EMANの物理学 過去ログ No.11409 〜

 ● 箱の中(運動量のパラドックス)について

  投稿者:kafuka - 2011/11/02(Wed) 23:02  No.11409 
新たなアプローチを思いついたので、また投稿します。
ψ(x)とψ(p)で「演算子の定義域が違うのでは」という考えです。

じゃ、「違う」なら、合わせてみたら、どうなるか、考えてみました。

まず、ψ(x)のpの定義域ですが、p=-ih'∂/∂x は、通常 xが−∞から+∞にかけて有効です。
しかし、「箱の中」の場合、-ih'∂/∂x の固有値(仮に±P0とする)が、
xが−∞から+∞にかけて、±P0 なら、
これを、逆に解くと、ψは、「箱の外にも繰り返し続く」 ことになり、矛盾です。
したがって、-ih'∂/∂x の xの定義域は、±L の内側 とするのが、妥当だと思います。
(x と -ih'∂/∂x とは、交換しないので、きっちり ±L か といえば疑念がありますが)

次に ψ(p)の場合、x=ih'∂/∂p です。
上記に合わせて xが、±L の内側 であるためには、、、

|p|≦P0 

でないといけません。
ということは、ψ(p)の高次分散の計算で、pを−∞から+∞にかけて積分したのでは、
定義域が、合わないことになります。
つまり、ψ(p)の積分範囲は、±P0 と思うのです。
それだと、何次でも発散しないように思えます。
>甘泉法師さん、どうでしょう?

>初めての方へ
「箱の中の粒子」は、あまりにも簡単な問題に見えますが、
箱の中の粒子(壁のVは∞)の場合の運動量の高次分散は、

ψ(x)の運動量は、単に2つの値なので、分散は何次でも有限値。
しかし、ψ(p)の方は、運動量はsin(p)/pの二つの山で、分散は4次以上で発散する。
もし、ψ(p)の方も、2つのδ関数なら、その逆フーリエ変換=ψ(x)は、
「箱の外にも繰り返し続く」ことになり、これは、解ではない

というパラドックスです。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/03(Thu) 09:49  No.11410 
こんにちは。

>甘泉法師さん、どうでしょう?

新しいことはなく再説なのですが、

わたしは以下のE.F.Schubertの扱いが適当と考えています。
http://www.ecse.rpi.edu/~schubert/Course-ECSE-6968%20Quantum%20mechanics/Ch03%20Position&momentum%20space.pdf

運動量の高次の期待値が発散するのはポテンシャルが数学的理想化で境界で不連続だからです。井戸が有限深さでも発散します。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/11/03(Thu) 23:05  No.11411 
甘泉法師さん

ということは、
ご提示のpdfの 式3.25(多数派意見の<p>) は、n→∞での値であり、
nが有限値での<p>は、式3.33 ということでしょうか?
(英語は、よくわからないので、誤解かも)

たしかに、式3.25から、逆にψ(x)を求めると、箱の外にも「繰り返し」が
続くことになり、式3.25 は、近似である とも言えそうです。

僕の案では、ψ(p)の定義域は、有限となり、これを逆フーリエ変換すると、
箱の外に はみ出ますから、僕の案は、却下します。
でも、僕の演算子の定義域の取り扱いがマズイだけで、定義域が異なるというのは、正しい と思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/04(Fri) 00:11  No.11412 
 こんにちは。

E.F.Schubert http://www.ecse.rpi.edu/~schubert/Course-ECSE-6968%20Quantum%20mechanics/Ch03%20Position&momentum%20space.pdf
に従って ノードの数(つまりエネルギー準位)がnの、運動量波動関数Φnは式3.23です。運動量pの関数 f(p)の期待値は ∫|Φn|^2 f(p)dp で与えられます。 

図3.3最上図のように、1<<n で|Φn|^2は 古典的な値 {(n+1)πh'/L} と -{(n+1)πh'/L} 以外では0になります(補足参照)。

>定義域が異なるというのは、正しい と思います。

 もしそうだとすると、フーリエ変換はx、pともに定義域が(‐∞,∞)でなければならないことから、フーリエ変換は適用できません。フーリエ変換で説明されるxとpの不確定関係も成り立ちません。

補足
1. 式(3.22)からノード数nの状態についてp^mの期待値を計算すると

<p^m> / {(n+1)πh'/L}^m = ∫〔-∞,∞] ρ^(m+u) F(ρ)dρ  

ここで
 ρは無次元化した運動量 ρ= p / {(n+1)πh'/L}
 u = 0 for even n, 2 for odd n.
 F(ρ) = 2/π^2 ・ 1/ { (1-ρ)(1+ρ)}^2  ・ [ 1- (-1)^(n+1) cos{ρ(n+1)π}]/(n+1)

 1/ { (1-ρ)(1+ρ)}^2 〜 ρ^-4 ρ>>1 から p^4 以上の高次の期待値は無限大であることがわかります。 

2. マクロの運動量 (n+1)πh'/L を一定に保ちつつ h'→0, (n+1)→∞ とする古典への移行極限では

 F(ρ)= 1/2 {δ(1-ρ)+ δ(1+ρ)}

となり偶数のmについて <p^m> = {(n+1)πh'/L}^m.  古典力学の描像と一致する。
 ただし∫〔-∞,∞] ρ^(m+u) F(ρ)dρ = ∫〔-R,R] ρ^(m+u) F(ρ)dρ R→+∞ として、R^ (m+u-3) << n+1 を満たすように n+1→+∞ の極限をとれるとした。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/04(Fri) 06:19  No.11414 
甘泉法師 さん No.11412
 この話題については、TOSHIさんがよく纏めており、決着が着いていると思います。
>フーリエ変換で説明されるxとpの不確定関係も成り立ちません。
 不確定関係は、ちゃんと成立してますよ。計算で確かめてください。
あと、演算子間の関係だから、フーリエ変換がはいる必然性はないです。

  投稿者:kafuka - 2011/11/04(Fri) 14:53  No.11417 
甘泉法師 さん

>フーリエ変換で説明されるxとpの不確定関係も成り立ちません。
不確定関係もフーリエ変換・逆ーリエ変換の関係も、正準交換関係:xp−px=ih’から出てくる
と思っています。
正準交換関係自体は、
ウイグナーの定理とストーンの定理から出てきます
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/55883912.html

で、TOSHIさんの解決法ですが、
ψ(p)が、2つのδ関数となるとすると、
それに対応するψ(x)は、そのままでは、箱の外(−∞〜+∞)にまで、広がるので、
箱は、「窓」であり、
xの定義域:−∞〜+∞ は、箱の中に折りたたまれている
のだ
という主張と、僕は、思っています。
(僕の理解不足かもしれませんが)
もしそうなら、
「折りたたむ」という数学的操作が、定義されてない
もしくは、
延べたんの「−∞〜+∞」と「折りたたんだもの」は、同値という証明がない
ように、思えます

というのは、折りたたむという操作には、180°の回転が入るので、
僕には、同値とは、思えないのです。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/04(Fri) 19:18  No.11418 
こんにちは。

ref.
>上記に合わせて xが、±L の内側 であるためには、、、
>|p|≦P0 
>でないといけません。

正準交換関係が成り立つqとpはともに有界ではありえないようです。

http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/09/QM_structure2.pdf のP.10
------------
さて,正準交換関係を実現するには有限次元の空間では足りないことは(表現行列のtrace をとると)すぐわかる.また,ˆqj,ˆpj が同時には有界作用素ではあり得ないことも簡単にわかる17

171自由度で示す.もし,ˆq, ˆp が有界なら,CCR を文字どおりに解釈できて,ˆqn ˆp − ˆpˆqn = in~nˆqn−1 が全ての正の整数について成り立つ.この両辺のノルムをとってやるとn‖ˆqn−1‖~n ≤ 2‖ˆqn‖ · ‖ˆp‖ となるが,‖ˆqn‖ ≤ ‖ˆqn−1‖ · ‖ˆq‖ を併せ用いるとnh’~n ≤ 2‖ˆq‖ · ‖ˆp‖ となって,n が任意なことから有界性と矛盾.この議論は[7, p.318] によった
------------

プランク定数が消えてしまったのでWebをご覧ください。ただしh'^nとあるのはh’が正しいと存じます。証明になるほどと感心したのですがすでにご存知のことでしたらおじゃまいたしました。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/04(Fri) 21:14  No.11419 
甘泉法師 さん No.11418
変な議論ですね。
K=n*(h~n)があったとして、0<h<<1なら
lim(n→∞):K=0 なので
Kより大きい2*||p||*||q||という関係からは、p,qの有界云々について述べることはできないです。
プランク定数hは、1よりものすごく小さい定数です。


  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/04(Fri) 22:33  No.11420 
 こんにちは。

>変な議論ですね。

 このままでは次元があいませんね。h'^nとあるのはh’が正しいと存じます。

  投稿者:ASA - 2011/11/05(Sat) 06:56  No.11422 
甘泉法師 さん No.11420
 その議論でわからないのは、演算子のノルムの計算の仕方です。
 よろしければ、解説お願いします。
 ||q||=<q>と考えてよろしいのでしょうか?
 関数空間の要素である>として定常状態での直交基底の線形結合を考えます(関数空間が直交基底の線形結合によって構成される場合)。
 すると状態は空間対称なので <q>=0となります。
 (ちなみにnが奇数の時<q^n>=0でもある)
 また、定常なので<p>=0でもあります。
 すると、その議論で||p||=||q||=0となり、式の変形自体が成立していないように思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/05(Sat) 09:15  No.11423 
こんにちは。

>その議論でわからないのは、演算子のノルムの計算の仕方です。
>よろしければ、解説お願いします。

日本語はなかったので Wiki のOperator norm から 

Given two normed vector spaces V and W (over the same base field , either the real numbers R or the complex numbers C ), a linear map A : V → W is continuous if and only if there exists a real number c such that

<tex> \|Av\| \le c \|v\| \quad \mbox{ for all } v\in V </tex>

 を満たすcのうち最小のものが演算子Aのノルムです。

 すべての状態についての √{<・|q+ q|・> /<・|・>}の最大値、つまりqのとりうるあらゆる固有値を見極めて、
 ||q||は q の固有値の絶対値の最大値 ですね。

  投稿者:ASA - 2011/11/05(Sat) 10:04  No.11424 
>||q||は q の固有値の絶対値の最大値 ですね。
 具体的なサブスペースを与えること無しに"固有値の絶対値の最大値"とやらを計算する方法を尋ねたのです。
 ある系がとりえる状態関数セットは、xとかpとかの固有状態と限りません。非固有状態における"固有値の絶対値"とかわけわかりません。
 変な一般論を持ち出すより、系に依存した具体的形で議論した方がよいと思います。
 話題となっている系でのエネルギー固有状態は、ψn(x)=An*sin(kn*x),0<x<Lであたえられます。
|p|=<p>とすれば、|p|=0です。
|p|=√<p^2>とすれば、<p^2>=(Aiki)^2,尿i^2=1で、
不確定性より、|p|*|x|>h(バーとか1/2とか細かいことは省略で)が成立してます。
|p|=√(Aiki)^2と定義すれば、|p|は上に有界ではないですが、下に有界(1/|p|が不確定性により上限をもつ)です。

 kafukaさんの|p|の定義がよく判らないのでkafukaさんにはコメントできません。

 この問題は、No.11418 のrefによる用語で、点スペクトルのみからなる状態を連続スペクトルの方法(上記refの式(3.6)における剥を無視する)で変換するという無茶を行なうと、本来同じであるべき<p^n>xと<p^n>pとが異なってしまうという矛盾が生じるというお話です(ψ(x)を>x,φ(p)を>pと表記、<p^n>pの発散自体が問題なわけではありません)。

  投稿者:kafuka - 2011/11/05(Sat) 14:36  No.11426 
皆さん、すいません。
Ref: No.11409
上記に合わせて xが、±L の内側 であるためには、ψ(p)のpにおいて、
pの絶対値 ≦ P0 
でないといけません。

というように書きましたが、xとpが、共に有界であることはあり得ない ことを失念していました。
ということは、僕の当初の目的:
「演算子の定義域を合わせる」
というのは、不可能なことがわかりました。

清水明「新版 量子論の基礎」p73 の記述によれば、
2つの演算子の定義域が異なれば、定義域の共通区間での作用が同じであっても、
異なる演算子である
とあります。
もし、xの定義域が−L〜+Lなら、(ψ(p)を求めるための)フーリエ変換のxの定義域=−∞〜+∞
は、根拠がなくなると思います。
つまり、フーリエ変換ではなく、フーリエ級数で考えるのが、妥当
って気がしてきました。

てことになると、箱からはみ出す「繰り返しの部分」の解釈ですが、、、

1.箱の中の粒子のψ(x)は、無限に続くcosカーブで、定義域を−L〜+L としたもの。
  (つまり、cosカーブと「台」の積ではない)
2.このψ(p)は、上記を、フーリエ級数で求めた値からなる2つのδ関数
3.ψ(p)のpの定義域は、−∞〜+∞ なので、ψ(x)をフーリエ変換で求めることができる
4.この求めた結果は、無限に続くcosカーブ
5.しかし、1で定義域を、−L〜+Lとしているのだから、ψ(x)は、この範囲!!

と考えればいいのなら、何ら矛盾は、ありません。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/05(Sat) 19:31  No.11429 
 こんにちは。

>1.箱の中の粒子のψ(x)は、無限に続くcosカーブで、定義域を−L〜+L としたもの。
> (つまり、cosカーブと「台」の積ではない)

 粒子は箱に閉じ込められていて箱の外での波動関数はゼロですから、波動関数は「無限に続くcosカーブ」ではありません。それでも波動関数が無限に続いているならそこは現実世界ではありませんね。そこの波動関数をフーリエ変換または級数展開してψ(p)を得てもやはりこの世のものではないでしょう。

 あるいは、座標演算子の定義域でない、として箱の外の世界は存在しないことにするのでしょうか。

 =甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/06(Sun) 02:22  No.11430 
こんにちは。

>ψ(x)の運動量は、単に2つの値なので、分散は何次でも有限値。

そうでしょうか。

ψ(x)の微分から計算しp^4の期待値が無限になることの説明図を
http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail_target&commu_id=290&topic_id=25&com_range=51
に書きました。 

 ψ(p)による計算でも、遠方で |ψ(p)|^2 〜 p^−4  なので、p^4以上の期待値は無限大になります
(ref. 甘泉法師 - 2011/11/04(Fri) 00:11 No.11412 補足)。

=甘泉法師= 

  投稿者:ASA - 2011/11/06(Sun) 07:30  No.11432 
甘泉法師 さん No.11430

図でなくちゃんと計算式をベースに考えましょう。
>>ψ(x)の運動量は、単に2つの値なので、分散は何次でも有限値。
>そうでしょうか。
計算できないのではないでしょうから、ご自分で<p^n>が有限値になることを確認して下さい。 (エネルギーギャップ部分は、うまくキャンセルします。むしろ、極限のとり方として物理的に矛盾が生じない扱いをする。マクロ的なp^4は、マクロ的な(p^2)^2に等しいため、ミクロ的な<p^4>と<p^2>^2は一致していなければならない)。
 補足すると、分散(ばらつきは)冪=√{<p^2>-<p>^2}であたえられる。
エネルギー固有状態では(<p>=0)から、冪=√<p^2>で与えられる
 同様に冪^2=√{<p^4>-<p^2>^2}で与えられる
 エネルギー固有状態を考えた時、<p^4>が発散していると、<p^2>は有限確定値であるため冪^2が発散。
これは、固有状態がエネルギー一定、つまりその観測値として<p^2>=2mEが常に成立して一定値であるはずなのに、そのバラツキである冪^2が0でない値を持つことと矛盾。矛盾しないためには、<p^4>=<p^2>^2であることが必要。

数学は、詳しくないですけど、
右側極限と左側極限とが一致しない不連続点は、微分不能なはずです。
それなのに、無理やり微分して、それがディラックのδ関数になるというのがそもそもおかしいような気がします。
(物理量の計算では、そういった部分は物理的な矛盾が生じないような扱いをする。とりあえずは右側極限と左側極限との中間点に仮設するなどが考えられる)

  投稿者:kafuka - 2011/11/06(Sun) 15:25  No.11437 
>甘泉法師 さん

ψ(x)のpは、±P0 であるというのは、同意されていると思います(ですよね?)
ならば、xの定義域を−∞〜+∞ とすると、ψ(x)は、ずーっと続く cosカーブです。
だから、xの定義域を−L〜+L とするのですが、、、

逆に、xの定義域が−∞〜+∞ で、かつ、ψ(x)が、−L〜+Lに局在しているなら、
ψ(x)のpは、±P0 じゃないことになる=cosカーブの一部でない
と思いますが。
どう思われますか?

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/06(Sun) 18:12  No.11439 
 こんにちは。

>ψ(x)のpは、±P0 であるというのは、同意されていると思います(ですよね?)

 え〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜。 このスレッドのはじめからそうでないと主張してきたつもりですが …。 

 再掲:わたしは以下のE.F.Schubertの扱いが適当と考えています。
http://www.ecse.rpi.edu/~schubert/Course-ECSE-6968%20Quantum%20mechanics/Ch03%20Position&momentum%20space.pdf

   ○| ̄|_。  

 そして、アプレット http://www.falstad.com/qm1d/index.html
 上段が井戸、中段がψ(x)、下段が|ψ(p)|^2 を見せてくれます。


 (気を取り直して……) kaukaさん どうしてそう思われますか。 理由を説明いただければ議論を深められるかもしれません。

=甘泉法師=  

  投稿者:ASA - 2011/11/06(Sun) 19:37  No.11440 
甘泉法師 さん No.11439

 同じことを書くのに、ちょっとためらいがありますが、TOSHIさんの解説を熟読することをお勧めします。
 ちなみに、
ψ(x)=cos(kx);(-π/2)<=x<=(π/2)
ψ(x)=0;上記以外のx
 であるとき
 ψ"(π/2k)とψ""(π/2k) との境界端での高次微分値がいくつになると考えてますか?

  投稿者:kafuka - 2011/11/06(Sun) 20:25  No.11441 
ごめんなさい。
書き方が悪かったです。以下に訂正します。

ψ(x)は、xの定義域を−L〜+L とする exp(iP0x/h')+exp(-iP0x/h') であるというのは、
同意されると思います。
そうであれば、
xの定義域を−∞〜+∞ に拡張すると、ψ(x)は、ずーっと続く cosカーブです。
したがって、
xの定義域が−∞〜+∞ で、かつ、ψ(x)が、−L〜+Lに局在しているなら、
ψ(x)は、上記の式じゃなく、台を掛けたもの
というのが、甘泉法師さん の主張と思っています。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/06(Sun) 20:50  No.11442 
 こんにちは。

>ψ(x)は、xの定義域を−L〜+L とする exp(iP0x/h')+exp(-iP0x/h') であるというのは、
>同意されると思います。
>そうであれば、
>xの定義域を−∞〜+∞ に拡張すると、ψ(x)は、ずーっと続く cosカーブです。
>したがって、
>xの定義域が−∞〜+∞ で、かつ、ψ(x)が、−L〜+Lに局在しているなら、
>ψ(x)は、上記の式じゃなく、台を掛けたもの
>というのが、甘泉法師さん の主張と思っています。

 ご説明の記号と台にヘヴィサイドの階段関数を使うと、要するに波動関数がx
(‐∞,+∞) で

 ψ(x)= C { exp(iP0x/h')+exp(-iP0x/h') }H(Lーx)H(L+x)   
      P0 L /h'= π/2 Cは規格化定数 

 と考えています。 Schubert http://www.ecse.rpi.edu/~schubert/Course-ECSE-6968%20Quantum%20mechanics/Ch03%20Position&momentum%20space.pdf
の(3.20)(3.21)及び続く3行 の式です。これをフーリエ変換したψ(p)は Schubert (3.22)式です。

 =甘泉法師=

PS 運動量確率密度|ψ(p)|^2 〜 p^-4 です。べきで減衰する確率密度は目新しくないのでここでやめておき、『発散』とかいわなかったら議論は発散しなかったのかもしれませんね。ψ(x)とd/dx で計算しても同じ『発散』の結果になることは先に図示したとおりです。
 
 フーリエ変換と超関数はきってもきれない仲なのに一部の方は超関数に凄いアレルギー反応を起こされるのだな、とこれまでのやりとりで感じてきました。

 古典的極限では <p^2k>=<p^2>^k の「常識」が成り立つことも先に示しました。

 昔はテータ超関数といっていたのですが、Webでは見当たらないのでヘヴィサイドのステップ関数とよぶのにならいました。

  投稿者:ASA - 2011/11/06(Sun) 21:02  No.11443 
甘泉法師 さん No.11442

 部分空間の議論がないので、話がかみ合ってない気がします。

>ψ(x)= C { exp(iP0x/h')+exp(-iP0x/h') }θ(Lーx)θ(L+x)
>      P0 L /h'= π/2 Cは規格化定数 
 変なの持ち出しますね。

 それに演算子(作用素)を作用させたものは、もとの部分空間内の要素なのですか? (距離(内積)が定義できない気がします。)
 作用させたもの(演算子の値域)が少なくともヒルベルト空間内に納まっていないと無意味です。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/06(Sun) 22:10  No.11444 
こんにちは。
運動量確率密度|ψ(p)|^2 〜 p^-4  について


まずガウス型波束を考える。ψ(x)もψ(p)も指数関数で減衰しすべての次数のモーメントも発散しない。

ガウス型波束を変形して箱の中のψ(x)にすることをイメージする、箱外に指数関数でひろがっていたψ(x)はすべて箱の中に引き上げられ押し込まれる。

不確定関係からψ(p)のほうは逆に広がって、指数関数での減衰はべきでの減衰にかわる。

運動量確率密度|ψ(p)|^2 〜 p^-4  無限深さの井戸
             〜p^-6 有限深さの井戸*

有限深さの井戸のほうがψ(x)の外へのしみだしが認められる分、ψ(p)はなかにしまることがわかります。
無限深さの井戸については井戸の外の世界の扱い(繰り返し、不存在等)が議論されているが、有限深さの場合、その余地はないことに注意。井戸の外の無限遠までの波動関数について誰も意見は一致しており、そのフーリエ変換されたψ(p)の妥当性に議論の余地はない。 さて<p^6>が発散するのだが、これを受け入れないことができるのか。** <p^2k>=<p~2>^k が成り立たないが受け入れないことができるのか。拙考えはスレッド最初の発言に記しました。 

もし有限深さ井戸の議論が受け入れられるなら、無限深さ井戸でも受け入れられるのではないか Why not?

=甘泉法師=
 
----------------------------
* 具体的な表式は http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail_target&commu_id=290&topic_id=14&com_range=82 をごらんください。
** 有限深さの井戸の波動関数で<p^6>が無限大になる具合を説明する図 http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail_target&commu_id=290&topic_id=25&com_range=52

  投稿者:ASA - 2011/11/07(Mon) 06:47  No.11446 
甘泉法師 さん No.11444
 イメージでなくて、ちゃんとした極限操作の計算を示さないと議論にすらなりません。
 またこれも何度もいいますが、どのような計算方法を採用しても結果が、物理的に矛盾していれば、駄目です。
 甘泉法師 さんの主張では、物理的に何が妥当であるかという考慮がされていないのです。何を考慮すべきかということは、TOSHIさんの論考を参照されるとよろしいですよ。
 
>不確定関係からψ(p)のほうは逆に広がって、指数関数での減衰はべきでの減衰にかわる。
 広がるのは冪=√<p^2>であってφ(p)が広がるわけでない。甘泉法師さんの主張においてこうしたとんでも論法がしばしば見受けられますので、注意した方がよろしいと思います。
>指数関数での減衰はべきでの減衰にかわる。
出鱈目ですね。φ(p)のp=0付近の量が減衰しても冪の増加になります(調和振子の高次のエネルギー固有状態など)

>さて<p^6>が発散するのだが、これを受け入れないことができるのか。 ><p^2k>=<p~2>^k が成り立たないが受け入れない立論があるか。
 その前に、<p^n>x と<p^n>pが一致しないことが問題です。つまり、>pが不適切なわけです。

>そのフーリエ変換されたψ(p)の妥当性に議論の余地はない。
TOSHIさんの論考を理解されてますか? その妥当性についても考察されており、もうすこしまともなψ(x)→φ(p)への変換方法の存在を示唆していますよ。

>〜p^-6 有限深さの井戸
有限井戸だと、<p^6>pが発散するということですか?
ならば、これも駄目です。
 有限井戸でのψ(x)は∞近辺で指数的に減ずる(指数関数)なので、<p^6>xが発散することは、ありえません。
 矛盾が矛盾を呼び込んで、どうしようもないことになってますよ(とんでも論の典型ですね)。
 ちなみに、有限井戸で非束縛状態のφ(p)はどうなっているのですか(これも発散してそうですね。)? 

P.S.
 高々n回までのみ微分可能なL^2関数からなる部分空間を考えた時、運動量作用素の表現が微分演算子でよいのかという問題のような気がします。
 (そんな難しく考えなくても、不連続点の存在による微分不能点は、適切な数値を仮設しておけば、計算上の問題が無いように思えますが)。

  投稿者:kafuka - 2011/11/07(Mon) 10:59  No.11451 
>甘泉法師さん、ASAさん

pについての議論は出尽くしていると思いますので、
2つのψ(p)で、xの(2次)分散 を計算して、比べてみました。
ψ(p)=<p|ψ> と、ψ(x)=<x|ψ> は、
同一の結果を与える というのは、たいていの教科書に書いてありますから。

まず、pが±P0 となる解、つまり ψ(p)が、δ(p-P0)+δ(p+P0) である場合、x=ih'∂/∂p とすると、、、
分散の計算の前に、とりあえず、xの2次モーメントは、
∫[-∞、+∞] ψ*(p)x^2ψ(p)dpですが、
=∫[-∞、+∞] {δ(p-P0)+δ(p+P0)}x^2ψ(p)dp
=[x^2ψ(P0)+x^2ψ(-P0)] - [x^2ψ(P0)+x^2ψ(-P0)]
これは、0 と思います。(∞−∞だから不定かも)
そうであれば、ψ(x)の方のxの2次モーメント(>0) と一致しないようです。
ということは、pが±P0 となる解は、不適切ではないでしょうか?
(δ関数の積は、定義されないというのなら、なおさらです)

甘泉法師さんのψ(p)の場合、xの2次モーメントを計算してみると、、、
∫[-∞、+∞]dp ψ*(p)x^2ψ(p)
ψ(p)は、ψ(x)のフーリエ変換だから、
=∫[-∞、+∞]dp ψ*(p)x^2∫ψ(x)exp(-ipx/h')dx
フーリエ変換の結果をpで微分するということは、中にxを掛けることだから、
=∫[-∞、+∞]dp ψ*(p){∫x^2ψ(x)exp(-ipx/h')dx}
ψ*(p)は、「ψ(x)のフーリエ変換」の複素共役だから、
=∫[-∞、+∞]dp {∫ψ*(x)exp(+ipx/h')dx}{∫x^2ψ(x)exp(-ipx/h')dx}
フーリエ変換の積は、畳み込み積分だから、(∫ψ*(x)exp(2ipx/h')exp(-ipx/h')dx と置く)
=∫[-∞、+∞]dp ∫{ψ*(x-x1)exp(2ip(x-x1)/h')}{x1^2ψ(x1)exp(-ipx1/h')dx1}
二重積分だから積分変数が入れ替えられて、
=∫[-∞、+∞]dx1 ∫{ψ*(x-p)exp(2ip(x-p)/h')}{p^2ψ(p)exp(-ipx1/h')dp}
畳み込み積分を元に戻して、
=∫[-∞、+∞]dx1 ψ*(x1){x1^2ψ(x1)}

=∫[-∞、+∞]dx ψ*(x)x^2ψ(x)

なので、ψ(x)での xの2次モーメント に一致します。
上の計算は、自信ないですが、
ψ(p)=<p|ψ> は、ψ(x)=<x|ψ> のフーリエ変換(ユニタリー変換の1つ)なので、
両者が同一の結果を与える というのは、たいていの教科書に書いてあります。

追伸:
最初、コピペのミスで δ(x-P0)+δ(x+P0) なんてアホなことになっていましたので、訂正しました。

  投稿者:ASA - 2011/11/07(Mon) 20:59  No.11453 
kafuka さん No.11451
>ψ(p)が、δ(x-P0)+δ(x+P0) である場合
 これが違うでしょう。
 確率解釈可能だと仮定すると、
 ∫|φ(p)|^2dp=1:規格条件より
 したがって、ディラックのδ関数を使うとすれば、
 |φ(p)|^2={(p/P0)δ(p-P0)+(p/-P0)δ(x+P0)}/2
 あたりだと思います。
 しかし、φ(p)をディラックのδ関数で表現するのは不適切だと思います。
 微分演算子の対象となる表現をとるすれば、辻褄が合うような超関数になると思います。

 このケースでは、x表現→p表現の変換と、p表現→x表現の変換で対称で無い気がします。
 (つまり表現の変換が、フーリエ変換とフーリエ逆変換の関係にないため)

 むしろ、定義域の関係でしょう。
 有限区間[0,L]で定義される関数セットを作用素の定義域とする場合で、
 無限区間[-∞,∞]で定義された関数基底で要素を展開することが、適切であるかどうかの話だと思います。
 無限区間[-∞,∞]で定義された関数セットなら、フーリエ変換(exp(ikx)を基底にする)でOKなのですけど。
 他の例としては、有限区間[0,L]の周期的境界条件を課すことで得られる関数セットをフーリエ変換してよいのかなどがあります。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/07(Mon) 21:19  No.11454 
こんにちは。

>まず、pが±P0 となる解、つまり ψ(p)が、δ(p-P0)+δ(p+P0) である場合、x=ih'∂/∂p とすると、、、

<x^2>の求め方1
 ‐h’^2 ∫ ψψ”dp  δ関数の定義 ∫f(x)δ(x−x0)= f(x0)から
= ‐2h'^2δ"(0)    δ"(0) =-∞だから
= +∞ 

<x^2>の求め方2
 フーリエ逆変換して座標波動関数を求めると ψ(x)=C cos P0x/h' 
 これはずっとつづく三角波だから明らかに <x^2>=+∞

 いずれにしても 
 
>ということは、pが±P0 となる解は、不適切ではないでしょうか?

 御意。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/07(Mon) 21:53  No.11456 
>|φ(p)|^2={(p/P0)δ(p-P0)+(p/-P0)δ(x+P0)}/2
超関数の性質を変えるか、作用素の作用を変えるかすればそれらしきものが得られますね。
 φ(p)=(1/√2P0)p^(1/2)√{δ(p-P0)-δ(x+P0)}
 とします。
x^2 =-∂p^2 の、∂pがp^(1/2)のみにかかるか、∂p√{δ(p-P0)-δ(x+P0)}=0とします(超関数は元来の定義からして、関数ではないので、関数微分の作用を受け付けないと考える)。
 すると{p^(1/2)}"=(1/2)(-1/2)p^(-3/2)より
<x^2>=-∫φ(p)φ"(p)dp
=-(1/2P0)(1/2)(-1/2)∫p^(-1){δ(p-P0)-δ(x+P0)}dp
=(1/8P0){1/P0+1/P0}
= 1/4P0^2
P0=π/2Lだと
<x^2>=L^2/π^2となり有限値が得られます(h~=1)。
<x^2n>でも同様に有限値。

>ということは、pが±P0 となる解は、不適切ではないでしょうか?
ということで、工夫をすれば、見つけることができると思いますよ。

  投稿者:kafuka - 2011/11/07(Mon) 23:06  No.11457 
ASAさん

>超関数は元来の定義からして、関数ではないので、関数微分の作用を受け付けないと考える
その理由がわかりません。
ときわ台学: http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/14bibnh/461delta.html
の最後の方に、「デルタ関数のn階微分」の定義がありますが、、、

それと、{(p/P0)δ(p-P0)+(p/-P0)δ(p+P0)}/2 は、
p−P0 を y、p+P0 を z と置くと、 
={({y+P0}/P0)δ(y)+({z-P0}/-P0)δ(z)}/2
ここで、yδ(y)=0、zδ(z)=0 なので、
={({P0}/P0)δ(y)+({-P0}/-P0)δ(z)}/2
={δ(p-P0)+δ(p+P0)}/2
と思います。

  投稿者:kafuka - 2011/11/08(Tue) 01:33  No.11459 
ASAさん

>>ψ(p)が、1/2 {δ(p-P0)+δ(p+P0)} である場合
> これが違うでしょう。
よく考えれば、そうですね。
p=±P0 であるが、ψ(p)は 単にδ(p-P0)+δ(p+P0) でなく、
ψ(p)を逆フーリエ変換したもののxの定義域を、−L〜+L にした関数
ということでしょうか?

この条件を満たすには、、、
ψ(p)={δ(p-P0)+δ(p+P0)}/2−{箱からはみ出す部分のフーリエ変換}
というのは、どうでしょう?
この関数、甘泉法師さんのψ(p)={箱の中の部分だけのフーリエ変換
と同じに思えますが、箱からはみ出す部分は、無限に続くSinカーブですから、
何故か、まったく違います。
箱からはみ出す部分の右側:
∫[-∞、+∞] {sin(P0(x+L)/h')のxが−Lの所まで}exp(−ipx/h')dx
=∫[-∞、-L] sin(P0(x+L)/h')exp(ipx/h')dx
=i/4 exp(iap){δ(p-P0)−δ(p+P0)}
箱からはみ出す部分の左側:
∫[-∞、+∞] {sin(P0(x-L)/h')のxが+Lの所から}exp(−ipx/h')dx
=∫[+L、+∞] sin(P0(x-L)/h')exp(ipx/h')dx
=i/4 exp(-iap){δ(p-P0)−δ(p+P0)}

∴ ψ(p)={δ(p-P0)+δ(p+P0)}/2−{箱からはみ出す部分のフーリエ変換}
=1/2 [δ(p-P0)+δ(p+P0)−i/2{δ(p-P0)−δ(p+P0)}{exp(iap)+exp(-iap)} ]

=1/2 [δ(p-P0)+δ(p+P0)−icos(ap){δ(p-P0)−δ(p+P0)}]

  投稿者:ASA - 2011/11/08(Tue) 06:45  No.11462 
>最後の方に、「デルタ関数のn階微分」の定義がありますが、、、
 ですから、ここでのδ関数はディラックのδ関数とは、別の超関数です。
ディラックのδ関数の微分もまた、超関数です。
ここでは、異なる超関数の定義を用いるないしは、ここでの微分演算子が超関数に対して作用しないということを仮定してます。
 ここでのδ関数は、積分外に基本的でられないと思います。
なので、単独で
>yδ(y)=0
こういったのが成立するか不明です。
>{δ(p-P0)+δ(p+P0)}/2
積分内にある場合、その積分結果は、1と同じになるので積分内が同一と看做すわけで、積分外にでて成立しているわけではないです。
ここでは、作用素の関係で通常の関数をわざわざ前に出しているわけです。
(むしろ、よく分からない√{δ(p-P0)+δ(p+P0)}という超関数に突っ込みをいれてほしかった。)

辻褄合わせのためには
φ=√[{F(p)/F(P0)}{δ(p-P0)+δ(p+P0)}/2]:F(p)複素関数
として、<x^2n>において一致するF(p)を探すということでしょう。
F(p)が 実関数でOKなら
n=2で<x^2>と√F(P0){√F(P0)}"/2F(P0)が一致。
一般のnでF(p)=尿j*p^jとおいて各係数Ajの辻褄合わせを行なうという方法が考えられます。

>ψ(p)は 単にδ(p-P0)+δ(p+P0) でなく、
ψ(p)を逆フーリエ変換したもののxの定義域を、−L〜+L にした関数
ということでしょうか?
>=1/2 [δ(p-P0)+δ(p+P0)−icos(ap){δ(p-P0)−δ(p+P0)}]
 よくわかりません。<x^2n>との比較で矛盾が生じなければOKと思います。
 微分がδ(p-P0)というディラックδ関数にかかるとすると発散すると思います。あと、ディラックδ関数の2乗がかかる積分をどう定義するのかという問題もあります。

P.S.
 ときわ台見ました。無限回微分可能なテスト関数を想定してます。
 ここでの状態関数は、2次以上の微分で不連続が生じます。
 有限回微分可能な関数からなる関数空間で、無限回微分可能なテスト関数で定義されるものを適用する方が間違っているような気がします。
 ときわ台の定義を用いて、矛盾なくφ(p)を構成できれば、それはそれでOKですけど。φ(p)で考えても、p=+-P0のみで値をもつと考えられるので、P0周りで普通に微分できるかであるか怪しいですね。
 ときわ台での定義は、積分内でのδ'というもの性質を述べているだけで、δ関数そのものに対する微分を定義しているわけではないようです。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/08(Tue) 10:21  No.11464 
 こんにちは。

>p=±P0 であるが、ψ(p)は 単にδ(p-P0)+δ(p+P0) でなく、
>ψ(p)を逆フーリエ変換したもののxの定義域を、−L〜+L にした関数
>ということでしょうか?

 それは拙僧の頭髪のように、ないものねだりですね。

>∴ ψ(p)={δ(p-P0)+δ(p+P0)}/2−{箱からはみ出す部分のフーリエ変換}
>=1/2 [δ(p-P0)+δ(p+P0)−icos(ap){δ(p-P0)−δ(p+P0)}]

 さあ果たして、逆変換した座標波動関数は望みのものになってますか?

 少しためしてみましょう。 e^ikx をかけてpで積分すれば
   cosP0x - cos(aP0 ) sinP0x
 箱の中には収まっていませんね。
 
 =甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/08(Tue) 11:07  No.11465 
高次モーメントの発散について

発散は、ψ(x)が通常の関数としては無限回微分可能でないこと、C∞関数でないことから説明されます。
有限深さ井戸の場合と無限深さ井戸の場合の発散の具合は先に図示しました。*

では、なぜエネルギー固有状態の波動関数がC∞関数でないか。それはハミルトニアンが不連続だからです。
ポテンシャルエネルギーが井戸端で不連続に変化するからです。数学的取り扱いを簡単にするための単純化をしているからです。

井戸ポテンシャルをなましてC∞曲線にすれば発散は起こりません。
自然界のポテンシャルがC∞曲線であるときまっているかどうかはわかりませんが、その蓋然性は高いと思います。

=甘泉法師=

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
* http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail_target&commu_id=290&topic_id=25&com_range=51
  http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail_target&commu_id=290&topic_id=25&com_range=52

  投稿者:ASA - 2011/11/08(Tue) 11:52  No.11466 
>発散はψ(x)が通常の関数としては無限回微分可能でないこと、C∞関数でないことから説明されます。
 これは正確ではないですね。ψが連続関数で無いのに、連続関数で展開できるとしているためでしょ。
 不連続点での微係数の扱い方については、既に述べたように、右と左のとの平均を取るなどがあります。このような扱いでは、<p^n>は、発散しません。
 pというのは、線形空間の作用素(オブザーバブル)であって杓子定規的な微分演算と考えるべきでないです。作用した結果(値域)が、もとの空間内に無いと駄目なわけです。
 このような考慮をせず、闇雲にフーリエ変換の結果φで計算すると発散するわけです。

>数学的取り扱いを簡単にするための単純化をしているからです。
 それはそれでうまく計算できてるのでモデルとしてありなわけです。

>井戸ポテンシャルをなましてC∞曲線にすれば発散は起こりません。
 違います。微分可能でも、直立する壁でその微分値が発散するなら、<p^n>は発散します。すると、物理的に矛盾してしまうのです。
無限の井戸の場合、右と左の極限値が一致するので、全領域でψ''=-k^2ψが成立し特に問題ありません(2nの高次微分の場合でも一般化できる)。
有限の井戸の場合、井戸外のψが0でないので必ずギャップが生じます。なので、こちらの扱いの方が複雑です(非束縛状態でも生じます)。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/08(Tue) 20:47  No.11468 
 こんにちは。

 ですから、不連続なポテンシャルの系で高次運動量モーメントの発散が起きないように計算法を工夫しようとするのは不毛な努力です。もし計算法が提案されたらそれは誤りといえます。

 命題「箱の中のエネルギー固有状態の粒子は、+P0かーPOの運動量をもつ」は誤りです。 なぜならば、それだと不連続なポテンシャルの系であるのに高次運動量モーメントが発散しないことになるからです。 多くの方の常識のこの命題は、実は成り立ってはいけないことだったのです。

 「座標波動関数ψ(x)で計算するか、運動量波動関数ψ(p)で計算するか」で発散する・しないに差が現れるということもありません。座標空間を使おうと運動量空間を使おうと計算結果に違いがない、というフーリエ変換の数学の当然の結果はこの場合にもあてはまっています。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/08(Tue) 21:33  No.11469 
> ですから、不連続なポテンシャルの系で高次運動量モーメントの発散が起きないように計算法を工夫しようとするのは不毛な努力です。 もし計算法が提案されてもそれは誤りです。
よく理解できません。ポテンシャル井戸モデルは、物理的に妥当です。
何を基準にしているのか理解できませんが、物理的には、ちゃんと計算できない手法は誤りです。
 平たく言うと、高次運動量モーメントの発散するという計算手法こそが間違いです。
 このあたりの話も、TOSHIさんの一連の解説と論考に記述されているのでよく読まれることを強くお勧めします。
 
>「座標波動関数ψ(x)で計算するか、運動量波動関数ψ(p)で計算するか」で発散する・しないに差が現れるということもありません。 座標空間を使おうと運動量空間を使おうと計算結果に違いがない、という数学の当然の結果はこの場合にもあてはまっています。
 これは、そうです。しかしながら、ψで計算すると、物理的な整合性が取れるということは、フーリエ変換という適切でない手法で求めた運動量波動関数φ(p)がだめであることを如実に示しています。
 運動量波動関数と勝手に看做しているのものによる計算と一致しないのは至極当然なことです。
 つまり、フーリエ変換という適切でない手法によては、運動量波動関数φ(p)を求めることができないのです。ちゃんとした運動量波動関数φ(p)なら、一致して当然です。
 TOSHIさんの論考には、フーリエ変換で求めたものから、複素関数を用いた計算(無限大を差し引く方法)により平均値計算において有限確定値を得る計算方法も紹介されていたと思います。
 何にせよ、決着はついているので、よく読んで理解を深めた方がよろしいと思います(よくみたら、TOSHIさんから甘利法師さんへのコメントにも、同様のアドバイスがありますね)。

  投稿者:冷蔵庫 - 2011/11/08(Tue) 23:11  No.11472 
何やら楽しげな話していますね。

>ASAさん No.11466

>無限の井戸の場合、右と左の極限値が一致するので、全領域でψ''=-k^2ψが成立し特に問題ありません(2nの高次微分の場合でも一般化できる)。

これどうやって計算されたのですか?
ψ'は不連続なので、普通の意味では微分不可能に思えるのですが?

  投稿者:ASA - 2011/11/09(Wed) 06:39  No.11477 
>ψ'は不連続なので、普通の意味では微分不可能に思えるのですが?
非常に基本的なことで、特に面白いことはありません。
議論の前提であるψが、Hψ=Eψという方程式(2次微分)の固有解であることを認めただけです。
エッジ(x=L)でψ(L)=0であり、V→∞でもψ(L)V=0が成立してると看做します(無論、x>LでもψV=0が成立する)。よってxの全域でψ''=-k^2ψが成立。
微分演算子という具体的な表現を離れて線形空間の作用素で考えます。
リニアなオブザーバブルとして H=T+Vとおきます。Hψ=Eψという固有解ψで
Vが0でない領域でψV=0が成立していると、<T>=Eが成立します。同様に考えて<T^n>=E^n;T=p^2/2mですから、<p^2n>は、有限確定値を持ちます(発散するようなものは、オブザーバブルでないことなります)。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/09(Wed) 08:51  No.11479 
こんにちは。


箱の中の波動関数ψ(x)をみて 三角関数だから 運動量は +P0、-P0 とするのは誤りです。
箱の外の波動関数ψ(x)をみて、0で平らだから 運動量は 0 とするのも誤りです。 群盲像を撫ず。
波動関数ψ(x)の大局が運動量をきめます。 その具合が、数学のフーリエ変換です。

波動関数ψ(x)かψ(p)はどちらか片方だけで系の情報をすべてあらわしています。 量子力学では場所なら場所、運動量なら運動量とどちらかだけを変数にすることで完全に状態があらわせます。 
命題「井戸の中ではP=±√2mE」は誤りです。 「どこどこの場所ではしかじかの運動量」と運動量を場所で区分した言明はできません。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/09(Wed) 09:47  No.11481 
甘泉法師 さん No.11479

 理由付けが無いので、単なる信念告白にみえます。

ちなみに、いろものぶつりさん
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/qm2006/qmK_6.html
では、
「波長∞になっている時は、運動量の固有値が0。定常波になっている時は固有値はpとーpで、期待値は平均とって0。測定すれば、波長∞では常に運動量0という結果が出て、定常波では運動量がpになったりーpになったりする。」
 定在波では、P0と-P0のどちらかが観測されるという立場ですね。
 
 先に示したオブザーバブルの議論では、ψに対する要求は Vが0以外で、Vψ=0というもので、V=0の領域での規定は、ありません。
<p>=0なら、(冪)^2=P0^2であり、(冪^(2n))=0:n=1,2,... となります。
このことから、pの分布は、p^2=P0^2に局在化しているといえます。



  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/09(Wed) 17:51  No.11485 
こんにちは。

命題「箱の中の粒子のエネルギー固有状態は、運動量±P0の状態の重ね合わせである」は誤りです。なぜならば、以下のような行き詰まりがおきるからです。

ふたつの運動量固有状態の波動関数はどちらも箱の中におさまらないとします。 重ねあわせて箱の外で0になり箱の中で0にならない具合はありえません。

ふたつの運動量固有状態の波動関数はどちらも箱の中におさまるとします。 それぞれの状態は Δx Δp 〜 2L・0 = 0 で不確定関係が成り立ちません。

説明図を書きました。http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail_target&commu_id=290&topic_id=25&com_range=60

=甘泉法師=


  投稿者:ASA - 2011/11/09(Wed) 18:35  No.11486 
>ふたつの運動量固有状態の波動関数はどちらも箱の中におさまるとします。 それぞれの状態は Δx Δp 〜 2L・0 = 0 で不確定関係が成り立ちません。

 上記は間違いです。
 以前にもコメントしましたが、<p>=0で<p^2>=P0^2 ならΔp=P0であって不確定関係が成立してます。
 不確定関係において"箱の中におさまる"とか"箱の中におさまらない"とかは全く関係ありません。
 また、状態が重ね合わせで表現されている時、重ね合わせ状態で不確定関係が考えられるわけで、構成している状態を単独に取り出して不確定関係云々をいうことはできません。
 何か基本的な勘違いをしています。

P.S. 周期的境界条件{ψ(0)=ψ(L),ψ'(0)=ψ'(L)}の実例として、円周上(L=2πr)のみの運動に制約された一次元系を考えた時、どうなのかという話に関係しそうですね。トンデモ量子論によると、粒子は、円周上を一定速度で運動することはできない。

  投稿者:冷蔵庫 - 2011/11/12(Sat) 00:42  No.11510 
>ASAさん No.11477

>>ψ'は不連続なので、普通の意味では微分不可能に思えるのですが?
>非常に基本的なことで、特に面白いことはありません。
議論の前提であるψが、Hψ=Eψという方程式(2次微分)の固有解であることを認めただけです。
エッジ(x=L)でψ(L)=0であり、V→∞でもψ(L)V=0が成立してると看做します(無論、x>LでもψV=0が成立する)。よってxの全域でψ''=-k^2ψが成立。

回答ありがとうございます。
問題を別の問題に置き換えただけのような気がしますが。
何故『V→∞でもψ(L)V=0が成立してる』とみなせるのでしょうか?
Vが有限のときはψ(L)はゼロではないですよね。

  投稿者:ASA - 2011/11/12(Sat) 06:27  No.11512 
冷蔵庫さん
>何故『V→∞でもψ(L)V=0が成立してる』とみなせるのでしょうか?
 逆に、何故このような疑問が生ずるのか理解できません。
冷蔵庫さんの計算だと、V→∞でψ(L)がゼロ以外になるのでしょうか?
ψ(x>=L)V=0でないと考えた時、ψの具体的形がどうなるかとか、いろいろな問題が生じます。
これは、ψ(+-∞)=0という一般的な境界条件だけでなく、x>=Lでψ=0という前提条件すら疑問があるというのと同じです。
 まず、その辺の計算なり考え方をを示してください。
 (手始めに、冷蔵庫さんの計算による、<V>の値を示してください。
 これが有限なら、<p^2n>も有限であるということになり、結論は変わりません。)

 ちなみに、TOSHIさんの議論を読まれましたか(これに尽きているので議論するまでもないです)?
http://d.hatena.ne.jp/iwata1sei/20080912

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/12(Sat) 18:29  No.11517 
こんにちは

冷蔵庫さん

>何故『V→∞でもψ(L)V=0が成立してる』とみなせるのでしょうか?
>Vが有限のときはψ(L)はゼロではないですよね。

「位置の波動関数と運動量波動関数はフーリエ変換・逆変換で変換される」ことは例外なくなりたつのか それとも 例外がありうるのか。

V=有限の系ではフーリエ変換逆変換がなりたつのは明らか。Vの大きさにかかわらず。

この波動関数を使って諸期待値があらわされるだろう。その表式中でV→無限大が収束するならそれは無限大の井戸の量を与えているとみなさないわけにはいかないだろう。 

無限深さ井戸でもフーリエ変換逆変換が成り立っている。

=甘泉法師=



  投稿者:ASA - 2011/11/12(Sat) 18:58  No.11518 
甘泉法師 さん No.11517

>V=有限の系ではフーリエ変換逆変換がなりたつのは明らか。Vの大きさにかかわらず。
 ψが無限回微分可能でないからまずいでしょ。
No.11477 と同様の議論でVが有限の時、p^2というオブザーバブルに対して
 p^2ψ={(E-V)2m}ψ; V>E,(δ'(x),ψ(x))=-(δ(x),ψ'(x)) より、Vとp^2は交換可能。
なので、量子力学の基本的枠組みにより、Hψ=Eψを満たすものでは、<p^(2n)>が有限確定値であることが要請されます。
 甘泉法師 さんの主張は、<p^(2n)>は、nがある値より大きくなると発散するというものですよね。
 論理的には、甘泉法師 さん使用しているp^2がオブザーバブルでないか、ψ(x)なりφ(p)という状態が非物理的状態か、どちらも間違いかのどれかですね。一番可能性が高いのは、φ(p)が間違いでしょう(前掲のTOSHIさんの考察にもありますように単なるフーリエ変換では時間部分の干渉について無視していると述べられてますから)。
 

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/12(Sat) 23:20  No.11519 
こんにちは。

> ψが無限回微分可能でないからまずいでしょ。

ポテンシャルがいきなり跳ぶ(不連続)のにψが無限回微分可能(通常の関数の意味で)だったらそちらがまずいでしょ。

量子力学が正しいから、現実にはありえないトイモデルには、高次モーメントの発散という異常なことが起きる解を与えます。


>なので、量子力学の基本的枠組みにより、Hψ=Eψを満たすものでは、<p^(2n)>が有限確定値であることが要請されます。

それは a right answer to the wrong question 誤れる問題への正しい答 でしょう。

ためしに御説でのpとーpの固有状態の波動関数はどんな形か関数形を提示してみてください。 それはふたつ足すと箱の中の粒子の波動関数になって、運動量を観測してpなら片方に、−pなら他方になる(収縮する)ものですよね。 

どうでしょう。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2011/11/12(Sat) 23:46  No.11520 
甘泉法師さん

>>ψが無限回微分可能でないからまずいでしょ。
>ポテンシャルがいきなり跳ぶ(不連続)、、、
そういえば、トンネル効果なんかのψ(x)は、ψ(x)とψ(x)の1次微分の
連続性しか要請されませんね。
(この場合、ψ(x)は、当然、無限回微分可能でない)

トンネル効果も Hψ=Eψを満たすと思いますが、、、

  投稿者:明男 - 2011/11/13(Sun) 01:14  No.11522 
シュレディンガー方程式の解は一般に複素関数であり、一回微分可能であれば、実は無限回微分可能である(定理)、では無かったかしら。違ったらごめん。

  投稿者:TOSHI - 2011/11/13(Sun) 04:43  No.11523 
 久しぶりです。TOSHIです。

 何かときどき名前出てきているのでノコノコやってきました。

 最終発言のコメントにしましたが,別に明男さんへのレスではなくこのスレへの感想です。

 そもそも,ほんの小さな容器,あるいは実験室の中,加速器の中などで行なわれる実験結果を論じる際でも,境界が有限障壁ならトンネル効果で理論的には外世界の00億光年以上も先の宇宙の果てまででも容器内物質が染み出して存在する確率はゼロではないでしょう。

 そうした時空全体までの効果の考慮が必要があって,実験に重要な影響を与えるなら,個々の現実の物性などの実験結果でも染み出した宇宙の果ての影響を加味してないからあまり信用できない。とかの極論になると思います。

 無限障壁の問題が計算例として引き合いに出されるのは,トンネル効果でも超えられないモデルとするのためと思われます。

 もしもそれでも染み出すなら,壁などにさらに厳しい条件を与えるモデルを考え出すだけでしょう。

 壁の外には絶対出られないこと,少なくとも外では確率あるいは波動関数がゼロというモデルの方が前提,出発点であって,無限障壁はそれを実現するための副次的なモノと思います。

 あるいは,何もしなくても閉じ込められた動物園のライオンが檻から出てしまう確率(=個々の構成分子が外に存在する確率全ての積)もゼロではなくそれは宇宙の年齢の何十,何百倍よりはるかに長い時間のうちのたった1秒間だけとかの確率かもしれません。

 でも,それは物理学で論じる対象としては私は興味ないです。

 イヤ,既に数理物理学として,または抽象的な数学として元の意図から離れてしまった,飛躍したことを論じておられるのなら関知することではないです。

 例えば,∞×0というのはゼロとは限らず無限大も含め色々な値になるかもしれませんが,∞に0以外の有限値を書けるとそれは有限ではないので,少なくともゼロを掛けないと積が無限大になるためゼロが必要だということを過去に述べました。

 十分じゃないけど必要だというような議論をしたような気がします。

 こういうのももはや私の出る幕ではないです。

 話変わりますが,内容の要約もなく他人の参考文献(URL)だけを提示してこれを読めという発言については,私は基本的に読まないです。

(ASAさんに私のブログ記事を紹介して頂いてるのはありがたいことです。)

 参考文献を読むのは,それがコレコレの内容で興味深いというような紹介文に誘われて読むのが常ですから。。

 いずれにしろお邪魔しました。

                     TOSHI

  投稿者:ASA - 2011/11/13(Sun) 06:22  No.11524 
甘泉法師さん
>高次モーメントの発散という異常なことが起きる解を与えます。
 だから、モデル如何にかかわらず、ψ(x)で計算すると発散しないのですよ。しかし、フーリエ変換のものだと発散する。

>a right answer to the wrong question 誤れる問題への正しい答 でしょう。
 何を基準にしているのかさっぱりわかりません。(モデルは適切ですが、甘泉法師さんの扱いが駄目なだけと思います)。
 量子論の枠組み的に考えると、ψ(x)での計算が正しいことになり、フーリエ変換のものは正しくない。このことから、フーリエ変換のものは、間違いと結論付けされます。

>それはふたつ足すと箱の中の粒子の波動関数になって、運動量を観測してpなら片方に、−pなら他方になる(収縮する)ものですよね。
 区間[0〜L]で定義された、exp(+-ikx)あたりではないですか? ちなみにこれがどう期待値計算の不一致という問題と関係するのか理解できませんけど。
 あと、前にも述べましたが、非常に長いループ(全長L)に閉じ込められた場合(+Lでψとψ'の一致条件)での基底状態は、ψ(x)=Asin(kx+a),区間[0〜L]となります(浸み出しが一切無い強力なモデル)。この状態も、甘泉法師さんの論法によると、発散することになりますね。

明男さん
>違ったらごめん。
違います。ポテンシャルがギャップを持つ時は適用されません。

kafuka さん
トンネル効果以外のモデルでは、-δ関数型のポテンシャルで束縛された状態(指数関数の絶対値型)で、微分不能点があります。

TOSHI さん
 末梢に囚われずに物理の本道の観点からよく論を纏めておられるので参考にさせていただきました。また、その他のページも基本的な事項の百科事典としてしばしば拝読しています(こういったオンライン物理百科事典があることは非常にありがたく、感謝しております。EMANさんサイトでいうのもなんですが)。難点があるとすれば、ページが重いことです。なので、濃緑さんの軽いページを貼り付けました。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/13(Sun) 08:17  No.11525 
こんにちは。

>それはふたつ足すと箱の中の粒子の波動関数になって、運動量を観測してpなら片方に、−pなら他方になる(収縮する)ものですよね。
******************************
区間[0〜L]で定義された、exp(+-ikx)あたりではないですか?
******************************
回答ありがとうございます。
それでは、つぎもおしえてください。

1 ご提示のその運動量固有状態のxとpの不確定関係はどうなっているでしょう。

2 n=2の状態も2pとー2pの重ねあわせの
区間[0〜L]で定義された、exp(+-i2kx)ですね?
 pの固有状態と2pの固有状態は直交しないといけませんね。どうでしょう。

それでも運動量の固有関数は
******************************
区間[0〜L]で定義された、exp(+-ikx)あたりではないですか?
******************************

=甘泉法師= 

  投稿者:ASA - 2011/11/13(Sun) 09:00  No.11526 
> 1 ご提示のその運動量固有状態のxとpの不確定関係はどうなっているでしょう。
さあ?どうでしょう?
 ちなみに一般的な運動量固有状態のxとpの不確定関係はどうなっているでしょうか?
 それと、期待値計算の不一致と、どう関係するのかわかりません。その関係を述べたの後の検討事項ですね。

>pの固有状態と2pの固有状態は直交しないといけませんね。どうでしょう。
 さあどうでしょう?
 もともと、単独切り離して、そのような議論はできないと考えてます。
エネルギー固有状態は、運動量固有状態では無いですから。
 観測理論に基づくと、観測される時は、強制的にマッピング(観測機という異なるベースを持つものへの射影)されますからね。元の部分を切りとりどうこうという話で無いと考えてます。観測理論については清水先生のホームページに記載されている一連のテキストを参照してください。観測は、たかだか有限時間で行なわれますから、観測機はマッチング区間[0〜L]で一致する運動量固有状態をピックアップし、それを観測値として記録すると考えるわけです。
 観測機側で準備されるべき運動量固有状態は、いろいろ考えられますが、もっとも短いので、長さx=2Lを基準として、kj=2πj/2L=πj/Lが最短のものですね。観測装置の長さが∞で連続固有値のセットを準備する必然性はありません。つまり、井戸の幅Lの2n倍の長さ(周期長)を持てばよいわけです。このようなセットでは、直交条件が満たされます。 

>お師匠のT氏はなにか教えてくれてますか。
 TOSHIさんのみをお師匠としているわけではありません。甘利法師さんに適したと判断した内容を紹介したまでです。清水先生のテキストもいいですね。これによって量子力学構造の基本をちゃんと押さえることができます。

  投稿者:明男 - 2011/11/13(Sun) 11:24  No.11527 
>ASAさん

あはは、そりゃそうですね。そもそも正則というの入れ忘れてるし。”正則な複素関数は一回微分可能であれば、何回でも微分可能である”と言うのは事実なのですが、果たして現実の物理現象は正則なのかは、別問題でした。もう、先にあやまってるけど、失礼しました〜。

  投稿者:ASA - 2011/11/13(Sun) 18:34  No.11530 
>不確定関係が満たされない状態を運動量の固有状態とするようなトンデモはさあ?どうでしょう?

No.11526 で説明しましたが、それは、無意味です(観測機側の運動量固有状態について、云々することは意味があると考えますが)。

>凾* 凾吹@〜 L * 0 = 0
ちなみに、凾ってどう求めるのでしょう?
説明お願いします。
定義区間外で未定義ですよ。全うな物理的理由なしに、未定義=0と看做すことは、できません。このような、飛躍した論理展開そのものが、トンデモ論法であることをよく自覚してください。

>固有値の異なる運動量の固有状態が直交しないようなトンデ●はさあ?どうでしょう?
No.11526で述べていますが、理解できませんか?
ご自分が理解できないその腹いせに、他人をトンデ●呼ばわりするのは、はたからみてかなり恥ずかしいのでおやめになった方がよろしいですよ。

ps.
 定義区間外で0と置いても凾=Lとなりませんね。一体どのような計算をしたのか疑問です(L/12になるはず)。
 ちなみに、上のケースで冪に対応する運動量空間での広がりをみると
 http://www.phys.chuo-u.ac.jp/labs/nakano/suurikaiseki/sec8-1.pdf
 では、運動量空間での広がりは無限大となります(ψに不連続があることの反映ですね)。
不確定性を満たしているという見解ですね。
 なんにせよ、甘利法師さんがトンデモ論法のベテランであることには、変わりありませんけど。
 あと、ψ(x)=0という粒子が存在しない状態では、そのフーリエ係数も0なので、必ず凾*凾=0となりますね。甘利法師さん的には、トンデモ状態なので、物理的にありえないという解釈ですよね。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/13(Sun) 19:19  No.11531 
>ちなみに、凾ってどう求めるのでしょう?
説明お願いします。

だって
******************************
区間[0〜L]で定義された、exp(+-ikx)あたりではないですか?
******************************
なんでしょう、ご説明では。Lより大きいことがありうるんですか? 違いますか?
そしてpの固有状態だからΔp=0でしょう? 違いますか?
ふたつの積は0になるでしょう? 違いますか?

不確定関係の具合はどうなっているんでしょうか?

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/13(Sun) 19:34  No.11533 
>Lより大きいことがありうるんですか? 違いますか?
 定義区間外の調整でいかようにもなります。
 しかし、先に述べたように、単独で取り出して云々することに、意味があると考えてません。はっきりいって、意味の無い量なので、不確定性を満足しようが、しまいが全く関係ありません。物理的に無意味な量を弄ぶことに意義を見出しません。

>T氏はなにかいってくれていませんか?
なぜT氏がでてくるのでしょうか?説明をお願いします。確認しますが、T氏とはさきにコメント寄せられたTOSHIさんのことですよね。

ところで清水先生の論説を読みましたか?
観測によって、被測定系に状態の収束が起こるという単純な方法を適用すると問題が生じるので、測定系を加味して考えなければならない、というのが量子測定理論の出発点になってます(この理論は、完成途上であって、統一した見解が得られていません)。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/13(Sun) 19:46  No.11534 
>定義区間外の調整でいかようにもなります。

定義されていないところでの調整という意味がまったくわかりません。
どのようにするのかおしえてもらいたいものです。見込みはないでしょうが。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/13(Sun) 20:04  No.11535 
>定義されていないところでの調整という意味がまったくわかりません。
>どのようにするのかおしえてもらいたいものです。見込みはないでしょうが。
 考える必要はありませんが、もし、考えたければ、2Lの折り返しとみればよいだけです([-∞,∞]で定義された{exp(+-jkx)}と同じと看做せます)。簡単でしょ。あと、打消しの為に[-∞,0]と[L,∞]で定義された{exp(+-jkx)}を設定すれば万全ですね。

>わたしには難しくよく纏めているように解せなかったので。 
 難しいですか?
非常にわかりやすく記述されているように思いますけど。
具体的にどの部分が難しいのか質問なさればよいと思います。
自分もある程度解説できますよ。
冷蔵庫さんの疑問への回答でもある"積分区間全体でVψ=0と考えることができる"までの理解はOKですか?

>この運動量固有関数の不都合をどう解決するのか。
 だから、前に説明したように不都合はないですよ。
この系でのエネルギー固有状態は、甘泉法師さんが満足する運動量固有関数のみの和から構成されているわけでは、ありません。
 観測という測定系への射影行為で、測定系が内在する"甘泉法師さんが満足する運動量固有関数"がピックアップされ、選択された固有値が測定値として記録されるわけですから(被測定系の状態は変らない。いわゆる状態収束は、測定系内で仮想的になされるという測定モデル)。

 ちなみに、"なぜT氏がでてくるのでしょうか?"への回答はないのですか?
 あと、人を勝手に弟子呼ばわりするのは、迷惑ですので止めて下さい(TOSHIさんに弟子入りしたわけではないので、誤解する人もでますし)。
 TOSHIさんの論考を参考にすることを弟子というなら、甘泉法師さん自身が弟子ではないのですか?このあたりをはっきりさせて下さい。
 以上のことに責任を持った回答ができないのであれば、一連の弟子発言の撤回を要求します。では、甘利法師さんのまともな返答を期待していますので。よろしくお願い致します。
-以上-

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/13(Sun) 21:17  No.11536 
こんにちは

>([-∞,∞]で定義された{exp(+-jkx)}と同じと看做せます)。簡単でしょ。

不思議な折り返し。都合のいい折り返し。箱の外にも世界はあるのにそれに目をつむり中に折り返す折り返し。箱の外に粒子は観測されないというψ=0というメッセージがあるはずなのにそこは定義域にしないとして逃げる折り返し。 外でψ=0なら外のxも存在しないと混同している折り返し。 折り返しのない無限に続く波も折り返しの波もどちらも運動量固有関数である折り返し...  


それはオリジナルですかTOSHIさんもそう解説されているのでしょうか。
おふたりから、またおふたりの説に賛同する大多数?のみなさまからこの不思議なp、−pd運動量固有状態についての疑問を氷解していただければ光栄に存じます。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/13(Sun) 21:37  No.11537 
 こんにちは。

 さて御主張「エネルギーのレベルnの固有状態が運動量np、−npの重ね合わせである」ことについて、固有状態の波動関数
******************************
区間[0〜L]で定義された、exp(+-ikx)あたりではないですか?
******************************
(ですよね?)について 

  固有値np 状態 と 固有値(n+1)p状態 は直交しない

  p固有状態は不確定関係を満足しない

との拙考えを正してしていただければ幸いです。 

わたしの考えが正しくてもそれを凹ますようなほんものの考えが披露されてもどちらもうれしいです。 後者のほうがもっとかも。

PS  箱の外ψ=0 と 折り返し の関係も。

=甘泉法師=

  投稿者:冷蔵庫 - 2011/11/13(Sun) 22:08  No.11538 
>ASAさん No.11512

>冷蔵庫さん
>>何故『V→∞でもψ(L)V=0が成立してる』とみなせるのでしょうか?
> 逆に、何故このような疑問が生ずるのか理解できません。

ASAさんにとっては当たり前すぎて疑問にも思わないのでしょうが、私にはよくわからないので、すみません。
有限井戸のポテンシャルV(x)を座標表示でV(x)=θ(-x)θ(x-L)V0と書くことにします。
今の問題は「V0→∞でψ(L)V(L)がどのようになるか」、と認識しています。
ここまではよろしいですか?
V(L)の値を、ナイーブに右側と左側の平均と見れば、V(L)=V0/2ですが、
V0→∞の極限のもとでψ(L)V(L)→0・∞です。
『V→∞でもψ(L)V=0が成立してる』というのはどうしてわかったのでしょう?

>冷蔵庫さんの計算だと、V→∞でψ(L)がゼロ以外になるのでしょうか?

いいえ。

>ψ(x>=L)V=0でないと考えた時、ψの具体的形がどうなるかとか、いろいろな問題が生じます。
>これは、ψ(+-∞)=0という一般的な境界条件だけでなく、x>=Lでψ=0という前提条件すら疑問があるというのと同じです。

このあたり、ちょっとよくわからないです。

> まず、その辺の計算なり考え方をを示してください。
> (手始めに、冷蔵庫さんの計算による、<V>の値を示してください。
> これが有限なら、<p^2n>も有限であるということになり、結論は変わりません。)

いいですけどその前に、No.11472から続いている私の疑問、「無限深さの井戸で『全領域でψ''=-k^2ψが成立』する理由」を解消しませんか?
ひとつひとつ確実に潰していきたいのですよ。
一度に色々な内容を議論しようとすると、私が混乱してしまうので。
「『V→∞でもψ(L)V=0が成立してる』とみなせるのでしょうか?」という疑問を持った理由はここに書きましたので、
それについてのお答えをお待ちしています。

  投稿者:ひゃま - 2011/11/13(Sun) 23:43  No.11540 
どうでもいいし、話もよく解りませんが、
物理学なんて究極は解らないのでトンデモとか誰の師弟とか止めませんか?
ここは、EMANさんの素人による素人ための物理学の場と思っております。
でも、学者でも素人でも自分の意見としてなら言う権利はありますねw

  投稿者:ASA - 2011/11/14(Mon) 05:32  No.11543 
冷蔵庫 さん No.11538
>『V→∞でもψ(L)V=0が成立してる』というのはどうしてわかったのでしょう?
話が違います
11510>"何故『V→∞でもψ(L)V=0が成立してる』とみなせるのでしょうか?
"という話です。
ご自身の発言内容を確認してください。以前からの冷蔵庫 さんとの議論で気になる点です。変なすり替えが見受けられ不誠実な感じがしますので以後注意してください。
 前提条件より、ψ(L)V=0が成立してるとみなす。
>このあたり、ちょっとよくわからないです。
議論は、下記共通テキストをベースにします。
see http://d.hatena.ne.jp/iwata1sei/20080912
(前にも参照テキストを指定しましたが無視されたのは何故ですか?
これへの回答が最優先です。議論はその後です。TOSHIさんのように興味がわかないからというのはありですけど、それでは疑問は晴れないと思いますし、それまでです。)

  投稿者:ASA - 2011/11/14(Mon) 05:37  No.11544 
甘泉法師 さん No.11536
>弟子発言を撤回します。
 訂正も求めます。

まず、以下にに答えてください。
議論は、その後です。
>ちなみに、"なぜT氏がでてくるのでしょうか?"への回答はないのですか?

以下余談:
>みなさまからこの不思議なp、−pd運動量固有状態についての疑問を氷解していただければ光栄に存じます。
 単なる教えてチャンですね。理解しようとする努力無しには、何年たっても得られるものはありません(3年以上の前の話ですからね。)。

>難解で凡人にはうかがいしれないTOSHIさんの説
 難解では無いです。教科書に書いてあることからの論理的演繹にすぎません。線形空間上での論理展開に慣れていないか、それへの理解不足です(ディラック本の読み込みが足りない)。

>さてそのうえでおふたりの御主張「エネルギーのレベルnの固有状態が運動量np、−npの重ね合わせである」ことについて、固有状態の波動関数
 自分はそんなこと主張して無いですよ(TOSHIさんの論考でもそのようなものはみられませんでしけど)。迷惑なので止めてください。

  投稿者:ASA - 2011/11/14(Mon) 05:56  No.11545 
ひゃま さん No.11540
>物理学なんて究極は解らない
 究極のことなど議論していません。物理学は物理現象を説明できる論理体系です(完全ではないが)。

>学者でも素人でも自分の意見としてなら言う権利はありますね
当然です。
しかし、議論の途中で論理の飛躍がある場合トンデモと指摘します。
論理飛躍を指摘するのはOKですよね。
飛躍だけでなく、主張のすり替えや身勝手な物理現象とあわない机上の空論もトンデモと指摘することがあります。

誰の師弟というのは、議論とどう関係するのかいまだに理解できませんね。
(自分には、コンプレックス丸出しであるように思えます)

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/14(Mon) 07:04  No.11546 
こんにちは。


あらためて推論
*****************************************
命題「無限深さの井戸のエネルギー準位nの固有状態の運動量は正負ふたつの運動量np,-npの固有状態のかさねあわせである. ここで運動量の固有状態の波動関数は井戸のなかだけで定義されているか井戸の外では値が0である」が正しいとすると
 mとnの偶奇が違う場合mp 状態とnp 状態が直交しない 
 np状態の不確定関係がなりたたない
よって、命題は正しくない。
*****************************************
 について命題を支持するかたから広くご意見をいただければ幸いです。

 井戸のなかだけをぐるぐるへめぐり外の世界の存在をあえて知るまいとするような井の中の蛙にはなりたくない

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/14(Mon) 07:45  No.11547 
甘泉法師 さん

>まったく同感です 兄弟!。
意味不明。
ご自身のコンプレックスを認識したということですか?
あなたとは、他人であって兄弟ではありません。
(人類全てを兄弟とみなす特殊な思想信条を持った方かもしれませんけど)

>訂正するのかな。
その前に弟子であると断言された文面の訂正ないしは修正を要求します。
事実誤認をする人がいますから。この対応を最優先でお願いします。
(無責任な人であって、まともな議論ができないとの認識が高まってます)

また、"なぜT氏がでてくるのでしょうか?"への回答もお願いします。

  投稿者:ASA - 2011/11/14(Mon) 08:10  No.11548 
kafuka さん No.11409
 演算子の定義域とは、普通サブスペース(演算子の対象となる関数空間の領域)のことです。
関数自体の定義域(例:{0<x<L})とは、別物ですよ。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/14(Mon) 08:15  No.11549 
こんにちは。

ref.
*****************************************
命題「無限深さの井戸のエネルギー準位nの固有状態の運動量は正負ふたつの運動量np,-npの固有状態のかさねあわせである. ここで運動量の固有状態の波動関数は井戸のなかだけで定義されているか井戸の外では値が0である」が正しいとすると
 mとnの偶奇が違う場合mp 状態とnp 状態が直交しない 
 np状態の不確定関係がなりたたない
よって、命題は正しくない。
*****************************************
直交性についての補足
 有限区間[-L,L]のフーリエ級数の場合、独立な波はn=1 からは偶関数のcos が n=2からは奇関数のsinが、というふうにひとつのレベルからはひとつの独立成分がでるのですが、n=1 からはe^ikx と e^-ikx が、のようにひとつのレベルからふたつづつ独立成分を数えると独立成分が実際の倍にカウントされてしまいます。これが直交しない理由です。

不確定性についての補足
 運動量固有状態だからΔp=0 不確定関係からΔx=+∞であるべきなのに、箱のなかに閉じ込められていて位置の不確定さは箱のサイズを越えるわけがない、という具合です。


=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/14(Mon) 09:12  No.11551 
甘泉法師 さん No.11549

無意味な主張の前に
弟子であると断言された文面の訂正ないしは修正を要求します(No.11525など) 。事実誤認をする人がいますから。この対応を最優先でお願いします。
(無責任な人であって、まともな議論ができないとの認識がさらに高まってます)
 また、優先順位が高い未回答の項目への回答もお願いします。


  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/14(Mon) 21:14  No.11552 
  こんにちは。

Re: 箱の中(運動量のパラドックス)について TOSHI - 2011/11/13(Sun) 04:43 No.11523

> 壁の外には絶対出られないこと,少なくとも外では確率あるいは波動関数がゼロというモデルの方が前提,出発点であって,無限障壁はそれを実現するための副次的なモノと思います。


 ご発言に気づくのが遅れ、コメントが遅れました。さて、

 わたしはエネルギーレベル0をVだけ上にとっています。

*****************************************
 井戸内 ‐V, V→+∞
 外  0 無限遠まで。 
*****************************************

 わたしの考えてきた系を説明すると
 
*****************************************

 有限深さ井戸の深さ→∞の極限。

 連続エネルギースペクトルの自由状態(E>0)が存在する。 

 一番浅い束縛状態から下に有限番目までの状態は、外に波動関数が染み出している。
 
 基底状態から上に有限番目までの状態は、外で波動関数がゼロである。*

*****************************************

 * の運動量については

*****************************************

 有限井戸のフーリエ変換の手法がそのまま使える。
  ref. E.F.Schubert  http://www.ecse.rpi.edu/~schubert/Course-ECSE-6968%20Quantum%20mechanics/Ch03%20Position&momentum%20space.pdf
P.21 3.3 Illustrative example: Position and Momentum in the infinite square well

 |ψ(p)|^2はアプレット http://www.falstad.com/qm1d/index.html でみることができる。

 |ψ(p)|^2 〜 p^-4 で減衰する。 したがって<p^4>、<p^6>、...が無限大になる。**

 量子から古典への移行極限で
 |ψ(p)|^2 = 1/2 {δ(p−p0)+δ(p+p0)}
  p0は古典的な往復運動の運動量
 となる。 
ref. 投稿者:甘泉法師 - 2011/11/04(Fri) 00:11 No.11412

*****************************************

ハミルトニアンHについては

*****************************************

 Hはオブザーバブルである。すなわちエネルギー固有関数は系の完全基底をなす。井戸の外にある粒子、無限に続く波である運動量固有状態を含め任意の状態をエネルギー固有関数の重ね合せとして表現できる。

 ポテンシャルエネルギーVは井戸端で不連続に跳ぶ。このために**の発散が起きる。同じく有限深さ井戸では<p^6>、<p^8>、…が無限大になる。一般にポテンシャルエネルギーV(x)がxのC∞関数で無い場合には、ある次数より高い次数の運動量のモーメントが無限大になる。

*****************************************

 説明の図を http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail_target&commu_id=290&topic_id=25&com_range=78 に書きました。ごらんください。



 TOSHIさん

 違ったモノについて語っているから意見が合わないのでしょうか。

 わたしの上記 * の状態と TOSHIさんの

> 壁の外には絶対出られないこと,少なくとも外では確率あるいは波動関数がゼロ

 の状態は似て非なるものなのでしょうか。

 TOSHIさんのお考えを是非お聞かせください。

 =甘泉法師=


  投稿者:ASA - 2011/11/15(Tue) 06:48  No.11554 
冷蔵庫 さん No.11538
 このスレが込み入ってきたので、新たなスレを建て、そこで回答をお願いします(新スレの題名は、お任せします)。

甘泉法師 さん No.11552
 モデルを共有する事なしに議論が成立するわけがありません。本当に何らかの回答を得たいなら、議論の基本的なことがらを遵守すべきです。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/16(Wed) 11:33  No.11576 
PS

TOSHIさん

> あるいは,何もしなくても閉じ込められた動物園のライオンが檻から出てしまう確率(=個々の構成分子が外に存在する確率全ての積)もゼロではなくそれは宇宙の年齢の何十,何百倍よりはるかに長い時間のうちのたった1秒間だけとかの確率かもしれません。
> でも,それは物理学で論じる対象としては私は興味ないです。

 基底状態にいるライオンの閉じ込められ具合は深い井戸でも高い障壁でも波動関数は同じなのでかわらないでしょう。

> イヤ,既に数理物理学として,または抽象的な数学として元の意図から離れてしまった,飛躍したことを論じておられるのなら関知することではないです。

 残念ながらわたしも同感です。 お互いが相手のほうを誤れる「抽象的な数学」「飛躍」と見ていて関係がよくないのですが...。 なんとか改善できないでしょうか。

  TOSHIさんの考え(とわたしが理解しているところのもの)についての批判はこのスレッドのこれまでの発言でもうだいぶ書きましたが以下にまとめます。 間違っていればただしてください。

  TOSHIさんからも、わたしの考えのおかしいと思われるところ、矛盾を突いていただければたいへん勉強になります。 よろしくお願いします。

=甘泉法師=

TOSHIさんのお考え(とわたしが解しているもの)の批判

*******************************

 波動関数が非周期的(∵井戸の外ではゼロ)なのでフーリエ級数は適用できない。フーリエ変換が正しい。

 フーリエ級数を適用するため”区間のくりかえし”を考えることはできない。
  ∵同じ座標値(例 L+ε)が井戸の外と繰り返した井戸の中(例 L+ε 〜 L+ε‐2L=‐L+ε)のふたつの異なる位置に対応する。
   前者でψ(L+ε)=0
   後者でψ(L+ε)=ψ(‐L+ε)≠0   矛盾 

 固有値±(n+1)p0、 0≦n、の運動量固有状態の重ね合わせで第n励起状態をつくることはできない。
  ∵重ねあわせて井戸の外で0にはできない。

 上記を満たす”新”運動量固有関数をつくる試みは絶望的である。
 例)波動関数 井戸中: e^ik0x  井戸外: 0 は 
   位置と運動量の不確定関係を満たさない。
   偶奇を異にするm、nのmp0固有状態とnp0固有状態は直交しない。

 エネルギーがオブザーバルでない、すなわちエネルギーを測定できない状態が存在することになり物理的でない。
  ∵すべてのエネルギー固有状態の波動関数は障壁外で値0という御主張から、障壁外に存在する粒子の波動関数や無限の波である運動量固有関数はエネルギー固有関数の重ね合せでは表現できない。

*******************************
               以上

  投稿者:ASA - 2011/11/16(Wed) 17:11  No.11579 
甘泉法師 さん

>微妙な違いがありますか?
人に尋ねる前に、基本的なことを押えましょう。
いきなり、異なるモデルをもち出されても困惑するだけです。
モデルが等価だというなら、まず、それを論証すべきです。
 しかし、モデルが本当に等価なら、異なるモデルを持ち出す必要がありません(計算が単純になるとかならありえますけど)。
 でも、そうではなさそうなので、何を考えているのかさっぱり理解できません。よって、コメントすらできかねるというのが正直な感想です。

>お互いが相手のほうを誤れる「抽象的な数学」「飛躍」と見ていて関係がよくないのですが...。
 ます、甘泉法師 さん自身で、紹介したTOSHIさんの論考において、どこがどう誤っているのか、ちゃんと論ずべきですが、それが全くありません。
 単なる印象を(相手の論を理解することなく)語っています。

>TOSHIさんの考え(とわたしが理解しているところのもの)
 それが全く的外れです。

>矛盾を突いていただければたいへん勉強になります。
 紹介したTOSHIさんの論考が、既に矛盾をついています。線形空間での議論を理解できてますか(全く理解してないように思えます)?率直に言って、この論理が理解できないなら、議論は全く持って無駄です(矛盾を突かれていることすら理解できてない可能性がありますな)。はっきりいって、もっとちゃんと、勉強して基本をおさえろとしか言いようがありません。

 自分は、このスレで<p^2n>(n:有限な整数)が、発散すること自体が物理的な矛盾であると指摘しましたが、これに対する甘泉法師 さんの見解は、いまだに示されていません。
 
>よろしくお願いします。
 ひとにお願いする前に、ご自身でなすべきことが山積してますよ。

  投稿者:冷蔵庫 - 2011/11/18(Fri) 02:26  No.11594 
>甘泉法師さん No.11517

こんにちは。お返事が遅れてすみません。

>V=有限の系ではフーリエ変換逆変換がなりたつのは明らか。Vの大きさにかかわらず。

>この波動関数を使って諸期待値があらわされるだろう。その表式中でV→無限大が収束するならそれは無限大の井戸の量を与えているとみなさないわけにはいかないだろう。 

同意します。

>無限深さ井戸でもフーリエ変換逆変換が成り立っている。

私もそう思います。
波動関数のフーリエ変換なんて、単に状態を|x>で展開するか|p>で展開するかの違いなので、
行き来できるのは当然でしょう。
ただ、無限深さ井戸の場合は井戸の外の空間を考えていますが、
箱の中、つまり有限の空間しか考えない場合はフーリエ変換で|x>と|p>が結びついているわけではないですね。
(例えばS^1やS^1/Z_2コンパクト化)

  投稿者:ASA - 2011/11/18(Fri) 06:41  No.11597 
>箱の中、つまり有限の空間しか考えない場合はフーリエ変換で|x>と|p>が結びついているわけではないですね。
 甘泉法師 さんは、有限の空間しか考えない場合(ないしは、どんな場合)でも、フーリエ変換で|x>と|p>が結びつくと考えているようです。
 解説なされては、いかがですか?

  投稿者:kafuka - 2011/11/18(Fri) 13:54  No.11598 
横から失礼します。
>どんな場合でも、フーリエ変換で|x>と|p>が結びつく
これは、冷蔵庫さんのお手を煩わせることもないでしょう。

証明:
これは、新田英雄「Excelで学ぶやさしい量子力学」に載っていますが、
要約すると、
状態ベクトル|ψ> について、|x>への射影は、|x><x|ψ>
射影を全て寄せ集めて加えたものは、元の|ψ> 
つまり、
|ψ>=∫|x><x|ψ>dx
<x|ψ>は、波動関数ψ(x) ですから、
=∫ψ(x)|x>dx
一方、|ψ>の|p>の射影も、同じ関係で、
|ψ>=∫ψ(p)|p>dp
ですが、この式で、<x|ψ>を考えると、
<x|ψ>=∫ψ(p)<x|p>dp  これは、=ψ(x)
ここで、<x|p>は、
<tex><x|p>= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi  \hbar } } exp \left(ipx/ \hbar \right) </tex>
です。 http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/61737027.html 参照

変数を変換すれば、ψ(x)は、ψ(p)の逆フーリエ変換になっています。
同様に、ψ(p)は、ψ(x)のフーリエ変換です。

ASAさんのご主張どおりなら、上記の証明のどこかに穴があることになる
と思います。
その穴を追及する方が、議論がより単純になる
と思って しゃしゃり出たわけです。

冷蔵庫さん、失礼をお詫びします。

  投稿者:ASA - 2011/11/18(Fri) 14:21  No.11600 
kafuka さん No.11598

数学には興味ないのですが
>|ψ>=∫ψ(p)|p>dp
とされてますね。
まず、どのように区分された関数空間[例、0〜Lの変数域で定義された周期的境界条件を満たす規格可能な関数群]であってもpが連続であるということを証明してください。
(有限な変数域では、紹介の式A-15に上記のような境界条件が課せられるわけですけど、どこまでも並進できるわけではないですから)

ちゃんとした教科書には、狽ニ∫が併用されてます(とりあえず∫と表記するが狽熾含するとか記述されているのもありますが、このときはexpの肩にあるpは、不連続であり特定の値p=pnしか取らないということです。)

ちなみに、甘利法師さんには、狽ナ考えるべきということを、とうの昔に指摘してます。

  投稿者:kafuka - 2011/11/18(Fri) 21:25  No.11601 
ASAさん

僕自身、どこに穴があるか わかっていないので、ご指摘、ありがとうございます。

pが連続であることを証明するも何も、離散の場合も、当然 あります。
その場合、
|ψ> は、pの固有ベクトルに展開できて (スペクトル展開定理)
|ψ>=Σf(i)|pi>
一方、
|ψ> は、|pi>への射影 |pi><pi| を、全て足し合わせたもの でもありますから、
|ψ>=Σ|pi><pi|ψ>
ここで、<pi|ψ>は、単なる数ですから、
=Σ<pi|ψ> |pi>

見比べると、f(i)=<pi|ψ>

ここで、p空間についての波動関数<p|ψ> は、
ψ(p)=<p|ψ>=<p|(Σf(i)|pi>)=Σf(i)<p|pi>
=Σf(i)δ(p-pi)

( |pi>の集合は|p>の部分集合と仮定。p空間が|pi>だけの集合なら?)

したがって、全て足し合わせたものは、もとの|ψ>ですから、
|ψ>=∫Σf(i)δ(p-pi)|p>dp

これから、x空間についての波動関数<x|ψ> を求めると、
ψ(x)=<x|ψ>=∫ Σf(i)δ(p-pi) <x|p>dp

したがって、p空間とx空間とで、<x|p>が、以下ならば、
<tex><x|p>= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi  \hbar } } exp \left(ipx/ \hbar \right) </tex>

∴ ψ(x)は、ψ(p)が離散でも、ψ(p)の逆フーリエ変換
//

この逆、p空間についての波動関数は、
ψ(p)=<p|ψ>=∫<p|x><x|ψ>dx    (完全性定理)
=∫ψ(x)<p|x>dx

p空間とx空間とで、<p|x>が、以下ならば、
<tex><p|x>= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi  \hbar } } exp \left(-ipx/ \hbar \right) </tex>

ψ(p)=ψ(x)のフーリエ変換=ψ(p)の逆フーリエ変換をフーリエ変換したもの
=Σf(i)δ(p-pi)

で、整合しています。
(甘泉法師さんの答えとは違います。何故なんだろ?)
//

おそらく、p空間とx空間とで、<x|p>が云々 であるというのは、
根拠がない と言われると思いますが、
それなら、p空間で、<p|pi>=δ(p-pi)というもの根拠がない
ことになるかと、思います。
(p空間が|pi>だけの集合なら?ということ)

  投稿者:ASA - 2011/11/18(Fri) 22:02  No.11603 
>ψ(p)=ψ(x)のフーリエ変換=ψ(p)の逆フーリエ変換をフーリエ変換したもの
>=Σf(i)δ(p-pi)
 正解です。広い意味でのフーリエ変換が成立します(∫狽区別しない)。
 (ついでに、ベースがexp(iknx)でなくても、エルミート関数やら球面調和関数のような離散化したものでも完全系なら展開そのものは可能なわけです。)
 
>(甘泉法師さんの答えとは違います。何故なんだろ?)
 狽ノなるのは領域制約による境界条件を<p|x>に課すかどうかの違いですから、この制約が不要と考えているのかもしれません。
(甘泉法師さんは、狽ノなるケースがあることを全く失念している可能性が高いと思いますが)。
 運動領域が限られているというケースなら"物理的に考えて"、当然境界条件が必要とされるので、pは不連続と考えます(正準変数間の双対性とかで考えてもよろしいですけど)。

>甘泉法師さんの答えとは違います。何故なんだろ?
 本人に訊かなければわかりませんな。たしか、教科書に書いてあるとしか述べてませんでしたね。甘泉法師さんとしては、境界条件を<p|x>に課す必要が無いと考えているのでしょうかね?また、そのように考えなければならない物理的理由も、いまだに何ものべてませんね。実のところこの辺りをどう考えているのはよく分かりませんな(何も考えてないようにも思えます)。

 また、物理的に考えると、状態の時間依存部、つまり、exp(iωt),ω=p^2/2m(h=1として)の存在を無視することはできないともいえます(TOSHIさんの論考を参照)。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/19(Sat) 10:15  No.11607 
こんにちは。

TOSHIさん

御説の適用できる例として
Xが有限な系を考えてみました(下図)。ご笑納ください。
http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail_target&commu_id=290&topic_id=25&com_range=101

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/11/19(Sat) 11:46  No.11610 
甘泉法師 さん

全く持って意味不明です。

 TOSHIさんという個人宛メッセージならなら、TOSHIさんのブログにコメントすべきと考えます。
 さらに、甘泉法師さんのいう"御説"というのが全く不明なので、第3者には何のことやら理解できません(今までの経緯からすると"御説"というのが、理解不足に起因した身勝手な考え方である可能性が強いように思いますけど)。
 説明が圧倒的に足りないのでわかりません。
 例:何の何に対する「訂正」なの?
   「ψ(0)=0」これは、系を規定する境界条件なの?
   「ψ(x)=ψ(x+L)とみなす」、みなすとはどういうこと?
   「可能だが必要ではない」、可能不可能と必要不必要を判定する条件は何?

余談:
 10年以上前からの問題とは驚きです。ちゃんとしたテキストを読みこめば、おのずから妥当な見解に到ると思いますので、変な読み方や考え方をずっとし続けていたのと推察します。このスレでも見受けられる変な考え方の一例として、前提と異なるモデルを持ち出すなどがありますね。変な考え方を改めない限り、何年たっても問題は解決しないと思います。

  投稿者:kafuka - 2011/11/19(Sat) 22:47  No.11617 
>甘泉法師さん

ご指摘されていた「不確定性関係がなりたたない」が気になって、
それなら、xp−px=ih' も意味がないんじゃないか
と思って、考えていたのですが、、、

xp−pxの関係は、空間の等方性・一様性を前提に、ウイグナーの定理、ストーンの定理から
導出されます。(他の方法もありますが)
C.J.アイシャム「量子論」 7.2.2観測器の変位と正準交換関係
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/55883912.html
で、「xの定義域をきって外を対象としない」 ということは、
x空間の等方性・一様性がなくなるわけで、
当然、xp−px=ih' も 意味がなくなる と思います。
>甘泉法師さんは どう思われますか?

近似解を求めるなら「定義域をきって外を対象としない」でいいと思いますが、
厳密解では、これは不適当と思います。
それは、ちょっと置いて、、、

前に「pが離散でも連続でもψ(p)は、ψ(x)のフーリエ変換である」
と証明したつもりです。

甘泉法師さんの解は、pが連続で(pは、±P0ではない と言われてますよね)
「ψ(p)は、ψ(x)のフーリエ変換」で、その逆も成り立っています。

pが離散の場合、
ψ(p)=Σf(j)δ(p-Pj) ですが、
これを、逆フーリエ変換すると、
ψ(x)=Σf(j)exp(iPj x/h') になります。
これは、当然、箱の外に はみ出します。
で、↑で言ったように、
厳密解の議論では「定義域をきって外を対象としない」というのは不適切と思います。

たぶん「定義域をきって外を対象としない」のではなく「折りたたむことにすれば、いい」
と言われると思います。
しかし、その「数学的手続き」が、僕には よくわからないのです、、、

  投稿者:ASA - 2011/11/20(Sun) 06:33  No.11621 
kafuka さん
>観測器の変位と正準交換関係
 観測器の変位ですから、観測器が備える運動量セットに関する話ですね。
>「xの定義域をきって外を対象としない」
 測定対象それとも観測器どちらの話ですか?
物理的に適切な境界条件を設ければいいのでは?

>ψ(x)=Σf(j)exp(iPj x/h') になります。
>これは、当然、箱の外に はみ出します。
 何故?
元のexp(ipx/h')に境界条件を設けてPjと離散化したのだから、適切な条件を設けて、箱の外をなしにすればいいのでは?
測定対象の場合、箱の中のみをを考えるなら、並進対称性は、箱の中しか成立してないので、箱の外=0と看做すのは、物理的に考えて妥当だと思いますよ(状態空間が内と外とで分断されていると考えるので連続性など気にしません)。連続性が気になるなら、箱の外=Constと看做してもよろしいですね(+、-の合計で0になる故に。そうすると、直交しないことになりますが、形式上の問題ですね)。
 観測器の場合は、適当な境界条件(周期的境界条件など)でいいと思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/11/20(Sun) 09:00  No.11622 
こんにちは。 kafukaさん

Re: 箱の中(運動量のパラドックス)について kafuka - 2011/11/19(Sat) 22:47 No.11617

> で、「xの定義域をきって外を対象としない」 ということは、
x空間の等方性・一様性がなくなるわけで、
当然、xp−px=ih' も 意味がなくなる と思います。
>甘泉法師さんは どう思われますか?

  わたしには難しい話ですが、そうだろうと思います。
  端でのd/dxは定義の吟味を要する厄介な問題と思います。 


> 前に「pが離散でも連続でもψ(p)は、ψ(x)のフーリエ変換である」
と証明したつもりです。

  そうですね。 ψ(x)が周期Lの関数の場合、フーリエ変換ψ(k)は 値k=nπ/L 以外で0になります(→フーリエ級数)。 
  フーリエ変換はフーリエ級数を特別の場合としてふくんでいます。

> これは、当然、箱の外に はみ出します。
で、↑で言ったように、
厳密解の議論では「定義域をきって外を対象としない」というのは不適切と思います。

  波動関数が周期的ならともかく、箱の外では0なのです。 おっしゃるとおりですね。

> たぶん「定義域をきって外を対象としない」のではなく「折りたたむことにすれば、いい」
と言われると思います。

  箱の外は存在しない、円環世界の系の場合がありえます。 先のコメントで環の図を描きました。
  
  本当に箱が無限に連なっている系も一見よさそうですが、結晶のブロッホの定理が成り立つ別の話と思います。





 まとめてみました。 http://folomy.jp/heart/img.php?filename=tc_248596_1_1322790531.jpg

=甘泉法師=