトル)|ψ> を離れた議論は、意味を持たない と思うので、、、
>無限壁の箱の(系の)状態ベクトル|ψ>
という意味です
>(系の状態ベクトル)|ψ> に依存した、p^の固有状態(連続固有値でもいいが)で考えないといけない
つまり、
状態ベクトルは、系に応じて規定される
と考えています。

  投稿者:kafuka - 2011/12/16(Fri) 15:27  No.11850 
ASAさん
コメント、ありがとうございます。

>物理的な方程式を満足しない|ψ>は、物理的に意味を持たないですね。
>当然|ψ>は、物理的に考えて妥当なものを想定します。
僕もそう考えて、No.11843 を記しました。
(早とちりは、今 訂正しました)

>先に挙げたφ,ψをハミルトニアンHの固有関数で展開することは、物理的意味があります
おっしゃる通りと思います。

  投稿者:ASA - 2011/12/16(Fri) 16:24  No.11852 
アドホックな方法であるNo.11848で救えない例
ψ(x)=−|x|;|x|<L,ψ(x)=0;その他のx (No.11847におけるψ(x)のかさ上げ値Lを除いたもの)
かさ上げ値をLという固定値でなくl(L以外)という任意定数にした場合も救えません。ということで演算子pが自己共役でないため、オブザーバブルでもないわけです。したがって、上記のψ(x)をpの固有関数で展開することには、物理的意味がありません。
 しかし、境界条件|x|>=Lでψ(x)=0を満たしているので、上記のψ(x)をハミルトニアンHの固有関数で展開することには、物理的意味があります。

 このような例があるから、自己共役条件には連続と一次微分の要件が課せられているわけですね。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/18(Sun) 22:28  No.11860 
 こんにちは。kafukaさん

>状態ベクトルは、系に応じて規定される
 
 系の何にどう応じて件の『|ψ>』が規定されたのか細説いただき
 いっしょに検討しませんか。

 =甘泉法師=

PS1 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249814_1_1324220533.jpg

PS2 波動関数ψ(x)が不連続関数であるが、区分的に滑らかで加算個の不連続点で平均値{f(x−0)+f(x+0)}/2をとる場合
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249833_1_1324250881.jpg
数学解説参考 http://fermi.phys-com.sci.yamaguchi-u.ac.jp/pub/asahi/buturisuugakuII/PMII.pdf

PS3 波動関数の連続、フーリエ変換・超関数適用可能性についてhttp://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249855_1_1324284154.jpg


  投稿者:ASA - 2011/12/19(Mon) 07:28  No.11864 
No.11860
 相変わらず変な計算してますね。
 また、図においても、エッジでの値が定義されていないので関数でもありませんね。
>平均値{f(x−0)+f(x+0)}/2をとる場合
 先に挙げたのは、エッジでの値が0の関数ですから、別の関数を持ち出しても意味がありません。

  投稿者:kafuka - 2011/12/19(Mon) 21:33  No.11866 
甘泉法師さん
>>状態ベクトルは、系に応じて規定される
>系の何にどう応じて件の『|ψ>』が規定されたのか
単に|ψ>というより、|ψ>あるいはψ(x)が成すヒルベルト空間を、どうとったか
ということで、これは、難題です。
清水明「新版 量子論の基礎」p207に、

 「具体的に物理系が与えられた時に、
  (i) どんなヒルベルト空間Hをとるべきか。
  (ii) Hのどんな射線を物理状態として許すか(どんな射線は許さないか)
  (iii) どんな量が、可観測量になるか。
  これらのことを決定する一般的な原理は、見つかっていない」

とあります。
処方が5種類ほど載っていますが、とても、書ききれません。

僕としては、自信はないですが、
まず、Eψ(x,t)=Hψ(x,t) から出てくるψ(x) が成す2乗可積分空間としてのH空間を考えれば、
その物理状態の|ψ> が、定まるのではないか
と考えます。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/19(Mon) 22:31  No.11867 
こんにちは。kafukaさん。

>まず、Eψ(x,t)=Hψ(x,t) から出てくるψ(x) が成す2乗可積分空間としてのH空間を考えれば、
>その物理状態の|ψ> が、定まるのではないか
>と考えます。

ありがとうございます。ハミルトニアンの固有状態ベクトルの張る空間が|ψ>ですね。 

1. そうしますと以前の拙発言では

投稿者:甘泉法師 - 2011/12/14(Wed) 22:40 No.11823

***********************************************************************************************

波動関数 ψ(x)=√(2/L) cos xπ/L for -L/2 < x < L/2 otherwise 0 の状態の運動量の考察について正しいものを選べ。

 …
4.  無限深さ障壁の系 V=0 for -L/2 < x < L/2 otherwise ∞ でなければこの波動関数は存在しえない。よって無限障壁の系であることが明らか。
   H=T+Vの固有状態とその線形結合の状態だけが存在できる。 「ハミルトニアンは状態空間を生成する特別な役割をもつ演算子なのだ。」 HがオブザーバブルならX表示やP表示と同じく全状態空間のE表示を与えるだけでつまらないが、オブザーバブルでないので存在しうる状態を限定し面白いことがおこる。 生成空間に運動量の固有関数は収まらないので運動量の概念はこの系にはない。

***********************************************************************************************

がお考えに近いでしょうか。  


2.詳説します。 一般にハミルトニアンはオブザーバブルなので
 
  ハミルトニアンの固有状態ベクトルの張る空間 = 座標の固有状態ベクトルの張る空間 = 運動量の固有状態ベクトルの張る空間

 でなんということもないのですが、件のハミルトニアンについては

  ハミルトニアンの固有状態ベクトルの張る空間 ⊂ 座標の固有状態ベクトルの張る空間 = 運動量の固有状態ベクトルの張る空間

 そして実在が ハミルトニアンの固有状態ベクトルの張る(部分)空間 に限定されてしまうことになります。 これに対する考え方ふたつ

A ハミルトニアンが系を定め物理を規定する。
 運動量演算子は運動量固有状態を生成する。座標演算子は座標固有状態を生成する。ハミルトニアンはエネルギー固有状態を生成する。エネルギーは特別な意味をもつ量なので前2者とは別格である。ハミルトニアンは他の凡百の演算子と異なり実在を定める特別の意義をもつ演算子、物理量である。

B エネルギーはひとつの物理量にすぎない。ハミルトニアンの固有状態の張る空間が全空間にならないつまりエネルギーがオブザーバブルでないならば、それはそのハミルトニアンが正しくない、そのモデルが物理的実在と対応していないからである。エネルギーを含め物理量とは、状態空間で直交する射影座標軸のとりかたなのであって、状態の実在を規定する機能はもたない。

 わたしはBと考えています。 kafukaさんの考えをAで表現したつもりですが、訂正やご意見をいただければ幸いです。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/12/19(Mon) 23:38  No.11868 
甘泉法師さん

量子力学には、以下の5つの要請が、あります。
要請1 純粋状態は、あるヒルベルト空間の規格化された射線で表される。
要請2 可観測量は、ヒルベルト空間上の自己共役演算子によって表される。
要請3 ボルンの確率規則
要請4 ヒルベルト空間内の状態ベクトルの時間発展はシュレーディンガ方程式で記述される
要請5 射影仮説
上記は「新版 量子論の基礎」での理論展開の場合で、理論展開が異なれば「要請」は違ってきます

要請4から言って、「ハミルトニアンが系を定める主要因」と思います。
それは、Eという物理量云々というより、系全体の時間発展を記述する要素
だからです。
(もちろん、時間発展には定常状態も含みます)

>ハミルトニアンの固有状態の張る空間が全空間にならない、、、、
ここで言う全空間とは、系のヒルベルト空間のことですか?
それとも、もっと広い一般的なヒルベルト空間ですか?
系の時間発展が記述できるためには、系のハミルトニアンに対応するヒルベルト空間
に限定する必要があると思うのですが、、、

  投稿者:ASA - 2011/12/20(Tue) 07:39  No.11870 
kafukaさんのコメントに補足します。
>系全体の時間発展を記述する要素だからです。
ユニタリな時間発展ですね。

>広い一般的なヒルベルト空間ですか?
 最大のヒルベルト空間のことかと思われます。
 しかし、有限障壁の場合でも最大のヒルベルト空間を構築し得ないことを指摘済みです。
 ちなみに、運動量の固有関数が張る空間は最大のヒルベルト空間より広くL2関数以外も包括してます(物理的に無意味ですけども)。

>系の時間発展が記述できるためには、系のハミルトニアンに対応するヒルベルト空間に限定する必要がある
 その通り。系のハミルトニアンで記述できるユニタリな時間発展(例:exp(-iHt/h))は、系の状態に関してである(状態の時間依存性が重要)。

ps.
 しかし、「エネルギーがオブザーバブルにならない」とかわけわかりません。
 ハミルトニアンがオブザーバブルにならないとかだったらまだ意味がわかりますけど。H=p^2/2m+V(x)ならば常にオブザーバブルです。V(x)以外の変な相互作用をいれた場合にオブザーバブルにならないことが考えられます(pxとか)。
 ディラック本には、"we shall assume the energy of any dynamical system to be always an observable," とありますね。
 いったいどんなテキストを参照したのか不思議でたまりません。

  投稿者:kafuka - 2011/12/20(Tue) 08:00  No.11871 
ASAさん

補足頂き、ありがとうございました。
>運動量の固有関数が張る空間、、、
それには、気づきませんでした。
単なる微分演算子だから、なるほどです。
だから、、、
>甘泉法師さん - No.11832
> ∫ψ(x)|x>dx = ∫dx∫dp ψ(x)|p><p|x> = ∫dp{∫dx ψ(x)<p|x>}|p> = ∫dp ψ(p)|p>
は、ψ(p)が、系に対応していようが いまいが成り立つわけが、わかったような気がします。
(飛躍しすぎ?)

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/20(Tue) 23:42  No.11872 
こんにちは。

図を描いてみました。
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249954_1_1324391965.jpg
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249954_2_1324391965.jpg
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249954_3_1324391965.jpg
ご笑納ください。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/21(Wed) 00:03  No.11873 
こんにちは。

>ちなみに、運動量の固有関数が張る空間は最大のヒルベルト空間より広くL2関数以外も包括してます(物理的に無意味ですけども)。

 ちなみに自由空間の平面波(運動量の固有状態、エネルギーの固有状態)は物理的に無意味なのでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/12/21(Wed) 06:43  No.11876 
>平面波
 厳密な意味での平面波は、存在しません(∫{x,x+L}ψ^2dx=0であり、有限スケールでは観測不能)
 厳密な意味での平面波であることを確定するには、無限の長さ(L)のスケールが必要です(物理的に実現不能)。
 以上の2点から、実質的に観測できないので、物理的に無意味です。
>エネルギーp^2/2mの固有状態
 非同時固有状態である重ね合わせ状態は、反射がないと成立しません。つまり、束縛されているわけで、少なくてもψ(+-∞)=0を満たし、L2関数になります(周期的境界条件は、数学的な扱いを簡易化するための便法)。
 このあたりは、基礎的事項としてどんな教科書にも記述されているはずです(ハミルトニアンHの固有状態としては、ψ(+-∞)=0を満たすものを考える)。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/21(Wed) 10:04  No.11877 
説明の追加です。
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249977_1_1324429357.jpg

  投稿者:ASA - 2011/12/21(Wed) 13:00  No.11878 
No.11877
ハミルトニアン云々は、不要。
∂tψ=0なので、<E>=0
∂xψが実関数なので<p>=0
物理的に意味のない量子状態ですね。
H=T+V(x)とすると、ψが値を持つ領域で、V=(hk)^2/2m=-(Tψ)/ψでE=0を満足します。


  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/21(Wed) 15:41  No.11879 
こんにちは。
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249986_1_1324455423.jpg

  投稿者:ASA - 2011/12/21(Wed) 17:08  No.11880 
No.11879
よくわかりません。
波動関数の対称性からすると<p>=0になるのでは?
与えられたψ(x)は、xのみの関数と規定されてます。
あとから実はψ(x)=ψ(x,0)だというのは、後出しじゃんけんですね。
(設問が不備)
あと、∂tψ=(iHt/h)ψは、次元が一致してないので間違いですね。
ψ(x,t)=U(t)ψ(x,0)との記述も変ですね。ψ(x,t)=U(t)ψ(x)と思われます。
しかしこのような変数分離なのは特別な場合ですよ。
線型方程式なので一般には、ψ(x,t)=ΣUj(t)Xj(x);Xj完全系 です。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/21(Wed) 17:31  No.11881 
こんにちは。kafkaさん

1.
>要請4 ヒルベルト空間内の状態ベクトルの時間発展はシュレーディンガ方程式で記述される

>要請4から言って、「ハミルトニアンが系を定める主要因」と思います。
>それは、Eという物理量云々というより、系全体の時間発展を記述する要素
>だからです。
>(もちろん、時間発展には定常状態も含みます)

 ありがとうございます。 ハミルトニアンは系を定める主要因であるからこそ合理的に選ばれなければならないのではないでしょうか。
 神様なら自分の好きなハミルトニアンを創ることができて世界をそれに従わせられるかもしれませんが
 人間は自然界をみて理にかなったハミルトニアンを見つけることしかできないように思います。

 ハミルトニアンが系を定める主要因であるが(からこそ)、不合理に決めることはできない。

2.わたしは合理性のテスト(のひとつ)にオブザーバブルがある、と考えます。
  座標xは固有値‐∞<x<∞の状態をとりうる。
  運動量pは固有値‐∞<p<∞の状態をとりうる。
  これらの単独または任意に重ね合わせた状態のエネルギーが測定できる(ハミルトニアンがオブザーバブル)。

 井戸(障壁)のハミルトニアンだと
 V=const  V→+∞  http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249954_1_1324391965.jpg はパス。
 V=∞ http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249954_2_1324391965.jpg はフェイル。

3.さてHがオブザーバブルなら状態空間を展開する演算子としてxやpと同じですから、「Hが系を定める主要因である」かどうかは問題にならなくなってしまいます。
 Hは時間発展を司る役割の演算子でH(x、p)の表式からわかるようにxやpから構成される複合演算子 vs いやHがさきでx、pはx(H)、p(H)のようにHの張る空間で定義される演算子
「x、pが先か」、「Hが先か」の論議はどっちも違いがなくなってしまいます。

=甘泉法師=

PS1
>あと、∂tψ=(iHt/h)ψは、次元が一致してないので間違いですね。
 ご指摘ありがとうございます。右辺のtはシュレジンガー方程式の誤記でした。消してご覧ください。時間発展の扱いについて正しくはEMANさん http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/t_develop.html の解説があるのでそちらに従います。

PS2
状態とはなにか、フォンノイマン流かディラック流かはkafukaさんが勉強されてますね。http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/62409894.html 
わたしはディラック流で話をしてきました。 どちらの流儀をとるかがこの議論に関係ありますか。 もしあるならkafukaさんに解説してもらうと勉強になります。

 

  投稿者:ASA - 2011/12/21(Wed) 17:50  No.11882 
>井戸(障壁)のハミルトニアンだと
> V=const

なんども指摘しますが、上記Hでの固有関数が張る空間は、pの固有関数が張る空間よりも小さいです。
 おかしなオブザーバブル判定方法(状態空間の広さで判定)によると、井戸(障壁)のハミルトニアンはそのVの値にかかわらずフェイルになるはず。
 2重3重に間違っているので、フォローし切れませんね。

  投稿者:kafuka - 2011/12/22(Thu) 00:06  No.11883 
甘泉法師さん

「Hが系を定める」という言い方は、曖昧なので、誤解を招いたようです。
>人間は自然界をみて理にかなったハミルトニアンを見つけることしかできない
僕は、モデルが決まる=ハミルトニアンがきまる と考えます。
(物理の現場は知らないので、自信はありませんが)
ハミルトニアンが決まれば、その固有関数が張る空間は、定まります。
しかし、
清水明「新版 量子論の基礎」p207にあるように、

 「具体的に物理系が与えられた時に、
  (i) どんなヒルベルト空間Hをとるべきか。
  (ii) Hのどんな射線を物理状態として許すか(どんな射線は許さないか)
  (iii) どんな量が、可観測量になるか。
  これらのことを決定する一般的な原理は、見つかっていない」

わけで、pが可観測量になるには、(i)(ii)と矛盾がないことが必須
と思います。

>>状態空間を展開する演算子としてxやpと同じです
ASAさんの言われるように、
>上記Hでの固有関数が張る空間は、pの固有関数が張る空間よりも小さいです
ついでに、xについても言うと、
xの関数f(x)について、xの固有関数はそれ自体です。
xの固有関数が張る空間は、pつまり微分演算子 の固有関数が張る空間よりも
ずっと広いと思います。(少なくても、L2関数空間より広い)
甘泉法師さんの判定方法では、pを使ってますが、おっしゃることから言えば、
xでもいいように思えます。
もちろん、xでは判定になりませんから、
逆に、モデルから決まるHで判定していけない理由はない
と思います。
矛盾が生じないことを必須要件とすれば、一番狭い空間で考えるしか
ないのでは?

  投稿者:ASA - 2011/12/22(Thu) 07:22  No.11884 
No.11878 への自己フォロー
1>∂tψ=0なので、<E>=0
2>∂xψが実関数なので<p>=0
3>物理的に意味のない量子状態ですね。
 よく読み取れない人がいるようなので補足説明します。
条件1と条件2から3が成立すると述べているわけです(and)。
条件1で3が成立し、条件2でも3が成立する(or)わけではない。

与えられた関数がψ(x,t)でのψ(x,0)をあらわすとき、E=0の解は、負エネルギー相当の解となり(V>0故に)、通常問題にしません。
 デラック解釈の時間反転で正エネルギー になり、反粒子の状態を表すと解釈され相応の物理的意味を持ちます(シュレディンガー方程式自体が、反粒子の存在を包含しているといえる)。
 時間に依存しなければ、E<Vのψ(x)は、反粒子の影とでもいうべきもので物理的意味意味づけができません(E=0だと時間に依存しないことになるのため、ポテンシャル基準を変更することで時間に依存項が現れ物理的意味付けが可能となる)。

ps.
>どちらの流儀をとるかがこの議論に関係ありますか。
 流儀には関係ないでしょう。それよりもちゃんとした理解に基づかないとだめですな("Hの張る空間とpの張る空間が等しい"とかの間違いを正すことが先決)。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/22(Thu) 08:22  No.11885 
こんにちは。kafukaさん

>xの固有関数が張る空間は、pつまり微分演算子 の固有関数が張る空間よりも
>ずっと広いと思います。(少なくても、L2関数空間より広い)

 xの固有関数が張る空間とpの固有関数が張る空間は同じです。
 <x|p>=e^ipx/h' から座標表示と運動量表示が対称的なことからわかります。すなわち座標表示では座標演算子はスカラーxで運動量演算子がh'/i ∂/∂x,運動量表示では座標演算子はih' ∂/∂pで運動量演算子はスカラーpです。
 L2関数空間との比較はフォンノイマン流かディラック流か http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/62409894.html によります。 流儀によるだけで物理の実質の違いはないと思います。

>甘泉法師さんの判定方法では、pを使ってますが、おっしゃることから言えば、
>xでもいいように思えます。
>もちろん、xでは判定になりませんから、

 xでも判定できてこちらのほうが簡単です。 固有値 x<-L/2,L/2<x の固有状態のエネルギーが測定できない。よってハミルトニアンがオブザーバブルでない。このモデルは合理的でない。

>逆に、モデルから決まるHで判定していけない理由はない
>と思います。

 判定して結構ですが、上記のように判定結果をみてそのモデルが(Hが)物理の理にかなっているかを判断するのではないでしょうか。
 モデルV=const. や V→∞ならすべての状態についてエネルギーが測定できます。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/12/22(Thu) 09:04  No.11886 
甘泉法師さん

>>もちろん、xでは判定になりませんから、
>xでも判定できてこちらのほうが簡単です。 固有値 x<-L/2,L/2<x の固有状態のエネルギーが測定できない
その区間では、xψ(x)=λψ(x) において、ψ(x)が0ですから、
xの固有値は、定義できない
と思いますが、、、

>>xの固有関数が張る空間は、pつまり微分演算子 の固有関数が張る空間よりも
>>ずっと広いと思います。(少なくても、L2関数空間より広い)
> xの固有関数が張る空間とpの固有関数が張る空間は同じです。
> <x|p>=e^ipx/h' から座標表示と運動量表示が対称的
<x|p>という内積で考えるということは、ヒルベルト空間上での話になりますから、
ヒルベルト空間内では「xの固有関数が張る空間とpの固有関数が張る空間は同じ」
ということしか言えない と思います。

  投稿者:ASA - 2011/12/22(Thu) 09:08  No.11887 
>xの固有関数が張る空間とpの固有関数が張る空間は同じです。
> <x|p>=e^ipx/h' から座標表示と運動量表示が対称なことからわかります。
 解説希望。固有関数の張る空間と表示との関係がみえません。
 内積∫δ(x-x')e^ipxdx'=e^ipxと 表示の対称性についても解説願います。
 任意の関数に対して、フーリエ積分が収束することを示せなかったと思います(フーリエ変換が収束しない関数空間とかいくらでも考えられる。区分的に滑らかでない関数とか、e^κxなどのフーリエ変換でpの関数にならない関数などで)。
>固有値 x<-L/2,L/2<x の固有状態のエネルギーが測定できない。
これも、解説希望。どのようなテキストに記述されていることなのでしょうか?
 もしかして、ψ(x)=0となるxが存在することが許せないということですか?
 基底状態で節がある波動関数は、少ないですが、高次の状態で節があるのは一般的です。自由な状態でも周期的境界条件を設けると基底状態で節ができます。自由状態でのエネルギー基底状態のエネルギーが測定できないという主張ですよね(非常に矛盾した主張と思えます)。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/22(Thu) 13:32  No.11888 
こんにちは。kafukaさん

1.
>その区間では、xψ(x)=λψ(x) において、ψ(x)が0ですから、
>xの固有値は、定義できない
>と思いますが、、、

そうなります。固有値 x <−L/2,L/2 < x をとる状態(があるとしても)はHの張る空間と隔絶してしまいます。 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249954_2_1324391965.jpg その理解のうえで 

 A それをよしとする 



 B それは物理的でないので件のHが正しくない 

とするかが意見の相違です。 

2.さらに展開。

 A ハミルトニアンは、エルミートなどあたりまえの規定を満たす限り自由に設定することができる。「問のハミルトニアンが正しくない」とするのはかってきままで掟破りの回答拒否である。

 B われわれは物理を議論しているのだからたえず現実の自然をはなれていないか注意すべきである。障壁高さV=constのハミルトニアンの系では任意の波動関数(座標表示ψ(x)、運動量表示ψ(p)ー∞<x<∞ ー∞<p<∞)のエネルギーが計測できる。V→∞をこのオブザーバブルの特徴を保ったまま考えることができる。
 しかし件のハミルトニアンV=∞については、「その区間でのxの固有値は、定義できない」とか「その区間のxの固有状態のエネルギーが計測できない」とかHとx、pの張る空間の不一致がおきる。これは異常なことと考える。
 物理の議論をしている以上、無限井戸・無限障壁としては、V=∞のハミルトニアンではなく、有限井戸からの極限 V→∞のハミルトニアンを採用すべきである。少なくともそれが無難である。
 V=∞のハミルトニアンを議論することは妨げないがそれはもはや物理とはいえない。パウリのテキストの式を満たすような離散運動量状態を定義しようとして矛盾(直交、不確定関係)が生じることもそれを裏書きしている。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/12/22(Thu) 14:10  No.11889 
>B それは物理的でないので件のHが正しくない 
 物理的でないというのは、どいうことでしょう?説明を願います。
>「その区間でのxの固有値は、定義できない」
 間違いです。位置オペレータxの固有関数の固有値はX(位置座標)で定義できます。
固有値X(位置座標がXであること)の固有関数は、δ(x−X)です。ψ(x)を位置の固有関数で展開したとき(ψ(x)=∫a(X)δ(x−X)dX)の展開係数がa(X)=0(位置Xのある範囲で)ということにすぎません。

>「その区間のxの固有状態のエネルギーが計測できない」
 ψ(x)=0という位置は、一般的に存在します。
そのような位置でxの固有状態のエネルギーが計測できないとどのように問題が生ずるのか理解できません。

>Hとx、pの張る空間の不一致がおきる。
 一般にHとx、pの張る空間は不一致です。

>これは異常なことと考える。
 ほとんどの束縛系ハミルトニアンHが異常と考えるわけですね(ψ(∞)=0故に)。
 ちなみに、自由状態でも、周期的境界条件を課すとψn(x)=0を満たす節ができますので異常になりますね。つまり自由状態のハミルトニアンが異常というわけですね。

>有限井戸からの極限 V→∞のハミルトニアンを採用すべきである。少なくともそれが無難である。
 もとから、そうですよ(適切な極限操作が必要ですけど)。

>矛盾(直交、不確定関係)が生じることもそれを裏書きしている。
 矛盾は生じてません(状態の収縮がおこるとすると矛盾しますけど)。
これも何度も書きましたが、運動量の固有関数セットは、測定器が備えればよい話です。
 ちなみに、有限障壁でも高次の運動期待値の不一致とか、発散という矛盾と問題がありますよ(束縛状態だけでなく障壁を越えた自由な状態においても)。

  投稿者:kafuka - 2011/12/22(Thu) 16:58  No.11890 
ASAさん
ご指摘ありがとうございます。

>その区間では、xψ(x)=λψ(x) において、ψ(x)が0ですから、
>xの固有値は、定義できない
>と思います
は、間違いと気付き、考え直しているところでした。

>甘泉法師さん
前言を取り消します。すいません。
ところで、
甘泉法師さんの言われる、
「箱のモデルV=const. で V→∞ でのハミルトニアン」と、
「箱のモデルV=∞ でのハミルトニアン」は、
具体的な式は、どう違うのでしょうか? 気になります。
(V=∞ では、ハミルトニアンは意味を持たない ということですか)

しかしながら、
>有限井戸からの極限 V→∞のハミルトニアンを採用すべきである
ということは、
「箱のモデルV=const. で Vは、p^2/2m が無視できるくらい大きい」というモデルで議論することですから、
ASAさんも僕も同意見と思います。
だから、「箱のモデルV=∞ でのハミルトニアン」の議論は、そろそろ打ち切りませんか?

  投稿者:ASA - 2011/12/22(Thu) 17:18  No.11891 
kafukaさん
甘泉法師さんの考えでは、ψ(x)=∫a(X)δ(x−X)dX)の展開係数がa(X)=0(位置Xのある範囲で)となると異常だそうです。
 位置xと対称的なpの固有関数で展開すると、ψ(x)=∫A(P)e^iPxdPとなります。甘泉法師さんの考えを運動量に適応すると、A(P)=0が存在すると異常となります。
 例えば、自由状態で周期的境界条件を適用するとPが連続でなく、離散的になります。つまり、A(P)=0となるPの範囲が存在します。よって自由状態のハミルトニアンH=p^2/2mは異常なハミルトニアンと甘泉法師さんの考えでは結論されます。 
 異常というのは、物理的でないとかエネルギーが観測できないとかを意味しているようなので、どう考えても変な考えですね。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/22(Thu) 20:07  No.11892 
こんにちは。

1. オブザーバブルな物理量の固有状態のセットが同じ空間を張ることの説明図です。
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250063_1_1324551919.jpg

2. 有限井戸、極限井戸、無限井戸の違いの一覧図(再紹介)です。
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_249283_1_1323609880.jpg

3. kafukaさん
>「箱のモデルV=const. で V→∞ でのハミルトニアン」と、
>「箱のモデルV=∞ でのハミルトニアン」は、
>具体的な式は、どう違うのでしょうか? 気になります。

 ハミルトニアンは有限井戸と同じです。 求める量の表式を得てから、式中のD(深さ)→∞として、物理量の極限値をみます。 ハミルトニアンはオブザーバブルのままです。
 もうひとつのハミルトニアンは
ref. TOSHIさん - 2011/11/20(Sun) 11:14 No.11624
>無限井戸でなく無限障壁ですが,設定は(p^2/(2m)+V)Ψ=EΨで[0,L]ではV=0,それ以外ではV=∞というのでいいですか?

4.
>(V=∞ では、ハミルトニアンは意味を持たない ということですか)

 既述のとおりこのハミルトニアンはオブザーバブルではなく尋常ではありません。

>「箱のモデルV=const. で Vは、p^2/2m が無視できるくらい大きい」というモデルで議論することですから、 
 
 しみだしのある束縛状態、連続状態のことを忘れがちです。

5. 私の考えのまとめ(再紹介)です。
 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_248596_1_1322790531.jpg

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/12/22(Thu) 21:01  No.11893 
振られましたが、、、

ψ(x)=<x|ψ>=0 ということは、|ψ>と|x>が直交しているというだけで、
|ψ>がヌルベクトルを意味しませんから、
ψ(x)=0は、なんら問題ないと思います。

>甘泉法師さん
「箱のモデルV=const. で Vは、p^2/2m が無視できるくらい大きい」となって行けば、V=∞ の解に 
いくらでも近づくと思っています。
つまり、しみだしのψ(x)は、箱の中のψ(x)に較べてどんどん小さくなり、
フーリエ変換の結果であるψ(p)は、様相が変わっていき、V=∞で意味を持たなくなる
ということです。
(V=∞ でのψ(p)のパウリ解も意味を持たない)

尚、箱の壁の上の「連続状態」は、p^2/2m が無視できるくらい Vが大きいので、
「連続状態」では存在できず「しみだし状態」になります。

>物理量の固有状態のセットが同じ空間を張る
物理量をqとして、 甘泉法師さんの式から、
|ψ>=∫|x>dx<x|ψ>=∫ψ(x)|x>dx = ∫dx∫dq ψ(x)|q><q|x> = ∫dq{∫dx ψ(x)<q|x>}|q>
= ∫dq ψ(q)|q> =∫|q>dq<q|ψ>
が、常に成り立つように見えますが、
<q|ψ> や∫dx ψ(x)<q|x> が、発散する場合とか、
<q|ψ>が、L2関数でなければ、ヒルベルト空間をはみ出します。
∫dx ψ(x)<q|x> の積分が、∞−∞とかで意味を持たない場合も、あります
こういう場合、=になりません。
つまり、同じ空間を張れないことがあります(可観測量ならOK)

ところで、
物理量をエネルギー=ハミルトニアンそのもの とした場合、
∫dx ψ(x)<H|x> は、どういう意味を持つのでしょうか?

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/22(Thu) 23:28  No.11894 
こんにちは。kafukaさん

>「箱のモデルV=const. で Vは、p^2/2m が無視できるくらい大きい」となって行けば、V=∞ の解に 
>いくらでも近づくと思っています。

>尚、箱の壁の上の「連続状態」は、p^2/2m が無視できるくらい Vが大きいので、
>「連続状態」では存在できず「しみだし状態」になります。

E=p^2/2m+V から 自由状態は p^2/2m=EーV>0 しみだしのある束縛状態は p^2/2m=EーV<0 の有限値。  
この式から V→∞にまけないようにp^2/2m→∞(波動関数の井戸区間での振動が激しい極限)で状態は非束縛状態やしみだし状態で有り続けますね。
説明図 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247789_1_1321866996.jpg (再紹介)

><q|ψ> や∫dx ψ(x)<q|x> が、発散する場合 =になりません。
>つまり、同じ空間を張れないことがあります。

興味深い考察です。無限障壁は『発散する場合』にあたるのでしょうか?

=甘泉法師=




  投稿者:kafuka - 2011/12/22(Thu) 23:48  No.11895 
甘泉法師さん
それは、もちろん同意ですが、、、

今は、V→∞ の話をしているので、
「箱のモデルV=const. で Vは、p^2/2m が無視できるくらい大きい」は、
その前提です。

Eは、ある有限値で、Vが いくらでも大きくなる場合というのは、おかしいですか?
例えば、調和振動子で、Eがある値でも、xが大きくなれば、Vは、
いくらでも大きくなります。

それから、
<q|ψ> や∫dx ψ(x)<q|x> が、発散する場合 =になりませんし、
<q|ψ>が、L2関数でなければ、ヒルベルト空間をはみ出します。
∫dx ψ(x)<q|x> の積分が、∞−∞とかで意味を持たない場合も、ありますね。


  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/23(Fri) 00:01  No.11896 
こんにちは。

>今は、V→∞ の話をしているので、
>「箱のモデルV=const. で Vは、p^2/2m が無視できるくらい大きい」は、
>その前提です。

いえいえ、Hのあらゆる固有状態に目配りがいります。特にオブザーバブルであることを見渡すためには。

象には鼻があって首があって耳があって胴体、四肢があって完全なわけですが、象の体がでかくなっていき鼻の先だけみていると、世のはてまで鼻しかない錯覚におちいりその先に首があって耳があって胴体、四肢があることを忘れがちです。 それをわすれないのがV→∞、わすれて世界が鼻(=完全束縛状態のたとえ)だけとするのがV=∞です。

>Eは、ある有限値で、Vが いくらでも大きくなる場合というのは、おかしいですか?
>例えば、調和振動子で、Eがある値でも、xが大きくなれば、Vは、
>いくらでも大きくなります。

Eがある有限値のところだけをみるのは鼻だけみることですね。
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250100_1_1324600262.jpg

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/12/23(Fri) 00:17  No.11897 
ちょっと待って下さい。
H^ψ(x)=Eψ(x) での Eは有界というのが、量子力学の前提のはずです。
(出所は、忘れましたが)
E→∞ とするのは、量子力学をはみ出して、古典論との対応を考える
とかの場合に限ると思います。

  投稿者:ASA - 2011/12/23(Fri) 07:06  No.11898 
kafukaさんNo.11893
>∫dx ψ(x)<H|x> は、どういう意味を持つのでしょうか?
 エネルギー固有状態(完備なら)をベースとしたときの展開係数でしょ。

甘泉法師さんNo.11892
 何度も書きますが、有限井戸の固有状態のセットでは、基底状態の波数より小さい波数の関数を表現できません。なので、連続固有値の運動量の空間と同じ空間を構成できません。一般に、Hの張る空間は連続固有値pの空間よりも小さいです。

余談:
有限井戸の非束縛状態は、内側でsinkx 外側は、-(k/K)sinK(x-L)とかけます(x>L)。接続条件からk=nπ/L,K>0。
今n=1の状態を考えます。
内側と外側でいろんなKに対して足し合わせます。
内側はNsinkx,外側は-k*a:aは、N→無限で定数∫{0,∞}sinKx/KdK となる。
内側をノーマライズすると、外側は-k*a/N。つまり0に収束。
 n=1以外でも同様。足すと外側は0。

 以前にあった指摘では、外側と内側が分離するがありましたが(深い井戸で)、むしろ、無限障壁の系を扱っているのだから、壁を高くすると外側の関数は集約されて、0になるというのが適切でしょう。

 また、何度も書きますが、固有状態の組み合わせ(束縛と非束縛をあわせても)では、sinκx(κ<k0:k0基底状態の波数)という波動関数は、表現できません。つまり、L^2関数を満足する、完全系にはなってません。 

  投稿者:kafuka - 2011/12/23(Fri) 08:54  No.11899 
ASAさん
ありがとうございます。
∫dx ψ(x)<H|x> の意味はわかりましたが、実際 どうやって計算するのでしょう?
<H|ψ> が計算できた としてでいいです。

それから、
>ディラック本には、"we shall assume the energy of any dynamical system to be always an observable," とある
ですが、これから、energyの固有値は有界である。つまり「Lim energy→∞の場合は対象としない」
ように、僕には受け取れます。(dynamical system ですから、Eが∞はありえない)
誤解でしょうか?

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/23(Fri) 10:05  No.11900 
こんにちは。

無限障壁のハミルトニアンの完全性についての問答です。
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250104_1_1324601679.jpg

説明
1. <ψ|V|ψ>=∞。 <ψ|T|ψ>はたかだか有限値なので <ψ|H|ψ>=∞。

2. Hの固有状態|e> への|ψ>の射影は <e|ψ>=0なので  
  <ψ|H|ψ> = Σ<ψ|e> e <e| ψ> = 0

3. 状態空間{ Σa(e) |e> } の中にない|ψ>は実在しない。

4. |ψ>は実在する。 |ψ>をきちんと扱えないハミルトニアンと状態空間の設定が誤っている。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/23(Fri) 10:23  No.11901 
こんにちは。

Why NOT?
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250106_1_1324603304.jpg

  投稿者:ASA - 2011/12/23(Fri) 11:05  No.11902 
kafuka さん No.11899
<H|x>は、<p|x>と同様に考えます(空間でなく時間で考える)
時間的に変わらないという意味なので、その内積は微分方程式を解くことで<H|x>=e^(-iEt)anyφ(x);(符号に自信なし,h=1)
φ(x)にHの固有関数を選ぶことで
<H|x>={e^(-iHt)φ(x)};Hφ(x)=Eφ(x)
EがEnと離散でψ(x)=ΣAnφn(x)とかけたとすると、
∫dx ψ(x){e^(-iHt)φ(x)}=ΣAn*e^(-iEnt)∫φn(x){φ(x)}dx;φn(x)の直交性をつかい、t=0とした場合
∫dx ψ(x)<H|x>={An}
とエネルギー固有値の展開係数になります。

>(dynamical system ですから、Eが∞はありえない)
>誤解でしょうか?
 そう理解するのが、普通ですな。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/23(Fri) 11:07  No.11903 
こんにちは。

龍か蛇か
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250110_2_1324605773.jpg
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250111_2_1324605875.jpg
どこを箸でおさえて拡大するかで違いを認めていい?  

蛙、雀、鳳凰
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250118_1_1324618734.jpg

数直線をつかった説明
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250120_1_1324622494.jpg
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250120_2_1324622494.jpg
=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/12/23(Fri) 12:46  No.11904 
No.11898
自己フォロー
余談のロジックは、おかしいですね。
井戸の深さがVだと、k^2=V+E K^2=Eですから、K=√(k^2-V)>0
n=1のとき外側の大きさは、-(k/K)=-(π/L)/√((π/L)^2-V)=-1/√(1-D),0<D<1でfix。n=1での積分は、無意味です。
 n→∞での状態をひとつの状態と考えると、内側は、sin(kx)/kで0に収束。外側に内側と連続かつ一次微分が一致するとの制約がつくので、外側も0に収束というのがロジック的に成立します。E=0でK=0故にsin(K(x-L))=0ということ。
 E=0以外が、集約されるとみると外側は∫sin(K(x-L))/KdKで定数となりフラット。内側は、∫(sin(kx)/k)dK=∫(sin(kx)/k)dkで定数となりフラット、
規格化で実質0となりますね。

  投稿者:kafuka - 2011/12/23(Fri) 17:46  No.11905 
甘泉法師さん   No.11900:

箱の外側の話ですよね。
一般には、Hとxは交換しませんが、無限壁の箱に限っては交換しますが、
> <ψ|H|ψ>=∞
?です。
これは、∫ψ*(x)Hψ(x)dx なので、ψ(x)=0 なら LimV→∞ V・0=0 です。

尚、ψ(x)=<x|ψ>=0 ですが、
|ψ>と|x> が直交していれば、|ψ>=0ベクトル を意味しません。

  投稿者:kafuka - 2011/12/23(Fri) 17:50  No.11906 
ASAさん
お教え頂き、ありがとうございます。
このような計算が、すっと出てくるよう、もっと、勉強します。

>以前にあった指摘では、外側と内側が分離するがありましたが(深い井戸で)、
>むしろ、無限障壁の系を扱っているのだから、、、
無限壁の箱の場合なら、
Eは、∞になり得ないとすると、
LimE→∞であっても、どんなEの値をとっても、必ず それより大きいVの値が存在する
ので、E<V が成り立つのでは?
そうであれば、H^ψ(x)=Eψ(x) の解は、
Aexp(-kx) の形だけということになり、
非束縛状態は、存在しえない
と考えてよく、
地表がV=0の無限に深い井戸の場合、壁の部分のてっぺんは、非束縛状態なので、矛盾するようですが、
∞−∞ は、数学では意味を持たない=底とてっぺんを、同時に考えてはいけない
ということで、僕は、系が別物と思うのですが、
どうでしょう?
(もちろん、Vが、有限なら 同じ系です)

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/23(Fri) 18:35  No.11907 
こんにちは。kafkaさん。
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250133_1_1324632843.jpg
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250133_2_1324632843.jpg

=甘泉法師=


  投稿者:ASA - 2011/12/23(Fri) 19:00  No.11908 
>非束縛状態は、存在しえないと考えてはいけませんか。
 そういったシンプルな考え方でOKと思います。
(極限操作条件としてE<Vを考える)
No.11904には、E=∞状態は1つであると考えたときのロジックを示しました。
(物理的には、回りくどいですね。)

  投稿者:kafuka - 2011/12/23(Fri) 19:15  No.11909 
甘泉法師さん

>LimV→∞であっても、どんなVの値をとっても、必ずそれより大きいEの値が存在するので、V<Eが成り立つ
Vが有限ならそうですが、
Eの値は、∞にはなり得ないと思うので、Vが∞では、これは言えないような気がします。
水素原子は、無限に深い井戸みたいに見えますが、
Eが∞だから、非束縛状態になるわけでは、ないです。
(関係ないかなぁ)

また、 ∞−∞ は、数学では意味を持たない=底とてっぺんを、同時に考えてはいけないし、
地表がV=0の無限に深い井戸では、底が特異点、無限壁の箱では、てっぺんが特異点で、
特異点での状態を云々するのは、おかしいと思います。

特異点が別なので、僕は、系が別物と思うのですが。
(もちろん、Vが、有限なら 同じ系です)

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/23(Fri) 19:17  No.11910 
こんにちは。kafkaさん
高い障壁・深い井戸2種
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250135_1_1324635299.jpg
いかがでしょうか。

PS
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247869_2_1321965333.jpg(再掲)
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250136_1_1324637182.jpg
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250139_1_1324640967.jpg
=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/12/23(Fri) 20:21  No.11911 
甘泉法師さん

> http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250136_1_1324637182.jpg
<ψ|V|ψ>=∞ なのですか!?
不勉強をお詫びします。
調和振動子のケースで、x→∞で、<ψ|V|ψ>は、∞になるのか、ならないのか、
考えてみます。

調和振動子のケースは、当てにはなりませんが、基底状態のx→∞で、
<ψ|V|ψ>=∫exp(-x^2/a)x^2 exp(-x^2/a)dx=1/4 √{π/2} a^3/2 で、
∞ ではありませんでした。
ψ(x)が、Vの増加より速く0に近づけば、∞にならないです。
ということは、<ψ|V|ψ>=Lim V→∞∫0・V・0dx=0 と思います。
仮に|ψ(x)|=ε でも、Lim V→∞∫ε・V・εdx=∫0・Vdx=0 です。
何故、TOSHIさんは、<ψ|V|ψ>=∞ とされたのでしょう?

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/23(Fri) 23:38  No.11912 
こんにちは。kafukaさん
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250152_1_1324651065.jpg

  投稿者:kafuka - 2011/12/24(Sat) 00:51  No.11913 
甘泉法師さん
僕は、井戸の地表は、V=0 と思い込んでいました。
勝手に図を解釈していました。申し訳ありません。

井戸の底をV=0とするのなら、非束縛状態のEは、Vとともに、確かに上がっていきます。
しかしながら、Eが ∞であるとすると、
地表のψ(t)は、ψ(t)=Lim E→∞ exp(i Et/h') 
なので、地表のψ(t)は、不定となり、このψ(x、t)は、意味を持たない
したがって、地表に非束縛状態はない
ということになると思います。

それから、
井戸の地表を、V=0 とした場合は、地表は、当然 非束縛状態ですが、
井戸の底は特異点なので、
( Eψ(x)=H^ψ(x) をEを有限値として解くと、ψ(x)=Lim P→∞ cos(Px/h')なので不定)
したがって、井戸の底を、V=0 とした系には、移れない
ということでいいのでは、ないでしょうか。

尚、上記を考察して、何故、量子力学で、E→∞を考えてはいけないか、
わかりました。

  投稿者:ASA - 2011/12/24(Sat) 07:04  No.11914 
kafukaさん

>特異点が別なので、僕は、系が別物と思うのですが。
 そのとおり、別です。前提のモデルを勝手に変えるのはいけないと以前注意しましたが、聞く耳を持っておられないようです。勝手に別の系を持ち出して話を混乱させてます(ご自身の思考の混乱を反映しているのでしょう)。

>井戸の地表を、V=0 とした場合は、地表は、当然 非束縛状態ですが、
 先に説明したように、井戸が深くなると、エッジでの内外の一次微分値一致の要請から非束縛状態は存在しなくなります。

>何故、TOSHIさんは、<ψ|V|ψ>=∞ とされたのでしょう?
TOSHIさんの記事でのロジック中に上記のようなものは見つかりませんでした。デマではないですか?記事中には物理的に考えてVψ=0とみなすとしてます。これに則ると<ψ|V|ψ>=0が帰結されます。
 勝手にデマを飛ばすのも悪ですね。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/24(Sat) 07:57  No.11915 
こんにちは。kafukaさん

有限障壁(井戸)高さV で 
・Eは青天井ですから非束縛状態が存在することつまり E-V>0は明らかです。
・エネルギーレベル0をどこにとるのかで物理が変わるわけはありません。底が0でも外が0でもその他でも。

『V→∞』は これらの点を保ったまま障壁と高くしていく/井戸を深くしていくポテンシャルです。

『V=∞』は E-V<0 のポテンシャルです。

わたしは高い障壁(深い井戸)にこの2種があると考えています。

いかがでしょうか。

=甘泉法師=


  投稿者:ASA - 2011/12/24(Sat) 08:51  No.11916 
>有限障壁(井戸)高さV で 
>・Eは青天井ですから非束縛状態が存在することつまり E-V>0は明らかです。
 しかし、無限にすると(ある極限をとる)と非束縛状態が消えます。

 前提として無限障壁のケースを考えているのになぜ有限障壁高さVをもちだすのか理解できません。
 これもまた何度も述べますが、有限障壁高さVでも各種の矛盾は解決しません(高次運動量期待値の発散とか、x表現と連続フーリエ変換した結果であるp表現とでの期待値の不一致とか)。
(有限障壁だと矛盾が解決されるというのなら有限障壁を持ち出した理由が理解できますけど)

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/24(Sat) 14:51  No.11917 
こんにちは kafukaさん

障壁と井戸の整理表です。
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250196_1_1324705779.jpg
いかがでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/24(Sat) 15:30  No.11918 
こんにちは。 kafukaさん
無限障壁についての疑問です。
http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail&target_c_commu_topic_id=12734
実在しない障壁の外の状態を使わずにハミルトニアンが定義できるだろうか。

  投稿者:kafuka - 2011/12/24(Sat) 19:13  No.11920 
甘泉法師さん

>高い障壁(深い井戸)にこの2種があると考えています
V→∞   (十分高いとか深いという意味)
Lim V→∞ (超準解析風に書けば V=∞)
ですね。
これは、ASAさんも僕も、同意していると思います。
ただ、http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250196_1_1324705779.jpg
の分類の名称は、誤解を招くと思います。

>有限障壁(井戸)高さV で
>・Eは青天井ですから非束縛状態が存在することつまり E-V>0は明らかです。
底がエネルギーレベル=0ですね。
V→∞ (高いとか深い場合)では、同意です
Lim V→∞ (超準解析風に書けば V=∞)の場合、
非束縛状態は、存在しないと、思います。
ASAさんの説明もありますし、僕も、H^ψ=Eψですから、E=∞ なら、
ψ(t)=exp(i∞t)ですから不定、したがって、ψ(x、t)も不定 ということは、
非束縛状態は、存在できない
ということです。

>・エネルギーレベル0をどこにとるのかで物理が変わるわけはありません。
系のエネルギーレベルが有限値ならそうですが、
エネルギーレベル=∞ の位置が、特異点ならば、
有限値のエネルギーレベルに選べません
それに、有限値=∞−∞ というのは、意味をもちませんし。

  投稿者:ASA - 2011/12/24(Sat) 20:21  No.11922 
>ψ(t)=exp(i∞t)ですから不定、
 空間で考えるとcos(∞x)とかsin(∞x)ですね。
 δ関数のフーリエ積分表示やら、フーリエ変換でみられるcos(∞x)=0,sin(∞x)=0を採用するとψ(x)=0となり、極限での非束縛状態は、存在しないとなります(0収束)。

 気になったので有限井戸での非束縛状態を調べてみると、エネルギー固有状態が直交してないようです。これは、非束縛状態が展開基底として不適切であることを示してます。k=π/2Lとしてcos(nkx)とsin(nkx)が同じエネルギー固有値を持つ内側(|x|<L)の状態です。具体例としてcos(kx)とcos(2kx)の内積は0になりません。外側(x>L)はcos(K(x-L))ないしはsin(K(x-L))で接続されるので、異なるKに対して内積は0とみなせますから問題ないのですけど。

 ポテンシャルにギャップがあるからでしょうね。V(x)が無限回に微分可能で、適切な境界条件を与えられたときは、スツルム・リウビル型偏微分方程式なので解である固有関数が直交し、展開基底(コンプリート)となりえることが言えます。ψ(+-L)=0という境界条件をつけると直交することがいえます。しかし、コンプリートであるかどうかはわかりません(束縛状態も除外されることになるので)。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/24(Sat) 20:27  No.11923 
 こんにちは。kafkaさん。

 拙表をご覧いただきありがとうございます。


>V→∞   (十分高いとか深いという意味)
>Lim V→∞ (超準解析風に書けば V=∞)

 井戸の場合は、両者を区別する必要がないと存じます。
 障壁の場合は、V<EなるEが存在する極限・存在しない極限 の違いですね。 いかがでしょう。

>ψ(t)=exp(i∞t)ですから不定、したがって、ψ(x、t)も不定 

 不定になるとは思えません。  もしそうだとしても、位相が相殺する 確率密度|ψ(x、t)|^2 には影響がおよびませんね。

>分類の名称は、誤解を招くと思います。

 名称のご提案があれば承り書き直します。

=甘泉法師=
PS
>k=π/2Lとしてcos(nkx)とsin(nkx)が同じエネルギー固有値を持つ内側(|x|<L)の状態です。具体例としてcos(kx)とcos(2kx)の内積は0になりません。外側(x>L)はcos(K(x-L))ないしはsin(K(x-L))で接続される

x=Lで cos(kx)=cos(kL)=0 cos(K(x-L))=cos0 = 1 と接続しませんが問題ありませんか。またψ’の一致具合はどうですか。

  投稿者:kafuka - 2011/12/24(Sat) 20:33  No.11924 
ASAさん
>cos(∞x)=0,sin(∞x)=0を採用するとψ(x)=0
了解しました。
ということです >甘泉法師さん

> V<EなるEが存在する極限・存在しない極限 の違い
Lim V、E→∞ ということでしょうが、
上記のように、Eが∞になると、ψ(x)=0となり、状態が意味を持たなくなります。

>PS
>kafkaさん
>x=Lで cos(kx)=cos(kL)=0 cos(K(x-L))=cos0 = 1 と接続しませんが問題ありませんか
正確なところは、わかりません。
ASAさんの記述ですから、ASAさんに訊くべきでしょう。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/24(Sat) 21:12  No.11925 
 こんにちは。

>>cos(∞x)=0,sin(∞x)=0を採用するとψ(x)=0
>了解しました。
>ということです >甘泉法師さん

 |e^iωt|=1 とはどうつじつまをあわせましょうか。ω=∞だと破れますか。

>Lim V、E→∞ ということでしょうが、

記述は手探りですが
 無限障壁I  ∃E E>V V→∞
 無限障壁II ∀E E<V V→∞

>ASAさんの記述ですから、ASAさんに訊くべきでしょう。

 間違いました。失礼しました。

  投稿者:kafuka - 2011/12/24(Sat) 21:34  No.11926 
>>cos(∞x)=0,sin(∞x)=0を採用するとψ(x)=0
> |e^iωt|=1 とはどうつじつまをあわせましょうか。ω=∞だと破れますか。
それは、僕も気になってましたが、わかりません。
僕の学校では、Limω→∞ cos(ωt)やsin(ωt) は、不定(1と−1の間で不定値)
と習いました。
それが正しければ、関数の定義から言って、これらは関数ではありません。
超関数とすれば、cos(∞x)=0,sin(∞x)=0 なのでしょうか

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/24(Sat) 22:09  No.11927 
こんにちは kafukaさん。

1.
>cos(∞x)=0,sin(∞x)=0

 前の∞を∞1 後の∞を∞2としるすと ∞1と∞2が無相関の場合、超関数として成り立つでしょう
 しかし今 ∞1=∞2 ですからcosとsinは cos^2+sin^2=1 を満たし、ともに0にはなりません。

2. ご示唆をもとに井戸の整理表を改めました。
 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250226_1_1324731273.jpg
 感想をおきかせください。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/12/25(Sun) 01:33  No.11928 
甘泉法師さん

1. ∞−∞=不定 ですから、等号では結べない と思うのですが

2. 真ん中が、LimV→∞ の束縛状態ですね。
僕は、Lim V→∞ の場合、束縛状態でも、ψ(p)は、意味を持たないと
主張しています。
理由は、、、
無限壁の箱の波動関数は壁で値が消える条件を課されますが、
その関数を集めて作る状態べクトル空間を考えます。
これは、壁で波動関数が消える関数の集合となります。
微分∂x を作用させた新しい関数は、壁で消えません。
したがって、
この場合の -ih' ∂x は状態ベクトル空間の元を、
その空間に含まれなくしてしまいます。
つまり、-ih' ∂x は状態空間の作用素になっていません。

運動量という物理量が定義できないのだから、ψ(p)は無意味です。

  投稿者:ASA - 2011/12/25(Sun) 07:23  No.11929 
甘泉法師さん
>しかし今 ∞1=∞2 ですからcosとsinは cos^2+sin^2=1 を満たし、ともに0にはなりません。
 No.11694> x=∞で cos {(π/L + p/h')∞}= cos {(p/h' - π/L )∞}= 0 と振動の平均で評価。
 No.11709> 分子が0でない場合、振動の平均をとり cos {(π/L + p/h')∞}= cos {(p/h' - π/L )∞}= 0。
 ご自身が振動の平均を取るとしてますよ。 引用はcosですがsinでも同様でしょう。
 もし、仮にcos^2+sin^2=1を満たすことを優先したとしても、cos∞x=0 なら sin∞x=1となるので、どちらもxの関数でなくなります(一次微分が0)。
よって、それと接続する外側もフラット。全体に渡る規格化により、0となる。
 何れにせよ、消えるという帰結は、変わりません。

kafuka さん
>つまり、-ih' ∂x は状態空間の作用素になっていません。
 有限の壁でも、怪しいですね。
 今、束縛状態が1つケースを考えます。内側の基底状態は、cos(k0x)となります(k0<π/2L)。微分するとsin(k0x)ですね。
 内側の非束縛状態では、cos(nkx),sin(nkx)です(k=π/2L)
 sin(nkx)の組み合わせでsin(k0x)を表現するのは無理なので、sin(k0x)は、状態空間から外れます。
 つまり、フーリエ連続変換で求めるψ(p)は無意味ということになりますね。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/25(Sun) 11:59  No.11930 
こんにちは。kafukaさん
整理表http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250267_1_1324781893.jpg(少しリバイス)
をみていただきありがとうございます。
以下のように議論の状況と方向を定めてよいでしょうか。

〇片付いているところ
有限・無限の井戸、有限の障壁については整理表どおり。

〇議論の必要なところ
無限障壁I、無限障壁IIについては整理表には大いに疑義あり。

議論をこちらに絞ることでよろしいでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/12/25(Sun) 13:31  No.11932 
kafuka さん No.11931

>非束縛状態に対応する波動関数は、壁に対応する位置では、=0 と思います(たぶん)
 その他に、=1があります。内側が{cos(kx),sin(kx)}で、外側がcos(K(x-L)),k^2-K^2=2mV0/h^2
>束縛状態と非束縛状態では状態空間が違いますね。
 両方でひとつのあるHに対する状態空間を構成すると考えます。
分けて考えるなら、束縛状態はψ(+-∞)=0を満たし、非束縛状態はそれを満たさないので張る空間が異なるのは自明です。

>フーリエ変換で求めることは、問題ないように思いますが
 φ(p)での高次運動量期待値の発散という問題と、表示(ψ(x),φ(p))によって高次運動量期待値の値が違うという問題があります。

  投稿者:kafuka - 2011/12/25(Sun) 14:46  No.11933 
甘泉法師さん、ASAさん
論点をまとめました。ご確認下さい。

0.地表のエネルギーレベルが0の無限井戸と、無限壁の箱(底が0)
    甘泉法師さん:  系は同じ
    ASAさん、Kafuka: 系が違う
1.表の下段(無限壁の箱の束縛状態)
    甘泉法師さん:  ψ(p)は、フーリエ変換で求められる
    ASAさん、Kafuka: ψ(p)は、無意味(pが無意味) 
2.表の真ん中(地表のエネルギーレベルが0の無限井戸の非束縛状態)
    甘泉法師さん:  ある
    ASAさん、     ?
    Kafuka:     井戸の外側だけにある(分断されている)
2’底のエネルギーレベルが0の無限井戸=無限壁の箱の非束縛状態
    甘泉法師さん:  ある
    ASAさん、Kafuka: ない
3.表の上段(有限壁)     −新たな論点
    甘泉法師さん:  ψ(p)は、フーリエ変換で求められる
    ASAさん:    ψ(p)は、無意味(No.11929、No.11935)
    Kafuka:    別途Up (No.11936)

  投稿者:kafuka - 2011/12/25(Sun) 14:49  No.11934 
ASAさん
おっしゃる通りです。
気づいたので、削除しました。すみません。

No.11929のψ(p)が無意味という件ですが、
これは、トンネル効果のV(x)等のV(x)が不連続な場合、全てに言えるのでしょうか?

  投稿者:ASA - 2011/12/25(Sun) 15:48  No.11935 
>トンネル効果のV(x)等のV(x)が不連続な場合、全てに言えるのでしょうか?
V(x)に飛びがある場合には、問題が生じます。
V(x)に飛びがなくてもHの固有関数ψ(x)で、その2次の微分値が連続でないと問題が生ずるようです。

  投稿者:kafuka - 2011/12/25(Sun) 18:25  No.11936 
ASAさん

これは、「ψ(x)≠0にもかかわらず、フォンノイマンの一意性定理が成り立たない」
ということで、大発見と思います。
(一意性定理から、ψ(x)とψ(p)は、ユニタリー同値であるはずです)

逆に、一意性定理が成り立つためには、
波動関数を繋ぐ場合「ψ(x)の値とψ(x)の1次微分の値の一致」だけじゃなく、2次の微分の値まで、
一致を要請しないといけないことになります。
ということは、
このような有限壁とかの場合のψ(x)は、教科書のものではない、
と思います。

一意性定理が成り立たないか、「ψ(x)の値とψ(x)の1次微分の値の一致」ではダメかの
いずれにせよ、論文発表されて、衆知の検討を仰いではいかがでしょう。

追伸:
有限壁の箱の束縛状態の場合、壁の中は、exp(-ax) で、箱の中は、sinかcosカーブですが、
2次微分の値の一致を要請すると、
exp(-ax)は、→ -exp(-ax) → +
sinなら、→ cos → -、
cosなら → -sin → -
で合いません。
「全体が高さ1の水平で接続点が波状の関数」を掛けて、滑らかにする必要があると思います。
(sinカーブの端をちょっと上げ、exp(-ax) の方は、ちょっと下げて接続する)

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/25(Sun) 22:16  No.11938 
こんにちは。kafkaさん。

>論点をまとめました。ご確認下さい。

おまとめいただきありがとうございます。拝読して問題意識の共有に安らぎました。争点の無限障壁についてkafkaさんのをタイプA、私のをタイプBとして主張を抜きだしました。http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250301_1_1324818311.jpg 運動量についてのパウリの主張もA-2として加えました。いかがでしょう。

互いの主張を見通したところで相手への疑問を開陳し検討することは有意義と存じます。

PS
>井戸の外側だけにある(分断されている)

 御意。以前発言した図 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247789_1_1321866996.jpg のように考えています。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/25(Sun) 22:40  No.11939 
こんにちは。タイプAに対する批判です。

ハミルトニアンが実在しない状態を使って定義される矛盾

 |x>について  http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250203_1_1324713252.jpg(再説)   

 |p>について  『pが無意味』なのにハミルトニアンが|p>を使って定義されているのは矛盾している。


PS

 A-2 Pauli への批判  

 0<x<L だけに存在する波動関数でpの固有状態をつくることは不確定関係からできない

 固有値pnの固有状態を作ろうとしてもnの偶奇が異なるものどうしは直交しない。 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247938_2_1322033611.jpg(再説)

  投稿者:ASA - 2011/12/26(Mon) 06:50  No.11940 
kafuka さん

>ASAさん:    ψ(p)は、無意味(No.11929、No.11935)
 フーリエ連続変換で求められるψ(p)は、物理的意味を持たない。

>これは、「ψ(x)≠0にもかかわらず、フォンノイマンの一意性定理が成り立たない」
ということで、大発見と思います。
 そうなんですか? 数学は、疎いので「フォンノイマンの一意性定理」なるものを説明していただけると助かります。もしかして、V(x)が解析関数とか状態空間でp=i∂xが自己共役であるとかの前提条件がついているのではないかと思いますが。
 その定理とやらはp=i∂xがオブザーバブルでないときも連続フーリエ変換でかならずφ(p)が求まることを保障しているのでしょうか?
 (清水テキストによる概説では、自己共役演算子という条件がついてます)

>一意性定理から、ψ(x)とψ(p)は、ユニタリー同値であるはずです
 これも説明いただけると助かります。無限障壁では、高次運動量期待値が違うことが問題になってますので。

>論文発表されて、衆知の検討を仰いではいかがでしょう。
 素人の思いつきレベルのは、大概論文発表済みです。論文発表で衆知の検討になるとは限りません(多くの論文などは、歴史の中に埋もれて生きます)。
 

  投稿者:ASA - 2011/12/26(Mon) 07:00  No.11941 
甘泉法師 さん
>以前発言した図 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247789_1_1321866996.jpg のように考えています。
 先の論証により、井戸内部の染み出しなるものは、存在しません。
 存在するというなら具体的に井戸内部の関数を示しなさい。示せないならそれは存在しないということです。

>タイプAに対する批判です。
 何を言っているのか、理解不能。
 (pが自己共役でなくてもp^2は自己共役、ハミルトニアンHは、自己共役演算子の和で構成されているので問題ない。もしかして演算子とその固有値の区別がついてないのかも)
 
>A-2 Pauli への批判 
 Pauliへの批判になっていません。

  投稿者:kafuka - 2011/12/26(Mon) 11:31  No.11942 
ASAさん

>その定理とやらはp=i∂xがオブザーバブルでないときも連続フーリエ変換でかならずφ(p)が求まることを保障している
そうではないです。
演算子p^、x^が、自己共役演算子として共に意味を持つ場合で、
ψ(p)が定義できる時は、ψ(x)から出てくる帰結(計算結果)と一致を保障している
だけです。
>無限障壁では、高次運動量期待値が違うことが問題になってますので。
p^が意味を持ちませんから、一意性定理の適用外です。

一意性定理は、普通、シュレーディンガ表現とハンゼンベルグ表現が、
同じ帰結(計算結果が同一)であることの証明に使いますが、
ちょっと工夫すれば、ψ(x)とψ(p)の関係にも使える
と思っています。

一意性定理の説明:   「新版 量子論の基礎」p127より抜粋

ひとつのヒルベルト空間H={|ψ>のセット}を作って、
その上の自己共役演算子p^、q^ で、[p^, q^]=ih’を満たす組が構成できたとする。
そして、このヒルベルト空間は、必要最小限の大きさとする。
(これは、「p^、q^から作られる多項式」のどれとも可換な演算子A^ は、
 恒等演算子1の定数倍しかない という意味である)
この時、 [p^, q^]=ih’が、このHとその上の演算子p^、q^で既約表現できた
という。
また別の(同じでもよい)ヒルベルト空間H’を作って、その上の自己共役演算子p^’、q^’ で
[p^’, q^’]=ih’を満たす組が ひとつ構成でき、これも既約表現だとする
その時、ユニタリー変換Uで、
q^'=Uq^U†  p^'=Up^U†
なるものが、存在するということが、証明される。
この場合を、「この2つの表現はユニタリー同値である」という。

というものです。
この定理から言って、
演算子p^、x^が自己共役演算子として共に意味をもつ1つのヒルベルト空間Hのψ(x)とψ(p)の関係も
「ユニタリー同値である」
であるはずです。

すいません。よく考えると、
この定理で言うψ(p)は、運動量表示のシュレーディンガeqから求められるべきもので、
フーリエ変換は、ユニタリー変換では、ありますが、
ψ(x)をフーリエ変換したものと一致するかどうかは、
何とも言えませんです。

  投稿者:kafuka - 2011/12/26(Mon) 12:05  No.11943 
甘泉法師さん

>PS
>井戸の外側だけにある(分断されている)
> 御意。以前発言した図 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247789_1_1321866996.jpg 
僕の「井戸の外側だけにある」という主張は、無限井戸でも、エネルギーレベルが、
井戸の地表で0の場合に限ります。
エネルギーレベルが、井戸の底で0の無限井戸とは、系が違うと考えるので、
1つの図にまとめられない
と思っています。

それから、
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250301_1_1324818311.jpg
の表ですが、
Dが、=∞(LimD→∞) と、→∞(Limがつかない=十分大きいだけ)
を、同列に比較するのは、意味がないと思います。
共に、 =∞(LimD→∞)で、比較するか、
共に、 →∞ で比較するか、のどちらかでないとおかしい
ということです。

  投稿者:ASA - 2011/12/26(Mon) 12:13  No.11944 
>p^が意味を持ちませんから、一意性定理の適用外です。
ならば、
>大発見と思います。
ではないでしょう。

>フーリエ変換は、ユニタリー変換
 そうなのですか?これも説明をお願いします。

>この定理で言うψ(p)は、運動量表示のシュレーディンガeqから求められるべきもの
 そうですね。表示の対応(x,-i∂x)→(i∂p,p)からすると、ポテンシャルV(x)は、V(x)=Σan*x^nとべき乗形式であらわせないとだめですね。
 ある区間1でV=Const1,異なる区間2でV=Const2などというステップ型のポテンシャルは、だめなものの典型例ですね。

  投稿者:kafuka - 2011/12/26(Mon) 17:10  No.11946 
ASAさん
すいません。
有限壁の井戸では、p^は、自己共役演算子と思い込んでいました。
コメントをよく読むと、自己共役演算子にならないということですね。

フーリエ変換はユニタリー変換のひとつの表現である
というのは、前野昌弘先生の
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/qm/qmK_5.html
の式(12.22)辺りに書いてあり、
>フーリエ変換(あるいはx-表示からp-表示への変換)というのは
>「無限行無限列行列を使ったユニタリ変換」ととらえることができる。
とあります。
また、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B
には、
<tex>    \hat{f}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx</tex>
<tex>    f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\omega) e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega</tex>
この規約のもとでは、フーリエ変換はふたたび L2(R^n) 上のユニタリ変換となり、また フーリエ変換と逆変換の間の対称性も回復することができる。

とあります。
尚、僕のブログの記事も参考になれば、、、
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/59186572.html

  投稿者:ASA - 2011/12/26(Mon) 18:26  No.11947 
>フーリエ変換(あるいはx-表示からp-表示への変換)というのは
 問題にしているのは、微分表現によるpとの演算子が自己共役でないので、
x-表示からp-表示への変換がフーリエ変換で表現できないのではないかということです。
>「無限行無限列行列を使ったユニタリ変換」
 または、pが自己共役でないのでフーリエ変換に対応するそのような行列が存在しないのでは、という疑問です。

>フーリエ変換はふたたび L2(R^n) 上のユニタリ変換となり
 当該空間内でユニタリ変換でないと意味がないのでは?
 当該空間内でのユニタリ変換なら、期待値が一致するはずです。
 有限障壁の場合、その表現により期待値が異なるという事実より、フーリエ変換(連続固有値による)がユニタリ変換ではないと思います。

つまり、以前の無限障壁での議論により、
 <x|p>=(δp,kn)*e^ipx;クロネッカーδ、x<2L、
   =0,その他のx
 として(ちなみにこれは、測定器が備える運動量セットの一例、クロネッカーδでなくて、一般には重み付け関数W(p)で表現される)、
 ψ(x)を運動量の表現空間と合わせる為に、ψ(x)の領域を折り返すことで拡張し(Lから2Lへの拡張)、これをψ#(x)とします。
 <p|x>ψ#(x)を計算すると、物理的に意味あるψ#(p)が得られます。
 元も戻すには、<x|p>ψ#(p)=ψ#(x)ですから、この拡張された領域を折りたたむことでもとのψ(x)に戻ります。
 (ちなみに、上の領域操作は、粒子が往復運動をしているという物理的考察から要請されるものです)
 つまり、オブザーバブルとなる線形作用素が単なる微分演算で表現することができなくて、このような領域操作を伴う作用素になっていると理解してます(普通のフーリエ変換では、このような領域操作はありません)。

  投稿者:kafuka - 2011/12/26(Mon) 19:07  No.11948 
ASAさん
わかりやすい説明、ありがとうございます。
今 議論しているケースの場合、フーリエ変換(連続固有値による)がユニタリ変換ではない
ということですね。
僕は「フーリエ変換=ユニタリ変換の一つの表現」は数学の定理、したがって 対象によらない
と思っているので、
今 議論しているケースの場合、x表示からp表示へのユニタリ変換は、
フーリエ変換であるなしにかかわらず、意味を持たない
と解釈しています。

できれば、数学に超詳しいHirotaさんのご意見を賜りたいのですが、、、

>オブザーバブルとなる線形作用素が単なる微分演算で表現することができなくて、
>このような領域操作を伴う作用素になっていると理解してます
>(普通のフーリエ変換では、このような領域操作はありません)。
これで、「折りたたむ」という意味が、やっと理解できました。

僕は、パウリ解、ランダウ解、両方とも誤りと思っていますが、
(p^が単なる微分演算子なら、作用した結果の関数が、当該関数空間からはみ出すので)
もし、この「領域操作を伴う作用素」が、
作用した結果の関数が、当該関数空間からはみ出さず、
かつ、自己共役ならば、
パウリ解は正しい ということになると思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/26(Mon) 21:35  No.11949 
 こんにちは。kafkaさん

>Dが、=∞(LimD→∞) と、→∞(Limがつかない=十分大きいだけ)
>を、同列に比較するのは、意味がないと思います。

拝承。改めて

 E[0,∞)との関係
  タイプA  VはすべてのEより大きい
  タイプB  Vより大きなEがある
 を保ち LimV→∞

>エネルギーレベルが、井戸の底で0の無限井戸とは、系が違うと考えるので、
>1つの図にまとめられない
>と思っています。

 ご安心ください。無限障壁(=井戸の底で0の無限井戸)についてはタイプAで、井戸と障壁とでは違うとのお考え、承知しています。

 わたしはタイプBであると考えています。 議論しましょう。

 わたしからのタイプAの批判はのひとつ前の発言のとおりです。ご笑納ください。

=甘泉法師=

PS  蛇足
(タイプAもLimV→∞という表記でいいですか。Vを大きくしていく過程でかならずそれより大きなEが存在するタイプBのイメージがわたしにはありました。有無をいわさずEを圧倒凌駕するVをバンと与えるイメージでV=∞としました。)


  投稿者:kafuka - 2011/12/26(Mon) 23:04  No.11950 
甘泉法師さん
>PS  蛇足
了解です。

http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250203_1_1324713252.jpg
について、
H=、、、の式は、
H=p^2/2m + V(x) を 射影|q><q| したもののトータルであるとすると、
H=∫{-∞,+∞}dq|q><q|{p^2/2m + V(x)}
=∫{-∞,+∞}dq|q><q| p^2/2m +∫{-∞,+∞}dq|q><q|V(x)
となり、第1項が|p><p|、第2項が|x><x|と、異なるというのは腑に落ちませんが、
別々の完全性関係で、書かれたのですね。
H=∫{-∞,+∞}dp|p><p| p^2/2m +∫{-∞,+∞}dx|x><x|V(x)
とすると、
H|ψ>=∫{-∞,+∞}dp p^2/2mψ(p)|p> +∫{-∞,+∞}dx V(x)ψ(x)|x>
となり、第1項は意味をもたないので、全体として無意味になると思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/26(Mon) 23:43  No.11951 
kafkaさん

1.
一般にオペレータQはその固有状態|q>、固有値qをつかって

Q=∫|q>q<q|dq  ( 離散スペクトルもある場合は + Σ|q>q<q| )

その関数、オペレータf(Q)=∫|q>f(q)<q|dq 

2.
運動エネルギーオペレータ P^2/2m = ∫|p>p^2/2m<p|dp

位置エネルギーオペレータ V(X)= ∫|x>V(x)<x|dx です。

3.
>H|ψ>=∫{-∞,+∞}dp p^2/2mψ(p)|p> +∫{-∞,+∞}dx V(x)ψ(x)|x>
>となり、第1項は意味をもたないので、全体として無意味になると思います。

 「pが意味をもたない」のに第1項はdp,p^2,ψ(p),|p>とpだらけですものね。  ハミルトニアンには意味をもってほしいのですが、pによらずに表すことはできるのでしょうか。 

ref. Wiki ハミルトニアン 
 量子力学では、正準量子化に従って位置と運動量を演算子で表す。従って、位置と運動量の関数であるハミルトニアンは演算子としての性質を持つ。

 「位置と運動量の関数であるハミルトニアン」が運動量の関数でなかったら定義に反する? 

=甘泉法師=

PS 微分演算子。1階微分ができないのに1階微分をさらに微分した2階微分はできるという狐につままれたようなことがありうるんでしょうか。



  投稿者:kafuka - 2011/12/27(Tue) 00:57  No.11952 
甘泉法師さん
お手数をおかけし、すいません。了解です。

しかしながら、両辺に |ψ>を右から掛けると、
H|ψ>=∫{-∞,+∞}dp|p> p^2/2mψ(p) +∫{-∞,+∞}dx|x> V(x)ψ(x)
となり、第1項は意味をもたないので、全体として意味をなさなくなります。
それは、おいて、
壁の中のψ(x)が ≠0なら、Eの期待値は∞ (こちらが正しいとお考えですね)
ψ(x)が =0 なら、Hは定義できない とお考えのようですが、
Hf(x)=Ef(x) において、Hの固有関数f(x)は、ψ(x)の分布の中に
ψ(x)=0 の部分があっても、Hの固有関数、固有値は、存在します。

  投稿者:ASA - 2011/12/27(Tue) 06:15  No.11953 
kafuka さん No.11948

>もし、この「領域操作を伴う作用素」が、
作用した結果の関数が、当該関数空間からはみ出さず、
かつ、自己共役ならば、
パウリ解は正しい ということになると思います。

 領域操作が当該関数空間を拡張することです。
 拡張された状態空間では、微分演算子であるpが自己共役です。
 なのでパウリ解が正しいと思ってます。

 ちなみに、位置に関して領域操作を伴うとしましたが、TOSHIさんの議論のように領域操作でなく時間部を考慮するということにしても同様の結果をえます。 通常のフーリエ変換では、位置xのみの和であり、時間部の和をとることはありません(<p|x>=e^i(px-(p^2)t/2m):pは連続,|x|<L)。測定という物理過程を考えると測定は相互作用を伴ってある有限時間で完結するものですから、時間部で考えるというほうが、物理的に自然ですね。
 領域操作に関しても、測定系との相互作用によって生じる仮想的な中間状態との解釈が可能です(同じ結果を与えるので、解釈の違いですね。シュレディンガー表現とハイゼンベルグ表現の違いのようなもの)。 

  投稿者:ASA - 2011/12/27(Tue) 06:34  No.11954 
kafuka さん No.11952

意味をもつ|p>とは、どんなものかを考えないと不毛ですね。
(意味を持つ<p|x>の例を、いくつか示しました。)

甘泉法師さんの論理は、逆転してますね。
順番としては、H=T+Vがオブザーバブルが一番最初(デラック流儀)。
T=p^2/2m、Tが自己共役だからといって、当該空間でp=+-√(2mT)が、自己共役になるとは限らないのです。だから、一般的な|p>を考えても無意味になるわけです。

追伸
 半直線上(x>=0)でpが自己共役でないこともよく知られています。
 このときのハミルトミアンは、H=T+V(x);{V(x)=∞or -∞ x<=0;V(x)=0 x>0}です。固有関数はψ(x)={sin(Kx) x>=0,0 x<0}で原点で0を満たしてます。
 フーリエ変換の結果は、∫{0,∞}e^(ikx)dxの処理の仕方によって異なります。e^(ik(+-∞))=0とすると運動量高次期待値で矛盾が生じます。∫{0,∞}(cos(kx)+i*sin(kx)dx=δ(k)/2とする処理だと、結果φ(p)={δ(K-p)-δ(K+p)}/2となって運動量高次期待値の計算で矛盾しません。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/27(Tue) 08:28  No.11955 
 こんにちは。kafkaさん

>第1項は意味をもたないので、全体として意味をなさなくなります。
>それは、おいて、

 了解。運動量の話はとっておきましょう。 xについて

>壁の中のψ(x)が ≠0なら、Eの期待値は∞ (こちらが正しいとお考えですね)

 ハミルトニアンから計算されますね。

>ψ(x)が =0 なら、Hは定義できない とお考えのようですが、

 定義が適用させてもらえないですね。
 Hのほうは 壁の中がくれば∞をかえすように待っているのに、ψ(x)=0とすかされているので本来の役割を発揮させてもらえない。
 ∞ホームランを打とうとする打者が敬遠されているようなものです。 

>Hf(x)=Ef(x) において、Hの固有関数f(x)は、ψ(x)の分布の中に
>ψ(x)=0 の部分があっても、Hの固有関数、固有値は、存在します。

 全打席敬遠されればそうなるでしょう。 ストライクゾーンのボールがくればホームランの打者だといわれながらずっと敬遠され続ける。

 さて、タイプAではストライクボールがない。決して投げられないボールに対する大打者ってなに? 定義に意味がある?

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/12/28(Wed) 10:46  No.11956 
 量子力学のはずなのに、野球にいつの間にかすりかわっており、まったく理解できません。
 ホームランとかストライクとかバッターとか量子力学の世界での何に例えられているのかさっぱりです。その他、派生項目として、打席とかストライクゾーンとかスイングとか、アンパイアによるジャッジメントとか、バットの大きさとかボールとか、球場の広さとか、いろいろ対応が不明な物がたくさんあります。
 
甘利法師さんNo.11888> B われわれは物理を議論しているのだからたえず現実の自然をはなれていないか注意すべきである。

自己矛盾してますね。

  投稿者:ひゃま - 2011/12/28(Wed) 12:34  No.11957 
野球ならまずプレーヤーより先にグランドを条件定義して、ルールが有効か無効か確認してくださいw

物理なら、観測可能なものをプレーヤーとすると、観測不可能なものをグランドとして適用が必要です。

  投稿者:ASA - 2011/12/29(Thu) 09:44  No.11959 
No.11953,No.11954への自己補足です。
>半直線上(x>=0)でpが自己共役でないこともよく知られています。
 No.11954は、自由の状態でしたが、今度は調和ポテンシャルの例を考察します。
ハミルトミアンは、H=T+V(x);{V(x)=∞or -∞ x<=0;V(x)=ax^2 x>0}
固有関数はψ(x)={Н_(2n-1)e^(-αx^2) x>=0:Н エルミート多項式: ,0 x<0}で原点で0を満たしてます。
 これをフーリエ変換すると、高次運動量期待値の不一致を生じます。
物理的に考えると、原点で全反射されている状態なので、全直線(上壁がないとき)での調和ポテンシャルと同じエネルギー固有値の状態は、同じ期待値を与えるはずです。
 フーリエ変換の詳細を見ると、エネルギーの固有関数は、奇関数であるため、全直線ならe^-ikxでの実部cos(kx)との積の積分は、消えますが、半直線であるため、これが消えずに食い違いが生じます。
 ということでフーリエ変換によって求めたφ(p)が、ユニタリでないことがわかります。
 物理的に意味ある状態関数の運動量表示は、No.11947で示した領域拡張を伴う方法です。つまり、ψ#(x)=Н_(2n-1)e^(-αx^2)としてe^-ikxでフーリエ変換してφ#(k)を求めます。
 このようにして、求めたφ#(k)は、無矛盾で確率解釈可能です。物理的なイメージと一致する。また、実直線に領域拡張されることになるので、pは自己共役(wiki参照)。ψ#(x)の微分が、ψ#(x)の張る空間に所属しないけども(ドメイン判定による自己共役要件は、オブザーバブルとしては厳しいものである模様)。自己共役ならオブザーバブルといえるが、オブザーバブルならば自己共役とはいえない。

  投稿者:ASA - 2011/12/30(Fri) 09:27  No.11964 
No.11944>表示の対応(x,-i∂x)→(i∂p,p)からすると、ポテンシャルV(x)は、V(x)=Σan*x^nとべき乗形式であらわせないとだめですね。
だめな例として調和ポテンシャルの接続、V(x)=ax^2(x>=0),(a(1+ε))x^2(x<0,ε<<1)を考えます。
すると、これを満たす解が存在しないことになります(En=(ω_)(n+1/2)=(ω.)(n+1/2)でω_とω.とが微妙に異なるのでEnを同時に満たす自然数nがないため)。n→∞で両者の差がなくなりますけど。
 古典運動で、このようなポテンシャルでの運動が存在してますから、明らかに現実との矛盾ですね。
 矛盾の解決方法は、いくつか考えられます。量子論の本質は、運動量と位置の揺らぎです。そう考えると、ある位置xにおいてポテンシャル値が揺らぎなく定まるという前提自体に疑問がつくわけです。
方法1、位置を離散化して、差分方程式で運動を記述する(計算機向き、複雑なポテンシャルでの計算は計算機頼みなので矛盾が現れない):ある微小区間凅内でポテンシャル平均値が定まっている。位置そのものが離散的。
方法2、運動は偏微分方程式で記述するけど、ポテンシャルはステップ関数の組み合わせで表現する(解析の知見をある程度使える):方法1と同様のポテンシャル平均値の考えだけど、xそのものは連続とする(凅という最小単位の想定あり)。
などです。
 方法2で考えると上記ポテンシャル(に対応したステップ合成ポテンシャル)で解が存在することになるので、矛盾は発生しません(ほぼガウス波束での古典的軌道が存在)。
 しかし、数学的な細かいこと"運動量演算子が自己共役演算子であるとか、オブザーバブルが自己共役演算子で表現されるとか"が厳密な意味で成立するとは限りません。
この辺の詳細なことは、物理とは関係ない気がします(数学的位置づけが気になる数理向け。hirota さん No.8963 に始まる演算子の定義域外の状態についての議論で状態関数ドメインに絡む話など)。逆に、正準量子論が公理的に整備されていない(特に観測と絡んだ事項)ことを表しているわけでもありますね(確率過程量子化だと回避されてる事項です)。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/12/30(Fri) 13:43  No.11965 
こんにちは。

http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250544_1_1325219957.jpg

本年もお世話になりました。 みなさま良いお年をお迎えください。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/12/30(Fri) 15:30  No.11966 
甘泉法師さん No.11965
意味不明です。
矩形関数を障壁内の束縛状態ψnで展開すると、展開係数はan=1/n:(nは奇数)になります。
p^2ψn=2mEnψn;En=E*n^2ですから、
(ψ,p^2ψ)=2mEΣ(1/n)*n^2*(1/n)=EΣ=∞で発散します。
 p^2だと、フーリエ連続変換したものと期待値は変わりません。
 しかし、高次運動量期待値が食い違うことが問題だったのですが、甘泉法師さんのなかで解決されたのでしょうか?

  投稿者:ASA - 2012/01/02(Mon) 16:17  No.11967 
>No.11964
>V(x)=ax^2(x>=0),(a(1+ε))x^2(x<0,ε<<1)を考えます。
確率過程量子化でのネルソン-ニュートン方程式だと、ちゃんと解が求まります。
 定常状態は、静止状態なので確率流速度v=0とします。 すると、ネルソン-ニュートン方程式は0=(h/2m)∂^2u+u∂u-∂V/mとなります。
 これから、確率分布ρを与える浸透速度uは、u=(+-x)*√(2a(1+ε)/m) ;{ε=0 x>=0} と求まります。
 ρ=e^(∫(2mu/h)dx)なので、非対称な確率密度分布(非対称ガウス分布)になります。
 シュレディンガー方程式では、解なしですが、ネルソン-ニュートン方程式だと解があり、古典的運動と見た場合の確率密度と一致します。
 このようなことから考えると、ネルソン-ニュートン方程式の方がより基本的方程式だと考えられます(非線形方程式系なので解を求めるのは大変ですが)。こちらの方程式をベースにして、物理的考察をした方が有益である気がします(イメージも持てるし)。

ps.
>0=(h/2m)∂^2u+u∂u-∂V/m
は、積分して
(h/2m)∂u + (u^2/2)=V/m + Const
とした方がみやすいですね(エネルギー式)。
(h/2m)∂u + (u^2/2)=0を満たすのは、エルミート多項式に相当する冪和の有理関数です。和のない単純なのは、u∝1/xですね。
(h/2)∂uが量子論で特有の確率分布形状に依存するエネルギー(量子ポテンシャル相当)ですね。これは、量子的揺らぎの相関エネルギー(ポテンシャルによって生じる)と解釈できます。

あと(h/2m)∂u + (u^2/2)=Constを満たすものとして、u∝tanh(kx)も存在しますね。 あと、u=-(hk)*tan(kx)が存在します。このとき、Const=-(hk)^2/2m、量子エネルギーQ=-Const。ρ=A(cos(kx)^2)で自由な状態に相当してます(k:any)。 非線形方程式でも一回の微分方程式なのでV=0なら、簡単にもとまります。kdx=du/(1-(au)^2),kdx=du/(1+(au)^2)



  投稿者:kafuka - 2012/01/06(Fri) 16:57  No.11970 
遅ればせながら、新年、おめでとうございます。
Resが遅れてすみません。年末から寝込んでいました。

ASAさん
ψ#(x)で記述する方法、これで「パウリ解は正しい」で納得です。
>ドメイン判定による自己共役要件は、オブザーバブルとしては厳しいものである
ψ(x)の端が なだらかでないものは、ダメってことですね。
ψ#(x)に写像すれば、OKでしょうが、
端が なだらかでないψ(x)をいくつか繋いだものは、どうなのでしょう。
(例えば、トンネル効果のψ(x)全体)
それぞれのψ#(x)で考えればいいですか?

甘泉法師さん
ψ#(x)に写像しなければ、(ψ(x)のままで考えると)
ドメイン判定による自己共役要件から、パウリ解もランダウ解も両方誤りと思っていましたが、
上記のように訂正します。

  投稿者:甘泉法師 - 2012/01/06(Fri) 17:41  No.11971 
こんにちは kafukaさん

>ψ#(x)

とは

Re: 無限深さ井戸中の波動関数 ASA - 2011/12/26(Mon) 18:26 No.11947
ψ(x)を運動量の表現空間と合わせる為に、ψ(x)の領域を折り返すことで拡張し(Lから2Lへの拡張)、これをψ#(x)とします。

ですね。 折り返しについては昨年

Re: 無限深さ井戸中の波動関数 甘泉法師 - 2011/11/23(Wed) 22:08 No.11673
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247983_1_1322053428.jpg

と批判しました。 いかがでしょう。

お大事にご自愛ください。  本年もよろしくお願いします。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2012/01/07(Sat) 02:07  No.11972 
甘泉法師さん
こちらこそ宜しくお願いします。

ψ#(x)という写像は、ヒルベルト空間上のものですから、
現実のx座標と対応しなくてもいいと考えます。

僕は「ただ折り返せばいい」というのでは、数学的根拠がない
と思って疑問視していましたが、
ψ(x)のLから2Lへの写像ψ#(x) と、それに対応するψ#(p)つまり、±P0をピークに持つδ関数
は、互いにフーリエ変換の関係になり、何ら矛盾は生じません。

逆に、ψ(x)そのものは、ドメイン判定による自己共役要件から、
解ではないので、
そのフーリエ変換であるψ(p)は、無意味と考えます。

  投稿者:ASA - 2012/01/07(Sat) 09:38  No.11975 
 No.11967への 自己フォロー
>確率分布ρを与える浸透速度uは、u=(+-x)*√(2a(1+ε)/m) ;{ε=0 x>=0} と求まります。
 これは、正確でないですね。
u=0,v=(v0)cos(ω1t);x>0,=(v0)cos(ω2t);x<0,
が厳密な解です(量子ゆらぎなしの古典運動そのもの)。
>シュレディンガー方程式では、解なしですが、ネルソン-ニュートン方程式だと解があり
 これは、正しいです。

 確率力学的に考察すると、基底状態での観測される運動量について、別の解釈が成立します。
 これについては、後ほど述べます。 

  投稿者:甘泉法師 - 2012/01/07(Sat) 16:17  No.11976 
こんにちは。kafkaさん。

>ψ#(x)という写像は、ヒルベルト空間上のものですから、
>現実のx座標と対応しなくてもいいと考えます。

そうでしょうか? 以下のように無理があります。

1. 現実のx座標でないところのxに対する波動関数は意味をなすのでしょうか、現実でないx座標(先にはアチラの世界と例えました)に粒子を見出す確率を与えるのは気味が悪いです。 規格化は現実世界に1粒子、アチラの世界に1粒子のようになるのでしょうか。

2. 現実のxととアチラのxの接合は 現実の(-∞,L] と [L,∞)の間に アチラの[L、2L]が挟まっているような具合なのでしょうか。x=Lの点にアチラの長さLの線分が巻き込まれている? アチラのxでのV(x)は?
説明図 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_251161_1_1325920696.jpg

3. 運動量固有状態は折り返しを導入すれば構成できるのでしょうか。  e^ikx を採用するならば|e^ikx|=1と、x=0,L で0にできませんが差支えはありませんか。

4. 折り返しが現実の座標でのこととすると、ψ(x)が折り返し前と折り返し後のふたつの値をかえす多価関数になるまたはそのふたつの重ねあわせになって、どちらにしても具合はよくありません。
Re: 無限深さ井戸中の波動関数 甘泉法師 - 2011/11/23(Wed) 22:08 No.11673
http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_247983_1_1322053428.jpg.

>ψ(x)のLから2Lへの写像ψ#(x) と、それに対応するψ#(p)つまり、±P0をピークに持つδ関数
>は、互いにフーリエ変換の関係になり、何ら矛盾は生じません。

 そうでしょうか?

 δ(p)=1/2πh' ∫e^-ipx/h' dx から
 
 δ(p+P0)+ δ(p-P0) = 1/2πh' ∫( e^iP0x/h' + e^-iP0x/h' )e^-ipx/h' dx = 1/πh' ∫ cos P0x/h' e^-ipx/h' dx このように 

 ±P0をピークに持つδ関数のフーリエ変換対は、障壁の外へも無限に続く cos P0x/h' です。

>逆に、ψ(x)そのものは、ドメイン判定による自己共役要件から、解ではないので、

 「ドメイン判定による自己共役要件」を勉強したく、お手数でも解説いただければありがたく存じます。



 Re: 無限深さ井戸中の波動関数 甘泉法師 - 2011/12/27(Tue) 08:28 No.11955 はいかがでしたでしょう。

追加説明 タイプAとB http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_250301_1_1324818311.jpg
追加説明図 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_251292_1_1326086829.jpg
 ご意見をいただければ幸いです。
 

 =甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2012/01/08(Sun) 15:42  No.11982 
No.11975 の 続き

 確率力学のサマリーは、別スレッドで述べました(詳細は、適当な文献を参考にしてください)。
 結論としては、基底状態の運動量観測値は、0、もしくは、p=-+hk0です。
 以下は、結論に至る過程です。
 p;前方運動量,p.;後方運動量

シュレディンガー方程式との対応で、|ψ|^2=ρが示される。
正準量子論ではψ(x)を位置xにおいて粒子を見出す確率との解釈がなされるが、確率力学ではρはあくまでも確率変数の分布にすぎないのであり、粒子を見出す確率ではない。
観測量としての運動量は、位置xを限定できる観測をした場合、ある時間平均での期待値としてρpもしくはρp.、ないしはその平均値が観測される(瞬間的な測定では、粒子がそこにいないのでスカであることがありえる。)。
特にv=0では、ρp=-ρp.であるため、前後運動量の平均値は常に0である。また、位置xに広がりをもつ観測の場合、観測値は∫ρpdx/∫ρdxとなる。
(固有状態への射影とか、波束の収束とかの仮説は、必要としない。)
 V=0,v=0のときの解としてu=-(hk/m)tan(kx)が存在する。これよりρ=A(cos(kx))^2。
 したがって、基底状態がk0であるとき、その運動量の観測値は、0、もしくは、muρ=-+(∫cos(k0x)sin(k0x)dx/C)*(hk0)となる(適当に規格化後)、
しかし、位相速度に相当する非常に速い微小振動なので、単独の粒子のトレースは実質不可能。ちなみに全領域で積分するとmuρ=0
エネルギー状態遷移を介しての測定をするなら、僞=(hk0)^2/2mなので、p=-+hk0と結論される(量子ポテンシャルエネルギー(h/2)∂uを運動量換算するため)。
 ちなみに{(h/2)∂u+(m/2)u^2}は、-(hk0)^2/2mと定数である。これは、∂u∝(1+tan(kx)^2)であるため、xに依存する部分がu^2と打ち消しあうようになっている。
 これは、ρで考えるとわかりやすい。u=∂(lnρ)=∂ρ/ρ ∂u=∂^2 ρ/ρ-(∂ρ/ρ)^2=∂^2 ρ/ρ-u^2

  投稿者:冷蔵庫 - 2012/01/14(Sat) 00:26  No.12004 
冷蔵庫です。あけましておめでとうございます。
毎度のことになってしまいましたが、お返事が遅れていてすみません。
No.11764のTOSHIさんのコメントにお返事します。

TOSHIさんのNo.11764は、No.11756の私のコメントの(2)の質問に対する返事だと思います。
丁寧に説明して頂いてありがたいのですが、新たにわからないところが増えているので、もう少し質問してみます。


>するとx>0なら
> lim(V→+∞)[Vexp(−√Vx)]=0 です。

まず分からないのは、Vexp(−√Vx)の極限を調べていることです。
もともと知りたかったのは、

    Vexp(−√Vx)ではなく、
VΨ=BVexp(−√(V−E)x)

だったはずです。
exp(−√(V−E)x)をexp(−√Vx)と近似するのはいいと思いますが、
Bを無視しているのは何故でしょうか?
No.11756でも書きましたが、定数BはVに依存しているので、そこも含めて議論すべきだと思うのですが。
例えば仮に、B〜exp(√V a), (a>0)だとすると、
(もちろん∫|ψ(x)|^2dx=1にとる規格化のもとで、こんなことになっているはずはないですが)

BVexp(−√(V−E)x)〜Vexp(√V(a-x))

です。
0<x<aでV→+∞極限をとると、右辺は+∞に発散してしまいます。


それから、2つ目の疑問点は、lim(V→+∞)[Vexp(−√Vx)]を評価しているのが、有限のx>0でだけだということです。
元々の私の疑問は、ポテンシャルの壁の直上、つまりx=0でのVΨの値がゼロになるのは何故か、だったと思います。
どうしてx>0に限って、議論されているのでしょうか?

例えば、Vexp(−√Vx)に対し、Vを有限に保ちながらx→+0という極限をとると、Vになります。
それに対してさらに、V→+∞という極限をとると発散します。ゼロにはなりません。

また、Vexp(−√Vx)をx=0からx=ε(>0)までx積分すると、√V(1-exp(−√Vε))になります。
これに対してV→+∞極限をとっても、√Vのオーダーで発散します。
つまり、lim(V→+∞)[Vexp(−√Vx)]というxの関数(のようなもの)
を定義するとしたら、x=0近傍に無限大の測度を持っていると見るのが自然に思えるのですが。

一方で、TOSHIさんやASAさんの仰るように、lim(V→+∞)[Vexp(−√Vx)]がすべてのxでゼロだったとして、
ゼロをx=0からx=ε(>0)まで積分してもゼロにしかなりません。

  投稿者:冷蔵庫 - 2012/01/14(Sat) 01:06  No.12005 
>kafukaさん No.11791

冷蔵庫です。回答ありがとうございます。
すみません、ご無沙汰しています。
kafukaさんの仰っている「物理的意味」っていうのがまだちょっと分からないのですが、
その前にこっちが気になりました。

>箱のψ(x)は、3つの部分に分かれます(左壁より左側、箱の中、右壁より右側)
>箱の中以外では、ψ(x)=0なので、固有値も固有関数も定義できないです。
>ハミルトニアンの固有値、固有関数が議論できるのは、箱の中だけ
>と思いますが、、、

これどういう意味でしょうか?
「ψ(x)が演算子Hの固有関数である」というのは普通、

Hψ(x)=Eψ(x)

がすべてのxで成り立つということですよね。Eは固有値です。
ψ(x)=0のところでは、等式0=0が成り立てばいいだけだと思うのですが。
私に考え違いがあれば、ご指摘お願いします。